Tải bản đầy đủ

MỘT ĐỊNH LÝ CỦA FROBENIUS

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ✣➬◆● ◆❆■
❑❍❖❆ ❙× P❍❸▼ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆
❚❍❹◆ ❚❘➴◆● ▲❐❈

▼❐❚ ✣➚◆❍ ▲Þ ❈Õ❆ ❋❘❖❇❊◆■❯❙

❇⑨■ ❚❾P ▲❰◆
❍➴❈ P❍❺◆✿ ✣❸■ ❙➮ ✣❸■ ❈×❒◆● ❍❆■

✣ç♥❣ ◆❛✐ ✲ ✷✵✶✾


❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ✣➬◆● ◆❆■
❑❍❖❆ ❙× P❍❸▼ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆
❚❍❹◆ ❚❘➴◆● ▲❐❈

▼❐❚ ✣➚◆❍ ▲Þ ❈Õ❆ ❋❘❖❇❊◆■❯❙

❇⑨■ ❚❾P ▲❰◆
❍➴❈ P❍❺◆✿ ✣❸■ ❙➮ ✣❸■ ❈×❒◆● ✷
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ❚❤❙✳ ❚r÷ì♥❣ ❍ú✉ ❉ô♥❣


✣ç♥❣ ◆❛✐ ✲ ✷✵✶✾


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝→♠ ì♥

✐✐

✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à



✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸
✶✳✹

❱➔♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
P❤➛♥ tû ❜➜t ❦❤↔ q✉✐
❱➔♥❤ ❝❤✐❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳









































✷ ▼ët ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❋r♦❜❡♥✐✉s























































































































❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✶✶




ớ ỡ
r tỹ t ổ õ sỹ t ổ ổ ợ ỳ sỹ ộ trủ ú
ù ũ t ũ trỹ t t ừ ữớ ợ t
ự tr tự ồ ổ tr ọ ỳ t sõt ữ ớ
sỹ ừ ở ú ù tứ t t rữỡ ỳ ụ
t ỳ tỹ t ỡ t ợ ởt ỵ ừ rs
ởt tr ỳ ữợ t ừ t tr ỹ ự
sỹ tr t sỹ ú ù ừ ồ ữớ ỡ t rữỡ ỳ
ụ ữớ t ữợ t t t ữủ t
ữợ ự ổ tr ọ ỳ t sõt t rt
ữủ sỹ õ õ ỵ qỵ ừ qỵ t ổ ũ ợ ú
t ỡ
ỗ t
rồ ở




▲í✐ ♠ð ✤➛✉
✣➲ t➔✐ ✧▼ët ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❋r♦❜❡♥✐✉s ✧ ♥❤➡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ✤↕✐ sè✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ sü
✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ✤↕✐ sè tr➯♥ tr÷í♥❣ sè t❤ü❝✳ ❈→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤õ ②➳✉
❞ü❛ ✈➔♦ ❬✸❪✳ ❇➔✐ t➟♣ ❧î♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♣❤➛♥✱ ♣❤➛♥ ✤➛✉ ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝
✈➲ ✈➔♥❤✱ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛✳ P❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ✤↕✐ sè ✈➔ q✉❛♥
trå♥❣ ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ❋r♦❜❡♥✐✉s✳




❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ❱➔♥❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ ✭❱➔♥❤✮✳ ❱➔♥❤ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ R ❝ò♥❣ ✈î✐ ✷ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❤❛✐ ♥❣æ✐ + ✈➔
t❤ä❛ ♠➣♥✿
(1) (R, +) ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❆❜❡♥✳
(2) (R, .) ❧➔ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠✳
(3) P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿ ∀a, b, c ∈ R✱ t❛ ❝â
.

(a + b)c = ac + bc, a(b + c) = ab + ac.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷ ✭❱➔♥❤ ❝♦♥✮✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✈➔ A ⊆ R, A = ∅✳ ❚➟♣ A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ R ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥✿
(1) ∀a, b ∈ A, a + b ∈ A, ab ∈ A✳
(2) (A, +, .) ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤✱ A ⊆ R, A = ∅✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
(1) A

❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ R✳

(2) ∀a, b ∈ A, a + b ∈ A, ab ∈ A, −a ∈ A✳

(3) ∀a, b ∈ A, a − b ∈ A, ab ∈ A✳




✶✳✷ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❝â ✤ì♥ ✈à 1 ✈➔ x ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ ✭➞♥✮✳ ▼ët
❜✐➸✉ t❤ù❝ ❜✐➳♥ x ❤➺ sè tr♦♥❣ R ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣✿

an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x1 + a0

✈î✐ ai ✈➔ x ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈î✐ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ R ✈➔ n ❧➛ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ ♥➔♦ ✤â✳
❚➟♣ ❝→❝ ❜✐➳♥ x ❤➺ sè tr➯♥ R ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ R[x]
R[x] = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x1 + a0 |ai ∈ R .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷ ✭❇➟❝✮✳ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x], f (x) = 0✳ ❇➟❝ ❝õ❛ f (x) ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ k ❧î♥
♥❤➜t s❛♦ ❝❤♦ ak = 0✳ ❑➼ ❤✐➺✉ ❜➟❝ ❝õ❛ f (x) ❧➔ deg(f (x))✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸ ✭◆❣❤✐➺♠✮✳ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x]✳ P❤➛♥ tû c ∈ R ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x)
♥➳✉ f (c) = 0✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✹✳ ❬✷✱ ❍➺ q✉↔ ✸✳✺❪ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x] ✈➔ c ∈ R✳ ❑❤✐ ✤â
f (x) = (x − c)q(x) + f (c)

✈î✐ q(x) ∈ R[x].

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✺✳ ❬✷✱ ❍➺ q✉↔ ✸✳✻❪ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x] ✈➔ c ∈ R ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝õ❛ f (x)✳ ❑❤✐

✤â

f (x) = (x − c)q(x)

✈î✐ q(x) ∈ R[x].

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✻✳ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x] ✈➔ c , c , ..., c ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x)✳ ❑❤✐ ✤â
1

2

k

f (x) = (x − c1 )(x − c2 )...(x − ck )q(x), q(x) ∈ R[x].

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✼✳ ❈❤♦ f (x) ∈ C[x] ❝â ❜➟❝ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â f (x) ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✽✳ ❈❤♦ f (x) ∈ C[x] ❝â ❜➟❝ n > 0✳ ❑❤✐ ✤â f (x) ❝â n ♥❣❤✐➺♠✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✾✳ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x] ❝â ❜➟❝ ❧➫✳ ❑❤✐ ✤â f (x) ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✵✳ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x]✳ ●✐↔ sû a + bi ∈ C[x] ❧➔ ✶ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x) t❤➻
❝ô♥❣ ❧➔ ✶ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x)✳ ❑❤✐ ✤â
(x2 − 2ax + a2 + b2 )q(x) ✈î✐ q(x) ∈ C[x]✳

a − bi

f (x) = (x − (a + bi))(x − (a − bi))q(x) =

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✶✶✳ ❈❤♦ f (x) ∈ R[x]✳ ❑❤✐ ✤â f (x) = (x − c)q(x) ❤♦➦❝ f (x) = (x
a2 + b2 )q(x)

✈î✐ a, b, c ∈ R, q(x) ∈ R[x]✳



2

+ 2ax +


P tỷ t q
ìợ R a, b R õ a t b
tỗ t c R s b = ac a|b ồ a ữợ ừ b

a, b R õ a t ợ b tỗ t tỷ
uR

s a = bu

a R tỷ t ợ a tỷ
ữợ ổ tỹ sỹ ừ a ỏ ữợ tỹ sỹ ừ a

sỷ x R tỷ ổ
x ổ õ ữợ tỹ sỹ t t õ x tỷ t q
x õ ữợ tỹ sỹ t t õ x tỷ q

t r R[x] tự õ ợ ỡ q tự t
q tự t tự ổ


D ởt D ữủ ồ
số D õ ỡ ồ tỷ 0

ử t trữớ
ử T

ợ i2 =
j 2 = k 2 = ijk = 1 ởt ổ T ữủ ồ
trs tỹ
= {0 + 1 i + 2 j + 3 k|0 , 1 , 2 , 3 R}

D ởt X = X D X ữủ
ồ ừ D tọ
a, b X t õ a + b X, ab X
X ởt

õ tỷ D ởt a D õ tỷ ừ a

tr D t tt tỷ ừ D ợ a C(a) t õ tỷ ừ
a tr D
C(a) = {x D|ax = xa} .



✣à♥❤ ❧þ ✶✳✹✳✻✳ C(a) ❧➔ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ❝♦♥ ❝õ❛ D✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉➵ ❞➔♥❣ t❤➜② C(a) ⊆ D ✈➔ C(a) = ∅✳ ∀x, y ∈ C(a)✱ t❛ ❝â✿ (x − y)a =
xa − ya = ax − ay = a(x − y) ♥➯♥ x − y ∈ C(a)✳ xya = xay = axy ♥➯♥ xy ∈ C(a)✳
x−1 a = x−1 axx−1 = xx−1 ax−1 = ax−1 ♥➯♥ x−1 ∈ C(a)✳ ❱➟② C(a) ❧➔ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ❝♦♥ ❝õ❛
D✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✼ ✭❚➙♠✮✳ ❈❤♦ D ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❝❤✐❛✳ ❚➙♠ ❝õ❛ D ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ♣❤➛♥ tû
❝õ❛ D ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈î✐ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ D✳ ❑➼ ❤✐➺✉ Z(D) ❧➔ t➙♠ ❝õ❛ D✳
Z(D) = {a ∈ D|ax = xa, ∀x ∈ D} .




ữỡ

ởt ỵ ừ rs
ởt số D ữủ ồ số tr tr trữớ F
F ữủ ự tr t ừ D
ợ ộ a D ừ ởt tự ổ t tữớ tr F

ờ D số tr trữớ số ự C t D = C
ự C D (1)
sỷ a D D số tr C tỗ t p(x) = xn + 1xn1 + ... + n1x + n
ợ 1, 2, ..., n C s a ừ p(x) = 0 p(a) = 0 p(x) C[x]
p(x) õ n 1, 2, ..., n C õ p(x) = (x 1)(x 2)...(x n) õ
p(a) = (a 1 )(a 2 )...(a n ) = 0 õ tỗ t 1 k n s a k = 0
a = k C D C (2) ứ (1) (2) s r D = C

ỵ rs t D ởt số tr trữớ số tỹ R

õ D ợ trữớ số tỹ R trữớ số ự C trs
tỹ H

ự D = R D ợ R
D = R
D số tr R R tr D õ R D t õ R = D õ R D
tỗ t a D, a / R D số tr R a D a ừ ởt tự
ổ t tữớ õ f (x) = anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0 ợ a0, a1, ..., an R
sỷ f (x) õ tt k tỹ 1, 2, ..., k õ f (x) = (x 1)(x 2)...(x
k )g(x) ợ g(x) R[x] õ g(x) tự g(x) õ t g(x)




õ tỹ f (x) õ k + 1 tỹ ổ ỵ sỷ g(x) ổ t q
õ tỗ t q1(x) R[x], deg(q1(x)) = 2 q1(a) = 0 s g(x) = q1(x)g1(x)
õ g1(x) õ tử q tr ữ t ữủ ởt tự õ
ổ õ tỹ a ừ tự õ ữ a ừ ởt
tự t q sỷ g(x) t q t a ừ tự t
q õ a ừ ởt tự t q
sỷ a2 2a + = 0 ợ , R õ (a )2 = 2
r 2 < 0 t sỷ ữủ 2 0 õ a = 2
a = 2 + Rổ ỵ
2 < 0 tỗ t R s 2 = 2 õ (a )2 = 2
2
a
= 1

D
ồ a D, a / R t i = a tr õ , R ữủ ồ i2 = 1
ự R(i) D t ợ ộ b + ci R(i) t b + ci D b, c, i D
õ R(i) D ự D số tr R(i) D R(i) D ồ
tỷ tở R(i) ụ ợ ồ tỷ tởD R(i) tr t ừ
D t õ ộ tỷ tở D ừ ởt tự ổ t tữớ ợ
số tr R R(i) D số tr R(i) R(i) ợ trữớ số ự C
ờ t t r D = R(i) R(i) ợ trữớ số ự õ D
ợ trữớ số ự
D ổ
s ự R t ừ D
sỷ ữủ t ừ D ổ R D số tr R R t tỹ
sỹ ừ t õ õ tỗ t a tở t
ừ D a / R t tr
2
a
tỗ t , R s t =
= 1 ợ ộ b + ct R(t) d D t õ
d(b + ct) = db + dct = bd + cdt = bd + ctd = (b + ct)d R(t) tr t ừ D
t õ ộ tỷ tở D ừ ởt tự ổ t tữớ ợ số
tr R R(t) D số tr R(t) R(t) ởt trữớ ợ trữớ số ự
ờ t t r D = R(t) D t ợ tt D
ổ õ R t ừ D
a D, a / R s , R, i = a tọ i2 = 1
i / R i ổ tr t ừ D tỗ t b D s b ổ
ợ i c = bi ib = 0 õ ci + ic = (bi ib)i + i(bi ib) = bi2 i2b = 0



i2 = 1

õ ci = ic c / R c R t ci + ic = 2ci = 0 2i = 0
c = 0 ổ ỵ õ ic2 = (ic)c = cic = c(ci) = c2 i c2 ợ i
c D, c
/ R c ừ ởt ữỡ tr ợ số tr R c2 + c + à = 0
ợ , à R õ ic = i(c2 à) = ic2 ià = c2i ài = (c2 à)i = ci c2
à ợ i õ ci = ic = ic = ci õ 2ci = 0 2i = 0
= 0 c2 + c + à = 0 t ữủ c2 = à c
/ R tữỡ tỹ t
tr t õ à ữỡ à < 0 t à = v2 ợ v R õ c2 = v2
t j = vc õ j tọ
2
j 2 = vc2 = 1
ji + ij = vc i + i vc = ci +v ic = 0
t k = ij õ k2 = ijij = i(ij)j = 1 ợ i, j, k tọ i2 = j 2 = k2 =
ijk = 1 t õ T = {0 + 1 i + 2 j + 3 k|0 , 1 , 2 , 3 R} ởt ừ
D ợ trs tỹ
r2 D tọ r2 = 1 N (r) = {x D|xr = rx} ừ D
ự N (r) số tr R(r) ợ ộ 0 + 1r ợ 0, 1 R, x N (r) t õ
x(0 + 1 r) = x0 + x1 r = 0 x + 1 rx = (0 + 1 r)x R(r) tr t ừ N (r)
t õ ợ ộ x N (r) D ừ ởt tự ổ t tữớ ợ
số tr R R(r) õ N (r) số tr R(r) R(r) ởt trữớ ợ trữớ
số ự ờ t t r N (r) = R(r) = {0 + 1r|0, 1 R}
x, r D, r2 = 1 xr = rx t x = 0 + 1r ợ 0, 1 R
ự D = T
T D ự D T sỷ u R D õ u T
ớ u D, u / R t tỗ t , R, w = u tọ w2 = 1 õ
i(wi+iw) = iwi+i2 w = iwi+wi2 = (wi+iw)i tữỡ tỹ ữ w(wi+iw) = (wi+iw)w
t tr t õ wi + iw = 0 + 1i = 0 + 1w w / T t 1 = 0
1 = 0 t wi + iw = 0 + 1i T, wi + iw = 0 + 1w / T ổ ỵ õ
wi + iw = 0 R tữỡ tỹ wj + jw = 0 R wk + kw = 0 R t
z=w+

0
0
0
i+ j+ k
2
2
2

õ zi + iz = wi + iw + 20 (i2 + i2) + 20 (ji + ij) + 20 (ki + ik) = 0 0 = 0 ữỡ
tỹ zj + jz = 0 zk + kz = 0 õ 0 = zk + kz = zij + ijz = zij + izj izj + ijz =
(zi + iz)j + i(jz zj) = i(jz zj) zi + iz = 0 i = 0 jz zj = 0



♠➔ t❛ ❧↕✐ ❝â zj + jz = 0 ♥➯♥ 2zj = zj + zj = 0 ✈➔ ✈➻ 2j = 0 ♥➯♥ z = 0✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
β0
γ0
α0
β0
γ0
α0
z = w + i + j + k = 0 ⇒ w = − i − j − k ∈ T ✳ ▼➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t
2
2
2
2
2
2
u−α
♥➯♥ u = βw + α ∈ T ✳ ❚❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ ♠å✐ ♣❤➛♥
w∈
/ T ✳ ❱➟② w ∈ T ✳ ❱➻ w =
β
tû t❤✉ë❝ D ✤➲✉ t❤✉ë❝ T ♥➯♥ D ⊂ T ♠➔ t❛ ❧↕✐ ❝â T ⊂ D✳ ❉♦ ✤â D = T ✱ T ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐
✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ❝→❝ ◗✉❛t❡r♥✐♦♥s t❤ü❝✳ ❱➟② D ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ❝→❝ ◗✉❛t❡r♥✐♦♥s t❤ü❝✳




❑➳t ❧✉➟♥
◗✉❛ ❜➔✐ t➟♣ ❧î♥ ✧▼ët ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❋r♦❜❡♥✐✉s✧ ❡♠ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ s❛✉✿
• ❚ê♥❣ ❤ñ♣ ❧↕✐ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈➔♥❤✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ✈î✐ ❤➺ sè tr➯♥ R
❤♦➦❝ C ✈➔ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛✳ ❚ø ✤â ♠ð rë♥❣ ✈➲ ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✈➔♥❤ ✤❛
t❤ù❝ ✈➔ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛✳
• ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ✤↕✐ sè✳
• ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❋r♦❜❡♥✐✉s ♥â✐ ✈➲ sü ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❝❤✐❛ ✤↕✐ sè tr➯♥
tr÷í♥❣ sè t❤ü❝✳

✶✵


❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
❬✶❪ P❛tr✐❝❦ ❘✳ ●✐r❛r❞✱ ◗✉❛t❡r♥✐♦♥s✱ ❈❧✐❢❢♦r❞ ❆❧❣❡❜r❛s ❛♥❞ ❘❡❧❛t✐✈✐st✐❝ P❤②s✐❝s✱
❇✐r❦❤❛✉s❡r✱ ✷✵✵✼
❬✷❪ ❇ò✐ ❳✉➙♥ ❍↔✐✱ ❚r➛♥ ◆❣å❝ ❍ë✐✱ ❚rà♥❤ ❚❤❛♥❤ ✣➧♦✱ ▲➯ ❱➠♥ ▲✉②➺♥✱ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤
✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ q✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✸❪ ■✳ ◆✳ ❍❡rst❡✐♥✱ ❚♦♣✐❝s ✐♥ ❛❧❣❡❜r❛✱ ✷♥❞ ❡❞✐t✐♦♥✱ ❲✐❧❡②✱ ✶✾✼✺✳

✶✶



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×