Tải bản đầy đủ

Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 7 docx

CHƯƠNG VII

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN

Cách giải : Áp dụng các công thức

A
0B
AB
0
A
BA
≥≥
⎧⎧
=⇔ ⇔
⎨⎨
B
=

=
⎩⎩


2
B0
AB
A
B


=⇔

=


Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng
giác nên ta xử lý điều kiện
B
bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ
0≥
các bài toán quá phức tạp.

Bài 138 : Giải phương trình
(
)
5cos x cos2x 2sin x 0 *−+=

()
* 5cos x cos2x 2sin x⇔−=−

2
sin x 0
5cos x cos 2x 4sin x




−=


()(
22
sin x 0
5cosx 2cos x 1 4 1 cos x





−−=−


)
=

2
sin x 0
2cos x 5cosx 3 0




+−


()
sin x 0
1
cosx cosx 3 loại
2





=∨ =−








π

=± + π ∈


π
⇔=−+ π∈


sin x 0
xk2,k
3
xk2,k
3


Bài 139 : Giải phương trình
333 3
sinx cosx sinxcotgx cosxtgx 2sin2x++ + =

Điều kiện :
cos x 0
sin 2x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
sin 2x 0





≠⇔ ⇔ >
⎨⎨






Lúc đó :
()
332 2
* sinxcosxsinxcosxcosxsinx 2sin2x⇔++ + =
()
(
)
22
sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin 2x⇔+++=

(
)
()
22
sin x cos x sin x cos x 2sin 2x⇔+ + =

()
2
sin x cos x 0
sin x cos x 2sin 2x
+≥




+=



()
sin x 0
2sin x 0
4
4
sin2x 1 nhận do sin2x 0
1 sin 2x 2sin 2x
⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
+≥
+≥
⎪⎪
⎜⎟
⎜⎟
⇔⇔
⎝⎠
⎝⎠
⎨⎨
⎪⎪
=
>
+=



()
⎧π ⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
πππ
⎪⎪
=+π∈ =+ π∨= + π ∈
⎪⎪
⎩⎩

sin x 0 sin x 0
44
5
xk,k xm2x m2loại,m
444

π
⇔=+ π ∈xm2,m
4


Bài 140 : Giải phương trình
()
π
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
2
1 8 sin 2x.cos 2x 2 sin 3x *
4
+

Ta có : (*)
22
sin 3x 0
4
1 8sin 2x cos 2x 4 sin 3x
4
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟

⎪⎝ ⎠


π
⎛⎞

+=
⎜⎟

⎝⎠

+


()
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟

⎪⎝ ⎠


π



++=−+






sin 3x 0
4
14sin2x1cos4x 21cos(6x )
2


()(
sin 3x 0
4
1 4sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2 1 sin 6x
⎧π
⎛⎞
+≥

⎜⎟

⎝⎠


++ −=+

)


⎧π⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
ππ
⎪⎪
= = +π∨ = +π ∈
⎪⎪
⎩⎩

sin 3x 0 sin 3x 0
44
15
sin 2x x k x k , k
21212

So lại với điều kiện
sin 3x 0
4
π
⎛⎞
+

⎜⎟
⎝⎠

Khi x k thì
12
π
•=+π

sin 3x sin 3k cos k
42
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
+= +π=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
π

()
(
)
()
()

=




1 , nếu k chẵn nhận
1, nếu k lẻ loại

π
•=+π
5
Khi x k thì
12

ππ π
⎛⎞⎛ ⎞⎛
+= +π= −+π
⎜⎟⎜ ⎟⎜
⎝⎠⎝ ⎠⎝
3
sin 3x sin 3k sin k
42 2





(
)
()


=



1, nếu k chẵn loại
1, nếu k lẻ nhận

Do đó
() ()
ππ

=+π∨=+ +π∈

5
*x m2x 2m1,m
12 12

Bài 141 : Giải phương trình
()
1sin2x 1sin2x
4cosx *
sin x
−++
=

Lúc đó :
()
* 1 sin2x 1 sin 2x 2sin 2x⇔− ++ =
( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )
22
2 2 1 sin 2x 4 sin 2x
sin 2x 0


+− =






22
1 sin 2x 2sin 2x 1
sin 2x 0


−=







242
2
1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1
1
sin 2x
2
sin 2x 0

−= −


⇔≥





+

()
22
sin 2x 4 sin 2x 3 0
1
sin 2x
2

−=









=∨ =








33
sin 2x sin 2x
22
2
sin 2x
2

3
sin 2x
2
⇔=

ππ
⇔ =+π∨ = +π∈

2
2x k2 2x k2 , k
33

ππ
⇔ = +π∨ = +π ∈

xkxk,k
63

Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trò tuyệt đối
()





−++=


⇔−++=
sin x 0
*
cosx sinx cosx sinx 2sin2x
cos x sin x cos x sin x 2sin 2x


Bài 142 : Giải phương trình
()
+++=sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 *

Đặt
sin
3
tsinx 3cosxsinx cosx
cos
3
π
=+ =+
π

1
tsinx2sinx
33
cos
3
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⇔= + = +
⎜⎟ ⎜⎟
π
⎝⎠ ⎝⎠

()
+=*thành t t 2
⇔=−
−≥ ≤
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
=− + − +=
⎩⎩


⇔⇔=

=∨=

22
t2t
2t 0 t 2
t44tt t 5t40
t2
t1
t1t4

Do đó
()

*
πππ ππ
⎛⎞
⇔ + =⇔+=+π += +π∈
⎜⎟
⎝⎠

15
sin x x k2 hay x k2 , k
32 36 36

ππ
⇔=−+ π∨=+ π∈

xk2xk2,k
62


Bài 143
: Giải phương trình
()
(
)
(
)
++=+3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3 cos x *
Chia hai vế của (*) cho
cos x 0

ta được
() ()
(
)
* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔++=+
Đặt
utgx1vớiu=+ ≥0
x

Thì
2
u1tg−=
(*) thành
()
(
)
22
3u u 1 5 u 2+= +

32
3u 5u 3u 10 0⇔ − +−=

()
(
)
2
u23u u5 0⇔− ++=

(
)
2
u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔=∨ ++=

Do ủoự
()

* tgx 1 2+=

tgx 1 4+=

tgx 3 tg vụựi
22



== <<


,xkk



=+



Baứi 144 : Giaỷi phửụng trỡnh
()
()
1
1 cos x cos x cos2x sin 4x *
2
+ =


()
()
* 1 cosx cosx cos2x sin2xcos2x + =



+

=

cos x 0
hay 1 cos x cos x sin 2x
cos 2x 0
=










=+


+ =


2
cos x 0
cos x 0
hay sin 2x 0
2x k , k
2
12(1cosx)cosxsin2x










=+


+ =


2
cos x 0
cos x 0
hay sin 2x 0
xk,k
42
12(1cosx)cosxsin2x(VT1VP)











= + = +
=




=


2
cos x 0
cos x 0
sin 2x 0
hay
5
xhhayx h,h
sin 2x 1
44
(1 cosx)cosx 0


=+
==


=
= ===

xh,h
4
sin 2x 1 sin 2x 1
hay hay
cosx0( sin2x0) cosx1( sinx0 sin2x0)



=+ xh,h
4

Baứi 145
: Giaỷi phửụng trỡnh
(
)
(
)
(
)
33
sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *++ +=
()
33
sinx cosx cosx sinx
*sinx cosx 2sinxcos
sin x cos x
++

+=


x


()
()
22
sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x+ + =


sin x cos x 0
1 sin 2x 2sin 2x
+



+=




+


+





=



=
+



sin x 0
sin x cos x 0
4
sin 2x 1
xk,k
4


⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟


⎝⎠


ππ

+=+π∈



sin x 0
4
xk,k
42

⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟


⎝⎠


ππ π π

+=+ π += + π∈



sin x 0
4
3
xh2hayx h2,h
42 4 2

π
⇔=+ π∈xh2,h
4


Bài 146 : Giải phương trình
()
cos 2x 1 sin 2x 2 sin x cos x *++ = +
Điều kiện cos 2x 0 và sin x 0
4
π
⎛⎞
≥+
⎜⎟
⎝⎠


Lúc đó :
() ()
2
22
* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔−++=+

() ()
22
22
cos x sin x cos x sin x 2 cos 2x cos x sin x⇔−++ + +


()
4sinx cosx=+
()
(
)
(
)
cosx cosx sinx sinx cosx cos2x 2 sinx cosx⇔+++ =+
sin x cos x 0
cos x cos 2x 2
+=



+=


()
tgx 1
cos2x 2 cos x * *
=−



=−



2
tgx 1
cos2x 4 4 cos x cos x
=−



=− +


2
tgx 1 cos x 4 cos x 5 0⇔=−∨ + −=

(
)
tgx1cosx1cosx5loại⇔=−∨ =∨ =−

π
⇔=−+π∨= π∈

xkxk2,k
4

Thử lại :
()
ππ
⎛⎞
•=−+π = − =
⎜⎟
⎝⎠
x k thì cos 2x cos 0 nhận
42


()
sin x sin k 0 nhận
4
π
⎛⎞
+= π=
⎜⎟
⎝⎠

(
)
•=π =x k2 thì cos 2x 1 nhận


()
cos x cos 0 nhận
44
ππ
⎛⎞
+= >
⎜⎟
⎝⎠

Do đó (*)
π

=− + π∨ = π ∈

xkxk2,k
4

Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực
()
cos x cos 2x 2
**
sin x cos x 0

+=



+≥



2
cos x 1
cos 2x 2cos x 1 1
sin x cos x 0
=


⇔=−


+≥

=
π∈

=

⇔⇔=

+≥


cos x 1
x2k,k
sin x cos x 0

Cách khác
() ()
2
22
* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔−++=+

()
⇔+ −+ += +
2
(cos x sin x).(cos x sin x ) cos x sin x 2 cos x sin x

()
+>


⇔+=


++=


cos x sin x 0
cos x sin x 0 hay
cos x sin x cos x sin x 2

+>


⇔=−

+
=


cos x sin x 0
tgx 1 hay
2cosx2cos2x4

+>


⇔=−

+
=


cos x sin x 0
tgx 1 hay
cos x cos 2x 2

=

π
⇔=−+π∈

=


cos x 1
xk,khay
cos 2x 1
4

π
⇔=−+πxkhay
=π∈
4

x2k,k

( nhận xét: khi cosx =1 thì sinx = 0 và sinx + cosx = 1 > 0 )

BÀI TẬP
1. Giải phương trình :
a/
1sinx cosx 0++=

b/
2
2
4x
cos cos x
3
0
1tgx

=


c/
sin x 3 cos x 2 cos 2x 3 sin 2x+=++

d/
2
sin x 2sinx 2 2sinx 1

+= −

e/ =−

3tgx
23sinx 3
2sinx 1

f/
24
sin 2x cos 2x 1
0
sin cos x
+−
=

g/
+− +=
2
8cos4xcos 2x 1 cos3x 1 0

h/
2
sin x sin x sin x cos x 1++ +=

k/
2
5 3sin x 4 cos x 1 2 cos x−−=−

l/
2
cos2x cos x 1 tgx=+

2. Cho phương trình :
(
)
1sinx 1sinx mcosx1++−=
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1)
3. Cho f(x) = 3cos
6
2x + sin
4
2x + cos4x – m
a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0
b/ Cho
()
22
gx 2cos2x3cos2x 1=+. Tìm tất cả các giá trò m để phương
trình f(x) = g(x) có nghiệm.
()
ĐS : 1 m 0≤≤

4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
12cosx 12sinx m+++=


(
)
ĐS : 1 3 m 2 1 2+≤≤ +

B) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách giải : 1/ Mở giá trò tuyệt đối bằng đònh nghóa
2/ Áp dụng

A
BA•=⇔=±B



≥≥

⎧⎧
•=⇔ ⇔ ⇔ ∨
⎨⎨ ⎨⎨
<

=
±=
=
⎩⎩

22
B0
B0 A0 A0
AB
=−

A
BAB
AB
AB


Bài 147 : Giải phương trình
(
)
cos 3x 1 3 sin 3x *=−
()
22
13sin3x0
*
cos 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x

−≥



=− +










−=− +

22
1
sin 3x
3
1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x








−=

2
1
sin 3x
3
4sin 3x 2 3sin3x 0








=∨ =


1
sin 3x
3
3
sin 3x 0 sin 3x
2


⇔=
π
⇔= ∈

sin 3x 0
k
x,k
3

Bài 148 : Giải phương trình
(
)
3sinx 2 cosx 2 0 *+−=

()
*2cosx23sin⇔=−x


22
23sinx 0
4cos x 4 12sinx 9sin x
−≥



=− +


()






−=− +

22
2
sin x
3
41 sin x 4 12sinx 9sin x








−=

2
2
sin x
3
13sin x 12sin x 0









=∨ =


2
sin x
3
12
sin x 0 sin x
13


⇔=
⇔=π∈

sin x 0
xk,k

Bài 149 : Giải phương trình
(
)
sin x cos x sin x cos x 1 *++=

Đặt tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện : 0t 2≤≤
Thì
2
t12sinxcos=+ x
Do đó (*) thành :
2
t1
t1
2

+
=

()
2
t2t30
t1t 3loại
⇔+−=
⇔=∨=−

Vậy
()

⇔*
2
112sinxcos=+ x
⇔=
π
⇔= ∈
sin 2x 0
k
x,k
2

Bài 150 : Giải phương trình
(
)
sin x cos x 2sin 2x 1 *−+ =

Đặt
()
t sin x cos x điều kiện 0 t 2=− ≤≤

Thì
2
t1sin2=− x
()
()
2
*thành:t 21 t 1+−=

()
2
2t t 1 0
1
t 1 t loại diều kiện
2
⇔−−=
⇔=∨=−

khi t = 1 thì
2
11sin2=− x
⇔=
π
⇔= ∈
sin 2x 0
k
x,k
2

Baøi 151 : Giaûi phuông trình
(
)
44
sin x cos x sin x cos x *−=+

()
()()
2222
* sin x cos x sin x cos x sin x cos x⇔+ −=+


cos 2x sin x cos x⇔− = +


2
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
−≥




=+




2
cos 2x 0
1 sin 2x 1 sin 2x





−=+




2
cos2x 0
sin 2x sin 2x





=−




cos2x 0
sin 2x 0




=


2
cos 2x 0
cos 2x 1
cos 2x 1


⇔⇔

=

=−

π
⇔=+π∈xk,k
2


Baøi 152 : Giaûi phöông trình
()
2
3sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *−=+
Ta coù :
()
(
)
22
* 23sinxcosx 2cosx 22 22cosx 1

−=+ −


31
cosx sinx cosx cosx
22
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=

cos x.sin x cos x
6
π
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠


cos x 0 cos x 0
cos x 0
sin x 1 sin x 1
66
><
⎧⎧
⎪⎪
⇔=∨ ∨
ππ
⎨⎨
⎛⎞ ⎛⎞

=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎩
=−

><
⎧⎧
⎪⎪
⇔=∨ ∨
ππ π π
⎨⎨
−=+ π∈ −=−+ π∈
⎪⎪
⎩⎩


cos x 0 cos x 0
cos x 0
xk2,kx k2,k
62 6 2

><
⎧⎧
π
⎪⎪
⇔=+π∈∨ ∨
ππ
⎨⎨
=
+π∈ =−+π∈
⎪⎪
⎩⎩



cos x 0 cos x 0
xk,k
2
2
xk2,kx k2,k
33

π
⇔=+π∈
xk,k
2


Bài 153 : Tìm các nghiệm trên
(
)
0, 2
π
của phương trình :
()
sin 3x sin x
sin 2x cos 2x *
1cos2x

=+


Ta có :
()
2cos2xsinx
*2co
4
2sinx
s2x
π
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠


Điều kiện :
sin x 0 x k≠⇔≠π
()
Khi x 0, thìsin x 0nên :•∈π >

()
*2cos2x2cos2x
4
π
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠



()
π
⎛⎞
⇔=± −+π∈
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔=+π∈
ππ
⇔= + ∈
π
π
∈π = =



2x 2x k2 , k
4
4x k2 , k
4
k
x,k
16 2
9
Do x 0, nên x hay x
16 16

Khi
(
)
x,2∈π π
thì sinx < 0 nên :
()
()
()
π
⎛⎞
⇔− = −
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
⇔π−= −
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔−=±π− +π∈
π
⇔=+π∈
ππ
⇔= + ∈



*cos2xcos2x
4
cos 2x cos 2x
4
2x 2x k2 , k
4
5
4x k2 , k
4
5k
x,k
16 2

Do
(
)
x,2∈π π

π
π
=
∨= •
21 29
nên x x
16 16


Bài 154
Cho phương trình :
66
sin x cos x a sin 2x (*)+=

Tìm a sao cho phương trình có nghiệm.

Ta có :

(
)
(
)
()
+= + − +
=+ −
=−
66 224224
2
22 22
2
sinx cosx sinx cosx sinx sinxcosx cosx
sin x cos x 3sin x cos x
3
1sin2x
4

Đặt t =
sin 2x
điều kiện
0t1



thì (*) thành :
()
−=
2
3
1tat**
4


13
ta
t4
⇔− =
(do t = 0 thì (**) vô nghiệm)
Xét
(
]
=− =
13
yttrênD
t4
0,1

thì
2
13
y' 0
t4
=− − <


Do đó : (*) có nghiệm
1
a
4
⇔≥•


Bài 155 Cho phương trình
(
)
=+
2
cos 2x m cos x 1 tgx *
Tìm m để phương trình có nghiệm trên
0,
3
π








Đặt t = tgx thì
Vậy : (*) thành:
(
)
2
1t m1t**−= + (chia 2 vế cho )
2
cos 0≠
Khi
0x
3
π
≤≤
thì
t0,3
⎡⎤

⎣⎦

Vậy (**)
(
)
(
)
()
2
1t1t
1t
m1
1t 1t
−+

⇔= = =− +
++
t1t

Xét
()
y1t1ttrên0,3


=− +




Ta có
()
(
)
(
)
−−++−
=− + + =
++
−−
⎡⎤
⇔= <∀∈
⎣⎦
+
1t 21t 1t
y' 1 t
21 t 21 t
3t 1
y' 0 t 0, 3
21 t


Do đó : (*) có nghiệm trên
0,
3
π







(
)
1313m1

−+≤≤•


BÀI TẬP


1. Giải các phương trình
2
2
a/ sin x cox 1 4sin 2x
b/ 4 sin x 3 cos x 3
1
c/ tgx cot gx
cos x
11 1 13cos
d/ 2 2
sin x 1 cos x 1 cos x sin x
1
e/ cot gx tgx
sin x
f/ 2cos x sin x 1
1cosx 1cosx
g/ 4sin x
cos x
1cos2x 1
h/ 2 cos x
sin x 2
m/ cos 2x 1
−=−
+=
=+
⎛⎞
+
+−=−
⎜⎟
−+
⎝⎠
=+
−=
++−
=

⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
++
x
33
2
sin x cos x
sin 2x
2
n/ cos x sin 3x 0
1
r/ cot gx tgx
sin x
s/ cosx 2sin2x cos3x 1 2sinx cos2x
tg x 1
o/ tgx 1
tgx 1 tgx 1
p/ sin x cos x sin x cos x 2
+
=
+=
=+
+−=+−
=++
−−
−++=

2.
sin x cos x a sin 2x 1++ =

Tìm tham số a dương sao cho phương trình có nghiệm
3. Cho phương trình:
sin x cos x 4 sin 2x m−+ =

a/ Giải phương trình khi m = 0
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS
65
24m
16
−≤ ≤
)

Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×