Tải bản đầy đủ

Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số

Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số
Phần 1: Biết đồ thị hàm số y = f ( x )
Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trong bài toán không chứa tham số.
Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu
đường tiệm cận?

A. 4 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
lim f ( x ) = −1 nên đường thẳng y = −1 là một đường tiệm cận ngang.


x →−∞

lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang.

x →+∞

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ±1 .
Tương tự
lim f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

x →−2+

x →−2

đứng.
lim f ( x ) = +∞ và và lim+ f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

x → 2−

x→2

đứng.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = ±2 .


Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận ngang y = 2 .
B. Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = 2 .
C. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận ngang y = −2 .
D. Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = −2 .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có
lim

x →( −1)



f ( x ) = +∞ và lim

x → ( −1)

+

f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = −1 là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
lim f ( x ) = 2 và lim f ( x ) = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ
x →−∞

x→+ ∞

thị hàm số y = f ( x ) .
Câu 2.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là


A. Tiệm cận đứng x = −2 , tiệm cận ngang y = 1 .
B. Tiệm cận đứng x = 2 , tiệm cận ngang y = −1 .
C. Tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận ngang y = −2 .
D. Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = 2 .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta có
lim − f ( x ) = +∞ và lim + f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng

x →( −2 )

x →( −2 )

của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
+) lim f ( x ) = 1 và lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang đứng
x →−∞

x →+∞

của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Câu 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là


A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là
x →+∞

đường tiệm cận ngang.
Tương tự lim f ( x ) = −1 nên đường thẳng y = −1 là đường tiệm cận ngang.
x →−∞

Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2 đường tiệm cận ngang.
Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) . Có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.

B. 2 .

Lời giải

C. 3 .

D. 4 .

Chọn D
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số ta có
lim + f ( x ) = +∞ và lim − f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −1 là đường tiệm cận
x →( −1)

x →( −1)

đứng.
lim f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng.

x →1+

x →1

lim f ( x ) = +∞ và và lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

x → 2+

x→2

đứng.
Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng là x = ±1 và x = 2 .
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
lim f ( x ) = 1 và lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận

x →−∞

ngang.

x →+∞


Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 1 .
Câu 5.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là
A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 6 .

Lời giải

Chọn A
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có:

1
1
nên đường thẳng y = − là một đường tiệm cận ngang của đồ thị
x →−∞
2
2
hàm số y = f ( x ) .
lim f ( x ) = −

1
1
nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận ngang của đồ thị
x →+∞
2
2
hàm số y = f ( x ) .

lim f ( x ) =

1
⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận ngang là y = ± .
2
lim − f ( x ) = −∞ và

 1
x → − 
 2

lim + f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = −

 1
x → − 
 2

cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .

1
là đường tiệm
2


lim − f ( x ) = −∞ và lim + f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x =

1
x → 
2

1
x → 
2

1
là đường tiệm cận
2

đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận đứng là x = ±

1
2

Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả 4 đường tiệm cận.
Câu 6.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là:
A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có:

lim f ( x ) = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

x →−∞

số y = f ( x ) .
lim f ( x ) = 3 nên đường thẳng y = 3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

x →+∞

số y = f ( x ) .


lim f ( x ) = +∞ và lim+ f ( x ) = +∞ suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của

x → 0−

x →0

đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 7.

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ dưới đây:

Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. 1.

B. 2.

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có

C. 3.

D. 4

Lời giải

lim y = 1 nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = 1 và lim± y = +∞ nên đồ thị

x →±∞

x →1

hàm số có 1 tiệm cận đứng x = 1 . Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Câu 8.

Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là:
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .


Lời giải
Chọn C
Ta có: lim f ( x ) = 2 nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 2
x →±∞

Lại thấy: lim+ f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm
x →−1

x →1

cận ngang là x =
−1; x =
1
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận
Câu 9.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Gọi a là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức a 2 + a bằng
A. 6 .
B. 12 .
C. 20 .
D. 30 .
Lời giải

Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có
lim
=
f ( x ) lim
=
f ( x)

x →−∞

x →+∞

1
1
. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = .
2
2

lim+ f ( x ) = +∞ , lim− f ( x ) = −∞ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =

x→

1
2

x→

1
2

lim+ f ( x ) = −∞ , lim− f ( x ) = +∞ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

x →−

1
2

x= −

x →−

1
2

1
2

1
2


Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận ⇒ a =
3.
Vậy a 2 + a =
12
Câu 10. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong hình bên dưới.
y
4

2

-1

Đồ thị hàm số

A. 1 .

O

( x − 1) ( x 2 − 1)
g ( x) = 2
f ( x) − 2 f ( x)

x

1

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn D

 f ( x ) = 0 (1)
Ta xét mẫu số: f 2 ( x ) − 2 f ( x ) =
.
0⇔
 f ( x ) = 2 ( 2 )
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
y
4

2

-1

y=2

O

1

x


+) Phương trình (1) có nghiệm x1 = a < −1 (nghiệm đơn) và x2 = 1 (nghiệm kép)
⇒ f ( x) =
( x − a )( x − 1) .
2

+) Phương trình ( 2 ) có nghiệm x3 =b ∈ ( a ; − 1) , x4 = 0 và x5= c > 1
⇒ f ( x) − 2 =

Do đó

( x − b) x ( x − c) .

( x − 1) ( x 2 − 1)
g ( x) =
f ( x )  f ( x ) − 2 

( x − 1) ( x + 1)
x +1
.
=
2
( x − a )( x − 1) . ( x − b ) x ( x − c ) ( x − a )( x − b ) x ( x − c )
2

⇒ đồ thị hàm số y = g ( x ) có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 11. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Đồ thị hàm
A. 2 .
Chọn C

(x
y=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 
B. 3 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 4 .
Lời giải

D. 6 .


Ta thấy phương trình bậc ba f ( x = 2 ) có 3 nghiệm phân biệt là x1 = c < −3 ,

x2 = b . với −3 < b < −1 và x3 = −1 .

Và phương trình bậc ba f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = −3 và nghiệm đơn x = a
với −1 < a < 0 .
Do lim f ( x ) = −∞ và lim f ( x ) = +∞ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử
x →−∞

x →+∞

2

f ( x ) = 0 ⇔ − ( x + 3) ( x − a ) = 0 và f ( x ) = 2 ⇔ − ( x − c ) ( x − b ) ( x + 1) = 0 .
x + 4 x + 3) x + x ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)
(=
2

Ta có: y
=

2

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

Khi đó: lim+ y = lim+
x →0

x →0

lim+ y = lim+

x →−3

x →−3

x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

( x + 1)( x + 3) x + 1 =
x . f ( x ) .  f ( x ) − 2 

+∞ .

( x + 1) x ( x + 1)
=
− x ( x + 3)( x − a ) .  f ( x ) − 2 

−∞ .

lim+ y = lim+

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)
=
− x. f ( x )( x − c )( x − b )( x + 1)

+∞ .

lim+ y = lim+

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)
=
− x. f ( x )( x − c )( x − b )( x + 1)

+∞ .

x →c

x →b

lim− y
=
x →−1

x →c

x →b

.

( x + 3) x ( x + 1)
lim
0.
=

x →−1 − x. f ( x )( x − c )( x − b )

lim y không tồn tại.

x →−1+

Vậy đồ thị hàm số

(x
y=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

có 4 đường tiệm cận đứng là x = 0 ;

x = −3 ; x = c ; x = b .
Dạng 2: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = f ( x ) , trong bài toán chứa tham số.


Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x )

có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để đồ thị hàm số

y f ( x − m ) có tiệm cận đứng là trục Oy ?
=

A. 0 .

B. −1 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn D
Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 .

Tịnh tiến theo véc tơ v = ( m ;0 ) thì:
Đồ thị hàm số y = f ( x ) biến thành đồ thị hàm số=
y f ( x − m) .
Tiệm cận x = −1 của đồ thị hàm số y = f ( x ) biến thành tiệm cận x =−1 + m của
đồ thị hàm số=
y f ( x − m) .
Đồ thị hàm số=
y f ( x − m ) có tiệm cận đứng là trục Oy ⇔ −1 + m = 0 ⇔ m = 1
Câu 2.

ax + b
, a , b , c ∈  có đồ thị như hình bên.
x+c
Giá trị của P = a + b + c bằng

Cho hàm số
=
y f=
( x)


A. 2 .

B. 1.

Chọn B

Lời giải

C. 3.

D. −1.

 x ≠ −c
Điền kiện: 
ac − b ≠ 0
Hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng: x = − c ; tiệm cận ngang: y = a
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta nhận xét được:
m > 0
• 
⇔ m >1
1 − m < 0
b
=
−2 ⇒ b =−2c
c
• Tiệm cận đứng: x = 1 − m ; tiệm cận ngang: y = m

• Khi x =
0⇒ y =
−2 ⇒

c= m − 1
 −c = 1 − m
Suy ra: 
⇔
⇒ b =−2c =−2m + 2 (thỏa điều kiện)
a = m
a = m
Nên: P = a + b + c = m − 2m + 2 + m − 1 = 1
Câu 3.

Cho hàm số y =

( 2m − 1) x − 3
x−m

có đồ thị như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số
nằm trong đường tròn tâm gốc tọa độ O bán kính bằng
A. 40 .
38 .
Chọn C

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

2019 ?
D.


Từ dạng đồ thị của hàm số ta suy ra
−m ( 2m − 1) + 3
3
y′
=
> 0 ⇒ −m ( 2m − 1) + 3 > 0 ⇔ −1 < m < .
2
2
( x − m)
Khi đó dễ thấy đồ thị có hai đường tiệm cận là x = m , =
y 2m − 1 .
Vậy tâm đối xứng là điểm I ( m ; 2m − 1) .
Từ đồ thị và giả thiết kèm theo ta có :
1

m > 2
 y= 2m − 1 > 0


.
⇔ m > 0
 x= m > 0
−19 ≤ m ≤ 20 m ∈ 

)
(
OI < 2019


Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra m = 1 .
Câu 4.

nx + 1
; ( mn ≠ 1) xác định trên R \ {−1} , liên tục trên từng
x+m
khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ bên:
Cho hàm số y = f ( x ) =

Tính tổng m + n ?
A. m + n =
1.

B. m + n =−1 .

Chọn C

C. m + n =
3.

D. m + n =−3 .

Lời giải

nx + 1
; ( mn ≠ 1) có hai đường tiệm cận x =
−m =
−1 ;
x+m
y =n =2 ⇒ m =1 ; n = 2 ⇒ m + n = 3

Đồ thị hàm số y = f ( x ) =

Dạng 3: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = g ( x ) , trong bài toán không chứa tham số.
Câu 1.

Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a , b , c , d ∈  ) có đồ thị như hình vẽ
dưới đây.


Hỏi đồ thị hàm số g ( x )
A. 3.
6.
Chọn A

(x
=

2

− 3x + 2 ) x − 1

x  f 2 ( x ) − f ( x ) 
B. 4.

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 5.

D.

Lời giải

x = 0

Xét phương trình: x  f 2 ( x ) − f ( x )  =
0 ⇔  f ( x) =
0
 f x =1
 ( )
+) Từ điều kiện x ≥ 1 ⇒ x =
0 không là tiệm cận đứng.
=
 x a ( a < 1)
+) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x )= 0 ⇔ 
x = 2



x = a không là tiệm cận đứng.
x = 2 là nghiệm kép và tử số có một nghiệm x = 2 ⇒ x = 2 là một đường
tiệm cận đứng.

x = 1

+) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x ) =1 ⇔  x = b (1 < b < 2 )
x c c > 2
=
(
)





x = 1 không là tiệm cận đứng (vì tử số có một nghiệm nghiệm x = 1 )
x = b , x = c là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 2.

Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a , b , c , d ∈  ) có đồ thị như hình vẽ
dưới đây.


Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =
tiệm cận ngang?
A. 2.
5.

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và
f ( 4 − x2 ) − 3

B. 3.

C. 4.

D.

Lời giải

Chọn C

4 − x2 =
x = ± 6
−2
Từ đồ thị ta có f ( 4 − x 2 ) − 3 =

3⇔
0 ⇔ f ( 4 − x2 ) =

2
4
x = 0
4 − x =
⇒ đồ thị hàm số g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng.

0 là đường tiệm cận ngang của
Lại có lim f ( 4 − x 2 ) = −∞ ⇒ lim g ( x ) =
0⇒y=
x →±∞

x →±∞

đồ thị.
Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có bốn đường tiệm cận.
Câu 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số như hình vẽ


Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =
A. 3 .

x
có bao nhiêu tiệm cận đứng ?
( x + 1)  f ( x ) − f ( x )
2

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn A

 x ≥ 0
(1)
Hàm số xác định ⇔  2
.
 f ( x ) − f ( x ) ≠ 0

 x = −1
Xét ( x + 1)  f 2 ( x ) − f ( x )  =
0⇔ 2
0
 f ( x) − f ( x) =
 f ( x) = 0
.
⇔ f 2 ( x) − f ( x) =
0⇔
 f ( x ) = 1
* Với f ( x ) = 0 :
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x3 < x2 < 0 < x1 .
Từ điều kiện (1) thì phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm x = x1 .
* Với f (1) = 1 :
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x6 < x5 =0 < x4 .
Từ điều kiện (1) thì phương trình f ( x ) = 1 có 2 nghiệm x = x5 và x = x4 và cả 2
nghiệm này đều khác x1 .
0 có 3 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình ( x + 1)  f 2 ( x ) − f ( x )  =
Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =
Câu 4.

x
có 3 tiệm cận đứng.
( x + 1)  f ( x ) − f ( x ) 
2

Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ


Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =
đứng?
A. 5 .

(x

2

− 2x) 1− x

( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )

B. 4 .

Chọn D
Điều kiện hàm số có nghĩa

có bao nhiêu đường tiệm cận

C. 6 .

D. 3 .

Lời giải

 x ≤ 1 (*)
1 − x ≥ 0



2
 2

( x − 3)  f ( x ) + 3 f ( x )  ≠ 0
( x − 3)  f ( x ) + 3 f ( x )  ≠ 0

x = 3

0 ⇔  f ( x) =
Xét phương trình ( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )  =
0
 f x = −3
 ( )
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra f ( x ) = 0 có 3 nghiệm −1 < x1 < x2 < 1 < x3
f ( x ) = −3 có hai nghiệm x4 < 1 và x5 = 2

0 có nghiệm
Kết hợp với điều kiện (*) phương trình ( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )  =
x1 , x2 , x5 .

Và x1 , x2 , x5 không là nghiệm của tử nên hàm số g ( x ) có 3 đường tiệm cận
đứng.
Câu 5.

Cho
hàm
số
bậc
ba
3
2
y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị là
đường cong như hình bên. Đồ thị hàm số
g ( x)

(x
=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

2
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 


đường tiệm cận
A. 4 .
B. 5 .

có bao nhiêu

C. 6 .
Lời giải

D. 3 .


Chọn B
 x > 0
x ≠ 0


  x ≤ −1
2
Điều kiện:  x + x ≥ 0
⇔

 f ( x ) ≠ 0
2
  f ( x )  − 2 f ( x ) ≠ 0
 f ( x ) ≠ 2
 
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm x = −3 (bội
2), và nghiệm x = x0 ; x0 ∈ ( −1;0 ) nên : f ( x ) =a ( x + 3) ( x − x0 )
2

Đường thẳng y = 2 cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x = −1 ;
x = x1 ; x1 ∈ ( −3; − 1) ; x = x2 ; ( x2 < −3) . Nên f ( x ) − 2= a ( x + 1)( x − x1 )( x − x2 ) .
Do đó: g ( x )
=

x + 4 x + 3) x + x ( x
(=
2

2

2
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 



2

+ 4 x + 3) x 2 + x

x. f ( x )  f ( x ) − 2 

x + 1)( x + 3) x 2 + x
(
=
2
x.a ( x + 3) . ( x − x0 ) .a ( x + 1)( x − x1 )( x − x2 )
Ta có: lim+ g ( x ) = lim+ =
x →0

x →0

a

2

x2 + x
.
a 2 x ( x + 3)( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )

x +1
= +∞ nên x = 0 là
x ( x + 3)( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )

một đường tiệm cận đứng của đồ thị y = g ( x )
+)Các đường thẳng x = −3 ; x = x1 ; x = x2 đều là các đường tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số y = g ( x )
Do đó đồ thị y = g ( x ) có 4 đường tiệm cận đứng.
+) Hàm số y = g ( x ) xác định trên một khoảng vô hạn và bậc của tử nhỏ hơn bậc
của mẫu nên đồ thị y = f ( x ) có một đường tiệm cận ngang y = 0 .
Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có 5 đường tiệm cận.
Câu 6.

Cho hàm bậc ba y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d . Đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ. Tìm
số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y =

x4 − 4 x2 + 3
.
( x − 1) ( f 2 ( x ) − 2 f ( x ) )


A. 4 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn A
f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Dựa vào đồ thị của y = f ( x ) , ta có

f

f

f
f


4
( −1) =
( 0) = 2

(1) = 0
( 2) = 4

Do đó f ( x ) = x3 − 3 x + 2 =

−a + b − c + d =4

d = 2


0
a + b + c + d =
8a + 4b + 2c + d =
4

( x − 1) ( x + 2 )
2

x4 − 4 x2 + 3
Xét hàm số y =
=
( x − 1) ( f 2 ( x ) − 2 f ( x ) )
=

a = 1
b = 0


c = −3
d = 2

(x

2

− 1)( x 2 − 3)

( x − 1) . f ( x ) . ( f ( x ) − 2 )

( x 2 − 1)( x 2 − 3)
=
2
( x − 1) . ( x − 1) . ( x + 2 ) .x. ( x 2 − 3)

( x + 1)
2
( x − 1) . ( x + 2 ) .x

Hàm số có các đường tiệm cận đứng là x = 0 ; x = 1 ; x = −2 và đường tiệm cận
ngang y = 0 .
Câu 7.

Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ.


Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: g ( x ) =
A. 4 .

B. 3 .

Chọn C

Lời giải

x
f ( x) + 2

C. 2 .

D. 1 .

=
 x a ( a < −2 )

Từ đồ thị ta có: f ( x ) + 2 =
0 ⇔ f ( x) =
−2 ⇔  x= b ( −2 < b < 0 )
x c c > 0
=
(
)

Kết hợp với điều kiện có nghĩa của

x suy ra đồ thị hàm số g ( x ) có 1 tiệm cận

đứng=
x c ( c > 0) .
Hàm số g ( x ) =

x
có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu (Hàm số có bậc tử là
f ( x) + 2

1
còn bậc mẫu là 3 ) suy ra đồ thị hàm số g ( x ) có 1 tiệm cận ngang là y = 0 .
2
Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =
Câu 8.

x
có hai đường tiệm cận.
f ( x) + 2

Cho hàm số bậc bốn f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên dưới:


Hỏi đồ thị hàm số y =
A. 4.
Chọn A
Xét phương trình

(x

2

− 4 )( x 2 + 2 x )
2

 f ( x )  + 2 f ( x ) − 3

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

 f ( x) = 1
 x= 0; x= x1 < −2; x= x2 > 2
f 2 ( x) + 2 f ( x) − 3 = 0 ⇔ 
⇔
−2; x =
2
 f ( x ) = −3
x =
Trong đó nghiệm x = 0 , x = −2 , x = 2 đều có bội 2 và
=
x x1 ( x1 < −2 ) ;

=
x x2 ( x2 > 2 ) là nghiệm đơn (bội 1).

So sánh bội nghiệm ở mẫu và bội nghiệm ở tử thì thấy đồ thị có các TCĐ là x = 0 ;
x = 2 ; x = x1 ; x = x2
Câu 9.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau:


Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số g ( x ) =
A. 2.

B. 3.

C. 4.

2
2
= −
3. ( −1) − 2
5

lim=
g ( x)

2
= 2
3.1 − 2

x →−∞

x →+∞

D. 5.

Lời giải

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
lim g ( x ) =

2
3 f ( x) − 2

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.
2
Xét phương trình 3 f ( x ) − 2 = 0 ⇔ f ( x ) =
3
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình f ( x ) =

2
có duy nhất một nghiệm.
3

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.
Dạng 4: Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y = g ( x ) , trong bài toán chứa tham số.
Câu 1.

Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ.

y
2

x

1
-1

Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) =

2020x

f ( x )  f ( x ) − m 

tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .


Lời giải

Chọn B
Ta có g ( x ) là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên
lim g ( x ) = 0 , do đó đồ thị hàm số g ( x ) luôn có một tiệm cận ngang là y = 0 .

x →±∞

x
=

x=
Phương trình f ( x )= 0 ⇔ 
x=

 x=

x1 ; − 2 < x1 < −1
x2 ∈ ( −1;0 )
x3 ∈ ( 0;1)

.

x4 ∈ (1; 2 )

Ta thấy phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên x = x1 ,
x = x2 , x = x3 , x = x4 là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) .
Vậy để đồ thị hàm số g ( x ) có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì
phương trình f ( x ) = m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4
−1 < m < 2
nghiệm xi i = 1, 4 ⇔ 
mà m ∈  nên m = 1 .
m ≠ 0

(

Câu 2.

)

Cho hàm số f ( x=
) x 2 − 2 x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị m để đồ
thị hàm số g ( x ) =

f ( x)
có số tiệm cận là số lẻ.
f ( x + m)

A. m ≠ 2 và m ≠ 0 .

B. m ≠ −2 và m ≠ 0 .

C. m ≠ 0 .

D. m ≠ ±2 .

Chọn D
Ta có:

Lời giải

f ( x)
x2 − 2 x
=
f ( x + m ) ( x + m )2 − 2 ( x + m )


x2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 .

( x + m)
Vì lim

x →±∞

2

− 2 ( x + m ) =0 ⇔ x =−m ∨ x =2 − m .

f ( x)
f ( x)
luôn có 1 tiệm cận
= 1 , ∀m ∈ * nên hàm số g ( x ) =
f ( x + m)
f ( x + m)

ngang là y = 1 .
Với m = 0 , ta có
g ( x) =

f ( x)
= 1 , ∀x ∈  \ {0; 2} . Suy ra đồ thị hàm số
f ( x + m)

f ( x)
không có tiệm cận đứng.
f ( x + m)

Do vậy với m = 0 , đồ thị hàm số g ( x ) =
f ( x)
Với m = 2 ,=
ta có
f ( x + m)

f ( x)
có 1 tiệm cận.
f ( x + m)

x ( x − 2)
x2 − 2 x
có tập xác định là
=
2
( x + 2) − 2 ( x + 2) x ( x + 2)

=
D  \ {−2;0} .
Có lim

x →−2

lim
x →0

f ( x)
x ( x − 2)
= lim
= ∞,
2
x
→−
f ( x + m)
x ( x + 2)

f ( x)
x ( x − 2)
x−2
= lim
= lim
= −1 .
f ( x + m ) x →0 x ( x + 2 ) x →0 x + 2

Do đó đồ thị hàm số

f ( x)
có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).
f ( x + m)

f ( x)
Với m = −2=
, ta có
f ( x + m)

x2 − 2 x
=
2
( x − 2) − 2 ( x − 2)

x ( x − 2)
, có tập xác định
( x − 2 )( x − 4 )

D =  \ {2; 4} .

Có lim
x→2

lim
x→4

f ( x)
x ( x − 2)
x
= lim
= lim
= −1 ,
f ( x + m ) x →2 ( x − 2 )( x − 4 ) x →2 x − 4

f ( x)
x ( x − 2)
= lim
= ∞.
f ( x + m ) x →4 ( x − 2 )( x − 4 )

Do đó đồ thị hàm số

f ( x)
có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang).
f ( x + m)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×