Tải bản đầy đủ

mot so chuyen de dai so

Họ và tên: Huỳnh Nguyên Ngân Hạ
Lớp: 10A
1
Năm học: 2008 – 2009.
BÀI THAM GIA CUỘC THI “ GIẢI TOÁN SƠ CẤP THEO CHUYÊN
ĐỀ”
KHỐI 10: BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ ỨNG DỤNG
I/ Tóm tắt kiến thức:
Đònh nghóa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ
hơn),

(lớn hơn hoặc bằng),

(nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có: A > B

A – B > 0 ; A

B


A – B

0
− Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A

B, A

B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của
bất đẳng thức.
− Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và
E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều.
− Nếu ta có A > B

C > D, ta nói bất đẳng thức C >D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
Nếu ta có A > B

E > F , ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương
đương.
A > B(hoặc A < B) là bất đẳng thức ngặt, A

B ( hoặc A

B) là bất đẳng thức không ngặt.
A

B là A > B hoặc A = B
A

B cũng là bất đẳng thức.
Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép.
Ví dụ: A < B < C
Bất đẳng thức Cô – si( bất đẳng thức trung bình cộng với trung bình nhân)
 Đối với 2 số không âm:

a,b

0, ta có:
2
+a b


ab .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
 Tổng quát:

a
1
, a
2
, a
3
, ......,a
n

0(với n số)
1 2
......+ + +
n
a a a
n
1 2
...
n
n
a a a
Đấu đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= ..... = a
n
 Ứng dụng:
- Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất:
+ Nếu a + b = k( k là hằng số) thì ab

2
( )
2
+a b


ab

2
4
k
=> Max(ab) =
2
4
k
khi a = b=
2
k

+ Nếu ab = p (p là hằng số) thì a + b

2
p
=> Min (a + b) =2
p
khi a = b =
p

- Giải phương trình, hệ phương trình.
II/ Bài tập áp dụng:
Giải bất đẳng thức không điều kiện ràng buột giữa các biến:
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c . CMR:
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2


2
cba
++
Bài giải:
Với a, b, c > 0 ta có:
cb
a
+
2
+
4
cb
+

a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
Tương tự ta có:
ca
b
+
2
+
4
ca
+


b; và
ab
c
+
2
+
4
ba
+

c
=>
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
+
2
cba
++

a + b + c =>
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2


2
cba
++
(đpcm)
Vậy
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2


2
cba
++
Bài 2: Cho3 số dương a, b, c. CMR:
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c
a

a
ac
+ b
ba
+ c
ab
Bài giải:
Ta có:
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c
a
=
3
b
a
+ bc +
3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab – (ac + cb + ab) =
3
b
a
+ bc +
3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab– (
ab
2
+
bc
2
+
ab
2
+
ac
2
+
bc
2
+
ac
2
)

2
3
.
a
bc
c
+ 2
3
.
b
ac
c
+ 2
3
.
c
ab
a
+ 2
.
4
ab bc
- 2
.
4
ab ac
- 2
.
4
bc ac
=
= 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b
ba
- c
ab
= a ac + b
ba
+ c
ab
(đpcm)
Vậy
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c
a

a
ac
+ b
ba
+ c
ab


a, b, c > 0
Bài 3: CMR:

a, b, c > 0 ta có:
ab bc ca
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
+ +
+ + + + + +

a b c
6
+ +
Bài giải:
p dụng bất đẳng thức: (
1 1
a b c
1
+ +
)(a + b + c)

3
3
1
abc
3
3
abc = 9

1
a b c+ +


1
9
(
1 1
a b c
1
+ +
)

ab
a 3b 2c+ +
=
ab
a c b c 2b+ + + +


ab
9
(
1 1
a c b c 2b
1
+ +
+ +
)
Tương tự:
bc
b 3c 2a+ +


bc
9
(
1 1
b a a c 2c
1
+ +
+ +
) và
ca
c 3a 2b+ +


ca
9
(
1 1
b c 2a
1
b a
+ +
+ +
)
VT


ab
9
(
1 1
a c b c 2b
1
+ +
+ +
)+
bc
9
(
1 1
b a a c 2c
1
+ +
+ +
)+
ca
9
(
1 1
b c 2a
1
b a
+ +
+ +
) = (
ab
9
+
bc
9
)
1
a c+
+
(
ab
9
+
ca
9
)
1
b c+
+ (
bc
9
+
ca
9
)
1
b a+
+
a
18
+
b
18
+
c
18
=
b(a c)
9(a c)
+
+
+
a(b c)
9(b c)
+
+
+
c(b a)
9(b a)
+
+
+
a
18
+
b
18
+
c
18
=
=
a
9
+
b
9
+
c
9
+
a
18
+
b
18
+
c
18
=
a
6
+
b
6
+
c
6
=
a b c
6
+ +
= VP
Vậy
ab bc ca
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
+ +
+ + + + + +

a b c
6
+ +

a, b, c > 0
Bài 4:Cho a, b, c > 0. CMR:
ab
c(c a)+
+
bc
a(a b)+
+
ca
b(b c)+


a
a c+
+
b
a b+
+
c
b c+
(1)
Bài giải:
Bất đẳng thức đã cho tương dương:

b a
.
c c a+
+
c
.
a
b
a b+
+
a c
.
b b c+


a
a c+
+
b
a b+
+
c
b c+

b 1
.
c
c
1
a
+
+
c
.
a
a
b
1
1+
+
a 1
.
b
b
1
c
+

1
c
1
a
+
+
a
b
1
1+
+
1
b
1
c
+
Đặt
a
b
= x,
b
c
= y,
c
a
=z =>
a
b
.
b
c
.
c
a
= xyz = 1 và z, y, x > 0

BĐT:y.
1
z 1+
+ z.
1
x 1+
+ x.
1
y 1+



1
z 1+
+
1
x 1+
+
1
y 1+

y(x+1)(y+1)+z( y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1)

(x + 1)(y + 1)+( y + 1)(z + 1)+(x + 1)(z + 1)

(y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)( y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1)

0

y
2
x + y
2
– x – 1 + z
2
y + z
2
– y – 1 + x
2
z + x
2
– z – 1

0

( y
2
x+ x
2
z+ z
2
y) + ( y
2
+ z
2
+ x
2
) – (x + y + z) – 3

0 (*)
p dụng bất đẳng thức cô si, ta có:
y
2
x+ x
2
z+ z
2
y

2 2 2
3
3 y x.x z.z y
= 3xyz =3; y
2
+ z
2
+ x
2

2 2 2
3
3 y x z
=
3
3 1
= 3;x + y + z

3
3 yxz 3=
VT của (*)

3 + 3 – 3 – 3 =0 = VP => (*) đúng => (1) đúng
Vậy
ab
c(c a)+
+
bc
a(a b)+
+
ca
b(b c)+


a
a c+
+
b
a b+
+
c
b c+
Bài 5:Cho 3 số dương a, b, c. CMR:
)1(
1
)1(
1
)1(
1
accbba
+
+
+
+
+



)1(
3
33
abcabc
+
Bài giải:
Đặt P =VT.p dụng bất đẳng thức:

x, y, z là các số thực,ta có:(x + y + z)
2


3(xy + yz + zx), suy
ra:P
2



1 1 1
3( )
ab(1 b)(1 c) bc(1 c)(1 a) ca(1 a)(1 b)
+ +
+ + + + + +
=
)1)(1)(1(
))1()1()1((3
cbaabc
cbbaac
+++
+++++
=
=
)1)(1)(1(
)1)1)(1)(1((3
cbaabc
abccba
+++
−−+++

=> P
2



)1)(1)(1(
3
)1)(1)(1(
33
cbaabccbaabc
+++

+++

(1)
Đặt t =
3
abc
.Theo bất đẳng thức Cô - si ta lại có:
(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca)

1 + 3t + 3t
2
+ t
3
= (1 + t)
3
(2)
Từ (1)và (2) suy ra: P
2



3333
)1(
3
)1(
33
tttt
+

+

=
33
33
)1(
)1)1((3
tt
tt
+
−−+
=
22
)1(
9
tt
+

P


)1(
3
tt
+
=
)1(
3
33
abcabc
+
( do P > 0)
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
> 2.
Bài giải:
Đặt a + b + c = t
b c
a
+
.1


b c
1
a
2
+
+
=
b c a
a
2
+ +
=
t
2a
hay
a
b c+

Tương tự:
b
c a+

2b
t

c
a b+

2c
t

a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+

2a
t
+
2b
t
+
2c
t
=
2(a b c)
t
+ +
=
2t
t
= 2
Dấu bằng xảy ra khi:
b c
a
+
= 1,
a c
b
+
= 1,
b a
c
+
= 1

a b c
b a c
c a b
= +


= +


= +



a + b + c = 2(a + b + c)

a + b + c = 0 (*)
Theo giả thiết thì a + b + c

0

(*) không xảy ra. Vậy dấu bằng không xảy ra.

a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
> 2. (đpcm)
Bài 7: Cho x, y, z là các số không âm.CMR:
Bài giải:
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có:
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +

x
2
y
2
z
2


x
3
y
3
+ x
3
z
3
+ y
3
z
3

3x
2
y
2
z
2


6x
3
y
3
+ 6x
3
z
3
+ 6y
3
z
3

18x
2
y
2
z
2

(*)
Lại có: (x
3
– xyz)
2


0

x
6
+ x
2
y
2
z
2

2x
4
yz

x
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +

2x
4
yz (1)
Tương tự: y
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +

2y
4
xz (2)
z
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +

2z
4
xy (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z+ +

2x
4
yz + 2y
4
xz + 2z
4
xy (4)
Từ (4) và (*) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+7
3 3 3 3 3 3
x y 7y z 7x z+ +

2x
4
yz + 2y
4
xz + 2z
4
xy + 18x
2
y
2
z
2

(*’)
Ta có:
6 6 6
x y z
3
+ +

x
2
y
2
z
2
. Do đó: x
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +


2x
4
yz
Tương tự: y
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +

2y
4
xz ; z
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +

2z
4
xy
Cộng theo vế ta có: 2(x
6
+ y
6
+ z
6
)

2x
4
yz + 2y
4
xz + 2z
4
xy

7x
6
+ 7y
6
+ 7z
6


7x
4
yz + 7y
4
xz + 7z
4
xy (5)
Cộng theo vế (*’) và(5) ta có: 8x
6
+8y
6
+8z
6
+7
3 3 3 3 3 3
x y 7y z 7x z+ +

9x
4
y+9y
4
xz+9z
4
xy+ 18x
2
y
2
z
2

8(x
6
+ y
6
+ z
6
+ 2
3 3 3 3 3 3
x y 2y z 2x z+ +
)

9(x
4
y + y
4
xz + z
4
xy+ 2x
2
y
2
z
2

+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z+ +
)

8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2


9(x
2
(y
2
z
2
+ x
2
yz + xy
3
+ xz
3
)+ yz(x
2
yz + xy
3
+ y
2
z
2
+ xz
3
)

8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2


9(x
2
+ yz)( y
2
z
2
+ x
2
yz + xy
3
+ xz
3
)

8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2


9(x
2
+ yz)(y
2
(z
2
+ xy) + xz(z
2
+ xy)) = 9(x
2
+ yz)(y
2
+ xz)(z
2
+ xy)(đpcm)
Vậy 8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2


9(x
2
+ yz)(y
2
+ xz)(z
2
+ xy)
Giải bất đẳng thức có điều kiện ràng buột giữa các biến:
Bài 8: Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh:
yx
yx

+
22


2
2
. Bài giải:
Do x > y => x – y > 0
Ta có:
yx
yx

+
22
=
yx
xyyx

+−
2)(
2
=
yx
yx

+−
2)(
2
= (x – y) +
yx

2

2
yx
yx


2
).(
= 2
2
(p dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương)
Vậy
yx
yx

+
22


2
2
khi xy = 1 và x > y
Bài 9: Cho 4 số không âm a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh:
+ + + + + + +a b b c c d d a


2 2
Bài giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương:

2
( )+ + +a b b c
+
2
( )+ + +c d d a
+ 2
( )+ + +a b b c ( )+ + +c d d a

8

a + b + c + d + 2
( )( )+ +a b b c
+ a + b + c + d + 2
( )( )+ +c d d a
+ 2
( )( )+ +a b c d
+ 2
( )( )+ +a b d a
+ 2
( )( )+ +b c c d
+2
( )( )+ +b c d a ≤
8

2(a + b + c + d)+ 2
( )( )+ +a b b c
+ 2
( )( )+ +c d d a
+ 2
( )( )+ +a b c d
+ 2
( )( )+ +a b d a
+ 2
( )( )+ +b c c d
+2
( )( )+ +b c d a ≤
8
p dụng bất đẳng thức Côsi:
2
( )( )+ +a b b c ≤
a + b + b+ c = a +2b + c; 2
( )( )+ +b c d a ≤
a + b + c + d
2
( )( )+ +c d d a ≤
c + d + d + a = c + 2d + a; 2
( )( )+ +a b c d


a + b + c + d
2
( )( )+ +a b d a


a + b + d + a = 2a + b + d;2
( )( )+ +b c c d


b + c + c + d = b + 2c + d
Cộng theo vế:VT

2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d +
a + b + c + d

8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = 8 = VP (vì a + b + c + d = 1.)
Vậy + + + + + + +a b b c c d d a


2 2
Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = d = 1/4
Bài 10: Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2.CMR:
2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2
Bài giải:
Ta có:
2 2
+x y
=
2
( )+x y
- 2xy =
2
2
- 2xy = 4 – 2xy
Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y

2
xy

2

2
xy


xy

1


2 2
+x y ≤
4 – 2 = 2 và
2 2
x y ≤
1


2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2.1 = 2 (đpcm)
Bài 11:Cho 3 số dương a, b, c thoả a + b + c = 1.CMR: a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −

1
Bài giải:
p dụng bất đẳng thức cô si: a
3
1 b c+ −


a
1 1 1 b c
3
+ + + −
=
3a ba ca
3
+ −
Tương tự: b
3
1 c a+ −


3b bc ba
3
+ −
và c
3
1 a b+ −


3c ac bc
3
+ −
Cộng theo vế: a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −

3a ba ca
3
+ −
+
3b bc ba
3
+ −
+
3c ac bc
3
+ −
=
=
3a ab ca 3b cb ab 3c ca cb
3
+ − + + − + + −
=
3a 3b 3c
3
+ +
=
3(a b c)
3
+ +
=
3
3
= 1 (dpcm)
Vậy a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −

1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thoả a
2
+b
2
+c
2
=1.CMR:
2 2
b
1
c+
+
2 2
1
c a+
+
2 2
1
a b+

3 3 3
a b c
2abc
+ +
+ 3
Bài giải:
Ta có: VT =
2 2 2
2 2
b
a b c
c
+ +
+
+ +
2 2 2
2 2
a
a b c
b
+ +
+
=
2
2 2
b
a
c+
+1 +
2
2 2
c
b
a+
+ 1 +
2
2 2
a
c
b+
+ 1 =
=
2
2 2
b
a
c+
+
2
2 2
c
b
a+
+
2
2 2
a
c
b+
+3


2
a
2bc
+
2
2c
b
a
+
2
2a
c
b
+ 3 =
3 3 3
b ca
2abc
+ +
+ 3 = VP
Vậy
2 2
1
b c
+
+
2 2
1
c a+
+
2 2
1
a b+


3 3 3
a b c
2abc
+ +
+ 3. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
1
3
Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =
3
2
. CMR: B = (1+
3
1
a
)(1+
3
b
1
)(1+
3
c
1
)

729
Bài giải:
Ta có: B = 1 +
3
1
a
+
3
b
1
+
3
c
1
+
3 3
1
a b
+
3 3
c
1
a
+
3 3
b c
1
+
3 3 3
1
a b c
B

1 +3
3
3 3 3
1
a b c
+ 3
3
3 3 3 3 3 3
1
a b c a b c
+
3 3 3
1
a b c
= 1 + 3
1
abc
+ 3
2 2 2
1
a b c
+
3 3 3
1
a b c
= ( 1 +
1
abc
)
3
Mặt khác: abc

(
a b c
3
+ +
)
3
= (
3
2
3
)
3
=
1
8


B

(1+ 1:
1
8
)
3
= 9
3
=729
Vậy B = (1+
3
1
a
)(1+
3
b
1
)(1+
3
c
1
)

729. Dấu bằng xảy ra khi a = b =c =
3
2
: 3 =
1
2
Vậy:
2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2. Dấu bằng xảy ra khi x = y =
2
2
= 1
Bài 14: Cho a,b, c >0 thoả ab+bc+ac

abc. CMR:
8
a b+
+
8
b c+
+
8
a c+


2
b c
a
+
+
2
a b
c
+
+
2
c a
b
+
+ 2
Bài giải:
Ta có: (a + b)
2
(
2
1
a
+
2
1
b
)

4ab.
2
ab
=8

2
1
a
+
2
1
b


2
8
(a b)+

8
a b+

(a + b)(
2
1
a
+
2
1
b
)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×