Tải bản đầy đủ

TCC2 bài tập tổng hợp giải chi tiết

Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

PAGE: Love NeverDies
GROUP: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
ĐỀ BÀI: SƯU TẦM
HD GIẢI: LND9492
SĐT: 0986.960.312
FB: https://www.fb.com/LND9492

TOÁN CAO CẤP 2 - NEU

BÀI TẬP TỔNG HỢP
&
GIẢI CHI TIẾT

1
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492


Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

LỜI NÓI ĐẦU
Chào các em, mình họ Hoàng Bá, tên Mạnh (1994 –
chưa rõ)!
Đây là bộ bài tập tổng hợp mình biên soạn dựa trên
các câu hỏi từ đề giữa kì, đề cuối kì các khóa. Tài liệu
chia thành 5 chương chính theo nội dung chương trình
học toán 2 NEU, bài tập ở mỗi chương lại phân nhỏ ra
dạng bài để người dùng dễ dàng tiếp cận và nắm bắt
hơn.

Tất nhiên lời giải sẽ còn những chỗ sơ
sót, thay số sai,... nên khi gặp bất kì vấn
đề nào còn vướng mắc, chưa rõ, sai rõ
ràng thì mong các em thông cảm, bình
tĩnh gửi phản hồi về cho page Love
NeverDies nhé. Mình rất đỗi cảm ơn
và chắc chắn giải đáp tận tình, chu đáo!
Ôn tập chăm chỉ và thi tốt nhé các đồng
môn sự đệ, sư muội!

Sưu tầm & Biên soạn
LND9492
Manh163

2
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

Mục Lục

PHẦN I: ĐỀ BÀI................................................................................................................................... 5
Chương 1: Giới hạn và tính liên tục của hàm số ............................................................................... 5
1.1. Bài tập giới hạn ......................................................................................................................... 5
1.2. Bài tập về sự liên tục của hàm số .............................................................................................. 5
Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm số .............................................................................................. 6
2.1. Đạo hàm ................................................................................................................................... 6
2.1.1.

Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau ............................................................. 6

2.1.2.

Chứng minh hàm số sau liên tục nhưng không có đạo hàm tại x 0 .............................. 6

2.1.3.

Chứng minh các hàm số có hàm ngược và tính ............................................................. 6

2.1.4.

Tìm khoảng tăng giảm và cực trị (điểm cực trị) hàm số ................................................. 6

2.1.5.

Khai triển Taylor, Mac Laurin ........................................................................................ 6

2.1.6.

Ứng dụng phân tích kinh tế ............................................................................................. 6

2.2. Vi phân ...................................................................................................................................... 7
Chương 3: Hàm nhiều biến: Đạo hàm riêng – vi phân – cực trị ...................................................... 8
3.1. Đạo hàm riêng .......................................................................................................................... 8
3.2. Vi phân toàn phần .................................................................................................................... 8
3.3. Cực trị ....................................................................................................................................... 9
3.4. Ứng dụng phân tích kinh tế ..................................................................................................... 9
Chương 4: Tích phân .......................................................................................................................... 10
Chương 5: Phương trình vi phân ...................................................................................................... 11
PHẦN II: GIẢI CHI TIẾT ................................................................................................................ 12
Chương 1: Giới hạn và tính liên tục .................................................................................................. 12
1.1. Giới hạn .................................................................................................................................. 12
1.2. Tính liên tục............................................................................................................................ 16
Chương 2: Đạo hàm - vi phân – PT kinh tế...................................................................................... 18
2.1. Đạo hàm .................................................................................................................................... 18
2.1.1. Dùng định nghĩa.................................................................................................................. 18
2.1.2. Xét sự tồn tại đạo hàm tại điểm .......................................................................................... 20
2.1.3. Bài toán hàm ngược ............................................................................................................ 21
2.1.4. Tìm khoảng tăng giảm, cực trị (điểm cực trị) hàm số ........................................................ 22
2.1.5. Khai triển Tay-lor, Mac Laurin........................................................................................... 25
2.1.6. Ứng dụng phân tích kinh tế ................................................................................................ 27
2.3. Vi phân .................................................................................................................................... 29
Chương 3: Hàm nhiều biến: đạo hàm_vi phân_cực trị_PT kinh tế............................................... 30


3.1. Đạo hàm riêng........................................................................................................................... 30
Dạng 1 .......................................................................................................................................... 30
Dạng 2 .......................................................................................................................................... 30
3
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

3.2. Vi phân toàn phần .................................................................................................................... 32
3.3. Cực trị ........................................................................................................................................ 34
3.4. Ứng dụng phân tích kinh tế...................................................................................................... 38
Chương 4: Tích phân .......................................................................................................................... 43
4.1. Phân thức .................................................................................................................................. 43
4.2. Lượng giác ................................................................................................................................ 43
4.3. Căn thức .................................................................................................................................... 43
4.4. Từng phần ................................................................................................................................. 44
4.5. Tích phân suy rộng ................................................................................................................... 45
Chương 5: Phương trình vi phân ...................................................................................................... 47
5.1. Phân ly biến............................................................................................................................... 47
5.2. Đưa về phân ly biến .................................................................................................................. 48
5.3. Phương trình vi phân toàn phần.............................................................................................. 50
5.4. Thừa số tích phân ..................................................................................................................... 51
5.5. Phương trình tuyến tính tổng quát .......................................................................................... 54
5.6. Phương trình Bernoulli ............................................................................................................ 57

4
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

PHẦN I: ĐỀ BÀI
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
1.1.

Bài tập giới hạn

Thay
VCB
tương
đương

L1 = lim

(

sin 2x 2 − 4x − 6

L 4 = lim
x →3

(

ln x 3 − 26

x →3

ln ( cos3x )

(

)

)

1− x 2
ln (1 − x )

L 2 = lim
x →0

L 5 = lim

)

ln 1 + tan x
2

x

arcsin

(

(

tan 4 − x

2

)

)

L 6 = lim

ln (1 + x tan x )
x 2 + sin 3 x

x →0

1 1

− cot 3x 

x  3x


L 9 = lim

( )

sin x 2 − x 2
x 5 sin x

x →0

1 

Ứng
L11 lim− sin (π x ) ln ( 3 − x ) 
L10 lim  cot 2 x=
=
− 2
x →3
x →0
x


dụng
1− cos3x
đạo
hàm
∫0 sin t dt
ln (1 + tan 3x ) − 3x 2
L13 = lim+ x 2
L14 = lim −2 x
x →0
x →0 e
− 1 + tan ( −2x )
∫ ln ( cos 2t ) dt

3x − 5 3 2 + 8x 3

L12 = lim

x + 1 − x + 3x 2

x →−∞
x

∫ ln ( 2 − cos t ) dt
2

L15 = lim

0

∫ (e
0

x →0

(

x x + 1 − cos x
=
L17 lim sin x + 1 − sin x
x →+∞
x →+∞
x 3 − 4x + 8

L16 = lim

(

=
L19 lim 2x 2 + 2 2
Lũy
x →+∞
thừa
2x

L 22 = lim ( tan 3x )

)
3

1
x

(

=
L 20 lim e 3x − cos x
x →+∞

−x

(

L 23 lim x + cos3x
=

x →0 +

x →0

2

)
)

t2

)

− 1 dt

x

0

Kẹp

sin x

x3

x →0

sin 3x 2 − 2x − 8

x →2

L 7 lim+  ln x . ln (1 + x=
=
) L 8 lim
x →0
x →0

L 3 = lim

1 − ( cos x )

)

5
x

3x − sin 5x
x →+∞
e 2x

L18 = lim

3

L 21 = lim ( x cot x ) x 2
x →0

1

(

=
L 24 lim x + 3

sin 2 x

x →+∞

x

)

7
x

)

(

Nhân
3
1 − 5x sin 2 x − 1
4x + 1
L 25 lim x 2 − 2x + x
L 26 = lim
liên =
=
L 27 lim ( 2x + 1)
x →−∞
x →0 tan ( −x ) ln ( cos3x )
x →−∞
x3 +x
hợp
1.2.
Bài tập về sự liên tục của hàm số

π

4
;x ≠ 1
 1 − x cos
(1) f ( x ) = 
x −1

0
;x = 1

3
3
;x ≠ 1
 1 − x sin
(3) y = 
x −1

0
;x = 1



2

(2) f ( x ) =  1 + sin x

e3


1

 1 + 4x 2 1−cos2 x ; x ≠ 0
(5) y = 

a
;x =0


x

2
;x ≠ 2
 4 − x sin
(6) y = 
x −2

;x = 2
a


(

)

(

(4) f ( x ) =

)

2
x2

;x ≠ 0
;x =0

x +2
1

1 + e 2 −x

(

(
)
Tìm a
để
hàm số
1
6
5
liên
;x ≠3
 ( x − 3) arctan
(7)
f (x ) = 
x −3
tục

a
;x =3


)

5
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ
2.1.Đạo hàm
2.1.1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau

(

)

(

)

a, y = f ( x )= 2 x + 1 − x − 2

b, y =
x − 1 sin 2 x 2 + 1

c, f (x ) =
x − 4 ln 3 5x 2 + 9

1
5
4
; x ≠ −1
 ( x + 1) cos
d,y = 
x +1

0
; x = −1

1
6
5
;x ≠ 2
 ( x − 2 ) arctan
e, y = 
2−x

0
;x = 2

1
2
3
;x ≠ 3
 ( x − 3) sin
f, y = 
3−x

0
;x = 3


2.1.2. Chứng minh hàm số sau liên tục nhưng không có đạo hàm tại x 0

a)

x

f (x) =

x −1 +1

, x0 =1

3

arctan x ; x ≠ 0
c , f (x ) = 
π

;x = 0

2

3
b) y =
x − 1 arctan ( x − 1) , x0 = 1

2.1.3. Chứng minh các hàm số có hàm ngược và tính
a, y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2
TÝnh f

−1

(2)

TÝnh f

−1

(π )

TÝnh f




1 2x − x 3
d,y =
f ( x ) =−

3x − 3cos  x +
e, y =
f (x ) =

( )′ ( 4 )
−1

TÝnh f

c=
, y f (=
x ) 2x 2 + ln x

b,=
y f ( x=
) 2x − cos x ;
π

6

(2)

f , y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 3x + 1

( )′ ( 2 )

TÝnh f

( )′ (π )

TÝnh f

−1

−1

−1

2.1.4. Tìm khoảng tăng giảm và cực trị (điểm cực trị) hàm số
3
(1) y =
2 − 3x 2 . 3 ( 5 + x )

x

e x ∫ e t t − 1dt
(3) f ( x ) =−

(2)
f ( x ) e −3x ( 4x + 1)
=

2

2

 3x − 2 x

=
1 + 2t 2 dt 
(4) y  ∫
 1



2

4

x2
 πx
x2 
x π
x
(5) y
arctan −  + ( 2 − x ) arctan + ln  + 1  +
=
−x

2 
2 4
2
 4
 4

8

3− x
 x −2

(7) y = ∫ 3 1 + t 2 dt + 3 2x
(6) y  ∫ e t 3 2t 2 + 3dt 
=
0
 0

x
π
−2 x 2 − 2 arccos + x 4 − x 2 − x 2
(8) y =
2
3

(

)

2.1.5. Khai triển Taylor, Mac Laurin

x ) ln (1 + x )
(2) f (=

(1) y e 2 x 3x + 1 Mac Laurin cấp 3
=

(

)

x +1

Mac Laurin cấp 4

(3) f ( x=
) ln x 2 − 5x + 6 Mac Laurin cấp 4

(4) y= 4xe x + x 2 + 3 , Taylor bậc 3 tại x = 0

(5)
=
y x 3x + 1 , Mac Laurin bậc 5

(6) f ( x ) =

(7) y =
( x + 1) arcsin ( x + 1) , Taylor bậc 5 tại −1

(8) y =
( x − 1) arctan ( x − 1) ,Taylor bậc 5 tại 1
3

3

(9) y =

3x − 1
, Taylor bâc 3 tại −1
x + 5x + 6
2

x

e −6 x
, Mac Laurin cấp 2
x 2 + 15x + 26

(10) y = ∫ e sin x dx , Mac Laurin cấp 4
0

2.1.6. Ứng dụng phân tích kinh tế
6
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

D
100 − 2 p . Tính hệ số co giãn của cầu
1) Một doanh nghiệp độc quyền đứng trước đường cầu Q=
theo giá tại mức giá p = 10 và nêu ý nghĩa.
2) Hàm cầu và hàm cung của người tiêu dùng đối với một loại sản phẩm lần lượt là
54 3 p ;Q s =
2 p 2 + 10 . Tính hệ số co dãn của hàm cung và hàm cầu tại mức giá cân bằng và
Qd =−
giải thích ý nghĩa.
1
TR 200Q − Q 2 . Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại
3) Một công ty độc quyền có hàm doanh thu=
6
p
=
50
và giải thích ý nghĩa.
mức giá

5Q 2
, Q là sản lượng. Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 17
Q +3
và giải thích ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.

4) Biết hàm tổng chi phí=
TC 5000 +

2

5) Ước lượng hàm sản suất của một công ty có dạng
=
Q 90L 3 ( L > 0 ) .Cho biết giá sản phẩm bằng 3, giá
thuê 1 đơn vị lao động bằng 2 và chi phí cố định 100 000. Xác định mức sử dụng lao động L để công
ty tối đa lợi nhuận
= 300 − Q và hàm tổng chi phí
6) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biến MR

TC
= 2Q 2 + 30 . Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp tối đa lợi nhuận.
7) Hàm cầu đối sản phẩm của một nhà độc quyền là Q= 80 − 0,2 p . Hàm chi phí biên của nhà sản suất tại
mỗi mức sản lượng MC = 3Q 2 − 20Q + 200 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá mà doanh
nghiệp tối da lợi nhuận và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.
=
p 1400 − 4Q :
8) Hàm cầu thị trường đối với sản phẩm của một hãng độc quyền có dạng
a. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại p = 80 và nếu ý nghĩa
b. Biết hàm chi phí sản xuất của hãng là TC =Q 3 − 7Q 2 + 80Q + 844 , hãy xác định mức sản lượng tối
đa lợi nhuận
2.2.Vi phân
(1) Viết biểu thức vi phân của các hàm số sau:
( x − 1) 3x + 2
2x + 1 

b , y = ln
c , y = ln  tan
=
a, y e 2 x 2x + 1
3
4 

(x − 2)

(

)

(2) Cho hàm số f (=
x ) 3x 4 + 4x 3 . Tính df (1) trong các trường hợp

a, ∆x =
1

b , ∆x =
0,2

c , ∆x =
0,05

7
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN: ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN – CỰC TRỊ
3.1.Đạo hàm riêng
 3y
(2)w =
x2 +y2 f 
x −y
−1
(3) Cho f ( x ) khả vi tại mọi x và f ( −1=
) 1; f ′′ ( −1=) 0 . Xét hàm số

) (

(

x 2 + 2y 2 f x 2 − y 2
(1)w =

(

)

(

)

)

w =
( 2x + 3y ) f x 2 − y 2 . Hãy tính đạo hàm riêng cấp 2:

Dạng
1
2
(4)w e −3x y ( 5zx 3 + 2 y 2 x ) . Tính w ( −1;2;0 )
=
(6) Cho f (u ;v )


2  x 
−x g 


 4y 

∂ 2w
( 0; −1)
∂x ∂y

x
y 
∂u
∂u
(5) u = f  ;tan  cmr: x
+y
=
0
x 
∂x
∂y
y
thỏa mãn f (1;0 ) = f u′ (1;0 ) = 2; f v′ (1;0 ) = −1 và

y
y −x 
w = x y .f  ;sin
 . Tính: w x′ ( 2;2 )
2x + y 
x
1 3
(2) f ( x=
; y ) y 2 3 3 − x . Tính f x′ ( 2;1)
x;y )
y − 2 . Tính f y′ (1;3)
(1) f (=
2
x
2y −1

2
; ( x ; y ) ∈ 2 : x ≠ 0
x y + 2 arctan
x
(3) w = 
. Tính f x′ ( 0;3) ; f y′ ( 0;3)
2

0
; (x ; y ) ∈  ;x =
0


(

 x 3 + xy − y 3 2
;x + y 2 ≠ 0

Dạng (4) f ( x ; y ) =  x 2 + y 2

2
0
; x= y= 0


)

 xy 2x 2 − y 2

;x 2 + y 2 ≠ 0
(5) f ( x ) =  x 2 + y 2

0
; x= y= 0

Tính f xy′′ ( 0;0 )

Tính f x′ ( 0;0 ) , f y′ ( 0;0 )

 x 3 + xy − y 3
;x 2 + y 2 ≠ 0

(6) f ( x ; y ) =  x 2 + y 2

0
; x= y= 0


 x 2 + 2y 3
;x 2 + y 2 ≠ 0

(7) f ( x ; y ) =  2 y 2 + 3x 2

0
; x= y= 0

Tính f xy′′ ( x ; y )

Tính f x′ ( x ; y )

3.2.Vi phân toàn phần
Viết biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số sau
1)
=
z

( 5x

2

+7

)

−3x + 2 y

2)=
w

(y

2

+ 3arc cot x

)

y

 5x 2 + 5z 3 
3)w = 

4
 2y


sin y

x
z
x
4) z = z ( x ; y ) xác định bởi= ln + 1
5) z = z ( x ; y ) xác định=
bởi z e y sin + 2 y
z
y
z
2
2
6) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của F ( x ; y ) =4 + 3 y − 8x + 4x + y

7) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của z = z ( x ; y ) xác định bởi x 2 + y 2 + z 2 − x + y − 4 z −

8
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312

9
=
0
2


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

3.3.Cực trị
Cực trị tự do
a, u = 3x 2 + 4 y 2 + 5z 2 − 4xz + 6x + 8 y − 15

b, w =
−3x 2 − 3 y 2 − 11z 2 + 6xz − 12x + 12 y + 20z − 1

d, u =
−x 2 − 4 y 2 − 9z 2 − 4 yz + 6x + 8z + 5
c, w = 4x 2 + 2 y 2 + 5z 2 − 4xy + 12 y − 15z + 4
1
1
f , z = y 4 − 12xy + 6x 2 + 11
e , z = y 4 − 8xy + 4x 2 + 13
8
3
=
g , z z ( x ; y ) ( z ≥ 1) xác định bởi:
=
h , z z ( x ; y ) ( z > 1) xác định bởi phương trình:
x 2 + 3 y 2 + z 3 − 2x − 12 y − 15z + 27 =
0

x 2 + 3 y 2 + z 3 − 2x − 12 y − 2 z + 14 =
0
Cực trị kèm điều kiện
656
1) w = x 0,5 y 0,3 điều kiện 5x + 2 y =
1 1
1
1 1
3) z=
+ điều kiện 2 + 2 =
x
y
9
x y

280
2) w = x 0,8 y 0,6 điều kiện 8x + 5 y =

3.4.Ứng dụng phân tích kinh tế

Hàm
sản
xuất

1. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 8 3 K L .
a. Đánh giá hiệu quả theo quy mô của doanh nghiệp
b. Hãy tính sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản và lao động tại mức
=
=
L 16;
K 8 và
giải thích ý nghĩa.
2

1

2. Cho hàm sản xuất Q = 65K 3 L 3
a. Tính sản phẩm hiện vật cận biên theo vốn và lao động tại mức K = 64, L = 125 và
cho biết ý nghĩa kinh tế.
b. b. Nếu giá một đơn vị tư bản K là 16$ và giá một đơn vị lao động L là 7$ và doanh
nghiệp sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức k = 64, L = 125 thì doanh nghiệp nên sử
dụng thêm một đơn vị tư bản hay một đơn vị lao động mỗi ngày? Vì sao?
1. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là:TC = 7Q12 + 2Q 22 + 5Q1Q 2

=
p 2 45 . Hãy các định các mức sản lượng cho
Biết giá các sản phẩm tương ứng =
là p1 65,
lợi nhuận tối đa.
2. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí:
TC = Q12 + 2Q1Q 2 + Q 22 + 40

Cực
trị
tự do

35 − 0,5 p1 ; Q 2 =
40 − p 2 . Hãy
Cầu của thị trường đối với xác sản phẩm như sau Q1 =
chọn mức sản lượng kết hợp và giá bán cho lợi nhuận tối đa. Tại điểm tối đa hóa lợi
nhuận, nếu giả sản phẩm 1 tăng 3% thì cầu sản phẩm đó thay đổi như thế nào?
3. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hoạp 3 loại sản phẩm với hàm tổng
3
chi phí kết hợpTC = Q12 + 2Q 22 + Q 32 + Q1Q 3 + 2Q 2Q 3 . Hãy chọn kết hợp sản lượng cho
2
=
p 2 28$;
=
p 3 26$ .
lợi nhuận tối đa khi giá các sản phẩm=
là p1 20$;
4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường khác nhau
(Được phép phân biệt giá). Cho biết hàm chi phí cận biên:
MC =
3,5 + 0,1Q ; (Q =
Q1 + Q 2 )
24 − 0,3Q1 và p=
18 − 0,15Q 2 .
Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm: p=
1
2
Xác định giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa

9
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

1. Cho hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu dùng 2 loại hàng hoá U = 10x 0,6 y 0,4 trong đó x
là lượng hàng hoá thứ nhất, y là lượng hàng hoá thứ 2. Trong điều kiện giá của hàng hoá
thứ nhất là 10$, giá của hàng hoá thứ 2 là 3$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 3000$.
Hãy xác định cơ cấu tiêu dùng tối đa hoá lợi ích và xác định mức lợi ích tối ưu tăng thêm
khi lượng tiền dành cho tiêu dùng tăng 1$ (và khi tăng 1%).
2

Cực
trị
điều
kiện

1

2. Cho hàm lợi ích U = 20x 3 y 3 với x,y lần lượt là lượng cầu của hàng hóa 1 và 2. Biết giá
mỗi đơn vi ḥ àng hóa lần lượt là $8 và $4. Hãy tìm lượng cần x,y để người tiêu dùng tối
thiểu hóa chi tiêu của mình với lợi ích không đổi là 400.
3. Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q = 120K 0,7 L0,4 . Sử dụng phương pháp nhân
tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp phải
bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q 0 = 4000 đơn vị sản phẩm. Cho biết giá thuê tư bản

=
; w L 14 .
và lao động lần lượt=
là w K 16
4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 20K 0,4 L0,4 . Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là
$10, giá thuê một đơn vị lao động là $8 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách
cố định là $320. Tìm mức sử dụng lao động và tư bản để doanh nghiệp có sản lượng cực
đại. Khi ngân sách sản xuất tăng 3% thì sản lượng cực đại thay đổi như thế nào?
CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN
4.1.
Phân
thức
4.2.
Lượng
giác
4.3.
Căn thức

dx
1)∫ 2
4x − 5x + 1
1)∫
1)∫

dx
cos3 x

2)∫

dx

2 1 + 6x (1 + 3x )

1

4.5.
Suy rộng
Tính và
cho biết
các tích
phân sau
hội tụ hay
phân kì

xdx
x + 5x 2 + 6
0

3)∫

dx
cos4 x

3)∫
−1

dx

2)∫

x 2 − 4x + 5

d ,∫

e, ∫

ln ( 2x + 5)
x2

3

1)∫
1

dx

dx
x 4x − 5x + 1

0

2

x
3

4) ∫ x 2e dx
−∞
0

7) ∫ e −2 x cos 2xdx
−∞

arctan x
dx
x2

+∞

xdx
2) ∫
4
4x − 20x 2 + 26
−∞
+∞

5) ∫
0

dx

4 x + 1 (2 + x )

+∞

8) ∫ ( 3x + 2 ) sin 5xdx
0

6)∫

dx
2 sin x + cos x + 3

−x 2 − 4x + 5
dx

−2

a, ∫ ( 7x − 1) e 3x +1dx

5)∫

4

dx

3) ∫

2x + 4 − x 2
dx
x2
b , ∫ ( 3x − 1) cos ( −3x ) dx

4)∫ x 3 1 + x 2 dx
0

4.4.
Từng phần

1

dx
2)∫
−5 + 4x − x 2

x 4x 4 − 1

c , ∫ e −3x sin 2xdx

1  x

f ,∫4 x +
 e dx
x x 

+∞

3) ∫
2

dx
x + 3x 2 − 4
4

+∞

6) ∫ e − x cos 2xdx
0

+∞

9) ∫
1

ln ( 5x − 2 )
x2

dx

10
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5.1. Phân ly biến (tách biến)
xy ′
−1
1)
=
y
2x + 3
5.2. Đưa về phân ly biến
=
a, y ′ sin ( 2x − y )
dy 2x − y
=
dx x + 2 y
g , ( 3x + y ) dx − ( x + 2 y ) dy =
0

d,

3,

)

3) x 2 − 3x + 2 y ′ + 2 y = y ( x + 1)

b=
,y ′

c , ( −2x + 6 y + 3) dx − ( x − 3 y + 1) dy =
0

e,

4x + 2 y

dy
2
= ( 8x + 2 y + 1)
dx

(

)

f , x 2 − 6xy y ′ + 3 y 2 = 5x 2 + 2xy

h , ( 4 y − 6x + 3) dx − ( 3x − 2 y + 4 ) dy =
0

5.3. Phương trình vi phân toàn phần
 2

x3
2
2
1, xy − x y + 2 dx +  x y − + y 2 + 5  dy =
0
3



(

(

2) y ′ − 3x 2 y =
4x 2 y 3

)

2x
y 2 − 3x 2
dx
+
dy =
0
y3
y4



1 
2x 
2,  2xy − 2  dx +  x 2 + 3  dy =
0
y 
y 



(

)

y 1;=
x 0
4, 2xydx + x 2 − y 2 dy =
0 thỏa =

5,  y + 2 ( x + y ) ln ( x + y )  dx + x + 2 ( x + y ) ln ( x + y )  dy =
0
5.4. Thừa số tích phân


y2
2, ( 3x + 1) y ′ =4x + 5 y
1, ydx= x + y 2 dy
+ 3x 3  dx − ( xy + y ) dy =
3,  2x +
0
2


dy 1 + xy
6, y 2 cos xydx + [ y + xy cos xy ]dy =
0
4, 2xydx − y + x 2 dy =
0
=
5,
dx
x +1
5.5. Phương trình tuyến tính
dy
y
3) x
+ ( 2 − x ) y = x + x 2 e −x
1) y ′ −
= x 2 + x − 2 ln 3x
x 2e x
2) xy ′ − y =
dx
x −1
1
(2 − x )
4) y ′ − y= 4 x +
6) x 2 − 3x + 2 y ′ + 2 y = y ( x + 1)
5) y ′ − y = 3 e x
x x
x
2x + 6
dy 1 + xy
7) ( 3x + 1) y ′ =4x + 5 y
9) y ′ − 2
2x + 7
y =
8)
=
x + 6x + 13
dx
x +1
5.6. Phương trình Bernoulli
2 y y 5 ln x
1) y . y ′ − 7xy 2 =
2x
3) y ′ − 3x 2 y =
4x 2 y 3
2) y ′ +
=
x
x
4) y ′ − y 2e x + 2 y =
0
5) 3 y 2 y ′ + y 3 + x =
0
dy
6) 3 y 2 − x 2 dx − ( y − 6 xy ) dy =
0
7)
− 4 y tan 2 x ( 4 + cos 2 x )
dx

(

)

(

)

(

(

)

(

(

)

)

)

11
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

PHẦN II: GIẢI CHI TIẾT
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC
1.1.GIỚI HẠN
L1

(

)

(

)

sin 2x 2 − 4x − 6
sin 2x 2 − 4x − 6

2x 2 − 4x − 6  dïng sin x ~ x
lim
lim
lim
=
=


3
x →3
x →3
ln (1 + x ) ~ x 
ln x 3 − 26
ln 1 + x 3 − 27  x →3 x − 27 
3)( 2x + 2 )
( x −=
2x + 2
8
lim
lim
=
x →3 x − 3 x 2 + 3x + 9
x →3 x 2 + 3x + 9
27
(
)

(

)

(

)

)

x

arcsin

(

x

1 − x 2 = lim 1 − x 2  dïng arcsin x ~ x  = lim −1 = −1


x →0
ln (1 + x ) ~ x  x →0 1 − x 2
−x
ln (1 − x )


L 2 = lim
x →0

)

(

sin x
− e sin x ln cos x − 1
1 − ( cos x )
− sin x ln cos x
1 − e sin x .ln cos x
=
=
=
L 3 lim
lim
lim
lim
dïng e x − 1 ~ x
3
3
3
3



x →0
x
x
x
0
0
0
x
x
x
x
− sin x ln 1 + ( cos x − 1) 
−x ( cos x − 1)
1 − cos x ( L )
sin x 1
x
= lim
= lim
= lim
=
dïng e − 1 ~ x= lim
3
3
2



x →0
x
x
x
0
0
0
x
x
x
2x
2

)

(

(

)

ln 1 + ( cos3x − 1) 
cos3x − 1
cos3x − 1
lim
lim
tan x ~ x )
=
=
( dïng=
2
2
x →0
x →0
x →0
tan x
x2
ln 1 + tan x

L 4 lim
=
(L )

(

)

9
−3sin 3x ( L )
−9 cos3x
= lim
= −
x →0
x →0
2x
2
2

= lim

(

)

sin 3x 2 − 2x − 8
( x − 2=
)( 3x + 4 ) lim
3x 2 − 2x − 8  dïng tan x ~ x 
3x + 4 −5
lim
lim
L 5 lim
=
=
=
=


2
2
2
2
2
x →2
x
x
x



4−x
sin x ~ x 
− ( x − 2 )( x + 2 )
−x − 2 2
tan 4 − x


L6

(

)

x tan x
x2
1
1
=
+
=
=
x
x
dïng
ln
1
~
lim
tan x ~ x ) lim =
1
(
(
)
(
)
2
2
3
2
3
x →0 x + sin x
x →0 x + sin x
x →0
1+ 0
 sin x 
1+ 
 sin x
 x 

lim

1
1
1
−2 ln x
2
2
(L )
(L )
ln (1 + x ) ( L )

x
x
ln
2
ln
x
= lim+ x + 1 = lim+
= lim+
= lim+
= lim+ x = lim+ ( −2x ) = 0
L 7 = lim+
x →0
x →0
x →0
x →0
x →0
x →0
1
1
1
1
1
1 x →0

− 2
− 2
1+
2
x ln x
x
x
x
x
ln x
1 1
1
L 8= lim 

x →0 x
 3x tan 3x

tan 3x − 3x
tan 3x − 3x

= lim
= lim
2
x →0
9x 3
 x →0 3x tan 3x

( dïng tan x

(L )

~ x )= lim
x →0

(

)

3 1 + tan 2 3x − 3
27x

2

2

 tan 3x 
= lim
=
 3x  1
x →0



L 9 = lim
x →0

( )

sin x 2 − x 2
x6

( dïng sin x

~ x ) = lim+
t →0

(L )
sin t − t
cos t − 1 ( L )
1
− sin t
2
®Æt
lim
t
=
x
=
= lim+
= −
3
2
+
t →0
t →0
3t
6t
6
t

(

)

12
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

x 2 − tan 2 x
x 2 − tan 2 x
x − tan x x + tan x
1 
 1
=
=
L10 lim  2 −=
lim
lim
~ x ) lim
.
( dïng tan x =
2 
2
2
4



x →0 tan x
x
x
x
0
0
0
x 
x tan x
x
x3
x


(

)

(

)

1 + 1 + tan 2 x
x + tan x ( L )
L10−1 lim
=
= lim = 2
x →0
x →0
x
1
2
1 − 1 + tan 2 x
x − tan x ( L )
1
1
 tan x 
L10−2 = lim
= −
= lim
= − lim 

3
2
x →0
x →0
x
3x
3 x →0  x 
3
2
 1
L10−1.L10−2 =
2−  =
⇒ L10 =

3
 3
−1
ln ( 3 − x ) ( L )
sin 2 π x
1
3−x
=
=
=
L11 lim
lim
lim
.



x →3
x →3
π cos π x x →3 3 − x π cos π x
1

sin π x
sin 2 π x
−1
sin 2 π x ( L )
2π cos π x .sin π x
1
= lim−
= 0 ; L11−2 = lim−
= ⇒ L11 = L11−1.L11−2 = 0
L11−1 = lim−
x →3
x →3
x →3 π cos π x
−1
π
3−x
3
2
3x − 5 3 2 + 8x 3
2 + 8x 3
3 − 53 8 + 3
3−5
3 − 5.2
7+7 3
x
x
x
L12 = lim
= lim
= lim
=
= −
2
2
x →−∞
x →−∞
x →−∞
2
1 1
1− 3
1 − x + 3x
x + 1 − x + 3x
1− 3 − + 2
1−
x x
x
−x

L13

3sin 3x sin (1 − cos3x )
( 3sin 3x ) sin (1 − cos3x )
3 ( 3x ) 1 − cos 2x  dïng sin x ~ x 
=
lim=
lim
lim


+
+
+
2
2
x →0
x →0
2x ln 1 + cos 2x 2 − 1  x →0 2x cos 2x − 1  ln (1 + x ) ~ x 
( 2x ) . ln cos 2x

(L )

(

)

(

(

)

)

x 2
9
1 − cos 2x 9
2 sin 2 x
9
2x 2
9
9 2
1
=
=
=

=

lim+
lim
lim
lim
lim
=

= −∞
2
4
4
2 x →0 cos 2x − 1 2 x →0+ −2 sin 2 x 2
4 x →0+ x
4 x →0 + x
4 x →0 + x 3

( )

(

3 1 + tan 2 3x

(L )

L14 = lim
x →0

−2e

−2 x

) − 6x

3
1 + tan
= −
2
4
− 2 1 + tan ( −2x ) 
3x

x

∫ ln ( 2 − cos t ) dt (
2

L15

(

)

(

)

ln 2 − cos2 x
ln 1 + sin 2 x
sin 2 x
lim =
lim
lim
lim
=
=
x
x2
x2
x →0
x →0
x →0
x →0 − x 2
1
1
e
e




t2
− ∫ e − 1 dt
0

0

(

L)

)

(

)

(

)

(

2

 sin x 
=
− lim 
−1
 =
x →0
 x 


 x x +1

x3 + x2
cos x
cos x

=

L=
lim
lim




16
3
 x →+∞  x − 4 x + 8
3
3
3
x →+∞ 


+

+

+
x
x
x
x
x
x
4
8
4
8
4
8




=
L16 −1 lim

x →+∞

1
1+
x3 + x2
x
= lim
=
x 3 − 4 x + 8 x →+∞ 1 − 4 + 8
x2 x3

1+ 0
= 1
1− 0 + 0

13
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

)

 dïng e x − 1 ~ x 



ln (1 + x ) ~ x 


Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toỏn cao cp Ti liu NEU
TCC2 - Bi tp tng hp & Gii chi tit

cos x
1
1
=
=
=
L16 2 =
lim
0 vì cos x 1 và lim
lim
0
x +
x +
4 8
x3 4x + 8
x 2 4 x + 8 x + 3
x 1 2 + 3
x
x
L16 = L16 1 L16 2 =1 0 =1

L17 lim
=

x +

(

)

x + 1 =
x
lim 2 cos
x +

x +1 + x
x +1 x
sin
= 0 ( Theo định lý kẹp )
2
2

1
x +1 + x
x +1 x
lim sin
sin 0 =
0
1 và lim sin
=
=
x +
x +
2
2
2 x +1 + x

Vì cos

(

)

3 x sin 5 x
3 x sin 5 x
lim 2 x 2 x ;
=
x
2
x +
x + e
e
e

L)
(
3x
3
sin 5 x
1
lim
lim
0; L182 =
lim
0 do sin 5 x 1 và lim 2 x =
0 ( Theo định lý kẹp )
L181 =
=
=
=
x + e 2 x
x + 2e 2 x
x + e 2 x
x + e
L18 = L181 L182 = 0

L18 lim
=

(

L19 = lim 2 x + 2
x +

2

2

)

1
x

(

: đặt y = 2 x + 2
2

x

)

1
x

(

ln 2 x 2 + 2 x

ln y =

)

x

4 x + 2 ln x
ln 2 x 2 + 2 x ( L )
4 x + 2 x ln 2 ( L )
4 + 2 x ln 2 2
2x2 + 2x
lim ln y lim
lim
lim
=
= lim
=
=
x +
x +
x +
x + 2 x 2 + 2 x
x + 4 x + 2 x ln 2
1
x
( L)
2 x ln 3 2 ( L )
2 x ln 4 2
lim
lim ln 2 = ln 2
= lim =
=
x + 4 + 2 x ln 2 2
x + 2 2 ln 3 2
x +

(

(

lim 2 x 2 + 2 x
x +

(

L20 = lim e cos x
x +

3x

)

)

)

x

1
x

=lim y =e ln 2 =2
x +

5
x

(

: đặt y = e cos x
3x

)

5
x

ln y =

(

5ln e3 x cos x

)

x

3e + sin x
1
3 + 3 x sin x
3x
5ln e3 x cos x ( L )
3x
+
e
x
3
sin
e
=
lim ln y lim = 5.=
lim e cos x 5=
lim 3 x
5 lim
+
+
+
x +
x +
x
x
x
1
x
e cos x
1
1 3 x cos x
e
sin x
cos x
3+0
1
=
lim 3 x =
lim 2 x =
0 lim ln y =
5.
15
Do lim 3 x= 0 và sin x 1; cos x 1 L201 =
x + e
x + e
x +
x + e
1 0

(

(

lim e cos x
x +

3x

)

)

5
x

3x

=lim y =e15
x +

x
3ln

x
x
tan x
L21 lim ( x=
y
y
=
=

cot x ) x 2 lim
:
đặt
=
ln

tan x
x 0
x 0 tan x
x2




x
x tan x
x tan x
3ln
3ln 1 +
3


tan x
tan x lim

tan x ( dùng ln (1 + x ) ~ x )
=
=
=
lim ln y lim
lim
2
2
x 0
x 0
x
x


0
0
x
x
x2
2
( L)
3 1 1 + tan 2 x
3 ( x tan x )
3 ( x tan x )
tan x
= lim
=
lim
dùng
tan
x
~
x
lim
3lim
=
=

3
(
) x 0
x =
x 0
x 0
x 0
x 2 tan x
x3
3x 2


L21 = lim y= e 3
3

3

3

x2

x2

(

)

x 0

14
Thc mc liờn h: https://www.fb.com/LND9492

Hong Bỏ Mnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

L22 = lim+ ( tan 3 x )

2 x3 − x

x →0

( tan 3x )

: ®Æt y =

(

2 x3 − x

(2x

⇔ lny =

)

− x ln ( tan 3 x )

3

)

=
lim+ ln y lim+ 2 x 3 − x ln ( tan 3 x )
x →0

x →0

2x3 − x
=lim+ −2 x 2 + 1 =1 ⇒ 2 x 3 − x ~ ( − x ) khi x → 0+ , ¸p dông ta cã:
x →0
x →0
−x
3 1 + tan 2 3 x
ln ( tan 3 x ) ( L )
2
tan 3 x= lim 3 x . x. 1 + tan=
3x 0
=
lim+ ln y =
lim+ ( − x ) ln ( tan 3 x ) =
lim+
lim+
+
x →0
x →0 tan 3 x
x →0
x →0
x →0
1
1

x2
x
⇒ L22 =lim+ y =e0 =1

)

(

XÐt lim+

)

(

)

(

(

x →0

(

L23 = lim x 2 + cos3 x
x →0

)

1
sin 2 x

(

(

: ®Æt y = x 2 + cos3 x

(

)

)

1
sin 2 x

⇔ ln y =

)

(

ln x 2 + cos3 x

)

2

sin x

ln 1 + x + cos3 x − 1 
ln x + cos3 x
x 2 + cos3 x − 1 ( L )
=
=
=
=
lim ln y lim
lim
lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x2
sin 2 x
sin 2 x
( L)
2 x − 3sin 3 x ( L )
2 − 9 cos3 x
7
= lim
= lim
= −
x →0
x →0
2x
2
2
2

⇒ L23 =
lim y = e



2

7
2

x →0

)

(

7 ln x + 3x
⇔ ln y =
L24 =lim x + 3 :®Æt y = x + 3
x →+∞
x
x
1 + 3 ln 3
7 ln x + 3x ( L )
x
1 + 3x ln 3 ( L )
3x ln 2 3
=
= 7=
lim ln y lim
lim x + 3
7=
lim
7
lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞ 1 + 3x ln 3
x
x + 3x
1
( L)
3x ln 3 3
= 7 lim
=
7.=
lim ln 3 7 ln 3
x →+∞ 3x ln 2 3
x →+∞
⇒ L24 = lim y = e7ln3 = 37

(

x

)

7
x

(

(

x

)

7
x

)

x →+∞

L25

)

(

2

x2 − 2x − x2
−2 x
−2
−2
= lim
= lim
lim = lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x2 − 2x − x
x 2 − 2 x − x x →−∞ x 2 − 2 x
x2 − 2x
−x

−1
x
x2
−2
= 2
lim
x →−∞
2
− 1− −1
x

3
1 − 5 x sin 2 x − 1
1 − 5 x sin 2 x − 1
= lim
=
x →0 tan − x ln 1 + cos3 x − 1 
( )  (
) x →0 ( − x )( cos3x − 1)
3

L26

lim

(

)

3

1 − 5 x sin 2 x − 1
=
lim
x →0
2


x (1 − cos3 x )  3 1 − 5 x sin 2 x + 2 1 − 5 x sin 2 x + 1


2
−5 x sin x
1
=
lim
.
x →0 x (1 − cos3 x ) 
2

2
2
2
3
 1 − 5 x sin x + 1 − 5 x sin x + 1


3

(

)

(

)

15
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312

)


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toỏn cao cp Ti liu NEU
TCC2 - Bi tp tng hp & Gii chi tit

sin 2 x
5
.
x 0 1 cos3 x
2

2
2
2
3
1 5 x sin x + 1 5 x sin x + 1


5
5
5
=
=
L26 1 = lim
x 0
2
3
1+1+1
3 1 5 x sin 2 x
+ 2 1 5 x sin 2 x + 1



2
L)
(
sin x
2 sin x cos x
sin 2 x ( L )
2 cos 2 x 2
=
= lim
=
L26 2 lim= lim = lim
x 0 1 cos3 x
x 0
x
x


0
0
3sin 3 x
3sin 3 x
9 cos3 x 9
10
5 2
L26 =
L26 1. L26 2 =

3 . 9 =
27


= lim

(

)

(

)

(*) Cỏch khỏc:

L26

1
1
1
ln (1 5 x sin 2 x )
ln 1 5 x sin 2 x
1 5 x sin 2 x 3 1
e3
1
lim
= lim
= lim 3
x 0 tan ( x ) ln ( cos3 x )
x 0 tan x ln 1 + cos3 x 1
( ) (
) x 0 ( x )( cos3x 1)

(

(

)

) dùng e

1 ~ x

tan x ~ x

ln (1 + x ) ~ x


x

1
5 x sin 2 x
5
sin 2 x ( L )
x
x
lim 3
dùng
ln
1
~
lim
= ...
=
+
=

( ) )
(
x 0 x (1 cos3 x )
3 x 0 1 cos3 x

(

)

1
4+
4x +1
2x +1 4x +1
2x +1 4x +1
1

x =2 4 =4
=lim
=lim
=lim 2
1 x x
1 x
1
x 3 + x x x 2
x
1+
x+
x+
x
x
x2

L27 =lim ( 2 x + 1)
x

Chú ý rằng: x nghĩa là x < 0 x 2 = x = x

1.2.TNH LIấN TC
(1) D thy f ( x ) liờn tc ti mi x 1
Ti x = 1 ta cú:
f (1) = 0

(

)

lim f ( x )= lim 1 x 4 cos
x 1

x 1





(

)

= 0 ( theo định lý kẹp ) vì cos
1 và lim 1 x 4 = 0
x 1
x 1
x 1

Do lim f ( x ) = f (1) nờn f ( x ) liờn tc ti x = 1
x 1

Vy, f ( x ) liờn tc trờn .
(2) D thy f ( x ) liờn tc ti mi x 0
Ti x = 0 ta cú:
f ( 0 ) = e3

(

)

2 ln 1 + sin 2 x
lim f ( x ) =
lim 1 + sin x : ta có ln f ( x ) =
x 0
x 0
x2
2
2 ln 1 + sin 2 x
2 sin 2 x
sin x
lim ln f ( x ) lim =
lim
sin x ~ x ) 2=
lim
=
=
( dùng
2
x 0
x 0
x 0
x 0
x2
x2
x

(

2

)

2

x2

(

)

e2
lim f ( x ) =
x 0

e2 f ( 0 ) =
e3 nờn f ( x ) khụng liờn tc ti x = 0
Do lim f ( x ) =
x 0

16
Thc mc liờn h: https://www.fb.com/LND9492

Hong Bỏ Mnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toỏn cao cp Ti liu NEU
TCC2 - Bi tp tng hp & Gii chi tit

Vy, f ( x ) liờn tc ti mi x 0 .
(3) D thy y liờn tc ti mi x 1
Ti x = 1 ta cú:
y (1) = 0

3
3
lim=
y lim 3 1 x sin = 0 ( theo định lý kẹp ) vì lim 3 1 =
x 0 và sin
1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

=
y y=
Do lim
(1) 0 nờn y liờn tc ti x = 1
x 1

Vy, y liờn tc trờn .
(4) sai :D => b
(5) D thy y liờn tc ti mi x 0
Xột ti x = 0 ta cú:
y (0) = a

(

)

(

)

ln 1 + 4 x 2
ln 1 + 4 x 2
=
lim y =
lim 1 + 4 x
: ta có ln y =
x 0
x 0
1 cos 2 x
sin 2 x
ln 1 + 4 x 2
4 x 2 dùng ln (1 + x ) ~ x
= lim 2
=
=
lim=
ln y lim
4 4
lim
x 0
x 0
x 0 x
x 0
sin 2 x
sin x ~ x


e4
lim y =

(

1
2 1 cos2 x

)

(

)

x 0

4
4
y liờn tc ti x = 0 lim y = y ( 0 ) e = a a = e
x 0

Vy, a = e thỡ y liờn tc ti 0
(6) D thy y liờn tc ti mi x 2
Ti x = 2 ta cú:
y (2) = a
4

(

)

lim y= lim 4 x 2 sin
x 2

x 2

x
x
= 0 ( theo định lý kẹp ) vì sin
1 và lim 4 x 2 = 0
x 2
x 2
x 2

(

)

y liờn tc ti x = 2 lim y = y ( 2 ) 0 = a a = 0
x 2

Vy, a = 2 thỡ y liờn tc ti 0
(7) D thy f ( x ) liờn tc ti mi x 3
Ti x = 3 ta cú:
f ( 3) = a
lim f ( x ) =
lim 5 ( x 3) arctan
6

x 3

x 3

0
lim f ( x ) =


1
1
6

0. =
0 và lim+ f ( x ) =
lim+ 5 ( x 3) arctan
0. =
0
=
=
x
x


3
3
2
x 3
x 3
2

x 3

f ( x ) liờn tc ti x = 3 lim f ( x ) = f ( 3) 0 = a a = 0
x 3

Vy, a = 0 thỡ f ( x ) liờn tc ti 3

17
Thc mc liờn h: https://www.fb.com/LND9492

Hong Bỏ Mnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM - VI PHÂN – PT KINH TẾ
2.1. ĐẠO HÀM
2.1.1. Dùng định nghĩa
a. Ta có bảng xét dấu
x
−∞
−x −1
x +1

−1

+∞

2
x +1

x +1

x −2

2−x

2−x

x −2

f (x)

−x − 4

3x

x+4

x < −1
− x − 4;

Tức là:=
f ( x )  3x ; − 1 ≤ x ≤ 2
 x+4 ;
x>2

Khi
x < −1 ⇒ f ( x ) = − x − 4 ⇒ f ′ ( x ) = −1

Khi − 1 < x < 2 ⇒ f ( x ) = 3 x ⇒ f ′ ( x ) = 3
Khi
x > 2 ⇒ f ( x ) = x + 4 ⇒ f ′( x ) = 1
Xét tại x = −1 ta có:
f ( x ) − f ( −1)
( − x − 4 ) − ( −3) =lim −1 =−1
=lim−
lim−
( )
x →−1
x →−1
x →−1−
x − ( −1)
x +1
lim+

x →−1

f ( x ) − f ( −1)
=
x − ( −1)

lim+

x →−1

f ( x ) − f ( −1)

3 x − ( −3)
=
x +1

=
lim
3 3

x →−1+

f ( x ) − f ( −1)

⇒ f ( x ) kh«ng cã ®¹o hµm liªn tôc t¹i x =
−1
x →−1
x − ( −1)
x − ( −1)
Xét tại x = 2 ta có:
f ( x ) − f (2)
3x − 6
lim−
3 3
= lim− = lim
=
x →2
x →2 x − 2
x →2−
x −2
f ( x ) − f (2)
x + 4 − (6 )
lim+
1 1
= lim+
= lim
=
x →2
x →2
x →2+
x −2
x −2
f ( x ) − f (2)
f ( x ) − f (2)
Do lim−
2
≠ lim+
⇒ f ( x ) kh«ng cã ®¹o hµm liªn tôc t¹i x =
x →2
x →2
x −2
x −2
x < −1
−1 ;

Vậy, ta có: f ′ ( =
x )  3 ; −1 < x < 2 và f ( x ) không có đạo hàm liên tục tại −1 và 2
0 ;
x>2

( x − 1) sin 2 x 2 + 1 ; x ≥ 1

b. Ta có: y = 
2
2
(1 − x ) sin x + 1 ; x < 1
=
y′ sin 2 x 2 + 1 + 2 x ( x − 1) sin 2 x 2 + 2
Xét khi x > 1 ⇒
Do lim−
x →−1

≠ lim+

(
(

(

)
)

(

)

)

(

)

(

Xét khi x < 1 ⇒ y′ =− sin 2 x 2 + 1 + 2 x ( x − 1) sin 2 x 2 + 2

)

Xét tại x = 1 ta có:

18
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

lim−

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

y ( x ) − y (1)

(1 − x ) sin 2 ( x 2 + 1) − 0

(

)

=
− sin 2 2
lim  − sin 2 x 2 + 1  =
x →1− 

x −1
( x − 1) sin 2 x 2 + 1 − 0
y ( x ) − y (1)
= lim+
= lim+ sin 2 =
x 2 + 1 sin 2 2
lim
x →1+
x →1
x →1
x −1
x −1
y ( x ) − y (1)
y ( x ) − y (1)
1
≠ lim+
Do lim−
nªn y kh«ng cã ®¹o hµm liªn tôc t¹i x =
x →1
x →1
x −1
x −1
sin 2 x 2 + 1 + 2 x ( x − 1) sin 2 x 2 + 2 ; x > 1

Vậy ta có: y′ = 
và không tồn tại y′ (1)
2
2
2
sin
1
2
1
sin
2
2
;
1
x
x
x
x
x

+
+

+
<
(
)

( x − 4 ) ln 3 5 x 2 + 9 ; x ≥ 4

c. Ta có: f ( x ) = 
3
2
( 4 − x ) ln 5 x + 9 ; x < 4
30 x ( x − 4 ) 2
′ ( x ) ln 3 ( 5 x 2 + 9 ) +
Xét khi x > 4 ⇒ f=
ln ( 5 x 2 + 9 )
5x 2 + 9
30 x ( 4 − x ) 2
Xét khi x < 4 ⇒ f ′ ( x ) =− ln 3 ( 5 x 2 + 9 ) +
ln ( 5 x 2 + 9 )
2
5x + 9
Xét tại x = 4 ta có:
( 4 − x ) ln3 5x 2 + 9 − 0
f ( x ) − f (4)
=
=
− ln 3 89
lim
lim
lim  − ln 3 5 x 2 + 9  =
x →4−
x →4−
x →4− 
x−4
x−4
x →1

x −1

=
lim−
x →1

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(
(

)

(

)

)
)

(

)

(

)

(

)

( x − 4 ) ln3 5x 2 + 9 − 0
f ( x ) − f (4)
= lim+
= lim+  ln 3 5=
lim
x 2 + 9  ln 3 89


x →4+
x
4
x
4
x−4
x−4
f ( x ) − f (4)
f ( x ) − f (4)
≠ lim+
Do lim−
nªn f ( x ) kh«ng cã ®¹o hµm liªn tôc t¹i x = 4
x →4
x →4
x−4
x−4
 3
30 x ( x − 4 ) 2
2
ln ( 5 x 2 + 9 ) ; x > 4
ln ( 5 x + 9 ) +
2

5x + 9
Vậy ta có: f ′ ( x ) = 
và không tồn tại f ′ ( 4 )

x
x
30
4
(
)
− ln 3 5 x 2 + 9 +
(
) 5x 2 + 9 ln2 ( 5x 2 + 9 ) ; x < 4


(

)

1
1 ′ 5 4
1
5 ′
5 
+ 4 ( x + 1)  cos
=
+
x + 1 cos
d. Xét x ≠ −1 thì: y′ =  4 ( x + 1)  cos

x +1
x +1 4
x +1




1
4

( x + 1)

Xét x = −1 ta có:

lim

x →−1

y ( x ) − y ( −1)
x − ( −1)

V× cos

4

=
lim

x →−1

( x + 1)

1
−0
1
x +1
=
=
lim 4 x + 1 cos
0
x →−1
x +1
x +1

5

cos

1
≤ 1 vµ lim 4 x + 1 =
0 ( theo ®Þnh lý kÑp )
x →−1
x +1

y ( x ) − y ( −1)
=
⇒ y′ ( −1) lim= 0
x →−1
x − ( −1)
1
1
1
5 4
sin
; x ≠ −1
 4 x + 1 cos x + 1 + 4
3
x
+
1
Vậy y ′ = 
x
+
1
( )

0
; x = −1

e. Xét x ≠ 2 thì:

19
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312

3

sin

1
x +1


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

1
1
6 ′
6 
+ 5 ( x − 2 )  arctan
y ′ =  5 ( x − 2 )  arctan
2−x
2−x




6
5
(x − 2)
1
′ 6 5
 = 5 x − 2 arctan 2 − x +
2

1 + (2 − x )

Xét tại x = 2 ta có:

1
−0
π
1

x
2
=
=
=
lim−
lim−
lim− 5 x − 2 arctan
0. =
0
x →2
x →2
x →2
x −2
x −2
2−x
2
6
1
5
−0
( x − 2 ) arctan
y (x ) − y (2)
1
 π
2−x
= lim+
= lim+ 5 x − 2 arctan
= 0.  −  = 0
lim+
x →2
x →2
x →2
x −2
x −2
2−x
 2
y (x ) − y (2)
y (x ) − y (2)
=
=
Do lim−
lim+
0 ⇒ y ′(2) =
0
x →2
x →2
x −2
x −2
(Sở dĩ xét giới hạn trái, phải là do khi thay cận vào biểu thức ta được arctan ( ∞ ) , mà lại có
y (x ) − y (2)

arctan ( ±∞ ) = ±

5

π

(x − 2)

6

arctan

là khác nhau, nên phải xác định rõ là −∞ hay +∞ => xét giới hạn trái phải)

2

6

5
x − 2)
 6 5 x − 2 arctan 1 + (
;x ≠2
Vậy y ′ =  5
2 − x 1 + ( 2 − x )2

0
;x =2

2
1
1
1
sin
cos
=
+
f. Xét khi
x ≠ 3 thì: y ′
3
4
3 − x 3 ( x − 3)
3−x
3 x −3
2
1
3
−0
( x − 3) sin
y ( x ) − y ( 3)
1
1
3−x
Xét tại x =
không tồn tại.
lim
lim 3
sin
=
=
3 thì: lim
x →3
x →3
x →3
3−x
x −3
x −3
x −3
1
2
và x 2 k = 3 +
cùng tiến tới 3 khi k → +∞ , ta có:
Thật vậy, chọn 2 dãy điểm x 1k = 3 +


1
1
lim
sin
= lim 3 k π sin ( − k π )= lim 0= 0
x 1 k →3 3
k →+∞
k →+∞
3

x
x 1k − 3
1k

lim

1

x 2 k →3 3

x 2k − 3

Do lim

x 1 k →3 3

sin

1
x 1k − 3

1
π
π
 π

= lim 3 + k 2π sin  − − k 2π  = lim ( −1) 3 + k 2π = −∞
3 − x 2 k k →+∞ 2
2
 2
 k →+∞
sin

1
1
1
1
1
sin
sin
≠ lim
⇒ ∃ lim 3
x
x


3
3
3
2k
3 − x 1k
3 − x 2k
3−x
x 2k − 3
x −3

⇒ Kh«ng tån t¹i y ′ ( 3)

=
Vậy với
x ≠ 3 thì y ′

2
3 x −3
3

sin

1
+
3−x

1
3

( x − 3)

4

cos

1
3−x

2.1.2. Xét sự tồn tại đạo hàm tại điểm
a. Ta có:
x
x
x
x ) lim−
x ) lim+
lim− f=
1 1
= lim− = 1; lim+ f=
= lim
=
(
(
x →1
x →1 (1 − x ) + 1
x →1 2 − x
x →1
x →1 ( x − 1) + 1
x →1+

Do lim− f ( x ) =
lim+ f ( x ) ⇒ f ( x ) liªn tôc t¹i x =
1
x →1

x →1

MÆt kh¸c:
x
−1
f ( x ) − f (1)
1− x) +1
(
2
lim−
= lim−
= lim
=
2

x →1
x →1
x →1 2 − x
x −1
x −1
20
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toỏn cao cp Ti liu NEU
TCC2 - Bi tp tng hp & Gii chi tit

x
1
f ( x ) f (1)
x 1) + 1
(
0
lim+
0 0
= lim+
= lim+ = lim
=
x 1
x 1
x 1 x 1
x 1+
x 1
x 1
f ( x ) f (1)
f ( x ) f (1)
f ( x ) f (1)
Do lim
hay không tồn tại f (1)
lim+
không tồn tại lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
b. Ta cú:

lim y = lim 3 ( x 1) arctan ( x 1) =0 =f (1) y liên tục tại x =1
2

x 1

x 1

Mặt khác ta có:
y ( x ) y (1)
lim= lim
x 1
x 1
x 1

Tồn tại f (1=
) lim
x 1

c. Ta cú:

3

( x 1)

1

2

arctan ( x 1) 0
3 3 ( x 1)
arctan ( x 1) ( L )
1 + ( x 1)
= lim=
= lim
=
lim
0
2
3
x 1
x 1
x 1
1
x 1
x 1
1 + (x 2)
2
3 3 ( x 1)
2

2

y ( x ) y (1)
= 0
x 1



f (0) =

2

3
lim f ( x ) lim
arctan
=
=
x 0
x 0
x
2
Do lim f =
(x ) f=
(0)



x 0

2



arctan ( + )
=
2


nên f ( x ) liên tục tại
x 0
=

Mặt khác ta có:
lim+

f (x ) f (0)
x 0

x 0

= lim+
x 0

3
(L )
x 2 = lim
x 0 +
x

arctan

3
9

x 2 1 + 2
x

= lim+
x 0

1
3
=
2
9+x
3

3
(L )
arctan
3
3
1
x 2 lim =
lim
lim
= lim
=
=
2


x 0



x
x
x
0
0
0
9
x 0
9+x
3
x

x 2 1 + 2
x
f ( x ) f (0)
f ( x ) f (0)
f ( x ) f (0)
Do lim
lim+
không tồn tại lim
không tồn tại f ( 0 )
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
f (x ) f (0)

2.1.3. Bi toỏn hm ngc
a. MX: D =
2
f ( x ) cú hm ngc
f ( x )= 3x 2 6x + 6= 3 ( x 1) + 3 > 0 nờn f ( x ) n iu tng trờn y =

y = f 1 ( x )
t
f 1 ( 2 ) =t 2 = f (t ) 2 =t 3 3t 2 + 6t 2 t 3 3t 2 + 6t 4 = 0

(

)

(

)

(t 1) t 2 2t + 4 =0 t 1 =0 Do t 2 2t + 4 =(t 1) + 3 > 0 t =1
Vy, f

1

2

(2) = 1

b. MX: D =
y = 2 + sin x > 0x f ( x ) đơn điệu tăng trên y = f ( x ) có hàm ngược y = f

1

(x )

21
Thc mc liờn h: https://www.fb.com/LND9492

Hong Bỏ Mnh: 0986.960.312


Spring 2019

Ta t f

1

( ) = t

( ) =

1

Vy f

Page: Love NeverDies
Group: Toỏn cao cp Ti liu NEU
TCC2 - Bi tp tng hp & Gii chi tit

= f (t ) 2t cos t = t =





2

l giỏ tr duy nht tha món.

2
c. MX: D
= ( 0; + )
1
> 0 x > 0 f ( x ) đơn điệu tăng y = f ( x ) cú hm ngc y = f
x
t f 1 ( 2 ) = t 2 = f (t ) 2t 2 + ln t = 2 t = 1 l giỏ tr duy nht tha món.
y = 4x +

(x )

(2) = 1.

1

Vy f

1

d. MX: D =
f ( x ) =2 3x 2 < 0 x f ( x ) đơn điệu trên y =f ( x ) cú hm ngc y = f

( f ) ( 4 ) = lim
1

f

1

(x )

(x ) f (4)

1

1

(*)
x 4
f 1 ( 4 ) = a 4 = f (a ) 1 2a a3 = 4 a3 + 2a + 3 = 0 (a + 1) a 2 a + 3 = 0 a + 1 = 0 a = 1
x 4

t t = f

1

(x ) x

( f ) ( 4 ) = lim
1

t 1

Vy, ( f
e.

1

(

)

= f (t ) = 1 2t t ; x 4 t 1 , thay vo (*) ta c:
3

t ( 1)

(1 2t t ) 4
3

t + 1 (L )
1
1
= lim
=
3
2
t 1 3 2t t
t 1 2 3t
5

= lim

) ( 4 ) = 15

MX: D =




2


+ k 2 ( k )
y =3 + 3sin x + 0 và y =0 sin x + =1 x + = + k 2 x =
6
6
6
2
3


hay y = 0 ti cỏc giỏ tr ri rc y n iu tng y =
f ( x ) cú hm ngc y = f 1 ( x )
= lim f
( )

(f )
1

x

1

Ta cú: f
t f

1

1

( x ) f 1 ( )
x

(*)

( ) = a = f (a ) 3a 3cos x +


(x ) = t x





= a = duy nht tha món
6
3



= f (t ) = 3t 3cos t + ; x t , thay vo (*) ta c:
6
3



t
(L )
1
1
3
f 1 ( ) lim =
lim
=
=



6
t
3 3t 3cos t +
t 3 3 + 3sin t +


6
6



( )

( ) ( ) = 61

Vy f

1

f. MX: D =
2
y = 3x 2 6x + 3= 3 ( x 1) 0 v y =0 x =1 nờn y n iu tng => nú cú hm ngc y = f
Ta cú:
3
f 1 ( 2 ) =k 2 =f ( k ) k 3 3k 2 + 3k + 1 =2 k 3 3k 2 + 3k 1 =0 ( k 1) =0 k =1
Vy f

1

(2) = 1

2.1.4. Tỡm khong tng gim, cc tr (im cc tr) hm s
(1) MX: D =

22
Thc mc liờn h: https://www.fb.com/LND9492

Hong Bỏ Mnh: 0986.960.312

1

(x )


Spring 2019

y=′

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

−2x . 3 ( 5 + x )
3

( 2 − 3x )
2

2

2

(

)

2
2 3 2 − 3x 2 −6x ( 5 + x ) + 2 2 − 3x
4 − 30x − 12x 2
+ 3
=
=
2
3 5+ x
3 3 5 + x 3 2 − 3x 2
3 3 5 + x 3 2 − 3x 2

(

)

(


−15 − 273
x =
6
y ′ = 0 ⇔ 4 − 30x − 12x 2 = 0 ⇔ 2 − 15x − 6x 2 = 0 ⇔ 

−15 + 273
x =
6

2
−15 ± 273
;x =
Ta có các điểm tới hạn: x = −5 ; x = ±
3
6
Ta có bảng dấu
2
−15 − 273
−15 + 273
−∞

−5
x
3
6
6
+
+
+
0
0

y′

)

2

2
3


 −15 − 273
 2

2
;−
; +∞ 
 và 

6
3
 3



−15 − 273 
giảm trên  −5;
 ;

6


−15 − 273
−15 + 273
Hàm số có 2 cực đại x C§1 =
,1 cực tiểu là x CT =
−5; x C§2 =
6
6
(2) MXĐ: D = 

Từ bảng ta thấy hàm số tăng trên

( −∞; −5) ; 

f ( x ) = −3e −3x ( 4x + 1) + 4e −3x = e −3x (1 − 12x ) ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 1 − 12x = 0 ⇔ x = −1
12
Ta có bảng:
−1
−∞
+∞
x
12
0
+

f ′(x )

(

(

)

Từ bảng =>hàm số tăng trên −∞; −1
và giảm trên −1 ; +∞
12
12
Hàm số có 1 cực đại x C § = −1
12
(3) MXĐ: D= [1; +∞ )

(

)

)

f ′(x ) = e x − e x x −1 = e x 1 − x −1 ⇒ f ′(x ) = 0 ⇔ x −1 = 1 ⇔ x = 2
Ta có bảng:

x

f ′(x )

1
|

+

2
0



+∞

Từ bảng =>hàm số tăng trên ( −∞;2 ) và giảm trên ( 2;+∞ )
Hàm số có 1 cực đại x C § = 2
(4) MXĐ: D = 

23
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312

+∞



Spring 2019

Page: Love NeverDies
Group: Toỏn cao cp Ti liu NEU
TCC2 - Bi tp tng hp & Gii chi tit

0
3
6 x 2 =
2
3x 2 x

3x 2 2 x
2
1 + 2t dt y =0
y =4 ( 6x 2 ) 1 + 2 3x 2x
1

1 + 2t 2 dt =
0



1
x = 1
3
x = 1

định lý giá trị trung bình

3


1


x =
2
3x 2 2x 1 1 + 2c 2 =

c là giá trị nào đó nằm giữa 1 và 3x 2x
0

x = 1 3

Ta cú bng:
1
1

+
1
x
3
3
y
+
+
0
0
0


T bng =>hm s tng trờn 1 ;1 v 1 ; + , gim trờn ; 1 v 1; 1
3
2
3
3
1 ;c
1
Hm s cú 1 cc i x CĐ = 1 , 2 cc =
tiu x CT 1 =
3 CT 2
3
(5) MX: D =
x x2
1
x
2x
x

x

y=
x arctan +
arctan +
+
+ 1 =
( x 1) arctan
2
2
2
2 4 2 x
2
2 4
x
x 4


2 1 +
2 1 + 2 1 +
4
4
4




(

(

)

2

2

)

) (

(

)

) (

(

=
x 1 0 =
x 1
x = 1
x
y =0


x


arctan =


0 =
tan
x = 2

2 4
2
4
Ta cú bng

1
x
y
0
+


)

+

2

+

0

T bng => y tng trờn khong ( ;1) v ( 2;+ ) ; gim trờn (1;2 )

Hm s cú 1 cc i x CĐ = 1 ; 1 cc tiu x CT = 2
(6) MX: D =
7

y = 8e

x 2 3

x 2
x 2 t 3

3

2 ( x 2 ) + 3 e 1 + t dt y = 0 e t 3 2t 2 + 3dt = 0 ( x 2 0 ) e c 3 2c 2 + 3 = 0
0
0

( định lý giới hạn trung tâm, c là giá trị nào đó nằm giữa 0 và x 2 )
2

x 2 = 0 x = 2

Ta cú bng

x

y



+

2


0

T bng => y tng trờn khong ( 2;+ ) ; gim trờn ( ;2 )

+

Hm s cú 1 cc tiu x CT = 2
(7) MX: D =

x = 2
2
2
2
2
3
3
3 1 + ( 3 x ) + 3 2 y =
y=
0
1 + (3 x ) =
2 1 + ( 3 x ) =
2
1
( 3 x ) =
x = 4
Ta cú bng
x

+
2
4
y
0
0
+


T bng => y tng trờn ( 2;4 ) ; gim trờn ( ;2 ) v ( 4;+ )

Hm s cú 1 cc i x CĐ = 4 v 1 cc tiu x CT = 2
24
Thc mc liờn h: https://www.fb.com/LND9492

Hong Bỏ Mnh: 0986.960.312


Spring 2019

(8) MXĐ: D =

Page: Love NeverDies
Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU
TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết

[ −2;2]



x
x 2 −2
−2 2x .arccos −
y′=

2
x2
2 1−

4




2

x π

+ 4−x 2 − x

−2x  2ar cos + 
x =

3
2 3

4−x 2


x = 0
=
x 0=
x 0



⇒ y ′ =0 ⇔

π ⇔
3
2 arccos x + π =
arccos x =

0
x =


2 3
2
6

4
Ta có bảng
x
3
0
−2
4
y′
0
0
+



2





Từ bảng => y tăng trên  0; 3  ; giảm trên ( −2;0 ) và  3 ;2 
4
4




Hàm số có 1 cực đại x C§ = 3
2.1.5. Khai triển Tay-lor, Mac Laurin
(1) Khai triển cần viết có dạng: y =
y (0) +
y (0) = 1
y′ ( x ) = 2 e 2 x 3 x + 1 +
2 y′ +
y′′ ( x ) =

3e3 x
2 3x + 1

= 2y +

4

và 1 cực tiểu x CT = 0

y ′ (0)
1!

x+

y ′′ ( 0 )
2!

x2 +

y ′′′ ( 0 )
3!

( )

x 3 +o x 3

3y
3
7
⇒ y′ ( 0 ) = 2 y ( 0 ) + y ( 0 ) =
2 ( 3 x + 1)
2
2

3 y′ ( 3 x + 1) − 3 y
3 y′
9
3
9
31
y
=

⇒ y′′ ( 0 ) =
2 y′ +
2 y′ ( 0 ) + y′ ( 0 ) − y ( 0 ) =
2
2
2 ( 3 x + 1)
2 3 x + 1 2 ( 3 x + 1)
2
2
4

2 y′′ +
y′′′ ( x ) =

3 y′′
9 y′
9
y′
y


+ 27
2
2
3
2 ( 3 x + 1) 2 ( 3 x + 1) 2 ( 3 x + 1)
( 3x + 1)

3
47
y′′ ( 0 ) − 9 y′ ( 0 ) + 27 y ( 0 ) =
2
2
2
3
7x 31x
47x
Khai triển cần viết là: y =+
+
+
+ o (x 3 )
1
2
8
12
4
f ′ (0)
f ′′ ( 0 ) 2 f ′′′ ( 0 ) 3 f ( ) ( 0 )
f (0) +
x+
x +
x +
+o x 4
(2) Khai triển cần viết có dạng: f ( x ) =
1!
2!
3!
4!
f ( x ) = ( x + 1) ln ( x + 1) ⇒ f ( 0 ) = 1; y ′ ( x ) = ln ( x + 1) + 1 ⇒ y ′ ( 0 ) = 1
⇒ y′′′ ( 0 ) = 2 y′′ ( 0 ) +

( )

1
y ′′ ( x ) =⇒ y ′′ ( 0 ) =
1
x +1

1
2
4
4
; y ′′′ ( x ) =

⇒ y ′′′ ( 0 ) =
−1 ; y ( ) ( x ) = 3 ⇒ y ( ) ( 0 ) =
2
2
( x + 1)
( x + 1)

7x 31x 2 47x 3
Khai triển cần viết là: y =+
+
+
+o x 3
1
2
8
12
4
f ′ (0)
f ′′ ( 0 ) 2 f ′′′ ( 0 ) 3 f ( ) ( 0 )
f (0) +
x+
x +
x +
+o x 4
(3) Khai triển cần viết có dạng: f ( x ) =
1!
2!
3!
4!
f ( 0 ) = ln 6

( )

( )

2x − 5
1
1
5
−1
1
13
f ′( x ) =
=+
⇒ f ′ (0) =

; f ′′ ( x ) = 2 −
⇒ f ′′ ( 0 ) =

2
2
x − 5x + 6 x − 2 x − 3
6
36
( x − 2 ) ( x − 3)
25
Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492

Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×