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Cấu trúc môđun trên vành giao hoán

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❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à 1✳ ▼ët ♠æ✤✉♥ tr→✐ tr➯♥ R ✭R✲♠æ✤✉♥ tr→✐✮
❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝ë♥❣ ❆❜❡❧ M ❝ò♥❣ ✈î✐ →♥❤ ①↕✿
R×M →M
(α, x) → αx

✭✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣✮ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t❤ä❛ ♠➣♥✳
∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ M
• (αβ)x = α(βx)
• α(x + y) = αx + αy
(α + β)x = αx + βx
• 1x = x



◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ R✲♠æ✤✉♥ ♣❤↔✐ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝ë♥❣ ❆❜❡❧ M
❝ò♥❣ ✈î✐ →♥❤ ①↕✿
M ×R→M
(x, α) → xα

t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ ♥❤÷♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ R
✈✐➳t ð ❜➯♥ ♣❤↔✐✳
◆➳✉ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ t❤➻ ♠æ✤✉♥ tr→✐ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳
❙❛✉ ✤➙②✱ ❝❤➾ ①➨t ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ tr→✐✱ ✈➔ ❣å✐ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳
❜✮ ❱➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳

▼é✐ ♥❤â♠ ❆❜❡❧ ❝ë♥❣ M ❧➔ ♠ët Z ♠æ✤✉♥✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳

❈❤♦ ❘✲✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à 1 t❤➻ R ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳

❘✲✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à 1✱ Rn = {(a1; ...; an)|ai ∈ R
tr➯♥ Rn ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳

∀i = 1, n}



P❤➨♣ ❝ë♥❣✿ (a1, ..., an) + (b1, ..., bn) = (a1 + b1, ..., an + bn)



P❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣✿ α(a1, ..., an) = (αa1, ..., αan)✱ ∀α ∈ R

t❤➻ Rn ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳
❱➼ ❞ö ✶✳✹✳ ▼é✐ ✐✤➯❛♥ tr→✐ ❝õ❛ R ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♠é✐ ✐✤➯❛♥

❝õ❛ ✈➔♥❤ R ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳
❱➼ ❞ö ✶✳✺✳

▼é✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K ❧➔ ♠ët ❑✲♠æ✤✉♥✳

❈❤♦ ❘✲✈➔♥❤✱ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ ❳ ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❜➜t ❦➻✳
✣➦t A = {f : X −→ M }✱ tr➯♥ ❆ ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿

❱➼ ❞ö ✶✳✻✳




◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝


P❤➨♣ ❝ë♥❣✿ ✈î✐ ♠å✐ f, g ∈ A❀
f + g :X → M
x → f (x) + g(x)



P❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣✿ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ❀ α ∈ R
(αf )x = αf (x)

❑❤✐ ✤â ❆ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳
❝✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✿
• 0R x = α0M = 0M ✱ ∀x ∈ M ✱ ∀α ∈ R
• a(−x) = (−a)x = −ax✱ ∀a, b ∈ R❀ ∀x, y ∈ M ✳
• a(x − y) = ax − ay ✱

(a − b)x = ax − bx✱ ∀a, b ∈ R❀ ∀x, y ∈ M ✳

✶✳✶✳✷

▼æ✤✉♥ ❝♦♥

❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥
❝♦♥ ❝õ❛ M ♥➳✉ ♥â ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝õ❛ N t❤✉ ❤➭♣
❝õ❛ M ✳
❜✮ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ t÷ì♥❣

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ N
✤÷ì♥❣✿

= ∅✱ N ⊂ M ✳



❈→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ t÷ì♥❣


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✶✳ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M
✷✳ ∀α ∈ R❀ ∀x, y ∈ N t❤➻ x + y ∈ N ✱ αx ∈ N
✸✳ ∀α, β ∈ R❀ ∀x, y ∈ N t❤➻ αx + βy ∈ N ✳
❝✮ ❱➼ ❞ö

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ t❤➻ M ❧✉æ♥ ❝â ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ t➛♠
t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❦❤æ♥❣ {0} ✈➔ M ✳
❱➼ ❞ö ✶✳✼✳

❱➼ ❞ö ✶✳✽✳ ❈❤♦ ❘✲✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à t❤➻ R ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❙✉② r❛ ❈→❝ ✐✤➯❛♥

tr→✐ ❝õ❛ R ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✳
❞✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✿
✰ ●✐❛♦ ❝õ❛ ♠ët ❤å tò② þ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
❝õ❛ M ✳
◆❤➟♥ ①➨t✿ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ✤ó♥❣ ✈î✐ ❤ñ♣✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ♥➳✉ ∀i, j ∈ I ✱
i = j tç♥ t↕✐ k ∈ I s❛♦ ❝❤♦ Mi , Mj ⊂ Mk t❤➻
Mi ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
i∈I

❝õ❛ ▼✱ ✈î✐ Mi ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✱ i ∈ I ✳
✰ ❈❤♦ S ⊂ M ✱ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❝❤ù❛ S ❧➔ ♠ët
♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❝❤ù❛ S ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M s✐♥❤ ❜ð✐
S ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ < S > ❤♦➦❝ (S)
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

❑❤✐ ✤â

❈❤♦ {Mi}i∈I ❧➔ ♠ët ❤å tò② þ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳
xi | xi ∈ Mi , i ∈ J ⊂ I

Mi =
i∈I

i∈J

✈î✐ J ❤ú✉ ❤↕♥✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû {Mi }i∈I

❧➔ ♠ët ❤å tò② þ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

R✲♠æ✤✉♥ M ✳

Mi

❑❤✐ ✤â✱ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ s✐♥❤ ❜ð✐ t➟♣ S =

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

i∈I

tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ Mi ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

Mi
i∈I

✶✳✶✳✸

▼æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣

❛✮ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣

❈❤♦ N ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✲♠æ✤✉♥ M ✳ ❑❤✐ ✤â N ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥
❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ♥❤â♠ ❆❜❡❧ M ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✳ ❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ ♥❤â♠
t❤÷ì♥❣ M/N = {x + N |x ∈ M } ❧➔ ♥❤â♠ ❆❜❡❧ ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✿
(x + N ) + (y + N ) = x + y + N

❚r➯♥ M/N ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
∀α ∈ R, ∀x + N ∈ M/N : α(x + N ) = αx + N

❑❤✐ ✤â M/N ❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ð tr➯♥ ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳
❜✮ ❱➼ ❞ö

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ t❤➻ {0}✱ M ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥✳
❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣
❱➼ ❞ö ✶✳✾✳

M/{0} = {x + {0}|x ∈ M } = {x|x ∈ M } = M
M/M = {x + M |x ∈ M } = {M }

●✐↔ sû R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à t❤➻ R ❧➔ R ✲♠æ✤✉♥✱ ❣✐↔ sû
A ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R t❤➻ A ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✳ ❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ ♠æ✤✉♥

❱➼ ❞ö ✶✳✶✵✳




◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

t❤÷ì♥❣
R/A = {x + A|x ∈ R}

✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿
• (x + A) + (y + A) = (x + y) + A
• α(x + A) = αx + A✱

✈î✐ α ∈ R

✶✳✷ ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣✱ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥
✶✳✷✳✶

❚➼❝❤ trü❝ t✐➳♣

❈❤♦ {Mi}i∈I ❧➔ ❤å ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳
❚r➯♥ t➟♣ Mi := {(xi)i∈I |xi ∈ M ; ∀i ∈ I} ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿
i∈I

✰ P❤➨♣ ❝ë♥❣✿ (xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi + yi)i∈I
✰ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣✿α(xi)i∈I = (αxi)i∈I
✈î✐ ♠å✐ (xi)i∈I ✱ (yi)i∈I ∈ Mi✱ ♠å✐ α ∈ R
i∈I

❑❤✐ ✤â

Mi ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤å ❝→❝ ♠æ✤✉♥
i∈I

{Mi }i∈I

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ Mi = M ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I ✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉

Mi = M I
i∈I

✶✳✷✳✷

❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣

✶✮ ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ♥❣♦➔✐

❈❤♦ {Mi|i ∈ I} ❧➔ ♠ët ❤å tò② þ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳
✣➦t Mi = {(xi)i∈I |xi = 0 ❤➛✉ ❤➳t ∀i ∈ I}✳
i∈I

✶✵




õ tốt ồ

ợ t ở ổ ữợ ữ tr t

Mi
iI

ữủ ồ tờ trỹ t tờ trỹ t ừ ồ ổ
{Mi }iI
ờ trỹ t tr

{Mi|i I} ởt ồ tũ ỵ ổ ừ Rổ M tọ
t t
Mj = 0

Mi

ợ i, j I

i=j

M=

Mi
iI

õ M ữủ ồ tờ trỹ t tr ừ ồ {Mi}iI
r ởt số trữớ ủ ổ t ỳ tờ trỹ
t tr tờ trỹ t ữớ t ũ ởt tt ỳ
ố tữủ tr tờ trỹ t
ổ M ữủ ồ tờ trỹ t tr ừ ồ
ổ {Mi}iI ồ tỷ x M ữủ
t ữợ



x = ai1 + ai2 + ... + ain , aij Mij , i, j I

q

sỷ M tờ ừ ổ Mi, M =

Mi
iJ

õ M tờ trỹ t tr ừ ồ {Mi}iJ tứ
ai1 + ai2 + ... + ain = 0, aij Mij

s r ai

j

= 0, 1

j

n



◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✸✮ ❍↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣

▼æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ♥➳✉ ❝â
♠æ✤✉♥ ❝♦♥ P ❝õ❛ M s❛♦ ❝❤♦ M = N P
▼æ✤✉♥ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ♥➳✉ ④✵⑥ ✈➔ M ❧➔ ♥❤ú♥❣
❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❞✉② ♥❤➜t tr♦♥❣ M ✳

✶✳✸ ✣ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥
✶✳✸✳✶

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ö

❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❈❤♦ M, N ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳ ⑩♥❤ ①↕ f : M −→ N ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ R
✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✭✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ ✤✉♥✮ ♥➳✉✿ ∀x, y ∈ M ❀ ∀α ∈ R t❤➻
• f (x + y) = f (x) + f (y)
• f (αx) = αf (x)

✲ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✭t♦➔♥✱ ✤➥♥❣✮ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ♥➳✉ f ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥
✈➔ ✤ì♥ ✭t♦➔♥✱ s♦♥❣✮ →♥❤✳
✲ ◆➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ f : M −→ N t❛ ♥â✐ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ M
✈➔ N ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ ♥❤❛✉✳ ❑➼ ❤✐➺✉ M ∼
= N✳
❜✮ ❱➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✶✳✶✶✳

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ N ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤➻
i :N → N
a→a

✤ì♥ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
✶✷


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❱➼ ❞ö ✶✳✶✷✳ M, N

❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳ ⑩♥❤ ①↕
θ :M → N
x→0

❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❦❤æ♥❣✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✸✳

→♥❤ ①↕

❈❤♦ ▼ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ ◆ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ▼✳ ❑❤✐ ✤â
f :M → M/N
x→x+N

❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
▼✱ ◆ ❧➔ ❝→❝ ❘✲♠æ✤✉♥✳ M × N = {(x, y)|x ∈ M, y ∈ N }
❧➔ ❘✲♠æ✤✉♥✳ ❚r➯♥ M × N ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿

❱➼ ❞ö ✶✳✶✹✳




P❤➨♣ ❝ë♥❣✿ (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y )
P❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣✿ α(x, y) = (αx, αy)
✈î✐ ♠å✐ (x, y), (x , y ) ∈ M × N ✱ ♠å✐ α ∈ R✳ ❈→❝ →♥❤ ①↕
pM :M × N → M
(x, y) → x

pN :M × N → N
(x, y) → y

✶✸


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
qM :M → M × N
x → (x, 0)

qN :N → M × N
y → (0, y)

❧➔ ❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳
✶✳✸✳✷

❚➼♥❤ ❝❤➜t

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳ ❚➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ❧➔ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳

❧➔ ❝→❝ ❘✲♠æ✤✉♥✱ f : M −→ N ❧➔ ❘✲
✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✱ A, B ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M, N ✳ ❑❤✐ ✤â f (A)✱
f −1 (B) ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ✈➔ M ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ f : M −→ N
❧➔ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ t❤➻
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷✳

❈❤♦

M, N

❑❡rf = {x ∈ M : f (x) = 0N } = f −1(0N )}
■♠f = f (M ) = {f (x)|x ∈ M }
❑❤✐ ✤â✱ ■♠❢✱ ❦❡r❢ ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ✈➔ M ✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳

❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ R ✲♠æ✤✉♥

✶✳ f ✤ì♥ ❝➜✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❑❡rf = {0M }
✷✳ f t♦➔♥ ❝➜✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ■♠f = N
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✹✳

✭✣à♥❤ ❧þ tê♥❣ q✉→t✮
✶✹


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳ A ✈➔ B ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥
❝♦♥ ❝õ❛ M ✈➔ N s❛♦ ❝❤♦ f (A) ⊂ B
PA :M → M/A
x→x+A
PB :N → N/B
x→x+B

❧➔ ♥❤ú♥❣ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉
♠æ✤✉♥✳
f :M/A → N/B

s❛♦ ❝❤♦✿ f .PA = PB .f ❤❛② ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ s❛✉ ❣✐❛♦ ❤♦→♥
M

f

PA

N
PB

M/A

N/B
f

✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ B = {0} t❤➻ t❛ ❝â ❝→❝ ❤➺ q✉↔ s❛✉✿
❍➺ q✉↔ ✶
❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✱ A = ❑❡rf ✳
PA : M → M/❑❡rf ❧➔ ❘✲t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ f : M/❑❡rf −→

✶✺

N

s❛♦ ❝❤♦


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
f PA = f ✱

tù❝ ❧➔ ❜✐➸✉ ✤➲ s❛✉ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✿
f

M
%

PA

/
:

N

f

M/ ker f

❍ì♥ ♥ú❛✱ f ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉ ✈➔ ■♠f = ■♠f
❍➺ q✉↔ ✷
❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳
❑❤✐ ✤â M/❑❡rf ∼
= ■♠f ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ♥➳✉ f : M −→ N ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥
t❤➻ M/❑❡rf ∼
=N
❍➺ q✉↔ ✸
❈❤♦ P, Q ❧➔ ♥❤ú♥❣ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M, P ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ Q✳
❑❤✐ ✤â
✐✮ (M/P )/(Q/P ) ∼
= M/Q
✐✐✮ (P + Q)/P ∼
= Q/(P ∩ Q)✳

❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ R ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝
❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✺✳

✐✮ f = θ ❧➔ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
✐✐✮ ■♠f = {0N }✳
✐✐✐✮ ❑❡rf = M ✳
❈❤♦ f : M −→ N ✈➔ g : N −→ P ❧➔ ❝→❝ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉
♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â g.f : M −→ P ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ t➛♠ t❤÷í♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
■♠f ⊂ ❑❡rg✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✻✳

✶✻


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✶✳✹ ❉➣② ❦❤î♣
✶✳✹✳✶

❉➣② ❦❤î♣✱ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥

❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❉➣② ❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ ✈➔ ❝→❝ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉✳
fi−2

fi−1

fi+1

fi

..... −−→ Mi−1 −−→ Mi −
→ Mi+1 −−→ .....

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ■♠fi = ❑❡rfi+1✱ ∀i ∈ I
f
g
− M →
− M −→ 0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣②
▼ët ❞➣② ❦❤î♣ ❞↕♥❣ 0 −→ M →
❦❤î♣ ♥❣➢♥✳
❜✮ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ❦❤î♣
♥❣➢♥✮
❉➣② ❦❤î♣
f

g

0 −→ M →
− M→
− M −→ 0

❧➔ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉✱ g ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ✈➔
Kerg = Imf ✳
❝✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✼✳

❈❤♦ ❞➣② ❦❤î♣ ❝→❝ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉
f

g

h

M→
− N→
− P →
− Q

❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✐✮ f ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉✳
✐✐✮ g ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
✶✼


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✐✐✐✮ h ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✽✳

❈❤♦ ❜✐➸✉ ✤ç R✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✿
f

M

N

α

g

N

f

h

γ

β

M

P

g

P

Q
δ

h

Q

◆➳✉ ❤❛✐ ❞á♥❣ ❧➔ ❦❤î♣✱ ❜❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ α ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉
✈➔ δ ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉ t❤➻✿
✰ Im(β) = g −1[Im(f )]
✰ Ker(γ) = g[Ker(β)]
❉♦ ✈➟②✱ ♥➳✉ γ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ t❤➻ β ❝ô♥❣ t❤➳✱ β ❧➔ ♠ët ✤ì♥ ❝➜✉ t❤➻ γ
❝ô♥❣ t❤➳✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ t❤➻
Cokerf = N/Imf

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤è✐ ❤↕❝❤ ❝õ❛ f ✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✾✳

❈❤♦ ❜✐➸✉ ✤ç ❝→❝ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✿

✶✽


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ ❞á♥❣ ❧➔ ❦❤î♣ ✈➔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ Ker(γ) ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ n ∈ N ✈➔ m ∈ M
✈î✐ g(n) = x ✈➔ f (m ) = β(n)✳
P❤➛♥ tû h(x) ❝õ❛ Coker(α) ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ m ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ sü
❧ü❛ ❝❤å♥ ❝õ❛ n ✈➔ m ✈➔ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉ h : Ker(γ) −→ Coker(α) ✤÷ñ❝
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ sü t÷ì♥❣ ù♥❣ x −→ h(x)✳
❑❤✐ ✤â✱ ❤❛✐ ❞➣② ❦❤î♣
Ker(α) −→ Ker(β) −→ Ker(γ)

✈➔
Coker(α) −→ Coker(β) −→ Coker(γ)

✤÷ñ❝ ♥è✐ ❜ð✐ ✤ç♥❣ ❝➜✉ h t❤➔♥❤ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❞➣② Ker − Coker✿
h

Ker(α) −→ Ker(β) −→ Ker(γ) →
− Coker(α) −→ Coker(β) −→
Coker(γ)

✶✳✹✳✷

❉➣② ❦❤î♣ ❝❤➫ r❛

❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

▼ët ❞➣② ❦❤î♣
f

g

... −→ M →
− M→
− M −→ ...
✶✾


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➫ r❛ t↕✐ ♠æ✤✉♥ M ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ L ❝õ❛
M s❛♦ ❝❤♦ M = ❑❡rg L = ■♠f
L✳
▼ët ❞➣② ❦❤î♣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➫ r❛ ♥➳✉ ♥â ❝❤➫ r❛ t↕✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❦❤æ♥❣
♥➡♠ t↕✐ ❤❛✐ ✤➛✉ ❝õ❛ ♥â✳
◆❤➟♥ ①➨t✿ ❉➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥✿
f

g

0 −→ M →
− M→
− M −→ 0

❧➔ ❝❤➫ r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝❤➫ r❛ t↕✐ R✲♠æ✤✉♥ M ✳
❜✮ ❱➼ ❞ö

❈❤♦ M, P ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✱
i :M → M

P

x → (x, 0)

❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉
P →P

p :M

(x, y) → y

❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② ❦❤î♣
p

i

0 −→ M →
− M

P →
− P −→ 0

❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ❝❤➫ r❛✳
❝✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t

✷✵


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✵✳

❈❤♦ ❞➣② ❦❤î♣ ❝→❝ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥
f

g

... −→ M →
− M→
− M −→ ...

❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ❝❤➫ r❛ t↕✐ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ M ∼
= Imf ⊕ Img ✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✶✳

◆➳✉ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥
f

g

0 −→ M →
− M→
− M −→ 0

❝❤➫ r❛ t❤➻ M ∼
=M
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✷✳

M



❈❤♦ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥
f

g

0 −→ M →
− M→
− M −→ 0

❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
✐✮ ❉➣② ❦❤î♣ tr➯♥ ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ❝❤➫ r❛✳
✐✐✮ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ f

: M −→ M

s❛♦ ❝❤♦ f f = idM ✳

✐✐✐✮ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ g

: M −→ M

s❛♦ ❝❤♦ gg

= idM



✶✳✺ ❍➔♠ tû✱ ❤➔♠ tû ❍♦♠✱ ❤➔♠ tû ❦❤î♣
✶✳✺✳✶

❍➔♠ tû

❈❤♦ M ✈➔ N ❧➔ ❤❛✐ ♣❤↕♠ trò✳ ▼ët ❤➔♠ tû ❤✐➺♣ ❜✐➳♥ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣
♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥✮ P tø M ✈➔♦ N ❧➔ ♠ët ❝➦♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ P = (PO , PQ)✿
PO : Ob(M ) −→ Ob(N )
✷✶


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