Tải bản đầy đủ

Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụngb

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thị Nhung

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
¨
TỪ ĐA TẠP KAHLER
VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thị Nhung

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

¨
TỪ ĐA TẠP KAHLER
VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 9.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Sĩ Đức Quang

Hà Nội, 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công
bố trên các tạp chí Toán học có uy tín trên thế giới. Các kết quả nêu trong luận
án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Nhung

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận án đã được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của
PGS.TS Sĩ Đức Quang. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất
đến Thầy, cảm ơn Thầy đã luôn chỉ bảo, sẻ chia và tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi lời cảm ơn
đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã định hướng và khuyến khích tôi trong
nghiên cứu khoa học, tạo nhiều cơ hội để tôi có thể học tập và giao lưu với
những nhà khoa học cùng hướng nghiên cứu.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Phòng
Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin về sự giúp đỡ cũng như tạo điều
kiện thuận lợi dành cho tôi. Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô và anh
chị em trong seminar Hình học phức của Bộ môn Hình học và Tô pô, đặc biệt
là TS Phạm Đức Thoan và TS Lê Ngọc Quỳnh, về sự động viên, trợ giúp và
những trao đổi khoa học hữu ích trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Trường Đại học Thăng Long, Ban
Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, anh chị em đồng nghiệp trong Bộ môn Toán đã giúp
đỡ, quan tâm và chia sẻ để tôi luôn có những điều kiện thuận lợi nhất trong suốt
quá trình học nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn từ tận đáy lòng đến gia đình và
người thân đã luôn bên tôi, khích lệ và động viên tôi, chia sẻ khó khăn để tôi có
thể hoàn thành được luận án của mình.

Tác giả

iii


MỤC LỤC

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Danh mục các quy ước và kí hiệu

vi

MỞ ĐẦU

1

1 TỔNG QUAN

6

2 QUAN HỆ SỐ KHUYẾT KHÔNG LẤY TÍCH PHÂN CHO ÁNH
XẠ PHÂN HÌNH GIAO VỚI HỌ SIÊU MẶT DƯỚI TỔNG QUÁT 18
2.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình 27

3 VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CÙNG
ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG
3.1

53

Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu và họ siêu
phẳng ở vị trí tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2

Định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số
siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57



4 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ
CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG
4.1

67

Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu và họ siêu
phẳng ở vị trí dưới tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2

Định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh
ngược của một số siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
iv


Kết luận và kiến nghị

92

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 94
95

TÀI LIỆU THAM KHẢO

v


DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU
Trong toàn bộ luận án, chúng ta thống nhất một số kí hiệu như sau.
• Pn (C): không gian xạ ảnh phức n− chiều.
• z = |z1 |2 + · · · + |zm |2

1/2

với z = (z1 , . . . , zm ) ∈ Cm .

• B(r) := {z ∈ Cm : z < r} là hình cầu mở bán kính r trong Cm .
• S(r) := {z ∈ Cm : z = r} là mặt cầu bán kính r trong Cm .

−1
(∂ − ∂): các toán tử vi phân.
• d = ∂ + ∂, dc :=

• βn−1 := (ddc z 2 )n−1 , σn := dc log z

2

∧ (ddc log z 2 )n−1 : các dạng vi phân.

• O(1): hàm bị chặn đối với r.
• O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞.
• o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞.
• log+ r = max{log r, 0}, r

0.

• “ || P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập

con Borel E của [0, +∞) thoả mãn

E

dr < +∞.

• |S|: lực lượng của tập hợp S .
• I(x): số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
• BCNN{d1 , . . . , dq }: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương d1 , . . . , dq .
• Zero(h) : tập các không điểm của hàm h.
• supp(ν) : giá của divisor ν .

vi


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những nghiên cứu về phân bố giá trị của
các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Năm 1926, R. Nevanlinna đã mở rộng
định lý Picard nhỏ bằng cách chứng minh hai định lý quan trọng mà thường
được gọi là định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai. Công trình của
R. Nevanlinna ngay lập tức được quan tâm mạnh mẽ và đã có nhiều kết quả
quan trọng được công bố bởi các tác giả như A. Bloch [2], H. Cartan [4],[5], H.
Weyl và F. J. Weyl [42]. Đặc biệt, H. Cartan đã mở rộng lý thuyết Nevanlinna
cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức và sau đó L. Ahlfors
[1] đưa ra cách tiếp cận hình học cho các kết quả của H.Cartan và Weyls. Vào
những năm tiếp theo, W. Stoll [35] và một số nhà toán học khác như P. Griffiths,
B. Shiffman đã tổng quát các kết quả trên cho trường hợp nhiều biến phức và
đồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic
vào đa tạp xạ ảnh.
Trong những thập kỉ vừa qua, nhiều nhà toán học đã quan tâm đến bài toán
tổng quát lý thuyết Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp
K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh. Năm 1985, H. Fujimoto [14] đã xây dựng lý thuyết
phân bố giá trị cho trường hợp đa tạp K¨ahler M đầy và có phủ song chỉnh hình
với một hình cầu B(R0 ) trong không gian phức nhiều chiều Cm . Điểm khác biệt
là trên đa tạp K¨ahler tổng quát không có hàm vét cạn parabolic, do đó không
thể xây dựng được các khái niệm thông thường cho hàm đếm của divisor, hàm
đặc trưng cũng như hàm xấp xỉ của các ánh xạ. Để vượt qua khó khăn này,
dựa vào tính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ,
Fujimoto chuyển các bài toán cho ánh xạ phân hình f từ M thành bài toán cho
f từ B(R0 ) vào không gian xạ ảnh Pn (C). Đồng thời, H. Fujimoto cũng đưa ra

các khái niệm mới và phương pháp mới để giải quyết những trường hợp khác
1


biệt khi áp dụng lý thuyết Nevanlinna trên hình cầu B(R0 ) so với trên Cm . Cụ
thể là, ông đã đưa ra khái niệm số khuyết không lấy tích phân và thiết lập được
quan hệ số khuyết này cho ánh xạ phân hình từ M vào không gian xạ ảnh Pn (C)
giao với họ các siêu phẳng. Sau kết quả này của H. Fujimoto, T. V. Tấn và V.
V. Trường [38] đã chứng minh được định lý về số khuyết không lấy tích phân
cho ánh xạ phân hình từ M giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Tuy
nhiên, khái niệm “dưới tổng quát” của các tác giả khá đặc biệt khi cần thêm
một điều kiện so với định nghĩa thông thường. Bằng một cách khác, M. Ru và
S. Sogome [32] đã mở rộng kết quả của H. Fujimoto cho ánh xạ phân hình vào
không gian xạ ảnh với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Theo nghĩa tự nhiên của
khái niệm “dưới tổng quát”, một số tác giả sau đó đã thiết lập quan hệ số khuyết
cho ánh xạ phân hình và các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát như Q. Yan [43],
Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [40]. Tuy nhiên, các kết quả của các tác giả trên vẫn
chưa phải là những mở rộng thực sự cho kết quả của M. Ru và S. Sogome khi
quay về họ siêu mặt ở vị trí tổng quát. Do đó, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra
là: “Liệu có thể thiết lập được quan hệ số khuyết không lấy tích phân tốt hơn
cho trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát không?” Trong luận án này,
chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp mới để trả lời cho câu hỏi trên.
Sau khi R. Nevanlinna đưa ra định lý năm điểm hay còn gọi là định lý duy
nhất, nhiều tác giả đã mở rộng định lý này lên cho trường hợp ánh xạ phân
hình từ Cm vào Pn (C). Những kết quả đầu tiên thuộc về H. Fujimoto [11] và
L. Smiley [34], trong đó L. Smiley đã chứng minh rằng hai ánh xạ phân hình
sẽ trùng nhau nếu chúng bằng nhau trên ảnh ngược của 3n + 2 siêu phẳng và
giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai. Việc có
thêm điều kiện đối chiều của giao ảnh ngược của hai siêu phẳng đã giúp thực
hiện được nhiều biến đổi hơn trên hàm đếm và cho đến nay đã có nhiều kết quả
cải tiến định lý của L. Smiley được đưa ra. Những kết quả tốt nhất theo hướng
này thuộc về Z. Chen và Q. Yan [6], H. H. Giang, L. N. Quỳnh và S. Đ. Quang
[16]. Năm 1986, sau khi thiết lập thành công quan hệ số khuyết không lấy tích
phân, H. Fujimoto [15] đã đưa ra được định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ
M vào Pn (C) với họ các siêu phẳng. Tuy nhiên, định lý của H. Fujimoto không

thuộc hướng có thêm điều kiện về đối chiều nên không khái quát được những
kết quả được đề cập ở trên khi quay về trường hợp Cm . Do vậy, mục đích tiếp
2


theo của chúng tôi trong luận án là mở rộng định lý duy nhất của H. Fujimoto
và đồng thời tổng quát các kết quả đã đạt được trên Cm .
Khi số siêu phẳng không đủ lớn thì ta không thể suy ra kết luận trong bài
toán duy nhất. Tuy nhiên, với một số điều kiện nhất định, ta có thể chỉ ra được
các ánh xạ được xét có liên hệ đại số với nhau. Bài toán về sự phụ thuộc đại số
của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) được bắt đầu nghiên cứu trong bài
báo của S. Ji [18] và cho đến nay đã có nhiều kết quả được công bố. Một số kết
quả tốt nhất gần đây thuộc về Z. Chen và Q. Yan [7], S. Đ. Quang [24], S. Đ.
Quang và L. N. Quỳnh [26]. Từ đó, một cách tự nhiên, chúng tôi đặt ra câu hỏi:
“Có thể mở rộng các kết quả về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình
từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C) được không?” Chúng tôi lưu ý là cho đến
nay, chưa có kết quả nào được đưa ra cho sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ
phân hình trên M , mặc dù bài toán duy nhất cho ánh xạ phân hình từ M đã
được một số tác giả nghiên cứu sau bài báo của H. Fujimoto năm 1986. Nguyên
nhân là những kỹ thuật như sắp xếp hàm đếm hoặc sắp xếp lại họ siêu phẳng
được dùng trong những bài toán trên Cm hay trong định lý duy nhất trên M ,
đều không sử dụng được khi làm bài toán suy biến trên M . Do đó, trong chương
cuối của luận án, chúng tôi đã đề xuất những kỹ thuật mới khắc phục khó khăn
này, để xây dựng được mối liên hệ đại số của ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler.
Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân bố giá trị của
ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨
ahler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng ”,
để đi sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân
cho trường hợp ánh xạ phân hình và các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, đồng
thời nghiên cứu bài toán duy nhất cũng như bài toán về sự phụ thuộc đại số
cho những ánh xạ phân hình giao với họ các siêu phẳng.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích đầu tiên của luận án là thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích
phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh với họ siêu mặt
ở vị trí dưới tổng quát. Tiếp theo đó luận án nghiên cứu bài toán duy nhất cũng
như bài toán suy biến hay phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp
K¨ahler vào không gian xạ ảnh giao với họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát hoặc
dưới tổng quát.

3


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là quan hệ số khuyết không lấy tích phân,
vấn đề duy nhất và vấn đề phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp
K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh.
Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ
phân hình trên đa tạp K¨ahler.

4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng những
phương pháp của lý thuyết phân bố giá trị và hình học phức. Bên cạnh việc sử
dụng các kỹ thuật truyền thống, chúng tôi đưa ra những kỹ thuật mới nhằm
đạt được những mục đích đã đặt ra trong đề tài.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về quan hệ số khuyết không
lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh với họ
siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Bên cạnh làm phong phú thêm các bài toán về
sự duy nhất, luận án cũng đưa ra được những kết quả mới cho sự phụ thuộc đại
số của những ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh với họ
siêu phẳng.
Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.

6. Cấu trúc luận án
Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính. Chương Tổng quan dành
để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giả trong và ngoài nước
liên quan đến nội dung của đề tài. Ba chương còn lại trình bày các kiến thức
chuẩn bị cũng như những chứng minh chi tiết cho các kết quả mới của đề tài.
Chương I. Tổng quan.
Chương II. Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình
giao với họ siêu mặt dưới tổng quát.
Chương III. Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của
một số siêu phẳng.
Chương IV. Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh
ngược của một số siêu phẳng.
4


Luận án được viết dựa trên bốn bài báo, trong đó có ba bài đã được đăng và
một bài đang gửi đi công bố.

7. Nơi thực hiện luận án
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

5


Chương 1
TỔNG QUAN
Như đã trình bày trong phần Mở đầu, luận án tập trung nghiên cứu những bài
toán về thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân, tính duy nhất cũng
như sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler M vào
không gian xạ ảnh Pn (C), ở đây M có phủ song chỉnh hình với một hình cầu
B(R0 ) trong Cm . Chúng tôi sẽ đi sâu phân tích lịch sử, kết quả của những tác
giả đi trước, cũng như các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong từng bài
toán.
Lưu ý rằng, các bài toán cho ánh xạ phân hình xét trên M được mở rộng từ
những bài toán tương ứng xét trên Cm . Trong phần Mở đầu, ta thấy rằng nhờ
tính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ, các bài toán
cho f từ M được chuyển thành bài toán trên hình cầu B(R0 ). Như đã biết, một
trong những kết quả chính của lý thuyết Nevanlinna là định lý cơ bản thứ hai,
cho bất đẳng thức đánh giá chặn trên hàm đặc trưng bởi tổng một số hàm đếm
cộng với một đại lượng nhiễu Sf (r). Đối với trường hợp ánh xạ từ Cm , Sf (r) có
thể ước lượng là vô cùng bé bậc cao hơn so với hàm đặc trưng Tf (r). Tuy nhiên,
khi xét bài toán cho f từ B(R0 ) với bán kính R0 < ∞, điều này nói chung không
còn đúng, dẫn đến việc đánh giá qua hàm đếm và hàm đặc trưng không còn có
ý nghĩa. Sự khác biệt cũng như khó khăn khi giải quyết bài toán trên M xuất
phát từ đặc điểm này của đa tạp.
Trong suốt luận án này, các đa tạp K¨ahler luôn được giả thiết là có phủ song
chỉnh hình với một hình cầu trong Cm .

6


I. Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình
giao với họ siêu mặt dưới tổng quát
Quan hệ số khuyết, định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai là
ba kết quả quan trọng nhất của lý thuyết Nevanlinna. Mục đích đầu tiên của
luận án là thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân
hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh. Như đã trình bày ở trên, khi bán kính
R0 < ∞, các kỹ thuật truyền thống đánh giá qua hàm đếm và hàm đặc trưng là

không thực hiện được, do đó không xây dựng được quan hệ số khuyết cổ điển
của Nevanlinna. Năm 1983, H. Fujimoto [13] đưa ra khái niệm số khuyết không
lấy tích phân cho ánh xạ chỉnh hình từ mặt Riemann mở vào không gian xạ ảnh
Pn (C) và đạt được những kết quả tương tự như quan hệ số khuyết cổ điển. Năm
1985, H. Fujimoto trong [14] đã mở rộng những kết quả này lên cho trường hợp
ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler đầy có phủ song chỉnh hình với một hình
cầu trong Cm vào Pn (C).
Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa
sau.
Cho M là đa tạp K¨ahler đầy có chiều m. Giả sử f : M −→ Pn (C) là ánh xạ
phân hình, Ωf là kéo√lùi bởi f của dạng Fubini-Study Ω trong Pn (C). Trên M
−1
với dạng K¨ahler ω =
i,j hi¯j dzi ∧ dz j , ta định nghĩa
2

Ricω = ddc log(det(hij )).
Định nghĩa 1.0.1. Với ρ ≥ 0, ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện (Cρ ) nếu tồn
tại hàm thực h khác không, liên tục bị chặn h trên M sao cho
ρΩf + ddc logh2 ≥ Ricω,


ở đây, d = ∂ + ∂ và dc =

−1
(∂ − ∂).


Định nghĩa 1.0.2. Với mỗi số nguyên dương µ0 và siêu mặt Q bậc d trong
Pn (C) thỏa mãn f (M ) ⊂ Q, ký hiệu νf (Q)(p) là bội giao của ảnh của f và Q tại
f (p). Số khuyết không lấy tích phân của f đối với siêu mặt Q chặn bội bởi µ0 ,

ký hiệu là δf[µ0 ] (Q), được định nghĩa như sau:
[µ ]

δf 0 (Q) := 1 − inf{η ≥ 0 : η thỏa mãn điều kiện (∗)}.
7


Ở đây, điều kiện (*) có nghĩa là tồn tại hàm không âm h liên tục, bị chặn trên
M và có bội không điểm không nhỏ hơn min{νf (Q), µ0 }, sao cho

−1 ¯
dηΩf +
∂ ∂logh2 ≥ [min{νf (Q), µ0 }],


với [ν] là ký hiệu của dòng kiểu (1, 1) sinh bởi divisor ν .
Định nghĩa 1.0.3. Cho V là đa tạp xạ ảnh của Pn (C) có chiều k > 0. Cho
N, n, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ n và q ≥ N + 1 và Q1 , . . . , Qq là

các siêu mặt trong Pn (C). Khi đó, các siêu mặt Q1 , . . . , Qq được gọi là ở vị trí
N -dưới tổng quát đối với V nếu
Qj1 ∩ · · · ∩ QjN +1 ∩ V = ∅ với mọi 1 ≤ j1 < · · · < jN +1 ≤ q.

Khi N = n thì ta nói Q1 , . . . , Qq ở vị trí tổng quát đối với V .
Khi V = Pn (C) thì đơn giản ta nói Q1 , . . . , Qq ở vị trí N -dưới tổng quát.
Năm 1985, H. Fujimoto [14] thiết lập một quan hệ số khuyết không lấy tích
phân cho ánh xạ phân hình và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát qua định lý sau.
Định lý A. Cho M là đa tạp K¨
ahler đầy có chiều m. Giả sử rằng phủ phổ
dụng của M song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f : M → Pn (C)
là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với
ρ ≥ 0. Khi đó, nếu H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát thì

ta có

q
[n]

δf (Hi ) ≤ n + 1 + ρn(n + 1).
i=1

M. Ru-S. Sogome [32] vào năm 2012 đã mở rộng Định lý A lên trường hợp
ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng quát như sau.
Định lý B. Cho M là đa tạp K¨
ahler đầy chiều m và có phủ phổ dụng song
chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f : M → Pn (C) là ánh xạ phân hình
không suy biến đại số và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Cho Q1 , . . . , Qq là các
siêu mặt trong Pn (C) có bậc di , ở vị trí tổng quát, và đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }.
Khi đó, với mỗi > 0, ta có
q
[u−1]

δf

(Qj ) ≤ n + 1 + +

j=1

8

ρu(u − 1)
,
d


2

ở đây u ≤ 2n

+4n en d2n (nI(ε−1 ))n

và I(x) := min{k ∈ N : k > x} với x là số thực

dương.
Sau đó, Q. Yan [43] đã mở rộng Định lý B bằng cách xem xét họ siêu mặt ở
vị trí dưới tổng quát và đưa ra kết quả sau vào năm 2013.
Định lý C. Giả sử M và f thỏa mãn các giả thiết như trong Định lý B. Cho
Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc di , ở vị trí N -dưới tổng quát, và

đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }.
Khi đó, với mỗi > 0, ta có
q
[u−1]

δf

(Qj ) ≤ N (n + 1) + +

j=1

ở đây u =

K0 +n
n

≤ (3eN dI(

−1 ))n (n + 1)3n

ρu(u − 1)
,
d

và K0 = 2N dn2 (n + 1)2 I(

−1 ).

Kết quả của Yan trong Định lý C chưa là một tổng quát hóa kết quả của
H. Fujimoto và M. Ru-S. Sogome. Thật vậy, khi họ siêu mặt ở vị trí tổng quát,
tức là N = n, số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức về quan hệ số
khuyết là n(n + 1), lớn hơn n + 1 như thông thường. Như đã nói trong phần Mở
đầu, năm 2012, T. V. Tấn và V. V. Trường trong [38] đưa ra một quan hệ số
khuyết không lấy tích phân cho họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát và cho số
hạng này bằng n + 1. Tuy nhiên, định nghĩa “dưới tổng quát” của các tác giả
khá đặc biệt, khi cần thêm một điều kiện về giao của thành phần bất khả quy
của q siêu mặt này (xem định nghĩa 1.1(ii) trong [38]).
Thông thường, khi giải quyết trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát,
ta phải tổng quát khái niệm trọng Nochka. Tuy nhiên, đối với trường hợp siêu
mặt, trọng Nochka chưa được xây dựng đầy đủ. Để vượt qua khó khăn này,
chúng tôi sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt” của S. Đ. Quang đưa ra trong
[28]. Ý tưởng của kỹ thuật này là tránh dùng trọng Nochka bằng cách sau: “Mỗi
lần thực hiện các đánh giá trong các hàm phụ trợ, N + 1 siêu mặt trong họ được
thay bằng n + 1 siêu mặt khác ở vị trí tổng quát mà không làm thay đổi các
ước lượng”. Bằng cách sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt”, chúng tôi thiết lập
quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler
đầy vào Pn (C) giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, trong đó kết quả đạt
được đã tổng quát Định lý B và đồng thời cải tiến kết quả của Q. Yan. Cụ thể,
chúng tôi chứng minh được định lý sau.
9


Định lý 2.2.4 Cho M là đa tạp K¨
ahler đầy chiều m và có phủ phổ dụng song
chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f : M → Pn (C) là ánh xạ phân
hình không suy biến đại số và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Cho Q1 , . . . , Qq
là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc là di , ở vị trí N − dưới tổng quát và gọi
d = BCN N {d1 , . . . , dq }.

Khi đó, với mỗi > 0, ta có
q
[u−1]

δf

(Qj ) ≤ p(n + 1) + +

j=1

ở đây p = N − n + 1, u =
L0 = (n + 1)d + p(n + 1)3 I(

ρu(u − 1)
,
d

L0 +n
≤ en+2 (dp(n + 1)2 I( −1 ))n
n
−1 )d.



Trong Định lý 2.2.4, dễ thấy khi họ siêu mặt {Q1 , . . . , Qq } ở vị trí tổng quát
thì số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức về quan hệ số khuyết là
n + 1, giống kết quả đạt được trong Định lý B của M. Ru-S. Sogome. Hơn nữa,

đánh giá bội chặn của số khuyết trong định lý của chúng tôi nhỏ hơn nhiều so
với các ước lượng đạt được trong cả Định lý B và Định lý C.
Trong các định lý trên, f luôn được giả thiết là ánh xạ phân hình không suy
biến đại số. Để giải quyết trường hợp f có thể suy biến đại số, ta phải xây dựng
được quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình từ M vào đa tạp xạ ảnh V của
Pn (C) giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát đối với V .
Tiếp tục sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt”, chúng tôi mở rộng Định lý
2.2.4 cho trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát đối với đa tạp xạ ảnh
như sau.
Định lý 2.2.10 Cho M là đa tạp K¨
ahler đầy chiều m, có phủ phổ dụng song
chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Cho V là đa tạp xạ ảnh chiều k trong
Pn (C) và f là ánh xạ phân hình không suy biến đại số từ M vào V , thỏa mãn
điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Giả sử Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc
dj , ở vị trí N − dưới tổng quát đối với V và đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }.

Khi đó, với mỗi ε > 0, ta có
q
[M0 −1]

δf

(Qj ) ≤ p(k + 1) + ε +

j=1

ở đây p = N − k + 1, M0 = dk

2

+k

ρεM0 (M0 − 1)
,
d

deg(V )k+1 ek pk (2k + 4)k lk ε−k + 1 , l = (k + 1)q! và

[x] là phần nguyên của số thực x.
10


Từ định lý trên, chúng tôi nhận được hệ quả sau cho trường hợp ánh xạ phân
hình có thể suy biến đại số.
Hệ quả 2.2.12 Giả sử f : M → Pn (C) là ánh xạ phân hình và {Qi }qi=1 là các
siêu mặt trong Pn (C) có bậc di , ở vị trí tổng quát. Đặt d = BCN N {d1 , . . . , dq }.
Khi đó, tồn tại số nguyên dương M0 sao cho
q
[M0 −1]

δf

(Qj ) ≤

j=1

n
+1
2

2

+1+

ρM0 (M0 − 1)
.
d

Chúng tôi lưu ý rằng, bằng một phương pháp khác (sử dụng dạng mở rộng
không đầy đủ của trọng Nochka cho siêu mặt), Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [40]
đã đánh giá được tổng số khuyết như sau với những giả thiết giống Định lý
2.2.10.
q
[HV (d)−1]

δf
j=1

(Qj ) ≤

(2N − k + 1)HV (d) ρ(2N − k + 1)HV (d)(HV (d) − 1)
+
,
k+1
(k + 1)d

với HV (d) là hàm Hilbert của V . Do HV (d) ≤

n+d
n

nên khi ρ dần về 0, chặn trên

của tổng số khuyết trong [40] lớn hơn chặn trên đưa ra trong Định lý 2.2.10.
Tuy nhiên, bội chặn của số khuyết trong [40] của hai tác giả Thái-Quang nhỏ
hơn đánh giá của chúng tôi trong Định lý 2.2.10.

II. Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược
của một số siêu phẳng
Năm 1926, R. Nevanlinna [20] chỉ ra rằng hai ánh xạ phân hình khác hằng
trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược của năm điểm phân biệt thì trùng nhau.
Năm 1975, H. Fujimoto [11] tổng quát kết quả của R. Nevalinna cho trường hợp
ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C). Ông đã chỉ ra rằng hai
ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trùng nhau nếu có cùng ảnh ngược của 3n+2
siêu phẳng tính cả bội. Năm 1983, bằng cách thêm điều kiện đối chiều của giao
ảnh ngược của hai siêu phẳng bất kỳ trong họ ít nhất là hai, L. Smiley [34]
chứng minh sự duy nhất của họ ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của 3n + 2
siêu phẳng không tính bội. Năm 2006, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [39] đưa ra
ý tưởng sử dụng các hàm phụ trợ mới để chứng minh lại kết quả của S. Smiley
cho 3n + 1 siêu phẳng với n ≥ 2.
11


Trong những thập kỷ gần đây, nhiều tác giả cải tiến các kết quả trên bằng
cách giảm số siêu phẳng tham gia. Kết quả tốt nhất theo hướng này được đưa
ra bởi Z. Chen và Q. Yan [6] vào năm 2009, khi họ chứng minh được định lý
duy nhất với số siêu phẳng tham gia là q = 2n + 3.
Trong tất cả các kết quả đề cập ở trên, các tác giả luôn xét cố định giả thiết
của L. Smiley là đối chiều giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng bất kỳ ít nhất
là hai. Năm 2012, H. H. Giang, L. N. Quỳnh và S. Đ. Quang [16] đã tổng quát
kết quả của Z. Chen và Q. Yan bằng cách xét điều kiện tổng quát hơn là đối
chiều giao của ảnh ngược của k siêu phẳng bất kỳ ít nhất là hai, với 1 ≤ k ≤ n.
Cụ thể, các tác giả đã chứng minh được định lý sau.
Định lý D. Cho H1 , . . . , Hq là q siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa
mãn điều kiện
k+1

dim f

−1

Hij

≤m−2

(1 ≤ i1 < . . . < ik+1 ≤ q).

j=1

Giả sử f, g : Cm → Pn (C) là các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính sao
cho
f = g trên ∪qj=1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ).

Khi đó, nếu q = (n + 1)k + n + 2 thì f ≡ g.
Mục đích tiếp theo của luận án là xem xét bài toán duy nhất trong trường
hợp tổng quát hơn với ánh xạ phân hình f : M → Pn (C), trong đó M là đa tạp
K¨ahler liên thông đầy chiều m, có phủ song chỉnh hình với một hình cầu B(R0 )
trong Cm .
Năm 1986, Fujimoto [15] lần đầu tiên đưa ra một kiểu định lý duy nhất mới
cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C) như sau.
Định lý E. Cho M là đa tạp K¨
ahler liên thông đầy có phủ phổ dụng song chỉnh
hình với hình cầu trong Cm . Giả sử f và g là các ánh xạ phân hình không suy
biến tuyến tính từ M vào Pn (C) thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Giả sử
H1 , . . . , Hq là q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:
f = g trên ∪qj=1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ).

Khi đó, nếu q > n2 + 2n + 1 + ρn(n + 1) thì f ≡ g .
Như đã trình bày trong phần Mở đầu, Định lý E không thuộc hướng có điều
kiện về chiều của Smiley nên không mở rộng được các kết quả trên khi quay về
12


trường hợp M = Cm . Lấy ý tưởng trong bài của H. H. Giang, L. N. Quỳnh và
S. Đ. Quang [16], bằng cách chuyển thành một điều kiện tổng quát hơn, chúng
tôi chứng định lý duy nhất sau đây. Với kết quả này, chúng tôi không những mở
rộng được Định lý E mà còn tổng quát được kết quả trong Định lý của H. H.
Giang, L. N. Quỳnh và S. Đ. Quang và cũng là của Z. Chen và Q. Yan.
Định lý 3.2.1 Cho M là đa tạp K¨
ahler liên thông đầy có phủ phổ dụng song
chỉnh hình với một hình cầu trong Cm . Giả sử f, g : M → Pn (C) là các ánh xạ
phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0. Giả
sử H1 , . . . , Hq là q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn
(i) dim f −1
(ii) f = g trên

k+1
j=1 Hij ≤ m − 2 (1 ≤ i1
∪qj=1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ).

< . . . < ik+1 ≤ q),

2nkq
> n + 1 + ρn(n + 1)
q + 2nk − 2k
hoặc q < 2(n + 1)k và q > (n + 1)(k + 1) + ρn(n + 1) thì f ≡ g .

Khi đó, nếu q ≥ 2(n + 1)k và q −

III. Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược
của một số siêu phẳng
Như đã trình bày trong phần Mở đầu, khi số siêu phẳng không đủ lớn để họ
ánh xạ đang nghiên cứu là duy nhất, ta có thể xem xét về sự phụ thuộc đại số
của các ánh xạ trong họ. Trong chương cuối của luận án, chúng tôi tập trung
vào chứng minh các định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình từ
đa tạp K¨ahler M vào Pn (C). Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số
ký hiệu và định nghĩa sau.
Xét f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) không suy biến tuyến tính. Với
mỗi số nguyên dương d và q siêu phẳng H1 , . . . , Hq trong Pn (C) ở vị trí tổng quát
thỏa mãn
dim(f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ))

m−2

(1

i
q),

ta xét F(f, {Hi }qi=1 , d) là họ các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính
g : Cm → Pn (C) thỏa mãn hai điều kiện sau:

(a) min(ν(Hj ,f ) , d) = min(ν(Hj ,g) , d) (1
(b) f (z) = g(z) trên

j

q ),

q
−1 (H ),
j
j=1 f

ở đây νHj (f ) (z) là bội giao của ảnh của f với siêu phẳng Hj tại điểm z .
Khi d = 1, ta nói f và g chung nhau ảnh ngược của q siêu phẳng {Hj (f )}qj=1
13


không tính bội.
Mục tiêu của bài toán về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình là tìm
điều kiện để f 1 , f 2 , f 3 ∈ F(f, {Hi }qi=1 , d) có mối liên hệ đại số với nhau, cụ thể
là đưa ra điều kiện để tập {(f 1 (z), f 2 (z), f 3 (z)), z ∈ Cm } được chứa trong một đa
tạp xạ ảnh con thực sự của Pn (C) × Pn (C) × Pn (C).
Sự phụ thuộc đại số của f 1 , f 2 , f 3 có thể suy ra từ một điều kiện mạnh hơn
là f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0. Theo hướng này, năm 1988, S. Ji [18] đã chứng minh định lý
về sự phụ thuộc đại số cho ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của 3n + 1
siêu phẳng không tính bội. Sau đó, năm 1989, W. Stoll [36] đã tổng quát kết quả
của S. Ji cho trường hợp đa tạp có phủ parabolic. Bài toán về sự phụ thuộc đại
số cũng được M. Ru [30] nghiên cứu cho trường hợp đường cong chỉnh hình với
mục tiêu di động vào năm 2001 và sau đó được mở rộng bởi nhiều tác giả như
P. Đ. Thoan, P. V. Đức và S. Đ. Quang [41], S. Đ. Quang [25], H. Cao [3],. . .
Cũng có thể chỉ ra sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình nếu chứng
minh được ánh xạ tích f 1 × f 2 × f 3 là suy biến đại số. Những kết quả tốt theo
hướng này gần đây thuộc về T.V. Tấn và V. V. Trường [37], Z. Chen và Q. Yan
[7], S. Đ. Quang [27],. . . Trong bài toán phụ thuộc đại số, có hai đối tượng chính
được quan tâm là số siêu phẳng tham gia q và giá trị bội chặn d. Các số này
càng nhỏ thì kết quả càng có giá trị. Trong kết quả của các tác giả nêu trên,
số siêu phẳng luôn được giả sử ít nhất là 2n + 2. Năm 2015, bằng cách đưa ra
những kỹ thuật mới, S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh [26] đã chứng minh định lý
về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ có cùng ảnh ngược của ít hơn 2n + 2 siêu
phẳng ở vị trí tổng quát như sau.
Định lý F. Giả sử f 1 , f 2 , f 3 là ba ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính
từ Cm vào Pn (C). Giả sử {Hi }qi=1 là họ gồm q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí
tổng quát thỏa mãn
dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj )

m − 2 (1

i
q).

Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn.
(a) min{ν(f 1 ,Hi ) , n} = min{ν(f 2 ,Hi ) , n} = min{ν(f 3 ,Hi ) , n}, (1
(b) f 1 = f 2 =

Khi đó, nếu q >

q
1 −1
f 3 trên √
i=1 (f ) (Hi ).
2n + 5 + 28n2 + 20n + 1

4

sau:
14

i

q),

thì ta có một trong các khẳng định


(i) Tồn tại

q
3

+ 1 siêu phẳng Hi1 , . . . , Hi[ q ]+1 sao cho
3

(f u , Hi[ q ]+1 )
(f u , Hi1 )
(f u , Hi2 )
3
= v
= ··· = v
,
(f v , Hi1 )
(f , Hi2 )
(f , Hi[ q ]+1 )
3

(ii) f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0.

Định lý F chỉ ra sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ với số siêu phẳng q ít
hơn 2n + 2, nhưng vẫn cần điều kiện bội chặn là d = n. Trong [27], S. Đ. Quang
đã chứng minh các kết quả sau về sự phụ thuộc của các ánh xạ mà trong đó số
siêu phẳng được giảm xuống là q = 2n + 1 và bội chặn p

n, hoặc là q = 2n + 2

và bội chặn là 1.
Định lý G. Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào
Pn (C). Giả sử n ≥ 5 và p ≤ n là số nguyên dương. Giả sử H1 , . . . , H2n+1 là 2n + 1
siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát, sao cho
dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj )

m−2

(1

i
2n + 2).

1
2
3
Khi đó, với mọi bộ ba ánh xạ f 1 , f 2 , f 3 ∈ F(f, {Hi }2n+1
i=1 , p), ánh xạ f × f × f

từ Cm vào Pn (C) × Pn (C) × Pn (C) là suy biến tuyến tính.
1
Định lý H. Giả sử ba ánh xạ f 1 , f 2 , f 3 ∈ F(f, {Hi }2n+2
i=1 , 1). Khi đó, ta có f ∧

f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên Cm . Nói riêng, các ánh xạ f 1 , f 2 và f 3 là phụ thuộc đại số trên

Cm .
Như đã nhắc trong chương trước, H. Fujimoto [15] đã đưa ra định lý duy
nhất cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C). Sau đó, nhiều tác giả đã mở rộng
định lý duy nhất của Fujimoto. Tuy nhiên, chúng tôi muốn lưu ý rằng, cho đến
nay vẫn chưa có định lý về sự phụ thuộc đại số nào được thiết lập cho ánh xạ
phân hình từ M vào Pn (C). Như đã trình bày trong các phần trước, khó khăn
khi làm cho ánh xạ từ M là không sử dụng được hàm đếm. Do đó, các kỹ thuật
mà các tác giả trước sử dụng không dùng được cho trường hợp tổng quát này.
Bằng cách đưa ra hàm bổ trợ mới và sắp xếp các siêu phẳng thành các nhóm,
chúng tôi sẽ mở rộng các Định lý F, G và H cho ánh xạ phân hình từ M vào
Pn (C). Hơn nữa, chúng tôi còn mở rộng kết quả cho họ siêu phẳng tham gia từ
điều kiện ở vị trí tổng quát sang điều kiện ở vị trí dưới tổng quát. Cụ thể, chúng
tôi chứng minh được các kết quả sau.
15


Định lý 4.2.3 Cho M là đa tạp K¨
ahler liên thông đầy có phủ song chỉnh hình
với B(R0 ) ⊂ Cm , ở đây 0 < R0

∞. Giả sử f 1 , f 2 , f 3 : M → Pn (C) là các ánh xạ

phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ 0 và q
siêu phẳng H1 , . . . , Hq của Pn (C) ở vị trí N − dưới tổng quát thỏa mãn
dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj )

m − 2 (1

i
q).

Giả sử ta có các điều kiện sau:
(a) min{ν(f 1 ,Hi ) , n} = min{ν(f 2 ,Hi ) , n} = min{ν(f 3 ,Hi ) , n} (1
(b) f 1 = f 2 = f 3 trên

i

q),

q
1 −1
i=1 (f ) (Hi ).

Nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) +

3nq
thì một trong các khẳng định sau
2q + 3n − 3

xảy ra:
(i) Tồn tại

q
3

+ 1 siêu phẳng Hi1 , . . . , Hi[ q ]+1 sao cho
3

(f u , Hi[ q ]+1 )
(f u , Hi2 )
(f u , Hi1 )
3
= v
= ··· = v
,
(f v , Hi1 )
(f , Hi2 )
(f , Hi[ q ]+1 )
3

(ii) f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên M.

Định lý 4.2.5 Giả sử M , f 1 , f 2 , f 3 và H1 , . . . , Hq được cho như trong Định lý
4.2.3. Cho n

5 và p

n là số nguyên dương. Giả sử rằng các khẳng định sau

thỏa mãn:
(a) min{ν(f 1 ,Hi ) , p} = min{ν(f 2 ,Hi ) , p} = min{ν(f 3 ,Hi ) , p} (1
(b) f 1 = f 2 = f 3 trên

i

q),

q
1 −1
i=1 (f ) (Hi ).

Nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) +

q(2n + p)
thì ánh xạ f 1 × f 2 × f 3 từ M vào
2q − 3 + 3p

Pn (C) × Pn (C) × Pn (C) là suy biến tuyến tính.
Định lý 4.2.6 Cho M , f 1 , f 2 , f 3 và H1 , . . . , Hq thỏa mãn các giả thiết giống như
trong Định lý 4.2.3. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(a) min{ν(f 1 ,Hi ) , 1} = min{ν(f 2 ,Hi ) , 1} = min{ν(f 3 ,Hi ) , 1} (1
(b) f 1 = f 2 = f 3 trên

i

q),

q
1 −1
i=1 (f ) (Hi ).

3nq
thì f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên M .
2q + 2n − 2
Nói riêng, các ánh xạ f 1 , f 2 và f 3 là phụ thuộc đại số trên M .

Khi đó, nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) +

Khi M = Cm , ta có thể chọn metric phẳng mà dạng Ricci triệt tiêu. Do đó,
mọi ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) đều thỏa mãn điều kiện (C0 ) (ρ = 0) và
khi đó, từ các Định lý 4.2.3, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6 suy ra các kết quả
16


trong các Định lý F, Định lý G và Định lý H tương ứng. Chúng tôi muốn nhấn
mạnh rằng, ngoài việc mở rộng được những định lý về sự phụ thuộc đại số cho
ánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C), chúng tôi còn đạt được
những kết quả theo một cách khác. Hơn nữa, đây còn là những kết quả đầu tiên
đối với bài toán về sự phụ thuộc đại số cho ánh xạ phân hình trên đa tạp Kahler
M.

17


Chương 2
QUAN HỆ SỐ KHUYẾT KHÔNG LẤY
TÍCH PHÂN CHO ÁNH XẠ PHÂN
HÌNH GIAO VỚI HỌ SIÊU MẶT DƯỚI
TỔNG QUÁT
Như đã trình bày trong phần Tổng quan, mục đích chính của Chương 2 là thiết
lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp
K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Bằng
cách sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt” được đưa ra bởi S. Đ. Quang [28],
chúng tôi mở rộng định lý của M. Ru-S. Sogome [32] cho trường hợp họ siêu mặt
ở vị trí dưới tổng quát, và đồng thời mở rộng kết quả của các tác giả đi trước.
Chương 2 gồm hai mục. Mục thứ nhất dành để trình bày những kiến thức
chuẩn bị cần thiết và một số bổ đề bổ trợ cho các định lý chính trong phần sau.
Mục thứ hai trình bày những chứng minh chi tiết cho hai định lý về số khuyết
không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh và đa tạp xạ
ảnh.
Chương 2 được viết dựa trên hai bài báo [1] và [4] (trong mục Các công trình
đã công bố liên quan đến luận án)

18


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×