Tải bản đầy đủ

Nghiệm tổng quát cho phương trình monge ampere

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

HOÀNG PHƯƠNG ANH

NGHIỆM TỔNG QUÁT CHO PHƯƠNG
TRÌNH MONGE-AMPERE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

HOÀNG PHƯƠNG ANH


NGHIỆM TỔNG QUÁT CHO PHƯƠNG
TRÌNH MONGE-AMPERE
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI – 2018


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời nói đầu

4

1 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere

6

1.1

Ánh xạ pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Tính chất của ánh xạ pháp . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

Nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5

Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5.1

Nguyên lý cực đại Aleksandrov . . . . . . . . .

24

1.5.2

Nguyên lý cực đại Aleksandrov-Bakelman- Pucci 25

1.5.3

Nguyên lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere 34
2.1

Bài toán Dirichlet thuần nhất . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

Bài toán Dirichlet không thuần nhất . . . . . . . . . .

39

2.3

Nghiệm nhớt là nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . .

47

2.4

Ellipsoid có thể tích nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . .

50

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Lời cảm ơn
Để hoàn thiện khóa luận em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy
cô trong khoa Toán. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các
thầy cô, đặc biệt là TS.Trần Văn Bằng, người đã trực tiếp tận tình
hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô trong trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tận tình dạy bảo em trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Khóa luận chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày...tháng...năm 2018
Sinh viên

Hoàng Phương Anh

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Lời cam đoan
Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu
của bản thân cùng với sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Khóa luận có sự tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà
khoa học trong và ngoài nước. Em xin cam đoan kết quả của khóa
luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào. Em xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
Hà Nội, ngày...tháng...năm 2018
Sinh viên

Hoàng Phương Anh

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

BẢNG KÍ HIỆU

R

Tập số thực

Rn

Không gian Euclide thực n chiều

P(Rn )

Họ tất cả các tập con của Rn

x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử của Rn
x21 + · · · + x2n

|x|

Chuẩn của phần tử x, bằng

x·y

Tích vô hướng của x và y, bằng

BR (x0 )

Hình cầu mở tâm x0 ∈ Rn bán kính R

A

Bao đóng của tập con A

dist(x, A)

Khoảng cách từ điểm x đến tập A

C k (Ω)

Tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω

Du(x), D2 u(x)

Gradient và Hessian của hàm u tại x

∆u(x)

Laplace của hàm u tại x

∂u(x)

Ánh xạ pháp hay dưới vi phân của hàm u tại x

χE (x)

Hàm đặc trưng của tập hợp E

|E|

Độ đo Lebesgue n chiều của tập hợp E ⊂ Rn

h.k.n.

Hầu khắp nơi

3

n
i=1 xi yi


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Lời nói đầu
Phương trình Monge-Ampere là phương trình có dạng
det D2 u(x) = f (x),

x ∈ Ω,

trong đó Ω ⊂ Rn là một tập mở, f (x) là hàm đã cho. Phương trình này
là một phương trình phi tuyến, có vai trò quan trọng trong hình học
cũng như trong nhiều lĩnh vực khác. Vì thế phương trình đã nhận được
sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới, xem [5]
và các tài liệu trong đó. Nhờ sự phát triển của lý thuyết dưới vi phân,
lý thuyết phân bố, lý thuyết nghiệm nhớt, các nhà toán học đã đạt
được nhiều kết quả tốt về phương trình Monge-Ampere. Trong khóa
luận này chúng tôi tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng và nghiệm
nhớt của phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ giữa chúng và
một số tính chất định tính như các nguyên lý cực đại Alexandrov,
Alexandrov-Bakelman-Pucci và nguyên lý so sánh nghiệm; ứng dụng
vào nghiên cứu bài toán Dirichlet và hình học. Nội dung chính của khóa
luận được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày khái niệm
ánh xạ pháp hay dưới vi phân và một số tính chất của ánh xạ pháp;
khái niệm nghiệm suy rộng, nghiệm nhớt của phương trình MongeAmpere và các nguyên lí cực đại, nguyên lí so sánh. Chương 2 trình
bày kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet
đối với phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ giữa nghiệm nhớt
và nghiệm suy rộng, sự tồn tại của ellipsoid có thể tích nhỏ nhất chứa
một tập lồi.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Do trình độ có hạn nên khóa luận không tránh khỏi có những thiếu
sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn.

5


Chương 1
Nghiệm suy rộng của phương
trình Monge-Ampere
Cho Ω là một tập con mở của Rn và u : Ω → R là hàm số xác định
trên Ω. Trong khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng một số kí hiệu quen
thuộc sau đây:
Với x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , thì chuẩn của x xác định bởi
|x| =

x21 + · · · + x2n

và biểu thức
x · y = x 1 y1 + · · · + x n yn
là tích vô hướng của các véc tơ x, y ∈ Rn . Tập hợp
BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R}
là hình cầu tâm x0 bán kính R trong Rn .
C k (Ω) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục
trên Ω, k = 0, 1, 2, · · · . Khi k = 0 ta thường viết đơn giản C 0 (Ω) bởi
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

C(Ω). Nếu u ∈ C 1 (Ω) thì Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) là gradient của hàm
u tại điểm x ∈ Ω. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì D2 u(x) = [uxi xj ]n×n là (ma trận)
Hessian của hàm u tại x ∈ Ω.
Với x0 ∈ Ω, một siêu phẳng giá của hàm số u tại điểm (x0 , u(x0 ))
là một hàm affin l(x) = u(xo ) + p.(x − x0 ) sao cho u(x) ≥ l(x) với mọi
x ∈ Ω.
Kí hiệu P(Rn ) là họ tất cả các tập con của Rn .

1.1

Ánh xạ pháp

Ánh xạ pháp hay dưới vi phân của một hàm là công cụ quan trọng để
nghiên cứu nghiệm suy rộng của phương trình đạo hàm riêng.
Định nghĩa 1.1. Ánh xạ pháp của u còn gọi là dưới vi phân của u,
là hàm đa trị ∂u : Ω → P(Rn ) xác định bởi
∂u(x0 ) = {p : u(x) ≥ u(x0 ) + p.(x − x0 ), với mọi x ∈ Ω}.
Với E ⊂ Ω, chúng ta định nghĩa ∂u(E) =

x∈E

∂u(x).

Lưu ý rằng, tập ∂u(x0 ) có thể bằng rỗng. Gọi S = {x ∈ Ω : ∂u(x) =
∅}. Nếu u ∈ C 1 (Ω) và x ∈ S thì ∂u(x) = {Du(x)} và thường viết đơn
giản là ∂u(x) = Du(x). Điều này nghĩa là nếu u khả vi thì ánh xạ
pháp là gradient. Nếu u ∈ C 2 (Ω) và x ∈ S, thì Hessian của u là ma
trận xác định không âm, nghĩa là D2 u(x) ≥ 0. Điều này chứng tỏ
rằng, nếu u là C 2 , thì S là tập các điểm trên đó đồ thị của u là lồi.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Thực vậy, theo khai triển Taylor
u(x + h) = u(x) + Du(x).h +

1 2
D u(ξ)h, h ,
2

trong đó ξ nằm trên đoạn thẳng giữa x và x + h. Vì u(x + h) ≥
u(x) + Du(x).h với mọi h đủ nhỏ nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1. Với hàm khả vi, ta đã biết ánh xạ pháp của nó chính là
gradient. Ví dụ này sẽ đề cập tới việc tính ánh xạ pháp của một hàm
không khả vi điển hình, hàm số u có đồ thị là một hình nón trong
|x − x0 |
. Đồ thị
Rn+1 . Cho Ω = BR (x0 ) trong Rn , h > 0 và u(x) = h
R
của u, với x ∈ Ω, là một nón với trục thẳng đứng trong Rn+1 với đỉnh
tại điểm (x0 , 0) và đáy nằm trên siêu phẳng xn+1 = h. Với hàm này ta




h x − x0


, nếu 0 < |x − x0 | < R
R
|x

x
|
0
∂u(x) =


Bh/R (0),
nếu x = x0 .

Thật vậy, nếu 0 < |x − x0 | < R, thì u khả vi tại x nên giá trị của
∂u chính là gradient. Nếu x = x0 thì từ định nghĩa của ánh xạ pháp,
h
p ∈ ∂u(x0 ) nếu và chỉ nếu |x − x0 | ≥ p.(x − x0 ) với mọi x ∈ BR (x0 ).
R
p
h
Nếu p = 0 và chúng ta chọn x = x0 + R , thì ta suy ra |p| ≤ . Rõ
|p|
R
h
ràng là nếu |p| ≤
thì p ∈ ∂u(x0 ). Vậy ta có điều cần chứng minh.
R
Tiếp theo chúng ta sẽ đề cập tới một số tính chất của ánh xạ pháp.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Hoàng Phương Anh

Tính chất của ánh xạ pháp

Bổ đề 1.1. Nếu Ω ⊂ Rn mở, u ∈ C(Ω) và K ⊂ Ω là compact thì
∂u(K) là compact.
Chứng minh. Giả sử {pk } ⊂ ∂u(K) là một dãy. Chúng ta khẳng định
rằng pk bị chặn. Thật vậy, với mọi k tồn tại xk ∈ K sao cho pk ∈
∂u(xk ), nghĩa là u(x) ≥ u(xk ) + pk .(x − xk ) với mọi x ∈ Ω. Vì K là
compact nên Kδ = {x : dist(x, K) ≤ δ} là compact và chứa trong Ω với
mọi δ đủ nhỏ, và chúng ta có thể giả sử là (chuyển qua một dãy con nếu
cần) xk → x0 . Khi đó xk + δw ∈ Kδ , và u(xk + δw) ≥ u(xk ) + δpk .w
với mọi |w| = 1 và với mọi k. Nếu pk = 0 và w =

pk
|pk | ,

thì ta có

maxKδ u(x) ≥ minK u(x) + δ|pk |, với mọi k. Vì u bị chặn địa phương
nên khẳng định trên được chứng minh. Do vậy, tồn tại một dãy con
hội tụ pkm → p0 . Chúng ta khẳng định rằng p0 ∈ ∂u(K), cụ thể
p0 ∈ ∂u(x0 ). Thật vậy, ta có u(x) ≥ u(xkm ) + pkm .(x − xkm ) với mọi
x ∈ Ω và vì u liên tục, bằng cách lấy giới hạn m → ∞ ta nhận được
u(x) ≥ u(x0 ) + p0 .(x − x0 ) với mọi x ∈ Ω. Vậy p0 ∈ ∂u(x0 ) và ta có
điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.1. Theo chứng minh trên, nếu u chỉ bị chặn địa phương
trong Ω thì ∂u(E) bị chặn khi E bị chặn và E¯ ⊂ Ω.
Nhận xét 1.2. Với x0 ∈ Ω, tập ∂u(x0 ) lồi. Tuy nhiên, nếu K lồi và
2

K ⊂ Ω thì tập ∂u(K) không nhất thiết là lồi. Ví dụ, với u(x) = e|x|

và K = {x ∈ Rn : |xi | ≤ 1, i = 1, ..., n}. Tập ∂u(K) là tập hình sao
đối xứng quanh điểm gốc nhưng không lồi, xem Hình 1.1.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Hình 1.1: Ảnh ∂u(K) không lồi của một tập lồi K qua ánh xạ pháp

Bổ đề 1.2. Nếu u là một hàm lồi trong Ω và K ⊂ Ω là compact, thì
u Lipschitz đều trong K, nghĩa là, tồn tại một hằng số C = C(u, K)
sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| với mọi x, y ∈ K.
Chứng minh. Vì u lồi, u có siêu phẳng giá tại bất kì x ∈ Ω. Đặt
C = sup{|p| : p ∈ ∂u(K)}. Theo Bổ đề 1.1, C < ∞. Nếu x ∈ K, thì
u(y) ≥ u(x) + p.(y − x) với p ∈ ∂u(x) và với mọi y ∈ Ω. Đặc biệt, nếu
y ∈ K, thì u(y) − u(x) ≥ −|p||y − x|. Bằng cách thay đổi vai trò của
x và y chúng ta nhận được kết luận của bổ đề.
Bổ đề 1.3. Nếu Ω mở và u liên tục Lipschitz trong Ω, thì u khả vi
h.k.n. trong Ω.
Chứng minh. Xem [4], trang 81.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Bổ đề 1.4. Nếu u lồi hoặc lõm trong Ω, thì u khả vi h.k.n. trong Ω.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ các Từ Bổ đề 1.2 và 1.3.
Nhận xét 1.3. Mọi hàm lồi trong Ω đều có đạo hàm riêng cấp hai
h.k.n. trong Ω, xem [4], trang 242.
Định nghĩa 1.2. Biến đổi Legendre của hàm số u : Ω → R là hàm
số u∗ : Rn → R xác định bởi:
u∗ (p) = sup(x.p − u(x)).
x∈Ω

Nhận xét 1.4. Nếu Ω bị chặn và u bị chặn trong Ω, thì u∗ hữu hạn.
Ngoài ra, u∗ lồi trong Rn .
Bổ đề 1.5. Nếu Ω mở và u là một hàm liên tục trong Ω, thì tập các
điểm trong Rn thuộc vào ảnh qua ánh xạ pháp của nhiều hơn một điểm
thuộc Ω có độ đo Lebesgue bằng không. Nghĩa là, tập
S = {p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x = y và p ∈ ∂u(x) ∩ ∂u(y)}
có độ đo không. Điều này có nghĩa là tập các siêu phẳng giá tiếp xúc
với đồ thị của u tại nhiều hơn một điểm có độ đo không.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng Ω bị chặn bởi vì nếu trái lại thì ta
viết Ω = ∪k Ωk , trong đó Ωk ⊂ Ωk+1 là các tập mở và Ωk là compact.
Nếu p ∈ S, thì tồn tại x, y ∈ Ω, x = y và
u(z) ≥ u(x) + p.(z − x),

u(z) ≥ u(y) + p.(z − y)

với mọi z ∈ Ω. Vì Ωk tăng nên x, y ∈ Ωm đối với một m nào đó, và rõ
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

ràng hai bất đẳng thức trên đúng với z ∈ Ωm . Nghĩa là, nếu
Sm = {p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x = y và p ∈ ∂(u|Ωm )(x)∩∂(u|Ωm )(y)}
ta có p ∈ Sm , tức là, S ⊂ ∪m Sm và do đó ta chỉ cần chứng minh rằng
mỗi Sm có độ đo không.
Thật vậy, gọi u∗ là biến đổi Legendre của u. Theo Nhận xét 1.4 và
Bổ đề 1.4, u∗ khả vi h.k.n. Đặt E = {p : u∗ không khả vi tại p}. Ta
sẽ chứng tỏ rằng
{p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x = y và p ∈ ∂u(x) ∩ ∂u(y)} ⊂ E.
Thật vậy, nếu p ∈ ∂u(x1 ) ∩ ∂u(x2 ) và x1 = x2 , thì u∗ (p) = xi .p − u(xi ),
i = 1, 2. Ngoài ra, u∗ (z) ≥ xi .z − u(xi ) và u∗ (z) ≥ u∗ (p) + xi .(z − p)
với mọi z, i = 1, 2. Do đó nếu u∗ khả vi tại p thì Du∗ (p) = xi , i = 1, 2.
Vậy ta có chứng minh của bổ đề.
Định lý 1.1. Nếu Ω mở và u ∈ C(Ω), thì lớp
S = {E ⊂ Ω : ∂u(E) là đo được Lebesgue}
là một σ-đại số Borel. Hàm tập M u : S → R xác định bởi
M u(E) = |∂u(E)|

(1.1)

là một độ đo, hữu hạn trên các tập compact, được gọi là độ đo Monge
- Ampere liên kết với hàm u.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1 lớp S chứa mọi tập con compact của Ω.
Ngoài ra, nếu Em là dãy bất kì các tập con của Ω, thì ∂u(∪m Em ) =
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

∪m ∂u(Em ). Do đó, nếu Em ∈ S, m = 1, 2, .... thì ∪m Em ∈ S. Đặc biệt,
ta có thể viết Ω = ∪m Km với Km compact và ta thu được Ω ∈ S.
Để chứng minh S là một σ-đại số, ta cần phải chứng minh rằng nếu
E ∈ S, thì Ω\E ∈ S. Ta dùng công thức như sau, nó có hiệu lực với
bất kì tập E ⊂ Ω:
∂u(Ω\E) = (∂u(Ω)\∂u(E)) ∪ (∂u(Ω\E) ∩ ∂u(E)).

(1.2)

Theo Bổ đề 1.5, |∂u(Ω\E) ∩ ∂u(E)| = 0 với mọi tập E. Do đó từ (1.2)
ta có Ω\E ∈ S khi E ∈ S.
Tiếp theo ta chứng minh rằng M u là σ-cộng tính. Giả sử {Ei }∞
i=1
là một dãy các tập đôi một rời nhau trong S và đặt ∂u(Ei ) = Hi . Ta
phải chứng minh rằng


|∂u(∪∞
i=1 Ei )|

|Hi |.

=
i=1


Vì ∂u(∪∞
i=1 Ei ) = ∪i=1 Hi , nên ta cần chứng minh:


|∪∞
i=1 Hi |

|Hi |.

=

(1.3)

i=1

Ta có Ei ∩ Ej = ∅ với i = j. Khi đó, theo Bổ đề 1.5, |Hi ∩ Hj | = 0 với
i = j. Chúng ta viết
∪∞
i=1 Hi = H1 ∪ (H2 \H1 ) ∪ (H3 \(H2 ∪ H1 )) ∪ (H4 \(H3 ∪ H2 ∪ H1 )) ∪ ...,
trong đó, các tập ở vế phải đôi một rời nhau. Mà
Hn = [Hn ∩ (Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )] ∪ [Hn \(Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )].
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Từ Bổ đề 1.5, |Hn ∩ (Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )| = 0 và ta thu được:
|Hn | = |Hn \(Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ... ∪ H1 )|.
Từ đây ta có (1.3), do đó có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2. Nếu u ∈ C 2 (Ω) là một hàm lồi, thì độ đo Monge-Ampere
M u liên kết với u thỏa mãn
det D2 u(x)dx,

M u(E) =

(1.4)

E

với mọi tập Borel E ⊂ Ω. Để chứng minh (1.4), chúng ta dùng kết
quả sau:
Định lý 1.2 (Định lý Sard, [6]). Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở và
g : Ω → Rn là một C 1 -hàm trong Ω. Nếu S0 = {x ∈ Ω : det g (x) = 0},
thì |g(S0 )|= 0.
Đầu tiên chúng ta chú ý rằng, vì u lồi và thuộc C 2 (Ω), nên Du là
một-một trên tập A = {x ∈ Ω : D2 u(x) > 0}. Thực vậy, lấy x1 , x2 ∈
A với Du(x1 ) = Du(x2 ). Từ tính lồi u(z) ≥ u(xi ) + Du(xi ).(z − xi )
với mọi z ∈ Ω, i = 1, 2. Do đó,
u(x1 ) − u(x2 ) = Du(x1 ).(x1 − x2 ) = Du(x2 ).(x1 − x2 ).
Theo công thức Taylor,
u(x1 ) = u(x2 ) + Du(x2 ).(x1 − x2 )
1

t D2 u(x2 + t(x1 − x2 )) (x1 − x2 ), x1 − x2 dt.

+
0

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

Do đó tích phân bằng 0 và hàm dưới dấu tích phân phải triệt tiêu
với 0 ≤ t ≤ 1. Vì x2 ∈ A, nên x2 + t(x1 − x2 ) ∈ A với t đủ nhỏ.
Do đó, x1 = x2 . Nếu u ∈ C 2 (Ω), thì g = Du ∈ C 1 (Ω). Chúng ta có
M u(E) = |Du(E)| và
Du(E) = Du(E ∩ S0 ) ∪ Du(E\S0 ).
Vì E ⊂ Rn là tập Borel, nên E ∩ S0 và E\S0 cũng là các tập Borel.
Vì vậy, từ công thức đổi biến và định lý Sard,
M u(E) = M u(E ∩ S0 ) + M u(E\S0 )
det D2 u(x)dx =

=
E\S0

det D2 u(x)dx,
E

điều này cho ta (1.4).
Ví dụ 1.3. Nếu u(x) là hàm có đồ thị hình nón trong Ví dụ 1.1, thì
độ đo Monge-Ampere liên kết với u là M u = |Bh/R |δx0 , trong đó δx0
là hàm delta Dirac tại x0 .

1.3

Nghiệm suy rộng

Định nghĩa 1.3. Cho v là một độ đo Borel được xác định trong Ω,
một tập con mở và lồi của Rn . Hàm lồi u ∈ C(Ω) là một nghiệm suy
rộng, hoặc nghiệm Aleksandrov, của phương trình Monge-Ampere
det D2 u = v

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

nếu độ đo Monge-Ampere M u liên kết với u xác định bởi (1.1) bằng
v.
Bổ đề sau suy ra khái niệm nghiệm suy rộng là đóng đối với phép
qua giới hạn đều. Nghĩa là, nếu uk là các nghiệm suy rộng của D2 u = v
trong Ω và uk → u đều trên các tập con compact của Ω, thì u cũng là
một nghiệm suy rộng của D2 u = v trong Ω.
Bổ đề 1.6. Cho uk ∈ C(Ω) là các hàm lồi sao cho uk → u đều trên
các tập con compact của Ω. Chúng ta có
(i) Nếu K ⊂ Ω là compact, thì
lim sup ∂uk (K) ⊆ ∂u(K),
k→∞

và từ bổ đề Fatou
lim sup |∂uk (K)|

|∂u(K)|.

k→∞

(ii) Nếu U mở sao cho U ⊂ Ω, thì
∂u(U ) ⊆ lim inf ∂uk (U ),
k→∞

trong đó bất đẳng thức đúng tại hầu hết mọi điểm của tập ở phía bên
trái, và theo Bổ đề Fatou
|∂u(U )|

lim inf |∂uk (U )|.
k→∞

Chứng minh. (i) Nếu p ∈ lim supk→∞ ∂uk (K), thì với mỗi n tồn tại kn
và xkn ∈ K sao cho p ∈ ∂ukn (xkn ). Bằng cách chọn một dãy con xj

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

của xkn , chúng ta có thể giả sử rằng xj → x0 ∈ K. Mặt khác,
uj (x)

uj (xj ) + p.(x − xj ), ∀x ∈ Ω,

và cho j → ∞, nhờ sự hội tụ đều của uj trên các tập compact, ta có
u(x) ≥ u(x0 ) + p.(x − x0 ), ∀x ∈ Ω,
Tức là p ∈ ∂u(x0 ).
(ii) Cho S = {p : p ∈ ∂u(x1 ) ∩ ∂u(x2 ) với x1 , x2 ∈ Ω, x1 = x2 }.
Theo Bổ đề 1.5, |S| = 0. Giả sử U ⊂ Ω mở và xét ∂u(U )\S. Nếu
p ∈ ∂u(U )\S, thì tồn tại duy nhất x0 ∈ U sao cho p ∈ ∂u(x0 ) và
p∈
/ ∂u(x1 ) với mọi x1 ∈ Ω, x1 = x0 . Đầu tiên chúng ta giả sử rằng U¯
là compact, l(x) = u(x0 ) + p.(x − x0 ), và δ = min{u(x) − l(x) : x ∈
δ
∂U } > 0. nhờ sự hội tụ đều ta có |u(x) − uk (x)| < với mọi x ∈ U
2
và với mọi k ≥ k0 . Đặt
δ
δk = max{l(x) − uk + }.
¯
2
x∈U
δ
δ
Vì x0 ∈ U nên δk ≥ l(x0 ) − uk (x0 ) + = u(x0 ) − uk (x0 ) + >
2
2
δ δ
δ
− + = 0. Chúng ta có δk = l(xk ) − uk (xk ) + với một xk ∈ U . Ta
2 2
2
khẳng định rằng xk ∈
/ ∂U. Vì nếu trái lại thì theo định nghĩa của δ,
−δ
l(xk ) − u(xk ) ≤ −δ nên δk ≤
, vô lí. Chúng ta khẳng định rằng p là
2
độ nghiêng của siêu phẳng giá của uk tại điểm (xk , uk (xk )). Thực vậy,
δk = u(x0 ) + p.(xk − x0 ) − uk (xk ) +

17

δ
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

nên
uk (x) ≥ uk (xk ) + p.(x − xk ), ∀x ∈ U .

(1.5)

Do uk lồi trong Ω, U mở, và xk ∈ U, nên (1.5) đúng với mọi x ∈
Ω, nghĩa là p ∈ ∂uk (xk ) với mọi k ≥ k0 . Điều này chứng tỏ p ∈
lim inf k→∞ ∂uk (U ).
Cuối cùng, chúng ta bỏ giả thiết U là compact. Nếu U mở, và
U ⊂ Ω, thì chúng ta viết U = ∪∞
j=1 Uj với Uj mở và Uj compact. Khi
đó




∂u(Uj ) ⊆

∂u(U ) =
j=1



lim inf ∂uk (Uj ) ⊆
j=1

k→∞

lim inf ∂uk (U )
j=1

k→∞

= lim inf ∂uk (U )
k→∞

Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.7. Nếu uk là các hàm lồi trong Ω sao cho uk → u đều trên
các tập con compact của Ω, thì độ đo Monge-Ampere liên kết M uk hội
tụ yếu đến M u , nghĩa là
f (x)dM uk (x) →


f (x)dM u(x)


với mỗi f liên tục và có giá compact trong Ω.

1.4

Nghiệm nhớt

Định nghĩa 1.4. Cho u ∈ C(Ω) là một hàm lồi và f ∈ C(Ω), f ≥ 0.
Hàm số u là một nghiệm dưới nhớt (nghiệm trên nhớt) của phương
trình det D2 (u) = f trong Ω nếu với mọi hàm lồi φ ∈ C 2 (Ω) và x0 ∈ Ω
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

sao cho (u − φ)(x) ≤ (≥)(u − φ)(x0 ) với mọi x trong một lân cận của
x0 , thì ta có
det D2 φ(x0 ) ≤ (≥)f (x0 ).
Nhận xét 1.5. Chúng ta chỉ ra rằng nếu u ∈ C(Ω) lồi, φ ∈ C 2 (Ω) và
u − φ có một cực đại địa phương tại x0 ∈ Ω, thì
D2 φ(x0 ) ≤ 0.
Thực vậy, vì φ ∈ C 2 (Ω), nên
φ(x) = φ(x0 )+Dφ(x0 ).(x−x0 )+

1 2
D φ(x0 )(x−x0 ), x−x0 +o(|x−x0 |2 ).
2

Do đó, với x gần x0 chúng ta có
u(x) ≤ φ(x) + u(x0 ) − φ(x0 )
= u(x0 ) + Dφ(x0 ).(x − x0 )
1
+ D2 φ(x0 )(x − x0 ), x − x0 + o(|x − x0 |2 ).
2
Do u lồi, nên tồn tại p sao cho u(x) ≥ u(x0 )+p.(x−x0 ) với mọi x ∈ Ω.
Với |w| = 1 và ρ > 0 nhỏ, đặt x − x0 = ρw chúng ta thu được
1
ρp.w ≤ ρDφ(x0 ).w + ρ2 D2 φ(x0 )w, w + o(ρ2 )
2
Chia biểu thức này cho ρ, rồi cho ρ → 0 và chú ý rằng bất đẳng thức kết
quả đúng với mọi |w| = 1 ta có p = Dφ(x0 ). Do vậy D2 φ(x0 )w, w ≥
0. Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.6. Ta có thể chứng minh rằng có thể hạn chế lớp các
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

hàm thử dùng trong định nghĩa nghiệm dưới nhớt hoặc nghiệm trên
nhớt là lớp các đa thức bậc hai lồi chặt. Đầu tiên ta chứng minh
rằng, nếu với mọi đa thức bậc hai lồi chặt φ và x0 ∈ Ω sao cho
(u − φ)(x) ≤ (u − φ)(x0 ) với mọi x trong một lân cận của x0 ta đều có
det D2 φ(x0 ) ≥ f (x0 ),
thì u là một nghiệm dưới nhớt của phương trình det D2 (u) = f trong
Ω. Thật vậy, giả sử φ ∈ C 2 (Ω) lồi sao cho u − φ có một cực đại địa
phương tại x0 ∈ Ω. Chúng ta viết
φ(x) = φ(x0 ) + Dφ(x0 ).(x − x0 )
1
+ D2 φ(x0 )(x − x0 ), x − x0 + o(|x − x0 |2 )
2
= P (x) + o(|x − x0 |2 ).
Với

(3.1)

> 0, xét đa thức bậc hai P (x) = P (x) + |x − x0 |2 . Ta có
D2 P (x0 ) = D2 P (x0 ) + 2 Id = D2 φ(x0 ) + 2 Id,

do đó đa thức P lồi chặt. Chúng ta có φ(x) − P (x) = o(|x − x0 |2 ) −
|x − x0 |2 ≤ 0 nên φ − P có cực đại địa phương tại x0 . Do vậy,
u − P có một cực đại địa phương tại x0 . Khi đó, det D2 P (x0 ) =
det(D2 φ(x0 ) + 2 Id) ≥ f (x0 ). Cho

→ 0, chúng ta có bất đẳng thức

mong muốn.
Để chứng minh khẳng định đối với nghiệm trên nhớt, lấy φ ∈ C 2 (Ω)
lồi sao cho u − φ có cực tiểu địa phương tại x0 . Nếu D2 φ(x0 ) có giá
trị riêng 0, thì det D2 φ(x0 ) = 0 ≤ f (x0 ). Nếu mọi giá trị riêng của
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Phương Anh

D2 φ(x0 ) là dương và P (x) cho bởi (3.1), thì P (x) = P (x) − |x − x0 |2
là lồi chặt với mọi

> 0 đủ nhỏ. Tiếp tục như trên, chúng ta nhận

được u − P có cực tiểu địa phương tại x0 nên det D2 φ(x0 ) ≤ f (x0 ).
Bây giờ, chúng ta so sánh hai khái niệm nghiệm: nghiệm suy rộng
và nghiệm nhớt.
Mệnh đề 1.1. Nếu u là một nghiệm suy rộng của M u = f với f liên
tục, thì u là một nghiệm nhớt.
Chứng minh. Cho φ ∈ C 2 (Ω) là một hàm lồi chặt sao cho u − φ có cực
đại địa phương tại x0 ∈ Ω. Chúng ta có thể giả sử rằng u(x0 ) = φ(x0 ),
khi đó u(x) < φ(x) với mọi 0 < |x − x0 | ≤ δ. Điều này có thể đạt được
bằng cách cộng r|x − x0 |2 vào φ rồi cho r → 0 tại cuối.
Đặt m = minδ/2≤|x−x0 |≤δ {φ(x) − u(x)}. Chúng ta có m > 0. Giả sử
0 < < m và xét tập
S = {x ∈ Bδ (x0 ) : u(x) + > φ(x)}.
Nếu δ/2 ≤ |x − x0 | ≤ δ, thì φ(x) − u(x) ≥ m nên x ∈
/ S . Do vậy,
S ⊂ B /2 (x0 ). Giả sử z ∈ ∂S . Khi đó tồn tại xn ∈ S và xn ∈
/ S sao
cho xn → z và xn → z. Do vậy, u + = φ trên ∂S . Do cả hai hàm lồi
trong S theo Bổ đề 1.8, nên ta có
∂(u + )(S ) ⊂ ∂φ(S ).
Vì u là một nghiệm suy rộng, điều này suy ra
det D2 φ(x)dx.

f (x)dx ≤ |∂(u + )(S )| ≤ |∂φ(S )| =
S

S

21


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×