Tải bản đầy đủ

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA căn THỨC nguyễn đức tuấn – thành phố cao lãnh đồng tháp một PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH có CHỨA căn THỨC

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC

Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây
tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp
mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức
mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi…
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng
dụng trong giải toán sau:
.

Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy



không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:


Nhân

vào hai vế của phương trình

Nhận thấy
là một nghiệm của phương trình
phương trình cho
ta được:

Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm

xét

ta được:

, chia cả hai vế của



(loại)


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Vậy phương trình

có hai nghiệm



.

Ví dụ 2: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Phương trình

tương đương với:


Nhân

vào hai vế của phương trình

Nếu

hoặc

Nếu

ta thu được:

(loại)

, chia cả hai vế của phương trình cho

ta được:

Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình

có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Phương trình





.

tương đương với:

, nhân

vào hai vế của phương trình

ta thu được:


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

+Nếu
+Nếu

, chia cả hai vế của phương trình cho

(vì
Vậy phương trình

ta được:

)

có nghiệm duy nhất


Ví dụ 4: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy


được:

không phải là nghiệm của phương trình

, nhân

+Nếu
+Nếu

vào hai vế của phương trình

hoặc

.

, chia cả hai vế của phương trình cho

Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình có hai nghiệm

, viết lại phương trình dạng:



ta được:

ta thu


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Sau đây là một số bài tập:

Giải các phương trình sau:

------------------------------------

Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số
bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút... Ở đây vẫn trình bày dưới
dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng...

Ví dụ 5: (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:
Phương trình

tương đương với:



Nhận thấy
trình cho

. Ta có:

là một nghiệm của phương trình, xét
ta được:

Dễ thấy
Vậy phương trình

, chia cả hai vế của phương

.
có nghiệm duy nhất

.

Ví dụ 6: (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Lời giải: Điều kiện:



Nhận thấy
trình cho

. Ta có:

là một nghiệm của phương trình, xét
ta được:

, chia cả hai vế của phương

.
Dễ thấy
Vậy phương trình

.
có nghiệm duy nhất

.

Ví dụ 7: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ...) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện

Nhận thấy

cả hai vế của phương trình cho

là các nghiệm của phương trình. Xét
ta được:

. Chia


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Dễ thấy

.

Vậy phương trình

có hai nghiệm



.

Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra

là nghiệm... (^_^)

Ví dụ 8: (Tìm nhân tử chung...!) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:

Nếu



Xét

. Chia cả hai vế của phương trình cho



Vậy phương trình

ta được:

(loại!).

có ba nghiệm

,



.


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra

là nhân tử chung... (^_^)

Sau đây là một số bài tập:

Giải các phương trình sau:

.

------------------------------------------------

Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẽ các bạn cũng đã nhận thấy được
phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình
chứa căn thức.
Không dừng lại ở đó, mình xin trình bày những vấn đề tiếp theo xung quanh phương
pháp này. Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn
trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức.
Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp
này. Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi
olympic để làm ví dụ minh họa. Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng
rãi và hiệu quả của nó.

Ví dụ 9: Giải phương trình
( Đề chính thức Olympic 30 - 4 năm 2006)
Lời giải:


không là nghiệm của phương trình



. Suy ra:

Nếu
Nếu

ta viết phương trình dưới dạng:


. Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)

Vậy phương trình

có 2 nghiệm là:



.


MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp
chung là
. Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này.

để tìm ra nhân tử

Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên.
Xét phương trình:



. Suy ra:

Bây giờ ta chỉ cần xác định

sao cho:
. Suy ra:



Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày.

Ví dụ 10: Giải phương trình

( Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007)
Lời giải:
Điều kiện:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×