Tải bản đầy đủ

Điều kiện cực trị bậc nhất cho các bài toán tối ưu có ràng buộc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Hoàng Thị Quỳnh

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC NHẤT
CHO CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
CÓ RÀNG BUỘC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Hoàng Thị Quỳnh


ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC NHẤT
CHO CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
CÓ RÀNG BUỘC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHÓA LUẬN
Ts. Nguyễn Văn Tuyên

Hà Nội, Năm 2018


Lời cảm ơn
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã truyền cho em niềm cảm
hứng cùng những tri thức quý báu để em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp và hoàn thành nhiệm vụ khóa học.
Đặc biệt hơn nữa, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu
sắc tới thầy Nguyễn Văn Tuyên là người trực tiếp hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình, giúp đỡ em để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên bản
khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót mà bản thân chưa
thấy được. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của thầy cô và các bạn để khóa luận đầy đủ và chính xác hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh Viên

Hoàng Thị Quỳnh

1


Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Văn Tuyên khóa
luận chuyên ngành toán giải tích với đề tài "Điều kiện cực trị bậc
nhất cho các bài toán tối ưu có ràng buộc" được hoàn thành
bởi quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân, không trùng với
bất cứ khóa luận nào khác.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã
tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh Viên

Hoàng Thị Quỳnh

2


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời nói đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

1.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Hàm lồi trơn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Hàm lồi không trơn . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Ràng buộc trơn và tính chính quy metric . . . .

12

1.2.3

Ràng buộc lồi không trơn . . . . . . . . . . . .

19

1.2.4

Ràng buộc lồi trơn . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2 CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

27

2.1

Bài toán trơn không có ràng buộc . . . . . . . . . . . .

27

2.2

Bài toán lồi không có ràng buộc . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Bài toán trơn có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . .

30

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

2.4

Bài toán lồi có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5

Bài toán lồi-trơn có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

47

ii


Lời nói đầu
Các điều kiện cần cực trị bậc nhất, thường được gọi là quy tắc
Fermat, giúp chúng ta tìm được các điểm mà hàm số có thể đạt cực
tiểu hoặc cực đại. Nếu thêm vào các giả thiết về tính lồi, thì các điều
kiện cần cực trị bậc nhất sẽ trở thành các điều kiện đủ.
Việc nghiên cứu các điều kiện cực trị là một trong các vấn đề quan
trọng nhất trong lý thuyết tối ưu. Vì vậy, với mong muốn được tìm
hiểu về lý thuyết tối ưu và các ứng dụng của nó trong toán học cũng
như trong thực tế, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Điều kiện cực trị
bậc nhất cho các bài toán tối ưu có ràng buộc” dưới sự hướng
dẫn của thầy Nguyễn Văn Tuyên.
Mục đích của khóa luận là trình bày một cách có hệ thống, các kiến
thức cơ bản và quan trọng nhất về hàm lồi, nón tiếp tuyến, các điều
kiện tối ưu của các bài toán có ràng buộc và không có ràng buộc.
Các kết quả chính trong khóa luận được trình bày dựa trên cuốn
chuyên khảo [3].
Nội dung chính của khóa luận gồm có 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, chúng tôi
trình bày các khái niệm, tính chất của hàm lồi và nón tiếp tuyến.
Chương 2: Các điều kiện tối ưu: Trong chương này, chúng tôi
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

trình bày các điều kiện tối ưu của các bài toán trơn có ràng buộc và
không có ràng buộc, bài toán lồi có ràng buộc và không có ràng buộc,
bài toán lồi-trơn có ràng buộc.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
1.1.1

Hàm lồi
Các khái niệm cơ bản

Kí hiệu R := R ∪ {±∞} và gọi là tập số thực mở rộng.
Cho f : Rn → R là một hàm số. Miền hữu hiệu và tập trên đồ thị
của f tương ứng được kí hiệu bởi:
domf = {x ∈ Rn : f (x) < +∞} ,
epif = {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} .
Định nghĩa 1.1. Một tập X ∈ Rn được gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈
X và α ∈ [0, 1], ta có (1 − α)x1 + αx2 ∈ X.
Định nghĩa 1.2. Bao lồi của một tập X được kí hiệu là conv X là
giao của tất cả các tập lồi chứa X.
Định nghĩa 1.3. Cho X là một tập lồi đóng trong Rn và x ∈ Rn .
Một điểm thuộc X gần x nhất được gọi là hình chiếu của x lên X và
kí hiệu là ΠX (x).
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

Theo [3, Theorem 2.10], hình chiếu của một điểm lên một tập lồi
đóng luôn tồn tại và duy nhất.
Định nghĩa 1.4. Một tập K ⊂ Rn được gọi là một nón nếu αx ∈ K
với mọi α > 0 và x ∈ K.
Bổ đề 1.1. Giả sử X là một tập lồi. Khi đó tập
cone(X) = {γx : x ∈ X, γ ≥ 0}
là một nón lồi.
Định nghĩa 1.5. Cho K là một nón. Tập hợp
K ◦ := {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ K}
được gọi là nón cực của K.
Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập lồi đóng và x ∈ X. Tập hợp
NX (x) = {v ∈ Rn : ΠX (x + v) = x}
được gọi là nón pháp tuyến của X tại x.
Theo định nghĩa, dễ dàng chứng minh được rằng
NX (x) = [cone(X − x)]◦ .
Định nghĩa 1.7. Một hàm số f được gọi là lồi nếu epif là một tập
lồi.
Định nghĩa 1.8. Một hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

Định nghĩa 1.9. Một hàm f được gọi là chính thường nếu f (x) > −∞
với mọi x và f (x) < +∞ với ít nhất một x.
Bổ đề 1.2. Một hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 và 0 ≤ α ≤ 1
ta có
f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ).

(1.1)

Định nghĩa 1.10. Một hàm f được gọi là lồi chặt nếu bất đẳng thức
(1.1) là chặt với mọi x1 = x2 và 0 < α < 1.
Bổ đề 1.3. Nếu f lồi thì domf là một tập lồi.
Chứng minh. Nếu x1 ∈ domf và x2 ∈ domf , thì theo Bổ đề 1.2, ta có
f (αx1 + (1 − α)x2 ) < +∞.
Khi đó αx1 + (1 − α)x2 ∈ domf , nên domf là một tập lồi.
Bổ đề 1.4. Nếu fi , i ∈ I, là một họ các hàm lồi, thì
f (x) = sup fi (x)
i∈I

là một hàm lồi.
Bổ đề 1.5. Nếu f là một hàm lồi, thì với mọi x1 , x2 , . . . , xn và α1 ≥
0, α2 ≥ 0, . . . , αm ≥ 0 sao cho α1 + α2 + . . . + αm = 1, ta có
f (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αm xm ) ≤ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + . . . + αm f (xm ).
Một hàm f : Rn → R được gọi là nửa liên tục dưới, nếu với mỗi

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

chuỗi hội tụ của các điểm xk thì ta có
f ( lim xk ) ≤ lim inf f (xk ).
k→∞

k→∞

Bổ đề 1.6. Một hàm f : Rn → R nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu
tập epif là một tập đóng.
Bổ đề 1.7. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và f : Rn → R là một hàm
lồi. Khi đó tập X các nghiệm của bài toán tối ưu
min f (x)
x∈X

là tập lồi.
1.1.2

Hàm lồi trơn

Kí hiệu ∇f (x) cho gradient của hàm f tại x,




∂f (x)
 ∂x1 
 ∂f (x) 
 ∂x 
 2 

∇f (x) =  .  .
 .. 


∂f (x)
∂xn

Ở đây x1 , x2 , . . . , xn biểu thị tọa độ của vectơ x.
Định lý 1.1. Giả sử rằng hàm f khả vi liên tục. Khi đó
(i) f lồi nếu và chỉ nếu với mọi x và y
f (y) ≥ f (x) + ∇f (x), y − x ;

6

(1.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

(ii) f lồi chặt nếu và chỉ nếu với mọi x = y
f (y) > f (x) + ∇f (x), y − x .
1.1.3

(1.3)

Hàm lồi không trơn

Cho f : Rn → R là một hàm lồi và cho x ∈ domf . Khi đó với mỗi
d ∈ Rn đại lượng
f (x; d) = lim
τ ↓0

f (x + τ d) − f (x)
,
τ

(1.4)

được gọi là đạo hàm theo hướng d của f tại x.
Bổ đề 1.8. Với mỗi x ∈ domf và mỗi d ∈ Rn giới hạn trong (1.4)
tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn). Nếu x ∈ int domf , khi đó f (x; d) là
hữu hạn với mọi d.
Định nghĩa 1.11. Cho f : Rn → R là một hàm lồi chính thường và
x ∈ domf . Một vectơ g ∈ Rn thỏa mãn
f (y) ≥ f (x) + g, y − x với mọi y ∈ Rn

(1.5)

được gọi là một dưới-gradient (subgradient) của f tại x. Tập hợp tất
cả các dưới-gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x
và kí hiệu là ∂f (x). Nếu dưới vi phân của f tại x khác rỗng thì hàm
f được gọi là khả dưới vi phân tại điểm này.
Bổ đề 1.9. Giả sử f : Rn → R là một hàm lồi chính thường và x ∈
domf . Một vectơ g là một dưới-gradient của f tại x nếu và chỉ nếu
f (x; d) ≥ g, d với mọi d ∈ Rn .
7

(1.6)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

Định lý 1.2. Cho f : Rn → R là một hàm lồi. Giả sử x ∈ int domf .
Khi đó, ∂f (x) là một tập lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng. Hơn nữa,
đối với mỗi hướng d ∈ Rn ta có:
f (x; d) = max g, d .
g∈∂f (x)

Bổ đề 1.10. Giả sử f : Rn → R là một hàm lồi, α > 0, và h(x) =
αf (x). Khi đó h lồi và ∂h(x) = α∂f (x), với mọi x.
Bổ đề 1.11. Giả sử f : Rn → R là một hàm lồi. A là ma trận có kích
thước m × n và h(x) = f (Ax). Khi đó ∂h(x) = AT ∂f (Ax), với mọi x.
Định lý 1.3. Giả sử f = f1 + f2 trong đó f1 : Rn → R và f2 : Rn → R
là các hàm lồi chính thường. Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ domf sao cho
fi liên tục tại x0 , thì
∂f (x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x), với mọi x ∈ domf.
Tiếp theo chúng ta trình bày công thức tính dưới vi phân của hàm
max. Xét hàm
F (x) = sup f (x, y).
y∈Y

Giả sử f : Rn × Y → R thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) f (·, y) lồi với mọi y ∈ Y ;
(ii) f (x, ·) là nửa liên tục trên với mọi x trong một lân cận xác định
của một điểm x0 ;
(iii) Tập Y ⊂ Rm compact.
Hàm F là lồi theo công thức ở Bổ đề 1.13. Nó là chính thường do (ii).
Kí hiệu Y (x) là tập các phần tử y ∈ Y mà f (x, y) = F (x). Vì f (x, ·)
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

là nửa liên tục trên và Y là compact, nên tập Y (x) không rỗng và
compact, với mỗi x trong một lân cận xác định của x0 .
Kí hiệu ∂x f (x0 , y) là dưới vi phân của hàm f (·, y) tại x0 .
Định lý 1.4. Giả sử có điều kiện (i)-(iii). Khi đó
∂F (x0 ) ⊃ conv(

∂x f (x0 , y)).
y∈Y (x0 )

Ngoài ra nếu hàm f (·, y) liên tục tại x0 với mọi y ∈ Y , thì
∂F (x0 ) = conv(

∂x f (x0 , y)).

(1.7)

y∈Y (x0 )

1.2
1.2.1

Nón tiếp tuyến
Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.12. Hướng d được gọi là hướng tiếp xúc của tập X ⊂ Rn
tại điểm x ∈ X nếu tồn tại dãy các điểm xk ∈ X và các vô hướng
τk > 0, k = 1, 2, . . . , sao cho τk ↓ 0 và
xk − x
d = lim
.
k→∞
τk
Từ định nghĩa này ta suy ra rằng xk → x vì nếu trái lại thì giới
hạn ở trên không tồn tại.
Bổ đề 1.12. Cho X ⊂ Rn và x ∈ X. Tập TX (x) của tất cả các hướng
tiếp xúc của X tại x là một nón đóng.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

Chứng minh. Giả sử d ∈ TX (x). Với mọi β > 0 ta có
xk − x
βd = lim
,
k→0 (τk /β)
vì vậy dãy xk và τk /β thỏa mãn Định nghĩa 1.12 với phương βd. Do
đó TX (x) là một nón.
Lấy dj là một hướng tiếp xúc của X tại x và các dãy xj,k và τj,k ,
k = 1, 2, . . . , thỏa mãn Định nghĩa 1.12 và limj→∞ dj = d. Vì dj là
hướng tiếp xúc, với mọi j, tồn tại k(j) sao cho
xj,k(j) − x
− dj ≤ dj − d .
τj,k(j)
Do đó
xj,k(j) − x
− d ≤ 2 dj − d .
τj,k(j)
Điều đó kéo theo rằng dãy xj,k(j) và τj,k(j) , j = 1, 2, . . ., thỏa mãn Định
nghĩa 1.12 với hướng d. Vì vậy, nón TX (x) là đóng.
Các nón tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng trong các điều kiện tối
ưu cho các bài toán tối ưu phi tuyến. Trong Định lí 2.4 (xem Chương
2), chúng ta chỉ ra rằng một cực tiểu địa phương của bài toán
min f (x)
x∈X

thỏa mãn hệ thức
− f (ˆ
x) ∈ [TX (ˆ
x)]◦ .
Nói chung, các nón tiếp tuyến có thể không lồi. Điều này làm cho
việc phân tích các điều kiện tối ưu khó khăn. Tuy nhiên, trong một số
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

trường hợp đặc biệt và có ý nghĩa trong ứng dụng các nón này là lồi.
Để thuận tiện ta kí hiệu
KX (x) = {d ∈ Rn : d = β(y − x), y ∈ X, β ≥ 0},
và gọi là nón của các hướng chấp nhận được tại x ∈ X.
Bổ đề 1.13. Cho X ⊂ Rn là tập lồi và x ∈ X. Khi đó
TX (x) = KX (x).
Chứng minh. Với mỗi d ∈ KX (x) là hướng tiếp xúc được định nghĩa.
Hơn nữa, KX (x) là nón lồi. Vì nón tiếp tuyến là đóng,
KX (x) ⊂ TX (x).
Nếu các tập này không bằng nhau, thì tồn tại h ∈ TX (x)\KX (x). Từ
Định lí tách [3, Theorem 2.14] tồn tại y = 0 sao cho y, h > 0 và
y, d ≤ 0 với tất cả d ∈ KX (x). Từ h là hướng tiếp xúc của X tại x,
tồn tại một dãy các điểm xk của X và một dãy các vô hướng τk ↓ 0
thỏa mãn Định nghĩa 1.12 với hướng h. Do đó, ta được
1
1 k
(x − x) = lim
y, xk − x .
k→∞ τk
k→∞ τk

y, h = y, lim

Mỗi vectơ xk − x là phần tử của KX (x) và vì thế y, xk − x ≤ 0.
Phương trình hiển thị cuối cùng đưa ra y, h ≤ 0, mâu thuẫn với giả
thiết về tính chất tách của y.
Trong các ứng dụng, ta thường bắt gặp các tập hợp được định nghĩa

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

bởi một giao
X = X1 ∩ X2 ∩ . . . ∩ Xm .
Với một điểm x ∈ X ta luôn có
TX (x) ⊂ TX1 (x) ∩ TX2 (x) ∩ . . . ∩ TXm (x).
nhưng dấu đẳng thức không được đảm bảo. Mục đích chính của phần
này là đưa ra các điều kiện để đảm bảo đẳng thức này, cho các dạng đặc
biệt của tập Xi . Hơn nữa, chúng ta tính toán được nón cực [TX (x)]◦
trong trường hợp này.
1.2.2

Ràng buộc trơn và tính chính quy metric

Các tập hợp chấp nhận được của bài toán tối ưu phi tuyến thường
được định nghĩa bởi hệ các bất phương trình và phương trình:
gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m,
hi (x) = 0, i = 1, . . . , p,
với gi : Rn → R, i = 1, . . . , m, hi : Rn → R, i = 1, . . . , p. Ngoài ra,
chúng ta có thể có các ràng buộc trừu tượng với dạng x ∈ X0 .
Để phát triển các dạng đại số của nón tiếp tuyến đến các tập hợp,
để thuận tiện ta xét một hệ trừu tượng
g(x) ∈ Y0

(1.8)

x ∈ X0 .
Ở đây g : Rn → Rm là khả vi liên tục, Y0 là tập lồi đóng trong Rm và
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

X0 là tập lồi đóng trong Rn . Ví dụ, khi Y0 = {y ∈ Rm : y ≤ 0}, hệ
(1.8) có những ràng buộc về bất đẳng thức gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m. Khi
Y0 = {0} hệ có những ràng buộc đẳng thức gi (x) = 0, i = 1, . . . , m. Sự
kết hợp của các ràng buộc về bất đẳng thức và đẳng thức có thể nhận
được bằng cách biểu diễn Y0 như là tích của các nửa đường thẳng và
các số 0.
Chúng ta sử dụng kí hiệu g (x) để biểu thị Jacobian của hàm g(·)
tại điểm x:


∂g1 (x)
 ∂x1
 ∂g2 (x)
 ∂x
 1

∂g1 (x)
∂x2
∂g2 (x)
∂x2

..
.

..
.

...

∂gm (x)
∂x1

∂gm (x)
∂x2

...

g (x) = 



...
...



∂g1 (x)
∂xn 
∂g2 (x) 

∂xn 

..
.

∂gm (x)
∂xn

.



Kí hiệu X là tập hợp được định nghĩa bởi hệ (1.8),
X = {x ∈ X0 : g(x) ∈ Y0 },
và xét điểm x0 ∈ X. Cho d là một hướng tiếp xúc của X tại x0 , điều
đó suy ra d ∈ TX0 (x0 ). Hơn nữa, khi x0 bị nhiễu theo hướng d, thì
g(x0 ) bị nhiễu theo hướng g (x0 )d. Do đó, g (x0 )d ∈ TY0 (y0 ). Vì vậy,
TX (x0 ) ⊂ {d ∈ Rn : d ∈ TX0 (x0 ), g (x0 )d ∈ TY0 (g(x0 ))}.
Chúng ta hình thức hóa lập luận này trong Định lí 1.5 dưới đây.
Bao hàm thức cuối cùng trở thành đẳng thức nếu các tập X0 và Y0
là các tập lồi đa diện và nếu hàm số g(·) là affine.
Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát đẳng thức trên không đúng,
trừ khi hệ (1.8) có thêm tính chất, gọi là chính quy metric.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

Định nghĩa 1.13. Hệ (1.8) được gọi là chính quy metric tại điểm
x0 ∈ X nếu tồn tại ε > 0 và C sao cho tất cả x˜ và u˜ thỏa mãn
x˜ − x ≤ ε và u˜ ≤ ε ta có thể tìm thấy xR ∈ X0 thỏa mãn
g(xR ) − u˜ ∈ Y0 ,
và sao cho
xR − x˜ ≤ C(dist(˜
x, X0 ) + dist(g(˜
x) − u˜, Y0 )).

(1.9)

Trong [3, Theorem A.10] đã chỉ ra rằng chính quy metric tương
đương với điều kiện Robinson sau:
{g (x0 ) − υ : d ∈ KX0 (x0 ), υ ∈ KY0 (g(x0 ))} = Rm .

(1.10)

Ta thấy rằng tập hợp vế trái của (1.10) là một nón và do đó một cách
khác để biểu diễn điều kiện Robinson là
0 ∈ int{g (x0 )(x − x0 ) − (y − g(x0 ) : x ∈ X0 , y ∈ Y0 )}.
Đối với hệ chỉ gồm các ràng buộc bình đẳng g(x) = 0, khi X0 = Rn
và Y0 = 0, chính quy metric tương đương với độc lập tuyến tính của
các gradient của các ràng buộc
gi (x0 ), i = 1, . . . , m.
Vai trò của chính quy metric được thể hiện trong định lí sau.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

Định lý 1.5. Nếu hệ (1.8) là chính quy metric, thì
TX (x0 ) = {d ∈ Rn : d ∈ TX0 (x0 ), g (x0 )d ∈ TY0 (g(x0 ))}.

(1.11)

Chứng minh. Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng mọi hướng
tiếp xúc d là một phần tử của tập hợp ở vế bên phải của (1.11). Do
X ⊂ X0 , hướng d là một phần tử của TX0 (x0 ). Từ Định nghĩa 1.12
tồn tại các điểm xk ∈ X và đại lượng vô hướng τk ↓ 0 sao cho
xk − x
.
k→∞
τk

d = lim
Đặt y k = g(xk ), y0 = g(x0 ). Ta có

y k = y0 + g (x0 )(xk − x) + ok ,
với limk→∞ oτkk = 0. Chia phương trình cuối cùng cho τk và chuyển qua
giới hạn, ta được
y k − y0
= g (x0 )d.
lim
k→∞
τk
Với y k ∈ Y0 , ta nhận được g (x0 )d ∈ TY0 (y0 ). Do đó, bao hàm thức “⊂”
là đúng trong (1.11).
Chúng ta cần chứng minh điều ngược lại. Cho d là một hướng trong
tập hợp ở vế phải của (1.11). Xét các điểm có dạng
x(τ ) = x0 + τ d,

τ > 0.

Do d ∈ TX0 (x0 ),
dist(x(τ ), X0 ) = o1 (τ ),
15

(1.12)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

với o1 (τ )/τ → 0, khi τ ↓ 0. Như vậy,
g(x(τ )) = g(x0 ) + τ g (x0 )d + o2 (τ ),
với o2 (τ ) /τ → 0, khi τ ↓ 0. Từ g (x0 )d ∈ TY0 (g(x0 )), ta suy ra rằng
dist(g(x(τ )), Y0 ) ≤ o2 (τ ) + dist(g(x0 ) + τ g (x0 )d, Y0 ) = o3 (τ ),
(1.13)
với o3 (τ )/τ → 0, khi τ ↓ 0. Do đó, các điểm x(τ ) "hầu hết" thuộc
về X0 và "hầu hết" thỏa mãn các ràng buộc g(x) ∈ Y0 . Sai số không
đáng kể đối với τ . Bây giờ, ta có thể sử dụng tính chất của chính quy
metric. Đặt x˜ = x(τ ) và u˜ = 0 trong Định nghĩa 1.13, ta suy ra rằng
τ đủ nhỏ τ > 0 ta có thể tìm các điểm xR (τ ) ∈ X sao cho
xR (τ ) − x(τ )

C (dist(x(τ ), X0 ) + dist(g(x(τ )), Y0 )) .

Sử dụng (1.12) và (1.13) ta kết luận rằng
lim
τ ↓0

xR (τ ) − x0
= d.
τ

Do đó d là một phương tiếp tuyến của X tại x0 .
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng đưa ra các dạng đại số của nón
tiếp tuyến của hệ gồm các phương trình và bất phương trình. Xét hệ
gi (x) ≤ 0,

i = 1, . . . , m,

hi (x) = 0,

i = 1, . . . , p,

x ∈ X0 ,
16

(1.14)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

với các hàm số khả vi liên tục g : Rn → Rm và h : Rn → Rp và một
tập lồi đóng X0 . Ta xét một điểm x0 thỏa mãn (1.14) và ta xác định
tập hợp các ràng buộc bất đẳng thức hoạt
I 0 (x0 ) = {1 ≤ i ≤ m : gi (x0 ) = 0}.
Hệ (1.14) là một trường hợp đặc biệt của hệ (1.8) với
Y0 = {(y, 0) ∈ Rm × Rp : yi ≤ 0, i ∈ I 0 (x0 )}.
Điều kiện Robinson (1.10) có dạng



 g (x )d − υ

0
m
0

 : d ∈ TX0 (x0 ), v ∈ R , vi ≤ 0, i ∈ I (x0 ) = Rm × Rp .


h (x )d
0

(1.15)
Vì tập hợp vế bên trái là một nón, nó tương đương với yêu cầu rằng
0 là một điểm trong của tập hợp này. Một điều kiện đủ đơn giản hơn
của chính quy metric có thể nhận được như sau.
Bổ đề 1.14. Giả sử rằng tồn tại một điểm xM F ∈ intX0 sao cho

và gradient

gi (x0 ), xM F − x0 < 0,

i ∈ I 0 (x0 )

hi (x0 ), xM F − x0 = 0,

i = 1, . . . , p,

(1.16)

hi (x0 ), i = 1, . . . , m là độc lập tuyến tính. Khi đó, hệ

(1.14) là chính quy metric tại x0 .
Chứng minh. Từ xM F là một điểm trong, tồn tại ε > 0 sao cho hình
cầu tâm xM F bán kính ε cũng bao gồm các điểm trong của X. Kí hiệu
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

B = {s ∈ Rn : s ≤ ε}. Khi đó
xM F − x0 + B ⊂ Kx0 (x0 ).
Theo (1.16) ta có thể chọn ε đủ nhỏ luôn dương và δ dương, sao cho
gi (x0 ), xM F − x0 + s < −δ,
Vì các gradient

∀i ∈ I 0 (x0 ),

s ∈ B.

(1.17)

hi (x0 ), i = 1, . . . , p là độc lập tuyến tính, ta có
0 ∈ {h (x0 )s : s ∈ B}.

(1.18)

Chọn δ > 0 đủ nhỏ, ta có thể đảm bảo rằng hình cầu bán kính δ
bao hàm trong tập hợp bên vế phải của (1.18). Để kiểm nghiệm chính
thức điều kiện Robinson (1.18), chọn bất kì y, z ∈ Rm × Rp sao cho
(y, z)

δ. Từ (1.18), ta tìm s ∈ B sao cho h (x0 )s = z. Khi đó, hệ

thức thứ hai của (1.16) cho
h (x0 )(xM F − x0 + s) = z.
Hệ thức (1.17) ý nói rằng ta có thể tìm v ≤ 0 sao cho
g (x0 )(xM F − x0 + s) − υ = y.
Điểu này có nghĩa là hướng d = xM F − x0 + s và phần tử υ tương ứng
được chọn ở tập hợp ở vế trái của (1.15) bằng (y, z). Điểu này có thể
làm với mọi (y, z) sao cho (y, z)

δ. Do đó, điều kiện Robinson là

đúng và hệ là chính quy metric.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hoàng Thị Quỳnh

Chúng ta phải nhấn mạnh rằng điều kiện của Bổ đề 1.14 không
tương đương với chính quy metric, bởi vì, chúng ta giả thiết rằng xM F
là điểm trong của X0 . Các giả thiết của Bổ đề 1.14 cho X0 = Rn được
biết đến là điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian - Fromovitz.
Trong trường hợp này, nó tương đương với chính quy metric.
Bổ đề 1.15. Hệ (1.14) với X0 = Rn thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
ràng buộc Mangasarian - Fromovitz tại một điểm x0 nếu và chỉ nếu
nó là chính quy metric tại x0 .
1.2.3

Ràng buộc lồi không trơn

Các nón tiếp tuyến của các tập hợp được xác định bởi các ràng buộc
lồi không trơn có thể được mô tả bằng cách sử dụng các dưới vi phân
của các hàm ràng buộc. Xét tập hợp
X = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0},
¯ là một hàm lồi. Điều kiện quan trọng được dùng
trong đó g : Rn → R
ở đây là điều kiện Slater: tồn tại xs sao cho g(xs ) < 0.
Định lý 1.6. Giả sử rằng g(x0 ) = 0, hàm g khả dưới vi phân tại x0 ,
và điều kiện Slater được thỏa mãn. Khi đó
[KX (x0 )]◦ = cone(∂g(x0 )).
Chứng minh. Nếu d ∈ KX (x0 ), thì tồn tại τ¯ > 0 sao cho g(x0 + τ d) ≤

19


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×