Tải bản đầy đủ

Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------------

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 9 46 01 12

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2019


Công trình được hoàn thành tại:
Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học

vàCông nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Đặng Quang Á
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Vũ Vinh Quang

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Tiến sĩ, họp tại
Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học vàCông
nghệ Việt Nam vào hồi … giờ, ngày … tháng … năm ...

Cóthể tì
m hiểu Luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học vàCông nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của Luận án
Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hình
hóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình
đạo hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau. Việc nghiên cứu định tính
cũng như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút được
nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P. Agawarl,
E. Alves, P. Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhós, Y.M. Wang,
Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, Nguyễn
Văn Đạo, Lê Lương Tài, ... Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương
của nghiệm, phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phương
trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trong
các công trình của tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự (2006, 2010, 2016-2018).
Tác giả Phạm Kỳ Anh (1982, 1986) cũng có một số công trình nghiên cứu về tính
giải được, cấu trúc tập nghiệm, các phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... của bài toán
biên tuần hoàn. Sự tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầm
được xét đến trong các công trình của T.F. Ma (2000, 2003, 2004, 2007, 2010).
Lý thuyết và vấn đề giải số các bài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trong
các tài liệu R.P. Agarwal (1986), Uri M. Ascher (1995), Herbert B. Keller (1987),
M. Ronto (2000), ...
Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường và
phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâm
lớn của các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượng
trong thực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, ... Ta có thể chia phương
trình vi phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương và
phương trình vi phân cấp bốn không địa phương. Phương trình vi phân cấp bốn
có chứa thành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không
địa phương hoặc phương trình loại Kirchhoff. Ngược lại, phương trình được gọi
là phương trình vi phân cấp bốn địa phương. Dưới đây, ta sẽ điểm qua một số
phương pháp tiêu biểu khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn.
Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương pháp
phổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến. Ý tưởng
1


của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếm
hàm. Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cực
trị của phiếm hàm. Có rất nhiều công trình sử dụng phương pháp biến phân
(xem T.F. Ma (2000, 2003, 2004), R. Pei (2010), F. Wang và Y. An (2012), S.
Heidarkhani (2016), John R. Graef (2016), S. Dhar và L. Kong (2018), ...). Tuy
nhiên phải để ý rằng, khi sử dụng phương pháp biến phân, với các giả thiết về
điều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, các tác giả phần lớn chỉ xét sự tồn tại
nghiệm, sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán (có thể xét sự tồn tại duy nhất của
nghiệm trong trường hợp phiếm hàm lồi) nhưng lại không có ví dụ nào về nghiệm
tồn tại, đồng thời phương pháp giải bài toán cũng không được xét đến.
Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên và
nghiệm dưới. Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toán
biên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với một
số giả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảng
nghiệm trên và nghiệm dưới. Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệu
với các xấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại và
nghiệm cực tiểu của bài toán. Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểu
trùng nhau thì bài toán có nghiệm duy nhất.
Dưới đây là một số công trình tiêu biểu sử dụng phương pháp nghiệm trên
và nghiệm dưới khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi
tuyến cấp bốn: J. Ehme (2002), Z. Bai (2004, 2007), Y.M. Wang (2006, 2007), H.
Feng (2009), F. Minhós (2009), ... Từ các công trình trên ta thấy rằng, phương
pháp nghiệm trên và nghiệm dưới có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm, tính
duy nhất nghiệm, xây dựng được dãy lặp hội tụ tới nghiệm nhưng một giả thiết
không thể thiếu được là bài toán phải có nghiệm trên và nghiệm dưới, trong khi
đó tìm được các nghiệm này không phải là việc dễ dàng. Ngoài ra ta còn cần các
giả thiết khác đặt lên hàm vế phải như điều kiện tăng trưởng tại vô cùng hoặc
điều kiện phức tạp như điều kiện Nagumo ...
Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, các
nhà khoa học còn dùng phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động trong
nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến. Áp dụng phương pháp trên, người ta đưa
bài toán đã cho về bài toán tìm điểm bất động của một toán tử, sau đó áp dụng
các định lý điểm bất động đối với toán tử này. Ta có thể liệt kê rất nhiều công
trình sử dụng phương pháp trên (xem R.P. Agarwal (1984), B. Yang (2005), P.
Amster (2008), T.F. Ma (2010), S. Yardimci (2014), ...).
Chú ý rằng, trong các công trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiên
cứu các bài toán biên phi tuyến, phần lớn các tác giả sử dụng cách tiếp cận đưa
bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm. Sử dụng các định lý
về tồn tại điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder,
Krassnosel’skii, ... đối với toán tử này ta chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm. Sử
2


dụng Định lý điểm bất động Bannach ta không những thiết lập được sự tồn tại
duy nhất nghiệm của bài toán mà còn đưa ra được phương pháp lặp hội tụ cấp
số nhân tìm nghiệm. Tuy nhiên cũng phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử và xét
toán tử này trên một không gian phù hợp sao cho các giả thiết đặt lên các hàm
ràng buộc là đơn giản mà vẫn đảm bảo các điều kiện để áp dụng được các định
lý điểm bất động trong nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài
toán biên phi tuyến đóng vai trò vô cùng quan trọng.
Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ
nghiệm của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn là phương pháp sai phân hữu hạn (xem T.F.
Ma (2003), R.K. Mohanty (2000), J. Talwar (2012), Y.M. Wang (2007), ...). Bằng
cách thay thế các đạo hàm bởi các công thức sai phân, bài toán đã cho được rời
rạc thành các hệ phương trình đại số. Giải hệ này ta thu được nghiệm xấp xỉ
của bài toán tại các nút lưới. Chú ý rằng khi sử dụng phương pháp sai phân hữu
hạn nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, nhiều công trình tiếp cận theo hướng
công nhận sự tồn tại nghiệm của bài toán (không xét về mặt định tính), rời rạc
hóa bài toán ngay từ ban đầu. Cách làm này có nhược điểm là khó đánh giá được
sự ổn định, hội tụ của lược đồ sai phân và khó có thể đánh giá sai số giữa nghiệm
đúng và nghiệm xấp xỉ.
Khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, ngoài các phương pháp phổ biến
được trình bày ở trên còn có thể kể đến một số phương pháp khác như phương
pháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier,
phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, ... Có thể kết
hợp các phương pháp nêu trên để nghiên cứu đầy đủ cả về mặt định tính lẫn định
lượng của bài toán.
Với sự phát triển không ngừng của khoa học, kỹ thuật, vật lý, cơ học, ... xuất
phát từ những bài toán thực tế trong các lĩnh vực này, các bài toán biên mới được
đặt ra ngày càng nhiều và phức tạp trong cả phương trình lẫn điều kiện biên.
Mỗi tác giả sẽ có phương pháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác nhau với từng bài
toán. Mỗi phương pháp đề ra sẽ có những ưu điểm và hạn chế riêng và khó có
thể khẳng định phương pháp nào thực sự tốt hơn phương pháp nào từ lý thuyết
cho đến thực nghiệm. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ hướng tới phương pháp nghiên cứu
được toàn diện cả về mặt định tính lẫn định lượng của các bài toán sao cho các
điều kiện được đặt ra là đơn giản và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họa
cho tính ứng dụng của kết quả lý thuyết, so sánh được kết quả chúng tôi đạt được
so với kết quả đã có của một số tác giả khác về một mặt nào đó.
Đây chính là mục đích và lí do chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gần
đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn".

3


2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của Luận án
Đối với một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường và
phương trình đạo hàm riêng cấp bốn là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốn
của dầm và của bản:
- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương
của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại
không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm
vế phải.
- Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán.
- Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví
dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác
giả khác.

3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu
- Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa các bài toán biên phi
tuyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian,
sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi
phân, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và một số tính chất
khác của nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và
phương trình đạo hàm riêng cấp bốn địa phương và không địa phương.
- Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội
tụ của phương pháp.
- Đưa ra một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng và
chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý
thuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm.

4. Kết quả đạt được của Luận án
Luận án đề xuất một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả nghiên cứu sự
tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương
trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với các
loại điều kiện biên khác nhau và hai bài toán biên cho phương trình song điều hòa
và phương trình song điều hòa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài
toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung
gian. Các kết quả đạt được là:
- Thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán dưới các điều
kiện dễ kiểm tra, trong đó bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp
bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp và bài toán
biên cho phương trình song điều hòa, xét được tính dương của nghiệm.
4


- Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của
phương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân.
- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý
thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp trong Luận án
so với phương pháp của một số tác giả khác.
- Đưa ra các thử nghiệm số kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm.
Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A8] trong Danh mục các công
trình của tác giả liên quan đến Luận án.
Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu
tham khảo.
Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:
1. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013.
2. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015.
3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016.
4. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 1213/11/2016.
5. Hội nghị Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10),
Đà Nẵng, 17-18/8/2017.
6. The second Vietnam International Applied Mathematics Conference (VIAMC 2017), Ho Chi Minh, December 15 to 18, 2017.
7. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ
Thông tin, Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.

5


Chương 1
Kiến thức bổ trợ
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chương
tiếp theo của Luận án. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu A.N.
Kolmogorov và S.V. Fomin (1957), E. Zeidler (1986), A.A. Sammarskii (1989,
2001), A. Granas và J. Dugundji (2003), J. Li (2005), Đặng Quang Á (2009), R.L.
Burden (2011).
• Mục 1.1 trình bày một số Định lý điểm bất động: Định lý điểm bất động
Brouwer, Định lý điểm bất động Schauder, Định lý điểm bất động Banach.
• Mục 1.2 trình bày khái niệm hàm Green đối với bài toán biên cho phương
trình vi phân tuyến tính cấp n và một số ví dụ cụ thể về cách xác định hàm
Green của các bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai và cấp bốn
với các điều kiện biên khác nhau.
• Mục 1.3 trình bày một số công thức tính gần đúng đạo hàm, tích phân với
sai số cấp hai và cấp bốn.
• Mục 1.4 trình bày công thức xấp xỉ phương trình Poisson với độ chính xác
cấp bốn.
• Mục 1.5 trình bày phương pháp khử giải hệ phương trình vô hướng ba điểm
và phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm.

6


Chương 2
Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải
bài toán biên cho phương trình vi thường phi tuyến
cấp bốn
Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm
bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương và
không địa phương với các điều kiện biên khác nhau: điều kiện biên dạng gối - tựa
đơn giản, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên phi tuyến.
Ở đây, Luận án sử dụng phương pháp đưa bài toán ban đầu về phương trình toán
tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sau đó xét trên một miền giới
nội thích hợp cùng với một số điều kiện dễ kiểm tra, Luận án chứng minh được
toán tử đó là co. Từ đó, sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán được thiết lập,
đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ.
Các kết quả của chương được trình bày trong các bài báo [A2]-[A4], [A6]-[A8]
trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án.

2.1.

Bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp
bốn địa phương

2.1.1.

Trường hợp điều kiện biên tổ hợp

Luận án trình bày chi tiết các kết quả của công trình [A4] đối với bài toán
u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),

0 < x < 1,

u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0,

(2.1.1)

ở đây a, b, c, d ≥ 0, ρ := ad + bc + ac > 0 và f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục.
2.1.1.1.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến A : C[0, 1] → C[0, 1] được xác
định như sau
(Aϕ)(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),
(2.1.2)

7


trong đó u(x) là nghiệm của bài toán
u(4) (x) = ϕ(x), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0.

(2.1.3)

Mệnh đề 2.1. Hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là ϕ(x) là nghiệm
của phương trình toán tử ϕ = Aϕ khi và chỉ khi hàm u(x) xác định từ bài toán
(2.1.3) là nghiệm của bài toán (2.1.1).
Nếu ta đặt v(x) = u (x) thì bài toán (2.1.3) đưa được về hai bài toán cấp hai
v (x) = ϕ(x), 0 < x < 1,
av(0) − bv (0) = 0, cv(1) + dv (1) = 0,

u (x) = v(x), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u (1) = 0.

Khi đó toán tử A xác định ở (2.1.2) biểu diễn được trong dạng
(Aϕ)(x) = f (x, u(x), y(x), v(x), z(x)),

y(x) = u (x),

z(x) = v (x).

Với M > 0, ta định nghĩa miền
DM = (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ ρ1 M, |y| ≤ ρ2 M, |v| ≤ ρ3 M, |z| ≤ ρ4 M ,
ρ1 =

ở đây
ρ3 =

1
2ad + bc + 6bd
+
,
24
12ρ

1 a(d + c/2)
2
ρ

2

+

ρ2 =

b(d + c/2)
,
ρ

1
ad + bc + 4bd
+
,
12


ρ4 =

1 ac
+ max(ad, bc) .
ρ 2

Kí hiệu B[O, M ] là hình cầu đóng tâm O bán kính M trong không gian C[0, 1].
Bổ đề 2.1. Giả sử tồn tại các hằng số M > 0, K1 , K2 , K3 , K4 ≥ 0 sao cho
|f (x, u, y, v, z)| ≤ M với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DM . Khi đó toán tử A ánh xạ
B[O, M ] vào chính nó. Ngoài ra, nếu
|f (x, u2 ,y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )|
≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |y2 − y1 | + K3 |v2 − v1 | + K4 |z2 − z1 |

(2.1.4)

với mọi (t, ui , yi , vi , zi ) ∈ DM (i = 1, 2) và
q = K1 ρ1 + K2 ρ2 + K3 ρ3 + K4 ρ4 < 1

(2.1.5)

thì A là toán tử co trong B[O, M ].
Định lý 2.1. Giả sử rằng tất cả các điều kiện trong Bổ đề 2.1 đều được thỏa
mãn. Khi đó, bài toán (2.1.1) có duy nhất nghiệm u và
u ≤ ρ1 M, u

≤ ρ2 M, u
8

≤ ρ3 M, u

≤ ρ4 M.


Kí hiệu
+
DM
= (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ ρ1 M,

0 ≤ y ≤ ρ2 M, −ρ3 M ≤ v ≤ 0, −ρ4 M ≤ z ≤ ρ4 M .
Định lý 2.2. (Tính dương của nghiệm)
+
hàm f thỏa mãn 0 ≤ f (x, u, y, v, z) ≤ M và các điều kiện (2.1.4),
Giả sử trong DM
(2.1.5) của Bổ đề 2.1 đều được thỏa mãn. Khi đó bài toán (2.1.1) có nghiệm không
âm duy nhất.
2.1.1.2.

Phương pháp giải

Phương pháp lặp giải bài toán (2.1.1) được đề xuất như sau:
Phương pháp lặp 2.1.1a
i) Cho xấp xỉ đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0).
ii) Biết ϕk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán
(v k ) (x) = ϕk (x), 0 < x < 1,
av k (0) − b(v k ) (0) = 0, cv k (1) + d(v k ) (1) = 0,

(uk ) (x) = v k (x), 0 < x < 1,
uk (0) = (uk ) (1) = 0.

iii) Cập nhật
ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), (uk ) (x), v k (x), (v k ) (x)).
qk
Đặt pk =
ϕ1 − ϕ0 . Ta có kết quả sau:
1−q
Định lý 2.3. Với các giả thiết của Bổ đề 2.1, Phương pháp lặp 2.1.1a hội tụ với
tốc độ hội tụ cấp số nhân và với u là nghiệm đúng của bài toán (2.1.1) ta có
uk − u ≤ ρ1 pk , (uk ) − u

≤ ρ2 pk , (uk ) − u

≤ ρ3 pk , (uk ) − u

≤ ρ 4 pk .

Xét bài toán cấp hai
v (x) = g(x), x ∈ (0, 1),
c0 v(0) − c1 v (0) = C, d0 v(1) + d1 v (1) = D,
trong đó c0 , c1 , d0 , d1 ≥ 0, c20 + c21 > 0, d20 + d21 > 0, C, D ∈ R.
Dựa trên các kết quả trong công trình [A8], Luận án xây dựng lược đồ sai phân
với độ chính xác cấp bốn giải bài toán trên như sau

c1

c0 v0 −
(−25v0 + 48v1 − 36v2 + 16v3 − 3v4 ) = F0 ,


12h
vi−1 − 2vi + vi+1 = Fi , i = 1, 2, ..., N − 1,


 d v + d1 (25v − 48v
N
N −1 + 36vN −2 − 16vN −3 + 3vN −4 ) = FN ,
0 N
12h
h2
h4 2
trong đó F0 = C, FN = D, Fi = h gi + Λgi +
Λ gi , i = 1, 2, ..., N − 1.
12
360
2

9


Xét lưới đều ω h = {xi = ih, i = 0, 1, ..., N ; h = 1/N } trên [0, 1]. Kí hiệu
V , U k , Φk là các hàm lưới. Với hàm lưới tổng quát V trên ω h ta kí hiệu Vi = V (xi )
và Vi là các đạo hàm sai phân cấp một với độ chính xác cấp bốn. Luận án thu
được phương pháp lặp ở mức rời rạc giải bài toán (2.1.1):
Phương pháp lặp 2.1.1b
i) Cho xấp xỉ đầu
k

Φ0i = f (xi , 0, 0, 0, 0),

i = 0, 1, 2, ..., N.

ii) Biết Φk (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán

b


(−25V0k + 48V1k − 36V2k + 16V3k − 3U4k ) = 0,
aV0k −


12h

h2
h4 2 k
k
k
k
ΛVi = Φi + ΛΦi +
Λ Φi , i = 1, 2, ..., N − 1,

12
360



 cV k + d (25V k − 48V k + 36V k − 16V k + 3V k ) = 0,
N
N
N −1
N −2
N −3
N −4
12h
 k
U0 = 0,




h4 2 k
h2
Λ Vi , i = 1, 2, ..., N − 1,
ΛUik = Vik + ΛVik +
12
360

k
k
k
k
k


 25UN − 48UN −1 + 36UN −2 − 16UN −3 + 3UN −4 = 0.
12h
iii) Cập nhật
= f (xi , Uik , (U k )i , Vik , (V k )i ),
Φk+1
i

i = 0, 1, 2, ..., N.

Luận án đưa ra các ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó một
số ví dụ được phân tích cho thấy ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương
pháp trong H. Feng, D. Ji, W. Ge (2009): phương pháp trong Luận án khẳng định
sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, trong khi đó, theo phương pháp trong
H. Feng, D. Ji, W. Ge (2009) ta không kết luận được gì về sự tồn tại nghiệm của
bài toán.
2.1.2.

Trường hợp điều kiện biên Dirichlet

Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [A3] về bài toán
u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),
u(a) = u(b) = 0,
2.1.2.1.

u (a) = u (b) = 0,

a < x < b,

(2.1.6)

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến A : C[a, b] → C[a, b] được xác
định như sau
(Aϕ)(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),
(2.1.7)
10


ở đây u(x) là nghiệm của bài toán
u(4) (x) = ϕ(x), a < x < b,
u(a) = u(b) = 0, u (a) = u (b) = 0.

(2.1.8)

Mệnh đề 2.2. Nếu hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là, ϕ(x) là
nghiệm của phương trình toán tử
ϕ = Aϕ

(2.1.9)

thì hàm u(x) xác định từ bài toán (2.1.8) là nghiệm của (2.1.6). Ngược lại, nếu
u(x) là nghiệm của bài toán (2.1.6) thì hàm ϕ(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x))
là điểm bất động của toán tử A được định nghĩa bởi (2.1.7) và (2.1.8).
Như vậy việc tìm nghiệm của bài toán (2.1.6) được đưa về việc tìm nghiệm
của phương trình toán tử (2.1.9).
Với số M > 0, ta định nghĩa miền
DM = (x, u, y, v, z) | a ≤ x ≤ b, |u| ≤ C4,0 (b − a)4 M,
|y| ≤ C4,1 (b − a)3 M, |v| ≤ C4,2 (b − a)2 M, |z| ≤ C4,3 (b − a)M ,

trong đó C4,0 = 1/384, C4,1 = 1/72 3, C4,2 = 1/12, C4,3 = 1/2.
Bằng cách sử dụng Định lý điểm bất động Schauder và Định lý điểm bất động
Banach đối với toán tử A, Luận án thiết lập các định lý về sự tồn tại nghiệm, sự
duy nhất nghiệm của bài toán (2.1.6).
Định lý 2.4. Giả sử f là hàm liên tục và tồn tại hằng số M > 0 sao cho
|f (x, u, y, v, z)| ≤ M với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DM . Khi đó bài toán (2.1.6) có ít
nhất một nghiệm.
Định lý 2.5. Giả sử rằng tất cả các điều kiện của Định lý 2.4 đều được thỏa
mãn. Thêm vào đó, giả sử tồn tại các hằng số K0 , K1 , K2 , K3 ≥ 0 sao cho
|f (x, u2 , y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )| ≤ K0 |u2 − u1 | + K1 |y2 − y1 |
+ K2 |v2 − v1 | + K3 |z2 − z1 |,

(2.1.10)

với mọi (x, ui , yi , vi , zi ) ∈ DM (i = 1, 2) và
3

Ki C4,k (b − a)4−k < 1.

q=
k=0

Khi đó bài toán (2.1.6) có duy nhất nghiệm u và
u ≤ C4,0 (b − a)4 M,

u

≤ C4,1 (b − a)3 M,

≤ C4,2 (b − a)2 M,

u

≤ C4,3 (b − a)M.

u

11

(2.1.11)


Kí hiệu
+
DM
= (x, u, y, v, z) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ u ≤ C4,0 (b − a)4 M,

|y| ≤ C4,1 (b − a)3 M, |v| ≤ C4,2 (b − a)2 M, |z| ≤ C4,3 (b − a)M .
+
Định lý 2.6. (Tính dương của nghiệm) Giả sử trong miền DM
hàm f thỏa mãn
0 ≤ f (t, x, y, u, z) ≤ M và các điều kiện (2.1.10), (2.1.11) của Định lý 2.5 cũng
được thỏa mãn. Khi đó bài toán (2.1.6) có duy nhất nghiệm không âm.

2.1.2.2.

Phương pháp giải và ví dụ số

Phương pháp lặp giải bài toán (2.1.6) được đề xuất như sau:
Phương pháp lặp 2.1.2
i) Cho xấp xỉ ban đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0).
b
ii) Biết ϕk (x), (k = 0, 1, 2, ...) tính uk (x) = a G(x, t)ϕk (t)dt và các đạo hàm
(m)
uk (x) của uk (x). Các đạo hàm này có thể tính qua các tích phân
b

(m)
uk (x)

=
a

∂ m G(x, t)
ϕk (t)dt (m = 1, 2, 3).
∂xm

iii) Cập nhật
ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), uk (x), uk (x), uk (x)).
k
q
ϕ1 − ϕ0 . Ta có kết quả sau:
Đặt pk =
1−q
Định lý 2.7. Dưới các giả thiết của Định lý 2.5, phương pháp lặp 2.1.2 hội tụ
với tốc độ hội tụ cấp số nhân và với u là nghiệm chính xác của bài toán (2.1.6)
ta có đánh giá
uk − u ≤ C4,0 (b − a)4 pk ,

uk − u

≤ C4,1 (b − a)3 pk ,

≤ C4,2 (b − a)2 pk ,

uk − u

≤ C4,3 (b − a)pk ,

uk − u

Chú ý 2.1. Xét bài toán
u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),
u(a) = A1 ,

u(b) = B1 ,

u (a) = A2 ,

a < x < b,
u (b) = B2 .

(2.1.12)

Đặt v(x) = u(x) − P (x), trong đó P (x) là đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện
biên của bài toán và kí hiệu
F (x, v(x), v (x), v (x), v (x))
= f (x, v(x) + P (x), (v(x) + P (x)) , (v(x) + P (x)) , (v(x) + P (x)) ).
Khi đó bài toán (2.1.12) trở thành
v (4) (x) = F (x, v(x), v (x), v (x), v (x)),
v(a) = v(b) = 0, v (a) = v (b) = 0.

a < x < b,

Do đó ta có thể áp dụng các kết quả đã trình bày ở phần trên đối với bài toán này.
12


Định lý 2.8. Giả sử hàm f là liên tục và tồn tại hằng số M > 0 sao cho với mọi
(x, v0 , v1 , v2 , v3 ) ∈ DM ta có |f (x, v0 , v1 , v2 , v3 )| ≤ M , ở đây
DM = (x, v0 , v1 , v2 , v3 ) | a ≤ x ≤ b, |vi | ≤ max |P (i) (x)|
x∈[a,b]

+ C4,i (b − a)4−i M, i = 0, 1, 2, 3 .
Khi đó bài toán (2.1.12) có ít nhất một nghiệm.
Luận án đưa ra nhiều ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó,
một số ví dụ được phân tích rõ cho thấy ưu thế của phương pháp Luận án đề
xuất so với phương pháp trong R.P. Agarwal (1984): phương pháp trong Luận án
kết luận bài toán có duy nhất nghiệm hoặc có duy nhất nghiệm dương trong khi
đó, phương pháp trong R.P. Agarwal (1984) chỉ kết luận được sự tồn tại nghiệm
hoặc không thể kết luận gì về sự tồn tại nghiệm của bài toán.
2.1.3.

Trường hợp điều kiện biên phi tuyến

Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [A7] về bài toán
u(4) (x) = f (x, u, u ),
u(0) = 0,

u(L) = 0,

0 < x < L,
u (0) = g(u (0)),

u (L) = h(u (L)).

(2.1.13)

Đặt u = v, u = w. Khi đó bài toán (2.1.13) đưa được về hai bài toán cấp hai
đối với w và u

x

 w (x) = f x, v(t)dt, v(x) , 0 < x < L,
u (x) = w(x), 0 < x < L,
0

u(0) = 0, u(L) = 0.
 w(0) = g(v(0)), w(L) = h(v(L)),
Từ hai bài toán trên ta thấy rằng nghiệm u(x) phụ thuộc vào hàm v. Do đó,
đạo hàm u cũng phụ thuộc vào v. Như vậy ta có thể biểu diễn sự phụ thuộc này
bởi toán tử T : C[0, L] → C[0, L] được xác định bởi T v = u . Kết hợp với điều
kiện u = v ta thu được phương trình toán tử v = T v, tức là v là điểm bất động
của toán tử T . Để xét tính chất của toán tử T ta đưa vào không gian
L

S = v ∈ C[0, L],

v(t)dt = 0 .
0

Xét các giả thiết đặt lên các hàm ràng buộc trong bài toán (2.1.13) như sau:
giả sử tồn tại các hằng số λf , λg , λh ≥ 0 sao cho với mọi u, u, v, v ta có
|f (x, u, v) − f (x, u, v)| ≤ λf max |u − u|, |v − v|,
|g(u) − g(u)| ≤ λg |u − u|,

|h(u) − h(u)| ≤ λh |u − u|.
13

(2.1.14)


Áp dụng Định lý điểm bất động Banach đối với toán tử T . Luận án thiết lập sự
tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán đã cho.
Mệnh đề 2.3. Với giả thiết (2.1.14), bài toán (2.1.13) có duy nhất nghiệm nếu
q=

L3
L
L
λf max
, 1 + (λg + λh ) < 1.
16
2
2

(2.1.15)

Phương pháp lặp giải bài toán (2.1.13) được đề xuất như sau:
Phương pháp lặp 2.1.3
(i) Cho xấp xỉ đầu v0 (x), chẳng hạn v0 (x) = 0.
(ii) Biết vk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán

 w (x) = f x, x v (t)dt, v (x) , 0 < x < L,
uk (x) = wk (x), 0 < x < L,
k
k
0 k
 wk (0) = g(vk (0)), wk (L) = h(vk (L)),
uk (0) = uk (L) = 0.
vk+1 (x) = uk (x).

(iii) Cập nhật

Định lý 2.9. Với giả thiết (2.1.14), (2.1.15), Phương pháp lặp 2.1.3 hội tụ và với
u là nghiệm chính xác của bài toán (2.1.13) ta có đánh giá
uk − u



qk
v1 − v0 ,
1−q

uk − u ≤

L
u −u .
2 k

Luận án đưa ra một số ví dụ trong trường hợp nghiệm chính xác của bài toán
đã biết hoặc chưa biết để minh họa cho các kết quả lý thuyết.

2.2.
2.2.1.

Bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp
bốn không địa phương
Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản

Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong công trình [A2] đối với bài toán
L
(4)

|u (s)|2 ds u (x)

u (x) − M
0

= f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), 0 < x < L,
u(0) = u(L) = 0, u (0) = u (L) = 0.
2.2.1.1.

(2.2.1)

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, L], xét toán tử phi tuyến A : C[0, L] → C[0, L] được xác
định như sau
(Aϕ)(x) = M ( u

2
2 )u

(x) + f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)),
14

(2.2.2)


ở đây .

2

là chuẩn trong L2 [0, L], u(x) là nghiệm của bài toán
u(4) (x) = ϕ(x), 0 < x < L,
u(0) = u(L) = 0, u (0) = u (L) = 0.

(2.2.3)

Mệnh đề 2.4. Hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là ϕ(x) là nghiệm
của phương trình toán tử ϕ = Aϕ khi và chỉ khi hàm u(x) xác định từ bài toán
(2.2.3) là nghiệm của bài toán (2.2.1).
Đặt v(x) = u (x) thì bài toán (2.2.3) đưa về hai bài toán cấp hai
v (x) = ϕ(x), 0 < x < L,
v(0) = v(L) = 0,

u (x) = v(x), 0 < x < L,
u(0) = u(L) = 0.

Lúc này toán tử A xác định ở (2.2.2) biểu diễn được trong dạng
(Aϕ)(x) := M ( y 22 )v(x) + f (x, u(x), y(x), v(x), z(x)), y(x) = u (x), z(x) = v (x).
Với mỗi số dương R, ta xét miền
5L4 R
L3 R
L2 R
LR
DR := (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ L, |u| ≤
, |y| ≤
, |v| ≤
, |z| ≤
.
384
24
8
2
Kí hiệu B[O, R] là hình cầu đóng tâm O bán kính R trong không gian C[0, L].
8
Bổ đề 2.2. Giả sử tồn tại các hằng số R > 0, 0 ≤ m ≤ 2 , λM , K1 , K2 , K3 , K4 ≥
L
0 sao cho
mL2
,
|M (s)| ≤ m, |f (x, u, y, v, z)| ≤ R 1 −
8
R 2 L7
. Khi đó, toán tử A ánh xạ B[O, R]
với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DR và 0 ≤ s ≤
576
vào chính nó. Ngoài ra, nếu
|M (s2 ) − M (s1 )| ≤ λM |s2 − s1 |,
|f (x, u2 , y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )|
≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |y2 − y1 | + K3 |v2 − v1 | + K4 |z2 − z1 |,
R 2 L7
(i = 1, 2) và
với mọi (x, ui , yi , vi , zi ) ∈ DR , 0 ≤ si ≤
576
5L4
L3
L2
L mL2 λM R2 L9
q = K1
+ K2 + K3 + K4 +
+
<1
384
24
8
2
8
2304
thì A là toán tử co trong B[O, R].
Định lý 2.10. Giả sử tất cả các điều kiện của Bổ đề 2.2 đều được thỏa mãn. Khi
đó bài toán (2.2.1) có duy nhất nghiệm u và
5L4
u ≤
R,
384

u

L3

R,
24

u
15

L2

R,
8

u



L
R.
2


2.2.1.2.

Phương pháp lặp và ví dụ số

Phương pháp lặp giải bài toán (2.2.1) được đề xuất như sau:
Phương pháp lặp 2.2.1
i) Cho xấp xỉ đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0).
ii) Biết ϕk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán
uk (x) = vk (x), 0 < x < L,
uk (0) = uk (L) = 0.

vk (x) = ϕk (x), 0 < x < L,
vk (0) = vk (L) = 0,

iii) Cập nhật ϕk+1 (x) = M ( uk 22 )uk (x) + f (x, uk (x), uk (x), uk (x), uk (x)).
qk
Đặt pk =
ϕ1 − ϕ0 . Ta có định lý sau:
1−q
Định lý 2.11. Với các giả thiết của Bổ đề 2.2, Phương pháp lặp 2.2.1 hội tụ và
với u là nghiệm đúng của bài toán (2.2.1) ta có đánh giá
5L4
uk − u ≤
pk , uk − u
384

L3
pk , uk − u

24

L2
pk , uk − u

8



L
pk .
2

Luận án đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó
một số ví dụ được phân tích rõ cho thấy ưu thế của phương pháp đề xuất so với
phương pháp trong P. Amster, P.P. Cárdenas Alzate (2008): phương pháp trong
Luận án khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, trong khi đó, theo
phương pháp trong P. Amster, P.P. Cárdenas Alzate (2008) ta không kết luận
được về sự tồn tại nghiệm của bài toán.
2.2.2.

Trường hợp điều kiện biên phi tuyến

Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong công trình [A6] đối với bài toán
L

|u (s)|2 ds u (x) = f (x, u(x)),

(4)

u (x) − M

0 < x < L,

0

(2.2.4)

L

|u (s)|2 ds u (L) = g(u(L)).

u(0) = u (0) = u (L) = 0, u (L) − M
0

2.2.2.1.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Đặt v(x) = u (x) − M (||u ||22 )u(x), với . 2 là chuẩn trong không gian L2 [0, L].
Khi đó bài toán (2.2.4) được đưa về dãy hai bài toán cấp hai
v (x) = f (x, u(x)),
v(L) = −M
u (x) = M

u
u

2
2

2
2

0 < x < L,
u(L),

v (L) = g(u(L))

u(x) + v(x),

u(0) = u (0) = 0.
16

0 < x < L,


Thông qua biểu diễn nghiệm của hai bài toán trên ta thấy rằng u là nghiệm
của bài toán (2.2.4) khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình tích phân
u(x) = (T u)(x), ở đây
L

(T u)(x) =

G(x, t) M

u

2
2

u(t)

0
L

G(t, s)f (s, u(s))ds + g(u(L))(t − L) − M

+

u

2
2

u(L) dt.

0

Áp dụng Định lý điểm bất động Schauder và Định lý điểm bất động Banach đối
với toán tử T , Luận án thiết lập được các định lý về sự tồn tại nghiệm, sự duy
nhất nghiệm của bài toán (2.2.4).
Định lý 2.12. Giả sử f, g, M là những hàm liên tục và tồn tại các hằng số
R, A, B, m > 0 sao cho
|f (t, u)| ≤ A,
|g(u)| ≤ B,
|M (s)| ≤ m,
Khi đó, nếu

L2
2 A + LB

∀(t, u) ∈ [0, L] × [−L2 R, L2 R],
∀u ∈ [−L2 R, L2 R],
2

∀s ∈ [0, L3 R ].

≤ R(1 − mL2 ) thì bài toán (2.2.4) có ít nhất một nghiệm.

Định lý 2.13. Giả sử rằng tất cả các giả thiết của Định lý 2.12 được thỏa mãn.
Ngoài ra giả thiết tồn tại các hằng số λf , λg , λM > 0 sao cho
∀(x, u), (x, v) ∈ [0, L] × [−L2 R, L2 R],
∀u, v ∈ [−L2 R, L2 R],

|f (x, u) − f (x, v)| ≤ λf |u − v|,
|g(u) − g(v)| ≤ λg |u − v|,

2

∀u, v ∈ [0, L3 R ].

|M (u) − M (v)| ≤ λM |u − v|,
2

Khi đó, nếu q = 4L5 R λM +
nghiệm duy nhất.
2.2.2.2.

L4
2 λf

+ L3 λg + 2mL2 < 1 thì bài toán (2.2.4) có

Phương pháp lặp và ví dụ số

Phương pháp lặp giải bài toán (2.2.4) được đề xuất như sau:
Phương pháp lặp 2.2.2
i) Cho xấp xỉ đầu u0 (x), chẳng hạn, u0 (x) = 0, trong [0, L].
ii) Biết uk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán
vk (x) = f (x, uk (x)),
vk (L) = −M

uk

2
2

0 < x < L,
uk (L),

uk+1 (x) = vk (x) + M

uk

uk+1 (0) = uk+1 (0) = 0.
17

2
2

vk (L) = g(uk (L)),
uk (x),

0 < x < L,


Định lý 2.14. Với các giả thiết của Định lý 2.13, Phương pháp lặp 2.2.2 hội tụ
và ta có đánh giá
uk − u



≤ L uk − u



2

≤ L uk − u



qk
≤L
u − u0
1−q 1
2

∞,

ở đây u là nghiệm đúng của bài toán ban đầu (2.2.4).
Luận án đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó một số
ví dụ được phân tích thể hiện ưu thế của Phương pháp lặp 2.2.2 so với phương
pháp trong T.F. Ma (2003): phương pháp trong Luận án khẳng định sự tồn tại
duy nhất nghiệm của bài toán, trong khi đó, theo phương pháp trong T.F. Ma
(2003) ta chỉ suy ra được sự tồn tại nghiệm hoặc không kết luận được gì về sự
tồn tại nghiệm.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này, Luận án nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương
pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp
bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biên khác nhau: điều kiện
biên dạng gối - tựa đơn giản, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều
kiện biên phi tuyến. Ở đây, Luận án sử dụng phương pháp đưa bài toán ban đầu
về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sau đó
xét trên một miền giới nội thích hợp cùng với một số điều kiện dễ kiểm tra, Luận
án chứng minh được toán tử đó là co. Từ đó, sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài
toán được thiết lập, đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm là hội tụ. Để minh
họa cho các kết quả trong lý thuyết, Luận án đưa ra các ví dụ trong cả hai trường
hợp biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng. Đặc biệt hơn, trong
các ví dụ đó có những ví dụ được phân tích cụ thể cho thấy ưu thế của phương
pháp Luận án đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác.

18


Chương 3
Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải
bài toán biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm
riêng cấp bốn
Trong chương này, Luận án tiếp tục phát triển kỹ thuật đã sử dụng trong
Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp giải đối với
hai bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa và phương trình song
điều hòa loại Kirchhoff. Các kết quả của chương được trình bày trong công trình
[A1], [A4] trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án.

3.1.

Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa

Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong công trình [A5] đối với bài toán
∆2 u = f (x, u, ∆u), x ∈ Ω,
u = 0, ∆u = 0, x ∈ Γ,

(3.1.1)

ở đây Ω là miền bị chặn, liên thông trong R2 với biên trơn (hoặc trơn từng mảnh)
Γ.
3.1.1.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Với hàm ϕ(x) ∈ C(Ω), xét toán tử phi tuyến A : C(Ω) → C(Ω) được xác định
như sau
(Aϕ)(x) = f (x, u(x), ∆u(x)),
(3.1.2)
trong đó u(x) là nghiệm của bài toán
∆2 u = ϕ(x), x ∈ Ω,
u = ∆u = 0, x ∈ Γ.

(3.1.3)

Mệnh đề 3.1. Hàm ϕ(x) là nghiệm của phương trình toán tử Aϕ = ϕ, tức là,
ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A xác định bởi (3.1.2)-(3.1.3) khi và chỉ khi
hàm u(x) là nghiệm của (3.1.3) thỏa mãn bài toán (3.1.1).

19


Bổ đề 3.1. Giả sử Ω là miền bị chặn, liên thông trong RK (K ≥ 2) với biên trơn
(hoặc trơn từng mảnh) Γ. Khi đó, đối với nghiệm của bài toán
−∆u = f (x), x ∈ Ω,

u = 0, x ∈ Γ
2

R
ta có đánh giá u ≤ CΩ f , ở đây u = maxx∈Ω¯ |u(x)|, CΩ =
và R là bán
4
kính hình tròn chứa miền Ω. Trong trường hợp đặc biệt, nếu Ω là hình vuông đơn
1
vị thì u ≤ f .
8
Với mỗi hằng số dương M ta kí hiệu
DM = {(x, u, v)| x ∈ Ω, |u| ≤ CΩ2 M, |v| ≤ CΩ M }.
Định lý 3.1. Giả sử tồn tại các hằng số M, K1 , K2 ≥ 0 sao cho
|f (x, u, v)| ≤ M,

∀(x, u, v) ∈ DM ,

|f (x, u2 , v2 ) − f (x, u1 , v1 )| ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |v2 − v1 |, ∀(x, ui , vi ) ∈ DM , i = 1, 2.
q := (K2 + CΩ K1 )CΩ < 1.
¯ thỏa mãn u ≤ C 2 M.
Khi đó bài toán (3.1.1) có nghiệm duy nhất u(x) ∈ C(Ω)

Kí hiệu
+
= {(x, u, v)| x ∈ Ω, 0 ≤ u ≤ CΩ2 M, −CΩ M ≤ v ≤ 0}.
DM

Định lý 3.2. (Tính dương của nghiệm) Giả sử tồn tại các hằng số M, K1 , K2 ≥ 0
sao cho
+
0 ≤ f (x, u, v) ≤ M, ∀(x, u, v) ∈ DM
.
+
, i = 1, 2,
|f (x, u2 , v2 ) − f (x, u1 , v1 )| ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |v2 − v1 |, ∀(x, ui , vi ) ∈ DM

q := (K2 + CΩ K1 )CΩ < 1.
¯ thỏa mãn đánh
Khi đó bài toán (3.1.1) có duy nhất nghiệm không âm u(x) ∈ C(Ω)
giá 0 ≤ u(x) ≤ CΩ2 M.
3.1.2.

Phương pháp giải và ví dụ số

Xét phương pháp lặp tìm điểm bất động ϕ của toán tử A, cũng tức là phương
pháp lặp tìm nghiệm u của bài toán (3.1.1) như sau:
Phương pháp lặp 3.1.1
1. Cho xấp xỉ đầu ϕ0 ∈ B[O, M ], chẳng hạn,
ϕ0 (x) = f (x, 0, 0), x ∈ Ω.
20

(3.1.4)


2. Biết ϕk trong Ω (k = 0, 1, ...) giải liên tiếp hai bài toán
∆vk

= ϕk ,

vk

= 0,

x ∈ Ω,
x ∈ Γ,

∆uk

= vk ,

uk

= 0,

x ∈ Ω,
x ∈ Γ.

(3.1.5)

3. Cập nhật
ϕk+1 = f (x, uk , vk ).

(3.1.6)

Định lý 3.3. Giả sử các điều kiện trong Định lý 3.1 (hoặc Định lý 3.2) đều được
thỏa mãn. Khi đó Phương pháp lặp 3.1.1 hội tụ và ta có đánh giá
qk
2
||uk − u|| ≤ CΩ
ϕ1 − ϕ0 ,
(1 − q)
ở đây u là nghiệm đúng của bài toán (3.1.1).
Định lý 3.4. (Tính đơn điệu) Giả sử rằng tất cả các điều kiện của Định lý 3.1
(hoặc Định lý 3.2) đều được thỏa mãn. Thêm vào đó, giả thiết hàm f (x, u, v) tăng
(1)
(2)
theo u và giảm theo v với (x, u, v) ∈ DM . Khi đó, nếu ϕ0 , ϕ0 ∈ B[O, M ] là các
(1)
(2)
(1)
(2)
xấp xỉ ban đầu và ϕ0 (x) ≤ ϕ0 (x) với bất kỳ x ∈ Ω thì hai dãy {uk }, {uk } xác
định từ quá trình lặp (3.1.4)-(3.1.6) thỏa mãn đánh giá
(1)

(2)

uk (x) ≤ uk (x),
Hệ quả 3.1. Kí hiệu ϕmin =

min
(x,u,v)∈DM

k = 0, 1, ...; x ∈ Ω.
f (x, u, v), ϕmax =

max

f (x, u, v). Khi

(x,u,v)∈DM

đó, với các giả thiết của Định lý 3.4, xuất phát từ xấp xỉ đầu ϕ0 = ϕmin ta thu
được dãy tăng {uk (x)}, ngược lại, xuất phát từ xấp xỉ đầu ϕ0 = ϕmax ta thu được
dãy giảm {uk (x)}, cả hai dãy đều hội tụ tới nghiệm chính xác u(x) của bài toán
ban đầu và uk (x) ≤ u(x) ≤ uk (x).
Để thử nghiệm số cho phương pháp lặp đề xuất, Luận án sử dụng lược đồ sai
phân với độ chính xác cấp hai và cấp bốn giải các bài toán biên cấp hai ở (3.1.5)
tại mỗi lần lặp. Các ví dụ số được phân tích cho thấy ưu thế của phương pháp
Luận án đề xuất so với các phương pháp trong Y.M. Wang (2007), Y. An, R. Liu
(2008), S. Hu, L. Wang (2014) về tốc độ hội tụ hoặc về kết luận sự tồn tại duy
nhất nghiệm.

3.2.

Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa
loại Kirchhoff

Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong công trình [A1] đối với bài toán
∆2 u = M

|∇u|2 dx ∆u + f (x, u),


u = 0,

∆u = 0,

x ∈ Ω,

(3.2.1)

x ∈ Γ,

ở đây Ω là miền bị chặn, liên thông trong RK (K ≥ 2) với biên trơn (hoặc trơn
từng mảnh) Γ.
21


3.2.1.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Với hàm ϕ(x) ∈ C(Ω), xét toán tử phi tuyến A : C(Ω) → C(Ω) được xác định
như sau
(Aϕ)(x) = M
|∇u|2 dx ∆u + f (x, u),
(3.2.2)


ở đây u(x) là nghiệm của bài toán
∆2 u = ϕ(x), x ∈ Ω,
u = ∆u = 0, x ∈ Γ.

(3.2.3)

Mệnh đề 3.2. Hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là, ϕ(x) là nghiệm
của phương trình toán tử Aϕ = ϕ, khi và chỉ khi hàm u(x) xác định từ bài toán
(3.2.3) thỏa mãn bài toán (3.2.1).
Với số R > 0 và hệ số CΩ được xác định ở Bổ đề 3.1 ta định nghĩa miền
DR = (x, u) | x ∈ Ω; |u| ≤ CΩ2 R .
Định lý 3.5. Giả sử tồn tại các hằng số R, λf , m, λM > 0, m ≤ 1/CΩ sao cho
|M (s)| ≤ m,

|M (s1 ) − M (s2 )| ≤ λM |s1 − s2 |,

|f (x, u)| ≤ R(1 − mCΩ ),

|f (x, u1 ) − f (x, u2 )| ≤ λf |u1 − u2 |,

với mọi (x, u), (x, ui ) ∈ DR (i = 1, 2); 0 ≤ s, s1 , s2 ≤ CΩ3 R2 SΩ ,
q = λf CΩ2 + mCΩ + 2λM R2 CΩ4 SΩ < 1,
trong đó SΩ là độ đo của miền Ω. Khi đó bài toán (3.2.1) có duy nhất nghiệm
u(x) ∈ C(Ω) thỏa mãn đánh giá u ≤ CΩ2 R, ∆u ≤ CΩ R.
Nhận xét 3.1. Từ Định lý 3.5 ta thấy rằng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
bài toán (3.2.1) được đảm bảo nếu hàm f (x, u) và hàm M (s) thỏa mãn một số
điều kiện trên một miền bị chặn. Do đó nó khắc phục được điều kiện tăng trưởng
tại vô cùng của hàm f - điều kiện cần trong công trình F. Wang, Y. An (2012)
khi M là hàm số và trong các công trình khác khi M = const. Đây là một lợi thế
của phương pháp được đề xuất trong công trình [A1] so với các công trình khác.
Ngoài ra, các điều kiện của Định lý 3.5 là đơn giản và dễ kiểm tra, điều này sẽ
được thể hiện rõ trong các ví dụ số được đưa ra trong Luận án.
Nhận xét 3.2. Trong Định lý 3.5, nếu M (s) = m = const thì λM = 0 và do đó
q = λf CΩ2 + mCΩ < 1. Vì vậy, các giả thiết của định lý là tính bị chặn và điều
kiện Lipschitz của hàm f (x, u) trên miền DR . Các điều kiện này không phức tạp
như các điều kiện trong Y. An, R. Liu (2008), R. Pei (2010), S. Hu, L. Wang
(2014).
Nhận xét 3.3. Trong trường hợp hàm vế phải f = f (u), các điều kiện đối với
hàm f trong Định lý 3.5 trở thành điều kiện bị chặn và điều kiện Lipschitz của
hàm f (u) trên miền DR = u; |u| ≤ CΩ2 R .
22


3.2.2.

Phương pháp giải và ví dụ số

Phương pháp lặp giải bài toán (3.1.1) được đề xuất như sau:
Phương pháp lặp 3.2.1
i) Cho xấp xỉ đầu ϕ0 ∈ B[O, R], chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0), x ∈ Ω.
ii) Biết ϕk (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán cấp hai

iii) Cập nhật

∆vk

= ϕk ,

vk

= 0,

x ∈ Ω,
x ∈ Γ,

ϕk+1 (x) = M

∆uk

= vk ,

uk

= 0,

2
Ω |∇uk | dx

x ∈ Ω,
x ∈ Γ.

(3.2.4)

vk + f (x, uk ).

Định lý 3.6. Với các giả thiết của Định lý 3.5, Phương pháp lặp 3.2.1 hội tụ và
ta có đánh giá
C 2 qk
ϕ1 − ϕ0 ,
uk − u ≤ Ω
1−q
ở đây u là nghiệm đúng của bài toán (3.2.1).
Để thử nghiệm số cho phương pháp lặp đề xuất, Luận án sử dụng lược đồ sai
phân với độ chính xác cấp bốn giải các bài toán ở (3.2.4), các công thức tính
gần đúng đạo hàm cấp một với độ chính xác cấp bốn để xấp xỉ ∇u và sử dụng
công thức Simpson để tính gần đúng tích phân hai lớp. Để kiểm tra sự hội tụ
của phương pháp lặp đề xuất, các ví dụ được đưa ra trong cả hai trường hợp đã
biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng của bài toán (3.2.1) trên
miền hình vuông đơn vị. Một số ví dụ được phân tích cho thấy ưu thế của phương
pháp Luận án đề xuất so với phương pháp trong F. Wang, Y. An (2012) trong
kết luận về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương 3, Luận án nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương
pháp lặp giải hai bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa và
phương trình song điều hòa loại Kirchhoff. Các kết quả đạt được như sau:
- Đối với cả hai bài toán, với một số điều kiện đơn giản, dễ kiểm tra, Luận án chứng
minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Đặc biệt, đối với bài toán biên cho
phương trình song điều hòa, Luận án còn xét được tính dương của nghiệm.
- Đề xuất các phương pháp lặp tìm nghiệm của hai bài toán, chứng minh sự hội
tụ của các phương pháp lặp với tốc độ cấp số nhân. Đặc biệt, đối với bài toán
biên cho phương trình song điều hòa, Luận án còn chỉ ra tính đơn điệu của dãy
nghiệm xấp xỉ.
- Xây dựng các ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết và thể hiện sự hội tụ
của phương pháp lặp tìm nghiệm, trong đó có một số ví dụ mà sự tồn tại hoặc
tính duy nhất nghiệm của nghiệm không được bảo đảm bởi phương pháp của một
23


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×