Tải bản đầy đủ

Rèn kĩ năng giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường THCS phú nhuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
CĂN THỨC BẬC HAI CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
LỚP 9 Ở TRƯỜNG THCS PHÚ NHUẬN

Người thực hiện: Lê Thị Thanh Tân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Phú Nhuận
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019


MỤC LỤC



1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông, môn Toán chiếm một vị trí khá quan trọng, nó là nền
tảng cho các môn học tự nhiên khác. Đây là một môn học rất hấp dẫn và liên quan
đến chúng ta trong cuộc sống hàng ngày. Song nó đòi hỏi người học phải có sự say
mê và tính sáng tạo thì mới chiếm lĩnh được những điều lí thú mà toán học dành cho.
Trong số những bài toán được đề cập trong chương trình Đại số bậc THCS,
tôi nhận thấy bài tập "Giải phương trình" chiếm một thời lượng lớn, nó xuyên
suốt chương trình học. Điều đó khẳng định vai trò và vị trí của phương trình là
đối tượng nghiên cứu trung tâm của môn Đại số.
Thực tế khi giảng dạy về bài tập: "Giải phương trình" đặc biệt là "phương
trình chứa căn thức bậc hai" ở lớp 9 trường THCS Phú Nhuận năm học qua, tôi
nhận thấy rằng:
1, Học sinh lúng túng khi giải bài toán chứa căn thức bậc hai, có em chỉ
biết giải bằng một cách là bình phương hai vế, còn có em cảm thấy sợ khi gặp
trường hợp khác không xác định được hướng giải cho bài toán.
2, Học sinh thường mắc phải những sai lầm khi giải là không tìm điều kiện
xác định cho bài toán, không kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện ban đầu,...
Với mong muốn giúp các em có phương pháp giải dạng bài tập "Giải
phương trình chứa căn thức bậc hai", khắc phục được những sai lầm thường gặp
khi giải phương trình, tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Rèn kĩ năng giải phương trình
chứa căn thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 ở trường THCS Phú Nhuận".
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Đề tài này có tác dụng giúp cho học sinh học về chuyên đề "giải phương
trình chứa căn thức bậc hai" tốt hơn, tránh được những sai sót khi làm bài tập.
Trang bị cho học sinh một số kiến thức nhằm nâng cao năng lực học môn Toán,
giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải bài tập
trong chuyên đề "giải phương trình vô tỉ" sau này.
- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải
phương trình chứa căn thức bậc hai.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản
để xác định chính xác hướng đi và giải thành công bài tập về "phương trình chứa
căn thức bậc hai" trong chương trình Toán THCS.
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham
khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập hay và khó về phương trình chứa
căn thức bậc hai, đặc biệt trong các kỳ thi häc sinh giỏi, thi vào THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Tập trung nghiên cứu về việc "Rèn kĩ năng giải phương trình chứa căn
thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9".
- Một số phương trình chứa căn bậc hai và cách giải.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra viết người điều tra có thể nắm được thông tin học
tập bộ môn toán 9 tại thực tiễn.
1


- Phương pháp vấn đáp.
- Phương pháp suy luận.
- Phương pháp tìm tòi.
- Phương pháp đàm thoại.
- Phương pháp thống kê và xử lí dữ liệu: Sau khi điều tra, khảo sát thực tế
học sinh làm các bài toán giải phương trình chứa căn thức bậc hai chưa áp dụng
đề tài, từ đó so sánh với kết quả học sinh giải toán khi đã áp dụng đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Trong việc thực hiện mục tiêu giáo dục thì nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh
khá giỏi được coi là một trong những nhiệm vụ trọng tâm, nó đòi hỏi cả một quá
trình hết sức công phu và gian khó, tuy nhiên rất vinh dự. Học sinh khá, giỏi
khẳng định chất lượng mũi nhọn của mỗi đơn vị giáo dục còn thước đo về trí tuệ
và danh dự cho cả một nền giáo dục. Làm tốt nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh khá
giỏi của mỗi giáo viên, của mỗi nhà trường chính là thực hiện tốt nhiệm vụ bồi
dưỡng nhân tài, tạo nguồn cho các cấp học cao hơn và đóng góp cho Đất nước
những hiền tài trong tương lai.
Khi giảng dạy bộ môn Đại số lớp 9, chúng ta gặp bài toán về phương trình
chứa căn thức bậc hai có những bài tập rất đơn giản nhưng không phải học sinh
nào cũng giải được. Thực tế cho thấy phương trình chứa căn thức bậc hai là một
dạng toán khó đối với học sinh cấp THCS, kể cả những học sinh khá giỏi cũng
gặp khó khăn hoặc mắc phải sai lầm khi giải dạng toán này. Điều mong muốn
của tôi là làm sao để học sinh không sợ, không mắc sai lầm khi giải phương
trình chứa căn thức bậc hai và có thể "hóa giải" dạng bài tập này, giúp các em có
những phương pháp giải chung hiệu quả. Chính vì thế, tôi mạnh dạn đưa ra
những phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh với hy
vọng các em sẽ bớt khó khăn khi học dạng toán này, với những dẫn dắt cẩn thận,
tỉ mỉ và những lưu ý mà các em dễ mắc sai lầm khi giải toán về phương trình
chứa căn bậc hai.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
"Giải phương trình chứa căn thức bậc hai" là một dạng khó, đa số các em
không làm được vì không nghĩ ra cách giải. Hơn nữa các em lại lười suy nghĩ
nên gặp dạng toán này các em rất lúng túng không xác định được cách giải, khi
giải thường mò mẫm dẫn đến thiếu điều kiện, biến đổi không tương đương, bài
giải không chặt chẽ. Chính vì vậy bộ phận học sinh không giải được dạng toán
này ngày càng nhiều hơn.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành khảo sát một nhóm học sinh có
học lực khá giỏi của lớp 9A, năm học 2018 - 2019.
Thời gian khảo sát: Tháng 9 năm năm 2018.
Nội dung khảo sát: Yêu cầu học sinh giải bài tập sau:
Giải các phương trình sau:
a,
x +1 = x – 2
2
b, x + 5 x + 6 = 2 3x + 4
c, x2 - x 2 − 1 = 3
2


d, 2 x − 1 − x + 1 = 2 x − 4
Kết quả khảo sát 12 học sinh có học lực khá, giỏi lớp 9A năm học 2018-2019:
điểm 9 - 10
điểm 7 - 8
điểm 5 - 6
điểm dưới 5
Số HS
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
12
0
0%
1
8%
4
34%
7
58%
Từ kết quả trên cho thấy phương trình chứa căn thức bậc hai là dạng toán
mà kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp khó khăn, cũng mắc phải sai lầm khi
giải, cũng không tìm được hướng để giải quyết. Làm sao để học sinh giải
phương trình chứa căn bậc hai thành thạo, làm sao để các em không còn sợ và
không mắc sai lầm khi giải phương trình chứa căn thức bậc hai. Từ mong muốn
đó, tôi mạnh dạn đưa ra đề tài: Rèn kĩ năng giải phương trình chứa căn thức bậc
hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 -Trường THCS Phú Nhuận với hy vọng học sinh
sẽ bớt khó khăn khi học dạng toán này.
2.3. Các giải pháp và biện pháp tổ chức thực hiện.
2.3.1. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Để giải quyết tốt vấn đề nêu trên, tôi đã yêu cầu học sinh cần nắm vững các
kiến thức cơ bản liên quan cần sử dụng để giải dạng bài tập này.
* Khái niệm phương trình chứa căn thức bậc hai:
Phương trình chứa căn thức bậc hai là phương trình chứa ẩn trong dấu căn
bậc hai.
Ví dụ: 1 − 2 x 2 = x – 1
* Các bước giải phương trình chứa căn thức bậc hai:
Tìm điều kiện xác định.
Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học.
Giải phương trình vừa tìm được.
So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.
* Kiến thức về hằng đẳng thức, các phép biến đổi căn bậc hai, một số
phương pháp giải phương trình, các bất đẳng thức,.....
* Các phương phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai
thường gặp.
- Phương pháp nâng lên luỹ thừa.
- Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 +B2 = 0.
- Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 =B2 (tức là A2-B2 =0).
- Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Phương pháp đặt nhân tử chung.
- Phương pháp dùng biểu thức liên hợp.
- Phương pháp dùng bất đẳng thức.
2.3.2. Áp dụng dạy một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc
hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 và lưu ý một số sai lầm HS thường mắc phải.
2.3.2.1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa:
Tôi nhận thấy vận dụng phương pháp rèn luyện để trở thành kỹ năng là một
yếu tố cần thiết phải hình thành cho HS. Phương pháp nâng lên luỹ thừa có thể
vận dụng vào giải ph¬ng tr×nh chứa căn thức bậc hai ở c¸c dạng sau:
2.3.2.1.a. Áp dụng giải ph¬ng tr×nh dạng: f ( x) = g ( x) (1)
3


Cách giải
- Tìm ĐKXĐ f ( x) ≥ 0 .
- ĐK g ( x) ≥ 0 bình phương hai vế của phương trình (1) ta được f ( x) = g ( x) 2 (*).
- Giải phương trình (*) chọn nghiệm thích hợp và kết luận nghiệm của
phương trình (1).
Ví dụ 1: Giải phương trình x + 1 = x – 1 (1) (Sách bài tập Toán 9).
Học sinh đã giải như sau: ĐKXĐ: x ≥ −1
Ta có x + 1 = x – 1


x + 1 = ( x − 1)

2

⇔ x + 1 = x 2 − 2x + 1
⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ x( x − 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x=0 và x=3
Tôi đã yêu cầu học sinh: 1.Tìm lỗi sai lời giải trên. (Học sinh không tìm được)
Tôi tiếp tục yêu cầu: 2. Thay giá trị tìm được của ẩn vào phương trình.
Lúc này học sinh đã phát hiện được lời giải bài toán trên sai bởi có một giá trị
x= 0 không thỏa mãn.
Vậy nguyên nhân sai do đâu ?
Giá trị vế trái của phương trình như thế nào? (học sinh xác định là không âm)
Giá trị vế phải của phương trình phải thế nào? (học sinh xác định là không âm)
Tôi khẳng định phải có điều kiện cho vế phải của phương trình:
x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

Học sinh mắc sai lầm khi phương trình tr×nh chỉ đặt điều kiện cho biểu
thức dưới dấu căn rồi bình phương 2 vế, tôi lưu ý HS: "Trước khi bình phương 2
vế của phương trình phải đặt điều kiện để hai vế của phương trình không âm".
Tôi yêu cầu học sinh giải lại phương trình trên kết quả là lời giải chính xác.
Nghiệm của phương trình (1) là x = 3 (vì x = 0 loại)
Tiếp tục yêu cầu học sinh tự khẳng định việc nắm bắt bằng việc giải ví dụ 2
x − 2 = x − 2 (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình :
- Điều kiện xác định : x ≥ 2
(*)
- Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
2
x − 2 = ( x − 2) ⇔ x − 2 = x 2 − 4 x + 4 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
(2)
Ph¬ng tr×nh (2) có nghiệm là: x1 = 3; x 2 = 2
Kết hợp với điều kiện (*) của phương trình ta có nghiệm của phương trình
x1 = 3; x 2 = 2
®· cho là :
Phương trình (1) còn có thể giải theo cách khác được không? (Học sinh băn
khoăn). Hãy quan sát nhân tử chung có ở 2 vế của phương trình? Lúc này học
sinh nhận biết được phương trình đưa được về phương trình tích.
Ta có : x − 2 = x − 2 ⇔ x − 2 − ( x − 2) = 0 ⇔ x − 2 (1 − x − 2 ) = 0
GV khẳng định cách giải này sẽ được tìm hiểu thêm.
2.3.2.1.b. Áp dụng giải phương trình dạng : f ( x) + g ( x) = h( x)
Cách giải:

4


- Tìm điều kiện xác định của phương trình

 f ( x) ≥ 0

 g ( x) ≥ 0
h ( x ) ≥ 0


- Áp dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa để khử dấu căn:
Ví dụ: Giải phương trình :
x+3 = 5− x−2
(1)
Học sinh tiến hành ngay bình phương hai vế phương trình (1), có em tìm
không tìm được ĐKXĐ dẫn đến không dám bình phương 2 vế.
Nguyên nhân mắc phải sai lầm là chưa biến đổi phương trình (1) về phương
trình x + 3 + x − 2 = 5 nên việc tìm tập xác định có thể không chặt chẽ và phức
tạp. Từ tình huống này HS thấy được cần phải biến đổi phương trình (1) về
phương trình (2) rồi mới tìm điều kiện xác định cho phương trình, khi đó mới
thực hiện nâng lên luỹ thừa. Tôi yêu cầu học sinh thực hành giải ví dụ trên.
x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
⇔
⇔x≥2
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2

- ĐKXĐ của phương trình 

Phương trình (1) ⇔ x + 3 + x − 2 = 5
⇔ x + 3 + x − 2 + 2 ( x + 3)( x − 2) = 25
⇔ 2 ( x + 3)( x − 3) = 24 − 2 x
⇔ ( x + 3)( x − 2) = 12 − x

(3)
Điều kiện của phương trình (3) là: 12 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 12
Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình (1) là: 2 ≤ x ≤ 12
Bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được :
x 2 + x − 6 = 144 − 24 x + x 2
⇔ 25 x − 150 ⇔ x = 6 ( chọn )

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 6
Hiệu quả đầu tiên tôi nhận được là học sinh của mình đã tự giải quyết chính
xác điều kiện của phương trình (3) và thấy được sự cần thiết phải đưa phương
trình về dạng cơ bản.
f ( x ) + h( x ) = g ( x )
2.3.2.1.c. Áp dụng giải phương trình dạng :
Cách giải :

 f ( x) ≥ 0

h ( x ) ≥ 0
 g ( x) ≥ 0


- Điều kiện xác định

- Vận dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa.
Từ các yêu cầu của hai ví dụ trên hãy giải phương trình sau:
x + 1 = 10 − x + x − 5
Ví dụ: Giải phương trình :
(1)
- Điều kiện xác định :

x + 1 ≥ 0

10 − x ≥ 0
x − 5 ≥ 0




 x ≥ −1

 x ≤ 10
x ≥ 5




5 ≤ x ≤ 10

(2)

- Bình phương hai vế phương trình (1)ta được:
x + 1 = 10 − x + x − 5 + 2 (10 − x)( x − 5)
⇔ 2 (10 − x)( x − 5) = x − 4

(3)
5


ĐK x ≥ 4 . Bình phương hai vế phương trình (3) ta được:
4(-x2 + 15x - 50) = x2 - 8x + 16
⇔ 5x2 - 68x + 216 = 0
Giải phương trình (4) ta được nghiệm:

x1 =

(4)

34 + 2 19
34 − 2 19
; x2 =
5
5

Thỏa mãn điều kiện nghiệm của phương trình (1)
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x1 =

34 + 2 19
;
5

x2 =

34 − 2 19
5

Với bài giải trên học sinh đã nắm được cách giải, đã khắc phục các lỗi
trong trình bày xong vẫn còn chi tiết chưa xử lí được là điều kiện của ẩn x :
5 ≤ x ≤ 10 thỏa mãn để hai vế của phương trình (3) không âm. Do vậy chỉ cần
kiểm tra điều kiện xác định thỏa mãn để hai vế của phương trình (3) đều không
âm rồi bình phương hai vế phương trình (3).
Tôi lưu ý học sinh: có những phương điều kiện xác định thỏa mãn để hai
vế của phương trình (3) không âm khi đó chỉ cần kiểm tra và tiếp tục bình
phương hai vế của phương trình (3). Như vậy, lời giải sẽ không dài dòng, giảm
nhầm lẫn và mất ít thời gian. Lời giải có thể bổ sung là
Rõ ràng điều kiện 5 ≤ x ≤ 10 thì hai vế của phương trình (3) không âm.
Bình phương 2 vế phương trình (3) ta được: ⇔ 5x2 - 68x + 216 = 0
Từ đó học sinh sẽ khắc sâu được những vấn đề lô gic cần lưu tâm khi giải
một bài toán.
2.3.2.1.d) Áp dụng giải phương trình dạng: f (x) + h(x) = g (x) + r (x)
Cách giải:
 f ( x) ≥ 0
h ( x ) ≥ 0

+ Điều kiện tập xác định: 
 g ( x) ≥ 0
r ( x ) ≥ 0

+ Vận dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa
Ví dụ: Giải phương trình :
x + x + 9 - x +1 - x + 4 = 0
Giải
Phương trình (1) ⇔ x + x + 9 = x + 1 + x + 4
x ≥ 0
x + 9 ≥ 0

- Điều kiện xác định : 
x + 1 ≥ 0
 x + 4 ≥ 0

(1)

⇔ x ≥ 0 (2)

- Bình phương 2 vế ta được phương trình : x 2 + 9 x - x 2 + 5 x + 4 = -2
Để lời giải chặt chẽ và tránh được sai sót ta biến đổi phương trình về dạng:
x 2 + 9 x + 2 = x 2 + 5x + 4
Kiểm tra điều kiện x ≥ 0 hai vế của phương trình đã không âm chưa?
Học sinh thường bỏ qua điều này dẫn đến lời giải dài dòng, phức tạp.
Dễ thấy với x ≥ 0 hai vế của phương trình không âm, ta tiếp tục bình
phương 2 vế của phương trình, được phương trình mới : x 2 + 9 x = -x (3)
6


Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là x ≤ 0 (4)
Kết hợp điều kiện (2) và (4) ta suy ra nghiệm của phương trình là x = 0
Học sinh thường không nhìn ra điều này mà lại tiếp tục bình phương 2 vế
của phương trình (3). Như vậy lời giải rất dài dòng và không cần thiết.
Tóm lại, phương pháp nâng lên luỹ thừa thường được sử dụng vào giải một
số dạng phương trình chứa căn thức bậc hai quen thuộc nêu trên. Song trong quá
trình giảng dạy tôi chú ý đến việc tìm điều kiện tồn tại căn thức, đây là vấn đề
mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này. Đồng thời
học sinh cần rèn luyện để có kĩ năng vận dụng biến đổi trong một số cách giải
khác nữa.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, x − 1 + 2 x − 1 = 5
b, 3x + 1 + 2 − x = 3
2.3.2.2. Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 +B2 = 0
Cách giải: - Biến đổi đưa phương trình về dạng A2 +B2 = 0
A = 0
B = 0

- Để có A2 +B2 = 0 ⇔ 

Giới thiệu cách giải này với học sinh tôi đã yêu cầu các em nhớ lại các
hằng đẳng thức bình phương một tổng, một hiệu và vận dụng thành thạo.
Ví dụ: Giải phương trình sau: x 2 + 5 x + 6 = 2 3x + 4
- ĐKXĐ: x ≥

−4
3

(

⇔ x 2 + 2 x + 1 + 3 x + 4 − 2 3 x + 4 + 1 = 0 ⇔ ( x + 1) 2 + 1 − 3 x + 4
x + 1 = 0
⇔
⇔ x = −1
 3x + 4 = 1

)

2

=0

Vậy: Phương trình có nghiệm là x=-1
Từ ví dụ trên ta thấy khi đưa phương trình về dạng A 2 +B2 = 0 học sinh cần
có kĩ năng biến đổi để đưa biểu thức về hằng đẳng thức bình phương của một
tổng hoặc bình phương của một hiệu.
Học sinh đã có kĩ năng hằng đẳng thức, cách giải này các em dễ phát hiện,
dễ biến đổi, dễ làm. Do vậy khi định hướng tôi yêu cầu học sinh quan sát xem có
thể đưa phương trình về dạng tổng các bình phương được không nếu không đưa
được thì mới chọn cách giải khác.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, x 2 − 6 x + 26 = 6 2 x + 1
b, 4 x + 5 − x + 1 = x + 9
2.3.2.3. Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 = B2 (tức là A2 - B2 =0).
Ngoài phương pháp đã nêu trên khi giải các phương trình chứa căn thức
bậc hai tôi yêu cầu học sinh biến đổi hai vế về dạng bình phương rồi chuyển về
phương trình tích,...
Ví dụ 1: Giải phương trình :
4x2 + 8x = 2 x + 6 (1)
- Điều kiện xác định : x ≥ −3
7


Tôi yêu cầu học sinh biến đổi đưa hai vế của phương trình về dạng bình
phương một tổng hoặc một hiệu cụ thể như sau:
- Cộng hai vế của phương trình (1) với biểu thức 2x +6
⇔ 4 x 2 + 10 x + 6

(1)

1
4

1
1
= 2x + 6 + 2x + 6 +
4
4

2

5
1
⇔  2 x +  =  + 2 x + 6 
2

2


2

5
2

1
2

Trường hợp 1: Xét pt: 2 x + = + 2 x + 6 ⇔ 2 x + 2 = 2 x + 6

(2)

Điều kiện xác định của phương trình (2): x ≥ −1
Bình phương hai vế phương trình (2) ta được: ⇔ 2 x 2 + 3x − 1 = 0
− 3 + 17
, thỏa mãn phương trình (2)
4
5
1
Trường hợp 2: Xét pt: 2 x + = − − 2 x + 6
2
2
⇔ 2 x + 3 = − 2 x + 6 (3)
Điều kiện xác định của phương trình (3) x ≤ 1,5
⇔x=

Bình phương hai vế phương trình (3) ta được: ⇔ 4 x 2 + 10 x + 3 = 0
− 5 − 13
, thỏa mãn phương trình (3)
4
− 3 + 17
− 5 − 13
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 =
, x2 =
4
4
⇔x=

Ví dụ 2: Giải phương trình:
x4 + x 2 + 2008 - 2008 = 0
GV yêu cầu học sinh biến đổi tương tự ví dụ trên. Ta phải quan tâm vế phải
trước, để đưa vế phải về bình phương cần cộng thêm gì? (Cần cộng thêm biểu
thức x2 +

1
). Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
4

x4 = - x 2 + 2008 + 2008
⇔ x4 + x2 +

1
= x2 + 2008 4

x 2 + 2008 +

1
4

1 2
1
) = ( x 2 + 2008 - )2
2
2
1
1
- Xét x2 + = x 2 + 2008 2
2
1
1
- Xét x2 + = − x 2 + 2008 +
2
2

⇔ (x2 +

Bài toán đã quay về bài toán quen thuộc học sinh tự giải quyết.
Cách giải này dễ nhận thấy, dễ biến đổi. Do vậy khi hướng dẫn học sinh tôi
quan sát xem có thể đưa phương trình về dạng A 2 = B2 được không nếu không
đưa được thì mới chọn cách giải khác.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, x 2 − 10 x − 12 = 4 2 x + 3
b, 4 x + 1 − x 2 = 2 2 x − 1
8


2.3.2.4. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Khi áp dụng cách giải này tôi yêu cầu học sinh phải biến đổi biểu thức dưới
dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu sau đó áp
dụng hằng đẳng thức A 2 = A . Khi đó bài toán trở về bài toán giải phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đã học.
Ví dụ : Giải phương trình
x 2 − 8 x + 16 + x 2 − 10 x + 25 = 5 (1)
Cần biến đổi hai biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương cụ thể là
Khi đó ta có: x 2 − 8 x + 16 + x 2 − 10 x + 25 = 5
⇔ ( x − 4) 2 + ( x − 5) 2 = 5
Biểu thức dưới dấu căn không âm, các căn thức luôn xác định với mọi giá
trị của biến khi đó điều kiện xác định của phương trình là gì?
Học sinh sẽ xác định: Điều kiện xác định của phương trình là mọi x ∈ R
Phương trình (1) ⇔ x − 4 + x − 5 = 5
(2)
Lập bảng xét dấu vế trái của phương trình (2)
x
4
5
x-4
0
+
|
+
x -5
|
0
+
VT = |x - 4| + |x - 5| 4 - x + 5 - x | x - 4 + 5 - x | x - 4 + x - 5
+ Với x <4 thì phương trình (2) ⇔ 4 – x + 5 – x = 5
⇔ -2x = - 4
⇔ x = 2 (chọn)
+ Với 4 ≤ x ≤ 5 thì phương trình (2) ⇔ x - 4 + 5 – x = 5
⇔ 0x = 4 (vô lí)
Vậy phương trình (2) vô nghiệm
+ Với x >5 thì phương trình (2) ⇔ x – 4 + x – 5 = 5
⇔ 2x = 14
⇔ x = 7 (chọn)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là x1 = 2 , x2 = 7
Phương pháp này phù hợp với phương trình mà biểu thức dưới dấu căn có
dạng bình phương của một tổng hay một hiệu và nó giúp cho học sinh tìm được
tập nghiệm của phương trình một cách nhanh, gọn và chính xác.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, 4 − 2 3 − x 2 + 2 x 3 + 3 = 0
b, 3x + 8 + 6 3x − 1 + 3x + 8 − 6 3x − 1 = 3x + 4
2.3.2.5. Phương pháp đặt nhân tử chung:
Đối với phương pháp đặt nhân tử chung tôi hướng dẫn học sinh biến đổi
đưa về phương trình tích A.B=0. Từ đó giải từng phương trình A=0 hoặc B=0.
Ví dụ : Giải phương trình sau: x + 9 + 2012 x + 6 = 2012 + ( x + 9)( x + 6)
Bài toán trên với sự xuất hiện của các căn thức: x + 9 ; x + 6 ; ( x + 9)( x + 6)
từ đó học sinh sẽ nghĩ đến việc nhóm nhân tử chung và đưa về phương trình tích
cụ thể là:
9


ĐK: x ≥ −6
Phương trình đã cho tương đương với: ( x + 9 − 2012)( x + 6 − 1) = 0
Giải phương trình: x + 9 − 2012 = 0 ta được x = 4048135
Giải phương trình: x + 6 − 1 = 0 ta được x = -5
Vậy phương trình có nghiệm là: x = 4048135; x = -5
Thông qua ví dụ trên tôi hướng dẫn học sinh thông thường khi sử dụng
phương pháp đặt nhân tử chung các em cần nhìn nhận được nhân tử chung để
biến đổi từ đó sẽ đưa bài toán về dạng rất đơn giản, dễ biến đổi và ít sai sót.
Cách giải này rất hay gặp do vậy cần phải luyện nhiều để có kĩ năng tốt.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, 2 x + 6 + x + 7 = 2 + x 2 + 13x + 42
b, x + 4 + 2 x + 3 = 2 + x 2 + 7 x + 12
2.3.2.6. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Sai lầm của học sinh là khi gặp phương trình phức tạp, phương trình không
quen thuộc thì hoang mang, không tự tin tìm hướng đi tiếp nữa. Song dùng
phương pháp đặt ẩn phụ sẽ chuyển một phương trình phức tạp về phương trình
đơn giản, từ phương trình không có cách biến đổi về phương trình đã có cách
biến đổi dễ dàng... Cụ thể như sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình : x + 1 + 3 − x - ( x + 1)(3 − x) = 2 (1)
x + 1 ≥ 0
3 − x ≥ 0

- Điều kiện xác định : 

⇔ −1 ≤ x ≤ 3

- Đặt ẩn phụ : x + 1 + 3 − x = t (2).
Điều kiện : t ≥ 0
Học sinh thường mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho ẩn phụ t, cần chú ý
rằng điều kiện của t cũng là điều kiện có nghiệm của phương trình (1).
Tôi đã phát huy tính sáng tạo của học sinh bằng cách đặt câu hỏi: tại sao lại
đặt ẩn phụ như vậy ?
Với các điều kiện của ẩn x và ẩn t ta bình phương 2 vế của (2):
t2 = x +1 + 3 - x + 2 ( x + 1)(3 − x) ⇔ t2 = 4 + 2 ( x + 1)(3 − x)


( x + 1)(3 − x) =

t2 − 4
(3)
2

Thay (2) và (3) vào phương trình (1) ta được phương trình:
t2 - 2t = 0 ⇔ t(t - 2) = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 2
- Với t = 0 phương trình (1) vô nghiệm
- Với t = 2, ta có : x + 1 + 3 − x = 2 (4)
Với điều kiện xác định của phương trình (1) ta bình phương 2 vế của
phương trình (4), ta được:
4 + 2 ( x + 1)(3 − x) = 4
⇔ ( x + 1)(3 − x) = 0
⇔ (x + 1)(3 – x) = 0
⇔ x= -1 hoặc x = 3 (thoã mãn điều kiện của (1))

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x1 = -1, x2 = 3
10


Ví dụ 2: Giải phương trình

2x
1 1
+
+
=2
1+ x
2 2x

(Đề thi HSG huyện Nông Cống năm học 2017-2018)
ĐKXĐ: x>0 hoặc x<-1
2x
1 1
2x
1+ x
+
+
=2 ⇔
+
=2
1+ x
2 2x
1+ x
2x
2x
1+ x 1
(t. > 0) suy ra
=
Đặt t =
1+ x
2x
t
1
Ta được phương trình t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ (t − 1) 2 = 0 ⇔ t = 1 (Thỏa mãn)
t
2x
= 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Theo cách đặt ta được:
1+ x

Ta có:

Vậy: Phương trình có nghiệm x=1
Ví dụ 3: Giải phương trình:
x 2 + 4 x + 7 = ( x + 4) x 2 + 7
(Đề thi HSG Huyện Như Thanh năm 2015-2016)
2
Đặt t = x + 7 ( t > 0)
t 2 + 4 x = ( x + 4)t (*)
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ t 2 + 4 x − tx − 4t = 0 ⇔ (t − x)(t − 4) = 0 ⇔ t = x hoặc t = 4
Với t = x ⇔ x = x 2 + 7. Phương trình vô nghiệm
Với t = 4 ⇔ x 2 + 7 = 4 ⇔ x = 3 hoặc x = −3
Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm x=3 hoặc x=-3
Với cách đặt này học sinh băn khoăn sau khi đặt ẩn phụ mà không chuyển
hết được ẩn ban đầu như ví dụ 1, ví dụ 2 thì không giải tiếp được. Nhưng tôi
hướng dẫn học sinh tìm biểu thức để đặt và yêu cầu giải phương trình sau khi
đặt ẩn phụ là phương trình (*). Lúc này vẫn tìm được giá trị của ẩn phụ từ đó tìm
được giá trị ẩn ban đầu, học sinh thấy được điều lí thú của toán. "Đặt ẩn phụ
không hoàn toàn" trong ví dụ 3 vẫn giải thành công phương trình chứa căn. Qua
3 ví dụ học sinh đã nhận được hướng giải khi đặt "một ẩn phụ" cho bài toán thì sẽ
có trường đặt "ẩn phụ hoàn toàn" và đặt "ẩn phụ không hoàn toàn" học sinh giải
đều thành công, qua đó tôi cảm nhận được học sinh rất vui, hào hứng, tự tin giải
phương trình chứa căn. Tôi tiếp tục yêu cầu học sinh tìm hiểu thêm ví dụ sau:
Ví dụ 4: Giải phương trình x + 1 − 3x = 2 x − 1 (1)
(Đề thi HSG Huyện Tĩnh Gia năm 2015-2016)
Ví dụ này học sinh có tỏ ra lúng túng, tôi định hướng cách đặt ẩn bằng" hai
ẩn phụ": a = 3x , b = x + 1 (a,b ≥ 0 ). Khi đó a 2 − b 2 = 2 x − 1 rồi thay vào
phương trình đã cho. Sau đó yêu cầu học sinh phải hoàn chỉnh lời giải và cho kết
quả như sau:
ĐK: x ≥ 0
Đặt a = 3x , b = x + 1 (a,b ≥ 0 ) Khi đó a 2 − b 2 = 2 x − 1
Thay vào phương trình ta được b − a = a 2 − b 2 ⇔ (a − b)(a + b + 1) = 0
Mà a + b + 1 > 0 nên a = b.
Do đó (1) ⇔ 3x = x + 1 ⇔ 3x = x + 1 ⇔ x =

1
2
11


Vậy nghiệm của phương trình là: x =

1
2

Trong ví dụ trên tôi định hướng học sinh đặt ẩn phụ bằng cách đặt "hai ẩn
phụ" yêu cầu học sinh từ cách đặt của bài toán trên phải liên hệ để có cách đặt
hợp lí cho những bài sau. Đảm bảo được phương trình sau khi đặt ẩn phụ phải
giải được. Do vậy tôi lưu ý đến học sinh sau khi đặt hai ẩn phụ có lợi gì? Học
sinh đã nhận thấy cách đặt này cho lời giải đơn giản và ngắn gọn, dễ biến đổi.
Quan trọng là học sinh sau khi tiếp cận phương pháp đặt ẩn phụ, học sinh đã
chuyển được phương trình phức tạp về phương trình đơn giản, phương trình
không quen thuộc về phương trình quen và cảm thấy tự tin, không hoang mang
lo sợ mà bình tĩnh tìm hướng đi tiếp. Tôi lưu ý phương pháp giải này vận dụng
nhiều trong các kì thi học sinh giỏi và kì thi vào THPT.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, x + 3 + 3x + 1 = x − 1
b, 4 x 2 + 2 x + 3 − 4 x 2 + 4 = 4 x − 2
2.3.2.7. Phương pháp dùng biểu thức liên hợp
Phương pháp dùng biểu thức liên hợp còn được gọi là phương pháp khử
căn thức ở tử, thường dùng hơn cả là:
A− B =

A− B

A+ B

A+ B =

(1);

A− B

(2)

A− B

Trong các công thức (1) và (2), khi nhân và chia vế trái với biểu thức liên
hợp của nó, ta được vế phải. Mục đích của việc khử căn thức ở tử nhằm làm
xuất hiện nhân tử chung, khi đó phương trình đưa được về phương trình tích đơn
giản hơn. Cụ thể như sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x 2 + 5 x + 6 = 2 3x + 4
−4
ĐK: x ≥
3
⇔ ( x + 1)( x + 4) + 2 = 2 3 x + 4
⇔ ( x + 1)( x + 4) = 2( 3x + 4 − 1)
2(3 x + 4 − 1)
⇔ ( x + 1)( x + 4) =
3x + 4 + 1
6( x + 1)
⇔ ( x + 1)( x + 4) =
3x + 4 + 1

- Rõ ràng x=-1 thỏa mãn phương trình
- Với x ≠ −1 ta có x + 4 =

6
1 + 3x + 4

(2)

+ Với x > -1 thì (2) có vế trái lớn hơn 3, vế phải nhỏ hơn 3, phương trình
vô nghiệm
4
3

+ Với − ≤ x < −1 thì (2) có vế trái nhỏ hơn 3, vế phải lớn hơn 3, phương
trình vô nghiệm
Vậy: Phương trình có nghiệm x=-1
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x − 1 − x + 1 = 2 x − 4

(1)
12


1
2
(2 x − 1) − ( x + 1)

ĐKXĐ: x ≥ . Nhân và chia vế trái của (1) với biểu thức liên hợp được:
2x − 1 + x + 1
⇔ ( x − 2)(

x−2

= 2( x − 2) ⇔
1

2x − 1 + x + 1

2x − 1 + x + 1

= 2( x − 2)

− 2) = 0

Với x=2 thỏa mãn phương trình nên x=2 là một nghiệm của của phương trình
Với x ≠ 2 ta có
Do x ≥

1
nên
2

1
2x − 1 + x + 1

=2

(2)

x + 1 > 1 . Phương trình (2) có vế trái nhỏ hơn 1, vế phải bằng

2 nên vô nghiệm
Vậy: Phương trình có nghiệm x=2
Trong hai ví dụ trên học sinh thường gặp khó khăn khi giải phương trình (2),
chủ yếu cách giải thường sử dụng là đánh giá hai vế có tập giá trị rời nhau trong
cùng một khoảng giá trị của ẩn rồi từ đó suy ra phương trình (2) vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 x 2 + 3x + 1 = 27 x + 19 (1)
(Đề thi HSG huyện Như Thanh năm học 2018-2019)
1
3
PT (1) ⇔ 3x + 1 + 6 x 2 − 27 x − 19 = 0
⇔ ( 3 x + 1 − 4) + 6 x 2 − 27 x − 15 = 0

ĐKXĐ: x ≥ −



( 3 x + 1 − 4)( 3x + 1 + 4)

+ ( x − 5)(6 x + 3) = 0
3x + 1 + 4
3( x − 5)

+ ( x − 5)(6 x + 3) = 0
3x + 1 + 4


3
⇔ ( x − 5) 
+ 6 x + 3 = 0 .
 3x + 1 + 4


Ta thấy 6x+3=2(3x+1)+1với mọi x thỏa mãn điều kiện, nên:
3

+ 6 x + 3 > 0 với điều kiện 3x+1>0 .
3x + 1 + 4
PT ⇔ x − 5 = 0 ⇔ x = 5

Vậy: Phương trình có nghiệm duy nhất x=5
Trong cách giải này học sinh thường mắc sai lầm khi giải quyết phương
trình (2) song cách giải thích này học sinh khi giải quyết nhiều bài sẽ có kĩ năng
đánh giá tốt.
Tôi lưu ý với học sinh đây là cách giải thường dùng để giải quyết các bài
toán về giải phương trình chứa căn thức bậc hai trong kì thi học sinh giỏi, thi
vào 10. Vì vậy yêu cầu các em cần luyện giải nhiều để nắm vững cách giải và
vận dụng linh hoạt.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, x 2 + 16 − x 2 + 7 = 3x − 8
b, x 3 + 10 − x 3 + 5 = 2 x + 3
13


2.3.2.8. Phương pháp dùng bất đẳng thức
Tìm hiểu cách giải phương trình bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức sẽ
khơi dậy cho học sinh tính tò mò, tích cực tìm hiểu và niềm đam mê đối với
dạng toán này.
x − 1 - 5 x − 1 = 3x − 2 (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình
x − 1 ≥ 0

- Điều kiện xác định : 5 x − 1 ≥ 0
3x − 2 ≥ 0


⇔ x ≥1

Với điều kiện x ≥ 1 ⇔ x < 5x ⇒ x − 1 < 5 x − 1 . Khi đó vế trái của
phương trình (1) là một số âm, còn vế phải là một số dương. Vậy phương trình
vô nghiệm.
Học sinh thường mắc sai lầm khi gặp dạng toán này là nhanh chóng đi bình
phương 2 vế của phương trình sau khi đã tìm điều kiện xác định, do đó lời giải dài
dòng và khó tìm được nghiệm của phương trình. Vì thế khi dạy dạng toán này giáo
viên nên lưu ý học sinh phải nghỉ đến việc thử chứng tỏ tập giá trị của 2 vế của
phương trình là rời nhau, từ đó rút ra kết luận về nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 2 + 5 x + 6 = 2 3x + 4
(1)
ĐKXĐ:

x≥

−4
3

Gọi vế trái của (1) là A, vế phải của (1) là B.
Ta có: B = 2 3x + 4 = 2 1.(3x + 4) ≤ 1 + (3x + 4) = 3x + 5
A = x 2 + 5 x + 6 = ( x + 1) 2 + 3x + 5 ≥ 3x + 5
3 x + 4 = 1

Phải có A = B = 3x+5 ⇔ 

2
( x + 1) = 0

⇔ x = −1 ( Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy: Phương trình có nghiệm x = -1
Phương trình: x 2 + 5 x + 6 = 2 3x + 4 có thể giải được bằng những cách nào?
Học sinh khẳng định phương trình: x 2 + 5 x + 6 = 2 3x + 4 có thể giải được bằng
nhiều cách: bình phương 2 vế, dùng biểu thức liên hợp, dùng bất đẳng thức. Song khi
giải cần biết lựa chọn cách nào ngắn gọn, dễ biến đổi để giải quyết.
Tôi khẳng định đây chính là kết quả mà các em đạt được trong quá trình học.
Song trong dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn khi chọn bất đẳng
thức để đánh giá, chính vì thế mà trong quá trình thực hiện tôi đã cho học sinh
tiếp cận từ bài đơn giản đến phức tạp, từ bất đẳng thức thường xuyên gặp đến
bất đẳng thức ít gặp. Từ đó các em có được sự tự tin trong biến đổi và giải quyết
chính xác khi gặp dạng toán này.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a,
x +8 −2 2− x =1
b, x − 3 + 5 − x = x 2 − 8 x + 18
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Qua quá trình áp dụng đề tài " Rèn kỹ năng giải phương trình chứa căn
thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 ở Trường THCS Phú Nhuận" vào thực
tiễn công tác giảng dạy của mình ở năm học 2018-2019 tôi thấy các em đã hiểu
rõ và rèn luyện được một số kỹ năng quan trọng trong việc giải các phương trình
14


chứa căn thức bậc hai. Học sinh yêu thích dạng toán này hơn, đồng thời kích
thích trí tò mò tìm hiểu khoa học của học sinh, các em tích cực chủ động trong
việc lĩnh hội kiến thức các môn học nói chung và môn Toán nói riêng. Từ việc
giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng bài tập về phương trình chứa căn thức
bậc hai từ dễ đến khó, đã phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo, say mê
dạng toán này của học sinh trường THCS Phú Nhuận, giúp học sinh hình thành
được kỹ năng giải phương trình chứa căn thức bậc hai thành thạo. Đặc biệt các
em xác định được dạng và sử dụng phương pháp hợp lí để giải phương trình
chứa căn thức bậc hai một cách chủ động.
Sau một thời gian áp dụng đề tài, đối với một nhóm học sinh lớp 9ATrường THCS Phú Nhuận năm học 2018-2019, tôi đã tiến hành khảo sát để
kiểm nghiệm hiệu quả của đề tài:
Thời gian khảo sát: cuối tháng 3 năm 2019.
Nội dung khảo sát: Giải các phương trình sau:
5x + 1 = x – 2
a,
b, x 2 + 5 x + 6 = 2 3x + 4
c, 5x2 -2x+1 = (4x-1) x 2 + 1
d, x + 2 − 3 − x = x 2 − 6 x + 9
Kết quả thu được:
điểm 9 - 10
điểm 7 - 8
điểm 5 - 6
điểm dưới 5
Số HS
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
12
5
42%
7
58%
0
0%
0
0%
Thông qua việc khảo sát tôi nhận thấy sự tiến bộ vượt bậc của các em trong
khi làm bài cụ thể là:
+ Tất cả các em đều nắm được tất cả các phương pháp giải phương trình
chứa căn thức bậc hai và đã biết lựa chọn cách giải phù hợp nhất.
+ Tìm đúng và đủ các điều kiện cần thiết cho phương trình.
+ Có kĩ năng giải chính xác các phương trình chứa căn thức bậc hai.
Đặc biệt trong kì thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh năm học 20182019, kết quả thi như sau:
Năm học 2018-2019
Đạt giải
Số học sinh dự thi
(khối 9)
cấp huyện
Cấp Huyện
2
1
Cấp Tỉnh
1
1
Kết quả trên một lần nữa đã chứng tỏ được hiệu quả của đề tài mà tôi đã
nghiên cứu và áp dụng trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Phú Nhuận.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Với đề tài “Rèn kỹ năng giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học
sinh khá giỏi lớp 9 ở trường THCS Phú Nhuận” tôi đã cố gắng hệ thống một số
dạng cơ bản nhất. Trong mỗi giờ dạy tôi có đưa ra cơ sở lý thuyết, phương pháp
giải cho từng dạng toán và những ví dụ cơ bản. Trong mỗi ví dụ có gợi ý, hướng
dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các bài tập cùng dạng
các em có thể giải được.
15


Trong quá trình giảng dạy, tôi đã giúp học sinh tiếp cận với các dạng bài tập
đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có
những kỹ năng cơ bản về giải phương trình chứa căn thức bậc hai trong chương
trình toán THCS. Tôi đã tạo được sự yêu thích, khơi dậy được trí tò mò tìm hiểu
khoa học và niềm đam mê của học sinh đối với môn học.
Tôi đã hướng dẫn thật cụ thể cho học sinh từng nội dung theo dạng toán.
Sau mỗi tiết học lý thuyết, tiết luyện tập về các chuyên đề trọng tâm của chương
trình toán THCS, tôi nhận thấy học sinh được củng cố và khắc sâu thêm kiến
thức, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng giải toán. Trong thời gian ôn thi
các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên, vì thế việc áp
dụng các kiến thức đã học đối với các em khi gặp dạng toán giải phương trình
chứa căn thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp không còn khó khăn
nữa, đây cũng là tiền đề để các em tiếp tục học lên chương trình THPT.
Trong quá trình giảng dạy và thực hiện đề tài, tôi đã cố gắng học hỏi, rút
kinh nghiệm từ đồng nghiệp, tham khảo tài liệu, trao đổi với học sinh để đề tài
ngày một hoàn thiện hơn. Qua kết quả thi học sinh giỏi môn Toán khối 9 cấp
huyện, cấp tỉnh năm học 2018 - 2019 đội tuyển Toán của trường THCS Phú
Nhuận đã đạt được kết quả đáng khích lệ, đó là nguồn động lực để bản thân tôi
luôn phấn đấu. Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu đề tài không nhiều, việc thực
nghiệm đề tài chưa được phổ biến rộng đối với nhiều đối tượng học sinh, vì thế,
khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của đồng
nghiệp để đề tài ngày một hoàn chỉnh hơn, giúp tôi nâng cao hơn nữa chất lượng
giảng dạy bộ môn.
3.2. Kiến nghị:
3.2.1. Đối với nhà trường:
- Thường xuyên tổ chức các các phong trào thi đưa học tập, tìm hiểu về các
chuyên đề Toán, các chuyên đề thuộc các môn học khác nhau để tạo môi trường
ngoại khóa cho học sinh được giao lưu học hỏi.
- Đổi mới sinh hoạt chuyên môn, tạo môi trường học hỏi giữa các đồng nghiệp.
3.2.2. Đối với phòng Giáo dục:
- Phòng Giáo dục nên phổ biến rộng rãi các sáng kiến kinh nghiệm có chất
lượng cấp huyện, cấp tỉnh để giáo viên có thêm điều kiện được học hỏi, tiếp thu,
rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN
Phú Nhuận, ngày 10 tháng 04 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết

Lê Thị Thanh Tân
16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập Đại số 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
2. Nâng cao và phát triển Toán 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
3. Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS môn Toán - Nhà xuất bản Giáo dục
4. 23 Chuyên đề toán sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh. Nhà xuất bản Giáo dục
5. Toán nâng cao các chuyên đề Đại số 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
6. Tài liệu chuyên toán THCS - Nhà xuất bản Giáo dục
7. Ôn tập thi vào lớp 10 môn toán - Nhà xuất bản Giáo dục
8. Bộ đề thi HS giỏi các Huyện và thi vào THPT của tỉnh Thanh Hóa.
9. 9 chuyên đề đại số trung học cơ sở - Nhà xuất bản Giáo dục
10. Chiến thắng kì thi 9 vào 10 Toán học.- Nhà xuất bản thanh niên.
11. Chinh phục đề thi và 10 chuyên Toán. - Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.
12. Siêu tư duy Toán 9: Nguyễn Đức Tấn - Nhà xuất bản tổng hợp Thành phố
Hồ Chí Minh.

17



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×