Tải bản đầy đủ

Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 9 docx

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:
(
)
()
2cosx 1 0 1
3
sin 2x 2
2
−=



=





Ta có:
()
1
1cosx
2

=


()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈Z

Với
xk
3
2
π
=+ π
thay vào (2), ta được
23
sin 2x sin k4
32
π
⎛⎞
=+π=
⎜⎟
⎝⎠

Với
x
3
π
=− + πk2
thay vào (2), ta được

23
sin 2x sin k4
32
π
⎛⎞
=−+π=−≠
⎜⎟
⎝⎠
3
2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là:
2,
3
π
=
+π∈

xkk


Bài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
xy
3
+
=


π

+=




Cách 1:

Hệ đã cho
xy xy
2sin .cos 1
22
xy
3
+−

=




π

+=




π−



=
=


⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
π
⎪⎪
+=
+=




xy
xy
2.sin .cos 1
cos 1
62
2
xy
xy
3
3


4
2
2
3
3


−= π



⎪⎪
⇔⇔
π
⎨⎨
π
+=
⎪⎪
+=



xy
x
yk
k
xy
xy
()
2
6
2
6
π

=+ π


⇔∈

π

=−π


xk
kZ
yk


Cách 2:
Hệ đã cho

3
3
31
sin sin 1
cos sin 1
3
22
3
3
sin 1
2
3
32
2
6
2
6
π
π


=−
=−


⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
⎛⎞
⎪⎪
+−=
+
=
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠


π

π

=−
=−


⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π
⎜⎟



⎝⎠

π

=+ π


⇔∈

π

=− π



yx
yx
xx
x
x
yx
yx
x
x
k
xk
k
yk


Bài 175: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 2 (1)
cos x cos y 2 (2)

+=


+=




Cách 1:
Hệ đã cho
xy xy
2sin cos 2 (1)
22
xy xy
2cos cos 2 (2)
22
+−

=




+−

=



Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
xy xy
tg 1 ( do cos 0
22

=
không là nghiệm của (1) và (2) )

24
22
22

⇔=+π
ππ
⇔+=+ π⇔=−+ π
xy
k
x
ykyxk

thay vào (1) ta được:
sin x sin x k2 2
2
π
⎛⎞
+−+π=
⎜⎟
⎝⎠


sin x cos x 2⇔+=


2 cos 2
4
2,
4
π
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔− = π∈
=

x
xhh

Do đó: hệ đã cho
()
2,
4
2,,
4
π

=+ π∈




π

=
+− π ∈




xhh
ykhkh

Cách 2: Ta có
A
BACB
CD ACBD
=+=
⎧⎧

⎨⎨
=−=
⎩⎩
D+


Hệ đã cho
(
)
(
)
()()
⎧− + − =



++−=


⎧π π
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −=
⎜⎟ ⎜⎟

⎪⎝⎠ ⎝⎠


ππ
⎛⎞ ⎛⎞

++ +=
⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2sin x 2sin y 0
44
2sin x 2sin y 2 2
44
sin sin 0
44
sin sin 0
44
sin 1
4
sin sin 2
44
sin 1
4
2
42
2
42
sin sin 0
44
xy
xy
x
xy
y
xk
yh
xy
⎧π π
⎛⎞⎛⎞

+−=
⎜⎟⎜⎟

⎧π π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞

−+ −=
⎜⎟⎜⎟


π
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⇔⇔+=
⎨⎨
⎜⎟
ππ
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎪⎪
π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞

+=

⎜⎟
⎝⎠


ππ
+=+π


ππ

⇔+=+π



ππ
⎛⎞⎛⎞
−+ −=
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠



π

=+ π




π

=+ π ∈


xk2
4
yh2,h,k
4
Z


Bài 176: Giải hệ phương trình:
−− =



+=−


tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos2y 3cos2x 1 (2)




Ta có:
tgx tgy 1 tgxtgy

=+


()
2
1tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1tgxtgy 0
1tgx 0(VN)

+=
−=⎧
⎪⎪
⇔∨−=
⎨⎨
+≠



+=


(
xy k kZ
4
π
⇔−=+π ∈
)
,
với
x, y k
2
π




xy k
4
π
⇔=++π,
với
x, y k
2
π



Thay vào (2) ta được:
cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π
⎛⎞
+
++ π=−
⎜⎟
⎝⎠


cos 2 3 s 2 1
31 1
s2 cos2 sin2
222 6
yiny
in y y y
⇔− =−
π
⎛⎞
⇔−=⇔−
⎜⎟
⎝⎠
1
2
=


()
5
222 2
66 6 6
y h hay y h h Z
ππ π π
⇔−=+π −=+π ∈


,,
62
(lọai)yhhhayyhh
ππ
⇔=+π ∈ =+π ∈


Do đó:
Hệ đã cho
()
()
5
6
,
6
xkh
hk Z
yh
π

=++π


⇔∈

π

=+π




Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)
sin x sin y cos x 0 (2)

−+=


−+=



Lấy (1) + (2) ta được:
33
sin x cos x 0
+
=

33
3
sin x cos x
tg x 1
tgx 1
xk(k
4
⇔=−
⇔=−
⇔=−
π
⇔=−+π∈Z)

Thay vào (1) ta được:
(
)
32
sin y cos x cos x cos x 1 cos x=− = −


==
2
1
cos x.sin x sin 2x sin x
2


ππ
⎛⎞⎛
=− −+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
1
sin sin k
22 4

π




π
⎛⎞
=− − + π
⎜⎟
⎝⎠
1
sin k
24





=





2
(nếu k chẵn)
4
2
(nếu k lẻ)
4

Đặt
2
sin
4
α=
(với
02
<
α< π
)
Vậy nghiệm hệ
()
ππ
⎧⎧
=− + π ∈ =− + + π ∈
⎪⎪
⎪⎪

⎨⎨
=α+ π ∈ =−α+ π ∈
⎡⎡
⎪⎪
⎢⎢
⎪⎪
=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈
⎣⎣
⎩⎩




x2m,m x 2m1,m
44
yh2,h y 2h,h
yh2,hyh2,h


II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Bài 178:
Giải hệ phương trình:
()
()
1
sin x.cos y 1
2
tgx.cotgy 1 2

=−



=



Điều kiện:
cos x.sin y 0


Cách 1: Hệ đã cho
() ()
11
sin x y sin x y
22
sin x.cos y
10
cos x.sin y

+
+−=
⎡⎤
⎣⎦





−=





()
(
)
() ()
()
+
+−=⎧



−=



+
+−=⎧



−=


sin x y sin x y 1
sin x cos y sin y cos x 0
sin x y sin x y 1
sin x y 0



(
)
()
+=−




−=


π

+=−+ π ∈




−=π ∈



sin x y 1
sin x y 0
xy k2,k
2
xy h,h


()
()
ππ

=− + + ∈




ππ

=− + − ∈





x2kh,k,h
42
y2kh,k,h
42
(nhận do sin y cos x 0)

Cách 2:
()
sin x cos y
21
cos xsin y

=

=sin x cos y cos xsin y



() ( )
()
()
() ()(
() ()(
1
sin cos 3
2
1
cos sin 4
2
sin 1 3 4
sin 0 3 4
Thế 1 vào 2 ta được:
xy
xy
xy
xy

=−




=−


+=− +⎧



−= −


)
)

2,
2
,
xy k k
xyhh
π

+
=− + π ∈




−=π∈





()
()
()
2
42
,
2
42
xkh
hk Z
ykh
ππ

=− + +


⇔∈

ππ

=− + −




III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ

Bài 179: Giải hệ phương trình:

()
()
23
1
3
23
cotg cotg 2
3
tgx tgy
xy

+=





+=




Đặt
==
X
tgx, Y tgy

Hệ đã cho thành:
23 23
XY XY
33
1 1 23 Y X 23
X
Y3 YX
⎧⎧
+= +=
⎪⎪
⎪⎪

⎨⎨
+
⎪⎪
+=− =−
⎪⎪
⎩⎩
3


2
23
XY
23
XY
3
3
23
XY 1
X
X10
3
X3 3
X
3
3
Y
Y3
3


+=

+=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=−

−=



⎧⎧
=
=−
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩

Do đó:
Hệ đã cho :
tgx 3 3
tgx
3
3
tgy
tgy 3
3
⎧⎧
=
=−
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩

,,
36
,,
63
ππ
⎧⎧
=+π∈ =−+π∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=− +π ∈ = +π ∈
⎪⎪
⎩⎩


xkk x kk
yhhyhh



Bài 180: Cho hệ phương trình:
1
sin x sin y
2
cos 2x cos 2y m

+=



+
=


a/ Giải hệ phương trình khi
1
m
2
=


b/ Tìm m để hệ có nghiệm.

Hệ đã cho
()()
22
1
sin x sin y
2
12sinx 12siny m

+=




−+−

=


()

+=






+=



+=





+− =−


22
2
1
sin x sin y
2
2m
sin x sin y
2
1
sin x sin y
2
m
sin x sin y 2sin x sin y 1
2



+=





−=


1
sin x sin y
2
1m
2sinxsiny 1
42




+=





=− +


1
sin x sin y
2
3m
sin x sin y
84

Đặt
X
sin x, Y sin y với X , Y 1== ≤

thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình
()
2
1m3
tt 0
248
−+−=
*

a/
()
=−
1
Khi m thì * thành :
2


−−=
⇔−−=
⇔=∨=−
2
2
11
tt 0
22
2t t 1 0
1
t1t
2

Vậy hệ đã cho
sin x 1 1
sin x
2
1
sin y
sin y 1
2
=
⎧⎧
=

⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩


2, (1) ,
26
(1) ,
2,
6
2
ππ
⎧⎧
=+ π∈ =−− +π∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
π
π
⎪⎪
=−− + π ∈
=+ π∈
⎪⎪
⎩⎩




h
h
xkk x hh
yhh
ykk

b/ Ta có :
()
2
m1
*t
42
⇔=−++
3
t
8

Xét
()
[]
2
13
yt t CtrênD 1,1
28
=− + + = −

thì:
1
y' 2t
2
=− +


1
y' 0 t
4
=⇔=


Hệ đã cho có nghiệm
(
)
[
]
* có 2 nghiệm trên -1,1⇔


()
m
dy
4
⇔=
cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc
[
]
trên -1,1


⇔− ≤ ≤
⇔− ≤ ≤
1m 7
8416
17
m
24

Cách khác
2
() 8 4 3 2 0⇔=−−+=ycbt f t t t m có 2 nghiệm t
1
, t
2
thỏa
12
11⇔− ≤ ≤ ≤tt
/
28 16 0
(1) 1 2 0
(1) 9 2 0
1
11
24

Δ= − ≥

=+ ≥




−=+ ≥


−≤ = ≤


m
af m
af m
S
17
24
⇔− ≤ ≤m



Bài 181: Cho hệ phương trình:
2
2
sin x mtgy m
tg y m sin x m

+=


+
=



a/ Giải hệ khi m = -4
b/ Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm.

Đặt
X
sin x=
với
X
1



Ytgy=
Hệ thành:
(
)
()
2
2
X
mY m 1
YmXm 2

+=


+=



Lấy (1) – (2) ta được:
(
)
22
X
YmYX0

+−=


()
(
)
X
YX Y m 0
X
YYmX
⇔− +−=
⇔=∨=−

Hệ thành
()
2
2
=−
=



⎨⎨
+
−=
+=



YmX
XY
hay
X
mm X m
XmXm


() ( )
222
X
YYmX
X
mX m 0 * X mX m m 0 * *
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+−= −+−=
⎪⎪
⎩⎩

a/Khi m = -4 ta được hệ

()
()
2
2
Y4X
XY
X
4X 20 0 vô nghiệm
X4X40
X2loạidoX1
Y2
=− −
=




⎨⎨
++=
−+=




=≤



=



Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4.
b/ Ta có (*)
2
X
mX m 0 với X 1⇔+ −= ≤


()
()
2
2
Xm1X
X
m do m không là nghiệm của *
1X
⇔= −
⇔=


Xét
[
)
()
22
2
X
X2X
Ztrên1,1Z'
1X
1X
−+
=−⇒=


;

Z' 0 X 0 X 2=⇔ =∨ =


Do đó hệ
()
2
XYX1
X
mX m 0

=≤


+−=


có nghiệm
m0



Xét (**):
22
X
mX m m 0−+−=

Ta có
()
22 2
m4mm 3m4mΔ= − − =− +

4
00m
3
Δ≥ ⇔ ≤ ≤

Kết luận:

Khi
m
thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm
0≥


Khi < thì (I) vô nghiệm mà (**) cùng vô nghiệm m
0

Δ
(do < 0)
nên hệ đã cho vô nghiệm
Do đó: Hệ có nghiệm
m0



Cách khác
Hệ có nghiệm (*)hay ⇔=+−=
2
f(X) X mX m 0
(**) có nghiệm trên [-1,1] =− + −=
22
g(X) X mX m m 0

(1) (1) 0ff⇔− ≤
2
1
40
(1) 0
(1) 0
11
22
mm
af
hay
af
m
S

Δ= + ≥





−≥



−≤ = ≤



hay
(1)(1) 0gg−≤
2
2
2
2
34
(1) 1 0
(1) ( 1) 0
11
22
mm
ag m
hay
ag m
Sm

Δ=− + ≥

0

=+≥



=
−≥


−≤ = ≤



12 0m⇔− ≤
2
1
40
12 0
22
mm
hay m
m

Δ= + ≥

−≥


−≤ ≤

hay m = 1 hay


4
0m
3

m0⇔≥






IV. HỆ KHÔNG MẪU MỰC


Bài 182: Giải hệ phương trình:
⎧π
⎛⎞
+
⎜⎟

⎪⎝

π
⎛⎞

+
⎜⎟

⎝⎠

tgx cotgx = 2sin y + (1)
4
tgy cotgy = 2sin x - (2)
4



Cách 1:
Ta có:
22
sin cos sin cos 2
tg cotg =
cos sin sin cos sin 2
αα α+α
α+ α + = =
α
ααα α

Vậy hệ đã cho
⎧π
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠



π
⎛⎞

=−
⎜⎟

⎝⎠

1
sin y (1)
sin 2x 4
1
sin x (2)
sin 2y 4


⎧π
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎪⎝


π
⎛⎞

=−
⎜⎟

⎝⎠

1sin2xsiny (1)
4
1 sin 2y.sin x (2)
4


Ta có: (1)
==
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
ππ
⎨⎨
⎛⎞ ⎛⎞
+= +=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎩
sin2x 1 sin2x 1
sin y 1 sin y 1
44


ππ
⎧⎧
=+π∈ =−+π∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=+ π∈ =− + π∈
⎪⎪
⎩⎩


xk,k x k,k
44
3
yh2,h y h2,h
44

Thay
π

=+π∈



π

=+ π∈




xk,k
4
yh2,h
4
vào (2) ta được
sin 2y.sin x sin .sin k 0 1
42
ππ
⎛⎞
−= π=≠
⎜⎟
⎝⎠
(loại)
Thay
−π

=+π∈



π

=− + π ∈




xk,k
4
3
yh2,h
4
vào (2) ta được
πππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
−= − −+π
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
3
sin 2y.sin x sin sin k
422






π
⎛⎞
=−+π=

⎜⎟

⎝⎠

1( nếuklẻ)
sin k
2
1 ( nếu k chẵn)

Do đó hệ có nghiệm

()
()
π

=− + + π





π

=− + π


x2m1
4
m, h Z
3
yh2
4

Cách 2:
Do bất đẳng thức Cauchy
tgx cotgx 2+≥

dấu = xảy ra
1
tgx cotgx tgx=
tgx
⇔= ⇔
tgx 1⇔=±

Do đó:
tgx+cotgx 2 2sin y
4
π
⎛⎞
≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = tại (1) chỉ xảy ra khi
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
ππ
⎨⎨
⎛⎞ ⎛⎞
+= +=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎩
ππ
⎧⎧
=+π ∈ =−+π ∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=+ π ∈ =− + π ∈
⎪⎪
⎩⎩


tgx 1 tgx 1
sin y 1 sin y 1
44
x k,k x k,k
44
(I) (II)
3
yh2,h y h2,h
44

thay (I) vào (2):
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
tgy cotgy=2sin x -
4

ta thấy không thỏa
22sink 0=π=
thay (II) vào (2) ta thấy
π
⎛⎞
=
−+π
⎜⎟
⎝⎠
22sin k
2

chỉ thỏa khi k lẻ
Vậy: hệ đã cho
()
π

=− + + π


⇔∈

π

=− + π



x2m1
4
,m,h
3
y2h
4


Bài 183: Cho hệ phương trình:

()
2
xym (1)
2 cos2x cos 2y 1 4 cos m 0 (2)
−=



+−− =


Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

Hệ đã cho
()()
2
xym
4cos x y cos x y 1 4cos m
−=




+−=+


()
() ()
() ()
−=




−+ + +=


−=




−++− +


−=




−++ +=


2
22
22
xym
4cos x y cosm 4cos m 1 0
xym
[2 cos m cos x y ] 1 cos x y 0
xym
[2 cos m cos x y ] sin x y 0
=

()
()

−=

⇔+=


+=

xym
cos x y 2 cos m
sin x y 0


−=


⇔+=π∈


π=


xym
xyk,k
cos(k ) 2 cos m

Do đó hệ có nghiệm
π
π
⇔=±+π∨=± +π∈

2
mh2m h2,h
33


BÀI TẬP

1. Giải các hệ phương trình sau:
a/
22
sin x sin y 2
tgx tgy tgxtgy 1
f/
3sin2y 2 cos4x
sin x sin y 2
+=
+
+=


⎨⎨
−=
+=






=−
−=


⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪
=
+=




1
3
sin x sin y
sin x sin 2y
2
2
b/ g/
1
1
cosxcosy
cos x cos 2y
2
2


(
)
(
)
2
2
cos x y 2cos x y
2cosx 1 cosy
c/ h/
3
cos x.cos y
2sinx siny
4
1
sin x 7cos y
sin x cos y
d/ k/
4
5siny cosx 6
3tgx tgy
tgx tgy 1
sin x cos xcos y
e/ l/
xy
tg tg 2
cos x sin x sin y
22
+
=−


=+
⎪⎪
⎨⎨
=
=





=
=


⎨⎨
=−


=

+=


=
⎪⎪
⎨⎨
+=
=





2.Cho hệ phương trình:
2
cos x cos y m 1
sin x sin y 4m 2m
=+


=+

a/ Giải hệ khi
1
m
4
=−

b/ Tìm m để hệ có nghiệm
⎛⎞
−≤≤−
⎜⎟
⎝⎠
31
ĐS m hay m=0
44

3. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:

()

+=


+= ++


22
2
ytgx1
y 1 ax a sin x ĐS a= 2

4. Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm.

3
2
3
cos x m cos y
sin x cos y m
a/ b/
sin y cos x m
sin x m cos y

=

=

⎨⎨
=
=




()
≤≤ĐS 1 m 2

⎛⎞
+
≤≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1- 5 1 5
ĐS m
22


Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×