Tải bản đầy đủ

Tính ổn định của một số lớp hệ vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Lê Văn Hiện

TS. Trịnh Tuấn Anh

Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học
Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Đức Thuận, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Phản biện 3: PGS.TS Cung Thế Anh, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2019
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định
nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ
thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng dụng từ cơ học,
vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinh thái học quần thể,
kinh tế và môi trường. Trong thực tiễn, rất nhiều mô hình ứng dụng được mô tả bởi
các lớp phương trình vi phân có trễ. Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến
dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ nói chung và tính ổn định, một trong những tính
chất phổ dụng của các hệ trong các mô hình ứng dụng, nói riêng. Vì vậy, bài toán
nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong
các mô hình thực tiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sự
quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong những năm gần đây.
Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tính dừng, hệ
có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng và hiệu quả
để nghiên cứu tính ổn định. Bằng việc xây dựng các phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii
phù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lập thông qua các bất đẳng thức
ma trận tuyến tính (LMIs). Khi đó, các công cụ giải số và một số thuật toán tối ưu
lồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận được của lớp điều kiện LMIs đó đảm
bảo tính ổn định của hệ.
Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mô hình thực tiễn và nhân tạo, nhất là các hệ
trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến không dừng. Việc
nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng, cho các lớp hệ như
vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và phương pháp nghiên cứu đặc thù.
Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm
cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối với các hệ phương trình vi phân
phi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình mô tả các mô hình trong sinh thái học,
cần tiếp tục được nghiên cứu và phát triển. Đó cũng là lí do và là động lực chính
chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định của các hệ phương trình vi phân
có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái.

1


2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
2.1. Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mô
tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ
Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thành công
trong nhiều bài toán thực tiễn và đã được phát triển một cách sâu rộng, khái niệm
ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định trong khoảng thời gian ngắn) mang
ý nghĩa thực tiễn quan trọng. Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX, khái niệm ổn định
trong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt
là trong các mô hình điều khiển cơ học. Một hệ động lực gọi là ổn định trong thời
gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu (chẳng hạn một lân cận
của trạng thái cân bằng), mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một
ngưỡng cho trước trên một khoảng thời gian xác định trước. Như vậy, khác với tính
ổn định theo Lyapunov (LS), một khái niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu
của nghiệm tại vô hạn, ổn định hữu hạn (FTS) là khái niệm có tính định lượng. Hơn
nữa, LS và FTS là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể
không ổn định theo Lyapunov và ngược lại. Trong Chương 2 của luận án chúng tôi
nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối
biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây
n

x′i (t)

= − ai (t)xi (t) +

bij (t)fj (xj (t))
j=1

(1)

n

cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > 0.

+
j=1

Dựa trên một số kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân, chúng tôi thiết
lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ (1) trong một khoảng thời gian hữu
hạn cho trước.

2.2. Tính tiêu hao của lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ trong mô hình
mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên
Nhiều bài toán trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệ phương trình vi
phân hàm có tính tiêu hao. Đặc tính tiêu hao của hệ được thể hiện qua sự tồn tại
của tập hấp thụ bị chặn mà mọi quỹ đạo trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong
đó sau thời gian hữu hạn. Các nghiên cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng
điệu tiệm cận của nghiệm, một trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định
2


tính các hệ phương trình vi phân và ứng dụng.
Trong Chương 3 của luận án chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tính tiêu
hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số
biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây
n

x′i (t)

= −ai (t)xi (t) +

bij (t)fj (xj (t))
j=1
n

(2)
cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > 0.

+
j=1

Để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng (2), chúng tôi
phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để thiết lập các
điều kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suy rộng trong cả hai
trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế của nơron) thỏa mãn điều
kiện chính quy, ai (t) ≥ ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến, tức là ai (t) > 0
và inf t≥0 ai (t) = 0.

2.3. Sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương của một
mô hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến
Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả động lực các
mô hình thực tiễn. Ví dụ, Nicholson sử dụng phương trình vi phân
N ′ (t) = −αN(t) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) ,

(3)

ở đó α, β , γ là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể loài ve châu
Úc. Mô hình (3) sau đó thường được gọi là mô hình Nicholson và được sử dụng rất
phổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và sinh thái học quần thể.
Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mô hình Nicholson và các
biến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi. Hầu hết các
kết quả đã công bố đều được nghiên cứu cho mô hình Nicholson với tốc độ suy giảm
(mortality rate) dân số tuyến tính. Một mô hình với tốc độ suy giảm phụ thuộc tuyến
tính vào mật độ thường chỉ đúng đối với các quần thể có mật độ thấp. Theo các nhà
hải dương học, nhiều mô hình trong thủy sản như khu bảo tồn biển được mô tả bằng
các phương trình vi phân trễ trong mô hình Nicholson với tốc độ suy giảm phụ thuộc
phi tuyến vào mật độ dạng
N ′ (t) = −D(N(t)) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) ,

3


ở đó tỉ lệ tử vong D(N) có một trong các dạng D(N) = a − be−N (type-I) hoặc
D(N) =

aN
b+N

(type-II) với a, b là các hằng số dương.

Trong Chương 4 của luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy nhất và
tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương đối với mô hình Nicholson có trễ
p

βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t))



N (t) = −D(t, N(t)) +

(4)

k=1

với tỉ lệ tử vong phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) = a(t)−b(t)e−N . Dựa trên
một số kĩ thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức vi-tích phân, trước hết chúng
tôi chỉ ra tính bền vững và tính tiêu hao đều của mô hình Nicholson (4). Trên cơ sở
tính tiêu hao và bền vững đều, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục
của nghiệm tuần hoàn dương duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4).
Áp dụng kết quả tổng quát cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu
được một số kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằng
dương của mô hình tương ứng.

3. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp các công cụ trong giải tích cổ điển, phương trình vi
phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí so sánh, lý thuyết ổn
định Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàm năng lượng kiểu Lyapunov. Đặc
biệt, trong luận án, chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh mới để thiết lập các
điều kiện thông qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổn định, tính tiêu hao cũng
như các điều kiện cho sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn dương đối với các lớp phương
trình vi phân được nghiên cứu trong luận án.

4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:
1. Thiết lập được các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trận đảm bảo
tính ổn định hữu hạn và tính đồng bộ với tốc độ lũy thừa của mô hình mạng
nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.
2. Chứng minh tính tiêu hao toàn cục của lớp hệ phương trình vi phân mô tả lớp
mạng nơron Hopfiled trong cả hai trường hợp khi các hệ số phản hồi thỏa mãn
điều kiện chính quy và khi các hệ số phản hồi suy biến.

4


3. Chứng minh sự tồn tại toàn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều của nghiệm
dương đối với một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy thoái phi tuyến.
4. Đưa ra điều kiện và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn
dương hút toàn cục đối với mô hình Nicholson nói trên. Một áp dụng với mô
hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cân bằng dương
hút toàn cục cũng được đưa ra.
Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 03 bài báo trên các tạp
chí quốc tế trong danh mục ISI.

5. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu tham
khảo, luận án gồm 4 chương. Chương 1 trình bày một số kết quả cơ bản về tính ổn
định hữu hạn, tính tiêu hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ
trợ cho việc trình bày nội dung chính trong các chương sau của luận án. Chương 2
nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng
nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất. Chương 3 trình bày
các kết quả nghiên cứu tính tiêu hao toàn cục của lớp phương trình vi phân trong
mô hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Và cuối cùng, Chương
4 nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của một
mô hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phi tuyến.

5


Chương 1
SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích ma
trận, phương trình vi phân, lý thuyết ổn định theo Lyapunov, ổn định trong thời gian
hữu hạn và tính tiêu hao của một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ.

1.1. M-ma trận
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất của M-ma trận.

1.2. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov
Xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm sau đây
x′ (t) = f (t, xt ), t ≥ t0 ,

(1.1)

xt0 = φ,

ở đó f : D = [t0 , ∞) × C → Rn và φ ∈ C = C([−r, 0], Rn ) là hàm ban đầu. Giả sử
f (t, 0) = 0 và hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ [0, ∞) và φ ∈ C ,

bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t0 , ∞).
Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa Lyapunov)
nếu với mọi ǫ > 0, t0 ∈ R+ , tồn tại δ(t0 , ǫ) > 0 sao cho φ

C

< δ(t0 , ǫ) kéo theo

x(t, φ) < ǫ với mọi t ≥ t0 . Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định đều nếu số δ

nói trên không phụ thuộc t0 .
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu
x = 0 ổn định đều và tồn tại một số δa > 0 sao cho với mọi η > 0 tồn tại T = T (δa , η) > 0

sao cho φ

C

< δa kéo theo x(t, φ) < η với mọi t ≥ t0 + T (δa , η). Hơn nữa, nếu số δa

có thể chọn tùy ý thì nghiệm x = 0 được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều (GES) nếu
tồn tại các hằng số dương α, β sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏa mãn đánh
giá mũ
x(t, φ) ≤ β φ C e−α(t−t0 ) ,

t ≥ t0 .

(1.2)

Định lí 1.2.1 (Định lí Lyapunov-Krasovskii). Giả sử f : R × C → Rn biến mỗi tập
R × Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C , thành tập bị chặn trong Rn và u, v, w : R+ → R+
là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = 0 và u(s) > 0, v(s) > 0 khi s > 0.
6


Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V : R × C → R+ thỏa mãn
u( φ(0) ) ≤ V (t, φ) ≤ v( φ C ), ∀φ ∈ C,

(1.3)

và đạo hàm của V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa
V ′ (t, φ) ≤ −w( φ(0) ).

(1.4)

Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định đều. Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì nghiệm
x = 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều. Hơn nữa, nếu lims→∞ u(s) = ∞ thì nghiệm
x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục đều.

1.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn
1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn
Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn
tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mô hình điều
khiển cơ học. Một hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng
của điều kiện đầu, mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng
cho trước trên một đoạn thời gian xác định trước. Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệ
phương trình vi phân thường sau đây
x′ (t) = f (t, x(t)),

x(t0 ) = x0 ,

(1.5)

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ.
Định nghĩa 1.3.1. Cho trước một số dương T và các tập X0 , Xt trong Rn , hệ (1.5)
được gọi là ổn định hữu hạn đối với (t0 , T, X0 , Xt ) nếu với bất kì x0 ∈ X0 , quỹ đạo
nghiệm tương ứng x(t, t0 , x0 ) của (1.5) thỏa mãn
x(t; t0 , x0 ) ∈ Xt ,

∀t ∈ [t0 , t0 + T ].

Trong nhiều trường hợp, các tập X0 (trạng thái đầu) và Xt (tập quỹ đạo) được
cho dưới dạng các ellipsoid ER (ρ) = {x⊤ Rx < ρ : x ∈ Rn }, ở đó R ∈ Sn+ là một ma trận
đối xứng xác định dương. Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạng sau.
Định nghĩa 1.3.2. Cho trước một cận T > 0 (xác định khoảng thời gian), một ma
trận R ∈ Sn+ và các số dương r1 < r2 . Hệ (1.5) được gọi là ổn định hữu hạn đối với
(t0 , T, r1 , r2 , R) nếu với bất kì x0 ∈ ER (r1 ), quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t) = x(t, t0 , x0 )

thỏa mãn x⊤ (t)Rx(t) < r2 với mọi t ∈ [t0 , t0 + T ].

7


1.3.2. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn
hợp biến thiên
Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau đây
t

x′ (t) = Ax(t) + Dx(t − τ (t)) + G

x(s)ds, t ≥ 0,

(1.6)

t−κ(t)

x(t) = φ(t),

t ∈ [−h, 0],

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, φ ∈ C([−h, 0], Rn ) là hàm ban đầu, A, D, G ∈ Rn×n
là các ma trận cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện
0 ≤ τ1 ≤ τ (t) ≤ τ2 ,

τ ′ (t) ≤ µ ≤ 1,

0 ≤ κ1 ≤ κ(t) ≤ κ2 ,

với µ là hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ (t), τ1 , τ2 , κ1 , κ2 là các cận
trên của trễ, h = max{τ2 , κ2 }.
Định nghĩa 1.3.3. Cho trước số các số dương T, r1 , r2 , với r1 < r2 . Hệ (1.6) được gọi
là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ) nếu với mọi φ ∈ C([−h, 0], Rn ), φ
x(t, φ)





≤ r1 , ta có

< r2 với mọi t ∈ [0, T ].

Định lí 1.3.1. Cho các số dương T, r1 , r2 , r1 < r2 . Hệ (1.6) là ổn định hữu hạn đối
với (r1 , r2 , T ) nếu tồn tại các số dương α, ρi , i = 1, 2, 3, 4, và các ma trận đối xứng xác
định dương P, Q, R ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau
(1.7a)

Π = Π0 + Π1 + Π2 < 0,
ρ1 In ≤ P ≤ ρ2 In ,
ρ2 + τ2 eατ2 ρ3 +
ρ1

Q ≤ ρ3 In ,

eακ2 −1
ρ4
α

<

(1.7b)

R ≤ ρ4 In ,
r2
r1

2

(1.7c)

e−αT ,

ở đó ei = 0n×(i−1)n In 0n×(3−i)n , i = 1, 2, 3, A = Ae1 + De2 + Ge3 , Π0 = e⊤
1 PA +

ατ1 e⊤ Qe và Π = κ e⊤ Re −
A⊤ P e1 − αe⊤
2
2
2 1
1
1 P e1 , Π1 = e1 Qe1 − (1 − µ)e
2

1 ⊤
κ2 e3 Re3 .

1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính tiêu hao của một số
lớp phương trình vi phân có trễ. Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây
x′ (t) = F (t, x(t), x(t − τ1 (t)), . . . , x(t − τm (t))),
x(t) = φ(t),

t ∈ [0, ∞),

(1.8)

t ∈ [−τ, 0],

ở đó τk (.) là các hàm trễ liên tục thỏa mãn 0 ≤ τk (t) ≤ τ với mọi t ≥ 0, k ∈ [m], với
τ > 0 là một hằng số. Hàm F : [0, ∞) × Rn × (C([−τ, ∞), Rn ))m → Rn liên tục và thỏa
8


mãn điều kiện
m

2 u, F (t, u, ψ1(.), . . . , ψm (.)) ≤ γ(t) + α(t) u

2

βk (t) ψk (t − τk (t))

+

2

(1.9)

k=1

với mọi t ∈ [0, ∞), u ∈
Rn , a, b = a⊤ b =

Rn

và ψk (.) ∈

C([−τ, ∞), Rn ),

ở đó ., . là tích vô hướng trên

với a = (ai ) ∈ Rn và b = (bi ) ∈ Rn . Giả thiết thêm rằng

n
i=1 ai bi

hàm F thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn ), bài toán (1.8) có
nghiệm duy nhất x(t, φ) trên [−τ, ∞).
Định nghĩa 1.4.1. Hệ (1.8) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại một tập bị
chặn B ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn , tồn tại t∗ = t∗ (B) có tính chất
với mọi hàm ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn ) mà φ(t) ∈ B với mọi t ∈ [−τ, 0] thì nghiệm
x(t, φ) ∈ B với mọi t ≥ t∗ (B). Tập B như vậy được gọi là một tập hấp thụ của (1.8).

1.4.1. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên
Bổ đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Halanay). Giả sử hàm u(t) ≥ 0, t ∈ (−∞, ∞), thỏa mãn
u′ (t) ≤ γ(t) + α0 u(t) + β0

sup
t−τ ≤s≤t

u(s), t ≥ t0 , u(t) = θ(t), t ≤ t0 ,

(1.10)

ở đó θ ∈ BC((−∞, t0 ], R+ ) là hàm liên tục bị chặn. Khi đó, nếu α0 + β0 < 0 thì tồn tại
một hằng số λ > 0 sao cho
u(t) ≤

ở đó γ∗ = supt≥t0 γ(t) và θ

γ∗
+ θ
−(α0 + β0 )



−λ(t−t0 )
,
∞e

(1.11)

t ≥ t0 ,

= supt≤t0 |θ(t)|.

Nhận xét 1.4.1. Nếu α0 = supt≥0 α(t), β0 = supt≥0 β(t) và α0 + β0 < 0 thì theo Bổ đề
1.4.1, hệ (1.8) là tiêu hao toàn cục. Cụ thể hơn, với bất kì ǫ > 0 cho trước, tồn tại
t∗ = t∗ ( φ

∞ , ǫ)

> 0 sao cho
x(t)

2

<

γ∗
+ ǫ, t > t∗ .
−(α0 + β0 )

Do đó, hệ (1.8) tiêu hao toàn cục với tập hấp thụ B = B 0,

−γ∗ /(α0 + β0 ) + ǫ , ở

đó ǫ là một số dương cho trước tùy ý. Hơn nữa, đánh giá (1.11) đảm bảo tính hút mũ
của B.
Định lí 1.4.2. Giả sử u(t) ≥ 0, t ∈ (−∞, ∞), và
u′ (t) ≤ γ(t) + α(t)u(t) + β(t)

sup

u(s) (t ≥ t0 ),

u(t) = θ(t) (t ≤ t0 ),

(1.12)

t−τ (t)≤s≤t

ở đó θ ∈ BC((−∞, t0 ], R+ ), α(t), β(t), γ(t) là các hàm liên tục, β(t) ≥ 0, γ(t) ≥ 0 và
τ (t) ≥ 0 thỏa mãn t − τ (t) → ∞ khi t → ∞. Khi đó, nếu tồn tại σ > 0 sao cho
α(t) + β(t) ≤ −σ < 0, t ≥ t0 ,
9

(1.13)


γ∗
+ θ ∞ , t ∈ [t0 , ∞). Nếu giả thiết thêm rằng tồn tại một số 0 < δ < 1
σ
sao cho δα(t) + β(t) < 0, ∀t ≥ t0 , thì với mọi ǫ > 0, tồn tại một t∗ = t∗ ( θ ∞ , ǫ) > t0

thì ta có u(t) ≤
sao cho

u(t) ≤

γ∗
+ ǫ,
σ

t ≥ t∗ .

1.4.2. Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp
cận bằng phương pháp đổi biến
Xét lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ dạng sau đây

x′ (t) = g(x(t), x(qt)), t ≥ t0 > 0,

(1.14)

x(t) = ϕ(t), t ∈ [qt , t ],
0 0

ở đó q là một hằng số, 0 < q < 1, ϕ(t) là hàm xác định điều kiện đầu và hàm g thỏa
mãn điều kiện
2 u, g(u, v) ≤ γ + α u

2

+β v

(1.15)

2

với α, β, γ là các hằng số. Để đơn giản ta có thể xét t0 = 1. Bằng phép đổi biến
y(t) = x(et ), phương trình (1.15) được chuyển về dạng phương trình vi phân với trễ

hằng sau đây


y ′ (t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t > 0,
y(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],

ở đó τ = − ln(q) > 0 và

(1.16)

(1.17)

f (t, y(t), y(t − τ )) = et g(y(t), y(t − τ )).

Từ (1.15) và (1.17) ta có
2 u, f (t, u, v) ≤ et γ + α u

2

+β v

2

(1.18)

.

Định lí 1.4.3. Giả sử y(t) là một nghiệm của (1.16) thỏa mãn điều kiện (1.18) và
α + β < 0. Khi đó, với bất kì ǫ > 0 cho trước, tồn tại một t∗ = t∗ ( ϕ
y(t)

2

<−

∞ , ǫ)

> 0 sao cho

γ
+ ǫ, ∀t > t∗ .
α+β

Do đó, hệ (1.16) tiêu hao toàn cục và B = B 0,

γ
− α+β


là một tập hấp thụ với

ǫ > 0 cho trước.

1.5. Một số kết quả bổ trợ
Mục này giới thiệu một số bổ đề kĩ thuật sử dụng trong chứng minh kết quả
chính ở các chương sau.
10


Chương 2
TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN
VÀ TRỄ TỈ LỆ
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định trong khoảng thời gian
hữu hạn đối với lớp hệ phương trình trình vi phân mô tả mạng nơron Hopfield với
hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Dựa trên một số kĩ thuật trong nguyên lý so sánh, chúng
tôi thiết lập các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trận để đảm bảo mọi
quỹ đạo nghiệm của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một khoảng thời
gian hữu hạn. Nội dung được trình bày trong chương này dựa trên bài báo [1] trong
Danh mục công trình công bố của luận án.

2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ
Xét lớp hệ phương trình vi phân mô tả mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến
thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng
n

x′i (t)

bij (t)fj (xj (t))

= −ai (t)xi (t) +
j=1
n

cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0,

+

(2.1)

j=1

xi (0) = x0i , i ∈ [n],

ở đó n là số nơron trong mạng, xi (t) là biến trạng thái của nơron thứ i tại thời điểm
t, Ii (t) là tín hiệu đầu vào của nơron thứ i, ai (t) > 0 là tốc độ tự ức chế của nơron thứ
i, đó là tốc độ mà khi không được kết nối với các nơron khác và không có tín hiệu

đầu vào, nơron i tự giải phóng năng lượng, bij (t) và cij (t) là các trọng số kết nối giữa
các nơron, fj (.), gj (.), j ∈ [n], là các hàm kích hoạt của nơron, qij ∈ (0, 1), i, j ∈ [n], là
các hằng số diễn tả độ trễ tín hiệu trên trạng thái và x0 = (x01 , . . . , x0n )⊤ ∈ Rn là vectơ
các giá trị ban đầu. Các hệ số bij (t), cij (t), ai (t) và đầu vào Ii (t) được giả thiết là các
hàm liên tục trên R+ .
− +
Giả thiết (A2.1): Tồn tại các số thực lik
, lik , k = 1, 2, sao cho

li1


fi (x) − fi (y)
+
≤ li1
,
x−y


li2


gi (x) − gi (y)
+
≤ li2
, ∀x, y ∈ R, x = y.
x−y
11

(2.2)


Nhận xét 2.1.1. Xét hàm F : R+ × Rn × Rn×n → Rn xác định bởi F (t, u, v) =
(Fi (t, u, v)) với u = (ui ) ∈ Rn , v = (vij ) ∈ Rn×n và
n

n

cij (t)gj (vij ) + Ii (t).

bij (t)fj (uj ) +

Fi (t, u, v) = −ai (t)ui +

j=1

j=1

Do giả thiết (A2.1), F (t, u, v) là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên
R+ × Rn × Rn×n . Do đó, với mỗi vectơ ban đầu x0 ∈ Rn , tồn tại duy nhất một nghiệm
x(t) = x(t, x0 ) của hệ (2.1) xác định trên [0, ∞).

2.2. Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với
hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất
Trong mục này, chúng tôi phát triển khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn
đối với hệ (2.1).
Định nghĩa 2.2.1. Cho trước một thời điểm T > 0 và các số dương r1 < r2 . Một
nghiệm x∗ (t) của (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ) nếu nghiệm bất
kì x(t) của (2.1) thỏa mãn nếu x(0) − x∗ (0)



≤ r1 thì x(t) − x∗ (t)



< r2 với mọi

t ∈ [0, T ].

Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ) nếu nghiệm bất kì x∗ (t)
của (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ).
Giả thiết (A2.2): Các ma trận A(t) = diag{a1 (t), a2 (t), . . . , an (t)}, B(t) = (bij (t)) và
C(t) = (cij (t)) thoả mãn các điều kiện sau
ai (t) ≥ di > 0, |bij (t)| ≤ bij , |cij (t)| ≤ cij , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n],

(2.3)

ở đó ai , bij và cij là các hằng số biết trước.
+

+

Kí hiệu Lfi = max{li1
, −li1
}, Lgi = max{li2
, −li2
}, i ∈ [n], Lf = diag{Lf1 , Lf2 , . . . , Lfn },

Lg = diag{Lg1 , Lg2 , . . . , Lgn } và A = diag{a1 , a2 , . . . , an }, B = (bij ),

C = (cij ), M =

BLf + CLg − A.

Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây.
Định lí 2.2.1. Giả sử các giả thiết (A2.1) và (A2.2) được thỏa mãn. Cho trước các
số thực 0 < r1 < r2 và thời gian T > 0, hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T )
nếu tồn tại một số dương γ và một vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, thỏa mãn các điều kiện sau
(M − γI) ξ ≺ 0,
r2
C(ξ) < e−γT ,
r1
−1
ở đó C(ξ) = ξ + ξ+
kí hiệu số điều kiện của ξ .

12

(2.4a)
(2.4b)


Nhận xét 2.2.1. Điều kiện (2.4a) trong Định lí 2.2.1 không đảm bảo tính ổn định
tiệm cận của hệ (2.1) theo nghĩa Lyapunov. Hơn nữa, cần lưu ý rằng ngay cả khi các
điều kiện (2.4a) và (2.4b) thỏa mãn với bất kì T > 0, r2 > r1 > 0, hệ (2.1) có thể vẫn
không ổn định tiệm cận.

2.3. Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (2.1)
Định lí 2.3.1. Giả sử các giả thiết (A2.1), (A2.2) được thỏa mãn và −M là một
M-ma trận không suy biến. Khi đó, tồn tại các hằng số β > 0 và σ0 > 0 sao cho hai
nghiệm bất kì x(t) và x∗ (t) của (2.1) thỏa mãn đánh giá
x(t) − x∗ (t)



≤β

x(0) − x∗ (0)
(1 + t)σ0

(2.5)



với mọi t ∈ [0, ∞).
Nhận xét 2.3.1. Xét một quỹ đạo nghiệm cố định x∗ (t) của (2.1). Đánh giá (2.5) chỉ
ra rằng một quỹ đạo nghiệm bất kì x(t) của (2.1) sẽ có dáng điệu tương tự x∗ (t) khi
thời gian đủ lớn. Do đó, bó các quỹ đạo nghiệm của (2.1) cũng sẽ có dáng điệu tương
tự x∗ (t) khi t dần ra vô hạn. Trong lý thuyết hệ thống và điều khiển mạng, đặc tính
này thường được gọi là tính đồng bộ nghiệm.
Nhận xét 2.3.2. Hằng số σ0 trong chứng minh của Định lí 2.3.1 xác định tốc độ
đồng bộ kiểu lũy thừa đối với nghiệm của (2.1). Tốc độ đồng bộ σmax được cho bởi
thuật toán sau:
• Xác định vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, thỏa mãn Mξ ≺ 0;
• Tính

n

η = (−Mξ)l = min

i∈[n]

ξj bij Lfj + cij Lgj

ai ξi −

;

(2.6)

j=1

• Tốc độ đồng bộ kiểu lũy thừa σmax được tính lặp bởi
n

σ ln

Lgj cij ξj e

max σ > 0 : Hi (σ) = σξi +

1
qij

− 1 − η ≤ 0, ∀i ∈ [n].

(2.7)

j=1

2.4. Ví dụ minh họa
Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số ví dụ so sánh và mô phỏng số để minh
họa cho tính hiệu quả của các điều kiện ổn định đưa ra trong các mục trước.

13


Chương 3
TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ
MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tính tiêu hao của lớp
hệ phương trình vi phân dạng sau đây
n

x′i (t)

bij (t)fj (xj (t))

= −ai (t)xi (t) +
j=1
n

(3.1)
cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, i ∈ [n],

+
j=1

trong hai trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ ức chế nơron) thỏa mãn điều
kiện chính quy ai (t) ≥ ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến, tức là ai (t) > 0 và
inf t≥0 ai (t) = 0. Như đã trình bày sơ bộ ở Chương 1, cách tiếp cận dựa trên phương

pháp đổi biến hay sử dụng các biến thể của bất đẳng thức Halanay không còn phù
hợp với mô hình (3.1) bởi cấu trúc tự nhiên của nó. Vì vậy, để phân tích tính tiêu
hao của các hệ phương trình vi phân dạng (3.1), chúng tôi phát triển một số kĩ thuật
so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để thiết lập các điều kiện đảm bảo sự tồn tại
của các tập hấp thụ dạng mũ suy rộng. Nội dung của chương này được trình bày dựa
trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố.

3.1. Thiết lập sơ bộ
Xét hệ (3.1), ở đó x(t) = (xi (t)) ∈ Rn là vectơ trạng thái của các nơron, ai (t) ∈ R+ ,
i ∈ [n], là các hệ số tự phản hồi hay tốc độ tự ức chế của các nơron, bij (t) ∈ R và
cij (t) ∈ R là các trọng số liên kết nơron tại t, fj (.), gj (.), j ∈ [n], là các hàm kích hoạt

nơron, (Ii (t)) là vectơ đầu vào của hệ và qij ∈ (0, 1), i, j ∈ [n], là các hằng số biểu thị
trễ tỉ lệ. Điều kiện đầu của hệ (3.1) được cho bởi
xi (0) = x0i , i ∈ [n],

(3.2)

ở đó x0 = (x0i ) ∈ Rn là vectơ cho trước.
Giả thiết (A3.1): Tồn tại các hằng số Lfj ≥ 0, Lgj ≥ 0, j ∈ [n], thoả mãn
|fj (a) − fj (b)| ≤ Lfj |a − b|, |gj (a) − gj (b)| ≤ Lgj |a − b|

với mọi a, b ∈ R.
14

(3.3)


Giả thiết (A3.2): Các trọng số liên kế bij (t), cij (t), i, j ∈ [n], và tín hiệu đầu vào Ii (t),
i ∈ [n], là các hàm bị chặn, tức là tồn tại các hằng số bij , cij và I i , i, j ∈ [n], sao cho
|bij (t)| ≤ bij , |cij (t)| ≤ cij , |Ii (t)| ≤ I i , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n].

Định nghĩa 3.1.1. Một tập compact Ω ⊂ Rn được gọi là tập hút toàn cục đối với
(3.1) nếu nghiệm bất kì x(t) = x(t, x0 ) của (3.1) thỏa mãn
lim sup ρ(x(t), Ω) = 0,
t→∞

ở đó ρ(x, Ω) = inf y∈Ω x − y



là khoảng cách từ điểm x ∈ Rn đến Ω.

Định nghĩa 3.1.2. Tập compact Ω ⊂ Rn được gọi là hút mũ suy rộng đối với (3.1) nếu
tồn tại một hàm κ( x0

∞)

≥ 0, một hàm không giảm σ(t) ≥ 0, lim supt→∞ σ(t) = ∞,

sao cho nghiệm bất kì x(t) = x(t, x0 ) của (3.1) thỏa mãn
ρ(x(t), Ω) ≤ κ( x0

−σ(t)
,
∞ )e

(3.4)

t ≥ 0.

Nếu σ(t) = αt, ở đó α > 0 là hằng số, thì Ω được gọi là một tập hút mũ của (3.1).
Định nghĩa 3.1.3. Hệ (3.1) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại một tập bị
chặn B ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn , tồn tại t∗ = t∗ (B) có tính chất
với mọi vectơ ban đầu x0 ∈ B , quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t, x0 ) chứa trong B với
mọi t ≥ t∗ (B). Tập B như vậy được gọi là một tập hấp thụ của hệ (3.1).
Nhận xét 3.1.1. Nếu tồn tại một tập hút mũ suy rộng Ω và hàm κ(.) cho ở (3.4)
không giảm thì hệ (3.1) tiêu hao toàn cục. Thật vậy, nếu Ω là tập hút mũ suy rộng
của (3.1) thì với một tập bị chặn bất kì B ⊂ Rn , đặt r(B) = supx0 ∈B x0

∞,

ta có

ρ(x(t), Ω) ≤ κ(r(B))e−σ(t), t ≥ 0.

Cho trước ǫ > 0. Kí hiệu
Bǫ = {x ∈ Rn : ρ(x, Ω) ≤ ǫ}

thì rõ ràng Bǫ là tập bị chặn chứa quỹ đạo {x(t, x0 ) : t ≥ t∗ (B), x0 ∈ B}, ở đó
t∗ (B) = inf

t > 0 : σ(t) ≥ ln

κ(r(B))
ǫ

.

Do đó, Bǫ là một tập hấp thụ của (3.1) và hệ (3.1) tiêu hao toàn cục.

3.2. Tính tiêu hao toàn cục của mô hình (3.1)
3.2.1. Trường hợp hệ số phản hồi chính quy
Giả thiết (A3.3): Tồn tại các số dương ai , i ∈ [n], sao cho
ai (t) ≥ ai , ∀t ≥ 0, i ∈ [n].
15

(3.5)


Kí hiệu D = diag(a1 , a2 , . . . , an ) và M = D − BLf − CLg , ở đó B = (bij ), C = (cij ),
Lf = diag(Lf1 , Lf2 , . . . , Lfn ) và Lg = diag(Lg1 , Lg2 , . . . , Lgn ).

Định lí 3.2.1. Giả sử các giả thiết (A3.1)-(A3.3) được thỏa mãn. Khi đó, nếu M là
một M-ma trận không suy biến thì ta có các khẳng định sau:
(1) Tập Ω xác định bởi
x ∈ Rn : x

Ω=





γ
(Mχ)+

là một tập hút mũ suy rộng của hệ (3.1), ở đó χ ∈ Rn+ thỏa mãn χ
n
j=1 (bij |fj (0)| + cij |gj (0)|) + I i

Mχ ≻ 0 và γ = maxi∈[n]



= 1,

;

(2) Hệ (3.1) tiêu hao toàn cục.
Hệ quả 3.2.2. Với các giả thiết (A3.1)-(A3.3), nếu
n

n

ai >

bji + Lgi

Lfi

(3.6)

cji , i ∈ [n],
j=1

j=1

thì tập
Ω=

x ∈ Rn :

x





γ
σ∗

là tập hút mũ suy rộng của (3.1) và hệ (3.1) tiêu hao toàn cục, ở đó
n

n


σ = min

i∈[n]

ai − Lfi

bji −
j=1

Lgi

cji .
j=1

3.2.2. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến
Trong mục này chúng tôi thiết lập các điều kiện đảm bảo tính tiêu hao toàn cục
của hệ (3.1) trong trường hợp các hệ số phản hồi ai (t) không thỏa mãn điều kiện về
tính dương đều (chính quy).
Giả thiết (A3.4): Tồn tại một hàm ϕ(t) > 0 và các số dương aˆi , i ∈ [n], sao cho
t

t

ai (t) ≥ a
ˆi ϕ(t),

ϕ(s)ds < ∞,

sup
t≥0

qij t

ϕ(s)ds = ∞.

lim

t→∞

(3.7)

0

Giả thiết (A3.5): Tồn tại các hằng số ˆbij ≥ 0, cˆij ≥ 0 và Iˆi ≥ 0 sao cho
|bij (t)| ˆ
≤ bij ,
ai (t)

|cij (t)|
≤ cˆij ,
ai (t)

|Ii (t)|
≤ Iˆi , ∀i, j ∈ [n], t ≥ 0.
ai (t)

(3.8)

Nhận xét 3.2.1. Các giả thiết (A3.4) và (A3.5) hiển nhiên thỏa mãn với ˆbij = bij a−1
i ,
cˆij = cij a−1
i , i, j ∈ [n], và ϕ(t) =

1
1+t

nếu các giả thiết (A3.2) và (A3.3) được thỏa mãn

(trường hợp hệ số phản hồi chính quy). Vì vậy, (A3.4) và (A3.5) là các điều kiện mở
rộng của các giả thiết (A3.2) và (A3.3).
16


Chúng tôi kí hiệu các ma trận sau đây
B = (ˆbij ),

C = (ˆ
cij ),

H = En − (BLf + CLg ),

ở đó, để phân biệt, chúng tôi kí hiệu En là ma trận đơn vị trong Rn×n .
Định lí 3.2.3. Giả sử các giả thiết (A3.1), (A3.4), và (A3.5) được thỏa mãn và H
là một M-ma trận không suy biến. Khi đó, hệ (3.1) tiêu hao toàn cục và hình cầu
γˆ
B 0, m
ˆ +ǫ

là một tập hấp thụ của (3.1) với bất kì ǫ > 0 cho trước, ở đó
n

m
ˆ = (Hη)+ ,

γˆ = max
i∈[n]

và η ∈ Rn là một vectơ thỏa mãn η



(ˆbij |fj (0)| + cˆij |gj (0)|)

Iˆi +
j=1

= 1 và Hη ≻ 0.

Kết quả sau đây suy trực tiếp từ chứng minh của Định lí 3.2.3.
Hệ quả 3.2.4. Với các giả thiết (A3.1), (A3.4) và (A3.5), nếu H là một M-ma trận
không suy biến thì bó các nghiệm của (3.1) đồng bộ toàn cục. Cụ thêt hơn, bất kì hai
nghiệm x(t) và x∗ (t) của (3.1) thỏa mãn đánh giá
x(t) − x∗ (t)





1
x(0) − x∗ (0)
η+

ở đó η ∈ Rn là một vectơ thỏa mãn η



−λ0
∞e

t
0 ϕ(s)ds

, t ≥ 0,

(3.9)

= 1 và Hη ≻ 0.

Trong phần cuối của mục này chúng tôi xét bất đẳng thức kiểu Halanay với trễ
tỉ lệ dạng

n
+

D u(t) ≤ −a(t)u(t) +

bj (t)u(qj t) + d(t), t > 0,

(3.10)

j=1

ở đó a(t) > 0, bj (t), j ∈ [n], và d(t) là các hàm liên tục, qj ∈ (0, 1), j ∈ [n], là các hằng
số.
Hệ quả 3.2.5. Cho u(t) là một hàm không âm thỏa mãn (3.10). Giả sử rằng tồn tại
các hằng số l > 0, µ0 ∈ (0, 1), µ1 ≥ 0, một hàm as (t) > 0 và một t0 > 0 thỏa mãn các
điều kiện sau
(3.11a)

a(t) ≥ las (t), t ≥ t0 ,
t

t
t≥t0

as (θ)dθ = ∞,

as (θ)dθ < ∞, lim

sup
qj t

t→∞

(3.11b)

0

n

|bj (t)| − µ0 a(t) ≤ 0, |d(t)| ≤ µ1 a(t), t ≥ t0 .

(3.11c)

j=1

Khi đó, u(t) hội tụ dạng mũ suy rộng đến ngưỡng
17

µ1
. Cụ thể hơn, tồn tại một số
1 − µ0


dương λ˜ sao cho u(t) thỏa mãn đánh giá
u(t) ≤

µ1
µ1
˜
+ max u(0) −
, 0 e−λ
1 − µ0
1 − µ0

t
0 as (θ)dθ

, t ≥ 0.

(3.12)

3.3. Ví dụ minh họa
Mục này trình bày một số ví dụ mô phỏng các kết quả phân tích lý thuyết trình
bày ở các mục trước.

18


Chương 4
TÍNH HÚT TOÀN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA
MỘT MÔ HÌNH NICHOLSON CÓ TRỄ
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy nhất và tính hút toàn
cục của nghiệm tuần hoàn dương đối với mô hình Nicholson có trễ
p

βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t))



N (t) = −D(t, N(t)) +

(4.1)

k=1

với tốc độ suy giảm dân số phi tuyến (nonlinear density-dependent mortality term)
D(t, N) = a(t) −b(t)e−N . Dựa trên một số kĩ thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức

vi-tích phân, trước hết chúng tôi thiết lập các điều kiện bền vững (permanence) và
tiêu hao đều của mô hình Nicholson (4.1). Trên cơ sở tính tiêu hao và bền vững đều,
chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương
duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4.1). Áp dụng kết quả tổng quát
cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu được một số kết quả về sự
tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương của mô hình tương
ứng. Nội dung chương này dựa trên bài báo [3] trong danh mục công trình công bố.

4.1. Kết quả sơ bộ
Xét mô hình Nicholson có trễ dạng
p

βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t)) , t ≥ t0 ,



N (t) = −D(t, N(t)) +

(4.2)

k=1

(4.3)

N(t) = ϕ(t), t ∈ [t0 − τM , t0 ],

ở đó hàm tốc độ suy giảm dân số D(t, N) có dạng
D(t, N) = a(t) − b(t)e−N

(4.4)

với τM = max1≤k≤p τk+ là cận trên của độ trễ.
Giả thiết (A):

(A4.1) a, b, γk : [0, ∞) → (0, ∞), βk : [0, ∞) → [0, ∞) và τk : [0, ∞) → [0, τM ] là các
hàm liên tục và bị chặn, ở đó τM là một hằng số dương.
(A4.2) Tồn tại ω > 0 sao cho a(.), b(.), βk (.), γk (.) và τk (.) thuộc vào Pω (R+ ).
19


Điều kiện (C):
(C4.1) a) b(t) ≥ a(t) ≥ a− > 0, b) θ
(C4.2) lim sup
t→∞

(C4.3)

b−

1
a(t)

− a+

k=1

> 0,

p

(C4.4)

p

βk+ max
k=1

βk (t)
= σ,
γk (t)
1
a −
e

1 1 − γk− r∗
,
γk− r∗
e2
e

t→∞

1−
p



̺

lim inf

k=1

<

b(t)
> 1.
a(t)

σ
> 0.
e

β+
> 0.
γk−
̺b−
,
b+

r∗ = ln

b−
a+

.

Điều kiện
(A4.1), (C4.1)

Kết quả
Tính bền vững đều C0+ , lim inf t→∞ N (t, t0 , ϕ) ≥ ln(θ)

(A4.1), (C4.1a), (C4.2)

Tính tiêu hao đều trong C0+ , lim supt→∞ N (t, t0 , ϕ) ≤ ln

(A4.1), (C4.3)
(A4.1), (A4.2), (C4.3)
và (C4.4)

ln ab + ≤ lim inf t→∞ N (t, t0 , ϕ) ≤ lim supt→∞ N (t, t0 , ϕ)
Tồn tại duy nhất nghiệm ω-tuần hoàn dương N ∗ (t)
và tính hút toàn cục của N ∗ (t) trong C0+ .


b+
a− (1− σ
e)
+
≤ ln b̺

Diễn giải ý nghĩa sinh học, ta thấy rằng khi dân số suy thoái thì tỉ lệ tiêu vong
không dương (D(t, 0) ≤ 0) và D(t, N) luôn dương khi N > 0. Điều này dẫn đến điều
kiện (C4.1). Mặt khác, trong hầu hết các mô hình dân số, luôn tồn tại một ngưỡng
dân số liên quan đến sức chứa môi trường (carrying capacity). Khi dân số rất lớn,
vượt quá sức chứa môi trường, thì tốc độ tiêu vong có thể lớn hơn tốc độ sinh cực
βk (t)
diễn tả tốc độ sinh cực đại của mô hình (4.2). Thêm
γk (t)e
nữa, khi N rất lớn D(t, N) xấp xỉ a(t). Với các quan sát này chúng tôi đặt điều kiện
βk (t)
p
k=1 γ (t)e < a(t). Điều này tiết lộ lí do việc thiết lập điều kiện (C4.2) khi nghiên
k

đại. Đại lượng

p
k=1

cứu dáng điệu tiệm cận của mô hình. (C4.3) là dạng điều kiện để kiểm chứng của
(C4.2) và (C4.1a) khi xét đến cận trên của các hệ số về tốc độ. Trong khi điều kiện
(C4.3) chỉ đảm bảo sự không tuyệt chủng cũng như không bùng nổ dân số, điều kiện
(C4.4) tiết lộ rằng khi tốc độ đẻ trứng hàng ngày cực đại bé hơn khoảng cách giữa
tốc độ sinh và tốc độ tử vong cực đại (i.e. ̺ = a− −

1
e

p
k=1

β+
) thì dân số có thể sẽ
γk−

ổn định quanh một quỹ đạo tuần hoàn trong môi trường phát triển tuần hoàn (hệ số
tuần hoàn) hoặc quanh một điểm cân bằng dương (với mô hình bất biến).

4.2. Nghiệm dương toàn cục và tính bền vững
4.2.1. Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục
Trong mục này chúng tôi chỉ ra rằng các nghiệm của (4.2)-(4.4) xuất phát từ
tập chấp nhận được C0+ là các nghiệm dương và tồn tại toàn cục.
20


Định lí 4.2.1. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn và b(t) ≥ a(t) với mọi t ∈
[0, ∞). Khi đó, với bất kì ϕ ∈ C0+ , nghiệm N(t, t0 , ϕ) của bài toán (4.2)-(4.4) thỏa mãn
N(t, t0 , ϕ) > 0, t ∈ [t0 , η(ϕ)), và xác định toàn cục, tức là, η(ϕ) = ∞.

Nhận xét 4.2.1. Để đảm tính dương của nghiệm của (4.2)-(4.4) với các điều kiện
đầu trong C0+ , điều kiện b(t) ≥ a(t) không thể bỏ được. Để cho một phản ví dụ, ta xét
n = 1 và giả sử rằng
sup
t≥0

t

b(t)
= δ ∈ [0, 1),
a(t)

a(s)ds → ∞, t → ∞.
0

Khi đó,
ϕ(0)−

N(t, t0 , ϕ) ≤ ln e

t
t0

a(s)ds



+δ 1−e

t
t0

→ ln(δ) < 0 khi t → ∞.

a(s)ds

4.2.2. Tính bền vững đều
Trong mục này chúng tôi đưa ra điều kiện và chứng minh tính bền vững của mô
hình (4.2).
Định lí 4.2.2. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn, b(t) ≥ a(t) ≥ a− > 0 và
lim inf
t→∞

b(t)
≥ eℓm > 1.
a(t)

(4.5)

Khi đó, với bất kì ϕ ∈ C0+ , ta có
lim inf N(t, t0 , ϕ) ≥ ℓm > 0.
t→∞

Nhận xét 4.2.2. Một trường hợp đặc biệt của (4.5), với các hàm bị chặn a(.), b(.),
nếu b− > a+ thì hằng số ℓm trrong (4.5) có thể cho bởi
ℓm = ln

b−
a+

.

Kết quả sau đây chỉ ra tính tiêu hao đều của hệ (4.2)-(4.4) trong C0+ theo nghĩa
tồn tại một hằng số ℓM > 0 sao cho lim supt→∞ N(t, t0 , ϕ) ≤ ℓM .
Định lí 4.2.3. Giả sử giả thiết (A4.1) và các điều kiện sau được thỏa mãn
(4.6)

b+ ≥ b(t) ≥ a(t) ≥ a− > 0, t ∈ [0, ∞),
1
lim sup
t→+∞ a(t)

p

k=1

βk (t)
σ
= σ, 1 − > 0.
γk (t)
e

(4.7)

Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) tiêu hao đều trong C0+ . Cụ thể hơn, với bất kì hàm ban đầu
ϕ ∈ C0+ , nghiệm tương ứng N(t, t0 , ϕ) của (4.2)-(4.4) thỏa mãn
lim sup N(t, t0 , ϕ) ≤ ℓM
t→∞

21

ln

a−

b+
1−

σ
e

.


Hệ quả 4.2.4. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn, ở đó a, b, βk và γk là các hàm
bị chặn, γk− > 0. Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
̺

1
a −
e

p

βk+

> 0,

(4.8a)

b− − a+ > 0,

(4.8b)



k=1

γk−

thì với mọi ϕ ∈ C0+ ta có
ln

b−
a+

≤ lim inf N(t, t0 , ϕ) ≤ lim sup N(t, t0 , ϕ) ≤ ln
t→∞

t→+∞

b+
̺

.

(4.9)

4.3. Tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương
Trong mục này chúng tôi giả sử rằng các giả thiết (A4.1), (A4.2) và các điều
kiện (4.8a)-(4.8b) được thỏa mãn. Để tiện sử dụng, chúng tôi kí hiệu
r∗ = ln

Chu ý rằng, do (4.8b),

b−
a+
b−
a+



, r = ln

b+
̺

, νk = max

1 1 − γk− r∗
,
e2 eγk− r∗

.

> 1 và do đó r∗ > 0. Thêm nữa, do điều kiện r∗ <

1
max γk−

không được áp đặt nên 1−γk− r∗ có thể là số dương, âm hoặc bằng không. Với 1 ≤ k ≤ p
mà 1 − γk− r∗ ≤ 0, ta có νk =

1
.
e2

Định lí dưới đây chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của nghiệm
tuần hoàn dương đối với hệ (4.2)-(4.4).
Định lí 4.3.1. Giả sử các giả thiết (A4.1), (A4.2), các điều kiện (4.8a), (4.8b) và các
điều kiện sau được thỏa mãn
inf 1 − τk′ (t) = µ > 0,

t≥0
p

νk βk+ < µ
k=1

̺b−
,
b+

(4.10)
(4.11)

ở đó ̺ được định nghĩa ở (4.8a). Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có duy nhất một nghiệm
ω -tuần hoàn dương N ∗ (t) hút toàn cục trong C0+ .

Nhận xét 4.3.1. Các điều kiện (4.10) và (4.11) bị ràng buộc bởi hằng số µ > 0 liên
quan đến tốc độ độ biến của các hàm τk (t). Tuy nhiên, hằng số này có thể bỏ được
và các điều kiện (4.10), (4.11) trở thành điều kiện sau
p

νk βk+ <
k=1

̺b−
.
b+

Chính xác hơn, chúng tôi sẽ phát biểu trong định lí dưới đây.
22

(4.12)


Định lí 4.3.2. Với các giả thiết (A4.1), (A4.2), giả sử các điều kiện (4.8a), (4.8b) và
(4.12) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có một nghiệm ω -tuần hoàn dương duy
nhất N ∗ (t) hút toàn cục trong C0+ .

4.4. Điểm cân bằng dương và tính hút toàn cục
Trong mục này chúng tôi áp dụng kết quả tổng quát trình bày ở các mục trước
cho mô hình Nicholson mô tả bởi
p

βk N(t − τk (t))e−γk N (t−τk (t)) , t ≥ t0 ≥ 0,



N (t) = −D(N(t)) +

(4.13)

k=1

ở đó βk ≥ 0, γk > 0 là các hệ số biết trước,

p
k=1 βk

> 0. Hàm tốc độ suy giảm dân số

được cho bởi D(N) = a − be−N với a > 0 và b > 0 là các hằng số. Trễ biến thiên τk (t)
là các hàm liên tục với giá trị trong đoạn [0, τM ].
Đối với (4.13), các điều kiện (4.8a) và (4.8b) được quy về điều kiện kép sau đây
1
e

p

βk
< a < b.
γk

k=1

(4.14)

Mệnh đề 4.4.1. Giả sử điều kiện (4.14) được thỏa mãn. Khi đó, với bất kì ϕ ∈ C0+ ,
ta có
ln

b
a

≤ lim inf N(t, t0 , ϕ) ≤ lim sup N(t, t0 , ϕ) ≤ ln
t→+∞

t→+∞

b
a−

1
e

p
βk
k=1 γk

.

(4.15)

Định lí 4.4.2. Giả sử rằng
q

βk
k=1

ở đó
νˆk = max

νˆk +

1
eγk

< a < b,

(4.16)

1 1 − γk ln( ab )
.
,
b
e2
eγk ln( a )

Khi đó, mô hình (4.13) có điểm cân bằng duy nhất N ∗ hút toàn cục trong C0+ .

4.5. Ví dụ và mô phỏng
Mục này trình bày hai ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết đưa ra trong
chương này.

23


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×