Tải bản đầy đủ

Tập lồi và ứng dụng

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
P❤↕♠ ❚❤à ❉✉♥❣

❚❾P ▲➬■ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✶✵✱ t❤→♥❣ ✺✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
P❤↕♠ ❚❤à ❉✉♥❣

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❙÷ ♣❤↕♠ t♦→♥ ❤å❝

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈

❚❤❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◗✉è❝ ❚✉➜♥

❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✶✵✱ t❤→♥❣ ✺✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽


▼ö❝ ❧ö❝
✶ ❈⑩❈ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ❚❾P ▲➬■



✶✳✶

❚➟♣ ❛❢❢✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✶✳✷

❚➟♣ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✶✳✸

P❤➛♥ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ✈➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✹

❇❛♦ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✺

❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✻

▼➦t ❝ü❝ ❜✐➯♥ ✈➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ❜✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✷ ❙Ü ❇■➎❯ ❉■➍◆ ❈Õ❆ ❚❾P ▲➬■

✷✶

✷✳✶

❙ü ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✷

❈ü❝ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✸ ❚❾P ▲➬■ ✣❆ ❉■➏◆

✷✻

✸✳✶

❑❤→✐ ♥✐➺♠ t➟♣ ❧ç✐ ✤❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✸✳✷

▼➦t ❝õ❛ ♠ët ✤❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✸✳✸

✣➾♥❤ ✈➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❦❤è✐ ✤❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✸✳✹

❈ü❝ ❝õ❛ ✤❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✸✳✺

❙ü ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤è✐ ✤❛ ❞✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✹ ❇✃ ✣➋ ❋❆❘❑❆❙ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●


✸✻


P❍❸▼ ❚❍➚ ❉❯◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✹✳✶

❇ê ✤➲ ❋❛r❦❛s

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✹✳✷

Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❜ê ✤➲ ❋❛r❦❛s ✈➔♦ ❣✐↔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✹✳✸

Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❜ê ✤➲ ❋❛r❦❛s ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝èt ❧ã✐ ❝õ❛ trá
❝❤ì✐ t÷ì♥❣ t→❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✐

✹✵


P

õ tốt ồ


t õ ữủ õ ợ t ỗ ự
ử trữợ t tổ ữủ tọ ỏ t ỡ s s t
ổ tr tờ t t ổ rữớ ồ ữ
ở ở ú tổ tr sốt tớ q
ổ t ỡ t ố
ữớ trỹ t ữợ õ õ ỵ qỵ
tổ õ t t õ
ũ õ ố ữ tớ
tự ừ t t ổ tr ọ ỳ
t sõt tổ rt ữủ sỹ tổ ỳ ỵ
õ õ ừ t ổ s õ ừ tổ
ữủ t ỡ
ổ t ỡ
ở t
tỹ

P




P❍❸▼ ❚❍➚ ❉❯◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤
❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝ò♥❣ ✈î✐ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ❝→❝
t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ t♦→♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛②
❣✐→♦ ❚❤❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◗✉è❝ ❚✉➜♥✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tæ✐ ❝â
t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♥❤ú♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❤➺ t❤è♥❣ tr♦♥❣ ♠ö❝
t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✧❚➟♣ ❧ç✐ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✧ ❦❤æ♥❣ ❝â trò♥❣
❧➦♣ ✈î✐ ❝→❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤→❝✳
❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✶✵✱ t❤→♥❣ ✺✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

P❤↕♠ ❚❤à ❉✉♥❣




P

õ tốt ồ

é
ứ rt ỗ ữủ t tr ổ ồ
ữ t ữớ t t trỏ t
ỗ ố tữủ ự ừ t tố ữ t
tự ỹ tr t t trú ừ t ỗ
ú t qt t tr t ồ ụ ữ tr
ở số q ở
t ồ t t t ỗ t ự tt ữớ t
ố t tr õ t t t t t ỗ õ t
ữủ t ữỡ tr t t ỳ ổ
ữ t t trú t ỗ ợ trú
ừ t ữỡ tr t t rs ổ ố
ổ tr ồ rr ự ử rr
s t r ữ ữ ữủ
ợ t ồ q t ổ ố t

ự t ữỡ tr t t r
r r
t ự ú ổ tr ừ ổ
ợ ữủ t ợ ồ t rở r t q ừ rs ữủ
ữ ố ỳ t ỗ ừ t ữỡ tr
t t q trồ t q ừ rs t ồ
ự s ỡ õ ứ õ ú t õ ự
t q õ ữ ừ r
r ss ss rt
ữợ sỹ ở t t ú ù ừ t ổ t t
ố ũ ợ sỹ ừ t tổ




P

õ tốt ồ
ự t

ỗ ự ử ỹ tr ỳ

t q õ t t õ q tợ t ỗ ở
ừ õ ữủ tr tr ố ữỡ
ữỡ ỡ ừ t ỗ ữỡ
ự t ỗ tr ởt số õ q
t ỗ s t
ữỡ ỹ ừ t ỗ r ữỡ ú tổ
ự trú ồ sỹ ừ t ỗ t
ởt số ỡ ổ ỹ ừ t ỗ
ữỡ ỗ ữỡ ự t ỗ
ữ ởt số ỡ t t ừ t ỗ tứ
õ ró t ỗ
ữỡ ờ rs ự ử ú tổ ự
ừ ờ rs A Rmìn b Rm sỷ F = {x

Rn+ : Ax = b} G = {y Rm : yA 0, yb 0} õ F =
G = ố ũ t ự ử ờ rs
t t ữỡ tr õ ổ ổ ự ử
tr t ốt ó trỏ ỡ tữỡ t
ũ õ t ợ sỹ ố ừ t s
tớ õ ụ ợ ố ợ t tổ
tr q tr õ ổ tr ọ ỳ t
sõt ổ ữủ ỵ õ õ ừ t ổ
õ ữủ t ỡ
ố ũ tổ t ỡ t ổ tr
trữớ ồ ữ ở t t ố




P❍❸▼ ❚❍➚ ❉❯◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚✉➜♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛
❧✉➟♥✳




P

õ tốt ồ

ỵ t ồ

R

tt số tỹ

Rn

tt tr õ n

ã, ã

ổ ữợ ỳ tỷ

cl C

õ ừ C

int C

P tr ừ C

conv E

ỗ ừ E

cone E

õ s t E

ri C

P tr tữỡ ố ừ t C

aff D

ừ t D




❈❤÷ì♥❣ ✶
❈⑩❈ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆
❚❾P ▲➬■
✶✳✶ ❚➟♣ ❛❢❢✐♥❡
❈❤♦ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b ∈ Rn ✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ x ∈ Rn ❝â ❞↕♥❣

x = (1 − λ)α + λb = a + λ(b − a), λ ∈ R
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ a ✈➔ b✳
▼ët t➟♣ M ❝õ❛ Rn ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛
♥â✱ t❤➻ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❛❢❢✐♥❡✱ ❤❛② (1 − λ)α + λb ∈ M ✈î✐ ♠å✐

a, b ∈ M ✈➔ λ ∈ R✳ ▼ët t➟♣ ❛❢❢✐♥❡ ❝❤ù❛ ❣è❝ tå❛ ✤ë ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥
❝õ❛ Rn ✳
▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t➟♣ ❛❢❢✐♥❡✿
◆➳✉ M ❧➔ t➟♣ ❛❢❢✐♥❡ t❤➻ a + M = {a + x : x ∈ M } ❝ô♥❣ ❧➔ t➟♣ ❛❢❢✐♥❡
✈î✐ ♠å✐ a ∈ Rn ❀
●✐❛♦ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❜➜t ❦➻ ❝→❝ t➟♣ ❛❢❢✐♥❡ ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❛❢❢✐♥❡❀
◆➳✉ x1 , . . . , xk t❤✉ë❝ t➟♣ ❛❢❢✐♥❡ M t❤➻ ♠å✐ tê ❤ñ♣ ❛❢❢✐♥❡ ❝õ❛ ❝→❝




P

õ tốt ồ
ụ tở M

xi M (i = 1, . . . , k), 1 + ã ã ã + k = 1 1 x1 + ã ã ã + k xk M.
ởt t t õ M = {x : Ax = b} ợ A Rmìn

b Rn ữủ ồ t õ tr t

ừ ởt t D ừ tt t
ự D aff D õ t ọ t ự D
ứ t t ừ t s r
k

k
i

x aff D x

i

i x , x D,
i=1

i = 1.
i=1


a, b Rn t ủ tt x = (1 )a + b
ợ 0 1 ữủ ồ t ỳ a b

ởt t C Rn ữủ ồ ỗ õ ự ồ
t q t tr õ õ
ỗ ợ ồ x, y C [0, 1] t õ x + (1 )y C

tr t ỗ ổ t ỗ



P❍❸▼ ❚❍➚ ❉❯◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ t➟♣ ❧ç✐✿
▼➦t ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ R3 ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

C1 = {(x1 , x2 , x3 )} ∈ R3 : 4x1 + 2x2 + 5x3 = 4},
❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐❀
❍➻♥❤ trá♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✶ ✈î✐ t➙♠ ✭✵✱✵✮ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

C2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1}
❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐❀
▼ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

C3 = {x ∈ Rn : p.x = α} ✈î✐ α ∈ R, p ∈ Rn ✳
❑➼ ❤✐➺✉ (p, α)✱ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐❀
◆û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

C4 = {x ∈ Rn : p.x ≤ α} ✈î✐ α ∈ R ✈➔ p ∈ Rn ✱
❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ◆➳✉ C1 ✈➔ C2 ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❧ç✐✱ α ∈ R t❤➻ C1 ∩C2✱ C1 +C2✱
αC1

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû x, y ∈ C ✱ z = λx + (1 − λ)y ✈î✐ λ ∈ [0, 1]✳ ❚❛ ❝â
x, y ∈ C1 ✈➔ C1 ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ t❤➻ z ∈ C1 ✱ t÷ì♥❣ tü z ∈ C2 ✳ ❱➟② z ∈ C1 ∩ C2 ✳
▲➜② a = x + y, b = u + v ✈î✐ x, u ∈ C1 , y, v ∈ C2 ✱ t❛ ❝â

(1 − λ)a + λb =(1 − λ)(x + y) + λ(u + v)
=[(1 − λ)x + λu] + [(1 − λ)y + λv]
∈ C1 + C2

∀λ ∈ [0, 1].

❱➟② C1 + C2 ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü t❛ ❝â αC ❧➔ t➟♣
❧ç✐✳




P

õ tốt ồ
ởt t M Rn ữủ ồ ởt õ

x M, > 0 x M.
ố O õ t tở ổ tở M ởt õ ổ ự ữớ
t ữủ ồ õ ồ tr trữớ ủ O ữủ ồ
ừ õ M õ a + M õ

ởt M Rn ởt õ ỗ
M M > 0



M + M M.



ự ự t t tứ ừ ởt
õ t ự ữủ ỡ ỳ ợ x, y M t õ
1
2 (x

+ y) M tứ t x + y M M + M M

ự ữủ t õ t M ởt õ
t ợ t x, y M, [0, 1] t õ (1 )x M, y M
t (1 )x + y M M t ỗ

P tr tữỡ ố õ tữỡ ố
r ú tổ ự tr Rn ổ tỹ n
ũ ợ x =

n
2
i=1 |xi |

x, y = x1 y1 + ã ã ã + xn yn



t ổ ữợ


P

õ tốt ồ

ợ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) Rn t a
r t ủ

B = {x Rn | x a < r}.
õ t a r t ủ

B = {x Rn | x a r}.
õ ừ ừ t C ừ tt t õ ự C
cl C P tr ừ t C ủ tt t ự
tr C int C

t a cl C ồ t a

ự t t ởt ừ C a int C tỗ t
t a t tr C

x õ
k

k
i

i

n

i x , x R ,

x=
i=1

i = 1, i 0, i = 1, 2, ..., n
i=1

ữủ ồ ởt tờ ủ ỗ ừ {x1 , . . . , xk }

ỵ t C Rn t ỗ t ự tt tờ ủ
t t ỗ tỷ ừ õ

ự ự tr t ữỡ q
t ợ m = 2 t C t ỗ sỷ
ú ợ m = k 1 2 x = 1 x1 + 2 x2 + ã ã ã + k xk
tờ ủ ỗ ừ xi (i = 1, 2, . . . , k) t tở C r số




P

õ tốt ồ

i (i = 1, . . . , k) õ t t ởt số 1 = 1
õ

x =1 x1 + 2 x2 + ã ã ã + k xk
k
1

=1 x + (1 1 )
i=2

t õ y =

k
i
i
i=2 11 x

i
xi .
1 1

tờ ủ ỗ ừ k1 tở C õ y C

t tt q tự x = 1 x1 +(11 )y (0 1 < 1)
ự tọ r x tờ ủ ỗ ừ tở t ỗ C x C
õ ụ ú ợ m = k ú ợ ồ


t E Rn ừ tt t ỗ ự E ữủ ồ
ỗ ừ E conv E

ỗ ừ ởt t

ỵ ỗ ừ ởt t E Rn t ỡ tt tờ
ủ ỗ tỷ ừ õ




P❍❸▼ ❚❍➚ ❉❯◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ C

❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛ E ✱ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥

C ⊂ conv E ✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ t❤➻ E ⊂ C ✳ ◆➳✉
x=

i∈I

λ i ai , y =

(1 − α)x + αy =

µj bj ✈î✐ ai , bj ∈ E ✈➔ 0 ≤ α ≤ 1✱ t❤➻ t❛ ✤÷ì❝

j=J
i∈I (1

− α)λi ai +

(1 − α)λi +
i∈I

j=J

αµj bj . ❱➻

αµj =(1 − α)
j=J

λi + α
i∈I

µj
j=J

=(1 − α) + α = 1
❞♦ ✤â (1 − α)x + αy ∈ C ♥➯♥ C ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳ ❱➟② ✈î✐ ❜➜t ❦➻ x ∈ conv E
❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ ❤ú✉ ❤↕♥ tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♥â✳

✶✳✺ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ t→❝❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦ S1 ✈➔ S2 ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ Rn✳ ▼ët
s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ H = {x : px = α} ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t→❝❤ S1 ✈➔ S2 ♥➳✉ px ≥ α
✈î✐ ♠é✐ x ∈ S1 ✈➔ px ≤ α ✈î✐ ♠é✐ x ∈ S2 ✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ H ❣å✐ ❧➔ t→❝❤
❝❤➦t S1 ✱ S2 ♥➳✉ px > α ✈î✐ ♠å✐ x ∈ S1 ✈➔ px < α ✈î✐ ♠å✐ x ∈ S2 ✳

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❍➻♥❤ ❜➯♥ tr→✐ ❧➔ t→❝❤ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝❤➦t✱ ❤➻♥❤ ❜➯♥ ♣❤↔✐ ❧➔ t→❝❤ ❝❤➦t✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳ ◆➳✉ ❝❤♦ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ C tr♦♥❣ Rn ✈➔ z ∈ Rn ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠

s❛♦ ❝❤♦ z ∈/ C ✱ t❤➻ tç♥ t↕✐ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ t→❝❤ ❝❤➦t z ✈➔ C ✳
✶✸


P❍❸▼ ❚❍➚ ❉❯◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲➜② ♠ët ✤✐➸♠ z ∈
/ C ✈➔ ✤✐➸♠ y ∈ C ❣➛♥ z ♥❤➜t✳ ❙❛✉ ✤â ❧➜② ♠ët
s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ ❣✐ú❛ z ✈➔ y ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ✈❡❝t♦r z − y ✳ ❚❤➻
s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✤â s➩ t→❝❤ z ✈➔ C ✳

❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ❍➻♥❤ t❤➸ ❤✐➺♥ ✤à♥❤ ❧➼ t→❝❤✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ❧➼ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ♥➳✉ C = ∅✳ ●✐↔ sû C = ∅, z ∈/ C ✳
❱➻ z ∈
/ C ✱ C ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❧ç✐ t❤➻ tç♥ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ y ∈ C s❛♦ ❝❤♦

z − y ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❇➙② ❣✐í t➟♣ p = z − y ✈➔ α = 21 [ z

2

− y 2 ]✳ ❈❤ó♥❣

t❛ ❝❤➾ r❛ pz > α ✈➔ pz < α ✈î✐ ♠å✐ x ∈ C ✳ ❳➨t

1
pz − α = (z − y)z − [ z
2
▼➦t ❦❤→❝ py < py +

1
2

p

2

2

1
− y 2 ] = [ (z − y) 2 ] > 0.
2

= (z − y)y + 12 [ (z − y) 2 ] > 0 = α✳ P❤↔♥

❝❤ù♥❣✱ ❣✐↔ sû tç♥ t❛à x ∈ C s❛♦ ❝❤♦ px ≥ α > py ✱ ❞♦ ✤â p(x − y) > 0✳
❱î✐ δ =

2p(x−y)
(x−y) 2

> 0✱ ❝❤å♥ 1 ≥ λ > 0 ✈➔ λ < δ ♥❤÷ ✈➟② λ tç♥ t↕✐ ❜ð✐

✈➻ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ tç♥ t↕✐✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ w = λx + (1 − λ)y ✱ ✈➻ C

✶✹


P

õ tốt ồ
t ỗ w C

(z w)

2

= (z y) + (y x)
= p (x y)

2

2

= p

2

2(x y)p + 2 (x y)

< p

2

= (z y) 2 .

2

õ w z ỡ y tr ợ tt ợ ồ x C t õ

px <



ởt s H = {x |Rn t, x = } ữủ ồ

ởt s tỹ ừ t ỗ C tr Rn t ọ t

x0 C tr H : t, x0 = tt ừ C tr
ỷ ổ H t, x , ợ ồ x C ỷ
ổ t, x ữủ ồ ỷ ổ tỹ ừ C

ỵ ộ x0 ừ t ỗ C tr Rn
tỗ t t t ởt s tỹ ừ C t õ

ự sỷ x0 / ri C õ tỗ t ởt s

t, x =

s

t, x t, x0 , x ri C.
õ t, x t, x0 0 t, x x0 0 s

H = { t, x x0 = 0} s tỹ ừ C t x0
P t t ừ ởt s tỹ ừ C t x0 tọ

t, x x0 0 x C
ởt tr t tọ ổ t ởt õ tũ ợ t




P

õ tốt ồ

t tr C ợ x0 ố õ ỗ tớ ữủ ồ
ởt t ỡ ởt t ừ C t

x0 t t tt t ừ C t x0
ữủ ồ õ t NC (x0 ) x0 tr ừ

C t NC (x0 ) ồ õ ỗ t {0}

C t ỗ õ ợ t y0 / C t tỗ
t x0 C s x0 y0 NC (x0) ộ s tỹ ừ C t
x0 t y 0 tứ C
ự t {xk } C ởt s
xk y 0 inf y 0 x
xC

(k ).

{ xk y 0 } õ ở tử õ { xk }

xk xk y 0 + y 0 õ ởt xkv x0 C õ t
õ x0 C x0 y 0 = min y 0 x t t := x0 y 0 NC (x0 )
xC

t ợ t x C (0, 1) t õ x := .x+(1).x0 C
x y 0 2 y 0 x0 2 tự

(x0 y 0 ) + (x x0 ) 2 y 0 x0 2 .
õ õ

2 . x x0 2 +2. x x0 , x0 y 0 0,
ợ ồ (0, 1) t, xx0 0 ú ỵ x0 y 0 NC (x0 )
t ợ x0 t x1 y 0 NC (x1 ) t tứ t




P

õ tốt ồ
ữỡ tr

x0 y 0 , x1 x0 0,

x1 y 0 , x0 x1 0.

õ x0 x1 , x1 x0 0 x1 x0 = 0 x0 ỏ ữủ
ừ y 0 t ỗ C

ỵ C t ỗ õ rộ ổ

ổ t C ừ tt ỷ ổ tỹ ừ õ

ự sỷ E t ừ tt ỷ ổ tỹ
C E sỷ E\C = y 0 E\C ứ t t õ
tỗ t ởt ỷ ổ tỹ ừ C ổ ự y 0 t ợ

y 0 E C = E

t ỹ ỹ
t ỗ C ỗ F ữủ ồ ởt t ừ C t
t tr C ợ tr tữỡ ố ừ F
t tr F tự

x, y C, (1 )x + y F, 0 < < 1 = [x, y] F.
t t C t ừ C t r ừ C t ổ
ổ C t ừ õ ỗ ởt õ ỗ

ừ t ỗ C ợ s tỹ H ởt t
ừ C

ự sỷ F := H C ự ữủ F


t


P

õ tốt ồ

ỗ [a, b] C õ x tở tr tữỡ ố ừ F
ổ ữủ ự tr F t H t t a b tr ợ
s tỹ
t õ số ổ ừ C ữủ ồ ỹ ừ

C ởt ỹ ừ C x0 C x0 ổ tr
tữỡ ố ừ t ữớ t ố tr

C
ởt t ỗ C õ t ừ ởt ỷ ữớ t ữợ ừ
ỷ ữớ t ữủ ồ ữợ ỹ ừ C ữợ
ừ ữợ ừ õ t ởt t ừ t ừ C ụ
ởt t ừ C t ởt ỹ ữợ ừ t
ừ t ỗ C ụ ữợ ừ C

E ởt t tũ ỵ tở Rn ồ ỹ
ừ C = conv E tở E

ự x ởt ỹ ừ C õ
x=

k
i
i=1 i x

xi E, i > 0

k
i=1 i

= 1.

t r i = 1 ợ ộ i t õ ởt số h ợ

0 < h < 1 t x = h xh + (1 h )y h ợ y h =


i
i=h 1h

i
i
i=h 1h x

C

= 1 tự x ởt tr tữỡ ố ừ

[xh , y h ] C t ợ x ởt ỹ
ởt a tũ ỵ ừ t ỗ C ổ tỗ t t t ởt t
ừ C ự a ử t C ừ tt t ừ C ự a ró
r ởt t ú t t ữ t ọ t õ ự

a Fa




P

õ tốt ồ

Fa ủ ừ a tt x C t tỗ

t ởt [x, y] C ợ a tr tữỡ ố ừ C
ự ủ tr F x F tự x C

õ y C s a = (1 ) x + y, ợ 0 < < 1 t [x, y] Fa
Fa ởt t t õ F Fa r F
ởt t tt t õ t sỷ r a = 0 t F
ởt t ỗ ừ C t x1 , x2 F tự x1 = 1 .y 1

x2 = 2 .y 2 ợ y 1 , y 2 C 1 , 2 > 0 t t x = (1 )x1 + x2
ú t õ x = (1 )1 y 1 2 y 2 ợ

1
2
(1 ) 1
.x =
.y 1 +
.y 2 C
(1 ) 1 + 2
(1 ) 1 + 2
(1 ) 1 + 2
ự x F x, y C u = (1 ) x + y F
ợ 0 < < 1 u F õ v C s u = àC

x=

y
àv
y
u

=

.
1 1 1 1

õ



(1 ) x
à

=
v+
y C,
à+

à+

õ x F tữỡ tỹ y F F ởt t

C ởt t ỗ a C t F ừ C t

ọ t C a ri F
ự t ợ ồ t F t ừ C tr
tữỡ ữỡ F ởt t a ri F

q t F1 ừ ởt t ỗ C ởt t r ừ
t F2 t dim F1 < dim F2




P❍❸▼ ❚❍➚ ❉❯◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ a ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ F1✳ ◆➳✉
dim F1 = dim F2 t❤➻ a ∈ ri F2 ✳ ❉♦ ✤â F1 ✈➔ F2 ❝ò♥❣ ❧➔ ♠ët ♠➦t ♥❤ä
♥❤➜t ❝❤ù❛ a✳ ❱æ ❧➼✱ ❞♦ ✤â dim F1 < dim F2 ✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳ ◆➳✉ F ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ C t❤➻ ♥â ❧➔ ♠ët t➟♣

✤â♥❣✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ 0

∈ ri F ✱ ♥➯♥ F = F0 ✳ ❈❤♦ M

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛ F ✱ rã r➔♥❣ ♠é✐ x ∈ M t❤➻ x ❝â ❞↕♥❣

x = −λy ✈î✐ ♥❤ú♥❣ y ∈ F ✈➔ λ > 0✳ ❚❤❡♦ ♠➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✱ F = M ∩ C
❞♦ M ✈➔ C ✤â♥❣ t❤➻ F ♣❤↔✐ ✤â♥❣✳

✷✵


ữỡ
ĩ ế P
ỹ ừ t ỗ
C ởt t ỗ rộ õ C õ
ỹ õ ổ ự ữớ t

ởt t ỗ C rộ õ ổ t t ổ t
tữớ L ợ t x C t õ x = u + v u L v L L
ũ trỹ ừ L ó r v = x u C L = C + L C
õ C ữủ t ữợ tờ C = L + (C L ) C L
ổ ự ữớ t C L õ ỹ

ỵ C
t õ

Rn

ởt t ỗ õ ổ ự ữớ

C = conv V (C) + cone U (C).

r õ U (C) t ỹ ừ C V (C) t ữỡ




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×