Tải bản đầy đủ

Điều kiện cực trị bậc 2 và độ nhạy nghiệm của bài toán tối ưu có ràng buộc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HUẾ

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI
VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**************

NGUYỄN THỊ HUẾ


ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI
VÀ ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Văn Tuyên

Hà Nội – Năm 2018


LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá
trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài
khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Tuyên đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu và hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và
hạn chế. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo,
cô giáo và toàn thể bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Huế


2

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Tuyên
khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào
khác.
Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các thành
tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Huế


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

1.3

Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Tập lồi và các tính chất của tập lồi . . . . . . .

3

1.1.2

Hàm lồi và một số tính chất của hàm lồi . . . .

4

Các tập tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Tập tiếp xúc bậc hai . . . . . . . . . . . . . . .

8

Điều kiện cực trị bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Điều kiện cực trị bậc hai và độ nhạy nghiệm

16

2.1

Điều kiện tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Độ nhạy nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

32

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Lời mở đầu
Lý thuyết tối ưu được hình thành với tư cách là một lý thuyết toán
độc lập. Có thể nói lý thuyết tối ưu bắt đầu từ các bài toán quy hoạch
tuyến tính, tiếp đó là các bài toán quy hoạch lồi. Đối tượng nghiên
cứu của lý thuyết tối ưu được mở rộng và hình thành những hướng
nghiên cứu khác nhau ngày càng có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Trong lý thuyết tối ưu, các điều kiện cực trị bậc nhất thường đóng
vai trò như các điều kiện cần tối ưu. Các điều kiện cực trị bậc hai
không những bổ sung cho các điều kiện cực trị bậc nhất mà còn đóng
vai trò quan trọng trong các điều kiện đủ và trong việc nghiên cứu
tính ổn định nghiệm tối ưu.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các bài toán tối ưu, đặc biệt là
các bài toán tối ưu có ràng buộc, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Điều
kiện cực trị bậc hai và độ nhạy nghiệm của các bài toán tối ưu có ràng
buộc”.
Mục đích của khóa luận là trình bày một cách có hệ thống, các
kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về điều kiện cực trị bậc hai và
độ nhạy nghiệm của các bài toán tối ưu có ràng buộc.
Các kết quả chính trong khóa luận được trình bày dựa trên cuốn
sách chuyên khảo [3] Nonlinear Optimization năm 2006.
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính của
chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của tập lồi và hàm
lồi, tập tiếp xúc, điều kiện cực trị bậc nhất.
Chương 2 trình bày về điều kiện cực trị bậc hai và độ nhạy nghiệm
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

của bài toán có ràng buộc. Mục 2.1 sẽ trình bày về điều kiện cực trị
bậc hai. Mục 2.2 sẽ trình bày độ nhạy của nghiệm tối ưu.

2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Tập lồi và hàm lồi
Tập lồi và các tính chất của tập lồi

Định nghĩa 1.1. Một tập X của Rn được gọi là tập lồi nếu x, y ∈ X
ta có
λx + (1 − λ) y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Nghĩa là nếu x, y ∈ X thì đoạn thẳng [x.y] ∈ X.
Đặc biệt, nếu n = 1 thì tập lồi là một khoảng một đoạn hay nửa
n

khoảng. Nếu α1 , . . . , αn là các số thực không âm,

αi = 1 thì
i=1

n

x=

αi xi
i=1

được gọi là một tổ hợp lồi của x1 , . . . , xn .
Định lý 1.1. Một tập X ⊂ Rn là một tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ
hợp của các điểm X đều nằm trong X.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Định lý 1.2. Nếu {Xi } , i ∈ J là một họ các tập lồi thì X = ∩i∈J Xi
là một tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Cho X là một tập con của Rn . Khi đó bao lồi của
X ký hiệu là convX, là giao của tất cả các tập lồi chứa X. Bao lồi
của X là một tập lồi.
Định lý 1.3. Cho X là một tập con của Rn . Khi đó bao lồi của X là
tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của X.
Định nghĩa 1.3. Một điểm x0 của tập lồi X được gọi là điểm cực
biên nếu x0 không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm
trong X. Tức là không tồn tại hai điểm x1 , x2 ∈ X và λ ∈ (0; 1) để
x0 = λx1 + (1 − λ) x2 .
Định lý 1.4. Cho X ⊆ Rn là một tập lồi, compact. Khi đó X là bao
lồi của tất cả các điểm cực biên của nó.
1.1.2

Hàm lồi và một số tính chất của hàm lồi

Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi.
Định nghĩa 1.4. Cho X là một tập lồi trong Rn và hàm f : X → R
(i) f được gọi là hàm lồi nếu
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y)
với mọi x, y ∈ X và với mọi λ ∈ [0; 1].
(ii) f được gọi là hàm lồi chặt nếu (1.3) là bất đẳng thức ngặt với
các điểm x, y phân biệt và λ ∈ (0; 1).
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

(iii) Nếu hàm −f là lồi (lồi chặt) thì ta nói f là hàm lõm (lõm chặt).
(iv) Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine.
Thực ra, tại λ = 0 và λ = 1 thì (1.3) luôn đúng cho nên để cho
tiện, đôi khi ta chỉ cần xét λ ∈ (0; 1).

1.2

Các tập tiếp xúc

1.2.1

Nón tiếp tuyến

Định nghĩa 1.5. Hướng d được gọi là tiếp xúc của tập X ⊂ Rn tại
điểm x ∈ X nếu tồn tại một dãy của điểm xk ∈ X và dãy số τk > 0,
k = 1, . . . , sao cho τk ↓ 0 và
xk − x
.
d = lim
k→∞
τk
Từ định nghĩa ta có xk → x, nếu ngược lại thì giới hạn trên không
tồn tại.
Bổ đề 1.1. Cho X ∈ Rn và x ∈ X. Tập TX (x) là tập tất cả các hướng
tiếp xúc của X tại x là một tập nón đóng.
Bổ đề 1.2. Cho X ∈ Rn là một tập lồi và x ∈ X. Khi đó
TX (x) = KX (x),
ở đó, KX (x) := {d ∈ Rn : d = β(y − x), y ∈ X, β ≥ 0}.
Kí hiệu X là tập hợp được cho bởi hệ
X = {x ∈ X0 : g(x) ∈ Y0 },
5

(1.1)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

ở đó g : Rn → R khả vi liên tục, Y0 và X0 lần lượt là các tập lồi đóng
trong Rm , Rn .
Định nghĩa 1.6. Hệ (1.1) được gọi là chính quy metric tại điểm
x0 ∈ X nếu tồn tại ε > 0 và C sao cho tất cả x˜ và u˜ thỏa mãn
x˜ − x ≤ ε và u˜ ≤ ε ta có thể tìm thấy xR ∈ X0 thỏa mãn
g(xR ) − u˜ ∈ Y0 ,
và sao cho
xR − x˜ ≤ C(dist(˜
x, X0 ) + dist(g(˜
x) − u˜), Y0 )).

(1.2)

Chính quy metric tương đương với điều kiện Robinson sau:
{g (x0 ) − υ : d ∈ KX0 (x0 ), υ ∈ KY0 (g(x0 ))} = Rm .

(1.3)

Trong đó x0 bị nhiễu theo hướng d, khi đó g (x0 ) bị nhiễu theo hướng
g (x0 ).
Ta thấy rằng tập hợp ở vế trái của (1.3) là một nón, do đó điều kiện
Robinson có thể biểu diễn bởi
0 ∈ int {g (x0 )(x − x0 ) − (y − g(x0 ) : x ∈ X0 , y ∈ Y0 )}.
Định lý 1.5. Nếu hệ (1.1) là chính quy metric, thì
TX (x0 ) = {d ∈ Rn : d ∈ TX0 (x0 ), g (x0 )d ∈ TY0 (g(x0 ))}.

(1.4)

Nhận xét 1.1. Chúng ta có thể dễ dàng đưa ra dạng đại số của nón

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

tiếp tuyến của hệ gồm các phương trình và bất phương trình. Xét hệ
có dạng
gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m,
hi (x) = 0, i = 1, . . . , p,

(1.5)

x ∈ X0 ,
ở đó, g : Rn → Rm và h : Rn → Rp là các hàm khả vi liên tục và X0
là một tập lồi đóng. Với một điểm x0 thỏa mãn hệ (1.5), tập các ràng
buộc bất đẳng thức hoạt của hệ này được định nghĩa bởi:
I 0 (x0 ) = {1 ≤ i ≤ m : gi (x0 ) = 0}.
Hệ (1.5) là một trường hợp đặc biệt của hệ (1.1) với
Y0 = {(y, 0) ∈ Rm × Rp : yi ≤ 0, i ∈ I 0 (x0 )}.
Điều kiện Robinson (1.3) có dạng:



 g (x )d − υ

0

 : d ∈ TX0 (x0 ), υ ∈ Rm , υi ≤ 0, i ∈ I 0 (x0 ) = Rm × Rp .


h (x )d
0

(1.6)
Một điều kiện đủ cho tính chính quy metric được phát biểu như
sau.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Bổ đề 1.3. Giả sử rằng tồn tại một điểm xM F ∈ intX0 sao cho
gi (x0 ), xM F − x0 < 0,

i ∈ I 0 (x0 )

hi (x0 ), xM F − x0 = 0,

i = 1, . . . , p,

(1.7)

và hệ {∇hi (x0 ), i = 1, . . . , p} độc lập tuyến tính. Khi đó hệ (1.5) là
chính quy metric.
Các giả thiết của Bổ đề 1.3 với X0 = Rn được biết đến như là điều
kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian - Fromovitz. Trong trường hợp
này, điều kiện chuẩn hóa này tương đương với chính quy metric.
Bổ đề 1.4. Hệ (1.5) với X0 = Rn thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng
buộc Mangasarian - Fromovitz tại một điểm x0 khi và chỉ khi nó chính
quy metric tại x0 .
1.2.2

Tập tiếp xúc bậc hai

Để phát triển điều kiện tối ưu bậc 2, chúng ta xét quỹ đạo parabolic
có dạng
x(τ ) = x0 + τ s +

τ2
w,
2

τ ≥ 0,

(1.8)

trong đó s là hướng tiếp xúc. Ý tưởng của chúng ta làm cho khoảng
cách tới X nhỏ tùy ý so với τk 2 .
Định nghĩa 1.7. Hướng w được gọi là tiếp xúc bậc 2 tới X ⊂ Rn tại
điểm x0 ∈ X theo hướng s, nếu tồn tại một dãy điểm xk ∈ X, k =
1, 2, . . . , và một dãy τk > 0, k = 1, 2, . . ., sao cho τk ↓ 0 và
xk − x0 − τk s
w = lim
.
2
1
k→∞

)
k
2
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Ký hiệu ok là hiệu của vế trái và vế phải của phương trình cuối
cùng, chúng ta có thể viết
τk 2
τk 2
τk 2
x = x0 + τk s +
w − ok
= x(τk ) − ok .
2
2
2
k

Theo định nghĩa các điểm trên quỹ đạo parapolic (1.8), ta có với
τ = τk và k → ∞, rất gần với tập hợp X:
dist(x(τk ), X) = o(τk 2 ).
Từ Định nghĩa 1.7, ta thấy rằng s là hướng tiếp xúc (bậc nhất):
s ∈ TX (x0 ). Thật vậy, nếu w là hướng tiếp xúc bậc 2, khi đó giới hạn
của Định nghĩa 1.7 là tồn tại, điều đó suy ra rằng
xk − x0 − τk s
lim
= 0,
k→∞
τk
và do đó (xk − xo )/τk → s. Với s ∈
/ TX (x0 ) không tồn tại hướng tiếp
xúc bậc 2.
Tập hợp gồm tất cả hướng tiếp xúc bậc 2 tới X tại (x0 , s) gọi là
tập tiếp xúc bậc 2 và kí hiệu bởi TX 2 (x0 , s).
Mệnh đề 1.1. Cho X ∈ Rn , x0 ∈ X, s ∈ TX (x0 ). Tập hợp TX 2 (x0 , s)
là đóng và
Tk 2 (x0 , αs) = α2 TX 2 (x0 , s) với mọi α > 0.
Chứng minh. Cho w ∈ Tk 2 (x0 , s) và xk , {τk } là các dãy thoả mãn

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Định nghĩa 1.7. Với ∀α > 0 chúng ta thu được
α2 (xk − x0 − τk s)
α w = lim
2
1
k→∞
2 (τk )
xk − x0 − ταk (αs)
= lim
.
2
2

1 τk
2 α

k→∞

Do đó α2 w thỏa mãn Định nghĩa 1.7 với hướng αs, cùng với một dãy
điểm xk và sự tương ứng của vô hướng {τk /α} .
Lập luận cho chiều ngược lại được tiến hành tương tự.
Để chứng tỏ rằng tập tiếp xúc bậc 2 là tập đóng. Ta xét 1 dãy wj
hội tụ tới w trong đó mỗi wj ∈ TX 2 (x0 , s). Chúng ta cần chỉ ra rằng w
thỏa mãn Định nghĩa 1.7 với (x0 , s). Chọn dãy bất kỳ εj ↓ 0, với mỗi
wj Định nghĩa 1.7 thỏa mãn cùng với dãy của các điểm xj,k và các vô
hướng τj,k , k = 1, 2 . . . . Chúng ta có thể tìm xj,k(j) và τj,k(j) sao cho
xj,k(j) − x0 − τj,k(j) s
2
1
2 (τj,k(j) )

− wj ≤ εj .

Bởi vậy
xj,k(j) − x0 − τj,k(j) s
2
1
2 (τj,k(j) )

− w ≤ εj + wj − w ,

và w thỏa mãn định nghĩa 1.7 cùng dãy xj,k(j) và τj,k(j) , j = 1, 2, . . .
Tổng quát tập xúc bậc 2 không phải là một nón và nó có thể không
lồi, kể cả với trường hợp X là lồi. Nhưng với trường hợp đa điện X,
tập tiếp xúc bậc 2 có biểu diễn và trên thực tế là một nón lồi.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Bổ đề 1.5. Nếu X là một tập lồi đa điện, thì
TX2 (x0 , s) = TTX (x0 ) (s) .
Chứng minh. Chúng ta nhắc lại rằng nếu X là một tập lồi đa điện,
thì nón tiếp xúc TX (x0 ) là đồng nhất cùng với nón của hướng chấp
nhận được KX (x0 ) và cả hai nón này là đa điện: chúng được xác định
bởi hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính.
Ký hiệu bởi ai , i = 1, 2, . . . , m, là các vector xác định các bất đẳng
thức hoạt tại x0 , chúng ta có thể viết
TX (x0 ) = {s ∈ Rn : ai , s ≤ 0,

i = 1, ..., m} .

Xét hướng s ∈ TX (x0 ) và dãy
τk2
x (τk ) = x0 + τk s + w
2
cùng với τk ↓ 0. Vector w là phần tử của tập tiếp xúc bậc 2 khi và chỉ
khi dist (x (τk ) − X) = o(τk2 ). Điều này tương đương với
ai , x (τk ) − x0 ≤ o τk2 ,

i = 1, 2, . . . , m.

(1.9)

Với mỗi i = 1, . . . , m, có thể có 2 trường hợp. Nếu ai , s = 0 thì (1.9)
có nghĩa đúng khi và chỉ khi ai , w ≤ 0. Nếu ai , s < 0 thì (1.9) thỏa
mãn với ∀w ∈ Rn . Cho nên w ∈ Tk2 (x0 ) khi và chỉ khi
ai , w ≤ 0 với mọi i sao cho ai , s = 0.
Điều đó tương đương với sự bao gồm w ∈ TTX (x0 ) (s).
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Bây giờ xét tập X của các điểm x ∈ Rn thỏa mãn hệ thống các mối
liên hệ
gi (x) ≤ 0,

i = 1, 2, . . . m,

hi (x) = 0,

i = 1, 2, . . . p,

(1.10)

x ∈ X0 .
Cho xˆ ∈ X và mọi hàm số gi (·) và hi (·) khả vi liên tục đến cấp hai
tại xˆ. Hơn nữa, cho X0 là tập lồi.
Điều kiện dưới Robinson (1.6), mặt nón
TX (ˆ
x) = {s ∈ TX0 (ˆ
x) :
gi (ˆ
x), s ≤ 0, i ∈ I 0 (ˆ
x),

(1.11)

hi (ˆ
x), s = 0, i = 1, . . . , p}
là tiếp xúc hình nón khả thi đến (ˆ
x). Chúng ta sẽ suy ra sự mô tả đại
số của tập tiếp xúc bậc 2.
Bổ đề 1.6. Giả sử điều kiện Robinson thoả mãn tại điểm xˆ ∈ X. Khi
đó với mọi s ∈ TX (ˆ
x),
TX2 (ˆ
x, s) ={w ∈ TX2 0 (ˆ
x, s) :
gi (ˆ
x), w ≤ − s,

2

gi (ˆ
x)s , i ∈ I 00 (ˆ
x, s),

hi (ˆ
x), w = − s,

2

(1.12)

hi (ˆ
x)s , i = 1, . . . , p},

với
I 00 (ˆ
x, s) = i ∈ I 0 (ˆ
x) : ∇gi (ˆ
x) , s = 0 .
Chứng minh. Cho s ∈ TX (ˆ
x) và w là phần tử của tập vế phải (1.12).
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Xét quỹ đạo parabolic (1.8). Với mỗi i ∈ I 0 (ˆ
x) chúng ta có thể khai
triển gi (x (τ )) như sau:
gi (x (τ )) = gi (ˆ
x) + ∇gi (ˆ
x) , x (τ ) − xˆ
τ2
x (τ ) − xˆ, ∇2 gi (ˆ
x) (x (τ ) − xˆ) + o τ 2
(1.13)
+
2
τ2
τ2
∇gi (ˆ
x) , w +
s, ∇2 gi (ˆ
x) s + o τ 2 .
=τ ∇gi (ˆ
x) , s +
2
2
Thực tế chúng ta sử dụng gi (ˆ
x) = 0 với i ∈ I 0 (ˆ
x). Hai trường hợp
có thể xảy ra. Nếu i ∈
/ I 00 (ˆ
x, s) thì ∇gi (ˆ
x) , s < 0. Khi đó với mỗi
w ∈ Rn chúng ta có gi (x (τ )) < 0 với mọi τ > 0 đủ nhỏ. Trong trường
hợp thứ 2, khi i ∈ I 00 (ˆ
x, s), số hạng thứ nhất biến mất. Nhưng nếu
w là phần tử của định nghĩa (1.12), thì số hạng thứ 2 không dương.
Tương tự như vậy áp dụng với các ràng buộc cho các đối số. Chúng
ta kết luận rằng nếu w thỏa mãn điều kiện vế phải của (1.12), khi đó
gi (x (τ )) ≤ o τ 2 ,

i ∈ I 0 (ˆ
x) ,

|hi (x (τ ))| ≤ o τ 2 ,

i = 1, . . . , p,

(1.14)

dist (x (τ ) , X0 ) = o τ 2 .
Mối quan hệ rút ra từ thực tế là s ∈ TX0 (ˆ
x) và w ∈ TX2 0 (ˆ
x, s).
Từ 0 ∈ int{g (x0 , u0 ) (x − x0 ) − (y − g (x0 )) : x ∈ X0 , y ∈ Y0 }, khi
đó hệ g (x, u) ∈ Y0 , x ∈ X0 với g : Rn × Rs → Rm , g khả vi liên tục đến
cấp hai. Từ điều kiện Robinson rằng hệ thống của sự giàng buộc chính
quy tại xˆ. Sử dụng Định nghĩa (1.6), suy ra rằng với mọi τ ∈ [0, τ0 ]
tồn tại C ≥ 0 và τ0 > 0, chúng ta có thể tìm thấy điểm ϕ (τ ) ∈ X

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

thỏa mãn bất đẳng thức:
ϕ(τ ) − x(τ ) ≤ C[dist(x(τ ), X0 )
+

|hi (x(τ ))|].

max(0, gi (x(τ ))) +
i=1

i∈I 0 (ˆ
x)

Bởi vì (1.14)
ϕ (τ ) − x (τ ) ≤ o τ 2 .
x, s) .
Bởi dist (x (τ ) , X) ≤ o τ 2 và thật vậy w ∈ TX2 (ˆ
Để chứng tỏ phần đảo, giả sử rằng w ∈ TX2 (ˆ
x, s). Khi đó chúng ta
có (1.14) cùng với dãy τk ↓ 0. Xét khai triển (1.13) chúng ta kết luận
rằng w là một phần tử của vế phải (1.12).
Từ 2 mệnh đề cho đa diện X0 và điều kiện dưới Robinson, tập tiếp
xúc bậc 2 được xác định (1.10) là một hình nón lồi đóng.

1.3

Điều kiện cực trị bậc nhất

Định lý 1.6. Giả sử xˆ là cực tiểu địa phương của bài toán min f (x)
x∈X

n

n

với f : R → R, X ⊂ R và f (·) khả vi tại xˆ. Cho TX (ˆ
x) là nón tiếp
tuyến của tập X tại xˆ. Khi đó
− f (ˆ
x) ∈ [TX (ˆ
x)]◦ .

(1.15)

Ngược lại, nếu hàm f (·) là lồi, tập X là lồi, và một điểm xˆ ∈ X thỏa
mãn hệ thức (1.15), thì xˆ là cực tiểu toàn cục của bài toán min f (x).
x∈X

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Định lý 1.7. Cho xˆ là một cực tiểu địa phương của bài toán
min f (x)
với giả thiết gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m,

(1.16)

hi (x) = 0, i = 1, . . . , p,
x ∈ X0 .
Giả sử rằng xˆ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc. Khi đó tồn
ˆ i ≥ 0, i = 1, . . . , m, và µ
tại các nhân tử λ
ˆi ∈ R, i = 1, . . . , p, sao cho
p

m

ˆ i gi (ˆ
λ
x) +

0 ∈ f (ˆ
x) +
i=1

µ
ˆi hi (ˆ
x) + NX0 (ˆ
x),

(1.17)

i=1


ˆ i gi (ˆ
λ
x) = 0, i = 1, . . . , m.

(1.18)

Bổ đề 1.7. Cho xˆ là cực tiểu địa phương của bài toán (1.16) và cho
ˆ ∈ Rm và µ
ˆ x) là tập hợp các nhân tử Lagrange λ
Λ(ˆ
ˆ ∈ Rp thỏa mãn
+
(1.17) - (1.18) .
ˆ x) là lồi và đóng.
i) Tập hợp Λ(ˆ
ii) Nếu bài toán (1.16) thỏa mãn điều kiện Robinson tại xˆ thì tập
ˆ x) cũng bị chặn.
Λ(ˆ
Định lý 1.8. Giả sử hàm f (·) và gi (·), i = 1, . . . , m, là lồi và hàm
ˆi ≥
hi (·), i = 1, . . . , p, là affine. Nếu điểm xˆ ∈ X và các nhân tử λ
0, i = 1, . . . , m, và µ
ˆi ∈ R, i = 1, . . . , p, thỏa mãn các điều kiện (1.17)
- (1.18), thì xˆ là một cực tiểu toàn cục của bài toán (1.16).
15


Chương 2
Điều kiện cực trị bậc hai và độ
nhạy nghiệm
2.1

Điều kiện tối ưu.

Trong mục này chúng ta nghiên cứu các điều kiện cực trị bậc hai cho
các các bài toán tối ưu trơn có ràng buộc. Các kết quả này bổ sung
cho các điều kiện tối ưu bậc nhất đã được trình bày trong Chương 1.
Chúng ta xét bài toán có dạng tổng quát sau
min f (x) .
x∈X

(2.1)

Chúng ta giả sử rằng X là tập con của Rn và f : Rn → R khả vi liên
tục đến cấp hai.
Định lý 2.1. Giả sử rằng xˆ là nghiệm tối ưu của bài toán (2.1). Khi
đó, với mọi s ∈ TX (ˆ
x) sao cho ∇f (ˆ
x) , s = 0, ta có
∇f (ˆ
x) , w + s, ∇2 f (ˆ
x) s ≥ 0 với mọi w ∈ TX2 (ˆ
x, s) .

(2.2)

Chứng minh. Xét hàm số x(τ ) xác định trong (1.8) cùng x0 = xˆ. Nếu
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

x, s), tồn tại dãy của điểm xk ∈ X, xk → xˆ và
s ∈ TX (ˆ
x) và w ∈ TX2 (ˆ
vô hướng τk ↓ 0, sao cho
τk2
x − xˆ − τk s − w = o τk2 .
2
k

Ta có xˆ là một điểm cực tiểu địa phương, f xk ≥ f (ˆ
x) với mọi k đủ
lớn. Vì thế
f (x (τk )) − f (ˆ
x) ≥ o τk2 .
Khai triển bậc 2 tại f (x (τ )) tại τ = 0 ta được
τk2
∇f (ˆ
x) , w
2
τk2
+
s, ∇2 f (x) s + o τk2 .
2

f (x (τk )) − f (ˆ
x) = τk ∇f (ˆ
x) , s +

Do đó
τk2
τk2
τk ∇f (ˆ
x) , s +
∇f (ˆ
x) , w +
s, ∇2 f (x) s ≥ o τk2 .
2
2
Theo giả thiết, số hạng đầu tiên của vế trái bằng 0. Chia cả 2 vế cho
τk2 và cho τk ↓ 0, chúng ta thu được biểu thức (2.2)
Kết quả tổng quát cho phép ta biểu diễn điều kiện bậc hai cho
nhiều lớp các bài toán tối ưu phi tuyến. Một lớp quan trọng nhất là
các bài toán tối ưu với các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức:

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

min f (x)
với giả thiết gi (x) ≤ 0,

i = 1, ..., m,

hi (x) = 0,

i = 1, ..., p,

(2.3)

x ∈ X0 .
Chúng ta giả sử rằng tất cả hàm số khả vi liên tục đến cấp hai tại
điểm cực tiểu địa phương xˆ. Tập X0 là tập lồi và đóng. Hàm Lagrange
tương ứng có dạng
p

m

L (x, λ, µ) = f (x) +

λi gi (x) +
i=1

µi hi (x) .
i=1

Từ Bổ đề 1.6 và Định lý 2.1 ta suy ra rằng, dưới điều kiện dưới
Robinson, với mọi s ∈ TX (ˆ
x) sao cho ∇f (ˆ
x) , s = 0, giá trị tối ưu
của bài toán
min ∇f (ˆ
x) , w + s, ∇2 f (ˆ
x) s
với giả thiết w ∈ TX2 0 (ˆ
x, s) ,

(2.4)
2

00

∇gi (ˆ
x) , w ≤ − s, ∇ gi (ˆ
x) s , i ∈ I (ˆ
x, s) ,
∇hi (ˆ
x) , w = − s, ∇2 hi (ˆ
x) s , i = 1, . . . , p,
là không âm. Để phân tích bài toán chi tiết hơn, chúng ta bổ sung giả
thiết rằng X0 là một tập lồi đa diện.
Điều kiện tối ưu cho bài toán (2.4) cung cấp điều kiện bậc 2 cho
bài toán (2.3). Chúng ta sử dụng X để biểu thị tập các điểm chấp
nhận được của bài toán này.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

Định lý 2.2. Giả sử rằng X0 là một tập lồi đa diện và điểm cực tiểu
địa phương xˆ ∈ X của bài toán (3.72) thỏa mãn điều kiện Robinson.
Khi đó với mọi s ∈ TX (ˆ
x) sao cho ∇f (ˆ
x) , s = 0 thì điều kiện sau
là đúng
max

ˆ x)
(λ,µ)∈Λ(ˆ

s, ∇2xx L (ˆ
x, λ, µ) s ≥ 0,

(2.5)

ˆ µ
ˆ (ˆ
ở đây Λ
x) là tập các giá trị tối ưu của nhân tử Lagrange λ,
ˆ trong
bài toán (2.3).
Chứng minh. Trước khi bắt đầu chứng minh, ta để ý rằng điều kiện
ˆ (x) là tập compact và vì thế cực đại trong (2.5)
dưới Robinson tập Λ
tồn tại. Xét bài toán (2.4). Bởi vì Bổ đề 1.5,
TX2 0 (ˆ
x, s) = TTX0 (ˆx) (s) .
Hơn nữa, ta có
TTX0 (ˆx) (s) ⊃ TX0 (ˆ
x) .
Vì thế bài toán tiếp theo là
min ∇f (ˆ
x) , w + s, ∇2 f (ˆ
x) s
với giả thiết w ∈ TX0 (ˆ
x) ,

(2.6)
2

00

∇gi (ˆ
x) , w ≤ − s, ∇ gi (ˆ
x) s , i ∈ I (ˆ
x, s) ,
∇hi (ˆ
x) , w = − s, ∇2 hi (ˆ
x) s , i = 1, . . . , p,
là hạn chế của bài toán (2.6) và giá tị tối ưu không âm. Theo điều kiện
Robinson rằng tập khả thi của bài toán (2.6) là rỗng. Bài toán (2.6)
có hàm mục tiêu tuyến tính và ràng buộc đa diện. Vì thế có nghiệm

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huế

tối ưu: w.
ˆ
¯ i , i ∈ I 00 (ˆ
Ký hiệu λ
x, s) và µ
¯i , i = 1, . . . , p, cho nhân tử Lagrange
liên kết cùng các ràng buộc. Điều kiện cần và đủ của định lí tối ưu
cho bài toán (2.6)
p

¯ i ∇gi (ˆ
λ
x) −

−∇f (ˆ
x) −



µ
¯i ∇hi (ˆ
x) ∈ TTX0 (ˆx) (w) ,
i=1

i∈I 00 (ˆ
x,s)

¯ i [ ∇gi (ˆ
λ
x) , w + s, ∇2 gi (ˆ
x) s

= 0, i ∈ I 00 (ˆ
x, s) ,

¯ ≥ 0.
λ
Vì thế tập giá trị tối ưu của nhân tử Lagrange cho bài toán (2.6) bao
ˆ (ˆ
gồm tập Λ
x) của giá trị tối ưu của nhân tử Lagrange của bài toán
¯ i = 0 với i ∈
(2.3) (chúng ta xác định λ
/ I 00 (ˆ
x, s) . Hơn nữa giá trị tối
ưu của bài toán (2.6) bằng với giá trị Lagrangian :
¯ µ
L1 w,
ˆ λ,
¯ = ∇f (ˆ
x) , wˆ + s, ∇2 f (ˆ
x) s
¯i
λ

+

∇gi (ˆ
x) , wˆ + s, ∇2 gi (ˆ
x) s

i∈I 00 (ˆ
x,s)
p

+

µ
¯i

∇hi (ˆ
x) , wˆ + s, ∇2 hi (ˆ
x) s

.

i=1

Ta có
TTX0 (ˆx) (w) = TX0 (ˆ
x) + {αw : α ∈ R} .
¯ µ
Nếu tối thiểu của Lagrange L1 ·, λ,
¯ trong TX0 (ˆ
x) tại w,
ˆ khi đó
p

¯ i ∇gi (ˆ
λ
x)+

∇f (ˆ
x) +

µ
¯i ∇hi (ˆ
x) , wˆ
i=1

i∈I 00 (ˆ
x,s)

20

= 0.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×