Tải bản đầy đủ

Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

ĐỊNH LÝ HÀM ẨN VÀ HÀM NGƯỢC
TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN


ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC VÀ HÀM ẨN
TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2018


1

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn
tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền
đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm
vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng
Ngọc Tuấn, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ để em có thể
hoàn thành khóa luận này.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện
khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Hải Yến


2

Lời cam đoan
Em xin cam đoan đề tài khóa luận “Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không
gian định chuẩn” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn
không trùng với bất kỳ đề tài nào khác. Trong quá trình hoàn thành đề tài, em
đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Hải Yến


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Kiến thức chuẩn bị

2

1.1

Không gian định chuẩn và giới hạn trong không gian
định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Tập đóng, tập mở và tập compact . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Định lý hàm ẩn và hàm ngược
2.1

16

Phép toán vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1

Đạo hàm có hướng . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.2

Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Định lý hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3

Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

39

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích là một ngành toán học tích lũy được những thành tựu
quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và
trình bày các kiến thức toán học. Nội dung của nó rất phong phú, đa
dạng. Do kiến thức trên lớp và thời lượng eo hẹp nên khó có thể đi sâu
nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích. Với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn này, là một sinh viên khoa Toán, trong khuôn
khổ một bản khóa luận, em xin được trình bày những hiểu biết của
mình về định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn.
Được sự hướng dẫn tận tình của TS. Hoàng Ngọc Tuấn cùng
với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài :
“Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn”.
Nội dung khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Định lý hàm ẩn và hàm ngược
Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiều
thiếu sót, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên.

1


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian định chuẩn và giới hạn trong không
gian định chuẩn

Cho E là một không gian vector thực. Một ánh xạ

·

: E −→ R

được gọi là một chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E và λ ∈ R ta có
• x ≥ 0;
• x = 0 ⇐⇒ x = 0;
• λx = |λ| x ;
• x+y ≤ x + y .
Cặp (E, · ) được gọi là một không gian định chuẩn và ta nói rằng
x là một chuẩn của x. Tính chất thứ tư thường được gọi là bất đẳng
thức tam giác của không gian vector định chuẩn.
Nếu (xn )n∈N là một dãy trên một không gian định chuẩn E và có
một phần tử l ∈ E sao cho limn→∞ xn − l = 0 thì dãy đó là hội tụ.
Dễ dàng thấy rằng phần tử l phải là duy nhất. Ta gọi l là giới hạn của
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

dãy số và ký hiệu lim xn = l. Ta sẽ tổng quát rằng (xn )n∈N là (xn ) và
n→∞

lim xn = l là lim xn = l. Ta có tính chất sau đây.

n→∞

Mệnh đề 1.1. Nếu (xn ) và (yn ) là các dãy hội tụ trên E, với lim xn =
l1 và lim yn = l2 , và λ ∈ R thì
lim (xn + yn ) = l1 + l2



lim (λxn ) = λl1 .

Giả sử có hai không gian định chuẩn (E, ·

E)

và (F, ·

F ).

Cho

A là một tập con của E, f là một ánh xạ đi từ A vào F và a ∈ A.
Ta nói rằng f liên tục tại a nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: với
mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu x ∈ A và x − a

E

< δ, thì

f (x) − f (a) < ε.
Nếu f liên tục tại mọi điểm a ∈ A thì ta nói rằng f liên tục (trên
A). Cuối cùng, nếu A ⊂ E và B ⊂ F và f : A → B là một song ánh
liên tục sao cho ánh xạ ngược f −1 cũng liên tục, thì ta nói rằng là một
phép đồng phôi.
Mệnh đề 1.2. Chuẩn trên một không gian định chuẩn là một hàm số
liên tục.
Chứng minh. Ta có
x = x−y+y ≤ x−y + y ⇒ x − y ≤ x−y .
Tương tự y − x ≤ y − x . Vì y − x = x − y nên ta có
x − y ≤ x−y ,
và do đó liên tục.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

Mệnh đề 1.3. Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E, a ∈
A, f và g là các ánh xạ từ E vào F và λ ∈ R.
• Nếu f và g liên tục tại a thì f + g cũng liên tục tại a.
• Nếu f liên tục tại a thì λf cũng liên tục tại a.
• Nếu α là một hàm giá trị thực xác định trên E và cả f và α đều
liên tục tại a thì αf cũng liên tục tại a.
Hệ quả 1.1. Các hàm số f : E → F liên tục tại a (tương ứng, liên
tục) tạo thành một không gian vector.
Bây giờ ta xem xét tích Đề-các của các không gian định chuẩn.
Cho (E1 , ·

E1 ), . . . , (Ep ,

·

Ep )

là các không gian định chuẩn. Tích

Đề-các của E1 × .... × Ep là một không gian vector. Cho (x1 , ..., xp ) ∈
E1 × ... × Ep ta đặt
x1 .....xp
x1 .....xp
Dễ thấy ·

S

và ·

M

S

M

= x1

E1

= max

+ .... + xp
x1

E1 , ....,

Ep

xp


.

Ep

là tương đương trên E1 × .... × Ep . Nói chung,

ta sẽ sử dụng chuẩn thứ hai, mà ta gọi là chuẩn thông thường. Nếu
E1 = ... = Ep = R và
·

·

Ei

với mọi i thì

·

S

=

·

1



∞.

Mệnh đề 1.4. Cho (E, · ) là một không gian định chuẩn.
• Ánh xạ f : E × E → E, (x, y) → x + y là liên tục.
• Ánh xạ g : R × E → E, (λ, x) → λx là liên tục.
4

·

M

=


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

Chứng minh. Đầu tiên ta xét f. Ta có
(x, y) − (a, b)

M

< ε ⇒ x − a < ε, y − b < ε
⇒ (x + y) − (a + b) ≤ x − a + y − b < 2ε,

do đó, f liên tục tại (a, b).
Bây giờ ta xét g. Nếu (λ, x) − (α, a) < ε, thì |λ − α| < ε và
x − a < ε và vì vậy
λx − αa = λx − λa + λa − αa
≤ |λ| x − a + |λ − α| a < (|α| + ε) ε + ε a ,
do đó, g liên tục tại (α, a).
Một thành phần của các hàm số giá trị thực liên tục của một biến
thực là liên tục. Ta có một khái quát về kết quả này.
Mệnh đề 1.5. Cho E, F và G là các không gian định chuẩn, A ⊂
E, B ⊂ F, f là một ánh xạ đi từ A vào F và g là ánh xạ đi từ B vào
G. Nếu f (A) ⊂ B, f liên tục tại a và g liên tục tại f (a) thì g ◦ f liên
tục tại a.
Chứng minh. Lấy ε > 0. Khi g liên tục tại f (a), tồn tại δ > 0 sao
cho, nếu y ∈ B và y − f (a)

F

thì g (y) − g (f (a))

G

< ε. Khi f

liên tục tại a, tồn tại α > 0 sao cho, nếu x ∈ A và x − a
f (x) − f (a)

F

< δ. Suy ra g (f (x)) − g (f (a))

G

E

< α thì

< ε. Do đó, g ◦ f

liên tục tại a.
Hệ quả 1.2. Nếu A ⊂ E và f : A → R là khác không và liên tục trên
1
A, thì hàm số g = cũng liên tục trên A.
f
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

Chứng minh. Dễ thấy rằng g có thể viết được g = h ◦ f, trong đó h là
1
hàm giá trị thực xác định trên R∗ với h (t) = .
t
Để kết thúc phần này, ta đưa ra một liên hệ giữa tính liên tục và
giới hạn dãy.
Định lí 1.1. Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E và f
là một ánh xạ từ A vào F. Khi đó f liên tục tại a khi và chỉ khi, với
mọi dãy số (xn ) trên A sao cho lim xn = a, ta có lim f (xn ) = f (a) .
Chứng minh. Giả sử f liên tục tại a và lấy ε > 0. Tồn tại δ > 0 sao
cho x ∈ A và x − a

< δ thì f (x) − f (a)

E

F

< ε. Bây giờ cho

(xn ) là một dãy số trên A có giới hạn a. Có một số n0 ∈ N sao cho
nếu n ≥ n0 thì xn − a

E

< δ. Suy ra f (xn ) − f (a)

F

< ε. Vì vậy,

f (xn ) = f (a) .
Bây giờ giả sử, khi (xn ) ⊂ A và lim xn = a, ta có lim f (xn ) = f (a) .
Nếu f không liên tục tại a thì có một số ε > 0 và một dãy số (xn ) ⊂ A
1
sao cho xn − a E < và f (xn ) − f (a) F ≥ ε. Tuy nhiên, khi đó
n
lim xn = a và dãy số (f (xn )) không hội tụ tới f (a), mâu thuẫn. Vì
vậy, f phải liên tục tại a.
Ta nói rằng một dãy (xk ) trong không gian định chuẩn E là dãy
Cauchy ε nếu với mọi ε > 0, có N (ε) ∈ N sao cho um − un < ε nếu
m, n ≥ N (ε) .
Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọi
dãy Cauchy trong E đều hội tụ.

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Thị Hải Yến

Tập đóng, tập mở và tập compact

Cho E là một không gian định chuẩn, một điểm a ∈ E và số thực
r > 0. Tập hợp B(a, r) = {x ∈ E : x − a < r} được gọi là hình cầu
¯ r) = {x ∈ E : x − a ≤ r} được
mở tâm a, bán kính r; tập hợp B(a,
gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.
Một tập con O của E được gọi là mở nếu với mọi x ∈ O có một
hình cầu mở tâm x nằm hoàn toàn trong O.
Nếu A ⊂ E và có một tập mở O sao cho a ∈ O ⊂ A, thì A được
gọi là lân cận của a. Nếu A là mở thì ta nói rằng A là một lân cận mở
của a.
Mệnh đề 1.6. Một hình cầu mở B(a, r) là một tập mở.
Chứng minh. Cho x ∈ B(a, r) và đặt ρ =

1
(r − x − a ) . Rõ ràng,
2

0 < ρ < r và nếu, y ∈ B (x, ρ) thì ta có
a−y = a−x+x−y ≤ a−x + x−y
≤ a − x + ρ = r − ρ < r.
Do đó, B (x, ρ) ⊂ B (a, r) và suy ra B(a, r) là mở.
Nếu E là một không gian định chuẩn, thì
• E và ∅ là mở;
• Nếu (Oα )α∈A là một tập hợp của các tập con mở, thì ∩α∈A Cα là
một tập mở;
• Nếu (Oi )ni=1 là một tập hữu hạn của các tập con mở thì ∩ni=1 Oi
là một tập mở.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

(Nếu ∅ không mở thì tồn tại một số x ∈ ∅ sao cho với bất kỳ r > 0
hình cầu B (x, r) ⊂ ∅. Vì nếu không có x ∈ ∅, mệnh đề này là sai. Vậy
∅ là mở.) Tập C ⊂ E được gọi là đóng nếu phần bù của nó là tập mở.
Mệnh đề 1.7. Một hình cầu đóng B (a, r) là một tập đóng.
Chứng minh. ta cần chứng minh phần bù của B (a, r) là mở. Cho
1
x ∈ cB (a, r) và ρ = ( a − x − r) . Rõ ràng, ρ > 0. Nếu y ∈ B (x, ρ)
2
thì
a − y ≥ a − x − y − x > a − x − ρ = 2ρ + r − ρ = ρ + r > r.
Do đó B (x, ρ) ∈ cB (a, r) suy ra cB (a, r) là mở.
Sử dụng định lý Morgan, tức là
c (∪α∈A Aα ) = ∩α∈A cAα

và c (∩α∈A Aα ) = ∪α∈A cAα ,

ta được: nếu E là một không gian định chuẩn thì
• E và ∅ là đóng;
• Nếu (Cα )α∈A là một tập hợp của các tập con đóng, thì ∩α∈A Cα
là một tập đóng;
• Nếu (Ci )ni=1 là một tập hữu hạn của các tập con đóng thì ∪ni=1 Ci
là một tập đóng.
Mệnh đề 1.8. Cho E là một không gian định chuẩn và A ⊂ E. A là
đóng khi và chỉ khi mọi dãy hội tụ trên A có giới hạn thuộc A.
Chứng minh. Giả sử rằng A là đóng và cho (xn ) là một dãy số hội tụ
chứa trong A. Nếu lim xn = x thì mọi hình cầu mở tâm x chứa một
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

phần tử của dãy số đó và do đó phần tử ấy thuộc A. Khi cA là mở,
x∈
/ cA, vì vậy x ∈ A.
Bây giờ ta xét phần đảo. Giả sử mọi dãy hội tụ chứa trong A.
1
Cho x ∈ cA và giả sử với bất kỳ n ∈ N∗ , B x,
chứa một phần
n
tử xn ∈ A. Dãy số (xn ) chứa trong và hội tụ tới x và theo giả thiết,
x ∈ A. Tuy nhiên, đây là một mâu thuẫn và do đó tồn tại một số n
1
⊂ cA. Suy ra cA là mở, vì vậy A là đóng.
sao cho B x,
n
Trong một không gian định chuẩn E, các tập con E và ∅ vừa mở vừa
đóng. Có tập con nào khác như vậy không? Giả sử A ⊂ E là một tập
con vừa đóng vừa mở và a = E và A = ∅. Ngoài ra, cho a ∈ A và
b ∈ cA và ta đặt
t = sup {t ∈ [0, 1] : a + s (b − a) ∈ A, 0 ≤ s ≤ t} .
Rõ ràng, t ∈ (0, 1) . Bây giờ ta đặt x = a + t (b − a) và xn = a +
1
(b − a) với n ∈ N∗ . Dãy số (xn ) nằm trong A và hội tụ tới
t−
n
x. Khi A đóng, x thuộc A. Dãy số (xn ) nằm trong A và hội tụ tới x.
Khi A đóng, x thuộc A. Theo định nghĩa t tồn tại một dãy (yn ) ⊂ cA,
trong đó
yn = a + t + εn (b − a) và 0 < εn <

1
.
n

Khi lim yn = x và cA là đóng, ta có x ∈ cA, mâu thuẫn. Do đó, ta đã
chứng minh.
Mệnh đề 1.9. Các tập con vừa mở vừa đóng của một không gian định
chuẩn E là các tập E và ∅.
Kết quả sau đây rất hữu ích cho các hàm số liên tục. Nó cũng có
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

thể được sử dụng để xem một tập đã cho là tập mở hay tập đóng.
Mệnh đề 1.10. Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E
và f là một ánh xạ từ A vào F. Các mệnh đề sau là tương đương:
(a) f là liên tục;
(b) Nếu O mở trên F thì f −1 (O) là giao của A với một tập con mở
của E;
(c) Nếu O là đóng trên F thì f −1 (C) là giao của A với một tập con
đóng của E.
Chứng minh. (a) ⇒ (b) Cho O ⊂ F là mở. Nếu f (A) ∩ O = ∅ thì
f −1 (O) = ∅, một tập con mở của E; do đó, kết quả này là đúng trong
trường hợp này. Giả sử rằng f (A) ∩ O = ∅ và cho f (a) ∈ O. Khi O là
mở, có một hình cầu mở B (f (a) , r) ⊂ O. Tính liên tục của f ngụ ý
sự tồn tại của một hình cầu mở B (a, ρa ) sao cho f (B (a, ρa ) ∩ A) ⊂
B (f (a) , r) . Ta thu được sự bao hàm
B (a, ρa ) ∩ A ⊂ f −1 (B (f (a) , r)) ⊂ f −1 (O) .
ta có
f −1 (O) = ∪ (B (a, ρa ) ∩ A) = A ∩ (∪B (a, ρa )) ,
trong đó giao được thực hiện như trên mà a ∈ A sao cho f (a) ∈ O.
Do đó, f −1 (O) là giao của A với một tập con mở trên E.
(b) ⇒ (a) Cho a ∈ A và r > 0. Khi B (f (a) , r) là mở, f −1 (B (f (a) , r))
là giao của A với một tập con mở trên E. Tuy nhiên, a ∈ f −1 (B (f (a) , r))
nên tồn tại một hình cầu mở B (a, ρ) mà giao của nó với A chứa trong
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

f −1 (B (f (a) , r)) . Ta thấy rằng f (B (a, ρ) ∩ A) ⊂ B (f (a) , r) . Suy
ra f liên tục tại a.
(b) ⇒ (c) Nếu C ⊂ F là đóng, thì c C là mở và vì vậy, f −1 (c C) là
giao của A với một tập con mở U trên E. Tuy nhiên,
f −1 (C) = A \ f −1 (c C) = A ∩ c U
và f là giao của A với một tập con đóng trên E.
(c) ⇒ (b) Phần này chứng minh tương tự như (b) ⇒ (c).
Trong phần dưới đây, ta sẽ giới thiệu khái niệm cơ bản của compact.
Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi là tập compact
trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều
chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc K.
Mệnh đề 1.11. Nếu E là một không gian định chuẩn và A ⊂ E là
compact, thì A là đóng và bị chặn.
Chứng minh. Cho A ⊂ E là compact. Nếu (xn ) là một dãy con hội tụ
của A, thì (xn ) có một dãy con hội tụ về một phần tử x ∈ A. Tuy
nhiên, x phải có một giới hạn của (xn ) . Do đó một dãy số hội tụ của
A có giới hạn của nó trên A và vì vậy A là đóng.
Nếu A không bị chặn, khi đó ta có thể xây dựng một dãy số (xn ) ⊂
A sao cho xn > n. Dãy số này không thể có một dãy con hội tụ, bởi
vì các dãy số hội tụ là bị chặn. Suy ra A là bị chặn.
Định lí 1.2. Nếu E là một không gian định chuẩn, A ⊂ E compact
và f : A → liên tục, thì f bị chặn trên A và đạt giới hạn trên và giới
hạn dưới.
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

Chứng minh. Nếu f (A) không bị chặn, thì có một dãy sao cho |f (xn )| >
n. Khi A là compact liên tục, (xn ) có một dãy con (yn ) hội tụ tới một
điểm x ∈ A. Tuy nhiên, f liên tục và vì vậy lim f (yn ) = f (x) và do
đó, dãy số (f (xn )) bị chặn, mâu thuẫn. Suy ra f (A) bị chặn.
Cho (xn ) là một dãy trên A sao cho
f (xn+1 ) ≤ f (xn ) và lim f (xn ) = inf f (x) .
x∈A

Dãy số (xn ) có một dãy con hội tụ (yn ) mà giới hạn của nó thuộc A.
ta có
inf f (x) = lim f (xn ) = lim f (yn ) = f (y)

x∈A

Tương tự, ta có thể chứng minh có một phần tử z ∈ A sao cho
f (z) = supx∈A f (x)

1.3

Ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện:
f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ E và f (λx) = λf (x) với mọi
λ ∈ R, x ∈ E.
Định lí 1.3. Cho E và F là các không gian định chuẩn và φ là ánh
xạ tuyến tính từ E vào F. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
a) φ liên tục;
b) φ liên tục tại 0;
¯ (0, 1) của E;
c) φ bị chặn trên hình cầu đóng B

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

d) Tồn tại µ ∈ R+ sao cho
φ (x)

F

≤µ x

E

với mọi x ∈ E.
Chứng minh. a) ⇒ b) Điều này đúng do định nghĩa liên tục.
b) ⇒ c) Nếu f liên tục tại 0 thì tồn tại α > 0 sao cho
x−0

E

≤ α ⇒ φ (x) − φ (0)

≤ 1,

F

tức là
x

≤ α ⇒ φ (x)

E

¯ (0, 1) thì αx
Nếu x ∈ B

E

≤ 1.

F

≤ α vậy nên φ (αx)

chất tuyến tính của φ ta thu được α φ (x)

F

F

≤ 1. Sử dụng tính

≤ 1 và đưa đến kết luận.

c) ⇒ d) Theo giả thiết tồn tại µ ∈ R+ sao cho
¯ (0, 1) ⇒ φ (x)
x∈B

F

≤ µ.

x
¯ (0, 1) vậy nên φ x
∈ B
≤ µ.
x
x
F
Điều đó chứng tỏ rằng φ (x) F ≤ µ x E , ở đây luôn đúng khi x = 0
Nếu x ∈ E\ {0} thì

d) ⇒ a) Nếu d) thỏa mãn và x, y ∈ E khi đó
φ (x) − φ (y)

F

= φ (x − y)

F

≤µ x−y

E,

do đó φ liên tục.
Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa 2 không gian
định chuẩn E và F với phép toán cộng và nhân vô hướng thông thường
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

là không gian vector, kí hiệu L(E, F ). Nếu ta đặt
|φ|L(E,F ) = sup
x

φ (x)

E ≤1

F

với φ ∈ L (E, F ) thì |.|L(E,F ) là chuẩn trên L(E, F ). Chú ý rằng với
bất kỳ x ∈ E ta có
φ (x)

E

≤ |φ|L(E,F ) x

E.

Nếu G là một không gian định chuẩn khác và ψ ∈ L (E, F ) thì
|ψ ◦ φ|L(E,F ) ≤ |ψ|L(E,F ) |φ|L(E,F ) .
Ta luôn viết L (E) cho L (E, F ) và E ∗ cho L (E, R) . E ∗ được gọi là
đối ngẫu của E và các phần tử thường được gọi là dạng tuyến tính.
Để tránh nhầm lẫn ta sẽ viết |φ| cho |φ|L(E,F ) .
Định lí 1.4. Nếu E và F là các không gian định chuẩn và F là đủ,
thì không gian L (E, F ) là đủ.
Chứng minh. Cho (φn ) là một dãy Cauchy trong L (E, F ) . Khi đó với
mỗi x ∈ E ta có
φn (x) − φm (x)

F

≤ |φn − φm |L(E,F ) x

E

vì vậy (φn (x)) là dãy Cauchy trong F. Khi F là đủ, dãy này có giới
hạn, ta có thể viết φ (x) . Dễ dàng để nhận ra rằng φ là ánh xạ tuyến
tính. Khi (φn ) là dãy Cauchy, chuẩn |φn | bị chặn dưới M. Vì vậy
φ (x)

F

= lim φn (x)

F

= lim φn (x)
14

F

≤M x

E


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

vậy nên φ liên tục. Ta còn phải chứng minh rằng lim φn = φ. Cho
ε > 0 và N ∈ N∗ sao cho m, n ≥ N ⇒ |φm − φn | < 2ε . Nếu x

E

≤1

và m, n ≥ N khi đó
φn (x) − φm (x)

F

≤ |φn − φm | x

Ta có thể chọn m ≥ N sao cho φm (x) − φ (x)
φn (x) − φ (x)

F

Khi φn (x) − φ (x)

≤ φn (x) − φm (x)

F

F

E

F

ε
< .
2

<

ε
2

+ φm (x) − φ (x)

< ε với mọi x sao cho x

E

F

< ε.

≤ 1, ta có |φn − φ| ≤

ε điều đó chứng tỏ rằng lim φn = φ. Định lí đã được chứng minh.

15


Chương 2
Định lý hàm ẩn và hàm ngược
2.1
2.1.1

Phép toán vi phân
Đạo hàm có hướng

Cho O là một tập con mở của một không gian định chuẩn E, f là một
hàm số giá trị thực xác định trên O, a ∈ O và u một phần tử khác
không của E. Hàm số fu : t → f (a + tu) được định nghĩa trên một
dfu
khoảng mở chứa 0. Nếu đạo hàm
(0) là xác định, tức là nếu giới
dt
hạn
f (a + tu) − f (a)
lim
t→0
t
tồn tại, thì ta kí hiệu nó là ∂u f (a) và gọi là đạo hàm của f tại a theo
hướng u. Chú ý rằng nếu ∂u f (a) là xác định và λ ∈ R∗ thì ∂λu f (a)
xác định và ∂λu f (a) = λ∂u f (a) .
Nếu E = Rn và (ei ) là cơ sở trực chuẩn của nó, thì đạo hàm có
hướng ∂ei f (a) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của f tại a hoặc đạo
hàm của f đối với xi tại a. Trong trường hợp này, ta ký hiệu ∂i f (a)

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

hoặc

Nguyễn Thị Hải Yến

∂f
(a) . Nếu a = (a1 , ...., an ) thì
∂xi
f (a1 , ..., ai + t, ..., an ) − f (a1 , ..., an )
∂f
(a) = lim
.
t→0
∂xi
t

∂f
(x) được xác định, thì
∂xi
ta có được đạo hàm riêng thứ i của hàm số xác định trên O. Nếu các
Nếu với mỗi điểm x ∈ O, đạo hàm riêng

hàm số này là xác định và liên tục với mọi i thì ta nói rằng hàm số f
thuộc lớp C 1 .
Mệnh đề 2.1. Cho O là một tập con mở của Rn và f, g là các hàm
số giá trị thực xác định trên O có đạo hàm riêng đối với xi tại a. Khi
đó
∂f
∂g
∂ (f g)
∂f
∂g
∂ (f + g)
(a) =
(a)+
(a) và
(a) =
(a) g (a)+f (a)
(a) .
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
Ngoài ra, nếu λ ∈ R thì
∂ (λf )
∂ (f )
(a) = λ
(a) .
∂xi
∂xi
Bây giờ giả sử rằng O là một tập con mở của Rn và f là một ánh
xạ xác định trên O với ảnh trên Rm , f có m tọa độ ánh xạ f1 , ..., fm .
∂fi
Nếu a ∈ O và đạo hàm riêng
(a) với 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n đều
xj
được xác định thì ma trận m × n


∂f1
∂f1
(a) · · · ∂xn (a)
 ∂x1



.
.
.
..
..
..
Jf (a) = 



∂fm
∂fm
∂x1 (a) · · · ∂xn (a)

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

được gọi là ma trận Jacobian của f tại a.
Ví dụ 2.1. Nếu ánh xạ f của R3 vào R2 được xác định bởi f (x, y, z) =
(xy, zexy ) thì tất cả các đạo hàm riêng được xác định tại bất kỳ điểm
(x, y, z) ∈ R3 và

Jf (x, y, z) = 

0

x

y
yze

xy

xy

xze

e

xy




Dễ dàng mở rộng định nghĩa của lớp C 1 lên ánh xạ có ảnh của nó
trên Rm . Ta nói rằng một hàm số như vậy thuộc lớp C 1 nếu các ánh
xạ thành phần của nó đều thuộc lớp C 1 .
2.1.2

Vi phân

Cho E và F là các không gian định chuẩn, O là một tập con mở của
E chứa 0, và g là một ánh xạ từ O vào F sao cho g(0) = 0. Nếu tồn
tại một ánh xạ ε, xác định trên lân cận của 0 ∈ E và có ảnh trên F,
sao cho limh→0 ε (h) = 0 và
g (h) = h

E ε (h)

thì ta ký hiệu g(h) = o(h) và nói rằng g là một vô cùng bé bậc cao
hơn h .
Cho O là một tập con mở của không gian định chuẩn E và f là
một ánh xạ từ O vào không gian định chuẩn F. Nếu a ∈ O và ánh xạ
tuyến tính liên tục φ từ E vào F sao cho
f (a + h) = f (a) + φ (h) + o (h)
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

khi h là tiến tới 0, thì ta nói rằng f khả vi tại a.
Mệnh đề 2.2. Nếu f khả vi tại a thì
(a) f liên tục tại a;
(b) φ là duy nhất.
Chứng minh. (a) Vì φ liên tục tại 0, limh→0 φ (h) = 0 và vì vậy
limh→0 f (a + h) = f (a).
(b) Giả sử rằng
f (a + h) = f (a) + φ1 (h) + o (h) = f (a) + φ2 (h) + o (h)
và để x ∈ E. Cho t > 0 đủ nhỏ ta có
f (a + tx) − f (a) = tφ1 (x) + t x

E ε1 (tx)

= tφ2 (x) + t x

E ε2 (tx) ,

ở đó limt→0 εi (tx) = 0. Suy ra
φ2 (x) − φ1 (x) = x

E

(ε1 (tx) − ε2 (tx)) .

Cho t tiến đến 0, ta thu được φ2 (x) − φ1 (x) = 0.
Ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất này được gọi là vi phân của
f tại a, ký hiệu là f (ca) , df (a) , hoặc Df (a) . Nếu f khả vi tại mọi
điểm a ∈ O thì ta nói rằng f khả vi trên O. Ngoài ra nếu f là một
song ánh vào một tập con mở U của F và ánh xạ ngược f −1 cũng khả
vi thì ta nói rằng f là vi phôi. Rõ ràng một vi phôi là một đồng phôi.
Ghi chú. Ta sẽ sử dụng ký hiệu f cho vi phân. Nếu xem xét đạo
hàm của một hàm giá trị thực được xác định trên một khoảng mở của
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hải Yến

df
hoặc f. Để đơn giản ký hiệu, ta sẽ
dt
thường viết f (a) h cho f (a) (h) .

R thì ta sẽ sử dụng ký hiệu

Ví dụ 2.2. Nếu E và F là các không gian định chuẩn và f : E → F là
hằng, thì f (a) là ánh xạ không tại bất kỳ điểm a ∈ E. Nếu f : E → F
là tuyến tính và liên tục thì f (a) = f tại bất kỳ điểm a ∈ E.
Mệnh đề 2.3. Nếu ta thay thế các không gian E và F bằng các chuẩn
tương đương thì vi phân tại a ∈ O và vi phân là không đổi. Đặc biệt,
nếu E và F là hữu hạn chiều thì ta có thể chọn bất kỳ cặp chuẩn nào.
Chứng minh. Nếu f khả vi tại a và
g (h) = f (a + h) − f (a) − f (a) h,
thì g (h) = o (h) . Nếu ta thay thế một hoặc cả hai chuẩn E và F bằng
chuẩn tương đương thì đối với cặp chuẩn mới, ta có g (h) = o (h) . Suy
ra rằng f khả vi đối với cặp chuẩn thứ hai và vi phân tại a là giống
nhau.
Ví dụ 2.3. Cho A ∈ Mn (R) là đối xứng, b ∈ Rn và f : Rn −→ R xác
định bởi
1
f (x) = xt Ax − bt x.
2
(Ở đây, khi sử dụng ma trận ta xác định các phần tử của Rn với các
vector cột n− thành phần). Cho a ∈ Rn . Một phép tính đơn giản chỉ
ra rằng
1
f (a + h) = f (a) + at A − bt h + ht Ah
2
Hàm số φ : h → (at A − bt ) h là tuyến tính. Khi Rn là hữu hạn chiều,
20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×