Tải bản đầy đủ

VỀ các điều KIỆN (ci) của MÔĐUN và MÔĐUN LIÊN tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI DANH HOAN

VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci) CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN LIÊN
TỤC

TểM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG

VINH 2010
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG


Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Thị Hồng Loan
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thành Quang

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chầm luận văn thạc sỹ
tại Đại học Vinh lỳc giờ, ngày thỏng năm 2010.

Cú thể tỡm hiểu Luận văn tại thư viện trường Đại học Vinh


1
LỜI NÓI ĐẦU
Lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai lớp môđun
đóng vai trò trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết
vành. Các kết quả về chúng còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu
đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán… Với tầm quan trọng
như vậy nên vấn đề mở rộng các lớp môđun này được rất nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là mở rộng lớp môđun nội
xạ.
Trong nghiên cứu các mở rộng của lớp môđun nội xạ, người
ta đã đưa ra các điều kiện sau đây đối với môđun M.
(C1) Mỗi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực
tiếp của M.
(C2) Với mọi A và B là các môđun con của M đẳng cấu với
nhau, nếu A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp
của M.
(C3) Với mọi A và B là các hạng tử trực tiếp của M, nếu

A∩ B = 0

thì

A⊕ B

cũng là hạng tử trực tiếp của M.

Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện
(C1) và (C2). M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện
(C1) và (C3). Một môđun thỏa điều kiện (C1) được gọi là CS - môđun
hay môđun extending.
Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên
hệ giữa các điều kiện (Ci), môđun liên tục và chứng minh một số tính
chất của chúng. Luận văn gồm hai chương:
Chương 1 : Các khái niệm cơ sở.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ
sở bao gồm: Các định nghĩa và một số tính chất của môđun con cốt
yếu, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun đều, CS - môđun, môđun
suy biến.


2
Chương 2: Về các điều kiện (Ci) của môđun và môđun liên
tục.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số tính chất, các
điều kiện (Ci), mối liên hệ giữa chúng. Một số tính chất của CS môđun, (1 - C1) môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng
thời chứng minh một cách chi tiết và chặt chẽ một số kết quả về lớp
CS - môđun, môđun liên tục.
Luận văn được thực hiện từ tháng 3 năm 2010 và hoàn thành
tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ
Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
thầy giáo hướng dẫn, người đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình
nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, khoa đào
tạo Sau Đại học, trường Đại học Vinh đã trang bị cho tôi nền kiến
thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 16,
chuyên ngành Đại số, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá
trình hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo
của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả


3

CHƯƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
Chương này chúng tôi sẽ trình bày những định nghĩa, kết quả
cơ bản liên quan đến nội dung của khóa luận. Các khái niệm, tính
chất và kí hiệu cơ bản chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu:
N.V.Dung - D.V.Huynh - P.F.Smith - R.Wisbauer[3]. Mohamed Muller[6].
Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các
môđun trên một vành luôn được hiểu là các môđun phải unita.
1. Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và môđun con bé
1.1. Định nghĩa. Cho R là vành và M là R môđun phải. Xét N môđun con
của M.
(a) Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong M và
kí hiệu N ⊂ e M nếu với mọi môđun con K ⊂ M, K ≠ 0 thì K ∩ N
≠ 0. Nếu N là môđun con cốt yếu của M, ta sẽ nói rằng M là mở
rộng cốt yếu (essential extension) của N.
(b) Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M nếu N
không có một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói cách khác, N gọi là đóng
trong M nếu với mọi môđun con K của M là N ⊂ e K thì K = N.
(c) Môđun con K của M được gọi là bao đóng (closure) của
môđun con N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N là
cốt yếu trong K.
(d) Một môđun con B của môđun M được gọi là bé (Hay là
đối cốt yếu) trong M và ký hiệu B << M, nếu với mọi môđun con L
của M, L ≠ M thì
B + L ≠ M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M.


4
(e) Một môđun M được gọi là bé hay M là môđun bé nếu M
là môđun con bé trong bao nội xạ E(M) của M.
1.2. Tính chất. Cho vành R và M, N là các R- môđun phải với N ⊂ M
(a) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại.
(b) Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong
M (Xem [6])
2. Môđun nội xạ, tựa nội xạ và môđun xạ ảnh
2.1. Định nghĩa. Cho vành R và M là R - môđun phải
(a) Một R- môđun phải N được gọi là M - nội xạ (Minjective) nếu với mọi môđun con X của M và mọi đồng cấu f: X →
N thì có thể mở rộng tới đồng cấu f*: M → N thỏa mãn f = f*i với i:
X → M là phép nhúng.
* Môđun M được gọi là tựa nội xạ (quasi - injective) nếu M là
M- nội xạ.
* Môđun N được gọi là nội xạ (injective) nếu N là M - nội xạ
với mọi R - môđun phải M.
(b) Một R - môđun phải N được gọi là M - xạ ảnh (Mprojective) nếu với mọi môđun thương M/X và với mọi đồng cấu f: N
→ M/X thì tồn tại đồng cấu h: N → M thỏa mãn ph = f với p: M
→ M/X là toàn cấu chính tắc.
* Môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (quasi - projective) nếu M là
M - xạ ảnh.
* Môđun N được gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là M - xạ
ảnh với mọi R - môđun phải M.
2.2. Tính chất. Cho M, N là các R - môđun phải. Ta có:
(a) Nếu N là M - nội xạ thì mọi đơn cấu f: N → M là chẻ ra,
tức dãy

f
p
khớp ngắn: 0 → N 
M
M/f(N) → 0 chẻ ra hay
→
→

f(N) ⊂ ⊕ M.


5
(b) Nếu N là M - xạ ảnh thì mọi dãy khớp ngắn:
f
g
0→P 
M
N → 0 là chẻ ra hay f(P) ⊂ ⊕ M.
→
→
(c) Mọi R - môđun phải N đều có thể nhúng vào một dãy
khớp ngắn.
f
g
0→N 
M
P → 0. Trong đó M là môđun nội xạ.
→
→

(d) Mọi R - môđun phải N đều có thể nhúng vào một dãy
khớp ngắn.
f
g
0→P 
M
N → 0. Trong đó M là môđun xạ ảnh.
→
→

2.3. Định nghĩa.
(a) Bao nội xạ (injective hull) của R - môđun phải N, ký hiệu
E(N) là một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của N.
(b) Các R - môđun phải M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau
(relatively injective) nếu M là N - nội xạ và N là M - nội xạ.
2.4. Tính chất. Bao nội xạ E(N) luôn tồn tại với mọi môđun N.
2.5. Mệnh đề. Cho môđun N là A - nội xạ và B là môđun con của A thì:
(i) N là B - nội xạ.
(ii) N là A/B - nội xạ.
2.6. Mệnh đề. Môđun N là A - nội xạ khi và chỉ khi N là Ra - nội xạ
với ∀a ∈ A .

⊕ Ai - nội xạ khi và chỉ khi N là A i 2.7. Mệnh đề. Một Môđun N là i∈
I
nội xạ với ∀i ∈ I .
2.8. Định nghĩa. Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu Q là A - nội
xạ với mọi môđun A.
2.9. Mệnh đề. Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.
2.10. Định lý. Mọi môđun M luôn nhúng vào được một môđun nội
xạ.
2.11. Định lý. Một môđun Q - nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực
tiếp của các môđun chứa nó.


6

Qi nội xạ khi và chỉ khi Q nội xạ với mọi i ∈ I
2.12. Định lý. ∏
I
2.13. Định lý. M1 ⊕ M2 là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là Mj - nội xạ
với mọi i, j ∈ {1; 2} i ≠ j.
2.14. Hệ quả.
(i) Mn = M ⊕ … ⊕ M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa
nội xạ.
n

(ii) ⊕ M i là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là tựa nội xạ và Mi
i =1

là Mj - nội xạ với ∀i ≠ j.
2.15. Định nghĩa. Môđun M được gọi là nửa đơn nếu với mỗi
môđun con của M đều là hạng trực tiếp của M.
2.16. Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun đơn nếu nó không
có môđun con không tầm thường nào. Hay nói cách khác M chỉ có
hai môđun con là 0 và M.
2.17. Định nghĩa. Cho M là môđun, ta gọi tổng tất cả các môđun con
đơn của M là đế của môđun M và kí hiệu là Soc(M).
Nếu M không có môđun con đơn thì quy ước Soc(M) = 0
2.18. Nhận xét. Soc(M) =  E, trong đó E chạy khắp các môđun
con cốt yếu của M.
3. CS - môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục
Cho M là một R - môđun phải. Ta xét các điều kiện sau:
(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực
tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng
tử trực tiếp của M.
(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau
và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0
thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M.


7
3.1. Định nghĩa.
(a) Một môđun M được gọi là CS - môđun (hay Extending),
nếu M thỏa mãn (C1)
(b) Một môđun M được gọi là liên tục (continuous) nếu thỏa
mãn các điều kiện (C1) và (C2).
(c) Một môđun M được gọi là tựa liên tục (quasicontinuous) nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3).
(d) Một vành R được gọi là CS - vành (tương ứng liên tục,
tựa liên tục) phải nếu RR là CS - môđun (tương ứng liên tục, tựa liên
tục). Tương tự ta có các khái niệm CS - vành trái, vành liên tục trái,
vành tựa liên tục trái. Nếu R có tính chất hai phía thì ta có các khái
niệm CS - vành, vành liên tục, vành tựa liên tục.
3.2. Tính chất. M thỏa mãn điều kiện (C2) thì cũng thỏa mãn điều
kiện (C3) (xem[6], Propositio 2.2]). Từ đó ta có phép kéo theo sau
đây là đúng.
Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS.
4. Môđun đều và chiều đều (chiều uniform, chiều Goldie)
4.1. Định nghĩa.
(a) Cho R là vành, Một R - môđun phải U được gọi là đều
(hay uniform) nếu U ≠ 0 và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con
khác không A, B của U.
(b) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều (chiều
uniform, chiều Goldie) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp
vô hạn các môđun con khác không trong M. Số hạng tử khác không
lớn nhất của các tổng trực tiếp các môđun con của M là một số bất
biến được gọi là số chiều đều của M và ký hiệu là udim(M) (hay
GdimM).
Trong trường hợp ngược lại ta nói M có chiều đều vô hạn


8
(c) Giả sử R là một vành, ta gọi chiều đều phải của R là
chiều đều của RR và chiều đều trái của R là chiều đều của RR.
4.2. Tính chất.
(a) Nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con
của M cũng có chiều đều hữu hạn.
(b) Cho A là môđun con của M, nếu A và M/A có chiều đều
hữu hạn thì M có chiều đều hữu hạn.
(c) Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun có chiều đều hữu hạn
là một môđun có chiều đều hữu hạn.
(d) Nếu A ⊂ e B thì B có chiều đều hữu hạn khi và chỉ khi A
có chiều đều hữu hạn và udim A = udim B.
5. Môđun suy biến
5.1. Định nghĩa. Cho M là một R - môđun phải và m ∈ M
(a) Tập hợp rR(m) = {r ∈ R: mr = 0} được gọi là linh hóa tử
của phần tử m và viết gọn r(m).
Tập hợp rR(M) = {r ∈ R: mr = 0, ∀ m ∈ M} được gọi là linh
hóa tử của môđun M và viết gọn r(M).
(b) Cho R là một vành và S là tập con khác rỗng của R
Linh hóa tử phải của S trong R là: r(S) = {x ∈ R: sx = 0 ∀ s

∈ S}

Linh hóa tử trái của S trong R là: l(S) = {x ∈ R: xs = 0 ∀ s ∈
S}
(c) Cho một R - môđun phải M. Tập hợp:
ZR(M) = {x ∈ M: rR(x) ⊂ e R} được gọi là môđun con suy
biến của M.
Nếu ZR(M) = M ta nói rằng M là môđun suy biến và nếu
ZR(M) = 0 ta nói M là môđun không suy biến.
(d) Cho một vành R.


9
Ta gọi idean suy biến phải của R là: Zr(R) = {x ∈ R: r(x) ⊂ e
R}
Ta gọi idean suy biến trái của R là: Zl(R) = {x ∈ R: l(x) ⊂ e
R}
5.2. Định nghĩa.

(a)

Cho C là một phạm trù và D là phạm trù con của nó. D

được gọi là phạm trù con đầy của C nếu với mọi vật A, B ∈ D luôn
có HomD(A, B) = HomC(A, B).

(b)

Phạm trù con của Mod - R gồm tất cả các môđun con

của các môđun sinh bởi M được kí hiệu là σ [M].

(c) σ [M] là một phạm trù con đầy của Mod - R.
5.3. Định nghĩa.
(a) Cho M, N là các R - môđun phải. Môđun N được gọi là M suy biến nếu tồn tại môđun K ∈ σ [M] và môđun con cốt yếu L của K
sao cho N ≅ K/L.
(b) Môđun M được gọi là môđun SI nếu mọi môđun M - suy
biến là M - nội xạ.
(c) Vành R được gọi là vành SI phải (tương ứng trái) nếu RR
(tương ứng RR) là môđun SI.
6. Một số khái niệm khác:
6.1. Định nghĩa.
(a) Cho một môđun M, ta kí hiệu căn của môđun M là giao
của tất cả các môđun con tối đại của M và ký hiệu là Rad(M).
(b) Cho vành R, ta gọi căn Jacobson của R là căn của môđun
RR kí hiệu là J(R) tức là J(R) = Rad(RR).
6.2. Định nghĩa. Cho vành R
(a) Phần tử e được gọi là lũy đẳng nếu e2 = e.


10
(b) Hai phần tử lũy đẳng e và f được gọi là lũy đẳng trực
giao nếu ef = fe = 0.

CHƯƠNG 2
VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci) CỦA MÔĐUN
VÀ MÔĐUN LIÊN TỤC
Chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách hệ thống các
kiến thức về các điều kiện (Ci) của môđun, môđun tựa liên tục,
môđun liên tục.
Năm 1960 Utumi đã đưa ra khái niệm vành liên tục (thuật
ngữ liên tục được dùng đến ở đây xuất xứ từ hình học liên tục của
Von Neumann không có liên quan đến khái niệm liên tục trong tôpô


11
và giải tích). Sau đó 1977 Mohamed và Bouhy đã suy rộng khái niệm
liên tục từ vành sang môđun.
1. Các điều kiện (Ci) của môđun.
1.1. Môđun tựa liên tục
Trước hết để chỉ ra mối quan hệ giữa môđun tựa liên tục, liên
tục với môđun nội xạ, tựa nội xạ ta có mệnh đề:
1.1.1 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa nội xạ M đều có hai tính chất sau:
(C1) - Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử
trực tiếp.
(C2) - Nếu mỗi môđun con A của M đẳng cấu với một hạng
tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M.
1.1.2. Mệnh đề. Nếu M có tính chất (C2) thì cũng có tính chất (C 3),
nghĩa là:
Nếu M1 và M2 là các hạng tử trực tiếp của M sao
cho:

M1 ∩ M 2 = 0 thì M1 ⊕ M2 cũng là hạng tử
trực tiếp của M.
1.1.3. Định nghĩa. Ta nhắc lại rằng: Một môđun M được gọi
là liên tục nếu M có tính chất (C1) và (C2).
Một môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M có tính chất
(C1) và (C3).
Một môđun M được gọi là CS - môđun nếu M có tính chất
(C1).
Từ mệnh đề 1.1.1 và mệnh đề 1.1.2 chúng ta có:
1.1.4. Định lý. Các phép kéo theo sau đây là đúng:
Môđun nội xạ ⇒ Môđun tựa nội xạ ⇒ Môđun liên tục ⇒
Môđun tựa liên tục ⇒ CS- môđun.
Chú ý:


12
Trong [6] đã chỉ ra các chiều ngược lại của các phép kéo
theo trong định lý này nói chung là không đúng và như vậy các lớp
môđun của định lý này là mở rộng thực sự của lớp môđun đi trước.
Ta nhắc lại là rằng một môđun con N của M được gọi là
đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M.
Một môđun con X của M gọi là bù nếu nó là tối đại trong M
với tính chất

X ∩ Y = 0, đối với một môđun con Y nào đó của M.

1.1.5. Hệ quả. Môđun con A là đóng trong môđun M khi và chỉ khi A
là môđun con bù trong M. Môđun con đóng hay bù là luôn tồn tại.
1.1.6. Mệnh đề. Một môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi môđun con
đóng của M là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh: Giả sử M là CS và A là môđun con đóng của M. Do
tính CS của M nên tồn tại

B⊆ M



A ⊂e B

và B là hạng tử

trực tiếp của M.
Do A đóng nên A = B nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M.
Ngược lại, mọi môđun con đóng của con M là hạng tử trực
tiếp của M và X là môđun con bất kỳ của M. Bởi Zorn, tồn tại A là
mở rộng cốt yếu tối đại của X, nghĩa là

X ⊆ A và A là đóng. Vì A

là hạng tử trực tiếp của , vậy M là CS-môđun.
1.1.7. Mệnh đề. Mỗi môđun không phân tích được M và là CSmôđun khi và chỉ khi M là đều. Mỗi môđun đều là tựa iên tục.
1.1.8. Bổ đề. Giả sử A là môđun con của môđun M. Nếu A là đóng
trong một hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M.
1.1.9. Mệnh đề. Hạng tử trực tiếp của một môđun tựa liên tục (liên
tục) là tựa liên tục (liên tục).
1.1.10. Định lý. Các phát biểu sau đây là tương đương đối với một
môđun M:
(1). M là tựa liên tục.


13
(2).

M = X ⊕ Y đối với 2 môđun con X, Y sao cho chúng

bù lẫn nhau.
(3).

fM ⊆ M

(4). Nếu

đối với luỹ đẳng

E ( M ) = ⊕ Ei
i∈I

thì

f ∈ End  E ( M )  .

M = ⊕(M ∩ Ei )
i∈I

1.2. CS - Môđun và (1 - C1) - Môđun
1.2.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là CS - môđun (1 - C1) môđun (uniform extending) nếu mỗi môđun con (môđun con đều)
của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, nói cách khác
mọi môđun con đóng (môđun con đóng đều) trong M là hạng tử trực
tiếp của M.
1.2.2. Hệ quả. Mọi CS-môđun là (1 - C1) - môđun.
1.2.3. Bổ đề. Hạng tử trực tiếp của môđun CS (Tương ứng (1 - C 1)môđun) là CS - môđun (Tương ứng (1 - C1) - môđun) .
Với M là CS - môđun chứng minh tương tự.
1.2.4. Bổ đề. Nếu M là (1 - C1) - môđun và K là môđun con đóng
của M với chiều đều hữu hạn thì K là hạng tử trực tiếp của M.
1.2.5. Bổ đề. Cho M là môđun có chiều uniform hữu hạn. Khi đó M

CS - môđun nếu và chỉ nếu (1 - C1) - môđun.
1.2.6. Bổ đề. Nếu M = M 1 ⊕ M 2

trong đó M 1 và M 2 là CS-

môđun, thì M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng K
của m với K ∩ M 1 = 0 hoặc K ∩ M 2 = 0 , là một hạng tử trực tiếp
1.2.7. Định lí. Cho

M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn là tổng trực tiếp

hữu hạn của các môđun nội xạ lẫn nhau M i. Khi đó M là CS - môđun
nếu và chỉ nếu Mi là môđun (i = 1,2,...,n).


14

M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn

1.2.8. Định lí. Cho

là tổng trực tiếp

của hữu hạn các môđun Mi nội xạ lẫn nhau. Khi đó M là (1 - C 1) môđun nếu và chỉ nếu M1 là (1 - C1) - môđun ( ∀i =1,2,..., n).
1.2.9. Bổ đề. Cho

M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn là tổng trực tiếp của

các hữu hạn các môđun con Mi ( 1≤ i ≤ n). Khi đó M là môđun tựa
liên tục (tương ứng liên tục) nếu và chỉ nếu M i (i = 1,2,...,n) là các
môđun tựa liên tục (tương ứng liên tục) nội xạ lẫn nhau.
1.2.10. Định nghĩa.
(a) Họ { Ni: i∈ I} các môđun con M được gọi là hạng tử trực
tiếp địa phương nếu với mọi tập con hữu hạn
hạng tử trực tiếp của M và



I

A ⊂ I ; ⊕ A Nα



N i là tổng trực tiếp.

(b) Họ { Ni: i∈ I} các môđun con đều của môđun M được gọi
là hạng tử trực tiếp địa phương nếu với tập con hữu hạn

A ⊂ I ,⊕ A Nα

là hạng tử trực tiếp và



I

N i là tổng trực tiếp.

(c) Hạng tử trực tiếp địa phương { Ni: i∈ I} (hạng tử trực tiếp
đều địa phương) là hạng tử trực tiếp của M nếu

⊕i Ni

là hạng tử

trực tiếp của M.
1.2.11. Bổ đề. Cho
con đều

Ui (i ∈ I )

M = ⊕ I Ui

là tổng trực tiếp của các môđun

khi đó mọi môđun con khác không của M có

chứa một môđun đều.
1.2.12. Định lý: Nếu M là môđun có tính chất mọi hạng tử trực tiếp
đều địa phương và hạng tử trực tiếp và mọi môđun con đóng của M
có chứa môđun đều thì M là CS - môđun và nếu chỉ nếu M là (1 - C 1)
- môđun.


15
1.2.13. Hệ quả. Cho môđun M là tổng trực tiếp của các môđun con
đều và có tính chất mọi hạng tử trực tiếp đều địa phương là hạng tử
trực tiếp. Khi đó M là CS - môđun nếu và chỉ nếu M là (1 - C 1) môđun.
2. Môđun liên tục
2.1. Các môđun liên tục.
2.1.1. Bổ đề. Một môđun tựa liên tục M là liên tục khi và chỉ khi đơn
cấu

f : M → M với ảnh thực chất là một đẳng cấu.

2.1.2. Mệnh đề. Xét M là môđun tựa liên tục, S = EndM.

{

}

∆ = α ∈ S : ker α ⊂ e M và J là căn Jacobson của S. Khi đó M
liên tục khi và chỉ khi ∆ = J và S/ ∆ đều.
2.1.3. Định lý. Các kết luận dưới đây là tương đương. Cho một
môđun

M=

⊕ Mα

α∈A

(i) M liên tục
(ii) M tựa liên tục và các M α liên tục
(iii) M α liên tục và M β đơn cấu với mọi α ≠ β i .
2.1.4. Định lý. Xét M là môđun liên tục và N là môđun tựa liên tục.
Nếu M → N và N → M thì M ≅ N .
2.2. Môđun u - liên tục và môđun u - tựa liên tục
2.2.1. Định nghĩa
a) Môđun M được gọi là u - liên tục nếu M là môđun liên tục
đối với môđun con đều, nghĩa là M là môđun (1 - C1) và thoả mãn
điều kiện (C2).
b) Môđun M được gọi là u - tựa liên tục nếu M là môđun tựa
liên tục đối với môđun con đều, nghĩa là nếu M là môđun (1 - C1) và
thoả mãn điều kiện (C3)


16
c) Một vành R được gọi là liên tục phải nếu Rr là liên tục,
vành R được gọi là u - liên tục phải nếu Rr là u - liên tục.
2.2.2. Bổ đề. Nếu M là môđun u - liên tục (u - tựa liên tục ) thì mọi
hạng tử trực tiếp của M cũng là môđun u- liên tục (u - tựa liên tục).
2.2.3. Bổ đề. Cho môđun
đều

M = ⊕i∈I Ui

trong đó Ui là các môđun

( ∀i ∈ I ) . Nếu A là một môđun con đóng của M thì tồn tại

F ⊂ I sao cho A ⊕ ( ⊕i∈F Ui ) ⊆ e M
2.2.4. Mệnh đề. Nếu m là môđun u - liên tục (u - tựa liên tục), thì
môđun con đóng có dạng X ⊕ U là hạng tử trực tiếp của M, trong
đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều.
2.2.5. Định lí Cho M là môđun có dạng
Ui là môđun con đều

M = ⊕i∈I Ui

trong đó mỗi

( ∀i ∈ I ) . Khi đó M là môđun liên tục nếu và

chỉ nếu M là môđun
u - liên tục.
2.2.6. Bổ đề. Cho M là môđun với chiều Goldie hữu hạn. Khi đó M
là môđun liên tục nếu và chỉ nếu M là môđun u - liên tục.
Chứng minh. Được suy ra từ bổ đề 1.2.5 và định lí 2.2.5.
2.2.7. Bổ đề. Cho m là môđun u - liên tục. Nếu

M =U ⊕ V

trong

đó U và V là các môđun đều, thì U và V là môđun đều, thì U và V là
các môđun nội xạ lẫn nhau.
2.2.8. Bổ đề. Cho

M = U ⊕ V , trong đó U ≅ V là những môđun

liên tục và đều. Khi đó ta có các khẳng định sau:
i) Nếu A là một hạng tử trực tiếp khác 0 của M thì

A≅U.
ii) M thoả mãn điều kiện (C2)


17
2.2.9.Định lí. Cho

M = U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un là

của hữu hạn các môđun con đều U i ( 1≤ i ≤ n
là CS - môđun với

1≤ i ≤ j ≤ n

tổng trực tiếp

sao cho Ui ⊕ U j )

. Khi đó nếu M là môđun u - liên

tục thì M môđun tựa nội xạ.
2.2.10. Định lí. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh phải, u - liên tục
phải sao cho

eR ⊕ eR

là CS - môđun với mỗi phần tử luỹ đẳng

nguyên thuỷ e của R. khi đó R là vành tựa nội xạ phải.
2.2.11. Hệ quả. Nếu R là vành artin phải, u - liên tục phải thì R là
vành liên tục phải.
2.2.12. Mệnh đề. Cho M là môđun u - tựa liên tục có tính chất mọi
hạng tử trực tiếp đều địa phương là hạng tử trực tiếp của M thì tổng
trực tiếp của một môđun u - liên tục với đế cốt yếu và một môđun u tựa liên tục với đế bằng 0. Chứng minh. Ta có

S = Soc( M ) = ⊕i∈I Si , trong đó Si là các môđun con đơn của M.
Rõ ràng Si là môđun đều. Do M là môđun (1 - C1) nên

Si ⊂e Ai



Ai ⊂ ⊕ M (i ∈ I )
Khi đó họ

{ Ai } i∈I là họ các môđun con độc lập của M. Vì M

thoả mãn điều kiện (1 - C3) nên mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của họ

{ Ai } i∈I là

hạng

tử

trực

A = ⊕i∈I Ai ⊂ ⊕ M .

Suy ra

(i ∈ I ) , Si ⊂ ⊕ Ai

tiếp

M.

Từ

với

B ⊂ M . Vì

với

⊕i∈I Si ⊂ e ⊕i∈I Ai = A .

Khi

M = A⊕ B

nên Soc(M) =

đó S = Soc(A) và Soc(B)= 0.

của

giả

thiết,


18
Cũng như áp dụng môđun u - liên tục vào việc nghiên cứu H
- vành và co-H- vành. Chúng ta sẽ áp dụng vào nghiên cứu QF vành.
2.2.13. Bổ đề. [7, Theorem 4.3]. Đối với một vành R, những mệnh đề
sau là tương đương:
i) R là QF - vành.
ii) R là H - vành phải với Z(R) = J(R).
iii) R là co - H - vành phải với Z(R)=J(R).
Chúng ta có đặc trưng mới về QF - vành như sau:
2.2.14. Định lí. Những khẳng định sau đây là tương đương đối với một
vành R:
i) R là QF - vành.
ii) R là H - vành phải và u - liên tục phải.
iii) R là co - h - vành phải và i - liên tục phải.
2.2.15. Định lí. Cho P là môđun xạ ảnh trên vành liên tục phải nửa
hoành chỉnh phải. Khi đó P là môđun u - tựa liên tục nếu và chỉ nếu
P là (1 - C1) môđun.
2.2.16. Hệ quả. Một vành nửa hoàn chỉnh R là QF nếu và chỉ nếu R
là vành liên tục phải và mọi môđun xạ ảnh là (1 - C1) - môđun.
Chứng minh. Được suy ra từ Định lí 2.2.15 và [7, Theorem 4.2].


19
KẾT LUẬN
Luận văn đã đề cập và giải quyết được những vấn đề sau
đây:
Trên cơ sở tìm hiểu, tham khảo các tài liệu về mở rộng lớp
môđun của các tác giả trong và ngoài nước, chúng tôi đã:
1. Trình bày có hệ thống các điều kiện (Ci ) của môđun, một
số tính chất của chúng và nghiên cứu mối quan hệ giữa lớp CS môđun và (1 − Ci ) - môđun.
2. Trình bày và chứng minh chi tiết về một số tính chất của
môđun tựa liên tục, môđun liên tục, môđun u - liên tục mà trong các
tài liệu hoặc không chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt.


nếu S là
một vị
nhúm

20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. F.W. Anderson and K.R.Fuller (1974), Rings and
Categories of Modules. Springer-Verlag, New York.
[2]. A.W. Chatters and C.R Hajarnavis (1980), Rings with
Chain Conditions, Pitman. London.
[3]. Ng. V.Dung- D.V.Huynh-P.F.Smith and R.Wisbauer
(1994), Extending modules, Pitman, London.
[4]. M. Harada, On modules with extending property, Osaka
J.Math (1982), 203 - 215.
[5]. H. Mohamed and T. Bouhy (1977), Continuous
modules, Arabian J. Sei Eng 2, 107-122.
[6]. H. Mohamed and J. Muller (1990), Continuous and
discrete modules, Cambridge University press.
[7]. K. Oshiro (1984), Lifting modules, Exteding modules
and their applications to QF - rings, Hokkaido Math.J.13, 310 - 338.
[8]. Ngo Sy Tung, Some results on quasi - continuous
modules, Acta Mathematica Vietnamica, volume 19. No.2.1994, (1317).
[9]. Ngo Sy Tung - Thieu Dinh Phong, Một vài kết quả
về môđun u- liên tục và môđun u - tựa liên tục.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×