Tải bản đầy đủ

CHUYEN DE

CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH VUÔNG GÓC – TÍNH GÓC – KHOẢNG CÁCH
“Phương pháp vectơ”
Lớp: 12A10
I/ Hai đường thẳng vuông góc:
1/ Định nghĩa:
Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o
Kí hiệu: a  b hoặc b  a
2/ Nhận xét:
* a // b rvà dr  a => d  b
* Gọi a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a, b
r r
Ta có: a  b � a . b = 0
3/ Phương pháp:
uuur uuur
* Giả sử AB  CD => AB . CD = 0
r r r
uuur uuur
uuur uuur
* Chú ý: Khi tính AB , CD ta có thể phân tích AB , CD theo các vectơ a, b, c không đồng phẳng
r r r
uuur uuur

mà ta đã biết độ dài và góc giữa chúng, rồi tính AB . CD theo các tích có hướng của a, b, c
4/ Ví dụ:
a/ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD và AC vuông góc BD. Chứng minh rằng
AB vuông góc với CD
Lời giải:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có: BC. AD =( AC - AB ). AD = AC . AD - AB AD
uuur uuur uuu
r
r
uuur uuur uuu
= AC ( BD - BA ) - AB ( CD - CA )
=0
Vậy: BC  AD
b/ Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Chứng minh rằng
AB vuông góc với CD
Lời giải:
Chọn hệ vectơ với A làuuu
gốc
r sao cho
r uuu
r r uuur r
u = AB , v = AD , k = AC
r r r
Suy ra u = v = k
uuur uuur uuur
Ta có: CD = AD - AC
uuur uuu
r
uuur uuur uuu
r
Nên: CD . AB = ( AD - AC ). AB
uuur uuu
r uuur uuu
r
= AD . AB - AC . AB
r r
r r
= v . u . cos 60o - k . u . cos 60o
=0
Vậy: AB  CD
II/ Góc giữa hai đường thẳng:
1/ Định nghĩa:
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và
lần lượt song song hoặc trùng với a và b
2/ Nhận xét:
- Để xác định góc giữa a và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và từ đó vẽ một
đường thẳng song song với b
r r
r r
- Gọi u , v lần lượt là VTCP của a, b;  =góc( u , v ),  =góc(a,b) thì  =  (nếu 0o � �90o)
hoặc  =180o-  (nếu  �90o)
3/ Phương pháp:
* Cách 1:
- Từ một điểm bất kí dựng hai đường thẳng lần lượt song song với AB và CD
- Dùng các tính chất đặc biệt của tam giác vuông, vuông cân, đều hoặc dùng định lí hàm co6sin
để tính góc vừa dựng. Chú ý là góc giữa hai đường thẳng không lớn hơn hơn 90o


* Cách 2:
Ta dùng công thức:

uuu
r uuur
AB.CD
uuu
r uuur
cos( AB, CD) = cos( AB, CD) = uuur uuur
AB . CD

4/ Ví dụ:
a/ Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có SA=SB=SC=AB=AC=a, BC=a 2 . Tính góc giữa SC và AB
Lời giải:
Tam giác ABC vuông tai A (vì AB=AC=a, BC=a 2 ) và tam giác SBC vuông tại S (vì
SB=SC=a, BC=a 2 )
uuu
r uuu
r uur uur uuu
r uur uuu
r uur
r uuu
1
Ta có: SC . AB = SC .( SB - SA )= SC . SB - SC . SA =0-SA.SC. cos 60o = a2
2
uuu
r uuu
r
2
SC , AB a
1
r uuu
r = 2 =
=> cos( SC , AB) = uuu
2
SC . AB
a2
=> ( SC$
,AB) =60o
b/ Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một: AC=BD=a,
AB=CD=2a, AD=BC=a 6 . Tính góc giữa AD và BC.
Lời giải:
uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có: BC . AD = BC .( AC + CD )
uuur uuur uuur uuur
= BC . AC + BC . CD
� - BC.CD. cos BCD

= BC.AC. cos BCA
3
9
� =
� =
Dùng định lí hàm côsin: cos BCA
, cos BCD
2 6
4 6
uuur uuur
2
Suy ra: BC . AD =-3a
�, AD) = 1
cos( BC
2

=> ( BC , AD ) =60o
III/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
1/ Đoạn vuông góc chung:
* Định nghĩa: Đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b khi và
chỉ khi:
A �a , B �b , AB  a, AB  b
* Định lí 1: Hai đường thẳng chéo nhau có một và chỉ một đoạn vuông góc chung
* Định lí 2: Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất nối hai
diểm lần lượt nằm trên hai đường thẳng đó
2/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
* Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng đó
* Nhận xét:
Khoảng cách d của hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng:
- Khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai và song song
với đường thẳng thứ nhất
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b
3/ Phương pháp:
Muốn tìm đoạn u
vuông
u
r r góc chung
uu
r r của hai đường thẳng a, b chéo nhau, ta làm như sau: lấy I �a,
J �b sao cho: IJ . u =0 và IJ . v =0
r r
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng nói trên (với u , v lần lượt là VTCP của
a, b)


4/ Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh bằng 4a 2 . Cạnh SC  (ABC) và SC=2a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Hãy tính khoảng cách giữa SM và CN
Lời giải:
uuu
r r uuu
r r uuu
r r
Chọn hệ vectơ cơ sở với C là gốc sao cho: CA = u , CB = v , CS = k
r r
r r
Suy ra: u . k =0; v . k =0
Ta có:
uuur uuuu
r uuu
r 1 r r
SM = CM - CS = v - k
2
uuur 1 r 1 r
CN = u + v
2
2
Giả sử I �SM , J �CN , ta có:
uu
r
uuur
uuur uuu
r
IJ = m. SM +n. CN + SC
r
r
1 r 1
= n u + (m+n) v -(m+1) k
2
2
IJ là đoạn vuông góc chung của SM và CN thì điều kiện cần và đủ là:
uu
r uuur
2
3ma2+3na2=-a2
m= 
IJ . SM =0
3


uu
r uuur
1
ma2+2na2=0
n=
IJ . CN =0
3
uu
r 2a 3
Vậy: IJ= IJ =
3



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×