Tải bản đầy đủ

Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HàNội - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mãsố: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. Đặng Quang Á
2. TS. Vũ Vinh Quang

HàNội – 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng dẫn
khoa học của GS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Những kết quả trình
bày trong Luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình của ai khác. Các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương
trình do chính tôi thiết kế và thử nghiệm trên môi trường MATLAB, số liệu là
hoàn toàn trung thực. Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn
và đồng tác giả cho phép sử dụng trong Luận án.
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Thanh Hường

i


LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới các
Thầy hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận án, các Thầy luôn kiên nhẫn, tận
tình chỉ bảo, dìu dắt và giúp đỡ em. Chính niềm say mê khoa học, sự nghiêm khắc
trong khoa học cùng với đó là sự quan tâm, động viên và khích lệ của các Thầy là
động lực khiến em không ngừng nỗ lực, cố gắng vượt qua mọi khó khăn, vất vả để
hoàn thành Luận án.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô và các thành viên trong nhóm Seminar
khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ thông tin, Viện
Công nghệ Thông tin cùng các cán bộ nghiên cứu. Những ý kiến nhận xét và đóng
góp vô cùng quý báu trong các buổi báo cáo và thảo luận đã giúp em hoàn thành
tốt nhất Luận án của mình.
Em xin chân thành cảm ơn cơ sở đào tạo - Viện Công nghệ Thông tin và Học
viện Khoa học và Công nghệ. Quý Viện và Học viện đã luôn tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành tốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình tại đây.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, các bạn bè đồng nghiệp, gia
đình và người thân đã luôn đồng hành, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án.
Xin chân thành cảm ơn!

ii


Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu
Tập các số thực
Tập các số thực không âm
Tập các số phức
Không gian Euclide K chiều
Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục
trên [a, b]
C([0, ∞))
Không gian các hàm liên tục trên [0, ∞)
C(R)
Không gian các hàm liên tục trên R
C([0, 1] × R)
Không gian các hàm liên tục trên [0, 1] × R
C([a, b], K)
Không gian các hàm liên tục f : [a, b] → K
C([a, b] × R4 , R) Không gian các hàm liên tục f : [a, b] × R4 → R

Miền giới nội
Γ
Biên của miền Ω

Bao đóng của miền Ω
C(Ω)
Không gian các hàm liên tục trên Ω
C(Ω × R)
Không gian các hàm liên tục trên Ω × R
1
C (Ω × R, R)
Không gian các hàm f : Ω × R → R có các đạo hàm riêng
cấp một liên tục trên Ω × R
2
C (Ω)
Không gian các hàm có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục
trên Ω

C (Γ)
Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Γ

C (Ω × R × R) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω × R × R
∆, ∆2 , ∇
Toán tử Laplace, toán tử song điều hòa, toán tử Gradient
q
L (Ω)
Không gian các hàm khả tích bậc q trên Ω

L (Ω)
Không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω
x
Chuẩn của phần tử x
x 2
Chuẩn trong không gian L2 của phần tử x
H 2 (Ω)
Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng
cho đến cấp hai thuộc L2 (Ω)
H01 (Ω)
Không gian Sobolev các hàm triệt tiêu trên biên Ω,
có đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2 (Ω)
O(h)
Vô cùng bé bậc cao hơn h
R
R+
C
RK
C k [a, b]

iii


Danh sách hình vẽ

Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ

3.1

Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 2π 2 . .
Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π 2 .
Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.1. . . . . .
Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.4. . . . . .
Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . .

3.2
3.3
3.4
3.5

thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị

của e(K) trong Ví dụ 2.1. . . . . . . . .
của r(K) trong Ví dụ 2.1. . . . . . . . .
của e(K) trong Ví dụ 2.2. . . . . . . . .
của r(K) trong Ví dụ 2.2. . . . . . . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1.2. . .
của e(K) trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . .
của r(K) trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.3. . . .
của e(K) trong Ví dụ 2.4. . . . . . . . .
của e(K) trong Ví dụ 2.5. . . . . . . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5. . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6. . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.7. . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.10. . .
nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.11. . . . .
của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.15.
của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.16.
của e(K) trong Ví dụ 2.17. . . . . . . .
của e(K) trong Ví dụ 2.18 . . . . . . . .
của e(K) trong Ví dụ 2.19. . . . . . . .
của e(K) trong Ví dụ 2.20. . . . . . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.20. . .

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22

iv

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

46
47
48
48
49
49
50
50
59
61
61
63
64
66
69
75
76
84
86
86
87
87

111
111
112
113
113


3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15

Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ

thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị
thị

của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3 . . .
của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ
nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.4 . . . . . .
của e(m) trong Ví dụ 3.5. . . . . . . . .
của e(m) trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6. . . .
của e(m) trong Ví dụ 3.7. . . . . . . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.7. . . .
của e(m) trong Ví dụ 3.8. . . . . . . . .
của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.8. . . .

v

. .
3.4
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

114
114
114
123
124
124
124
125
126
126


Danh sách bảng

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13

Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự

hội
hội
hội
hội
hội
hội
hội
hội
hội
hội
hội
hội
hội

tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ

trong
trong
trong
trong
trong
trong
trong
trong
trong
trong
trong
trong
trong















dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ
dụ

2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . .
2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . .
2.14 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . .
2.15 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . .
2.16 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . .
2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.21 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0
2.22 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0
2.23 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0
2.24 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0
2.25 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

Sự
Sự
Sự
Sự
Sự
Sự

hội
hội
hội
hội
hội
hội

tụ
tụ
tụ
tụ
tụ
tụ

của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.1 trên
của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.2 . .
trong Ví dụ 3.5 . . . . . . . . . . . . . . .
trong Ví dụ 3.6 . . . . . . . . . . . . . . .
trong Ví dụ 3.7 . . . . . . . . . . . . . . .
trong Ví dụ 3.8 . . . . . . . . . . . . . . .

vi

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

46
59
73
74
74
75
75
84
95
96
96
97
98

lưới đều 65 × 65 nút110
. . . . . . . . . . . 112
. . . . . . . . . . . 122
. . . . . . . . . . . 123
. . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . 125


Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
12
14

1.2. Hàm Green đối với một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3. Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Đạo hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
21
22

1.4. Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson .

24

1.5. Phương pháp giải hệ phương trình lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm . . . . . . . . . . .
1.5.2. Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc
ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26

29

Chương 2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán
biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34
2.1. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường
phi tuyến cấp bốn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Trường hợp điều kiện biên Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
35
50
68

2.2. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn không địa
phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1. Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.2. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

vii


Chương 3. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán
biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 100
3.1. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Phương pháp giải và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100
102
106

3.2. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff 115
3.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.2. Phương pháp giải và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

Danh mục các công trình đã công bố của Luận án . . . . . .

129

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

viii


MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của Luận án
Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hình
hóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo
hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau. Việc nghiên cứu định tính cũng
như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút được nhiều sự
quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P. Agawarl, E. Alves,
P. Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhós, Y.M. Wang, Đặng Quang
Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, Nguyễn Văn Đạo, Lê
Lương Tài, ... Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm,
phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân
thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trong các công trình
của tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự trong [17]-[24]. Tác giả Phạm Kỳ Anh
cũng có một số công trình nghiên cứu về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm, các
phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... của bài toán biên tuần hoàn (xem [10], [11]). Sự
tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầm được xét đến trong
các công trình của tác giả T.F. Ma (xem [45]-[50]). Lý thuyết và vấn đề giải số các
bài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trong các tài liệu [5], [12], [37], [60], ...
Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường và
phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâm lớn
của các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong
thực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, ... Có thể chia phương trình vi
phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương và phương
trình vi phân cấp bốn không địa phương. Phương trình vi phân cấp bốn có chứa
thành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không địa phương
hoặc phương trình loại Kirchhoff. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình
vi phân cấp bốn địa phương. Dưới đây, ta sẽ điểm qua một số phương pháp tiêu
biểu và một số công trình sử dụng các phương pháp này khi nghiên cứu các bài
toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn.
Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương pháp
phổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến. Ý tưởng
1


của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếm
hàm. Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cực trị
của phiếm hàm. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhoff
trong [45] năm 2000
1

u(4) (x) − M

|u (s)|2 ds u (x) + f (x, u(x)) = 0,

0 < x < 1,

0

u (0) = u (1) = 0,

u (0) = −g(u(0)),

u (1) = g(u(1)),

trong đó M ∈ C([0, ∞)), f ∈ C([0, 1] × R), g ∈ C(R) và M (|s|) ≥ 0, g(s)s >
0, ∀s = 0. Bằng phương pháp biến phân, T.F. Ma chứng minh được sự tồn tại
nghiệm của bài toán với giả thiết F (x, t) → +∞ khi |t| → ∞, trong đó F (x, t) =
t
0 f (x, s)ds. Sau đó, trong [46] năm 2003, cũng bằng phương pháp biến phân, tác
giả thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán
L
(4)

|u (s)|2 ds u (x) = f (x, u(x)),

u (x) − M

0 < x < L,

0
L

|u (s)|2 ds u (L) = g(u(L))

u(0) = u (0) = u (L) = 0, u (L) − M
0

với các giả thiết ∃m0 ∈ [0, L−2 ) sao cho M (s) ≥ −m0 , ∀s ≥ 0; ∃α0 , β0 > 0 sao cho
f (x, t)
= l(x) < α0 ,
t
|t|→∞
lim

g(t)
= k > −β0 ;
|t|→∞ t
lim

và m0 L2 + α0 L4 + β0 L3 < 1.
Năm 2016, trong [35], S. Heidarkhani và các cộng sự sử dụng phương pháp biến
phân đã chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán biên cho phương trình vi phân phi
tuyến cấp bốn địa phương với các điều kiện biên phi tuyến
u(4) (x) = λf (x, u(x)) + µg(x, u(x)) + p(u(x)),
u(0) = u (0) = 0,

u (1) = 0,

0 < x < 1,

u (1) = h(u(1)),

trong đó λ > 0, µ ≥ 0, f, g thuộc lớp L2 các hàm Carathéodory, p, h là các hàm
liên tục Lipschitz, p(0) = h(0) = 0. Trong công trình này, các tác giả đặt ra rất
nhiều giả thiết phức tạp về điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của các hàm f, g, p, h.
Phương pháp biến phân không chỉ áp dụng đối với các bài toán biên cho phương
trình vi phân thường mà còn áp dụng với bài toán biên cho phương trình đạo hàm
riêng. Trong [57] năm 2010, R. Pei xét bài toán biên Navier cho phương trình song
điều hòa
∆2 u(x) = f (x, u), x ∈ Ω,
2


u = ∆u = 0,

x ∈ Γ,

ở đây Ω là miền trơn, bị chặn trong RK , K > 4. Sử dụng phương pháp biến phân,
tác giả đã chứng minh được rằng bài toán trên có ít nhất ba nghiệm không tầm
thường nếu hàm f thỏa mãn các điều kiện sau:
(B1) f ∈ C 1 (Ω × R, R), f (x, 0) = 0, f (x, t)t ≥ 0, ∀x ∈ Ω, t ∈ R;
(B2) lim|t|→0 (f (x, t)/t) = f0 < λ1 , lim|t|→∞ (f (x, t)/t) = λk , ở đây λ1 là giá trị
riêng thứ nhất, λk là giá trị riêng thứ k (với k ≥ 2) của (∆2 , H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω));
t
(B3) lim|t|→∞ [f (x, t)t − 2F (x, t)] = −∞, ở đây F (x, t) = 0 f (x, s)ds.
Năm 2012, trong [66], F. Wang và Y. An xét bài toán biên cho phương trình
song điều hòa loại Kirchhoff
∆2 u = M

|∇u|2 dx ∆u + f (x, u),

x ∈ Ω,



u = 0,

∆u = 0,

x ∈ Γ.

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm không âm của bài toán trên, bằng phương pháp
biến phân, các tác giả đặt ra nhiều giả thiết về sự tăng trưởng tại vô cùng của hàm
f:
(B1’) f (x, t) ∈ C(Ω × R); f (x, t) ≡ 0, ∀x ∈ Ω, t ≤ 0; f (x, t) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, t > 0;
(B2’) |f (x, t)| ≤ a(x) + b|t|p , ∀t ∈ R, x ∈ Ω, ở đây a(x) ∈ Lq (Ω), b ∈ R,
1
1
1 < p < K+4
K−4 nếu K > 4, 1 < p < ∞ nếu K ≤ 4 và p + q = 1;
(B3’) f (x, t) = O(|t|) khi t → 0, x ∈ Ω;
(B4’) Tồn tại hằng số Θ > 2, R > 2 sao cho ΘF (x, s) ≤ sf (x, s), ∀|s| ≥ R, ở
s
đây F (x, s) = 0 f (x, t)dt.
Ngoài các công trình nêu trên, có thể kể thêm nhiều công trình khác cũng áp
dụng phương pháp biến phân nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi
phân phi tuyến cấp bốn như [25], [33], [47], ... Mặc dù phương pháp biến phân là
một công cụ phổ biến và hữu hiệu khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài
toán biên tuy nhiên cũng phải để ý rằng, khi sử dụng phương pháp biến phân, với
các giả thiết về điều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, các tác giả phần lớn là
xét sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán (có thể xét sự tồn tại
duy nhất của nghiệm trong trường hợp phiếm hàm lồi) nhưng lại không có ví dụ
nào về nghiệm tồn tại, đồng thời phương pháp giải bài toán cũng không được xét
đến.
Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên và
nghiệm dưới. Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toán
biên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với một số
giả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảng nghiệm
trên và nghiệm dưới. Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệu với các
xấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại và nghiệm cực
3


tiểu của bài toán. Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểu trùng nhau thì
bài toán có nghiệm duy nhất.
Sau đây ta điểm qua một số công trình sử dụng phương pháp nghiệm trên và
nghiệm dưới khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến
cấp bốn.
Đầu tiên, xét bài toán trong công trình [14] năm 2007
u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),

0 < x < 1,

u(0) = u (1) = u (0) = u (1) = 0.
Hàm α và β ∈ C 3 [0, 1] ∩ C 4 (0, 1) tương ứng được gọi là nghiệm trên và nghiệm
dưới của bài toán nếu
α(4) (x) ≥ f (x, α(x), α (x), α (x), α (x)),

0 < x < 1,

α(0) = α (1), α (0) ≤ 0, α (1) ≤ 0,
β (4) (x) ≤ f (x, β(x), β (x), β (x), β (x)),

0 < x < 1,

β(0) = β (1), β (0) ≥ 0, β (1) ≥ 0.
Trong công trình này, Z. Bai đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán với
giả thiết bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới α, β thỏa mãn điều kiện α ≤ β
đồng thời giả thiết thêm hàm f thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng theo α , β ,
tức là tồn tại hàm dương h(z) trên [0, ∞) sao cho
|f (x, u, y, v, z)| ≤ h(|z|)
với mọi (x, u, y, v, z) ∈ [0, 1] × [−M , M ]2 × [α , β ] × R và

λ

s
ds > max β (x) − min α (x),
0≤x≤1
0≤x≤1
h(s)

trong đó
λ = max{|β (1) − α (0)|, |β (0) − α (1)|}.
Tiếp theo, xét công trình [31] của H. Feng và các cộng sự năm 2009 khi nghiên
cứu bài toán
u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),

0 < x < 1,

u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0.
Hàm α và β ∈ C 3 [0, 1] ∩ C 4 (0, 1) tương ứng được gọi là nghiệm trên và nghiệm
dưới của bài toán nếu
α(4) (x) ≥ f (x, α(x), α (x), α (x), α (x)),

0 < x < 1,

α(0) = 0, α (1) = 0, aα (0) − bα (0) ≤ 0, cα (1) + dα (1) ≤ 0,
β (4) (x) ≤ f (x, β(x), β (x), β (x), β (x)),

0 < x < 1,

β(0) = 0, β (1) = 0, aβ (0) − bβ (0) ≥ 0, cβ (1) + dβ (1) ≥ 0.
4

(0.0.1)


Cũng với giả thiết bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới α, β thỏa mãn α ≤ β ,
hàm f thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng theo α , β , đồng thời giả thiết hàm
f (x, u, y, v, z) giảm theo u, y, tăng chặt theo z, các tác giả thiết lập được sự tồn
tại duy nhất nghiệm của bài toán.
Năm 2006, trong công trình [68], Y.M. Wang xét bài toán
(k(x) u) = f (x, u,
B[u] = g1 (x),

u),

x ∈ Ω,

B[k u] = g2 (x),

x ∈ Γ,

ở đây Ω là miền bị chặn trong RK với biên trơn Γ,
là toán tử Laplace, k(x) ∈
¯ k(x) ≥ k0 > 0, f ∈ C ∞ (Ω × R × R), gi ∈ C ∞ (Γ) và B là toán tử biên tuyến
C 2 (Ω),
tính xác định bởi
B[w] = w

hoặc B[w] =

∂w
+ β(.)w, β(x) ≥ 0 trên Γ, β ∈ C ∞ (Γ).
∂ν

¯ được gọi là cặp nghiệm trên và dưới của bài toán
Cặp hàm u, u ∈ C 4 (Ω) ∩ C 2 (Ω)
nếu u ≥ u, u ≤ u và
(k(x) u) ≥ f (x, u,

u),

B[u] ≥ g1 (x) ≥ B[u],

(k(x) u) ≤ f (x, u,

u), x ∈ Ω, u ≤ u ≤ u,

B[k u] ≤ g2 (x) ≤ B[k u],

x ∈ Γ.

Tác giả đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán và xây dựng được
hai dãy xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm với giả thiết bài toán có nghiệm trên,
nghiệm dưới và hàm f (x, u, v) là đơn điệu theo u.
Ngoài các công trình trên, ta có thể kể đến nhiều công trình sử dụng phương
pháp nghiệm trên và nghiệm dưới nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến (xem
[13], [29], [52], [67], [69], [70], ...). Từ các công trình trên ta thấy rằng, phương
pháp nghiệm trên và nghiệm dưới có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm, tính
duy nhất nghiệm, xây dựng được dãy lặp hội tụ tới nghiệm nhưng một giả thiết
không thể thiếu được là bài toán phải có nghiệm trên và nghiệm dưới, trong khi đó
tìm được các nghiệm này không phải là việc dễ dàng. Ngoài ra ta còn cần các giả
thiết khác đặt lên hàm vế phải như điều kiện tăng trưởng tại vô cùng hoặc điều
kiện phức tạp như điều kiện Nagumo ...
Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, các nhà
khoa học còn dùng phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động trong nghiên
cứu các bài toán biên phi tuyến. Áp dụng phương pháp này, người ta đưa bài toán
đã cho về bài toán tìm điểm bất động của một toán tử, sau đó áp dụng các định lý
điểm bất động đối với toán tử này. Ta có thể liệt kê rất nhiều công trình sử dụng
phương pháp trên (xem [4], [7], [50], [64], [65], ...). Cụ thể, công trình [4] năm 1984
của R.P. Agarwal và Y.M. Chow xét bài toán với điều kiện biên Dirichlet
u(4) (x) = f (x, u, u , u , u ),
5

a < x < b,


u(a) = A1 , u (a) = A2 , u(b) = B1 , u (b) = B2 .
Trong công trình này, các tác giả chỉ ra nghiệm của bài toán đã cho là điểm bất
động của toán tử T
b

T u = P3 (x) +

G(x, s)f (s, u, u , u , u )ds,
a

ở đây G(x, s) là hàm Green của bài toán u(4) (x) = 0 với các điều kiện biên u(a) =
u (a) = u(b) = u (b) = 0, P3 (x) là đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện P3 (a) =
A1 , P3 (a) = A2 , P3 (b) = B1 , P3 (b) = B2 . Với một số giả thiết đặt lên hàm f , bằng
cách sử dụng Nguyên lý điểm bất động Schauder các tác giả đã chứng minh được
sự tồn tại nghiệm của bài toán, áp dụng định lý điểm bất động Banach cho ánh
xạ co, các tác giả chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán,
đồng thời xây dựng dãy lặp Picard với xấp xỉ đầu là một nghiệm xấp xỉ của bài
toán hội tụ tới nghiệm duy nhất này.
Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhoff
L
(4)

u 2 (s)ds u (x) = f (x, u(x), u (x)),

u (x) − M

0 < x < L,

0

u(0) = u (0) = 0, u(L) = 0, u (L) = g(u (L))
trong công trình [50] của T.F. Ma và A.L.M. Martinez năm 2010. Các tác giả đã
đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với ẩn hàm
L

u(x) = T u(x) =

G(x, t)z(t)dt,
0

trong đó
L

G(t, s)f (s, u(s), u (s))ds − M ( u

z(t) =

2
2 )u(t)

0



t
g(u (L)).
L

Sau đó áp dụng định lý điểm bất động Krasnosel’skii trên nón, các tác giả chứng
minh được sự tồn tại nghiệm dương của bài toán. Ngoài Định lý điểm bất động
Schauder, Định lý điểm bất động Krassnosel’skii, Định lý điểm bất động Banach,
trong bài báo năm 2008 của P. Amster [7] sau khi đưa bài toán ban đầu về phương
trình toán tử đối với ẩn hàm, tác giả sử dụng Định lý điểm bất động Leray-Schauder
kết hợp với lý thuyết bậc Brouwer thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán
u(4) (x) − Au (x) + g(x, u(x)) = 0,
u (0) = u (L) = 0,

u (0) = −f (u(0)),

0 < x < L,
u (L) = f (u(L)),

trong đó A là hằng số không âm, f, g là các hàm liên tục.
6


Chú ý rằng, trong các công trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiên
cứu các bài toán biên phi tuyến, phần lớn các tác giả sử dụng cách tiếp cận đưa
bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm. Sử dụng các định lý
về tồn tại điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder,
Krassnosel’skii, ... đối với toán tử này ta chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm của
bài toán. Sử dụng Định lý điểm bất động Bannach, ta không những thiết lập được
sự tồn tại duy nhất nghiệm mà còn đưa ra được phương pháp lặp hội tụ cấp số
nhân tìm nghiệm. Tuy nhiên cũng phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử và xét
toán tử này trên một không gian phù hợp sao cho các giả thiết đặt lên các hàm
ràng buộc là đơn giản mà vẫn đảm bảo các điều kiện để áp dụng được các định
lý điểm bất động trong nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài
toán biên phi tuyến đóng vai trò vô cùng quan trọng.
Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ
nghiệm của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn là phương pháp sai phân hữu hạn (xem [46],
[53], [63], [70], ...). Bằng cách thay thế các đạo hàm bởi các công thức sai phân,
bài toán đã cho được rời rạc thành các hệ phương trình đại số. Giải hệ này ta thu
được nghiệm xấp xỉ của bài toán tại các nút lưới. Chú ý rằng khi sử dụng phương
pháp sai phân hữu hạn nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, nhiều công trình
tiếp cận theo hướng công nhận sự tồn tại nghiệm của bài toán (không xét về mặt
định tính), rời rạc hóa bài toán ngay từ ban đầu. Cách làm này có nhược điểm là
khó đánh giá được sự ổn định, hội tụ của lược đồ sai phân và khó có thể đánh giá
sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ.
Khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, ngoài các phương pháp phổ biến
được trình bày ở trên còn có thể kể đến một số phương pháp khác như phương
pháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier,
phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, ... Có thể kết
hợp các phương pháp nêu trên để nghiên cứu đầy đủ cả về mặt định tính lẫn định
lượng của bài toán.
Với sự phát triển không ngừng của khoa học, kỹ thuật, vật lý, cơ học, ... xuất
phát từ những bài toán thực tế, các bài toán biên mới được đặt ra ngày càng nhiều
và phức tạp trong cả phương trình lẫn điều kiện biên. Mỗi tác giả sẽ có phương
pháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác nhau với từng bài toán. Mỗi phương pháp đề ra
sẽ có những ưu điểm và hạn chế riêng và khó có thể khẳng định phương pháp nào
thực sự tốt hơn phương pháp nào từ lý thuyết cho đến thực nghiệm. Tuy nhiên,
chúng tôi sẽ hướng tới phương pháp nghiên cứu được toàn diện cả về mặt định
tính lẫn định lượng của các bài toán sao cho các điều kiện được đặt ra là đơn giản
và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của kết quả lý
thuyết, so sánh được kết quả chúng tôi đạt được so với kết quả đã có của một số
7


tác giả khác về một mặt nào đó.
Đây chính là mục đích và lí do chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gần
đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn".

2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của Luận án
Đối với một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường và
phương trình đạo hàm riêng cấp bốn là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốn
của dầm và của bản:
- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương
của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại
không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm
vế phải.
- Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán.
- Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví
dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác
giả khác.

3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu
- Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa các bài toán biên phi
tuyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sử
dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân,
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và một số tính chất khác của
nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình
đạo hàm riêng cấp bốn địa phương và không địa phương.
- Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội
tụ của phương pháp.
- Đưa ra một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng và
chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý
thuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm.

4. Kết quả đạt được của Luận án
Luận án đề xuất một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả nghiên cứu sự
tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương
trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với các loại
điều kiện biên khác nhau và hai bài toán biên cho phương trình song điều hòa và
phương trình song điều hòa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán

8


đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian.
Các kết quả đạt được là:
- Thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán dưới các điều
kiện dễ kiểm tra, trong đó bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn
địa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp và bài toán biên cho
phương trình song điều hòa, xét được tính dương của nghiệm.
- Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của
phương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân.
- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý
thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp trong Luận án
so với phương pháp của một số tác giả khác.
- Đưa ra các thử nghiệm số kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm.
Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A8] trong Danh mục các công
trình của tác giả liên quan đến Luận án.

5. Cấu trúc của Luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của Luận án được
trình bày trong 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm: một số định lý điểm bất
động; hàm Green đối với một số bài toán; các công thức tính gần đúng đạo hàm
và tích phân với sai số cấp hai và cấp cao hơn; lược đồ sai phân với độ chính xác
cấp bốn cho phương trình Poisson và phương pháp giải hệ phương trình lưới. Đây
là những kiến thức cơ bản, có vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho Chương 2
và Chương 3 của Luận án.
Trong Chương 2, với cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương
trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, Luận án thiết lập sự
tồn tại và duy nhất nghiệm đối với năm bài toán biên cho phương trình vi phân
thường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biên
khác nhau, trong đó với hai bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn địa
phương với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên tổ hợp, Luận án xét được
tính dương của nghiệm. Trên cơ sở phương trình toán tử, Luận án đề xuất phương
pháp lặp tìm nghiệm và chứng minh sự hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân của
phương pháp lặp. Luận án cũng đưa ra các ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết
trước nghiệm đúng hoặc không biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng
đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp. Chú ý rằng trong
các ví dụ này, một số ví dụ được phân tích để thấy được lợi thế trong phương pháp
đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác.
Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối với hai
9


bài toán biên cho phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loại
Kirchhoff, Luận án cũng thu được các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và
sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm.
Trong Luận án, các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường
MATLAB 7.0 trên máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM.

Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận
tại:
1. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013.
2. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015.
3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016.
4. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016.
5. Hội nghị Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10),
Đà Nẵng, 17-18/8/2017.
6. The second Vietnam International Applied Mathematics Conference (VIAMC
2017), Ho Chi Minh, December 15 to 18, 2017.
7. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ
Thông tin, Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam.

10


Chương 1
Kiến thức bổ trợ

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chương
tiếp theo của Luận án. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1],
[16], [34], [38], [39], [61], [62], [71].

1.1.

Một số định lý điểm bất động

1.1.1.

Giới thiệu chung

Định nghĩa 1.1. (Xem [34]) Giả sử X là không gian Banach, T là ánh xạ đi từ
X vào X hoặc là ánh xạ đi từ một tập con của X vào X. Điểm x ∈ X được gọi là
điểm bất động của T nếu x = T x.
Các định lý điểm bất động đảm bảo sự tồn tại điểm bất động. Các định lý này
có tính ứng dụng cao trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương
trình. Chẳng hạn như, xét phương trình
F (x) = 0,
ở đây F là một hàm thực hoặc tổng quát hơn là một toán tử trong không gian
Banach. Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình trên ta chỉ cần chứng minh
ánh xạ
x → x − λT (x)F (x)
có điểm bất động, trong đó λ > 0 là một tham số, T (x) là toán tử tuyến tính khả
nghịch. Để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động ta phải quan tâm đến các điều kiện
đặt lên ánh xạ cũng như các điều kiện đặt lên miền xác định của ánh xạ đó.
Định nghĩa 1.2. (Xem [34]) Không gian Banach X được gọi là có tính chất điểm
bất động nếu mọi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có điểm bất động.
Ví dụ 1.1. Bất kỳ khoảng đóng, bị chặn J = [a, b] ⊂ R đều là không gian có tính
chất điểm bất động. Thật vậy, với ánh xạ liên tục bất kỳ
f :J →J
11


ta đều có
a − f (a) ≤ 0,

b − f (b) ≥ 0.

Do đó phương trình
x − f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc J, nghiệm này chính là điểm bất động của f .
Ví dụ 1.2. Tổng quát hơn Ví dụ 1.1, Định lý điểm bất động Brouwer khẳng định:
mọi tập khác rỗng, lồi, compact trong RK (K ≥ 1) đều là không gian có tính chất
điểm bất động.
Định nghĩa 1.3. (Xem [34]) Giả sử X là không gian Banach, ℵ là lớp các ánh xạ
liên tục f : X → X. Nếu mỗi f ∈ ℵ đều có điểm bất động thì X được gọi là không
gian có tính chất điểm bất động đối với lớp các ánh xạ thuộc ℵ.
Ví dụ 1.3. Mọi tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X đều
là không gian có tính chất điểm bất động đối với lớp các ánh xạ compact (theo
Định lý điểm bất động Schauder).
Ví dụ 1.4. Không gian mêtric đầy đủ là không gian có tính chất điểm bất động
đối với lớp các ánh xạ co (theo Định lý điểm bất động Banach).
Định lý điểm bất động Brouwer, Schauder và Định lý điểm bất động Banach sẽ
được trình bày chi tiết hơn trong phần tiếp theo bởi tính ứng dụng rộng rãi của
chúng cũng như để phục vụ cho các kết quả chính của Luận án.
Ngoài ba định lý nêu trên ta phải kể đến một số định lý quan trọng khác: Định
lý điểm bất động Leray-Schauder áp dụng đối với toán tử compact trong không
gian Banach, Định lý điểm bất động Bourbaki-Kneser cho các ánh xạ đơn điệu
giảm trên các tập sắp thứ tự một phần, các định lý điểm bất động trên không
gian Banach sắp thứ tự, Định lý điểm bất động Krassnosel’skii áp dụng với toán
tử compact trên nón trong không gian Banach, ... (các định lý này có thể xem chi
tiết trong [71]).
1.1.2.

Định lý điểm bất động Schauder

Trước tiên ta xét một phiên bản của Định lý điểm bất động Schauder trong
không gian hữu hạn chiều:
Định lý 1.1. (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Brouwer (1912))
Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, compact của RK , trong đó K ≥ 1 và f : D → D
là ánh xạ liên tục. Khi đó f có điểm bất động.

12


Ứng dụng đặc biệt quan trọng của Định lý điểm bất động Brouwer là Nguyên
lý tồn tại nghiệm cho hệ phương trình trong không gian hữu hạn chiều - Nguyên
lý có vai trò quan trọng trong phương pháp Galerkin cho toán tử đơn điệu (xem
trong [71]). Tuy nhiên, Định lý điểm bất động Brouwer có một hạn chế là chỉ áp
dụng với các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Khi xét sự tồn tại
nghiệm của các phương trình, ta thường xét trên các không gian hàm là các không
gian Banach vô hạn chiều. Lúc này ta cần đến phiên bản mở rộng của Định lý
Brouwer áp dụng với các toán tử trong không gian vô hạn chiều - Định lý điểm
bất động Schauder.
Định nghĩa 1.4. (Xem [71]) Cho X, Y là các không gian Banach. Toán tử T :
D ⊂ X → Y được gọi là compact nếu
(i) T liên tục;
(ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối.
Ví dụ 1.5. (Xem [71]) Cho hàm liên tục
K : [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K,
trong đó −∞ < a < b < +∞, 0 < R < ∞ và K = R, C. Ký hiệu
D = {x ∈ C([a, b], K) : x ≤ R},
ở đây x = maxa≤s≤b |x(s)|.
Khi đó các toán tử tích phân
b

K(t, s, x(s))ds,

(T x)(t) =
a
t

(Sx)(t) =

K(t, s, x(s))ds,

∀t ∈ [a, b]

a

ánh xạ D vào C([a, b], K) là các toán tử compact.
Ví dụ 1.6. (Xem [38, Định lý 1, Mục 31])
Công thức
b

y(t) =

K(t, s)x(s)ds
a

xác định một toán tử compact T x = y trong không gian C[a, b] nếu hàm K(t, s)
giới nội trong hình vuông a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b và tất cả các điểm gián đoạn của
hàm K(t, s) nằm trên một số hữu hạn các đường cong
s = ϕk (t),

k = 1, 2, ..., m,

ở đây ϕk là các hàm liên tục.
13


Định lý 1.2. (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Schauder (1930))
Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X và
T : D → D là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất động.
Định lý 1.3. (Xem [71]) (Phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder)
Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, compact trong không gian Banach X và T :
D → D là toán tử liên tục. Khi đó T có điểm bất động.
Một ứng dụng cơ bản đầu tiên phải kể đến của Định lý điểm bất động Schauder
là Định lý Peano về sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phương
trình vi phân cấp một. Ngoài ra, định lý này còn có nhiều ứng dụng quan trọng
khác trong giải tích hàm và giải tích số như chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương
trình tích phân với tham số bé
b

x(t) = µ

b

F (t, s, x(s))ds +
a

G(t, s, x(s))ds + αg(t),
a

sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tích phân và hệ phương trình vi phân ...
(xem [71]).
1.1.3.

Định lý điểm bất động Banach

Khác với Định lý điểm bất động Brouwer và Định lý điểm bất động Schauder,
Định lý điểm bất động Banach không những khẳng định sự tồn tại mà còn chỉ ra
sự duy nhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phương pháp lặp tìm điểm bất
động. Từ đánh giá sai số hậu nghiệm, với sai số cho phép, ta có thể xác định được
giá trị xấp xỉ của điểm bất động. Từ đánh giá sai số tiên nghiệm ta có thể ước
lượng được số lần lặp để đạt được độ chính xác cho trước.
Định nghĩa 1.5. (Xem [71]) Toán tử T : D ⊆ X → X trên không gian mêtric
(X, d) được gọi là co với hệ số q khi và chỉ khi tồn tại 0 ≤ q < 1 sao cho
d(T x, T y) ≤ qd(x, y),

∀x, y ∈ D.

Ta kiểm tra với điều kiện nào thì phương trình điểm bất động
x = T x,

x∈D

(1.1.1)

có thể giải được bằng các xấp xỉ liên tiếp
xk+1 = T xk ,

k = 0, 1, 2, ...,

x0 ∈ D.

Câu trả lời được thể hiện qua định lý điểm bất động Banach sau:

14


Định lý 1.4. (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Banach (1922))
Giả sử
(i) D là tập đóng, khác rỗng trong không gian mêtric đầy đủ (X, d);
(ii) T : D → D là một ánh xạ từ D vào chính nó;
(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co q.
Khi đó
a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: T có duy nhất một điểm bất động trên D, tức
là phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm x.
b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong D, dãy
xấp xỉ liên tiếp {xk } hội tụ tới nghiệm x.
c) Đánh giá sai số: Với mọi k = 0, 1, 2, ... ta có đánh giá sai số tiên nghiệm
d(xk , x) ≤

qk
d(x0 , x1 )
1−q

và đánh giá sai số hậu nghiệm
d(xk+1 , x) ≤

q
d(xk , xk+1 ).
1−q

d) Tốc độ hội tụ: Với mọi k = 0, 1, 2, ... ta có
d(xk+1 , x) ≤ qd(xk , x).
Như vậy Định lý điểm bất động Banach có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong
giải gần đúng các phương trình phi tuyến. Ngoài ra ta có thể kể đến một số ứng
dụng khác của định lý này: chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán
giá trị đầu cho phương trình vi phân cấp một (Định lý Picard–Lindel¨of); ứng dụng
trong việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, giải hệ phương trình phi tuyến,
giải phương trình tích phân tuyến tính, giải phương trình toán tử tuyến tính, ...
Trong thực tế khi áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải các bài toán
biên phi tuyến, ta thường đưa bài toán đã cho về phương trình điểm bất động
u = T u với u là nghiệm của bài toán đã cho hoặc phương trình ϕ = T ϕ với ϕ là
một hàm trung gian. Sau đó để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán, tức là sự
tồn tại điểm bất động của toán tử T , ta có thể sử dụng các định lý về sự tồn tại
điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder. Để chỉ ra tính duy nhất của
nghiệm đồng thời đề xuất phương pháp lặp giải bài toán, ta sử dụng Định lý điểm
bất động Banach. Sự hữu hiệu của phương pháp nêu trên thể hiện rất rõ trong các
kết quả của Luận án được trình bày chi tiết trong các chương tiếp theo.

15


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×