Tải bản đầy đủ

Tiết diện ngang monge ampere

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

TẠ THỊ QUỲNH

TIẾT DIỆN NGANG MONGE - AMPERE
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Tạ Thị Quỳnh

TIẾT DIỆN NGANG MONGE-AMPERE


Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GVC.TS Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2018


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với
sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến
nay, khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm
ơn chân thành, sâu sắc tới các Thầy Cô giáo tổ Giải tích, các Thầy
Cô trong khoa Toán đặc biệt là Thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng
người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em
trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này.
Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên
khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
nhận được sự góp ý của các Thầy Cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Tạ Thị Quỳnh


LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo TS. Trần Văn Bằng
khóa luận chuyên ngành toán giải tích với đề tài "Tiết diện ngang
Monge - Ampere" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của
bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã
tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Tạ Thị Quỳnh


Mục lục

Bảng kí hiệu

1

1 Tiết diện ngang Monge-Ampere

4

1.1

Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Ánh xạ pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Tiết diện ngang Monge-Ampere . . . . . . . . . . . . .

8

2 Tính chất của tiết diện ngang Monge-Ampere

11

2.1

Các kết quả cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Tính chất của tiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.1

Độ đo Monge-Ampere thỏa mãn (1.3) . . . . . .

20

2.2.2

Tính chất Dìm của tiết diện . . . . . . . . . . .

29

2.2.3



Kích thước của các tiết diện được chuẩn hóa . .

30

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

R

Tập số thực

Rn

Không gian Euclide thực n chiều

P(Rn )

Họ tất cả các tập con của Rn

x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử của Rn
x21 + · · · + x2n

|x|

Chuẩn của phần tử x, bằng

x·y

Tích vô hướng của x và y, bằng

BR (x0 )

Hình cầu mở tâm x0 ∈ Rn bán kính R

A

Bao đóng của tập con A

dist(x, A)

Khoảng cách từ điểm x đến tập A

C k (Ω)

Tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω

Du(x), D2 u(x)

Gradient và Hessian của hàm u tại x

∆u(x)

Laplace của hàm u tại x

∂u(x)

Ánh xạ pháp hay dưới vi phân của hàm u tại x

χE (x)

Hàm đặc trưng của tập hợp E

|E|

Độ đo Lebesgue n chiều của tập hợp E ⊂ Rn

h.k.n.

Hầu khắp nơi

1

n
i=1 xi yi


Lời nói đầu
Phương trình Monge-Ampere là phương trình có dạng
det D2 u(x) = f (x),

x ∈ Ω,

trong đó Ω ⊂ Rn là một tập mở, f (x) là hàm đã cho. Đây là một
phương trình phi tuyến, có vai trò quan trọng trong hình học cũng
như trong nhiều lĩnh vực khác. Vì thế phương trình đã nhận được
sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới, xem
[3] và các tài liệu trong đó. Tiết diện ngang Monge-Ampere là một
công cụ hình học giá trị để nghiên cứu hàm lồi nói chung, phương
trình Monge-Ampere nói riêng. Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn
Bằng, em chọn đề tài: "Tiết diện ngang Monge-Ampere" để tìm
hiểu về các tính chất của các tiết diện này. Nội dung của Khóa luận
chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [3].
Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương.
Chương 1 trình bày một số kiến thức cần thiết cho việc trình bày nội
dung của chương sau, như: Các khái niệm và kí hiệu chung, khái niệm
ánh xạ pháp, khái niệm tiết diện ngang Monge-Ampere. Chương 2
trình bày một số kết quả về các tính chất của tiết diện ngang MongeAmpere.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Do trình độ có hạn nên khóa luận không tránh khỏi có những thiếu
sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thày cô và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn.

3


Chương 1
Tiết diện ngang Monge-Ampere
1.1

Một số kí hiệu

Cho Ω là một tập con mở của Rn và u : Ω → R là hàm số xác định
trên Ω. Trong khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng một số kí hiệu quen
thuộc sau đây:
Với x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , thì chuẩn của x xác định bởi
|x| =

x21 + · · · + x2n

và biểu thức
x · y = x 1 y1 + · · · + x n yn
là tích vô hướng của các véc tơ x, y ∈ Rn . Tập hợp
BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R}
là hình cầu tâm x0 bán kính R trong Rn .
C k (Ω) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục
trên Ω, k = 0, 1, 2, · · · . Khi k = 0 ta thường viết đơn giản C 0 (Ω) bởi
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

C(Ω). Nếu u ∈ C 1 (Ω) thì Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) là gradient của hàm
u tại điểm x ∈ Ω. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì D2 u(x) = [uxi xj ]n×n là (ma trận)
Hessian của hàm u tại x ∈ Ω.
Với x0 ∈ Ω, một siêu phẳng giá của hàm số u tại điểm (x0 , u(x0 ))
là một hàm affin l(x) = u(xo ) + p · (x − x0 ) sao cho u(x) ≥ l(x) với
mọi x ∈ Ω. Nếu Ek là một dãy các tập hợp thì

E ∗ = lim sup En = ∩∞
n=1 ∪k=n Ek ;


E∗ = lim inf En = ∪∞
n=1 ∩k=n En .
n→∞

n→∞

Nếu Ω ⊂ Rn là tập con bị chặn và đo được thì trọng tâm của Ω là
điểm x∗ được xác định bởi
x∗ =

1
|Ω|

xdx.


Cho Ω ⊂ Rn là tập lồi. Hàm u : Ω → R là lồi nếu với mọi 0 ≤ t ≤ 1
và mọi x, y ∈ Ω ta có
u(tx + (1 − t)y) ≤ tu(x) + (1 − t)u(y).

1.2

Ánh xạ pháp

Định nghĩa 1.1. Ánh xạ pháp của u còn gọi là dưới vi phân của u,
là hàm đa trị ∂u : Ω → P(Rn ) xác định bởi
∂u(x0 ) = {p : u(x) ≥ u(x0 ) + p · (x − x0 ), với mọi x ∈ Ω}.
Với E ⊂ Ω, chúng ta định nghĩa ∂u(E) =

5

x∈E

∂u(x).


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Lưu ý rằng, tập ∂u(x0 ) có thể bằng rỗng. Đặt
S = {x ∈ Ω : ∂u(x) = ∅}.
Nếu u ∈ C 1 (Ω) và x ∈ S thì ∂u(x) = {Du(x)} và thường viết đơn
giản là ∂u(x) = Du(x). Điều này nghĩa là nếu u khả vi thì ánh xạ
pháp là gradient.
Nếu u ∈ C 2 (Ω) và x ∈ S thì Hessian của u là ma trận xác định
không âm, nghĩa là D2 u(x) ≥ 0. Nói cách khác, nếu u là C 2 , thì S
là tập các điểm trên đó đồ thị của u là lồi. Thực vậy, theo khai triển
Taylor
u(x + h) = u(x) + Du(x).h +

1 2
D u(ξ)h, h ,
2

trong đó ξ nằm trên đoạn thẳng giữa x và x + h. Vì u(x + h) ≥
u(x) + Du(x).h với mọi h đủ nhỏ nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1. Cho Ω = BR (x0 ) trong Rn và hàm u(x) = |x − x0 |. Khi
đó ta có



x − x0


, nếu 0 < |x − x0 | < R
|x

x
|
0
∂u(x) =


B1 (0),
nếu x = x0 .

Thật vậy, nếu 0 < |x − x0 | < R, thì u khả vi tại x nên giá trị của
∂u(x) chính là gradient của u tại x nên ta có kết quả như đã chỉ ra.
Nếu x = x0 thì từ định nghĩa của ánh xạ pháp, p ∈ ∂u(x0 ) nếu và chỉ
nếu |x − x0 | ≥ p · (x − x0 ) với mọi x ∈ BR (x0 ). Nếu p = 0 và chúng ta
R p
, thì ta suy ra |p| ≤ 1. Rõ ràng là nếu |p| ≤ 1 thì
chọn x = x0 +
2 |p|
p ∈ ∂u(x0 ). Vậy ta có điều cần chứng minh.
Chúng ta có một số tính chất sau của ánh xạ pháp.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Bổ đề 1.1. Nếu Ω ⊂ Rn mở, u ∈ C(Ω) và K ⊂ Ω là compact thì
∂u(K) là compact.
Bổ đề 1.2. Nếu u là một hàm lồi trong Ω và K ⊂ Ω là compact, thì
u Lipschitz đều trong K, nghĩa là, tồn tại một hằng số C = C(u, K)
sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| với mọi x, y ∈ K.
Định lý 1.1. Nếu Ω mở và u ∈ C(Ω), thì lớp
S = {E ⊂ Ω : ∂u(E) là đo được Lebesgue}
là một σ-đại số Borel. Hàm tập M u : S → R xác định bởi
M u(E) = |∂u(E)|

(1.1)

là một độ đo, hữu hạn trên các tập compact, được gọi là độ đo Monge
- Ampere liên kết với hàm u.
Ví dụ 1.2. Nếu u ∈ C 2 (Ω) là một hàm lồi, thì độ đo Monge-Ampere
M u liên kết với u thỏa mãn
det D2 u(x)dx,

M u(E) =

(1.2)

E

với mọi tập Borel E ⊂ Ω.
¯ Nếu
Bổ đề 1.3. Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở bị chặn, và u, v ∈ C(Ω).
u = v trên ∂Ω và v ≥ u trên Ω, thì
∂v(Ω) ⊂ ∂u(Ω).

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Định lý 1.2 (Nguyên lý cực đại Aleksandrov). Nếu Ω ⊂ Rn là một
¯ lồi, với u = 0
tập bị chặn, mở và lồi với đường kính ∆, và u ∈ C(Ω)
trên ∂Ω, thì
|u(x0 )|n ≤ Cn ∆n−1 dist(x0 , ∂Ω)|∂u(Ω)|,
với mọi x0 ∈ Ω, trong đó Cn là hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều n.
Một Ellipsoid có tâm tại điểm x0 là một tập có dạng
E(A, x0 ) = {x : A(x − x0 ), (x − x0 ) ≤ 1},
trong đó A là một ma trận cấp n × n, đối xứng và xác định dương.
Thể tích của E(A, x0 ) là
|E(A, x0 )| = √

ωn
,
det A

trong đó ωn là thể tích của hình cầu đơn vị trong Rn .
Định lý 1.3. Nếu Ω ⊂ Rn là một tập con lồi bị chặn với phần trong
không rỗng và E là Ellipsoid có thể tích nhỏ nhất chứa Ω có tâm tại
trọng tâm của Ω, thì
αn E ⊂ Ω ⊂ E,
trong đó αn = n−3/2 và αE là ảnh vị tự tỉ số α của E với tâm vị tự là
tâm của nó. Ellipsoid này là duy nhất.

1.3

Tiết diện ngang Monge-Ampere

Cho φ : Rn −→ R là một hàm lồi.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Định nghĩa 1.2. Cho t > 0 và (x) = φ(x0 ) + p · (x − x0 ) là một siêu
phẳng giá của φ tại (x0 , φ(x0 ), một tiết diện ngang, hoặc đơn giản là
một tiết diện của φ tại độ cao t là một tập lồi
Sφ (x0 , p, t) = {x ∈ Rn : φ(x) < (x) + t}.
Nếu φ trơn thì là duy nhất, (x) = φ(x0 ) + Dφ(x0 ) · (x − x0 ) và chúng
ta viết là
Sφ (x0 , t) = Sφ (x0 , p, t).
Ví dụ 1.3. Ta sẽ xét hai ví dụ đơn giản sau:
a) Cho φ(x) = |x − y|2 , y ∈ Rn . Dễ thấy Sφ (x0 , t) = B√t (x0 ).
b) Xét φ(x) = h|x − y| với y ∈ Rn và h ∈ R. Để ý rằng, đồ thị của
φ là một hình nón. Khi đó mọi siêu phẳng giá của φ tại điểm (y, 0)
mà không song song với bất kì đường sinh nào của hình nón thì sẽ tạo
ra các tiết diện hình ellip. Mặt khác nếu ta lấy một siêu phẳng giá tại
điểm (x, φ(x)) với x = y, thì các tiết diện tương ứng là paraboloids
n − 1 chiều và vì thế các tiết diện là những tập không bị chặn.
Tiếp theo chúng ta sẽ phân tích các tính chất hình học quan trọng
của các tiết diện ngang của hàm lồi φ có độ đo Monge-Ampere liên
kết M φ, xem Định nghĩa 1.2, thỏa mãn điều kiện đúp.
Trong chương này ta giả sử rằng các tiết diện Sφ (x0 , p, t) là các
tập bị chặn. Giả sử x∗0 là trọng tâm của Sφ (x0 , p, t). Nếu λ > 0, thì
λSφ (x0 , p, t) là ảnh vị tự tỉ số λ của Sφ (x0 , p, t) với tâm là trọng tâm
của nó, tức là
λSφ (x0 , p, t) = {x∗0 + λ(x − x∗0 ) : x ∈ Sφ (x0 , p, t)}.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Định nghĩa 1.3 (Điều kiện đúp). Ta nói rằng độ đo Borel ν là đúp
đối với trọng tâm trên các tiết diện của φ nếu tồn tại các hằng số
C > 0 và 0 < α < 1 sao cho với mọi tiết diện Sφ (x, p, t),
ν(Sφ (x, p, t)) ≤ Cν αSφ (x, p, t/2) .

(1.3)

Mặt khác, ta nói rằng ν là đúp đối với tham số trên các tiết diện của
φ nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi tiết diện Sφ (x, p, t),
t
ν(Sφ (x, p, t)) ≤ C ν Sφ (x, p, ) .
2

10

(1.4)


Chương 2
Tính chất của tiết diện ngang
Monge-Ampere
Ta sẽ chứng minh rằng điều kiện (1.3) kéo theo (1.4) nhưng nhìn chung
điều ngược lại là sai, xem trong Hệ quả 2.2 và các nhận xét sau đó.
Các ví dụ về độ đo thỏa mãn (1.3) có thể tìm thấy ở các Nhận xét
2.3 và 2.4. Giả thiết về tính bị chặn của các tiết diện Sφ (x, p, t) cho
phép φ có các đoạn thẳng hữu hạn trong đồ thị. Dễ thấy rằng nếu φ
lồi chặt, thì tất cả các tiết diện Sφ (x, p, t) là các tập bị chặn, vì nếu
không thì đồ thị của φ có thể chứa các nửa đường thẳng. Như một hệ
quả của Định lý 2.3, suy ra nếu các tiết diện của φ là các tập bị chặn
và (1.3) được thỏa mãn, thì φ là lồi chặt, Nhận xét 2.5.
Ta nhận thấy trong trường hợp hàm lồi φ chỉ được xác định trên
một tâp lồi mở Ω ⊂ Rn , thì các kết quả của chương này vẫn đúng với
sự điều chỉnh đơn giản nếu chúng ta thêm giả thiết rằng các tiết diện bị
chặn bởi các điều kiện sau: Với x ∈ Ω tồn tại t0 sao cho Sφ (x, p, t) ⊂ Ω
với mọi t

t0 và p ∈ ∂φ(x).

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1

TẠ THỊ QUỲNH

Các kết quả cơ sở

Cho T : Rn −→ Rn là một phép biến đổi afin khả nghịch, nghĩa là,
T x = Ax + b ở đó A là một ma trận thực khả nghịch cấp n × n và
b ∈ Rn . Nếu φ : Rn −→ R và λ > 0, đặt ψλ (y) = λφ(T −1 y).
Hàm số (x) = φ(x0 ) + p · (x − x0 ) là một siêu phẳng giá của φ tại
điểm (x0 , φ(x0 )) khi và chỉ khi (y) = ψ(T x0 ) + λ(A−1 )t p · (y − T x0 )
là một siêu phẳng giá của hàm ψλ tại điểm (T x0 , ψλ (T x0 )). Điều này
suy ra
∂ψλ (T E) = λ(A−1 )t (∂φ(E)),
với mỗi tập E, t biểu thị sự chuyển vị. Do đó
M ψλ (T E) = λn | det A−1 |M φ(E)

(2.1)

đối với mỗi tập Borel E.
Các tiết diện của φ và ψλ được liên hệ với nhau bởi công thức
T (Sφ (y, p, t)) = Sψλ (T y, λ(A−1 )t p, λt).

(2.2)

Chú ý rằng T αSφ (x, p, t) = αT (Sφ (x, p, t)), do đó nếu M φ thỏa mãn
một trong hai điều kiện (1.3) hoặc (1.4) trên các tiết diện của φ, thì
độ đo M ψλ tương ứng thỏa mãn (1.3) hoặc (1.4) trên các tiết diện của
ψλ , và với cùng các hằng số.
Nhớ lại Định lý 1.3 và giả sử E là ellipsoid với thể tích nhỏ nhất
tương ứng với Ω trong phát biểu đó. Có một biến đổi afin T sao cho

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

T (E) = B(0, 1). Khi đó
B(0, αn ) ⊂ T (Ω) ⊂ B(0, 1).

(2.3)

Ở đây B(x, t) là hình cầu tâm x, bán kính t. Tập T (Ω) sẽ được gọi là
sự chuẩn hóa của Ω, và T được gọi là một ánh xạ afin chuẩn hóa Ω.
Trọng tâm của T (Ω) là 0 và bằng cách sử dụng độ đo Lebesgue trong
(2.3), ta có
αnn ωn

1
1
≤ | det T | ≤ ωn .
|Ω|
|Ω|

(2.4)

Trong đó ωn là thể tích của hình cầu đơn vị trong Rn . Ta nói rằng tập
lồi Ω được chuẩn hóa khi trọng tâm của nó là 0 và B(0, αn ) ⊂ Ω ⊂
B(0, 1). Nếu S là một tiết diện của hàm số φ thì theo (2.2) bất kì một
chuẩn hóa nào của S cũng là một tiết diện tương ứng của hàm số ψλ .
Tiếp theo ta cần tới nguyên lý cực đại Aleksandrov, Định lý 1.2. Các
bổ đề sau cho ta các đánh giá về cỡ của độ dốc của các siêu phẳng giá
của một hàm lồi.
Bổ đề 2.1. Cho Ω ⊂ Rn là một tập bị chặn lồi mở và φ là một hàm lồi
trong Ω sao cho φ ≤ 0 trên ∂Ω. Nếu x ∈ Ω và (y) = φ(x) + p · (y − x)
là một siêu phẳng giá của φ tại điểm (x, φ(x)), thì
|p| ≤

−φ(x)
.
dist(x, ∂Ω)

(2.5)

Tổng quát hơn, nếu Ω ⊂ Ω thì
∂φ(Ω ) ⊂ B 0,

maxΩ (−φ)
.
dist(Ω , ∂Ω)

(2.6)

Chứng minh. Giả sử p = 0. Ta có φ(y) ≥ φ(x) + p · (y − x), với mọi
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

p
∈ Ω và
|p|
0 ≥ φ(y0 ) ≥ φ(x) + r|p|, vậy bổ đề được chứng minh.

y ∈ Ω. Nếu 0 < r < dist(x, ∂Ω), thì y0 = x + r

Nhận xét 2.1. Với φ ∈ C(Ω) lồi và không có giả thiết nào về dấu của
φ trên biên của Ω, áp dụng phép nhúng cuối cùng đối với φ(x)−maxΩ φ
ta có
∂φ(Ω ) ⊂ B 0,

maxΩ φ − minΩ φ
dist(Ω , ∂Ω)

(2.7)

Bổ đề 2.2. Cho Ω ⊂ Rn là một tập bị chặn lồi mở, φ là một hàm lồi
trong Ω, φ = 0 trên ∂Ω, và giả sử rằng độ đo Monge-Ampere µ liên
kết với φ thỏa mãn µ(Ω) < ∞. Với λ > 0, để λΩ là ảnh vị tự tỉ số λ
của Ω với tâm vị tự là trọng tâm của nó. Tồn tại một hằng số dương
cn chỉ phụ thuộc vào n sao cho
B 0,

| minΩ φ|
2 diam(Ω)

⊂ ∂φ(λΩ),

với λn ≤ λ ≤ 1,
1
| minΩ φ|
λn = 1 −
cn µ(Ω) 2 diam(Ω)

n

.

(2.8)

Chứng minh. Giả sử x0 là trọng tâm của Ω, và λΩ = {x0 + λ(x − x0 ) :
x ∈ Ω)}. Nếu x ∈ bdry(λΩ), thì x = x0 + λ(y − x0 ) với y ∈ bdry(Ω)
và vì thế dist(x, ∂Ω) ≤ |x − y| = (1 − λ)|y − x0 | ≤ (1 − λ) diam(Ω).
Do đó theo đánh giá Aleksandrov
|φ(x)|n ≤ cn (diam(Ω))n (1 − λ)µ(Ω),

(2.9)

với x ∈ bdry(λΩ). Đặt mλ = min φ(x), m = min φ, ta có m = φ(z0 )
bdry(λΩ)



với một số z0 ∈ Ω, và m < 0 nếu φ ≡ 0. Sử dụng đánh giá Aleksandrov
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

lần nữa ta có
(−m)n ≤ cn dist(z0 , ∂Ω) diam(Ω)n−1 µ(Ω) ≤ cn diam(Ω)n µ(Ω). (2.10)
Chọn 0 < λ < 1 sao cho
n

cn diam(Ω)

(1 − λ)µ(Ω) ≤

−m
2

n

.

Điều này có nghĩa là
1
| minΩ φ|
λ≥1−
cn diam(Ω)n µ(Ω)
2

n

:= λn ,

1
. Hơn nữa λn ≤ 1, trừ trường hợp
2n
m
nếu φ ≡ 0. Ngoài ra từ (2.9) ta có mλ ≥ , với mọi λn ≤ λ ≤ 1.
2
Bây giờ chúng ta đi chứng minh bao hàm thức mong muốn. Lấy trụ
và theo (2.10), Ta có λn ≥ 1 −

C trong Rn+1 trực giao với Rn đi qua tập bdry(λΩ). Đặt A = C ∩
{(x, φ(x)) : x ∈ Ω} và v là hàm lồi có đồ thị là hình nón với đỉnh
(z0 , φ(z0 )) và đi qua A. Ta có v = φ trên bdry(λΩ) và v(x) ≥ φ(x)
trong λΩ. Vì vậy theo Bổ đề 1.3, ∂v(λΩ) ⊂ ∂φ(λΩ). Ta khẳng định
mλ − m
rằng B 0,
⊂ ∂v(λΩ). Thật vậy, xét nón V trong Rn+1
diam(λΩ)
với đỉnh tại (z0 , φ(z0 )) và đáy trên λΩ × {mλ }, tức là, V có chiều cao
mλ − m. Nón V nằm dưới nón xác định bởi v trong λΩ. Vì vậy nếu
v là hàm mô tả V thì ta có v ≤ v trong λΩ. Khi đó ta có ∂v (λΩ) ⊂
∂v(λΩ). Để đánh giá cận dưới ∂v (λΩ) chúng ta xây dựng nón thứ ba
V với đỉnh tại (z0 , φ(z0 )) và đáy trên B(z0 , diam(λΩ)) × {mλ }. Gọi
v là hàm mô tả V . Ta có ∂v (λΩ) ⊂ ∂v (λΩ). Vì V là nón với đáy
mλ − m
tròn nên ta có ∂v (λΩ) = B 0,
và ta có khẳng định.
diam(λΩ)
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

−m
−m
và diam(λΩ) ≤ diam(Ω), do đó B 0,
2
2 diam(Ω)
∂v(λΩ) và bổ đề được chứng minh.

Vì mλ −m ≥



Mệnh đề 2.1. Cho Ω là một miền lồi trong Rn với trọng tâm bằng 0
và B(0, αn ) ⊂ Ω ⊂ B(0, 1), và φ là một hàm lồi trong Ω, φ = 0 trên
∂Ω. Gọi µ là độ đo Monge-Ampere liên kết với φ và giả sử tồn tại
hằng số C > 0 và 0 < α < 1 sao cho µ(Ω) ≤ Cµ(αΩ). Khi đó
C1 | min φ|n ≤ µ(Ω) ≤ C2 | min φ|n




với C1 là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào n, và C2 là hằng số
dương chỉ phụ thuộc vào C, α và n.
Chứng minh. Bất đẳng thức đầu tiên có trực tiếp từ Bổ đề 2.2 với
n
1
C 1 = ωn
. Ta đi chứng minh bất đẳng thức thứ hai.
2 diam(Ω)
Theo Bổ đề 2.2, ta có điều sau
∂φ(αΩ) ⊂ B 0,

maxαΩ −φ
dist(αΩ, ∂Ω)

Do đó
µ(αΩ) ≤ cn

maxαΩ −φ
dist(αΩ, ∂Ω)

n

.

Đầu tiên ta chứng tỏ rằng dist(αΩ, ∂Ω) ≥ αn (1 − α). Thật vậy, tồn tại
x ∈ bdry(αΩ) và x ∈ ∂Ω sao cho |x − x | = dist(αΩ, ∂Ω). Gọi z ∈ ∂Ω
là giao của ∂Ω với tia bắt đầu từ 0 và đi qua x, thì x = αz. Ta có
|x−z| ≥ |x−x |. Nếu |x−z| = |x−x | thì |x−z| = (1−α)|z| ≥ αn (1−α).
Nếu |x − z| > |x − x | thì hình cầu có tâm tại x, bán kính |x − z| chứa
π
điểm x và vì thế góc giữa các đoạn thẳng zx và zx nhỏ hơn . Giả sử
2
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

là một đường thẳng nối z và x . Bởi vì Ω là lồi, tập \zx không giao
với phần trong của Ω, đặc biệt, nếu y ∈ \zx thì |y| ≥ αn . Gọi

là tia

bắt đầu từ 0 và song song với đoạn thẳng xx và nằm trên mặt phẳng
chứa z, x và x . Gọi P là giao điểm của

và . Lúc này, khẳng định

được suy ra từ tính đồng dạng của tam giác với các đỉnh x, z, x và tam
|x − x |
|x − z|
giác với các đỉnh 0, z, P. Thật vậy, ta có
=
= 1 − α,
|P |
|z|
và vì |P | ≥ αn nên |x − x | ≥ αn (1 − α).
Do minαΩ φ ≥ minΩ φ, nên ta có bất đẳng thức thứ hai trong mệnh
Ccn
đề với C2 = n
.
αn (1 − α)n
Hệ quả 2.1. Cho φ là hàm lồi trong Ω với 0 < λ ≤ M φ ≤ Λ trong
Ω. Giả sử Sφ (x0 , p, t)

Ω. Khi đó C1 tn/2 ≤ |Sφ (x0 , p, t)| ≤ C2 tn/2 , với

C1 , C2 là các hằng số chỉ phụ thuộc vào λ, Λ và n.
Chứng minh. Giả sử K là một tập, x0 ∈ Rn , λ > 0 và T x = Ax + b
là afin. Nếu λK := {x0 + λ(x − x0 ) : x ∈ K}, thì T (λK) = λT (K) =
{T x0 + λ(T x − T x0 ) : x ∈ K}. Hơn nữa, |λK| = λn |K|
Gọi E là ellipsoid duy nhất có thể tích cực tiểu chứa Sφ (x0 , p, t) với
tâm tại trọng tâm của Sφ (x0 , p, t). Theo Định lý 1.3 ta có αn E ⊂
Sφ (x0 , p, t) ⊂ E, αn = n−3/2 . Nếu ellipsoid E được cho bởi {x :
2
n (xi − yi )
≤ 1}, thì biến đổi afin T cho bởi T x = A(x − y), với
i=1
a2i
1
A là ma trận có các giá trị trên đường chéo bằng , những giá trị còn
ai
lại bằng 0, thỏa mãn T (E) = B1 (0), và T (y) = 0.. Vì thế T (αn E) ⊂
T (Sφ (x0 , p, t)) ⊂ T (E), và do đó Bαn (0) ⊂ T (Sφ (x0 , p, t)) ⊂ B1 (0). Hệ
quả là
ωn αnn ≤ | det A||Sφ (x0 , p, t)| ≤ ωn
17

(2.11)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Mặt khác, theo (2.2)
T (Sφ (x0 , p, t)) = Sψ (T x0 , (A−1 )t p, t) = {y ∈ Rn : ψ(y) < (y) + t}
Trong đó ψ(x) = φ(T −1 x) và (y) = ψ(T x0 ) + (A−1 )t p · (y − T x0 ).
Ta sẽ áp dụng Mệnh đề 2.1 đối với h(y) = ψ(y) − (y) − t trên tập
Sψ (T x0 , (A−1 )t p, t) và để làm điều đó ta cần kiểm tra tính chất đúp
M h(Sψ (T x0 , (A−1 )t p, t)) ≤ CM h(αSψ (T x0 , (A−1 )t p, t))

(2.12)

với 0 < α < 1 và C > 0, ngoài ra h = 0 trên bdry(Sψ (T x0 , (A−1 )t p, t)).
Điều này có được từ định nghĩa của h và tiết diện ngang, vì T (Sφ (x0 , p, t))
T (Ω). Để chứng minh tính chất đúp, ta có ∂h = ∂ψ − (A−1 )t p, vì vậy
theo (2.1)
M h(T H) = |∂h(T H)| = |∂ψ(T H)| =

1
M φ(H)
| det A|

với mỗi tập Borel H ⊂ Ω. Vì thế với H = Sφ ta thu được
M h(T Sφ ) =

1
M φ(Sφ ).
| det A|

Vì αT (H) = T (αH), nên ta có
M h(αT (H)) = M h(T (αH)) =

1
M φ(αH)
| det A|

đối với mỗi tập Borel H ⊂ Ω và vì thế với H = Sφ ta được
M h(αT (Sφ )) =

1
M φ(αSφ ).
| det A|

18

(2.13)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

Vì thế (2.12) đúng khi và chỉ khi
M φ(Sφ ) ≤ CM φ(αSφ )

(2.14)

với một số 0 < α < 1 và C > 0. Điều này rõ ràng đúng nếu λ|Sφ | ≤
M φ(Sφ ) ≤ Λ|Sφ |, vì |αSφ | = αn |Sφ |. Do đó ta có thể áp dụng Mệnh
đề 2.1 thu được
C1 | min h|n ≤ M h(T Sφ ) ≤ C2 | min h|n .
T Sφ

T Sφ

Từ (2.11) và (2.13)) ta có
cn |Sφ |M φ(Sφ ) ≤ M h(T Sφ ) ≤ cn |Sφ |M φ(Sφ ),
và từ minT Sφ h = −t, ta được
C1 tn ≤ |Sφ |M φ(Sφ ) ≤ C2 tn .

(2.15)

ở đây các hằng số C1 và C2 chỉ phụ thuộc vào α, C và n. Nếu λ|Sφ | ≤
M φ(Sφ ) ≤ Λ|Sφ | thì (2.15) suy ra hệ quả.
Nhận xét 2.2. Từ chứng minh trên, ta thấy rằng chỉ với tính chất đúp
(2.14) ta có (2.15). Về phương diện vô cùng bé, (2.15) có ý nghĩa sau
đây. Giả sử φ là C 2 . Khi đó M φ(Sφ (x0 , p, t)) =

Sφ (x0 ,p,t) det D

2

φ(x)dx

và (2.15) suy ra
C1 tn ≤ |Sφ (x0 , p, t)|2

det D2 φ(x)dx ≤ C2 tn ,
Sφ (x0 ,p,t)

Trong đó các hằng số C1 , và C2 chỉ phụ thuộc vào α, C và n. (Vì φ là
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TẠ THỊ QUỲNH

trơn nên p = Dφ(x0 )).
Nếu Sφ là một cơ sở vi phân tốt, thì ta có

Sφ (x0 ,p,t) det D

2

φ(x)dx −→

det D2 φ(x0 ) khi t −→ 0. Do đó, với t đủ nhỏ ta có
C1 tn ≤ |Sφ (x0 , p, t)|2 det D2 φ(x0 ) ≤ C2 tn ,
tức là, về phương diện vô cùng bé, thể tích thỏa mãn
|Sφ (x0 , p, t)| ≈

1
tn/2 .
2
det D φ(x0 )

Nếu M φ chỉ là một độ đo Borel với M φ > 0, thì M φ = µ1 + µ2 với
µ1 liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue và µ2 kì dị. Khi đó µ1 có
1 n/2
mật độ f (x) > 0 và |Sφ (x0 , p, t)| ≈
t với t nhỏ và đối với hầu
f (x0 )
hết mọi x0 .

2.2
2.2.1

Tính chất của tiết diện
Độ đo Monge-Ampere thỏa mãn (1.3)

Mục đích của phần này là đưa ra các đặc trưng hình học của độ đo
Monge-Ampere thỏa mãn (1.3) và để so sánh (1.3) với (1.4). Chúng
ta bắt đầu với
Bổ đề 2.3. Cho 0 < λ < 1. Khi đó
λSφ (x0 , p, t) ⊂ Sφ x0 , p, 1 − (1 − λ)

αn
t .
2

Chứng minh. Giả sử T là biến đối afin chuẩn hóa Sφ (x0 , p, t). Ta
có T λSφ (x0 , p, t) = λT Sφ (x0 , p, t) , và nếu ψ(y) = φ(T −1 y), q =
20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×