Tải bản đầy đủ

chỉ số chính quy CastelnuovoMumford

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo
Đại Học Huế
Trờng Đại Học S Phạm

đậu văn lơng

chặn trên segre cho chỉ số chính quy của vành tọa
độ xác định bởi

n+2

điểm béo không suy biến trong

không gian xạ ảnh

Pn

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

Luận văn thạc sĩ toán học


ngời hớng dẫn khoa học

ts. phan văn thiện

Huế, năm 2007
i


lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và các kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, đợc các
đồng tác giả cho phép sử dụng và cha từng
đợc công bố trong bất kỳ một công trình nào
khác.

Đậu Văn Lơng

ii


lời cảm ơn
Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy
giáo TS. Phan Văn Thiện. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy, ngời
đã tận tình chỉ dẫn và động viên tôi trong thời gian học bộ môn, và đặc biệt là quá
trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ về mọi mặt của Ban giám hiệu và cán
bộ phòng Quản lý Khoa học - Đối ngoại Trờng Đại học S Phạm Huế, Ban lãnh
đạo Khoa Toán cùng quý thầy cô đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đăk
Nông, Ban Giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán, Trờng PTTH Chu Văn An Gia Nghĩa - Đăk Nông, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành
khóa học .
Cuối cùng, tôi xin chân thành cản ơn những ngời thân, bạn bè và các bạn học
viên cao học lớp Toán khóa XIV đã động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập
vừa qua.
Huế, tháng 11 năm 2007
Tác giả luận văn

Đậu Văn Lơng

iii


mục lục

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời mở đầu

3

Chơng 1. Kiến thức liên quan

5

1.1

Đa tạp xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Không gian tôpô Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Đa tạp xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Hàm Hilbert và đa thức Hilbert của môđun phân bậc hữu hạn sinh . . .

8

1.2.1

Môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Hàm Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

1.3

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc hữu hạn
sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Môđun xoắn-Hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.3

Đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.4

Phép giải nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1


1.3.5

Hàm tử đối đồng điều địa phơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.6

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chơng 2. Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định
bởi n + 2 điểm béo không suy biến
2.1

28

Hàm Hilbert, chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định bởi một tập điểm 28

2.1.1

Vành tọa độ xác định bởi một tập điểm béo . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2

Hàm Hilbert, chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định bởi một tập
điểm béo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

28

29

Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định bởi n + 2
điểm béo không suy biến trong Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.1

Một số Bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2

Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định bởi
n + 2 điểm béo không suy biến trong Pn . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

2


Lời mở đầu
Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành tọa độ xác định bởi một tập
điểm béo trong không gian xạ ảnh Pn có những ứng dụng quan trọng, chẳng hạn
nó giúp đánh giá độ phức tạp tính toán trong đại số máy tính. Vấn đề này đang
đợc nhiều nhà làm toán quan tâm.
Trong nhiều năm qua đã có nhiều công trình khoa học nghiên cứu về vấn đề
này, nh các công trình của Ngô Việt Trung, G. Valla, A. Hirschowitz, ...
Vào năm 1996 Ngô Việt Trung đã đa ra một dự đoán về chặn trên cho chỉ số
chính quy của vành tọa độ xác định bởi một tập điểm béo trong không gian xạ ảnh
Pn . Công thức này đã đợc chứng minh trong trờng hợp n = 2 và n = 3, trong

các bài báo [7] [10], [11] và n = 4 cho trờng hợp tập điểm kép [12], gần đây B.
Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini đã chứng minh một kết quả về chặn trên cho
chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định bởi n + 2 điểm béo không suy biến trong
không gian xạ ảnh Pn , nhng chứng minh này đã dùng công cụ của Hình học đại
số, và chứng minh khá dài.
Với đề tài "Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định bởi
n + 2 điểm béo không suy biến trong không gian xạ ảnh Pn ". Chúng tôi chứng minh

lại kết quả này bằng một phơng pháp khác và dùng công cụ đơn giản hơn, dùng
đại số tuyến tính.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn đợc chia làm hai
chơng.
Chơng 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất của hàm tử đối đồng
điều địa phơng, đa tạp xạ ảnh, hàm Hilbert - đa thức Hilbert, chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Chơng 2, chúng tôi trình bày chỉ số chính quy của vành tọa độ xác định bởi
một tập điểm béo. Sau đó chúng tôi chứng minh chặn trên cho chỉ số chính quy
của vành tọa độ xác định bởi n + 2 điểm béo không suy biến trong không gian xạ
ảnh Pn bằng cách dùng Đại số tuyến tính, đó cũng là kết quả chính của luận văn.

3


Vì thời gian và khả năng bản thân có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi
những sai sót, rất mong nhận đợc sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận
văn đợc hoàn thiện hơn.

Huế, tháng 11 năm 2007
Tác giả

4


Chơng 1
kiến thức liên quan

Trong chơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm, và tính chất cơ bản của
đa tạp đại số, hàm Hilbert, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một môđun
phân bậc hữu hạn sinh. Các kiến nằm trong chơng này đợc trích dẫn trong [2],
[3], [4], [8], [9].

1.1

Đa tạp xạ ảnh

1.1.1

Vành phân bậc

Định nghĩa 1.1.1 [8, tr.9] Vành S đợc gọi là vành phân bậc nếu S =

Sd là
d0

tổng trực tiếp của các nhóm aben Sd sao cho với bất kỳ d, e 0 thì Sd .Se Sd+e .
Mỗi phần tử s Sd gọi là phần tử thuần nhất bậc d.
Nhận xét:
Vành đa thức R = K[x0 , ..., xn ] là vành phân bậc R =

Rd trong đó
d0

Rd =

v1 ...vn xv11 ...xvnn , v1 ...vn K .

f R f =
v1 +ããã+vn =d

Từ đây đến hết luận văn chúng ta sẽ ký hiệu R = K[x0 , ..., xn ] là vành đa thức
theo các biến x0 , ..., xn , với hệ tử trên trờng đóng đại số K .
5


Định nghĩa 1.1.2 [8, tr.32] Một iđêan a của vành phân bậc S đợc gọi là thuần
nhất nếu nó đợc sinh bởi các phần tử thuần nhất.
Định lý 1.1.3 [8, tr.32] Cho một iđêan I của vành phân bậc G, các điều kiện sau
tơng đơng
a) I thuần nhất.
b) Bất kỳ a I thì các thành phần thuần nhất ak của a cũng thuộc I(k Z).
c) G/I là vành phân bậc. Với phân bậc {(G/I)k }kZ , trong đó
(G/I)k := Gk + I/I .

Cho f R là đa thức thuần nhất, ta có thể định nghĩa một hàm nh sau
f : PnK {0, 1}

P f (P ) =




0

nếu f (a0 , ..., an ) = 0



1

nếu f (a0 , ..., an ) = 0

Định nghĩa 1.1.4 [8] Cho f R là một đa thức thuần nhất, khi đó tập
Z(f ) = {P PnK | f (P ) = 0}

đợc gọi là tập các không điểm của f .
Định nghĩa 1.1.5 [8] Cho T là tập các phần tử thuần nhất bất kỳ của R, khi đó tập
Z(T ) = {P PnK | f (P ) = 0, f T }

đợc gọi là tập các không điểm của T .
Nhận xét:
Nếu I là iđêan của R sinh bởi T thì Z(I) = Z(T ), do R là vành nơte nên mọi
iđêan thuần nhất I của R đều có hữu hạn phần tử thuần nhất f1 , ..., fk I sao cho
Z(I) = Z(f1 , ..., fk ).

6


Định nghĩa 1.1.6 Một tập con Y của PnK đợc gọi là một tập đại số nếu tồn tại
một tập T gồm các phần tử thuần nhất của R sao cho Y = Z(T ).
Mệnh đề 1.1.7 [8, tr.19] Hợp của hai tập đại số là một tập đại số. Giao của một
họ bất kỳ các tập đại số là một tập đại số. Tập và PnK là các tập đại số.

1.1.2

Không gian tôpô Zariski

Định nghĩa 1.1.8 Tôpô Zariski trên PnK là tôpô xác định bởi các tập mở là phần bù
của các tập đại số.
Định nghĩa 1.1.9 Một tập con khác rỗng Y của không gian tôpô X đợc gọi là bất
khả quy nếu nó không thể biểu diễn thành Y = Y1 Y2 trong đó Y1 , Y2 là các tập
con thực sự và đóng trong Y .

1.1.3

Đa tạp xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.10 [8, tr.10] Một tập đại số xạ ảnh bất khả quy trong PnK đợc gọi
là một đa tạp xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.11 [9] Cho không gian tôpô X = , chiều Krull của X (kí hiệu:
dim X ) là cận trên của các số nguyên n sao cho tồn tại dây chuyền
X0 X1 ã ã ã Xn , (Xi = Xi+1 ).

của các tập con đóng bất khả quy Xi của X .
Định nghĩa 1.1.12 Cho Y là một tập con bất kỳ của Pn . Ký hiệu
I(Y ) := {f R | f là đa thức thuần nhất và f (P ) = 0, P Y }

đợc gọi là iđêan thuần nhất của Y trong R.
Định nghĩa 1.1.13 [8, tr.10] Cho Y là tập đại số, khi đó A(Y ) := R/I(Y ) đợc gọi
là vành tọa độ thuần nhất của Y .
7


1.2

Hàm Hilbert và đa thức Hilbert của môđun phân bậc
hữu hạn sinh

1.2.1

Môđun phân bậc

Định nghĩa 1.2.1 Cho S là một vành phân bậc, một Smôđun phân bậc là một
Smôđun M với M =

Mn trong đó, Mn là các nhóm aben sao cho với mọi
nZ

m, n Z thì Sn .Mm Mn+m .

Các phần tử của Mn đợc gọi là phần tử thuần nhất bậc n.

1.2.2

Hàm Hilbert

Bổ đề 1.2.2 Cho R = K[x0 , ..., xn ] =

Rt là Rmôđun phân bậc, khi đó với mỗi
t0

t N, Rt là Kkhông gian vectơ hữu hạn chiều và

dimK Rt =

Chứng minh.

n+t
.
n

Rõ ràng R = K[x0 , ..., xn ] là một Kkhông gian vectơ. Do đó để

chứng minh Rt là Kkhông gian vectơ ta chứng minh nó là Kkhông gian vectơ
con của R. Rõ ràng Rt R.
i) Ta có 0 Rt nên Rt khác rỗng.
ii) Với mọi f, g Rt là các đa thức thuần nhất bậc t.

Nếu f + g = 0 suy ra f + g Rt .
Nếu f + g = 0 thì f + g là đa thức thuần nhất bậc t nên f + g Rt .
iii) Với mọi f Rt , với mọi k K , ta có

Nếu kf = 0 thì kf Rt .
Nếu kf = 0 thì kf là đa thức thuần nhất bậc t nên kf Rt .
Vậy Rt là Kkhông gian vectơ con của R.

8


Ta chứng minh Rt hữu hạn chiều và
n+t
.
n

dimK Rt =

(1.1)

Để chứng minh (1.1) ta dùng phơng pháp quy nạp theo n.
Với n = 0 thì R = K[x0 ] do đó dimK Rt = 1, t N, quy ớc

t+0
0

= 1. Vậy

(1.1) đúng với n = 0.
Giả sử (1.1) đúng với n = k , tức là R = K[x0 , ..., xk ] thì
dimK Rt =

t+k
, t N.
k

Ta chứng minh (1.1) đúng với n = k + 1 tức là với R = K[x0 , ..., xk+1 ] thì
t+k+1
.
k+1

dimK Rt =

Thật vậy, do R = K[x0 , ..., xk+1 ] là vành đa thức k + 2 biến x0 , x1 , ..., xk+1 , Rt là
tập hợp các đa thức của k + 2 biến có bậc bằng t. Do đó dimK Rt chính là số các
đơn thức của k + 2 biến x0 , x1 , ..., xk+1 sao cho bậc của mỗi đơn thức bằng t, nó
chính bằng số hạng tử trong khai triển (x0 + x1 + ã ã ã + xk + xk+1 )t . Ta có
(x0 + x1 + ã ã ã + xk + xk+1 )t = ((x0 + x1 + ã ã ã + xk ) + xk+1 )t
t

=
i=0

t
ti
(x0 + x1 + ã ã ã + xk )i xk+1
.
i

ti
Nếu i = j thì số hạng tử trong khai triển (x0 + x1 + ã ã ã + xk )i xk+1
khác số hạng tử
tj
trong khai triển (x0 + x1 + ã ã ã + xk )j xk+1
. Mặt khác, số hạng tử trong khai triển
i
(x0 + x1 + ã ã ã + xk )i xti
k+1 bằng số hạng tử trong khai triển (x0 + x1 + ã ã ã + xk ) .

Theo giả thiết quy nạp thì số hạng tử trong khai triển (x0 + x1 + ã ã ã + xk )i bằng
k+i
k

, do đó, số hạng tử của (x0 + x2 + ã ã ã + xk+1 )t bằng
t
i=0

k+i
.
k

Ta chứng minh
t
i=0

k+i
k

=

t+k+1
, với k, t N.
k+1

9

(1.2)


Thật vậy, ta sử dụng phơng pháp quy nạp theo t để chứng minh (1.2).
Với t = 0 công thức (1.2) đúng.
Giả sử (1.2) đúng với t = l, tức là
l
i=0

k+i
k

l+k+1
, với k, l N.
k+1

=

Ta chứng minh (1.2) đúng với t = l + 1. Thật vậy, ta có
l+1
i=0

l

k+i
k

=
i=0

=
=

k+i
l+k+1
+
k
k

l+k+1
l+k+1
+
k+1
k
(l + 1) + k + 1
.
k+1

Vậy (1.2) đúng với mọi t N. Suy ra (1.1) đúng với mọi n N.
Do đó Rt là Kkhông gian vectơ hữu hạn chiều và
dimK Rt =

t+n
.
n

Mệnh đề 1.2.3 Cho R = K[x0 , ..., xn ] và M là Rmôđun phân bậc hữu hạn sinh
Mt . Khi đó Mt là Kkhông gian vectơ con hữu hạn chiều của M .

M=
t0

Chứng minh. Dễ thấy M là một Kkhông gian vectơ. Với mỗi t N, ta chứng
minh Mt là một Kkhông gian vectơ con của M . Rõ ràng Mt M .
i) Vì 0 M nên M = .
ii) Với mọi x, y Mt , x, y là các phần tử thuần nhất bậc t.

Nếu x + y = 0 thì x + y Mt .
Nếu x + y = 0 thì x + y là phần tử thuần nhất bậc t. Nên x + y Mt .
iii) Với mọi x Mt , mọi K .

Nếu x = 0 thì x Mt .
Nếu x = 0 thì x là phần tử thuần nhất bậc t. Suy ra x Mt .
Vậy Mt là Kkhông gian vectơ con của M .
10


Ta chứng minh Mt hữu hạn chiều. Thật vậy, vì M là Rmôđun phân bậc hữu
hạn sinh nên tồn tại {f1 , ..., fm } M sao cho
Mt = Rf1 + ã ã ã + Rfm

M=
t0
r

Ta có, với mỗi f Mt thì f =

gtdi fi , fi {f1 , ..., fm }, với deg fi = di t,(nếu
i=1

t deg fi thì gtdi = 0), i = 1...r, r m; gtdi Rtdi là tập các đa thức thuần nhất

bậc t di . Theo Bổ đề 1.2.2 với mỗi i N, ta có
dimK Rtdi =

t di + n
.
n

Đặt ci = dimK Rtdi , i = 1, ..., r. Khi đó tồn tại các h(tdi )j Rtdi , j = 1, ..., ci , sao
cho

r

ci

f=

a(tdi )j h(tdi )j fi
i=1

i=1

với các a(tdi )j K . Suy ra
r

dimK Mt
i=1

t di + n
n

m


i=1

t di + n
.
n

Vậy Mt là Kkhông gian vectơ con hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.2.4 Một đa thức số là một đa thức P (z) Q[z] sao cho P (n) Z với
mọi n đủ lớn, n Z.
Định lý 1.2.5 [8, tr.49]
a) Nếu P (z) Q[z] là đa thức số thì có các số nguyên c0 , ..., cr sao cho
P (z) = c0

z
r

+ c1

z
+ ã ã ã + cr
r1

trong đó
z
r

=

1
z(z 1) ã ã ã (z r + 1).
r!

b) Nếu f : Z Z là một hàm bất kỳ và tồn tại một đa thức số Q(z) sao cho

hàm sai phân

f = f (n + 1) f (n) và bằng Q(n) với mọi n đủ lớn, thì tồn

tại một đa thức số P (z) sao cho f (n) = P (n) với mọi n đủ lớn.
11


Định nghĩa 1.2.6 [8, tr.51] Cho M là một môđun phân bậc trên vành đa thức
R = K[x0 , ..., xn ]. M =

Mt , trong đó Mt là Kkhông gian vectơ hữu hạn chiều,
tZ

khi đó hàm
HM (t) := dimK Mt , t Z

đợc gọi là hàm Hilbert của M .

1.2.3

Đa thức Hilbert

Định lý 1.2.7 [8, tr.51 ] Cho M là R = K[x0 , ..., xn ]môđun phân bậc hữu hạn
sinh, thì có duy nhất một đa thức số PM (z) Q[z] sao cho HM (t) = PM (t) với mọi
t đủ lớn.

Định nghĩa 1.2.8 Đa thức PM xác định ở Định lý 1.2.7 đợc gọi là đa thức Hilbert
của M .
Định nghĩa 1.2.9 Cho vành B = {0}. Chiều (Krull ) của vành B là cận trên của
các số nguyên n sao cho tồn tại dãy
0

ããã

1

n

các iđêan nguyên tố của B . Kí hiệu là dim B .
Ví dụ : Cho R = K[x0 , x1 , ..., xn ] thì dim R = n + 1.
Định nghĩa 1.2.10 Cho M là Bmôđun, M = {0}. Khi đó tập
Ann(M ) = {a B | aM = 0}

là một iđêan của B .
Chiều (Krull) của môđun M là
dim M := dim(B/ Ann(M )).

12


Định lý 1.2.11 [2, tr.312] Cho M là Rmôđun phân bậc có chiều Krull là d thì đa
thức Hilbert PM (t) có bậc là d 1 và đợc viết dới dạng
d1

t+di1
di1

(1)i ei

PM (t) =
i=0

trong đó
n
t

=

1
n(n 1) ã ã ã (n t + 1)
t!

Khi đó e(M ) := e0 đợc gọi là số bội của M .

1.3

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun
phân bậc hữu hạn sinh

1.3.1

Môđun xoắn-Hàm tử xoắn

Cho B là vành nơte giao hoán với đơn vị 1 = 0 và a là một iđêan không tầm
thờng của B . M là một Bmôđun, với n N, đặt
(0 : an ) = {x M | an x = 0}.
M

(0 : an ) là một môđun con của M .

Mệnh đề 1.3.1 Cho M là Bmôđun thì
nN

M

(0 : an ) M . Ta có

Chứng minh. Rõ ràng
nN

M

(0 : an )

0
nN

M

nên
(0 : an ) = .
nN

M

(0 : an ), thì tồn tại n1 , n2 N, sao cho

Với mọi x, y
nN

M

x (0 : an1 ), y (0 : an2 ).
M

M

Đặt
k = max{n1 , n2 }.

13


thì
x, y (0 : ak )
M

x + y (0 : ak )
M

(0 : an ).

x+y
nN

M

(0 : an ), mọi B , khi đó, tồn tại n0 N, sao cho x (0 :

Với mọi x
nN

M

M

an0 ), suy ra
x (0 : an0 ).
M

Nên
(0 : an ).

x
nN

M

(0 : an ) là một môđun con của M .

Vậy
nN

M

Định nghĩa 1.3.2 Môđun axoắn của một Rmôđun M là môđun
(0 : an ).

a (M ) :=
nN

M

Mệnh đề 1.3.3 Cho B là vành nơte giao hoán với đơn vị 1 = 0 và a là một iđêan
không tầm thờng của B , f : M N là một đồng cấu Bmôđun, khi đó tơng
ứng
a (f ) = f |a (M ) : a (M ) a (N )
x f (x)

là một đồng cấu Bmôđun.
Chứng minh. Ta có f (a (M )) a (N ). Thật vậy, với mọi y f (a (M )) tức là
y = f (x) với x a (M ). Do x a (M ) nên tồn tại n0 N, sao cho x (0 : an0 ).
M

Lúc đó, ta có
a n0 x = 0
f (an0 x) = an0 f (x) = an0 y = 0
y a (N ).

14


Vậy
f (a (M )) a (N ).

Từ đó, ta có tơng ứng
a (f ) = f |a (M ) : a (M ) a (N )
x f (x)

là một ánh xạ.
Ta chứng minh a (f ) là đồng cấu Bmôđun.
Với mọi x, y a (M ), ta có
a (f )(x + y) = f (x + y)
= f (x) + f (y)
= a (f )(x) + a (f )(y).

Với mọi x a (M ), mọi a B ta có
a (f )(ax) = f (ax)
= af (x)
= aa (f )(x).

Vậy a (f ) là đồng cấu Bmôđun.

Mệnh đề 1.3.4 [3, tr.13] Tơng ứng
f

a = a () : (M N )

a (f )

(a (M ) a (N ))

M a (M )

xác định một hàm tử tuyến tính, hiệp biến từ phạm trù Bmôđun vào chính nó.
Hơn nữa a () là khớp trái.
Chứmg minh. Cho idM : M M là đồng cấu đồng nhất của Bmôđun M .
Với mọi x a (M ), ta có

a (idM )(x) = idM (x) = x = ida (M ) (x).

15


Suy ra
a (idM ) = ida (M ) .

Với mọi f : M N, g : N P là các đồng cấu Bmôđun, mọi x a (M ),
ta có
a (g f )(x) = (g f )(x) = g(f (x))
= g(a (f )(x))
= a (g)(a (f )(x))
= [a (g) a (f )](x).

Suy ra
a (g f ) = a (g) a (f ).

Với mọi a B , mọi f : M N là đồng cấu Bmôđun, ta có
a (af )(x) = (af )(x)
= af (x)
= aa (f )(x).

Suy ra
a (af ) = aa (f ).

Vậy a là một hàm tử tuyến tính hiệp biến.
Ta chứng minh a là khớp trái. Thật vậy, cho dãy khớp ngắn bất kỳ

f

g

0 M N P 0

(1.3)

ta cần chứng minh
a (f )

a (g)

0 a (M ) a (N ) a (P )

là khớp. Ta có
ker(a (f )) = {x a (M ) | a (f )(x) = 0}
= {x a (M ) | f (x) = 0} ker f = 0.

16

(1.4)


Suy ra a (f ) là đơn cấu nên (1.4 ) khớp tại a (M ).
Chứng minh (1.4) khớp tại a (N ), thật vậy, với mọi x a (M ), thì

a (g) a (f )(x) = a (g)f (x) = g(f (x)) = (g f )(x) = 0.

Suy ra
Im a (f ) ker a (g).

(1.5)

Ngợc lại, với mọi y ker a (g), ta có
a (g)(y) = g(y) = 0 y ker(g) = Im(f ),

nên tồn tại x M , sao cho f (x) = y . Mặt khác, do y a (N ), nên tồn tại n0 N,
sao cho y (0 : an0 ). Khi đó ta có
M

0 = an0 y = an0 f (x) = f (an0 x)
an0 x = 0
x a (M )
y = f (x) Im a (f ).

Vậy
ker a (g) Im a (f ).

Từ (1.5) và (1.6 ), suy ra
Im a (f ) = ker a (g).

Nên (1.4 ) khớp tại a (N ). Vậy a khớp trái.

Định nghĩa 1.3.5 [2] Hàm tử a đợc gọi là hàm tử axoắn.

17

(1.6)


1.3.2

Đối đồng điều

Định nghĩa 1.3.6 [3] Cho B là vành nơte giao hoán với đơn vị 1 = 0, cho đối phức
(M , d ) của phạm trù các Bmôđun, cố định n Z, thì
H n (M ) := H n (M , d ) = ker(dn )/ Im(dn1 )

đợc gọi là đối đồng điều thứ n của đối phức (M , d ) của phạm trù các Bmôđun.
Mệnh đề 1.3.7 Cho h : (M , d ) (N , e ) là đồng cấu đối phức của phạm trù
các Bmôđun, thì
i. hn (ker(dn )) ker(en )
ii. hn (Im(dn1 )) Im(en1 ).
Chứng minh. i. Với mọi x ker(dn ), ta có
(en hn )(x) = (hn+1 dn )(x).

Suy ra
en (hn (x)) = hn+1 (dn (x)) = hn+1 (0) = 0.

Do đó
hn (ker(dn )) ker(en ).
ii. Với mọi y hn (Im(dn1 )) tồn tại x Im(dn1 ) sao cho y = hn (x).

Do x Im(dn1 ) nên tồn tại x M n1 sao cho x = dn1 (x ), suy ra
y = hn (dn1 (x )) = en1 (hn1 (x ))
y Im(en1 ).

18


Mệnh đề 1.3.8 [3, tr.18] Cho h := (hn )nZ : (M , d ) (N , e ) là đồng cấu đối
phức của phạm trù các Bmôđun. Khi đó ánh xạ
H n (h ) : H n (M , d )

H n (N , e )

ker(dn )/ Im(dn1 )

ker(en )/ Im(en1 )

m + Im(dn1 )

hn (m) + Im(en1 )

là một đồng cấu Bmôđun và đợc gọi là đồng cấu cảm sinh bởi đồng cấu đối
phức h tại đối đồng điều thứ n.
Định lý 1.3.9 [3, tr.18] Cố định n Z, ta có tơng ứng
h

H n = H n () : ((M , d ) (N , e ))

H n (h )

(H n (M , d ) H n (N , e ))

(M , d ) H n (M , d )

là một hàm tử tuyến tính hiệp biến của phạm trù các Bmôđun.
Chứng minh. Với mọi x = a + Im(dn1 ) H n (M , d ), ta có
H n (id(M ,d ) )(x) = H n (id(M ,d ) )(a + Im(dn1 ))
= idnM n (a) + Im(dn1 )
= a + Im(dn1 )
= idH n (M ,d ) (a + Im(dn1 ))
= idH n (M ,d ) (x).

Vậy
H n (id(M ,d ) ) = idH n (M ,d ) .

Với mọi h : (M , d ) (N , e ), l : (N , e ) (P , f ) là các đồng cấu đối
phức của phạm trù các Bmôđun, mọi x = a + Im(dn1 ) H n (M , d ), ta có
H n (l h )(a + Im(dn1 )) = (ln hn )(a) + Im(f n1 )
= ln (hn (a)) + Im(f n1 )
= ln (hn (a) + Im(dn1 ))

19


= ln (H n (h )(a + Im(dn1 )))
= H n (l )(H n (h )(a + Im(dn1 )))
= (H n (l ) H n (h ))(a + Im(dn1 )).

Suy ra
H n (l h ) = H n (l ) H n (h ).

Với mọi h , l : (M , d ) (N , e ) là các đồng cấu đối phức của các
Bmôđun, mọi x = a + Im(dn1 ) H n (M , d ), ta có
H n (h + l )(a + Im(dn1 )) = (hn + ln )(a) + Im(dn1 )
= hn (a) + ln (a) + Im(dn1 )
= hn (a) + Im(dn1 ) + ln (a) + Im(dn1 )
= H n (h )(a + Im(dn1 )) + H n (l )(a + Im(dn1 ))
= (H n (h ) + H n (l ))(a + Im(dn1 )).

Vậy
H n (h + l ) = H n (h ) + H n (l ).

Với mọi h : (M , d ) (N , e ) là đồng cấu đối phức của phạm trù các
Bmôđun, với mọi k B, x = a + Im(dn1 ) H n (M , d ), ta có
H n (kh )(a + Im(en1 )) = (khn )(a) + Im(en1 )
= k(hn (a)) + Im(en1 )
= k[hn (a) + Im(en1 )]
= kH n (h )(a + Im(en1 )).

Suy ra
H n (kh ) = kH n (h ).

Vậy H n () là một hàm tử tuyến tính hiệp biến của phạm trù các Bmôđun.

Định nghĩa 1.3.10 Hàm tử
h

H n = H n () : ((M , d ) (N , e ))

20

H n (h )

(H n (M , d ) H n (N , e ))


(M , d ) H n (M , d )

đợc gọi là hàm tử đối đồng điều thứ n của phạm trù các Bmôđun.

1.3.3

Đồng luân

Định nghĩa 1.3.11 [3] Cho h , l : (M , d ) (N , e ) là hai đồng cấu đối phức,
một đồng luân từ h đến l là một họ (ti )iZ các đồng cấu Bmôđun ti : M i N i1
sao cho với mọi i Z, ta có
li hi = ei1 ti + ti+1 di
di1

ã ã ã M i1

ti

hi1 li1
ã ã ã N i1

ei1

di

Mi
hi li

ti+1

Ni

M i+1 ã ã ã
hi+1 li+1

ei

N i+1 ã ã ã

Nếu có đồng luân (ti )iZ từ h đến l , thì ta nói h đồng luân với l . Kí hiệu h l .
Định lý 1.3.12 [ 2, tr.19] Cho h , l HomB (M , N ), nếu h l thì
H n (h ) = H n (l ), n Z.

Mệnh đề 1.3.13 [ 2, tr.19] Cho h , l HomB (M , N ), nếu (ti )iZ là đồng luân từ
h đến l , F là hàm tử tuyến tính hiệp biến trong phạm trù Bmôđun, thì (F (ti ))iZ

là đồng luân từ F (h ) đến F (l ).
Hệ quả 1.3.14 [3, tr.20] Cho h , l HomB (M , N ), nếu h l thì
F (h ) F (l ).

Hệ quả 1.3.15 [3, tr.20] Cho h , l HomB (M , N ), nếu h l thì
H n (F (h )) H n (F (l )).

21


1.3.4

Phép giải nội xạ

Định nghĩa 1.3.16 Cho M là một Bmôđun. Một phép giải phải ((E , e ); b) của
M là đối phức (E , e ) của phạm trù các Bmôđun và đồng cấu b : M E 0 sao

cho
1. E i = 0, i < 0
e0

b

e1

e2

2. Dãy 0 M E 0 E 1 E 2 E 3 ã ã ã là khớp.
Định nghĩa 1.3.17 Cho h : M N là một đồng cấu Bmôđun. Cho ((D , d ); a)
là một phép giải phải của M và ((E , e ); b) là một phép giải phải của N . Một
lời giải phải của h là một đồng cấu đối phức h : (D , d ) (E , e ) sao cho
h0 a = b h, nghĩa là sơ đồ sau giao hoán
0

M

a




N

d0



h0

h

0

D

0



d1



h1



b

D

1

E

0

h2



e0



D2 ã ã ã

E

1



e1



2

E ããã

Định nghĩa 1.3.18 Cho M là một Bmôđun. Một phép giải nội xạ của M là một
phép giải phải ((I , d ); a) của M sao cho tất cả các môđun (I i )iN đều nội xạ.
Mệnh đề 1.3.19 [3, tr.22] Mỗi Bmôđun M đều có một phép giải nội xạ.
Mệnh đề 1.3.20 [3, tr.22] Cho h : M N là một đồng cấu Bmôđun và cho
((E , e ); b) là một phép giải phải của M , ((I , d ); a) là một phép giải nội xạ của
N , thì h có một lời giải phải
h : (E , e ) (I , d ).

Định lý 1.3.21 [3, tr.22] Cho h : M N là một đồng cấu Bmôđun và cho
((E , e ); b) là một phép giải phải của Bmôđun M , ((I , d ); a) là một phép giải

nội xạ của Bmôđun N . h , l : (E , e ) (I , d ) là các lời giải phải của h. Khi
đó, h l .
22


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×