Tải bản đầy đủ

CHUYÊN ĐỀ 1 - BÀI TOÁN RÚT GỌN & CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN (chủ đề 5,6,7)

1
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

CHỦ ĐỀ 5
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI CƠ BẢN
A/ CÁC DẠNG TOÁN.
I/ DẠNG 1:

f (x) = e với e ≥ 0 là hằng số.

ax + b
1/ Trường hợp: f(x) = ax + b hoặc f(x) = cx + d thì:
Bước 1: Giải điều kiện f(x) ≥ 0 để tìm điều kiện của x
Nếu f(x) có dạng phân thức thì cần thêm điều kiện mẫu khác 0.
Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)


2x − 1 = 3

b)

x −1
=6
2x + 3

c)

2x − 3
=2
x −1

d)

2x − 3
=2
x −1

Hướng dẫn giải

1
2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ .
2
a) Điều kiện:
2x − 1 = 3 ⇒ 2x − 1 = 9

⇔ x = 5 (Thỏa mãn ĐK)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 5.

  x − 1 ≥ 0 va 2x + 3 > 0
 x −1
x ≥ 1

≥0

  x − 1 ≤ 0 va 2x + 3 < 0
⇔
⇔
 2x + 3
 x < −3
−3
2x + 3 ≠ 0


2
 x ≠ 2
b) Điều kiện:
x −1
x −1
=6⇒
= 36
2x + 3
2x + 3

⇔ x − 1 = 72x + 108
⇔ 71x = −109
⇒x=

−109
71 (Thỏa mãn ĐK)

1

1


2
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm

x=

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

−109
71

  2x − 3 ≥ 0 va x − 1 > 0
3
 2x − 3

≥0
x



⇔   2x − 3 ≤ 0 va x − 1 < 0 ⇔ 
2
 x −1

 x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
x < 1

c) Điều kiện:
2x − 3
2x − 3
=2⇒
=4
x −1
x −1

⇔ 2x − 3 = 4x − 4 ⇔ 2x = 1 ⇒ x =

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm

1
2 (Thỏa mãn).
x=

1
2

3

2x − 3 ≥ 0
3
x ≥
⇔
2⇔x≥

2
x − 1 > 0

x > 1
d) Điều kiện:
2x − 3
2x − 3
1
=2⇒
= 4 ⇔ 2x − 3 = 4x − 4 ⇔ 2x = 1 ⇒ x =
x −1
2 (loại)
x −1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2/ Trường hợp: f(x) = ax2 + bx + c thì kiểm tra biểu thức f(x)
* Nếu

f (x) = ax 2 + bx + c = ( Ax ± B )

2

tức là có dạng hằng đẳng thức thì: KHAI

CĂN.

 Ax ± B = e
Ax ± B = e ⇔ 
 Ax ± B = −e ⇒ Tìm được x
Phương trình 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

x 2 − 4x + 4 = 3 .

Hướng dẫn giải
Vì x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, ta có:
PT ⇔

( x − 2)

2

x − 2 = 3 x = 5
x−2 =3⇔ 
⇔
=3
x

2
=

3

 x = −1


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 5 ; x = −1.
2
* Nếu f (x) = ax + bx + c không có dạng hằng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG 2

VẾ.

2

2


3
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Bước 1: Viết điều kiện f(x) ≥ 0.
Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
Bước 3: Giải phương trình bậc hai có được bằng cách: Phân tích thành nhân tử,
đưa về phương trình tích.

x 2 − 4x − 6 = 15

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

Hướng dẫn giải
Nhận xét: x2 – 4x – 6 không có dạng (Ax ± B) 2 nên ta không đưa được về phương
trình trị tuyệt đối như Ví dụ 2.
Điều kiện: x2 – 4x – 6 ≥ 0
Bình phương hai vế phương trình ta được:
x2 – 4x – 6 = 15  x2 – 4x – 21 = 0  (x – 7) (x + 3) = 0
 x = 7 hoặc x = - 3
Thay x tìm được vào điều kiện ta thấy cả x = 7 và x = - 3 đều thỏa mãn
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 7 ; x = - 3
(x − 2)(x + 3) = 5

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

Hướng dẫn giải
Nhận xét: Nhìn Ví dụ 4 có vẻ khác với dạng Ví dụ 3 nhưng thực ra là cùng một
dạng
Vì f(x) = (x – 2)(x + 3) = x2 + x – 6
Do đó cách giải tương tự Ví dụ 3:

Điều kiện: (x – 2)(x + 3) ≥ 0

 x − 2 ≥ 0
x ≥ 2


x ≥ 2
x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3


⇔
⇔
 x − 2 ≤ 0
x ≤ 2
 x ≤ −3


  x + 3 ≤ 0
  x ≤ −3

Bình phương hai vế phương trình ta được:
(x – 2)(x + 3) = 25

⇔ x2 + x – 6 = 25  x2 + x – 31 = 0
1
1
⇔ (x2 + x + 4 ) - 4 – 31 = 0
2

1

125
x + ÷
2 ) - 4 = 0
⇔

3

3


4
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

1
15

x
+
=

1  125

2
2 ⇔  x = 7 (t / m)
⇔
x + ÷ =
 x = −8 (t / m)
2
4


 x + 1 = − 15

2
2

2

Vậy phương trình có nghiệm x = 7 ; x = - 8
II/ DẠNG 2: Phương trình

f (x) = g(x) .

f (x) ≥ 0

Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: g(x) ≥ 0
- Nếu f(x) hoặc g(x)có dạng phân phức thì cần thêm điều kiện mẫu thức
khác 0.
- Nếu f(x) có dạng (Ax ± B)2 thì chỉ cần điều kiện g(x) ≥ 0
Bước 2: Nhận dạng từng loại từng dạng tương ứng với phương pháp giải sau:
* LOẠI 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì KHAI CĂN đưa
về phương trình trị tuyệt đối để giải.
* LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp
BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
* LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C (không có dạng hằng đẳng thức

( Ax ± B)

2

) và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
* LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân

tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa
về phương trình tích.
Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện không, rối kết
luận nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình:

( 2x + 3)

2

= x −5

Hướng dẫn giải
Điều kiện: x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5
x = − 8
 2x + 3 = x − 5
2x + 3 = x − 5 ⇔ 
⇔
x = 2
2x
+
3
=

(x

5)

3

PT ⇔

Kết hợp điều kiện

4

4


5
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

=> Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 6: Giải phương trình:

x 2 − 6x + 9 = x + 7
Hướng dẫn giải

Nhận xét: x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 dạng bình phương một hiệu.
Điều kiện: x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ −7

x − 3 = x + 5
x ∈ ∅
x −3 = x +7 ⇔ 
⇔
 x − 3 = −(x + 5)
 x = −1
PT ⇔
Kết hợp điều kiện => Phương trình có nghiệm x = - 1.
Ví dụ 7: Giải phương trình:

2x − 3 = x − 1
Hướng dẫn giải

3

2x − 3 ≥ 0
3
x ≥
⇔
2⇔x≥

2
x − 1 ≥ 0

x

1

Điều kiện:

Bình phương hai vế ta có:

2x − 3 = x 2 − 2x + 1 ⇔ x 2 − 4x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 2
2

Theo điều kiện ⇒ Phương trình có nghiệm x = 2.
Ví dụ 8: Giải phương trình:

x 2 − 5x − 6 = x − 2
Hướng dẫn giải

Nhận xét: f(x) = x2 – 5x – 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B) 2 nên để phá
căn ta dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
 x 2 − 5x − 6 ≥ 0

Điều kiện:  x − 2 ≥ 0
2
2
PT  x − 5x − 6 = x − 4x + 4 ⇔ x = −10

Thay x = - 10 vào điều kiện thấy không thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm.
III/ DẠNG 3: Phương trình

[ f (x)]

2

±

[ h(x)]

2

= g(x)

.

Bước 1: Nếu bản thân f(x) và g(x) có chứa căn bậc hai thì có điều kiện trong
căn.

5

5


6
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Nếu f(x), g(x) là phân thức thì cần thêm điều kiện mẫu khác 0.
Bước 2: Đưa phương trình về dạng phương trình trị tuyệt đối.

f (x) ± h(x) = g(x)
Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối và giải phương trình.

x + 4 − 4 x − x + 9 − 6 x =1

Ví dụ 9: Giải phương trình

Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≥ 0.
Nhận thấy:

x +4−4 x =

PT ⇔

(

x −2

)

2



x +9−6 x =

(

x −3

)

2

x − 2 − x −3 =1

 x − 2 ≥ 0
⇔ x ≥3⇔ x≥9

x

3

0
TH1: Nếu 
ta có:
0. x = 0 => Mọi x ≥ 0 thỏa mãn.
Kết hợp với x ≥ 9 thì mọi x ≥ 9 là nghiệm của phương trình.
x ≥ 4
 x − 2 ≥ 0
⇔

 x < 9 ta có:
TH2: Nếu  x − 3 < 0

(

) (

)

x − 2 − 3− x =1⇔ 2 x = 6 ⇔ x = 9

(Loại)

 x − 2 < 0
x < 4
⇔
⇔ x ∈∅

x

9
x

3

0


TH3: Nếu 
 x − 2 < 0
⇔ x <2⇔x<4

TH4: Nếu  x − 3 < 0
ta có

( 2 − x ) − ( 3 − x ) = 1 ⇔ 0.

x =2

⇒ Pt có vô nghiệm

Kết luận: Vậy mọi x ≥ 9 là nghiệm của.
IV/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
1/ PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai hoặc phương trình
đơn giản hơn.

6

6


7
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Ví dụ 10: Giải phương trình x – 5 x + 6 = 0
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≥ 0
Đặt

x = t ≥ 0 ⇒ t 2 = x , ta có phương trình: t 2 – 5t + 6 = 0 (Cách giải phương

trình bậc 2 chúng ta sẽ được học trong chương sau).
Với phương trình này chúng ta cũng hoàn toàn có thể phân tích vế trái thành
nhân tử để đưa về phương trình tích:
 x = 2 x = 2
 t = 2 (t / m)
t 2 – 5t + 6 = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t − 3) = 0 ⇒ 
⇔
⇒
x
=
3
 t = 3 (t / m)
x = 9

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 ; x = 9.
Ví dụ 11: Giải phương trình:

x +1 + x + 6 = 5
Hướng dẫn giải

x + 1 ≥ 0
⇔ x ≥ −1

x
+
6

0

Điều kiện:
Đặt

x + 1 = t ≥ 0 => x + 1 = t2, ta có phương trình:

t2 + 5 = 5 − t

(*)

Phương trình (*) thuộc phương trình LOẠI 3 – DẠNG 2:
Điều kiện (*) là: 5 – t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5, nên 0 ≤ t ≤ 5.
BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ của (*) ta có: t = 2 (thỏa mãn ĐK)

⇒ x +1 = 2 ⇔ x +1 = 4 ⇔ x = 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
2
2
Ví dụ 12: Giải phương trình x − 2x + 3 x − 2x − 3 = 7 .

Hướng dẫn giải
Điều kiện: x2 – 2x – 3 ≥ 0
2
2
PT ⇔ x − 2x + 3 + 3 x − 2x − 3 − 10 = 0
2
2
2
t
=
x

2x

3

0

t
=
x
− 2x − 3 ta có:
Đặt

t = 2
⇔
 t = −5
t2 + 3t – 10 = 0 ⇔ (t – 2)(t + 5) = 0

7

7


8
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Với t = - 5 (loại)
2
Với t = 2 => x − 2x − 3 = 4  x2 – 2x – 7 = 0 ⇔ (x2 – 2x + 1) – 8 = 0

x −1 = 2 2
x = 1 + 2 2
⇔

 x = 1 − 2 2
⇔ (x – 1)2 = 8  x − 1 = −2 2

(thỏa mãn điều kiện)

2/ PHƯƠNG PHÁP đánh giá biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc nhỏ hơn một
hằng số.
Áp dụng với phương trình:

[ f (x)]

2

+c +

[ h(x) ]

2

+ d = ± [ g(x) ] + e
2

với

c > 0

d > 0
c + d = e


Thường thì chúng ta chưa nhìn thấy ngay dạng phương trình này, tuy nhiên đôi
khi tách một hệ số nào đó mới có [f(x)]2 ; [h(x)]2 và [g(x)]2
Ví dụ 13: Giải phương trình

3x 2 + 6x + 12 + 5x 4 − 10x 2 + 30 = 8
Hướng dẫn giải

Nhận xét:
3x2 + 6x + 12 = 3(x2 + 2x + 1) + 9 = 3(x + 1)2 + 9 ≥ 9

⇒ 3x 2 + 6x + 12 ≥ 3
5x4 – 10x2 + 30 = 5(x2 – 2x + 1) + 25 = 5(x – 1)2 + 25 ≥ 25

⇒ 5x 4 − 10x 2 + 30 ≥ 5
Do đó:

3x 2 + 6x + 12 + 5x 4 − 10x 2 + 30 ≥ 8
Phương trình thỏa mãn
2

 3x 2 + 6x + 12 = 3
x + 1 = 0
3 ( x + 1) + 9 = 9
⇔
⇔

⇔ x = −1

2
2
2
 x -1 = 0
 5x 4 − 10x 2 + 30 = 5
5 ( x -1) + 25= 25

Vậy phương trình có nghiệm x = - 1
Ví dụ 14: Giải phương trình:

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 − 2x − x 2
Hướng dẫn giải

Nhận xét:

8

8


9
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

3x2 + 6x + 7 = 3(x2 + 2x + 1) + 4 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4

⇒ 3x 2 + 6x + 7 ≥ 2
5x2 + 10x + 14 = 5(x2 – 2x + 1) + 9 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9

⇒ 5x 2 + 10x + 14 ≥ 3
4 – 2x – x2 = 5 – (x2 + 2x + 1) = 5 – (x + 1)2 ≤ 5
 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 ≥ 5

2
Khi đó: 4 − 2x − x ≤ 5
Phương trình thỏa mãn

 3x 2 + 6x + 7 = 2


⇔  5x 2 + 10x + 14 = 3
4 − 2x − x 2 = 5

⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1
Vậy phương trình có nghiệm x = - 1
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)

3x − 1 = 4

2)

−3x + 4 = 12

3)

2 x2 − 9 = − x

4)

(

5)

x 2 − 8 x + 16 = 4

6)

9 ( x − 1) = 21

7)

12 x + 5
=2
3

8)

1
− 2x = 3
4

9)

2 − 3 x = 10

10)

4x = 5

12)

−4 x 2 + 25 = x

14)

4( 1− x) − 3 = 0

11)

5x + 3 = 3 − 2

13)

4 − 5 x = 12

)(

)

x +7 =2

2

15) 16 x = 8

17)

x −7

16)

−3
=2
2+ x

18)

9

5 − 3x = 8 + 2 15
3x 2 − 5 = 2

9


10
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

( x − 3) = 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

2

19)

21) 4 x − 20 − 3
23)

20)

x−5
= 1− x
9

−6
=5
1+ x

22) 4 x + 8 + 2 x + 2 − 9 x + 18 = 1

x 2 − 6 x + 9 + x = 11

24) 3 x 2 − 4 x + 3 = 1 − 2 x

25) 16 ( x + 1) − 9 ( x + 1) = 4

26)

9x + 9 + 4x + 4 =

x +1

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
c)

9x − 7
= 7x + 5
7x
+
5
b)

4x − 9 = 2 2x + 3
2

4x − 20 + 3

x −5 1

9x − 45 = 4
9
3

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)

(x − 3)2 = 3 − x

2
c) 1 − 12x + 36x = 5

e)

x − 2 x −1 = x −1 −1

b)

4x 2 − 20x + 25 + 2x = 5

d)

x + 2 x −1 = 2

f)

1
1 1
x2 − x +
= −x
2
16 4

Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)

2x + 5 = 1 − x

b)

x2 − x = 3 − x

c)

2x 2 − 3 = 4x − 3

d)

x2 − x − 6 = x − 3

e)

2x − 1 = x − 1

Bài 5: Giải các phương trình sau:
a)

x2 + x = x

2
b) 1 − x = x − 1

c)

x 2 − 4x + 3 = x − 2

d)

e)

x2 − 4 − x + 2 = 0

2
f) 1 − 2x = x − 1

x2 −1 − x2 +1 = 0

Bài 6: Giải các phương trình sau:
a)

x 2 − 2x + 1 = x 2 − 1

b)

10

4x 2 − 4x + 1 = x − 1

10


11
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

c)

x − 2x + 1 = x − 1

d)

e)

x 4 − 8x 2 + 16 = 2 − x

f)

4

2

x2 + x +

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

1
=x
4

9x 2 + 6x + 1 = 11 − 6 2

Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) 3x + 1 = x + 1

2
b) x − 3 = x − 3

d)

x 2 − 4x + 4 = 4x 2 − 12x + 9

2
a) x − 1 + x + 1 = 0

b)

x 2 − 8x + 16 + x + 2 = 0

2
c) 1 − x + x + 1 = 0

d)

x 2 − 4 + x 2 + 4x + 4 = 0

b)

4x 2 − 20x + 25 + 2x = 5

d)

x + 2 x −1 = 2

c)

9x 2 − 12x + 4 = x 2

Bài 8: Giải các phương trình sau:

Bài 9: Giải các phương trình sau:
a)

(x − 3)2 = 3 − x

2
c) 1 − 12x + 36x = 5

2
2
Bài 10: Giải các phương trình sau: x − 4 + x + 4x + 4 = 0

Bài 11: Giải phương trình:
Bài 12: Giải phương trình:

x 2 − 6x + 3 x 2 − 6x + 7 = −3
x + 4 − 1− x = 1− 2x

2
Bài 13: Giải phương trình: x − 2 − 3 x − 4 = 0

Bài 14: Giải phương trình: x + 2 + 2 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 = 2 x + 2 − 2 x + 1 .
Bài 15: Giải phương trình: x − 2 + 2 x − 5 + x + 2 + 3 2 x − 5 = 7 2
Bài 16: Giải phương trình:

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

6
8
+
=6
2−x
Bài 17: Giải phương trình : 3 − x

C/ HƯỚNG DẪN GIẢI.
Bài 1:
1) Điều kiện:

3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

1
3

11

11


12
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

3x − 1 = 4 ⇔ 3 x − 1 = 4 ⇔ 3 x − 1 = 16 ⇔ 3 x = 17
2

x=

Vậy

⇔x=

17
(tm)
3

17
3

2) Điều kiện:

−3 x + 4 ≥ 0 ⇔ −3 x ≥ −4 ⇔ x ≤

4
3

−3 x + 4 = 12 ⇔ −3 x + 4 = 12 2 ⇔ −3 x + 4 = 144 ⇔ −3 x = 140
⇔x=

x=

Vậy

−140
( tm )
3

−140
3


x ≥
9
2
2
2x − 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ ⇔ 
2
x ≤

3) Điều kiện:

9
2
−9
2

− x ≥ 0
x ≤ 0
2x − 9 = − x ⇔  2
2 ⇔ 
2
2
2 x − 9 = ( − x )
2 x − 9 = x
2

x ≤ 0
x ≤ 0
⇔ 2
⇔
⇔ x = −3
 x = ±3
x = 9
(tmđk.

Vậy x = −3
4)

(

x −7

)(


x ≥ 0

x −7
Điều kiện: 

(

)

x +7 =2

)(

x ≥ 0
⇔
⇔ x ≥ 49
x +7 ≥0
 x − 49 ≥ 0

)

⇔ x − 7 = 2 ⇔ x − 7 = 22 ⇔ x = 11 (không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.

x 2 − 8 x + 16 = ( x − 4 ) ≥ 0 ∀x ∈ ¡
2

5) Ta có:

x 2 − 8 x + 16 = 4 ⇔

( x − 4)

2

= 4 ⇔ x − 4 = 4 ⇔ x − 4 = ±4

Khi x − 4 = 4 ⇔ x = 8
Khi x − 4 = −4 ⇔ x = 0

12

12


13
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

Vậy

x ∈ { 8;0}

6)

9 ( x − 1) = 21

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

⇔ 3 x − 1 = 21 ⇔ x − 1 = 7 ⇔ x − 1 = 7 2 ⇔ x − 1 = 49 ⇔ x = 50 ( tm )
Vậy x = 50

7)

12 x + 5
=2
3

12 x + 5
−5
≥ 0 ⇔ 12 x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥
3
12
Điều kiện:

Vậy



12 x + 5
7
= 22 ⇔ 12 x + 5 = 4.3 ⇔ 12 x = 7 ⇔ x = ( tm )
3
12

x=

7
12

1
1
1
− 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ ⇔ x ≤
4
8
8) Điều kiện: 4

1
− 2x = 3
4

Vậy



1
1
1
−45
−35
− 2 x = 32 ⇔ − 2 x = 9 ⇔ 2 x = − 9 ⇔ 2 x =
⇔ x=
( tm )
4
4
4
4
8

x=

−35
8

9) Điều kiện:

2 − 3x ≥ 0 ⇔ 3x ≤ 2 ⇔ x ≤

2
3

2 − 3 x = 10
⇔ 2 − 3 x = 10 2 ⇔ 2 − 3 x = 100 ⇔ −3 x = 98 ⇔ x =

Vậy

x=

−98
(tm)
3

−98
3

10) Điều kiện: x ≥ 0

13

13


14
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

4x = 5

Vậy

x=

⇔ 4x = 5 ⇔ x =

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

5
( tm )
4

5
4

11) Điều kiện:

5x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥

−3
5

5x + 3 = 3 − 2
⇔ 5x + 3 = 3 − 2 ⇔ 5x = 3 − 2 − 3 ⇔ 5x = − 2 ⇔ x =

Vậy

x=

− 2
( tm )
5

− 2
5

12) Điều kiện:

−4 x 2 + 25 ≥ 0 ⇔ ( 5 − 2 x ) ( 5 + 2 x ) ≥ 0 ⇔

−5
5
≤x≤
2
2

−4 x 2 + 25 = x


x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0
⇔






2
2
2
2
x = ± 5
−4 x + 25 = x
5 x = 25
x = 5

⇔ x = 5 (tmđk.

Vậy x = 5
13) Điều kiện:

4 − 5x ≥ 0 ⇔ 5x ≤ 4 ⇔ x ≤

4
5

4 − 5 x = 12
⇔ 4 − 5 x = 122 ⇔ 4 − 5 x = 144 ⇔ −5 x = 140 ⇔ x = −28 ( tm )

Vậy x = −28

3

14)

3

2
4( 1− x) − 3 = 0 ⇔ 2 1− x − 3 = 0 ⇔ 1− x = 2 ⇔ 1− x = ± 2

Khi
Khi

1− x =

3
3
2− 3
⇔ x = 1−
⇔x=
2
2
2

1− x =

− 3
3
2+ 3
⇔ x = 1+
⇔ x=
2
2
2

14

14


15
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

 2 − 3 2 + 3 
x∈
;

2
2 


Vậy

15) Điều kiện: x ≥ 0
2
16 x = 8 ⇔ 16 x = 8 ⇔ 16 x = 64 ⇔ x = 4 ( tm )

Vậy x = 4

16) Điều kiện:

5 − 3x ≥ 0 ⇔ 3 x ≤ 5 ⇔ x ≤

5
3

5 − 3x = 8 + 2 15
⇔ 5 − 3 x = 8 + 2 15 ⇔ − 3 x = 8 + 2 15 − 5
⇔x=

8 − 2 15 − 5
−8 3 + 6 5 + 15
⇔x=
3
− 3

2 + x ≠ 0

⇔ 2 + x < 0 ⇔ x < −2
 −3

0

17) Điều kiện:  2 + x

−3
4( 2 + x)
−3
−3
−3
=2⇔
= 22 ⇔
=4⇔
=
2+ x
2+ x
2+ x
2+ x
2+ x
⇒ −3 = 4 ( 2 + x ) ⇔ −3 = 8 + 4 x ⇔ 4 x = 11 ⇔ x =

Điều kiện:

3x 2 − 5 ≥ 0 ⇔ 3x 2 ≥ 5 ⇔ x 2 ≥

−11
( TM )
4

5
3

18)
3x2 − 5 = 2

⇔ 3 x 2 − 5 = 2 2 ⇔ 3 x 2 − 5 = 4 ⇔ 3 x 2 = 9 ⇔ x 2 = 3 ( TM ) ⇔ x = ± 3
Vậy x = ± 3
19.

( x − 3)

2

=3

⇔ x − 3 = 3 ⇔ x − 3 = ±3
+ x−3= 3⇔ x = 0
+ x − 3 = −3 ⇔ x = −6

15

15


16
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

Vậy

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

x ∈ { 0, −6}

1 + x ≠ 0

⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1
 −6

0

20) Điều kiện: 1 + x

−6
25 ( 1 + x )
−6
−6
−6
=5 ⇔
= 52 ⇔
= 25 ⇔
=
1+ x
1+ x
1+ x
1+ x
1+ x
⇒ 25 ( 1 + x ) = −6 ⇔ 25 + 25 x = −6
⇔ 25 x = −31 ⇔ x =

Vậy

x=

−31
( TM )
25

−31
25

21) Điều kiện:

x − 5 ≥ 0
⇔1≤ x ≤ 5

1

x

0


4 x − 20 − 3

x −5
= 1− x
9

⇔ 4 ( x − 5) − 3

x −5
= 1− x
3

⇔ 2 x − 5 − x − 5 = 1− x
⇔ x − 5 = 1− x
⇔ x − 5 = 1− x
⇔ 2x = 6
⇔ x = 3 ( TMDK )
Vậy nghiệm của phương trình là

S = { 3}

22) Điều kiện: x ≥ 2
4 x + 8 + 2 x + 2 − 9 x + 18 = 1
⇔ 4 ( x + 2) + 2 x + 2 − 9 ( x + 2) = 1
⇔ 2 x + 2 + 2 x + 2 −3 x + 2 =1
⇔ x + 2 =1⇔ x + 2 =1
⇔ x = −1( TMDK )
Vậy tập nghiệm của phương trình là:

S = { −1}

16

16


17
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

23)

( x − 3)

x 2 − 6 x + 9 + x = 11 ⇔

2

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

+ x = 11 ⇔ x − 3 + x = 11

− Nếu x ≥ 3 thì x − 3 = x − 3 ta có phương trình:

x − 3 + x = 11 ⇔ 2 x = 14 ⇔ x = 7 ( TMDK )
− Nếu x < 3 thì x − 3 = − ( x − 3) ta có phương trình:

− ( x − 3) + x = 11 ⇔ − x + 3 + x = 11 ⇔ 3 = 11
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

(vô lý.

S = { 7}

2
24) 3 x − 4 x + 3 = 1 − 2 x

4 
2
4 4


3 x 2 − 4 x + 3 = 3  x 2 − x ÷+ 3 = 3  x 2 − 2. x + − ÷+ 3
3 
3
9 9


2

2

2
4
2 5


= 3  x − ÷ − 3. + 3 = 3  x − ÷ + > 0
3
9
3 3


với ∀x ∈¡
Phương trình đã cho tương đương với:
1

x

1 − 2 x ≥ 0

2
 2
2 ⇔ 
3
x

4
x
+
3
=
1

2
x
(
)
3 x 2 − 4 x + 3 = ( 1 − 2 x ) 2 ( *)



( *) ⇔ 3 x 2 − 4 x + 3 = 1 − 4 x + 4 x 2
⇔ x2 − 2 = 0
⇔ x2 = 2
⇔x=± 2


x≤

1
2 nên phương trình đã cho có nghiệm là x = − 2

25) Điều kiện: x ≥ −1

16 ( x + 1) − 9 ( x + 1) = 4

⇔ 4 x + 1 − 3 x + 1 = 4 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x + 1 = 16

⇔ x = 15 (thỏa mãn ĐK).
Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = { 15}

26) Điều kiện: x ≥ −1

17

17


18
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

9x + 9 + 4x + 4 =

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

x +1

⇔ 9 ( x + 1) + 4 ( x + 1) = x + 1 ⇔ 3 x + 1 + 2 x + 1 − x + 1 = 0
⇔ 4 x +1 = 0 ⇔ x +1 = 0

⇔ x = −1 (thỏa mãn ĐK)
Vậy tập nghiệm của phương trình là

S = { −1}

Bài 2:

x =
 2x + 3 ≥ 0
 2x + 3 ≥ 0
⇔
⇔
 2
 4x − 9 ≥ 0
x ≥
( 2x − 3) ( 2x+3) ≥ 0

a) Điều kiện:

−3
2
3
2

4x 2 − 9 = 2 2x + 3 ⇔ 4x 2 − 9 = 4 ( 2x + 3)

⇔ ( 2x − 3) ( 2x + 3) − 4 ( 2x + 3) = 0 ⇔ ( 2x + 3 ) ( 2x − 3 − 4 ) = 0
−3

x=

 2x + 3 = 0
2
⇔ ( 2x + 3) ( 2x − 7 ) = 0 ⇔ 
⇒
 2x − 7 = 0  x = 7

2

Kết hợp điều kiện, ta có phương trình có một nghiệm:

x=

−3
7
;x=
2
2.

7x + 5 > 0
7
⇔x> .

9
b) Điều kiện: 9x − 7 > 0
9x − 7
= 7x + 5 ⇔ 9x − 7 = 7x + 5 ⇔ 2x = 12
7x + 5
⇒ x = 6 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có một nghiệm x = 6.
c)

4x − 20 + 3

x −5 1

9x − 45 = 4
9
3

⇔ 2 x −5 + x −5 − x −5 = 4 ⇔ x −5 = 2
Điều kiện: x ≥ 5.

PT ⇒ x − 5 = 4 ⇒ x = 9 (Thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 9 .
Bài 3:

18

18


19
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

a)

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

(x − 3)2 = 3 − x ⇔ x − 3 = 3 − x

Điều kiện: 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 .

x − 3 = 3 − x
 2x = 6
x = 3
PT ⇔ 
⇔
⇒
 −(x − 3) = 3 − x
0.x = 0 ∀x ∈ R
Kết hợp điều kiện, mọi x ≤ 3 là nghiệm của phương trình.
b)



( 2x − 5)

2

= 5 − 2x ⇔ 2x − 5 = 5 − 2x

5
5 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ .
2 .
Điều kiện:
5

 2x − 5 = 5 − 2x
 4x = 10  x =
PT ⇔ 
⇔

2

 −(2x − 5) = 5 − 2x
0.x = 0
∀x ∈ R

Kết hợp điều kiện, mọi
c)

x≤

1 − 12x + 36x 2 = 5 ⇔

5
2 là nghiệm của phương trình.

( 1 − 6x )

2

=5

−2

x
=
1 − 6x = 5
⇔ 1 − 6x = 5 ⇔ 
⇔
3

1

6x
=

5

x = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm:

x=

−2
; x =1
3
.

d) Điều kiện: x ≥ 1 .

x + 2 x −1 = 2 ⇔ x −1+ 2 x −1 +1 = 2


(

)

x −1 +1

2

=2

⇔ x − 1 + 1 = 2 ⇔ x − 1 = 1 ⇒ x − 1 = 1 ⇒ x = 2 (Thỏa mãn).
Vậy phương trình có một nghiệm: x = 2.
e)

x − 2 x −1 = x −1 −1
⇔ x −1− 2 x −1 + 1 = x −1 −1


(

)

x −1 −1

2

= x −1 −1

19

19


20
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256


x − 1 ≥ 0
⇔x≥2

x

1

1

0

Điều kiện: 
.

PT ⇔

x −1 −1 = x −1 −1

 x −1 −1 = x −1 −1
 0. x − 1 = 0
∀x ≥ 1
⇒
⇔
⇔
x = 2
 − x − 1 + 1 = x − 1 − 1  2 x − 1 = 2
Kết hợp điều kiện, ta có

∀ x ≥ 2 là nghiệm của phương trình.
2

1
1 1
1
1 1
1
1

x − x+
= − x ⇔ x 2 − 2. x +
= − x ⇔ x − ÷ = − x
2
16 4
4
16 4
4
4

2

f)

1
1
−x≥0⇔ x≤
4.
Điều kiện: 4
1 1

x− = −x
1
1



x
=
x
=
4 4
1 1
PT ⇔ x − = − x ⇔ 
⇔
4 ⇔
4


1
1
4 4


− x −
0.x = 0
∀x ∈ R
÷= − x
 
4 4
Kết hợp điều kiện, ta có mọi

x≤

1
4 là nghiệm của phương trình.

Bài 4:
−5

2x + 5 ≥ 0
−5
x ≥
⇔
≤ x ≤ 1.
2 ⇒

2
1 − x ≥ 0

x ≤ 1
a) Điều kiện:

2x + 5 = 1 − x ⇔ 2x + 5 = 1 − x ⇔ 3x = −4 ⇒ x =

Vậy phương trình có một nghiệm:

x=

−4
3 (thỏa mãn).

−4
3 .

 x ≤ 0
x 2 − x ≥ 0
x ≤ 0

⇔   x ≥ 1 ⇒ 

x ≥ 1
3 − x ≥ 0
x ≤ 3

b) Điều kiện:
x = 3
x2 − x = 3 − x ⇔ x2 − x = 3 − x ⇔ x2 = 3 ⇒ 
 x = − 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ; x = − 3 .

20

20


21
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

 2 3
 x ≥ 2
2x − 3 ≥ 0
⇔

4x − 3 ≥ 0
x ≥ 3

4
2

c) Điều kiện:

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256


3
x ≥

3
2

x≥


2
⇔ x ≤ − 3 ⇔ 

3
2

x




2

3
x ≥

4
.

2x 2 − 3 = 4x − 3 ⇔ 2x 2 − 3 = 4x − 3 ⇔ 2x 2 − 4x = 0 ⇔ 2x ( x − 2 ) = 0
x = 0
x = 0
⇒
⇒
x − 2 = 0 x = 2

Kết hợp điều kiện, ta có x = 2 là nghiệm của phương trình.
( x − 3 ) ( x + 2 ) ≥ 0
x 2 − x − 6 ≥ 0
⇔
⇒x≥3

x

3

0
x

3

d) Điều kiện: 

 x = −1
x 2 − x − 6 = x − 3 ⇔ x 2 − x − 6 = x − 3 ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ 
x = 3
Kết hợp điều kiện, ta có x = 3 là nghiệm của phương trình.

x − 1 ≥ 0
⇔ x ≥1

2x

1

0

e) Điều kiện:

2x − 1 = x − 1 ⇔ 2x − 1 = x − 1 ⇔ x = 0 (không thỏa mãn ĐK)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 5:
a) Điều kiện: x ≥ 0 .

x 2 + x = x ⇔ x 2 + x = x 2 ⇔ x = 0. (thỏa mãn).
Vậy phương trình có một nghiệm: x = 0.
1 − x 2 ≥ 0
 −1 ≤ x ≤ 1
⇔
⇔ x =1

x ≥1
x

1

0


b) Điều kiện:

Từ điều kiện, thay x = 1 , thấy thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .
( x − 1) ( x − 3 ) ≥ 0
 x 2 − 4x + 3 ≥ 0
⇔
⇒ x ≥ 3.

x

2

0
x

2

0

c) Điều kiện: 

x 2 − 4x + 3 = x − 2 ⇔ x 2 − 4x + 3 = x 2 − 4x + 4 ⇔ 3 = 4 (vô nghiệm)

21

21


22
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Vậy phương trình vô nghiệm.

 x ≤ −1
x2 −1 ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 1
d) Điều kiện:
x 2 − 1 − x 2 + 1 = 0 ⇔ x 2 − 1 − ( x 2 − 1) = 0

(

)

⇔ x2 −1 1 − x2 −1 = 0

⇔


 x = −1
x = 1
x 2 − 1 = 0
x2 −1 = 0
⇔ 2
⇔
x = − 2
2
x −1 = 1
x − 1 = 1

 x = 2

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm: x = −1 ; x = 1 ; x = − 2 ; x = 2.
e)

x2 − 4 − x + 2 = 0 ⇔ x2 − 4 = x − 2

  x ≤ −2
x 2 − 4 ≥ 0

⇔   x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2

x − 2 ≥ 0
x ≥ 2

Điều kiện:

PT ⇔ x 2 − 4 = x 2 − 4x + 4 ⇔ 4x = 8 ⇒ x = 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 .
 2 1
1 − 2x 2 ≥ 0
x ≤
⇔
2 ⇒ x ∈∅

x − 1 ≥ 0

x ≥ 1
f) Điều kiện:

Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 6:
a)

x 2 − 2x + 1 = x 2 − 1 ⇔

( x − 1)

2

= x 2 −1 ⇔ x −1 = x 2 −1

 x ≤ −1
x2 −1 ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 1
Điều kiện:
x = 0
 x ( x − 1) = 0
x −1 = x2 −1
PT ⇔ 
⇔ 2
⇒  x = 1
2
 x − 1 = − x + 1  x + x − 2 = 0  x = −2


Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm: x = 0 ; x = 1 ; x = −2

22

22


23
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

b)

4x 2 − 4x + 1 = x − 1 ⇔

( 2x − 1)

2

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

= x − 1 ⇔ 2x − 1 = x − 1

Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 .
x = 0
 2x − 1 = x − 1
PT ⇔ 
⇔
2
 2x − 1 = − x + 1  x =
3


Kết hợp điều kiện, phương trình vô nghiệm.
c) Ta có:

x 4 − 2x 2 + 1 = x − 1 ⇔

(x

2

− 1) = x − 1 ⇔ x 2 − 1 = x − 1
2

Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
x = 0
2
2


x

1
=
x

1
x

x
=
0
x2 −1 = x −1 ⇔  2
⇔ 2
⇒  x = 1
 x − 1 = − x + 1  x + x − 2 = 0  x = −2


Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1 .
2

1
1
1

x + x + = x ⇔ x + ÷ = x ⇔ x + = x
4
2
2

2

d)

Điều kiện: x ≥ 0.
1
1


x + 2 = x
 0.x = 2
−1
PT ⇔ 
⇔
⇒x=
4
 x + 1 = −x
 2x = −1


2
2

Kết hợp điều kiện, phương trình vô nghiệm.
e)

x 4 − 8x 2 + 16 = 2 − x ⇔

(x

2

− 4) = 2 − x ⇔ x 2 − 4 = 2 − x
2

Điều kiện: 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.
x = 2
x 2 − 4 = 2 − x
x 2 + x − 6 = 0
( x + 3 ) ( x − 2 ) = 0 
PT ⇔  2
⇔ 2
⇔
⇒ x = −3

(x + 1)(x − 2) = 0
 x − 4 = −2 + x
x − x − 2 = 0
 x = −1

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm: x = 2 ; x = −3 ; x = −1 .
f)

9x 2 + 6x + 1 = 11 − 6 2 ⇔

( 3x + 1)

23

2

=

(3− 2)

2

⇔ 3x + 1 = 3 − 2

23


24
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256


2− 2
x
=

3x + 1 = 3 − 2
3
⇔
⇔

2 −4
3x + 1 = −3 + 2
x =
3

Vậy phương trình có hai nghiệm:

x=

2− 2
;x=
3

2−4
3

x = 0
3x + 1 = x + 1
 2x = 0
3x + 1 = x + 1 ⇔ 
⇔
⇒
 x = −1
3x
+
1
=

x

1
4x
=

2



2
Bài 7: a)

Vậy phương trình có hai nghiệm:

−1
2 .

x=0;x=

x = 3

2
2

x = − 3 + 1


x −3 = x − 3
x − x −3+ 3 = 0
x2 − 3 = x − 3 ⇔ 
⇔

2
2
x

3
=

x
+
3
x
+
x

3

3
=
0
 x = − 3 − 1




b)
Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 3; x = − 3 + 1; x = − 3 − 1 .
c)

9x 2 − 12x + 4 = x 2 ⇔

( 3x − 2 )

2

= x 2 ⇔ 3x − 2 = x

x = 1
3x − 2 = x
 2x = 2 
⇒
⇔

1
3x − 2 = − x
 4x = 2  x =

2

Vậy phương trình có hai nghiệm:
d)

x =1; x =

x 2 − 4x + 4 = 4x 2 − 12x + 9 ⇔

1
2.

( x − 2)

2

=

( 2x − 3)

2

⇔ x − 2 = 2x − 3

x = 1
 x − 2 = 2x − 3
⇔
⇔
x = 5
x

2
=

2x
+
3

3


Vậy phương trình có hai nghiệm:

x =1; x =

5
3.

Bài 8:
2

x 2 − 1 = 0
x = ± 1
 x −1 = 0
x −1 + x +1 = 0 ⇔ 
⇔
⇔
⇒ x = −1
x = −1
x +1 = 0
x
+
1
=
0




a)
2

24

24


25
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10
GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 3

GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256

Vậy phương trình có một nghiệm: x = −1 .
b)

x 2 − 8x + 16 + x + 2 = 0 ⇔

( x − 4)

2

+ x+2 =0⇔ x−4 + x+2 =0

 x − 4 = 0
x = 4
⇔
⇔
⇒ x ∈∅
 x + 2 = 0  x = −2
Vậy phương trình vô nghiệm.
1 − x 2 ≥ 0
−1 ≤ x ≤ 1
⇔
⇒ −1 ≤ x ≤ 1

x ≥ −1
x
+
1

0


c) Điều kiện:

 1 − x 2 = 0
x = ± 1
1− x + x +1 = 0 ⇔ 
⇔
⇒ x = −1
x
=

1

 x + 1 = 0
2

Vậy phương trình có một nghiệm: x = −1
d)

x 2 − 4 + x 2 + 4x + 4 = 0 ⇔ x 2 − 4 +

( x + 2)

2

= 0 ⇔ x2 − 4 + x + 2 = 0

.

 x ≤ −2
x2 − 4 ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 2
Điều kiện:
 x 2 − 4 = 0
x = ± 2
PT ⇔ 
⇔
⇒ x = −2
x
=

2
x
+
2
=
0


(thỏa mãn)
Vậy phương trình có một nghiệm x = −2 .
Bài 9:
a) Điều kiện: 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3

(x − 3)2 = 3 − x ⇔ x − 3 = 3 − x
x − 3 = 3 − x
 2x = 6
x = 3
x = 3
⇔
⇔
⇔
⇔
 x − 3 = x − 3  0x = 0
0x = 0
x ∈ R
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là x ≤ 3 .
b)

4x 2 − 20x + 25 + 2x = 5


( 2x − 5 )

Điều kiện:

2

= 5 − 2x ⇔ 2x − 5 = 5 − 2x

5 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤

5
2.

25

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×