Tải bản đầy đủ

Giao an gioi han

GIÁO ÁN GIỚI HẠN
Nhóm 3: Lê Hồng Mỹ Kim
Quảng Thị Kim Thạch
Số tiết: 2 tiết
Đối tượng HS: Khá – Giỏi

GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I-

Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
+ Giúp học sinh nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0, giới hạn là một số
thực, ghi nhớ một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp.
+ Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn
vô cực của hàm số.
+ Có thể nói giới hạn là sợi chỉ nam xuyên suốt quá trình học về phép tính tích
phân. Việc dạy tốt về giới hạn là yêu cầu rất quan trọng để từ đó học sinh hiểu rõ
hơn về đạo hàm và tích phân.
2. Về kĩ năng:

+ Tìm được giới hạn của vài dãy số, hàm số đơn giản.
+ Biết cách chứng minh một dãy số có giới hạn bằng 0.
+ Biết áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số để tìm giới hạn( hữu hạn và vô
cực) của một số hàm số.
3. Về tư duy, thái độ:
+ Rèn tư duy logic, cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận.
+ Biết nhật xét và ĐG bài làm của bạn cũng như tự ĐGKQ học tập của bản
thân.
+ Có tinh thần hợp tác trong học tập.
IIChuẩn bị của GV và HS:
1. GV: giáo án, SGK.
2. HS: đồ dùng học tập, đọc SGK.
III- Phương pháp:
Vận dụng linh hoạt các phương pháp nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát
hiện, chiếm lĩnh tri thức như: trình diễn, thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn
đề… Trong đó PP chính được sử dụng là gợi mở, vấn đáp.
IV- Tiến trình bài học:
1.
Ổn định tổ chức
Kiểm tra sĩ số, KT sự chuẩn bị của HS cho bài học (sách, vở, dụng cụ, tâm thế…)
2.
Kiểm tra bài cũ: ( GV gọi HS lên bảng và cho điểm)
Câu hỏi 1: xét tính tăng, giảm của các dãy số sau đây:
3
n
2
b) u n = n + 1

a) u n =

Câu hỏi 2: xét tính bị chặn của dãy số sau đây:
un =

n +1
.
n

Trang 1


Hoạt động của Giáo Viên
Câu Trả lời dự kiến của HS
HOẠT ĐỘNG 1: Gợi động cơ, hình thành biểu tượng về khái niệm (10 phút)
Ở môn Sinh học lớp 9, các em đã được học về
giới hạn sinh thái nhiệt độ của loài cá rô phi, giới
hạn chịu nhiệt tối đa của cá rô phi là 420C, giới
- Vậy giới hạn là khả năng tối đa
0
hạn chịu nhiệt tối thiểu của cá rô phi là 5 C . Từ
hoặc tối thiểu mà ta đạt được.
đó cho cô biết, theo em hiểu thế nào giới hạn?
Vậy trong toán học, ta hiểu giới hạn như thế nào?
Lý do từ đâu người ta đưa ra khái niệm về giới
hạn. Để giải quyết vấn đề này hôm nay chúng ta
sẽ học bài GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
HÀM SỐ.
Hoạt động 2: Tiếp cận định nghĩa
Để có thể đi vào hiểu rõ khái niệm giới hạn là gì
và tại sao có khái niệm “giới hạn” trong toán học
( limit hay viết tắt là lim) chúng ta hãy cùng nhau
tìm hiểu hai câu chuyện nghịch lý của Zenon.
Câu chuyện đầu tiên nói về vị thần Achilles
(tiếng Việt thường gọi là Asin) - mệnh danh là vị
thần có thể di chuyển với tốc độ nhanh nhất mà
cả thế gian không ai bằng trong thần thoại Hy
Lạp. Câu chuyện thứ hai nói về cách một mũi tên
đi đến đích nhưng không bao giờ tới được
Câu chuyện 1 - Achilles chạy đua cùng rùa
Chuyện kể rằng một ngày nọ, thần Achilles chạy
thi với một con rùa. Do được mệnh danh là thần
về tốc độ nên Achilles nhường rùa một đoạn,
Achilles ở tại x1 , rùa ở tại x2 . Cả hai xuất phát
cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ
của thần Achilles là phải đuổi kịp con rùa. Theo
các em Asin có đuổi kịp con rùa hay không?

Dạ có.

Thế nhưng, Zê – nông, một nhà triết học cổ nói
rằng Asin không bao giờ có thể đuổi kịp con rùa.
Ông đã nói như sau : Xuất phát ban đầu Achilles
ở tại x1 , rùa ở tại x2. Chỉ trong nháy mắt, không
mấy khó khăn, Achilles đến được x2 . Thế nhưng
dù rùa chạy chậm thì vận tốc của nó vẫn lớn hơn
0 và nó đi đến được x3 . Tiếp tục, Achilles đuổi
đến x3 thì rùa đến x4, Achilles đuổi đến x4 thì rùa
Trang 2


đến x5, ….

- Thực tế, vận tốc của Achilles lớn
hơn do đó sau một quãng thời gian
nhất định, Achilles sẽ vượt xa chú rùa
chứ chưa cần nói tới việc đuổi kịp.
Cứ tiếp tục như thế, các điểm này luôn luôn tồn
tại và như thế thì Achilles, một vị thần về tốc độ
lại không đuổi kịp một con rùa. Điều này là vô lý
theo lẽ thường tình, nhưng hoàn toàn không có gì
mâu thuẩn trong lập luận trên, vậy sai lầm của
Zenon ở đâu? Bạn nào có thể thử giải đáp được
nghịch lý trên hay không?
Câu chuyện 2 - Mũi tên không bao giờ trúng
đích
Ta bắn một mũi tên đến bia. Nếu đặt vị trí chỗ
xuất phát tên là A0 , bia là B . Ở đây ta đang xét
đến thực tế là khoảng cách giữa người cung thủ
và bia không quá xa, vì nếu nó quá xa, lực bắn
không đủ thì do trọng lực, mũi tên sẽ rơi giữa
đường.
Mũi tên muốn đến được bia thì phải đi qua trung
điểm A1 của A0B . Từ A1 muốn đến được B phải
qua trung điểm A2 của A1B . Từ A2 muốn đến B
phải qua trung điểm A3 của A2B,…..

Cứ tiếp tục như vậy, mũi tên phải lần lượt qua
trung điểm của các đoạn thẳng chia nhỏ, mà số
điểm trong một đoạn thẳng là vô số nghĩa là mũi
tên phải đi qua vô số điểm, đồng nghĩa với việc
không bao giờ đến được đích.
Nhận xét
Từ thực tế, Achiles không thể nào không chạy
bằng rùa, và kết quả là anh ta sẽ chạy được đến
đúng chỗ con rùa đang đứng. Cũng như mũi tên
không có chuyện bay mãi mà không ghim vào
bia. Thực tế chắc chắn nó sẽ đến được đích.
Trang 3


Việc trả lời cặn kẻ bài toán “Asin và con rùa”,
“Mũi tên không bao giờ trúng đích” không thể
dung lí luận bình thường như chúng ta thường
nghĩ, mà cần có một phép toán mới, đó chính là
phép toán giới hạn.
Vậy phép toán giới hạn giải quyết nghịch lý của
2 câu chuyện trên như thế nào, bây giờ cô cùng
các em sẽ đi tìm hiểu.
Bây giờ ta xét ví dụ về mũi tên, nếu ở thời
điểm bắt đầu bắn, khoảng cách giữa mũi tên
và bia là
x0 = 1
• Lần 1: mũi tên đến được trung điểm của
A0B , khi ấy khoảng cách là
x1 =

1
2

• Lần 2: mũi tên đến được trung điểm của
A1B , khi ấy khoảng cách là
1
22

x2 =

• Lần 3: mũi tên đến được trung điểm của
A2B , khi ấy khoảng cách là
x3 =

1
23

1 1 1
1
; 2 ; 3 ;....; n
2 2 2
2

………………
• Lần thứ n : mũi tên đến được trung điểm
của An-1B , khoảng cách là
xn =

1
2n

Các em cho cô biết chúng ta có được dãy số nào?
Như vậy chúng ta đã xây dựng được một dãy số
(xn) với xn =

1
2n

-

Dạ rồi.

Bây giờ cô sẽ biểu diễn dãy số này lên trục số
(Slide power point)
Ở đây ta thấy với n càng lớn thì xn sẽ ngày càng
nhỏ và gần tới số 0, cô nói rằng dãy số xn có giới
hạn là 0.
Vậy các em đã hiểu được nôm na như thế nào là
giới hạn của dãy số hay chưa?
Để đi đến định nghĩa chính xác về dãy số có giới
hạn 0, ta xét thêm về dãy số vừa tìm được.
HOẠT ĐỘNG 2: Phác thảo định nghĩa, nêu định nghĩa chính thức (6 phút)
Trang 4


* Bài toán mở đầu: Cho dãy số (xn) với
xn =

1
,n∈ N *
n
2

Cho học sinh xem hình vẽ biểu diễn dãy số này
trên trục số trên Geogebra và đặt câu hỏi
a) Quan sát khoảng cách từ xn đến 0 thay đổi như
thế nào khi n lớn dần. Vậy có khi nào khoảng
cách từ xn tới số 0 bằng 0 không? (zoom đồ thị
lại).
Cho một số dương nhỏ tùy ý, ta luôn tìm được
n∈ N* để khoảng cách từ xn đến 0 nhỏ hơn số
đó. Và khi n đủ lớn, tức là khi n → +∞ ,
khoảng cách từ xn đến 0 có thể nhỏ tùy ý. Một
dãy số (xn) có tính chất như thế ta nói dãy số
(xn) có giới hạn là 0
b)Tìm n để:
i) Khoảng cách từ xn đến 0 nhỏ hơn 1/4 (Tức là

a) Khi n càng lớn thì khoảng cách từ
xn đến 0 càng nhỏ.
-Dạ không. Do n >0 nên |xn| =

suy ra không có n nào để khoảng
cách xn tới 0 bằng 0.
b)
1
4

i) xn < ⇒

1 1 1
< =
⇒n>2
2n 4 22

ii)
xn <

1
1
1
1
⇒ n <
= 10 ⇒ n > 10
1024
1024 2
2

1
4

tìm n để xn < )
ii) Khoảng cách từ xn đến 0 nhỏ hơn 1/1024
→ Như vây kể từ số hạng thứ 3 trở đi thì xn <

và kể từ số hạng thứ 11 thì xn <

1
,
4

1
.Vậy thì ta
1024

thấy rằng |xn| luôn nhỏ hơn một số dương bé tùy
ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu cô chọn số dương là

1
>0
2n

1
thì ta thấy kể từ n
2100

= 101 trở đi, khoảng cách xn tới 0 đều nhỏ hơn
1
.
2100

Như vậy nghĩa là |xn| có thể nhỏ bao nhiêu cũng
được miễn là ta chọn n đủ lớn( n → +∞ )
*Lưu ý: Khoảng cách từ xn đến 0 chính bằng trị
tuyệt đối của số hạng xn
HĐTP 2: Hình thành định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.
Hoạt động của GV
Câu trả lời dự kiến của HS
*Từ phần tiếp cận định nghĩa, ta có HS ghi bài
khái niệm giới hạn 0
I- Giới hạn hữu hạn của dãy số.
1. Khái niệm giới hạn 0.
Định nghĩaDãy số (un) được gọi là có
giới hạn 0 khi n dần tới dương vô
Trang 5


cực,nếu u n có thể nhỏ hơn một số
dương bé tuỳ ý kể từ số hạng nào đó
trở đi.

lim u

Kí hiệu

n → +∞

n → +∞

n

=0

hay u n → 0 khi

Ta có thể viết tắt lim un = 0 .
VD: nlim
→ +∞

1
1
= 0 hay lim n = 0
n
2
2

HĐTP 3: Vd củng cố.
Hoạt động của GV
Ví dụ 1: Xét dãy số ( un )

Câu trả lời dự kiến của HS
với

( −1)
un = 2 .
n

n

a) Ta xét un ?
b) Giả sử un < 0, 01 thì n như thế
nào?

VD1: a) un =

( −1)

b) un < 0, 01 ⇔

n

2

n

=

1
n2

1
< 0, 01 ⇔ n 2 > 100
n2

⇒ n> 10

vậy kể từ số hạng thứ 11 trở đi un < 0, 01 .
c) lim un = 0

n
Từ đó cho biết kể từ số hạng thứ
−1)
(
d)Dãy số un = 2 là dãy không tăng, không giảm,
mấy của dãy số thì un < 0, 01 ?
n
c)Tìm giới hạn của dãy số (un)?
và không có tính bị chặn.
d) Nêu nhận xét về dãy số đã cho?
Tính đơn điệu, bị chặn?

! Nhận xét: Dãy số (un) có giới hạn 0
khi và chỉ khi dãy số ( un ) có giới hạn
0.
Dãy ( un ) có thể không đơn điệu và có
thể dần về 0 từ bên trái hay bên phải,
hoặc từ cả hai phía.
Ví dụ 2: Em hãy đưa ra một vài ví dụ VD2: un =
về dãy số dần tới 0 khi n dần tới vô
1
cực.
un = 3
n
→ Vậy từ bây giờ các em ghi nhớ cho
cô các dãy sau có giới hạn là 0.

1
n

3, Một vài giới hạn đặc biệt:
Từ định nghĩa ta suy ra các giới hạn
sau:


lim

1
1
= 0 ; lim k = 0 với k ∈ Z*
n
n
Trang 6





lim q n = 0 nếu q < 1 ;
lim c = c với c là hằng số.

n
1
1
1
VD: lim n = lim  ÷ = 0 vì < 1 .
5
5
5
lim 2 = 2 .

 Giải quyết câu chuyện số 1:
Con rùa đưa Achilles vào thế bằng cách dùng chính vị trí xuất phát của nó làm đích đến cho
Achilles trong mỗi chặng rồi dựa vào đó mà tạo ra bài toán vô tận. Chưa đầy 100 năm sau kể
từ khi Zenon đưa ra câu chuyện này, Aristotle (384 – 322 TCN) đã phá giải nghịch lý đầu tiên.
Theo đó, ông nhận xét rằng vì khoảng cách giữa Achilles và con rùa sẽ giảm dần do người
hùng trận chiến Trojan chạy rất nhanh nên sẽ rút ngắn được thời gian cần thiết để bắt kịp vị trí
trước đó của rùa, tức là thời gian cần thiết để thực hiện di chuyển những khoảng cách đó cũng
giảm dần. Vì thế mà tới một lúc nào đó, thời gian giảm đến 0 và Achiles sẽ bắt kịp chú rùa
 Giải quyết câu chuyện số 2:
Nhận thấy mũi tên không dừng lại, nó vẫn cứ tiếp tục bay đi, bay mãi, khi ấy có nghĩa nó cứ
qua trung điểm, rồi qua trung điểm, mãi như vậy.
Hay nói cách khác, ta không có lần thứ n cố định, n của ta sẽ lớn mãi lớn mãi.Tức là n sẽ tiến
về vô tận ( n → ∞ ). Và cuối cùng khoảng cách giữa mũi tên và bia đến một lúc nào đó sẽ dần
về 0 (mũi tên trúng đích).
Giới hạn này tồn tại vì thực tế chỉ ra mũi tên chắc chắn trúng đích.
• Tuy nhiên để có lí giải thỏa đáng hơn, sau khi học hết chương giới hạn. Các em sẽ có
câu trả lời hợp lí nhất.

Trang 7


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Gợi vấn đề: “ Câu chuyện về Archimedes và số π ”.
Archimedes vẽ một hình đa giác ngoài hình tròn và một hình đa giác nằm trong đường tròn.
Khi số lượng các cạnh của hình đa giác tăng lên, nó sẽ gần như trở thành bằng với hình tròn.
Khi các cạnh đa giác có 96 cạnh, ông tính các chiều dài các cạnh và thấy giá trị số π nằm
1
10
( xấp xỉ 3,1429) và 3 ( xấp xỉ 3,1408), gần với giá trị thực của nó là xấp
7
71
xỉ 3,1416. Ông cũng đã chứng minh rằng diện tích của hình tròn bằng π R 2 .

trong khoảng 3

Giả sử chưa biết công thức tính diện tích hình tròn, chúng ta tính như thế nào.

GV gợi ý cho HS, mình sẽ tính diện tích đa giác nội tiếp của hình tròn. Việc tăng số cạnh của
đa giác, sao cho các tam giác cân là bằng nhau, liệu có tính được chính xác diện tích của hình
tròn không.
GV dẫn HS đến giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
HOẠT ĐỘNG CỦA
DỰ KIẾN HOẠT ĐỘNG CỦA
GIÁO VIÊN
HỌC SINH
III. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
GV cho hàm số f ( x ) =
thị như hình vẽ

4
có đồ
x−4

Cho HS quan sát đồ thị trên phần
mềm GeoGebra và cho biết:
+ Khi x càng lớn ( nhỏ), thì f(x) dần
tới giá trị nào.

HS quan sát đồ thị
Trả lời câu hỏi của GV:
- Khi x càng nhỏ thì f(x) tiến dần đến 0.
- Khi x càng lớn thì f(x) tiến dần đến 0.
Trang 8


GV gợi ý cho HS giới hạn vô cực
của hàm số tại 1 điểm được định
nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn
của hàm số tại 1 điểm.
Gọi HS lên phát biểu định nghĩa
giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô
cực.
Sau khi HS phát biểu định nghĩa,
GV gợi ý cách viết kí hiệu cho HS
lên viết.

Ví dụ 1 : Cho hàm số
x 2 − 3x + 2
. Tìm
x
lim f ( x ), lim f ( x )
f ( x) =

x →+∞

x →−∞

Hướng dẫn HS lên bảng giải.
Nhận xét bài làm của HS.

HS phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của
hàm số tại vô cực ( có thể đọc phát biểu định
nghĩa trong SGK):
“ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
( a; +∞ ) . Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số
L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a
và xn → +∞ , ta có f ( xn ) → L ”.
f ( x) = L
Kí hiệu: xlim
→+∞

hay f ( x ) → L khi x → +∞
Tương tự, HS phát biểu định nghĩa giới hạn hữu
hạn của hàm số tại vô cực cho hàm số y = f(x)
xác định trên khoảng ( −∞;a ) .
HS lên bảng làm bài dưới sự hướng dẫn của
giáo viên:
- HS chia cả tử và mẫu cho x2, rồi áp dụng
định nghĩa giới hạn của hàm số để tìm
lim
3 2
x 1− + 2
x 2 − 3x + 2
x x
lim
= lim
x →+∞
x →+∞
x
x
3 2
x 1− + 2
x x = lim 1 − 3 + 2 = 1
= lim
x →+∞
x →+∞
x
x x2
3 2
x 1− + 2
x 2 − 3x + 2
x x
• lim
= lim
x →−∞
x
→−∞
x
x
3 2
−x 1− + 2
x x = lim  − 1 − 3 + 2 
= lim

÷
x →−∞
x →−∞
x
x x2 

= −1

Chú ý: xlim
→−∞
lim c = c

c
c
= 0; lim k = 0
k
x
→+∞
x
x

x →±∞

2 x − x + 10
.
x →+∞ x 3 + 3 x − 3
2

Ví dụ 2: Tìm lim

HS lên bảng giải:
2 1 10
− +
2 x 2 − x + 10 x x 2 x 3
=
( x ≠ 0)
Ta có: 3
3
3
x + 3x − 3
1+ 2 − 3
x
x

Trang 9


2
1
10
 2 1 10 
lim  − 2 + 3 ÷ = lim − lim 2 + lim 3
x →+∞ x
x →+∞ x
x
x  x →+∞ x x →+∞ x

1
1
1
= 2 lim − lim 2 + 10 lim 3
x →+∞ x
x →+∞ x
x→+∞ x
= 2.0 − 0 + 10.0 = 0
3
3

• lim  1 + 2 − 3 ÷ = 1
x →+∞
x
x 

2 x 2 − x + 10 0
⇒ lim 3
= =0
x →∞ x + 3 x − 3
1

 Giải quyết vấn đề:
GV hướng dẫn HS dùng giới hạn vô cực của hàm số để tìm công thức tính diện tích của hình
tròn. Bằng những hoạt động làm ở phần gợi vấn đề và sau khi học xong giới hạn vô cực của
hàm số, HS có thể giải quyết được vấn đề theo hướng sau:

- Gọi A là tổng diện tích của 2n tam giác cân bằng nhau, có góc ở đỉnh là n .
-

1 2

R .sin n .
2
2

n 1
2
Tổng diện tích của 2n tam giác là: A = 2 . .R .sin n .
2
2

Diện tích của mỗi tam giác cân trên là:

Diện tích hình tròn:
2π 
 1
S = lim A = lim  2n. .R 2 .sin n ÷
n →∞
n →∞
2 
 2
2π 


1 2 sin 2n ÷
2
= lim  2π . . R .
÷= π R
n →∞
2
π
2

÷

2n 

VI.

Củng cố toàn bài:
+ Định nghĩa giới hạn 0 của dãy số.
+ Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
+ Bài tập về nhà: Làm các bài tập trong sgk
+ Nhắc nhở HS về học bài chuẩn bị cho tiết tới.

Trang 10

2



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×