Tải bản đầy đủ

Giao an on thi vao 10 nguyn tai minh

Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

Chuyên đề 1.
CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

x ≥ 0
x 2 = a

2. Căn bậc hai số học : Với a ≥ 0 , ta có : x = a ⇔ 

Lưu ý : Với a ≥ 0 thì

2

( a)

=a.


3. A có nghĩa ⇔ A ≥ 0
4. Các phép toán biến đổi căn bậc hai.
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai :

A khi A ≥ 0
A 2 = A = 
;
−A khi A < 0
A.B = A. B

+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai :
+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai :
+) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai :
+) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :

A B = − A2B

A2B = A B

A
1
=
B B

AB

( A ≥ 0,B > 0 ) .

( B ≥ 0 ) .;

A B = A2B

( A < 0, B ≥ 0) ;

+) Khử mẫu của biểu thức lấy căn :

A
A
=
B
B

( A ≥ 0,B ≥ 0 ) .

( A ≥ 0, B ≥ 0 ) ;

( AB ≥ 0,B ≠ 0 ) ;

+) Trục căn thức ở mẫu :
A
A B
=
( B > 0) ;
B
B

(

)

(

)

C A− B
C
=
A−B
A+ B
C A+ B
C
=
A−B
A− B

( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) .
( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) .

B. VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính.

11 − 2 10 ;

b.

9 − 2 14 ;

c. 13 − 2 42 ;

d.

46 + 6 5 ;

a.

e. 12 − 3 15 ;
f. 21 − 8 5 .
Ví dụ 2. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau đây :

a.

−3x + 2

b.

4
2x + 3

d.

2( x + 3) ;

e.

9x 2 − 6x + 1

ĐT liên hệ : 0948294515

1

c.

2
x2
f.

2x −1
.
2− x

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.
g.

GV : Nguyễn Tài Minh

x −3
;
5− x

x −1. x + 5

h.

Đáp án gợi ý :
a.
b.

2
−3x + 2 có nghĩa ⇔ −3x + 2 ≥ 0 ⇔ −3x ≥ −2 ⇔ x ≤ .
3
4
−3
có nghĩa ⇔ 2x + 3 > 0 ⇔ x >
.
2x + 3
2

2
2
có nghĩa ⇔ x > 0 ⇔ x ≠ 0.
2
x
d. 2( x + 3) có nghĩa ⇔ 2( x + 3) ≥ 0 . Vì 2 > 0, nên 2( x + 3) ≥ 0 ⇔ x + 3 ≥⇔ x ≥−3 .

c.

e. Ta có :

2

2

2

9x 2 − 6x + 1 = (3x ) + 2.(3x ).1 + (1) = (3x + 1)

9x 2 − 6x + 1 có nghĩa với mọi x ∈ ℝ .
2x −1 ≥ 0

2 − x > 0
2x −1
2x −1
1

có nghĩa ⇔
≥ 0 ⇔ 
⇔ ≤x<2
2− x
2− x
2x −1 ≤ 0 2

2 − x < 0
Suy ra

f.

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC VÔ TỶ

Bài 1. Cho biểu thức : Cho biểu thức:

a
2a − a

a −1 a − a

P=

a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
b. Tính giá trị của P với a = 3 − 8
c. Tìm a để P < 0.

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2000 – 2001).
Đáp án gợi ý :

a ≥ 0

a > 0
a. ĐKXĐ : P có nghĩa ⇔ 
. ĐS : P = a −1
 a −1 ≠ 0 ⇔ 

a ≠ 1


a − a ≠ 0


⇒ a = 3− 8 =
Thay

a =

2

( 2) − 2
( 2 −1) =

b. Biến đổi : a = 3 − 8 = 3 − 2 2 =

2 +1 =

2

2 −1 vào (1) ta được : P = = a −1 =

(

(1)

2

)

2 −1

2 −1 = 2 −1 ∈ ĐKXĐ

(

)

2 −1 – 1 =

2 −2

2 − 2 khi a = 3 − 8 .
a −1 < 0 ⇔ a < 1 ⇔ 0 ≤ a < 1 . Kết hợp với ĐKXĐ, P < 0 khi 0 < a < 1.

Vậy P =
c. P < 0 ⇔

Bài 2. Cho biểu thức:

A=

ĐT liên hệ : 0948294515

x
2 x −1

x −1
x ( x −1)
2

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.
b. Tính giá trị của A với x =36.
c. Tìm x để

A >A.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2001 – 2002).

Đáp án gợi ý :

x ≥ 0


x > 0
⇔ 
a. ĐKXĐ : P có nghĩa ⇔  x − 1 ≠ 0
. ĐS : A =

x ≠ 1

 x x −1 ≠ 0


(

b. Biến đổi x = 36 ∈ ĐKXĐ ⇒

x = 6 vào biểu thức A =

Thay

Vậy A =
c. Ta có

)

x −1
x

2

x = 36 = (±6) = ±6 = 6 .

x −1
6 −1 5
, ta được A =
= .
6
6
x

5
khi x = 36.
6

A > A ⇔ A < 0 ⇔ x −1

<0

x
x −1
< 0 thì
x

Với x ∈ ĐKXĐ thì

x > 0 . Để

Kết hợp với ĐKXĐ,

A > A khi 0 < x < 1.

x −1 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1 .

1
1 
3

 :
 x −3
x + 3 x − 3


Bài 3. Cho biểu thức: M = 

a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.
b. Tìm x để M >

1
.
3

c. Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2002 – 2003).
Đáp án gợi ý :



x ≥ 0
x ≥ 0
2

a. ĐKXĐ : M có nghĩa ⇔  x − 3 ≠ 0 ⇔ 
. ĐS : M =
.


x ≠ 9
x +3
 3
≠0
 x − 3
b. Ta có M >

1
2
1
3− x
> ⇔
>0 .

3
x +3 3
x +3

Với x ∈ ĐKXĐ thì

x + 3 > 0. Để

Kết hợp ĐKXĐ, M >

ĐT liên hệ : 0948294515

1
3

3− x
> 0 cần 3 − x > 0 ⇔ 0 ≤ x < 9 .
x +3

khi 0 ≤ x < 9 .

3

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

2
2
≤ với x ∈ ĐKXĐ.
x +3 3
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 (x ∈ ĐKXĐ).
2
Vậy maxM = khi x = 0.
3

c. Ta có M =

 1
1 
1 + 1 
+

 x −1
x + 1
x 

Bài 4. Cho biểu thức: A = 

a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.
b. Tính giá trị của A khi x =

1
.
4

A = A.

c. Tìm giá trị của x để:

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2003 – 2004).
Đáp án gợi ý :

x ≥ 0

x > 0
a. ĐKXĐ : A có nghĩa ⇔ 
. ĐS : A =
 x −1 ≠ 0 ⇔ 

x ≠ 1
 x ≠ 0
2

 1
1
1 1
x=
= ±  = ± = = 0,5 .
 2 
4
2 2
2
2
x = 0,5 vào biểu thức A =
, ta được A =
= −4 .
0,5 −1
x −1

1
b. Với x = ∈ ĐKXĐ. Ta có :
4
Thay

2
.
x −1

Vậy A = −4 khi x =

c. Ta có :

1
.
4

A = 0
A=A⇔
. Suy ra
 A = 1

Kết hợp ĐKXĐ,

Bài 5. Cho biểu thức:

 2

=0
 x −1
2
2
=
⇔
⇔ x =9.
x −1
x −1  2
=1

 x −1

A = A khi x = 9.


1 
1
P = 1 +
.


x −1 x − x

.

a. Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
b. Tính giá trị của A với x = 25.
c. Tìm x để:

P. 5 + 2 6 .( x −1) 2 = x − 2005 + 2 + 3
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2004 – 2005).

Đáp án gợi ý :

ĐT liên hệ : 0948294515

4

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

x ≥ 0

x > 0
1
a. ĐKXĐ : P có nghĩa ⇔ 
. ĐS: P =
.
 x −1 ≠ 0 ⇔ 
2

x ≠ 1
x

1
(
)
x − x ≠ 0
2

x = 25 = (±5) = ±5 = 5.

b. Với x = 25 ∈ ĐKXĐ. Ta có :

x = 5 vào biểu thức P =

Thay

Vậy P =
c. Với

1

(

2

)

x −1

, ta được P =

1
2

(5 −1)

=

1
1
= .
2
4
16

1
khi x = 25.
16

P. 5 + 2 6 .( x −1) 2 = x − 2005 + 2 + 3 ,

Ta có phương trình :

1

(

2

)

x −1

.

(

2+ 3

)(

)

P=

x −1 = x – 2005 +

(

1

(

2+

2

)
3)

x −1

⇔ x – 2005 = 0 ⇔ x = 2005 ∈ ĐKXĐ.
Vậy

P. 5 + 2 6 .( x − 1) 2 = x − 2005 + 2 + 3 khi x = 2005.

1 
x +1
 1
+
 :
Bài 6. Cho biểu thức P = 
2
 x − x 1 − x  (1 − x )
a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b. Tìm x để P > 0.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2006 – 2007)
Đáp án gợi ý :

x ≥ 0

x > 0
1− x
a. ĐKXĐ : P có nghĩa ⇔ 
. ĐS: P =
1 − x ≠ 0 ⇔ 

x ≠ 1
x
 x − x ≠ 0 

1− x
> 0.
x
1− x
x > 0 . Để
> 0 thì 1 − x > 0 ⇔ x < 1 ⇔ 0 ≤ x < 1 .
x

b. Ta có x > 0 và x ≠ 1 , P > 0 trở thành
Với x ∈ ĐKXĐ, suy ra

Kết hợp ĐKXĐ, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1.



x
1 
:

x − x 
 x −1

Bài 7. Cho biểu thức A = 

1
x −1

a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0.
c. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A x = m − x có nghiệm.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2007 – 2008)
Đáp án gợi ý :

x > 0
x −1
. ĐS : A =
.
x
x ≠ 1

a) Điều kiện xác định: 

ĐT liên hệ : 0948294515

5

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

b. Với ∀x > 0, x ≠ 1, A < 0 trở thành

x −1
x

< 0.

x −1

< 0 ⇔ x - 1 < 0 ⇔ x < 1.
x
Kết hợp với điều kiện ta có kết quả 0 < x < 1.
c. Với x > 0, x ≠ 1 thì A x = m - x trở thành


x > 0 . Nên

x −1
x

x =m−



x ⇔ x+

x − m − 1 = 0 (1)

Đặt x = t, vì x > 0, x ≠ 1 nên t > 0, t ≠ 1. Phương trình (1) qui về
t2 + t - m - 1 = 0 (2). Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm dương khác 1.
b
Nhận thấy − = − 1 < 0 .Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1
a
− m − 1 < 0
m > − 1
⇔
⇔
1 + 1 − m −1 ≠ 0
m ≠ 1
Kết luận: m > -1 và m ≠ 1.
Bài 8. Cho biểu thức:

 3
1 
1
+
P = 
:


 x −1
x + 1 x + 1

a. Nêu ĐKXĐ và rút gọn P.
5
b. Tìm các giá trị của x để P = .
4
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

x + 12 1
.
x −1 P

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2008– 2009)

Đáp án gợi ý :

x ≥ 0
x ≥ 0
x +2
⇔ 
. ĐS : P =
.
x −1 ≠ 0 x ≠ 1
x −1

a. ĐKXĐ : P có nghĩa ⇔ 


b. Với x ≥ 0 và x ≠ 1, P =

5
trở thành :
4

x +2 5
= ⇔4
x −1 4

(

) (

x +2 =5

)

x −1 ⇔ x = 13 ⇔ x = 169

Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả x = 169.
c. Với x ≥ 0 và x ≠ 11, M =

x + 12 1
. , trở thành :
x −1 P

x + 12 x −1
x + 12
M=
.
=
= 2+
x −1 x + 2
x +2
Đẳng thức xảy ra khi x − 2 = 0 ⇔ x = 4 .

(

x −2

2

)

x +2

≥ 2.

Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả minP = 2 khi x = 4.

Bài 9. Cho biểu thức A =

x x +1 x −1

.
x −1
x +1

a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.

ĐT liên hệ : 0948294515

6

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

9
.
4

b. Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c. Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2009– 2010)

Đáp án gợi ý :

x ≥ 0
x ≥ 0
. ĐS : A =
⇔ 
x −1 ≠ 0 x ≠ 1

x
.
x −1

a. ĐKXĐ : A có nghĩa ⇔ 

9
b. x =
∈ ĐKXĐ,
4
Thay

2

 3
9
3 3
x=
= ±  = ± = .

 2
4
2 2

3
x
3 3 
. Ta được A = 2 = :  −1 = 3 .

3

x −1
−1 2 2
2

3
x = vào biểu thức A =
2

c. Với x ≥ 0 và x ≠ 1, A < 1 trở thành :

x
1
−1 < 0 ⇔
< 0 ⇔ x −1 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1
x −1
x −1
Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả 0 ≤ x < 1 .
x
<1
x −1

x
2
2


.
x −1
x + 1 x −1
a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
c. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1).
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2010– 2011)
Đáp án gợi ý :
Bài 10. Cho biểu thức A =

x ≥ 0

x ≥ 0

a. ĐKXĐ : A có nghĩa ⇔  x −1 ≠ 0 ⇔ 
. ĐS : A =


x ≠ 1
x −1 ≠ 0


x +1

x = 9 = 3.

b. x = 9 ∈ ĐKXĐ. Suy ra
Thay

x

x

x = 3 vào biểu thức A =

x +1

, ta có kết quả : A =

3
3
= .
3 +1 4

c. Với x ≥ 0 và x ≠ 1 , ta có:
B = A. ( x − 1) =

x
x +1

( x − 1) = x ( x − 1) = x − x
2

1
1 1 1
1
 1
= ( x ) − 2. x. +   − = ( x − ) 2 +  −  ≥ −

2
2  2 4
4
 4
2

1
Dấu bằng xảy ra khi ( x − ) 2 = 0 ⇔
2

x−

1
1
=0⇔ x=
2
4

1
 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là  −  đạt được khi x = .
4
 4

ĐT liên hệ : 0948294515

7

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

Bài tập đề nghị.
a +3

Bài 1. Cho biểu thức: M =

3− a

(với a ≥ 0; a ≠ 9.)
2 a −6 2 a +6
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm giá trị của a để M = 4.
c. Tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên lớn hơn 10. Tìm giá trị nguyên của M.
1
1
Bài 2. Cho biểu thức:
A=

−1
a −1
a +1
a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức A là một số nguyên.
3
3
x x+x
Bài 3. Cho biểu thức A =
+
+
x −3 − x
x−3 + x
x +1
61
a) Rút gọn A nếu x ≥ 3 ;
b) Tính giá trị của A khi x =
9+2 5



Bài 4. Cho biểu thức C =  1 −





x − 1 − 4x + 4   −1 + 2x
2 x −1 
:
1


 

5 − 4x
5 − 4x 2 x − 1 − 1 
 

b. Tìm các giá trị của x để C < C2.

 2a + 1
 1+ a3
a

.
Bài 5. Cho biểu thức P = 


a

3
3

 a −1 a + a +1  1+ a

b. Xét dấu của biểu thức P. 1 − a .
a. Rút gọn P.
a. Rút gọn C.

 a +1
a −1 a a 



 a −1
a + 1 a −1

Bài 6. Cho biểu thức : B = 
a. Rút gọn gọn B.

 1
1  
Bài 7. Cho biểu thức A = 

 : 
a  
 a −1

 a −a −3
1 


 a −1
a − 1

: 

b. So sánh B với 1.
a +1
a + 2


a −2
a − 1 

b. Tìm giá trị của a để A >

a. Rút gọn A.

1
.
6

2a + 4
a +2
2
+

a a −1 a + a + 1
a −1
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi a = 3 - 2 2 .
 1
  1
2 x −2
2 
 : 
Bài 9. Cho biểu thức A = 




 x + 1 x x − x + x − 1  x −1 x −1
a. Rút gọn A
b. Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó.

Bài 8. Cho biểu thức : P=

Bài 10. Cho biểu thức : P =

2a + 4
a +2
2
+

a a −1 a + a + 1
a −1

a. Rút gọn P.

b. Tính P khi a = 3 - 2 3 .

 2x + 1
1  
x+4 
 : 1 −
Bài 11. Cho biểu thức P= 



3
x −1  x + x +1
 x −1
a. Rút gọn P.
b. Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dương.

ĐT liên hệ : 0948294515

8

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh


x
1   1
2 
 : 
Bài 12. Cho biểu thức P = 

+


 x −1 x − x   x +1 x −1
a. Rút gọn P.
b. Tìm các GT của x để P > 0.
c. Tìm các số m để có các GT của x thoả mãn P. x = m − x .

x −4
3   x +2
x 
:
.
Bài 13. Cho biểu thức : P = 
+

 

x
x

2
x

2
x
x

2

 

a) Rút gọn P
b) Tính GT của P biết x=6 - 2 5
c) Tìm các GT của n để có x thoả mãn P.( x + 1) > x + n .

(

)


x+2  
x
x −4

Bài 14. Cho biểu thức : P =  x −
 : 


1

x
x
+
1
x
+
1

 

a) Rút gọn P.
b) Tìm các GT của x để P < 0.
c) Tìm GTNN của P.
4 x
8x
2
x −1
Bài 15. Cho biểu thức P = (
+
):(

)
2+ x 4− x x−2 x
x
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của x để P = -1.
c/ Tì m m để với mọi giá trị của x >9 ta có: m( x - 3)P > x+1

1   x −1 1− x 

Bài 16. Cho biểu thức P =  x −
 : 
+
x  
x
x + x 

a) Rút gọn P.
2
b) Tính GT của P khi x =
.
2+ 3
c) Tìm các GT của x thoả mãn P. x = 6 x − 3 − x − 4 .
 a+3 a +2
a+ a  1
1 
Bài 17. Cho biểu thức P= 

+

 : 
a −1   a +1
a −1
 a + 2 a −1

(

)(

)

a. Rút gọn P.

b.Tìm a để :

 1
Bài 18. Cho biểu thức P = 
+
 x
a. Rút gọn P

x 
x
:
.

x +1 x + x

b. Tính GT của P khi x = 4;

Bài 19. Cho biểu thức :

P=

1
a +1

≥ 1.
P
8

x
x −1

+

3
x +1



c. Tìm x để P =

13
.
3

6 x −4
x −1

1
b. Tìm các GT của x để P < .
2
 1

x
x
:
Bài 20. Cho biểu thức : P = 
+

x + 1 x + x
 x

a. Rút gọn P ;

a. Rút gọn P

ĐT liên hệ : 0948294515

b. Tính GT của P khi x= 4

9

c. Tìm GT của x để P =

13
3

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.
Bài 21.

Cho P =

GV : Nguyễn Tài Minh
x

x +3

+

a. Rút gọn P.

Bài 22. Cho T =

2 x

3x + 9
,x ≥ 0& x ≠ 9.
x −3 x −9
1
b. Tìm giá trị của x để P = . c. Tìm GTLN của P.
3



2x 2 + 4
1
1
.
2
1-x
1+ x 1- x

a. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T.

Bài 23. Cho A =

x

2

+ x x - x x + x

b. Tìm giá trị lớn nhất của T.

x
b. Tìm x thoả mãn A =

a, Hãy rút gọn biểu thức A
2

x - 2

+ 1.

4

 x -1
1  4 1 - x 
Bài 24. Cho biểu thức: M =  4
- 2
 x +
.
2
1 + x2 
 x - x + 1 x + 1
a. Rút gọn M.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M.


Bài 25. Cho biểu thức: P = 

a. Rút gọn P

x −1
x2 − 3x  
+
:
x − 2 x − x − 2  


x
1
+

x − 1 x − 3 x + 2 

2
c. Tìm x để P = − 2 x + 2 x − 1 .

b. Tìm x để P > 0.

 x + 2 x − x −3  x − x
2 

+
Bài 26. Cho biểu thức: P = 
 : 

x − 2 
 x +1 x − x − 2   x − x − 2
b. Chứng minh rằng : P < 1 . c. Tìm giá trị lớn nhất của P.
a. Rút gọn P
.....................Hết......................

Chuyên đề 2.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN,
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP.
A. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN.
1. Kiến thức cần nhớ :
* Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) ; a, b ∈ ℝ , x là ẩn.
Phương trình có duy nhất một nghiệm x = −

b
.
a

ax + by = c
a 'x + b ' y = c'

* Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : 

Trong đó : a, b, c, a', b', c' ∈ ℝ ; a, b không đồng thời bằng 0, a' và b' không đồng thời bằng 0 và x,
y là ẩn.
Các phương pháp giải hệ phương trình :
a) Phương pháp thế :
+) Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trình thứ hai ta
được phương trình bậc nhất một ẩn
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
b) Phương pháp cộng.
+) Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó của hệ số có hệ số bằng nhau hoặc đối
nhau).
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.

ĐT liên hệ : 0948294515

10

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

c) Phương pháp đặt ẩn phụ.
Trong quá trình giải toán, tùy vào từng trường hợp cụ thể để có phương pháp hợp lý.
B. VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

2x 3 − 1
b) 3
= 2.
x + x +1

x
x
a)
+
=2
x −1 x + 2

Phương pháp.
Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau :
Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + x = 0 bằng cách :
+ Tìm ĐKXĐ.
+ Quy đồng và khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa tìm được.
+ Kết hợp với ĐKXĐ để trả lời.
Giải.
a) ĐKXĐ : x ≠ 1, x ≠ - 2.
⇒ − x − 4 = 0 ⇔ x = −4 , thỏa mãn.
3
b) ĐKXĐ : x + x + 1 ≠ 0 (*)

⇒ 2x + 3 = 0 ⇔ x =

−3
.
2
3

−3
−31
−3
 −3  −3
Với x =
thay vào (*) ta có 
+1=
≠ 0 . Vậy x =
là nghiệm.
 +
2
2
8
2
 2 
Ví dụ 2. Tìm m nguyên để phương trình sau đây có nghiệm nguyên :
( m − 2 ) x + 2m 2 + m − 2 = 0 (1)
Giải.
Với m nguyên thì 2m − 3 ≠ 0 vậy phương trình 1 có nghiệm :

x=

− ( 2m 2 + m − 2 )
2m − 3

= − ( m + 2) −

4
2m − 3

Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3 ∈ {±1, ±2, ±4} .
Giải ra ta được m = 2 và m = 1.

2x + 3y = a
5x − 3y = 2

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình : 

1) Giải hệ phương trình với a = 1.
2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0.

Giải.

3

x=

2x + 3y = 1
2x + 3y = 1 
7
1) Với a = 1, ta có hệ phương trình : 
⇔
⇔
5x − 3y = 2 7x = 3
y = 1

21
2) Lấy phương trình đầu cộng với phương trình thứ hai ta có :

7x = a + 2 ⇒ x =

a+2
a+2
5a − 4
⇒ 2.
+ 3y = a ⇒ y =
7
7
21

Hệ có nghiệm

ĐT liên hệ : 0948294515

11

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

a + 2
>0
a > −2
 x > 0  7
4

⇔
⇔

4 ⇔ −2 < a <
5
y < 0
 5a − 4 < 0 a < 5
 21
4
hệ phương trình có nghiệm x > 0, y < 0.
5
 x − ( m + 3) y = 0
Ví dụ 4. Cho hệ phương trình : 
( m − 2 ) x + 4y = m − 1

Vậy với −2 < a <

1) Giải hệ khi m = -1.
2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.

Giải.

 x − 2y = 0
x = 2
⇔
−3x + 4y = −2
y = 1

1) Với m = -1 hệ phương trình đã cho có dạng : 

 x − ( m + 3) y = 0
( m − 2 ) x + 4y = m − 1

2) Xét hệ phương trình : 

(1)
(2)

Từ (1) ta có : x = ( m + 3) y thay vào (2) ta có : ( m − 2 )( m + 3) y + 4y = m − 1

⇒ ( m 2 + m − 2 ) y = m − 1 ⇒ ( m − 1)( m + 2 ) y = m − 1
(3)
*) Nếu m = 1 ta có : (3) ⇔ 0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y ⇒ hệ có vô số nghiệm.
*) Nếu m = - 2 từ (3) ⇒ 0 = - 3 hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm.
1
m+3
⇒x=
*) Nếu m ≠ 1,m ≠ −2 từ (3) ⇒ y =
m+2
m+2
m+3

=
x

m+2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 
y = 1

m+2
Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lẫn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng
chục 1 đơn vị. Và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới có hai chữ số bé hơn
số cũ 36 đơn vị.
Phương pháp.
Bước 1 : Lập hệ phương trình.
- Tìm mối liên hệ để dự kiến phương trình.
- Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn.
- Biểu thị các yếu tố qua ẩn.
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập.
Bước 3. Đối chiếu giá trị vừa tìm được với ĐK để trả lời.
Giải. Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện của ẩn là x và y
là số nguyên , 0 < x ≤ 9 và 0 < y ≤ 9. Khi đó, số cần tìm là xy = 10x + y . Khi viết hai chữ số
theo thứ tự ngược lại, ta được số yx = 10y + x . Theo bài ra ta có hệ phương trình :

2y − x = 1
− x + 2y = 1
⇔

(10x + y ) − (10y − x ) = 36  x − y = 4
Giải hệ phương trình ta có nghiệm : x = 9, y = 5 thỏa mãn ĐK bài toán
12
ĐT liên hệ : 0948294515
taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

Vậy chữ số cần tìm là : 95.
Ví dụ 6. Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một quảng đường AB sau 3 giờ thì gặp
nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau một giờ ô tô cách xe đạp 28 km. Biết
quảng đường AB dài 156km, tính vận tốc xe đạp và ôtô.
Giải. Gọi x là vận tốc xe ô tô là x (km/h, x >0), vận tốc xe đạp là y (km/h, y >0).

3x + 3y = 156  y = 40
⇔
 x − y = 28
 x = 12

Ta có : 

x = 40, y = 12 thỏa mãn ĐK bài toán.
Vậy vận tốc xe đạp là 12 km/h, vận tốc xe ô tô là 40 km/h.
Ví dụ 7. Một chiếc xe tải đi từ A đến B, quảng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ,
một chiếc xe khách bắt đầu đi từ B đến A và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe,
biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

Giải . Đổi : 1 giờ 48 phút =

9
giờ.
5

Gọi vận tốc xe khách là x (km/h) và vân tốc của xe tải là y (km/h). Điều kiện của ẩn là x và y là
những số dương. Theo bài ra ta có hệ phương trình.
 x − y = 13
14x + 14y = 182
 x = 49

⇔
⇔
9
14
9x − 14y = 945
 y = 36
 5 x + 5 y = 189
x = 49, y = 36 thỏa mãn ĐK bài toán.
Vậy vận tốc xe khách là 49 km/h, vận tốc xe tải là 36 km/h.

Ví dụ 8. Để trở một số hàng có thể dùng một ô tô lớn trở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ trở 15
chuyến. Ô tô lớn trở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ trở tiếp cho xong, hai xe
trở tổng cộng 14 chuyến xong công việc. Hỏi mỗi ô tô trở mấy chuyến.
Giải. Gọi x là sô chuyến ô tô lớn chở, y là sô chuyến ô tô nhỏ chở (x, y nguyên dương)

 x + y = 14
x = 4

Theo bài ra ta có hệ phương trình :  x
⇔
y
12 + 15 = 1  y = 10
x = 4, y = 10 thỏa mãn ĐK bài toán.
Vậy ô tô lớn chở 4 chuyến, ô tô nhỏ chở 10 chuyến.

Ví dụ 9. Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc
đội A làm được bằng

2
đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong
3

bao lâu ?
Giải. Gọi thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là x (ngày) và thời gian đội B làm một
mình xong đoạn đường là y (ngày). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Ta có :

1
(công việc).
x
1
Công việc đội B làm trong một ngày
(công việc).
y

Công việc đội A làm trong một ngày

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

ĐT liên hệ : 0948294515

13

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

1 2 1
1 1
=
x = 3 ⋅ y
 x = 60

 x 60
⇔
⇔

 y = 40
1 + 1 = 1
1 = 1
 x y 24
 y 40
x = 60, y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán.
Vậy thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là : 60 ngày, thời gian đội B làm một mình
xong đoạn đường là 40 ngày.
Ví dụ 10. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 7 giờ12 phút xong. Nếu một mình người
thứ nhất làm trong hai giờ sau đó một mình người thứ hai làm trong ba giờ làm được

1
công việc .
3

Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu lâu sẽ xong công việc ?
Giải. Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong
công việc (giờ, x, y > 7,2)
Trong một giờ :

1
công việc ;
x
1
Người thứ hai làm được
công việc ;
y

Người thứ nhất làm được

1 1 5
1 1
=
 x + y = 36
 x = 12

 x 12
Theo bài ra ta có hệ phương trình : 
.
⇔
⇔
 y = 18
2 + 3 = 1
1 = 1
 x y 3
 y 18
x = 12, y = 18 thỏa mãn ĐK bài toán.
Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ, một mình người thứ hai làm xong
công việc trong 18 giờ.
Ví dụ 11. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3
giờ và người thứ hai làm 6 giờ thi chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi
người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Giải. Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong
công việc (giờ, x, y > 16)
Trong một giờ :

1
công việc ;
x
1
Người thứ hai làm được
công việc ;
y

Người thứ nhất làm được

1 1 1
1 1
=
 x + y = 16
 x = 24

 x 24
Theo bài ra ta có hệ phương trình : 
.
⇔
⇔
 y = 48
3 + 6 = 1
1 = 1
 x y 4
 y 48
x = 24, y = 48 thỏa mãn ĐK bài toán.
Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, một mình người thứ hai làm xong
công việc trong 48 giờ.

ĐT liên hệ : 0948294515

14

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

Ví dụ 12. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1
giờ 30 phút. Nếu hai vòi chảy nhưng vòi thứ nhất chảy 15 phút, vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉ
được

1
bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bề là bao nhiêu ?
5

Giải. Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy một
mình đầy bể là y (giờ). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương. Ta có :

1
(bể nước).
x
1
(bể nước).
1 giờ vòi thứ hai chảy được
y

1 giờ vòi thứ nhất chảy được

Theo bài ra ta có hệ phương trình :
1 1 2
1 4
15

=
x=
x + y = 3

 x 15

4
⇔
⇔

1
2
1
1
1
5
 +
 =
y =
=

 4x 3y 5
 y 5
2

15
5
, y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán.
4
2
15
5
giờ ; vòi thứ hai chảy một mình đầy bể : giờ.
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể :
4
2

x=

Bài tập tự luyện.

3x − 2y = 6
Bài 1. Cho hệ phương trình : 
ax + y = −3
1) Giải hệ phương trình với a = 4.

(x, y là ẩn ; a là tham số)

2) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y =

3
x.
4

ax + y = 3
Bài 2. Cho hệ phương trình : 
 x + ay = −1
1) Giải hệ phương trình với a = 3
2) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
( a − 1) x − ay = 3a − 1
Bài 3. Cho hệ phương trình : 
 2x − y = a + 5

1) Giải hệ phương trình với a = 3
2) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho :
S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 mx – y = 2
Bài 4. Cho hệ phương trình: 
3x + my = 5
1) Giải hệ phương trình khi m = 2.
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho: x + y = 0.
Bài 5. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 4
giờ rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì họ làm được

1
công việc. Hỏi nếu làm một
3

mình thì mỗi người mất bao lâu để hoàn thnàh công việc ?
Bài 6. Để chở một đoàn khách 320 người đi tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công ty xe
khách đã bố trí 2 loại xe, loại thứ nhất mỗi xe có 40 chỗ, loại thứ hai mỗi xe có 12 chỗ. Em hãy tính

ĐT liên hệ : 0948294515

15

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

số xe mỗi loại biết loại thứ nhất ít hơn số xe loại thứ hai là 5 chiếc và số người ngồi vừa đủ số ghế
trên xe.
Bài 7. Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong. Nếu người thứ nhất làm
trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm
một mình thì sau bao lâu xong việc ?
Bài 8. Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một
mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm
được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng
năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi).
Bài 9. Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A của trường
trung học cơ sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường. Mỗi đoàn viên lớp 9A trồng 3 cây,
mỗi đoàn viên lớp 8A trồng hai cây. Biết rằng số đoàn viên lớp 9A nhiều hơn số đoàn viên lớp 8A là
5 người. Hãy tính số đoàn viên của các lớp 9A và 8A.

Bài 10. Cho hệ phương trình :

(1)
 mx − y = 3

 2x + my = 9 (2)

1) Giải hệ phương trình khi m=1
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức
A = 3x - y nhận giá trị nguyên .
 2x + y = 5m − 1
Bài 11. Cho hệ phương trình: 
(m là tham số)
 x − 2y = 2
1) Giải hệ phương trình với m = 1
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1.
 mx − y = 2 (1)
Bài 12. Cho hệ phương trình : 
 x + my = 1 (2)
1) Giải hệ phương trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
(a − 1)x + y = a
Bài 13. Cho hệ phương trình: 
có nghiệm duy nhất là (x; y).
 x + (a − 1)y = 2
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
2x − 5y
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
x+y
( a + 1) x + y = 4
Bài 14. Cho hệ phương trình 
(a là tham số).
ax + y = 2a
1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y ≥ 2.
2 x − y = m − 2
Bài 15. Cho hệ phương trình: 
 x + 2 y = 3m + 4
1) Giải hệ phương trình với m = 1
2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10
 x − 2y = 3 − m

2x + y = 3(m + 2)
1) Giải hệ phương trình khi thay m = - 1.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl.

Bài 16. Cho hệ phương trình:

ĐT liên hệ : 0948294515

16

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.
Bài 17. Cho hệ phương trình:

GV : Nguyễn Tài Minh
 x + ay = 1
(1)

ax + y = 2

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.

Chuyên đề 3.
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Giải phương trình bậc hai dạng : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
a) Nhẩm nghiệm:
 x1 = 1
a + b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghiệm: 
.
 x2 = c
a

 x1 = − 1
a – b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghiệm: 
.
 x2 = − c
a

b) Giải với ∆ ' :
b
Nếu b = 2b’ ⇒ b’ = ⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac.
2
−b ' + ∆ '
−b ' − ∆ '
+) Nếu ∆ ' > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt : x1 =
; x2 =
a
a
−b '
.
+) Nếu ∆ ' = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
+) Nếu ∆ ' < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
c) Giải với ∆ :
Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac.
−b + ∆
−b − ∆
+) Nếu ∆ > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =
; x2 =
2a
2a
−b
+) Nếu ∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
.
2a
+) Nếu ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
* Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
- (1) có 2 nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ; có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 .
∆ ≥ 0
- (1) có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ 
.
P > 0
- (1) có 2 nghiệm dương

∆ ≥ 0

⇔ P > 0
S > 0


- (1) có 2 nghiệm âm

∆ ≥ 0

⇔ P > 0
S < 0


- (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 (hoặc P < 0)
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:

ĐT liên hệ : 0948294515

17

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

b

S = x1 + x2 = −


a
a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có: 
.
c
P = x x =
1 2

a
b) Định lý đảo:
u + v = S
Nếu 
⇒ u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P ≥ 0).
u.v = P
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
+ Tổng bình phương các nghiệm: x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = S2 – 2P.
x +x
1 1
S
+ Tổng nghịch đảo các nghiệm: +
= 1 2 = .
x1 x2
x1 x2
P
+ Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:

1
1
x12 + x22 S2 − 2P
.
+
=
=
x12
x22 ( x1 x2 )2
P2

+ Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = S2 – 4P.
+ Tổng lập phương các nghiệm: x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát.
2) Xác định tham số đẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai
nghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu ...
3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số.
4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH.
Bài 1. Cho phương trình bậc hai x2 + 2x – m = 0 (1)
1) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 4
2) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x14 + x24
Bài 2. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
2) Giải phương trình (1) khi m = – 2.
3) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 3. Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = 3.
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ
thuộc vào m.
Bài 4. Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc
lập với m.
Bài 5. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 5.
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3.Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập
với m.
4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 6. Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –2.
2. Chứng minh rằng : ∀m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

ĐT liên hệ : 0948294515

18

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:
A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m.
Bài 7. Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1).
1) Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2) Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = x12 + x 22 theo m.
4) Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 8. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
5. Tìm m để x12 + x 22 = 10.
Bài 9. Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1).
1) Giải phương trình (1) khi m = –1.
2) Tìm m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
Bài 10. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên
hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
Bài 12. Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0
1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 13. Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1)
1) Giải phương trình (1) khi m = 2.

5
x1x 2 .
2
3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x1 − x2 .

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 =

Bài 14. Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0
1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
2

Bài 15. Cho phương trình: x − 2(m − 1)x + 2m − 4 = 0 ( m là tham số)
1) Giải phương trình khi m = -2.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
3) Tìm 1 hệ thức không phụ thuộc tham số m giữa các nghiệm.
Bài 16. Cho phương trình: (m+1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0.
(1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 0.
2. Định m để phương trình (1) có nghiệm.
3. Định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18.
Bài 17. Cho phương trình: 3x2 - 4x + m + 5 = 0 (m là tham số)
(1)
1. Giải phương trình với m = - 4
2. Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho
2

Bài 18. Cho phương trình: x − mx + m
1. Giải phương trình khi m = 2.

ĐT liên hệ : 0948294515

2

−m−3 = 0
19

1
1
4
+
=−
x1 x 2
7

(với m là tham số).

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

2. Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 là dộ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông
ABC có độ dài cạnh huyền BC = 2.
Bài 19. Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 9 = 0. (1)
1. Giải phương trình (1) với m = 1.
2. Tìm m để (1) có 2 nnghiệm phân biệt.
3. Gọi 2 nghiệm phân biệt của (1) là x1 và x2. Hãy xác định các giá trị của m để:

x1 − x 2 = x1 + x 2 .
Bài 20. Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1).
Bài 21. Một canô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi quay trở lại A ngay mất 4 giờ. Biết quãng sông AB
dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h. Tính vận tốc thực của canô ?
Bài 22. Hai ôtô khởi hành cũng một lúc từ A đến B cách nhau 150km. Biết vận tốc ôtô thứ nhất hơn
vận tốc ô tô thứ hai 10km/h và ôtô thứ nhất đến B trước ôtô thứ hai 45 phút. Tính vận tốc mỗi xe ?
Bài 23. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Xe máy thứ nhất có vận tốc trung bình
lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính
vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quãng đường AB dài 120km.
Bài 24. Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10
km/h và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường
là 8 giờ.
Bài 25. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy . Nếu từng vòi
chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể sẽ ít hơn vòi thứ 2 chảy đầy bể là 10 giờ . Hỏi nếu
chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ?
Bài 15. Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian xuôi
ít hơn thời gian ngược 1h20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng
nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược là bằng
nhau.
Bài 26. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 12 0km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi
được

1
quảng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc
3

dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 27. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 96km trong một thời gian nhất định. Sau
khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút. Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã
tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh
trên đường.
Bài 28. Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được
2 giờ với năng xuất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng năng xuất được 2 sản
phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng xuất
dự kiến ban đầu.
Bài 29. Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B cách nhau 80km,sau đó lại
ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca nô ngược
dòng 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô,biết vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Bài 30. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc
thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của người đi
xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 31. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay
lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong
nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài 32. Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10km
nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe ô tô, biết quãng đường AB dài là
300km.

ĐT liên hệ : 0948294515

20

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

Bài 34. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là
như nhau.
Bài 35. Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến
B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính
vận tốc mỗi xe.
Bài 36. Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 (m là tham số).
1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình).
Bài 37. Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8.
2
Bài 38. Cho phương trình : x – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
1) Giải phương trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4.
Bài 39. Cho phương trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải
phương trình, hãy tính:
x 2 + x 2 + x1 x 2 ( x1 + x 2 )
1) x12 + x22 ;
2) x1 x1 + x 2 x 2 ;
3) 12 2 2
.
x1 x1 − 1 + x 22 x 22 − 1

(

ĐT liên hệ : 0948294515

21

)

(

)

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

Chuyên đề 4.

GV : Nguyễn Tài Minh

Hàm số y = ax + b và hàm số y = ax2

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số y = ax + b :
a. Tính chất :
• Xác định với mọi giá trị của x thuộc ℝ .
• Đồng biến trên ℝ khi a > 0.
• Nghịch biến trên ℝ khi a < 0.
b. Đồ thị :
• Đồ thị là đường thẳng với hệ số góc a.
• Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
c. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b.
Bước 1 : Xác định hai điểm phân biệt.
Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a'x + b' (d2)
• (d1) cắt (d2) ⇔ a ≠ a' .
Chú ý : Giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a'x + b' (d2) là nghiệm của hệ

ax + b = a 'x + b '
 y = ax + b

:



a = a '
b ≠ b'

(d1) song song (d2) ⇔ 

• (d1) vuông góc (d2) ⇔ a . a' = -1.
e. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) ; B(xB;yB) có dạng :

x − xA
y − yA
=
x A − x B yA − yB

2. Hàm số y = ax2(a ≠ 0):
a. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) có những tính chất sau:
• Xác định với mọi giá trị của x thuộc ℝ .
• Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
b. Đồ thị của hàm số y = ax2(a ≠ 0):
+ Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
c. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0):
+ Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
+ Dựa và bảng giá trị → vẽ (P).
3. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) và (d): y = kx + b:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số
bằng nhau → đưa về pt bậc hai dạng ax2 - kx - c = 0.
• Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu ∆ > 0 ⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu ∆ = 0 ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu ∆ < 0 ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (D) và (P) không giao nhau.
B. VÍ DỤ

ĐT liên hệ : 0948294515

22

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

Ví dụ 1. Cho hàm số y = ( k − 3) x + k + 2 . Xác định các giá trị của của k để :
a. Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến.
b. Vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 ; k = 3 ; k = 4.
c. Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2).
d. Đồ thị cắt hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích bằng 2
Đáp án gợi ý.
a. Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến ⇔ k − 3 > 0 ⇔ k > 3
b. Hướng dẫn HS vẽ đồ thị.
c. Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2) nên ta có −2 = ( k − 3) .1 + k + 2 ⇔ k =

−1
.
2

2+k 
;0  , cắt trục tung tại B ( 0;2 + k ) .
 3− k 

d. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A 

Diện tích tam giác vuông AOB (O là gốc tọa độ) bằng :

1 2+k
2
. 2 + k = 2 ⇔ (2 + k) = 3 − k .
2 3−k
+) Với 3 − k ≥ 0 ⇔ k ≤ 3 thì phương trình có dạng : k 2 + 8k − 8 = 0 , phương trình có hai
nghiệm k1 = −4 − 2 6 , k 2 = −4 + 2 6 (thỏa mãn)
+) Với 3 − k < 0 ⇔ k > 3 thì phương trình có dạng : k 2 + 16 = 0 , phương trình vô
nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A (1 ; 3), B(2 ; 5).
a. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và B.
b. Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ .
c. Lập phương trình đường thẳng đi qua C(-4 ; 1) và song song với ∆ ; vuông góc với ∆ .
Đáp án gợi ý.
a. Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng :

x − xA
y − yA
nên :
=
x A − x B yA − yB

x −1 y − 3
=
⇔ −2 ( x − 1) = − ( y − 3) hay y = 2x + 1
1− 2 3 − 5
Vậy đường thẳng ∆ có dạng : y = 2x + 1.
−1
b. Đường thẳng ∆ cắt Ox tại D(
; 0), cắt trục tung Oy tai E(0 ; 1). Gọi H là chiếu của O
2
trên ∆ , ta có :
1
1
1
1
1
1
=
+
=
2 + 2 = 4 + 1 = 5 ⇒ OH =
2
2
2
OH
OD OE  1  1
5
− 
 2
c. Đường thẳng (d) đi qua C có dạng : y = ax + b.
Do (d) // ∆ nên hệ số góc a = 2 ⇒ y = 2x + b (b ≠ 1). Vì (d) đi qua C(-4 ; 1) nên :
1 = 2(-4) + b ⇔ b = 9. Vậy đường thẳng (d) là y = 2x + 9.

1
−1
⇒ y = x + b . Vì (d) đi qua C(-4 ; 1) nên :
2
2
1
−1
x − 1.
1 = − (-4) + b ⇔ b = -1. Vậy đường thẳng (d) là y =
2
2

+) Do (d) ⊥ ∆ nên a . 2 = -1 ⇒ a = −

ĐT liên hệ : 0948294515

23

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường thẳng (d) có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2.
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) : y = x2 tại hai điểm phân biệt A,B.
b) Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m.
Bài 2. Cho hàm số y = (m - 2)x + 3 + m.
a) Xác định m để hàm số là hàm số bậc nhất đồng biến.
b) Xác định m để đồ thị hàm số là đường thẳng đi đi qua M(1 ; 3) ;
c) Xác định m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ thành một tam giác có diện tích
bằng 1.
Bài 3. Cho hàm số : y =

1 2
x có đồ thị là parabol (P).
4

a) Viết phương trình đường thảng qua hai điểm A và B thuộc (P) nếu :
xA = -2, xB = 4.
b) Xác định tọa độ điểm M ∈ (P) biết đường thẳng tiếp xúc với (P) tại M song song
với đường thẳng AB.
Bài 4. Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1.
a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 3.
Bài 5. Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 (m là tham số).
trình).

1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương

Bài 6. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1
đồng quy.
Bài 7. Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có
diện tích bằng 1 (đvdt).
Bài 8. Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P).
1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( 2 ; -4) có thuộc (P) không ?
2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P).
1
Bài 9. Cho hàm số y = − x 2 .
2
1) Vẽ đồ thị của hàm số.
2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là 1 và -2. Viết phương trình
đường thẳng AB.
3) Đường thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao
điểm ấy. Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22.
Bài 10. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm
cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 − 1 .

ĐT liên hệ : 0948294515

24

taiminh1978@gmail.com


Giáo án ôn thi vào 10.

GV : Nguyễn Tài Minh

1
2

Bài 11. Cho hàm số y = f(x) = − x 2 .
1
1) Với giá trị nào của x hàm số trên nhận các giá trị : 0 ; -8 ; - ; 2.
9
2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là -2 và 1. Viết phương trình
đường thẳng đi qua A và B.
3
Bài 12. Cho hàm số y = f(x) = x 2 .
2
1) Hãy tính f(2), f(-3), f(- 3 ), f( 2 ).
3

 1 3
 3
2) Các điểm A  1;  , B 2; 3 , C ( −2; − 6 ) , D  −
;  có thuộc đồ thị hàm số không ?
2 4
 2

Bài 13. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*).
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua:
c) C(2 ; -1).
a) A(-1; 3) ;
b) B( 2 ; -5 2 ) ;
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc
vuông phần tư thứ IV.
Bài 14. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*).
1 
b) B 2; − 1 ; c) C  ; 5  .
1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: a) A(-1 ; 3) ;
2 
2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1.
Bài 15. Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0.
1
3) Tiếp xúc với parabol y = - x 2 .
4
Bài 16. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Biết rằng (d) cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = -2x + 2003.
1) Tìm a và b.
1
2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và Parabol y = − x 2 .
2
2
Bài 17. Cho parabol (P) : y = x và đường thẳng (D) : y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số).
1) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P).
2) Chứng minh rằng với mọi a (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3) Giả sử x1 và x 2 là hoành độ các giao điểm của (D) và (P). Tìm a để x12 + x 22 = 6 .
1
Bài 18. Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m ≠ . Hãy xác định m
2

(

)

(

)

trong mỗi trường hơp sau :
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB cân.

ĐT liên hệ : 0948294515

25

taiminh1978@gmail.com


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×