Tải bản đầy đủ

Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng tt

i (f 1 ) (z),

− νHi (f 1 ) (z)) + 2

Bổ đề 4.2.2. Cho M , f 1 , f 2 , f 3 và H1 , . . . , Hq thỏa mãn các giả thiết như trong
Định lý 4.2.3. Giả sử P là hàm chỉnh hình trên M và β là số thực dương thỏa
mãn
3

q
[n]

νHv (f u ) (z)

βνP (z)

u=1 v=1

với mọi z nằm ngoài S . Nếu |P β | C( f 1 f 2 f 3 )α với hằng số dương C và
α, thì
q 2N − n + 1 + ρn(n + 1) + α.

Định lý 4.2.3. Cho M là đa tạp K¨
ahler liên thông đầy có phủ song chỉnh hình
với B(R0 ) ⊂ Cm , ở đây 0 < R0 ∞. Giả sử f 1 , f 2 , f 3 : M → Pn (C), là các ánh
xạ phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0 và
có q siêu phẳng H1 , . . . , Hq của Pn (C) ở vị trí N − dưới tổng quát thỏa mãn

dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj )

m − 2, (1

i
q).

Giả sử rằng ta có các điều kiện sau:

(a) min{νHi (f 1 ) , n} = min{νHi (f 2 ) , n} = min{νHi (f 3 ) , n} (1
(b) f 1 = f 2 = f 3 trên

i

q),

q
1 −1
i=1 (f ) (Hi ).

Nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) +

3nq
thì một trong các khẳng định sau
2q + 3n − 3

là đúng:
22


(i) Tồn tại

q
3

+ 1 siêu phẳng Hi1 , . . . , Hi[ q ]+1 sao cho
3

Hi[ q ]+1 (f u )
Hi1 (f u ) Hi2 (f u )
3
,
=
= ··· =
v
v
Hi1 (f )
Hi2 (f )
Hi[ q ]+1 (f v )
3

(ii) f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên M.
Bổ đề 4.2.4. Cho q, N là hai số nguyên thỏa mãn q ≥ 3(N2+3) , N
2 và q
mod 3 = 0. Giả sử {a1 , . . . , aq } là họ các véc tơ trong không gian véc tơ ba chiều
thỏa mãn rank {aj }j∈R = 3 với mọi tập con R ⊂ Q = {1, . . . , q} có |R| = N + 1.
Với mỗi chỉ số cố định i0 ∈ Q, đặt Ri0 = {j ∈ Q : aj ∧ ai0 = 0}. Khi đó, nếu
q/3
|Ri0 | 3q với mọi i0 ∈ Q thì tồn tại phân hoạch j=1 Ij của {1, . . . , q} thỏa mãn
|Ij | = 3 và rank {ai }i∈Ij = 3 với mọi j = 1, . . . , q/3.
Định lý 4.2.5. Giả sử M , f 1 , f 2 , f 3 và H1 , . . . , Hq được cho như trong định lý
4.2.3. Cho n 5 và p n là số nguyên dương. Giả sử rằng các khẳng định sau
thỏa mãn:

(a) min{νHi (f 1 ) , p} = min{νHi (f 2 ) , p} = min{νHi (f 3 ) , p} (1
(b) f 1 = f 2 = f 3 trên

i

q),

q
1 −1
i=1 (f ) (Hi ).

q(2n + p)
thì ánh xạ f 1 × f 2 × f 3 từ M
2q − 3 + 3p
n
n
n
vào P (C) × P (C) × P (C) là suy biến tuyến tính.
Nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) +

Định lý 4.2.6. Cho M , f 1 , f 2 , f 3 và H1 , . . . , Hq thỏa mãn các giả thiết giống
như trong định lý 4.2.3. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

(a) min{νHi (f 1 ) , 1} = min{νHi (f 2 ) , 1} = min{νHi (f 3 ) , 1} (1
(b) f 1 = f 2 = f 3 trên

i

q),

q
1 −1
i=1 (f ) (Hi ).

3nq
thì f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0. Nói
2q + 2n − 2
1
2
3
riêng, các ánh xạ f , f và f là phụ thuộc đại số trên M .
Khi đó nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) +

Bổ đề 4.2.7. Cho q, N là hai số nguyên thỏa mãn q
2N + 2, N
2 và q
là số chẵn. Xét {a1 , . . . , aq } là họ các véc tơ trong không gian véc tơ 3−chiều
thỏa mãn rank {aj }j∈R = 2 với mọi tập con R ⊂ Q = {1, . . . , q} có lực lượng
q/2
|R| = N + 1. Khi đó tồn tại phân hoạch j=1 Ij of {1, . . . , q} thỏa mãn |Ij | = 2
và rank {ai }i∈Ij = 2 với mọi j = 1, . . . , q/2.

23


KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Luận án nghiên cứu những bài toán trong lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ
phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh, ở đây đa tạp K¨ahler có phủ phổ
dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm và đạt được những kết quả sau:
• Chứng minh được định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh
xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh cũng như vào đa tạp
xạ ảnh giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.
• Chứng minh được định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler
vào không gian xạ ảnh giao họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát với điều kiện
đối chiều của giao của ảnh ngược của k siêu phẳng bất kỳ trong họ ít nhất
là hai.
• Chứng minh được một số định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân
hình cũng như sự suy biến tuyến tính của ánh xạ tích từ đa tạp K¨ahler vào
không gian xạ ảnh giao với họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát.
Kiến nghị
Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề của luận án, chúng tôi suy nghĩ về một số
hướng nghiên cứu tiếp theo như sau:
• Trong luận án, chúng tôi đã chứng minh định lý duy nhất cho ánh xạ phân
hình từ đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh giao với họ siêu phẳng mà
không xét đến trường hợp siêu mặt vì nếu theo phương pháp đề ra ở Chương
hai, số siêu mặt tham gia còn lớn. Chúng tôi sẽ nghiên cứu cách làm để đưa
ra những định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào không
gian xạ ảnh giao với họ siêu mặt với số siêu mặt tham gia nhỏ hơn.
• Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu sự phụ thuộc đại số cho họ các ánh xạ phân
hình từ đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh hoặc đa tạp xạ ảnh trong
trường hợp tổng quát hơn là họ tham gia là các siêu mặt thay cho họ siêu
phẳng như đã đưa ra trong luận án.
• Chúng tôi dự định nghiên cứu các bài toán trong lý thuyết phân bố giá trị
cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler với lớp đa tạp K¨ahler tổng quát hơn
so với đa tạp có phủ song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm mà đã được
xem xét trong luận án.
24



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×