Tải bản đầy đủ

SKKN nâng cao chất lượng giải bài toán phương trình mũ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Lai Châu , ngày 10 tháng 04 năm 2019
ĐƠN ĐỀ NGHỊ
CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP CƠ SỞ
Kính gửi: Thường trực Hội đồng xét, công nhận sáng kiến cấp cơ sở
Tôi ghi tên dưới đây:
Tỷ lệ (%)
Nơi công
Trình độ đóng góp
Ngày tháng
Chức
Ghi
TT Họ và tên
tác
chuyên vào việc tạo
năm sinh
danh
chú
môn
ra sáng

kiến
Trung
tâm
Giáo
1 Trần Hữu Giang 09/08/1985
Đại học
100
GDTX- viên
HN tỉnh
Là tác giả đề tài: “Nâng cao chất lượng giải bài toán phương trình mũ”
- Cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến: Trung tâm GDTX-HN tỉnh.
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bộ môn Toán lớp 12B.
- Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Từ ngày 01 tháng 9 năm 2018
đến ngày 25 tháng 03 năm 2019.
- Mô tả bản chất của sáng kiến:
*) Trước khi có sáng kiến:
Học viên Trung tâm GDTX-HN tỉnh đa phần là cán bộ các xã tỉnh , nhiều
em hoàn cảnh khó khăn, và nhiều em gia đình thuộc diện hộ nghèo. Kiến thức
toán học cũng như các bộ môn khác bị hổng rất nhiều. Việc tính toán của học
viên gặp rất nhiều khó khăn. Mặt khác các em có được bản tính ngoan ngoãn
thật thà, hiền lành, nghe lời thầy cô…Nhưng bên cạnh đó ở các em cũng có
những hạn chế như: ý thức tự giác học tập chưa cao, chưa xác định được mục
tiêu học tập, còn hay nghỉ học nên dẫn đến việc tiếp thu kiến thức còn bị trống
rỗng...

1


Phần lớn các học viên kĩ năng tính toán chậm, khả năng thực hành hạn
chế việc tiếp cận với kiến thức Toán học gặp nhiều khó khăn...
Vì vậy tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp “Nâng cao chất lượng giải bài
toán phương trình mũ” nhằm thúc đẩy phong trào học tập và nâng cao chất
lượng bộ môn Toán.
*) Sau khi có sáng kiến
Trước hết cần khảo sát chất lượng đầu năm của học viên để phân loại đối
tượng. Để từ đó biết quan tâm kèm cặp theo dõi sự tiến bộ của đối tượng.
Tìm hiểu các nguyên nhân dẫn đến tại sao học viên lại ngại không có
hứng thú với môn Toán học và sợ học môn Toán không tự tin khi đi thi. Để từ
đó có hướng giúp đỡ các em học tập môn Toán có hiệu quả hơn.
Thực hiện các biện pháp khắc phục yếu, kém trong giảng dạy.
Để thực hiện được điều đó thì giáo viên phải là người hướng dẫn, tổ chức
cho học viên hoạt động, học viên là người chủ động trong việc lĩnh hội kiến
thức.
Trong quá trình học được giáo viên cũng như bạn của mình giúp đỡ động
viên kích thích tạo ra động lực giúp các em tự hoàn thiện bản thân bằng chính
sức lực của mình từ đó có niềm say mê, hứng thú với môn học dẫn đến chất
lượng bộ môn đạt hiệu quả cao.
Sau khi áp dụng sáng kiến vào triển khai đồng bộ ở lớp 12B năm học
2018 – 2019 tác giả nhận thấy sự chuyển biến rõ nét từ hai phía. Bản thân tác giả
cũng có nhiều biện pháp giảm tải khó khăn cho học viên, đã khơi dậy được niềm
ham mê học tập của học viên, hoạt động sáng tạo hơn, linh động trong xử lý các
tình huống sư phạm; học viên học tập tiến bộ hơn so với năm học trước, ý thức
rèn luyện tốt hơn, hạn chế tối đa những vi phạm như: Nghỉ học, không làm bài
tập, không tập trung trong giờ học.
- Phạm vi ảnh hưởng:
Có thể áp dụng rộng rãi cho học viên học môn Toán lớp 12 trong các
trường trung học phổ thông trên phạm vi toàn tỉnh. Tuy nhiên giáo viên cần lưu

2


ý mức độ kiến thức sao cho phù hợp với học viên vùng miền mà mình đảm
nhiệm.
- Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Có đầy đủ cơ sở vật chất đáp ứng cho việc dạy và học: Máy tính, máy
chiếu, máy chiếu đa vật thể để hướng dẫn học viên sử dụng MTCT.
Có sự đôn đốc, chỉ đạo của Ban giám đốc Trung tâm, sự quan đóng góp
của các thầy cô bộ môn toán về chuyên môn, các quý đồng nghiệp về kinh
nghiệm và quyết tâm trong việc thực hiện sáng kiến.
Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa,
soạn giáo án cụ thể và chi tiết. Tích cực học hỏi đồng nghiệp và nghiên cứu tài
liệu.
Học viên cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp
rèn luyện kỹ năng tính toán và biết áp dụng MTCT vào để giải toán.
Gia đình học viên và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và
trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
- Những thông tin cần được bảo mật: Không.
- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả: Nâng cao chất lượng giải bài toán phương trình mũ,
nâng cao khả năng tự tin khi sử dụng máy tính cầm tay của học viên vào làm
toán.
Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã áp dụng sáng kiến và theo ý kiến của
tác giả sáng kiến: Nâng cao chất lượng giải bài toán phương trình mũ, nâng cao
khả năng tự tin khi sử dụng máy tính cầm tay của học viên vào làm toán. Giúp
học viên yên tâm hơn trước khi bước vào các kỳ thi sắp tới.
Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật
và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
NGƯỜI ĐĂNG KÝ
Trần Hữu Giang
3


BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Tác giả:
Họ và tên: Trần Hữu Giang
Trình độ văn hóa: 12/12, Trình độ chuyên môn: Đại học Toán
Chức vụ, đơn vị công tác: Trung tâm GDTX-HN tỉnh.
Nhiệm vụ được phân công: Giảng dạy môn Toán lớp 10Avà lớp 12B
2. Tên sáng kiến: “Nâng cao chất lượng giải bài toán phương trình mũ”
3. Tính mới:
Trước đây: Với việc giải toán phương trình mũ và các dạng toán khác học
viên cần phải làm khá vất vả, đặc biệt là đối tượng học viên yếu kém như ở các
Trung tâm. Việc áp dụng phương thức thi THPT QG mới như hiện nay thì ngoài
việc giải toán đúng thì cũng cần phải có thêm kỹ năng, công cụ hỗ trợ. Vì vậy
tác giả mạnh dạn đưa vào áp dụng đối với học viên lớp 12B và thấy có rất nhiều
chuyển biến tích cực và đáng mừng.
Trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm nâng cao chất lượng giải bài toán
phương trình mũ mà tôi thực hiện dưới đây có những điểm mới sau:
Chuẩn bị tốt cho học viên có một nền tảng vững chắc kiến thức cơ bản
như giải các phương trình mũ cơ bản và phương trình mũ thường gặp.
Rèn luyện cho học viên kĩ năng giải các phương trình mũ cơ bản và
phương trình mũ thường gặp từ đó giúp học viên yếu kém cũng không bị mất
điểm trong phần này ở các kỳ thi sắp tới.
Đã phân dạng và đưa ra chi tiết các bước giải các phương trình mũ cơ bản
và phương trình mũ thường gặp, giúp các học viên đặc biệt là học viên yếu kém
có thể tự tin tham dự kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019.
4. Hiệu quả sáng kiến mang lại
Tổng số học viên lớp 12B có 20 HV. Tôi tiến hành dạy một số bài và cho
học viên làm bài kiểm tra 45 phút, quả đạt được như sau:
Kết quả học tập của học viên trước khi thực hiện sáng kiến

4


Điểm
Lớp
Tổng số HV
Tỷ lệ điểm trên trung
Tỷ lệ điểm dưới
bình
trung bình
12B
20
5 =25%
15=75%
Kết quả sau khi thực hiện sáng kiến
Điểm
Lớp
Tổng số HV
Tỷ lệ điểm trên trung
Tỷ lệ điểm dưới
bình
trung bình
12B
20
16 = 80%
4 = 20%
PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Qua kết quả của việc thực hiện sáng kiến trong lớp 12B tác giả nhận thấy
chất lượng học viên yếu kém đã giảm rõ rệt, tỷ lệ học viên trung bình đã được
nâng cao. Đặc biệt tôi nhận thấy hầu hết các em đã tự giác và yêu thích trong
việc học tập và ôn thi bộ môn Toán, kỹ năng sử dụng MTCT của học viên đã
được cải thiện rõ rệt.
5. Phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến
Có thể áp dụng rộng rãi cho học viên học môn Toán lớp 12 trong Trung
tâm GDTX-HN tỉnh và các đơn vị trường THPT, DTNT khác trên địa bàn toàn
tỉnh mà còn học viên yếu kém. Tuy nhiên giáo viên cần lưu ý mức độ kiến thức
sao cho phù hợp với học viên vùng miền mà mình đảm nhiệm.
Việc áp dụng các bước trong đề tài còn là cơ sở cho giáo viên hiểu vận
dụng cách tự hoàn thiện và nâng cao kiến thức kỹ năng của người giáo viên
cũng như nâng cao kiến thức của đối tượng lựa chọn là học viên.
Qua thực tiễn đề tài còn giúp cho người giáo viên luôn tâm huyết với nghề
hơn. Học viên yêu thích, hứng thú với bộ môn Toán hơn.
Tác giả

Trần Hữu Giang

5


SỞ GD&ĐT LAI CHÂU
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRUNG TÂM GDTX-HN TỈNH
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Số:

/TTGDTX-HN

Lai Châu, ngày 15 tháng 04 năm 2019

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến cấp cơ sở
Trung tâm GDTX-HN tỉnh Lai Châu xác nhận Ông: Trần Hữu Giang là
tác giả của sáng kiến “Nâng cao chất lượng giải bài toán phương trình mũ”
đã được áp dụng tại Trung tâm GDTX-HN tỉnh thời gian từ tháng 09 năm 2018
đến tháng 03 năm 2019.
Qua thời gian áp dụng sáng kiến tại đơn vị, H ầu hết các em có hứng thú
thích học môn Toán hơn, biết cách trình bày, nhiều học viên nhút nhát học yếu
đã có sự tiến bộ hăng hái tự giác học tập. Kết quả đợt khảo sát sau thời gian áp
dụng đề tài:kết quả đem lại như sau:
* Kết quả xếp loại học lực lớp 12B môn Toán trước khi áp dụng sáng kiến:
Tổng số
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
20
0
02
03
15
0
* Kết quả xếp loại học lực cả năm lớp 12B môn Toán sau khi áp dụng sáng kiến:
Tổng số
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
20
01
06
8
5
0
Vậy đề nghị Hội đồng sáng kiến cấp cơ sở xem xét, ghi nhận kết quả trên./.
Thủ trưởng đơn vị

6


I. THÔNG TIN CHUNG
1. Tên sáng kiến: “Nâng cao chất lượng giải bài toán phương trình mũ”.
2. Tác giả
Họ và tên: Trần Hữu Giang.
Năm sinh: 09/08/1985.
Nơi thường trú: Tổ 25, p.Đông Phong, tp.Lai Châu, tỉnh Lai Châu
Trình độ chuyên môn: Đại học Toán.
Chức vụ công tác: Giáo viên.
Nơi làm việc: Trung tâm GDTX-HN Tỉnh.
Điện thoại: 0975090885.
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến:100%.
3. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bộ môn Toán lớp 12.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 01 tháng 09 năm 2018 đến
ngày 25 tháng 03 năm 2019.
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trung tâm GDTX-HN Tỉnh.
Địa chỉ: Phường Quyết Thắng - Tp Lai Châu, tỉnh Lai Châu.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:
* Về sự cần thiết của việc thực hiện sáng kiến
Những năm gần đây với việc thi THPT Quốc gia bằng hình thức thi trắc
nghiệm khách quan, thì việc lựa chọn đáp án đúng cho mỗi câu hỏi không phải
là sự may mắn của mỗi học viên nữa mà việc lựa chọn đáp án đó cần có cơ sở
chuẩn xác trong cách giải của nó mà người ra đề muốn kiểm tra kiến thức. Việc
sử dụng máy tính cầm tay là một kỹ năng vô cùng quan trọng đối với các đồng
chí học viên trong quá trình làm bài. Đặc biệt là Học viên trung tâm, đa phần là
học lực Trung bình, Yếu vì vậy ngoài việc giải bài toán bằng kiến thức cơ bản
thì bản thân tác giả thiết nghĩ cần có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay thì học viên
cũng rất cần phải hiểu bản chất của câu hỏi đó.

7


Đối với bộ môn Toán lại đòi hỏi phải rèn cho người học nhiều kĩ năng,
giúp các em vận dụng khi giải các bài tập trong thực tế. Điều này là một việc
không hề dễ với giáo viên giảng dạy bộ môn Toán. Do vậy muốn nâng cao chất
lượng bộ môn thì người giáo viên trực tiếp giảng dạy cần đổi mới phương pháp,
tìm tòi, khám phá tăng cường rèn luyện về chuyên môn, nghiệp vụ và quan tâm
đặc biệt đến từng đối tượng học sinh.
Đối với học viên của Trung tâm GDTX-HN Tỉnh thì việc nắm bắt kiến
thức và vận dụng kiến thức để giải phương trình mũ còn nhiều yếu kém. Phần
lớn các học viên không nắm được dạng, cách giải phương trình mũ. Do vậy các
dạng bài tập về phương trình mũ của giáo viên đưa ra không đạt hiệu quả, điểm
của học viên đều rất thấp.
Với trăn trở về sự khó khăn của các em học viên tại Trung tâm GDTX-HN
Tỉnh, tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu một vấn đề rất nhỏ và cũng khá cần thiết
trong nội dung thi THPT Quốc gia năm 2019 đó là: “Nâng cao chất lượng giải
bài toán phương trình mũ”. Để giúp học viên Trung tâm GDTX-HN Tỉnh có
kỹ năng giải thành thạo phương trình mũ, từ đó giúp học viên học tốt hơn các
nội dung kiến thức khác liên quan.
Để cùng chia sẻ, trao đổi một số kinh nghiệm của cá nhân tác giả trong
quá trình giảng dạy tại Trung tâm với đồng nghiệp, học viên và những ai quan
tâm đến vấn đề này. Với một hi vọng nhận được nhiều ý kiến từ hội đồng khoa
học, những đóng góp từ đồng nghiệp đang làm công tác giảng dạy để tác giả có
thêm nhiều kinh nghiệm hơn nữa trong công tác giảng dạy, cùng nhau góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục của tỉnh nhà.
* Mục đích của việc thực hiện sáng kiến:
Để học viên thành thạo trong việc giải các phương trình mũ. Từ đó ứng
dụng vào việc giải các bài toán liên quan.
Việc giải thành thạo các phương trình mũ là góp phần giúp cho học viên
yếu kém tự tin hơn, chắc chắn hơn trong việc làm bài thi THPT Quốc gia năm
2019.
Nâng cao chất lượng bộ môn toán trước yêu cầu của tình hình mới hiện nay.
8


2. Phạm vi triển khai thực hiện:
Học viên yếu kém môn toán phần Đại số và giải tích chương II lớp
12B tại Trung tâm GDTX-HN tỉnh Lai Châu.
3. Mô tả sáng kiến:
a. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến.
* Hiện trạng trước khi áp dụng sáng kiến.
Trung tâm GDTX-HN tỉnh tập trung đa số là học viên Trung bình, Yếu.
Vì vậy rất khó khăn trong việc học, các cách giải bài toán và việc nhớ công thức
để áp dụng vào giải toán.
Phương pháp dạy chủ yếu về nội dung giải phương trình mũ thường sử
dụng phương pháp tự luận, nhớ công thức, giải chi tiết để đưa ra đáp án đúng.
Học viên tiếp thu kiến thức còn khó khăn trong việc nhớ công thức, hay
nhầm lẫn khi sử dụng các công thức đã học, thường sai lầm khi giải toán...
Ý thức tự học, tinh thần học tập còn chưa cao.
Phần lớn các học viên kĩ năng tính toán chậm, khả năng thực hành hạn
chế việc tiếp cận với kiến thức Toán học gặp nhiều khó khăn.
Việc áp dụng vào giải phương trình mũ của học viên còn quá yếu.
Kết quả khảo sát, kiểm tra đầu năm học của tác giả môn toán:
Điểm
Tỷ lệ điểm trên trung bìnhTỷ lệ điểm dưới trung bình
12B
20
5 =25%
15=75%
Từ kết quả khảo sát trên cho thấy chất lượng môn Toán tỉ lệ yếu kém còn
Lớp

Tổng số HV

cao. Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy môn Toán tôi đã tìm ra một số
nguyên nhân dẫn đến học viên yếu kém trong việc giải phương trình mũ.
* Ưu điểm của giải pháp cũ.
Về ưu điểm học viên cũng đã nắm được kiến thức trong SGK.
* Nhược điểm của phương pháp cũ
Với phương pháp trên học viên không nắm được hết hoặc không nắm
vững kiến thức trong SGK cũng như kiến thức trong đời sống không áp dụng
kiến thức lý thuyết vào thực tế cuộc sống. Dẫn đến khi học còn lúng túng thao

9


tác của học viên chưa chính xác, hoặc chưa biết cách quan sát, từ đó học viên
tiếp thu kiến thức một cách thụ động.
Việc tiếp thu kiến thức trên lớp, sau một thời gian không thường xuyên
sử dụng tới thì còn quên, nhầm lẫn trong quá trình làm bài tập.
Vì vậy tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp “Nâng cao chất lượng giải bài
toán phương trình mũ” trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 12, với mục
đích tạo hứng thú cho học viên, thúc đẩy phong trào học tập và nâng cao chất
lượng bộ môn Toán học, Đặc biệt là đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới.
b. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến.
* Tính mới của sáng kiến:
Giúp học viên có được sự tự tin khi giải phương trình mũ, tránh những sai
lầm khi giải toán. Thay vì việc nhớ công thức thì đối với những bài toán cơ bản
học viên có thể sử dụng phương pháp khác để giải.
Tác giả đã phân chia nhỏ các dạng toán, nêu ra phương pháp giải tối ưu
nhất giúp học viên yếu, kém có thể làm tốt các câu hỏi trắc nghiệm.
Nâng cao khả năng sử dụng máy tính cầm tay cho học viên.
Đã phân dạng và đưa ra chi tiết cách giải của từng dạng giúp các học viên
đặc biệt là học viên yếu kém có thể tự tin làm bài tập và trải nghiệm qua các đề
thi của năm học trước cũng như đề minh họa năm 2019 của Bộ Giáo dục.
c. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ
Với giải pháp mới này người giáo viên chỉ là người hướng dẫn, tổ chức
cho việc dạy và học, còn người học chính là người đóng vai trò chủ yếu trong
việc tiếp thu kiến thức một cách chủ động, kiến thức được tiếp thu nhanh hơn
đồng thời giúp học viên nhớ được lâu hơn, sâu hơn, biến cách áp dụng chính
kiến thức đó vào thực tế đời sống hàng ngày của mình.
Trong quá trình học, người học được giáo viên cũng như các bạn trong
lớp của mình giúp đỡ động viên khích lệ tạo ra động lực giúp các em tự hoàn
thiện bản thân bằng chính sức lực của chính mình từ đó có niềm say mê, hứng
thú với môn học dẫn đến chất lượng bộ môn cải thiện.

10


Trong việc thực hiện đề tài này tác giả muốn nêu ra rằng: Việc nhập dữ
liệu, các thao tác bấm máy tính cầm tay cơ bản học viên đã biết sử dụng.
d. Cách thực hiện các giải pháp mới:
Giải pháp 1: Củng cố lại các tính chất của lũy thừa thông qua việc rút gọn,
tính giá trị, cách giải phương trình bằng máy tính cầm tay và các tính
chất của lũy thừa.
- Mục tiêu:
Giúp học viên ôn lại kiến thức cơ bản về giải phương trình. Áp dụng vào
đó là kỹ năng bấm máy tính CASIO FX 570ES, Vinacal, CASIO FX 570VN –
PLUS... (Gọi chung là: Máy tính cầm tay) và các phép toán nhân chia cộng trừ
số mũ đơn giản.
- Nội dung của biện pháp:
Cho học viên tính toán các phép toán về số mũ đơn giản và giải một số
phương trình bằng máy tính cầm tay.
- Cách thực hiện:
Bước 1: Nhắc lại kiến thức về các phép toán nhân chia cộng trừ số mũ.
a  1,
0

a

n

1
 n,
a

a a
m

n

m
n

a n a m  a mn ;

am
 a mn
n
a

(a )  a

(ab)  a b ;

 a  0

n

m n

mn

n

;

n

n
�a � a

�� n
�b � b

n

Bước 2: Hướng dẫn chi tiết học viên làm bài tập.
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
2
5

a. A  9 �
27

2
5

b. B 

2

�2

2�

2 3 �
3�

a. A  32�5 �
3 5  3� 5 5 � 32  9

b. B 

144
9

3
4

3
4

3

94

Giải:
2

144

3

4
144 �

 � �  23  8
�9 �

11

3
4


Lưu ý: Trong bài tập 1 giáo viên có thể hướng dẫn học viên thao tác nhập
luôn biểu thức vào MTCT để tìm kết quả.
Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
1
3

1
2

a. a �a.  a  0 

4

1
3

3
c. a .
3
a

b. b b b 6 b.  b  0 

 a  0

Giải:
1

1

5

1

a. a 3 �a  a 3 a 2  a 6
1

1

1

1

1

1 1 1

b. b 2 b 3 b 6 b  b 2 b 3 b 6  b 2  3  6  b
4

4

4 1

a3 a3
c. 3  1  a 3 3  a
a
a3

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức: A 

4
3



1
4

3
4

a (a

1
3

2
3

a )


1

a (a  a 4 )
4

Giải: A 

a 3a
1
4



1
3

4

2

 a 3a 3

3
4

1
4

a a a a



1
4



a  a2 a 1 a 

a
a  a0
a 1

Bước 3: Gọi từng học viên lần lượt lên bảng làm.
Bước 4: Kiểm tra học viên dưới lớp làm vào giấy nháp.
Bài tập tự luyện
2

Bài 1: Cho a là một số dương, biểu thức a3 a viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ
hữu tỷ là:
7

5

A. a6

6

B. a6

11

C. a5

D. a 6

4

Bài 2: Biểu thức a 3 : 3 a2  a  0 viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:
5

A. a3

2

5

B. a3

7

C. a8

D. a3

Bài 3: Rút gọn biểu thức: 4 x8  x  1 , ta được:
4

4
A. x  x  1

C. - x4  x  1

2
B. x x  1

2

D. x x  1

Bài 4: Biểu thức x.3 x.6 x5  x  0 viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:

12


7

A. x3

5

2

B. x2

5

C. x3

D. x3

1

1
3
1 �4
2
3
4
Bài 5: Tính giá trị biểu thức A  �

16

2
.64
.
� �
�625 �

A. 14

B.12

C. 11

D.10

Bài 6: Cho biểu thức P  4 x. 3 x 2 . x 3 , với x  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1

A. P  x 2 .

13

2

1

B. P  x 24 .

C. P  x 4 .

D. P  x 3 .

Bai 7: Đưa biểu thức A  5 a3 a a về lũy thừa cơ số 0  a  1ta được biểu thức
nào dưới đây?
3

A. A  a10 .

7

3

B. A  a10 .

C. A  a5 .

7

D. A  a5 .

Giải pháp 2: Ôn tập dạng và các phương pháp giải phương trình mũ:
- Mục tiêu:
Giúp học viên ôn lại những kiến thức cơ bản về phương trình mũ cơ bản
và phương trình mũ đơn giản. Vận dụng các kiến thức đó vào việc giải các
phương trình mũ cụ thể.
- Nội dung của biện pháp:
Tác giả đã cho học viên ôn các dạng và cách giải, đưa ra một số ví dụ cụ
thể về giải phương trình bậc hai một ẩn.
- Cách thực hiện:
Bước 1: Giáo viên đưa ra dạng toán và phương pháp giải của từng dạng
Phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Bước 2 : Đưa ra ví dụ áp dụng cho từng phương pháp
Đối với phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Giáo viên hướng dẫn học viên nhớ lại những kiến thức cơ bản:
b0


1) a f (x )  b (điều kiện: 0  a �1 ) � �f (x)  log b
a

2) a f ( x )  a g( x ) (điều kiện: 0  a �1 ) � f (x)  g(x)
3) a f ( x )  bg(x ) � loga a f (x )  log a bg(x ) � f (x)  g(x) log a b

13


(điều kiện: 0  a, b �1 ) (Gọi là lôgarit hoá hai vế)
Đối với những dạng bài toán để sử dụng được phép biến đổi tương
đương thì học viên cần quan sát cả phương trình mà bài toán đã cho có đặc điểm
chung nào đó mà ta có thể đưa về dạng cùng cơ số. Rồi sau đó sử dụng các công
thức đã được học để áp dụng vào từng bài toán cụ thể
Với a > 0, a  1: a f ( x )  a g( x ) � f (x)  g(x)
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Phương trình 22 x1  32 có nghiệm là
A. x 

5
2

C. x 

B. x  2

3
2

D. x  3

Giải
Ta có 22 x1  32 � 22 x1  25 � 2 x  1  5 � x  2 . Chọn B
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình
A. x  9

3x1  27

B. x  3

C. x  4

D. x  10

Giải
3x1  33 � x  1  3 � x  4 .

Chọn C

Ví dụ 3: Tổng các nghiệm của phương trình 9x  84.3x  243  0 là :
A. 243

B. 3

C. 5

D. 84

Giải:
Pt đã cho 9  84.3  243  0 �  3
x

x



x 2


3x  34
x4

 84.3  243  0 � �x
��
x 1
3 3


x

Vậy tổng các nghiệm là 5. Chọn đáp án C
x7

�1 �
Ví dụ 4: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình 3x 1  � � . Khi đó S
2

�9 �

bằng bao nhiêu?
A. x  1 .

B. x  2 .

C. x  3 .

D. x  5 .

Lời giải.
Chọn B.
3

x 2 1

x 7
x  5
2

�1 �
 � � � 3x 1  32( x 7) � x 2  1  2( x  7) � x 2  2 x  15  0 � �
� S  2
x3
�9 �


14


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Nghiệm của phương trình: 2 2 x 1  8 là
5
2

B. x  .

A. x  1.

2 x1

Bài 2: Nghiệm của phương trình: 2

D. x  4.

C. x  2.

D. x  1.

C. x  2.

D. x  4.

C. x  log8 3.

D. x  4.

1

8

5
2

B. x   .

A. x  1.

C. x  2.

Bài 3: Nghiệm của phương trình: 3x  9 là

A. x  1.

B. x  2.

Bài 4: Nghiệm của phương trình: 3x  8 là

B. x  log 3 8.

A. x  1.

Bài 5: Nghiệm của phương trình: 4x  2x1  8 là

A. x  1.

x2


B. x  2.

D. x  4.

.
C. �
x  4


Bài 6: Nghiệm của phương trình: 8x  81 x  7 là

x 1


x2


B. x  1.

.
A. �
x  8


Bài 7: Số nghiệm của phương trình 22x

A. 3 .

2

5x  3

B. 2 .

 1 là:

C. 0 .

Bài 8: Tìm tập nghiệm S của phương trình 52x
� 1�
A. S  �0; �.

2

x

D. 1 .

 5.

� 1�
1;  �.
C. S  �

B. S   0; 2 .

� 2

D. x  0.

.
C. �
x  4


� 2

D. S  �.

Bài 9: Tìm nghiệm của phương trình 3x 1  27 .

A. x  10 .

C. x  9 .

B. x  4 .

D. x  3 .

Số nghiệm của phương trình 2x 2x 1  1 là:
2

Bài 10:

A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 4 .

Đối với phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Giáo viên nhắc lại kiến thức:
 Dạng 1:

P(a

f (x)

�
t a f (x ) , t  0
)0  �
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P(t)  0


15


 Dạng 2:

a 2f (x )  (ab)f ( x )  b 2f ( x )  0
f (x)

a
�b �


Chia 2 vế cho b 2f ( x ) , rồi đặt ẩn phụ t  �
��

 Dạng 3: a f ( x )  bf ( x)  m , với ab  1 . Đặt t  a f ( x) � bf ( x) 

1
t

Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 4x + 3.2x + 1  16 = 0.
Giải
Đặt t = 2x (điều kiện t > 0).
Phương trình được biến đổi về dạng:
22x + 6.2x  16 = 0  t2 + 6t  16 = 0 

t  8(lo�
i)


t2


 2x = 2  x = 1.

Vậy, phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau:
a. 3x + 1 + 18.3x = 29.

b. 5.4x  2.6x = 32x + 1.
Giải

a. Đặt t = 3x, điều kiện t > 0.
Biến đổi phương trình về dạng:
3.3x + 18.


18
1
= 29  3t2 29t + 18 = 0
x = 29  3t +
3
t


t 9
3x  9


x 2
3x  32


� 2



2



x  1  log3 2
t
3x 
3x1  2


� 3
� 3



x 2

.

x  log3 2  1


Vậy, phương trình có nghiệm là x = 2 hoặc x = log32  1.
b. Viết lại phương trình dưới dạng: 5.22x  2.(2.3)x = 3.32x.
Chia cả hai vế của phương trình cho 32x  0 , ta được:
2x

x

�2 �
�2 �
5� �  2� �  3
�3 �
�3 �



2x

x

�2 �
�2 �
5� �  2� � 3  0 .
�3 �
�3 �

x

Đặt t =

�2 �
2
�3 �, điều kiện t > 0, ta được: 5t
��

0.

16

 2t  3 = 0

t 0



t=1 

x

�2 �
�3 � = 1  x =
��


Vậy, phương trình có nghiệm x = 0.
Ví dụ 3: Cho phương trình 4x  2x 1  3  0. Khi đặt t  2x ta được phương trình
nào sau đây:
A. 4t  3  0

B. t 2  t  3  0

C. t 2  2t  3  0

D. 2t 2  3t  0

Giải:

 

2x

Phương trình � 2  2.2x  3  0 � 2

x

2

 2.2 x  3  0

Đặt t  2x Pt � t 2  2t  3  0
Vậy ta chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Phương trình 9 x  3.3x  2  0 có hai nghiệm x1 , x2 với x1  x2 . Giá trị của
A  2 x1  3x2 là.

A. x  0 .

B. x  4 log 3 2 .

C. x  3log 3 2 .

D. x  2 .

Lời giải.

3x  1
9 x ����
3.3x 2 
0
�x
3 2


x0


x  log3 2


x1  x2

x1  0


x2  log3 2


� A  2 x1  3x2  3log 3 2 . Ta chọn C.

Ví dụ 5: Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình 32 x  32 x  30 .
A. 0 .

B.

1
.
3

C. 3 .

D.

10
.
3

Lời giải.
Chọn A.
Phương trình tương đương:

3x  3
x 1

9
9.3x  x  30 � 3.32 x  10.3x  3  0 � �x 1 � �

x  1
3
3 

� 3

Vậy tổng các nghiệm của pt là: x1  x 2  1  (1)  0
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho phương trình 25x 1  26.5x  1  0 . Đặt t  5x , t  0 thì phương trình trở
thành :
A. t 2  26t  1  0 .

B. 25t 2  26t  0 .

C. 25t 2  26t  1  0 . D. t 2  26t  0 .

Bài 2: Số nghiệm của phương trình 9x  2.3x 1  7  0 là
17


A. 1

B. 4

C. 2

D. 0

Bài 3: Cho phương trình 9x  2.3x  3  0 . Khi đặt t  3x ta được phương trình nào
dưới đây?
A. t 2  2t  3  0 .

B. 122x 1  3  0 .

C. 2t 2  3  0 .

D. t 2  t  3  0 .

Bài 4: Số nghiệm thực của phương trình 4x  2x  2  3  0 là:
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Bài 5: Phương trình 3.4x  5.6x  2.9x  0 đương đương với phương trình nào sau
đây?
A. 3x 2  5x  2  0 .

B. x 2  x  0 .

C. 2x 2  5x  3  0 . D. 2x 2  5x  3  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
x

�2 �

� � 1
2x
x
x0

�3 �
2
2





��
Ta có 3.4x  5.6x  2.9 x  0 � 3. � �  5. � � 2  0 � � x
.
x 1

�3 �
�3 �
2
2



� �
�3 � 3

x0

Phương trình x 2  x  0 � � .
x 1


Bài 6: Tổng các nghiệm của phương trình 32x  2  4.3x 1  3  0 là.
A. 1 .

B. 1 .

C.

4
.
3

D.

1
.
3

Bài 7: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 32 x  (2 x  9).3x  9.2 x  0 bằng
A. 3 .

B. 2 .

D. 2 .

C. 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B
Đặt t  3x , t  0
t 9


2
x
x
Phương trình trở thành: t  (2  9)t  9.2  0 � �

t  2x


* Với t  9 � 3x  9 � x  2
x

�3 �
* Với t  2 � 3  2 � � � 1 � x  0
�2 �
x

x

x

Vậy, phương trình có hai nghiệm x1  0 ; x2  2 � x1  x2  2 .

18


Giải pháp 3: Hướng dẫn sử dụng CASIO 570ES, CASIO570VN– PLUS, Vinacal....(
gọi chung là: máy tính cầm tay - MTCT) để giải phương trình mũ:
- Thuận lợi của giải pháp:
+ Giúp học viên làm bài tập trắc nghiệm nhanh, chính xác.
+ Tạo hứng thú cho học viên khi làm bài tập.
+ Rèn luyện được kỹ năng bấm máy tính cầm tay để phục vụ cho các
chuyên đề sau một cách thuận tiện.
- Khó khăn của giải pháp:
+ Học viên không thường xuyên sử dụng máy tính cầm tay.
+ Sự đa dạng của câu hỏi trắc nghiệm dẫn tới học viên khó nhìn nhận và
tư duy để sử dụng MTCT.
+ Một số học viên cao tuổi nên việc sử dụng ban đầu còn bỡ ngỡ, còn hay
nhập sai.
- Giải pháp đã thực hiện của tác giả:
+ Định hướng cho học viên biết được tác dụng của việc sử dụng MTCT
trong việc giải phương trình mũ hiện tại và sự cần thiết nên sử dụng MTCT
trong giải toán trắc nghiệm.
+ Hướng dẫn học viên cách sử dụng MTCT, cách nhập phương trình mà
đầu bài cho.
+ Động viên kịp thời những học viên yếu kém khi thực hiện tốt các thao
tác của MTCT.
+ Hướng dẫn các học viên khá hơn trong lớp kèm cặp, cùng hướng dẫn
các học viên yếu kém để sử dụng tốt MTCT.
- Hướng dẫn học viên sử dụng MTCT để giải phương trình mũ:
*) Cách 1: Sử dụng Công cụ SOLVE đề tìm số nghiệm của phương trình:
Bấm tổ hợp phím SHIFT + CALC nhập giá trị biến muốn tìm
Bài toán đặt ra: Tìm số nghiệm của phương trình a x  b ?
Xây dựng phương pháp :
 Chuyển bài toán về dạng: a x  b  0 (1) và đặt f  x   a x  b .
 Nhập vế trái pt (1) vào màn hình máy tính Casio
19


Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE với nghiệm gần giá trị x 0
nào đó ( thường chọn 0; 1; 2;…)Máy tính báo có nghiệm x  x 0


Để tìm nghiệm tiếp theo ta tiếp tục sử dụng chức năng SHIFT

SOLVE, tuy nhiên câu hỏi được đặt ra là làm thế nào máy tính không lặp lại
giá trị nghiệm x  x 0 vừa tìm được ?
+) Để trả lời câu hỏi này ta phải triệt tiêu nghiệm x  x 0 ở phương trình
f  x   0 đi bằng cách thực hiện 1 phép chia

f  x
x  x0

+) Sau đó tiếp tục SHIFT SOLVE với biểu thức

f  x
để tìm nghiệm tiếp theo.
x  x0

+) Quá trình này liên tục đến khi nào máy tính báo hết nghiệm thì thôi.
Tổng hợp phương pháp
Bước 1: Chuyển PT về dạng a x  b  0 (Vế trái trừ vế phải= 0 )
Bước 2: Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE dò nghiệm
Bước 3: Khử nghiệm đã tìm được và tiếp tục sử dụng SHIFT SOLVE để dò nghiệm
Ví dụ 1: Để tìm nghiệm của phương trình: 2x  x  4.2 x  x  22x  4  0
2

ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Nhập vào máy :
2X

2

X

 4.2X

2

X

 22X  4  0

Bước 2: Bấm tổ hợp phím SHIFT + CALC
Máy hỏi Solve for X có nghĩa là bạn muốn bắt
đầu dò nghiệm với giá trị của X bắt đầu từ số
nào? chỉ cần nhập 1 giá trị bất kì thỏa mãn
điều kiện xác định là được. Chẳng hạn ta chọn
số 0 rồi bấm nút =
Bước 3: Nhận nghiệm: X  0

Để tìm nghiệm tiếp theo ta chia biểu thức cho
(X - nghiệm trước), nếu nghiệm lẻ thì lưu

20

2


biến A, chia cho X  A tiếp tục bấm SHIFT +
CALC cho ta được 1 nghiệm X  1 . Nhấn nút
1 sau đó chia cho X-1 nhấn dấu = máy báo
Can’t Sole do vậy phương trình chỉ có hai
nghiệm x1  0, x 2  1
Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình 6.4 x  12.6x  6.9x  0 là:
A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

GIẢI
 Nhập vế trái của phương trình 6.4x  12.6 x  6.9x  0 vào máy tính Casio :

 Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm được nghiệm thứ nhất :

Ta thu được nghiệm thứ nhất x  0
 Để nghiệm x  0 không xuất hiện ở lần dò nghiệm SHIFT SOLVE tiếp
theo ta chia phương trình F  X  cho nhân tử x

Tiếp tục SHIFT SOLVE lần thứ hai :

Ta nhận thấy 1050 

1
�0 (do cách làm tròn của máy tính Casio) Có
1050

nghĩa là máy tính không thấy nghiệm nào ngoài nghiệm x  0 nữa � Phương
trình chỉ có nghiệm duy nhất.
� Chọn B
2

Ví dụ 3 : Số nghiệm của phương trình 2x 2x 
A. 3

B. 2

3
(1) là :
2

C. 1
21

D. 4


GIẢI
3
2

2



Chuyển phương trình (1) về dạng : 2x 2x   0



Nhập vế trái của phương trình 2x 2x   0 vào máy tính Casio rồi

2

3
2

nhấn = để lưu vế trái vào máy tính.
Dò nghiệm lần thứ nhất với x gần 1

Ta được nghiệm x  0.2589...


Tiếp theo ta sẽ khử nghiệm x  0.2589... nhưng nghiệm này lại rất

lẻ, vì vậy ta sẽ lưu vào biến A bằng cách bấm: SHIFT

RCL

(-)

Sau đó gọi lại phương trình và thực hiện phép chia nhân tử x  A để khử
nghiệm A



Tiếp tục SHIFT SOLVE với x gần 1. Ta được nghiệm thứ hai và lưu vào B

Gọi lại phương trình ban đầu rồi thực hiện phép chia cho nhân tử x  B để
khử nghiệm B

Rồi dò nghiệm với x gần 0

22


Máy tính nhấn Can’t Solve tức là không thể dò được nữa (Hết nghiệm)
 Kết luận : Phương trình (1) có 2 nghiệm � Chọn đáp án B
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Số nghiệm của phương trình x  3
A. 3 .

x2 x

  x  3

B. 4 .

12

là:

C. 1 .

D. 2 .

Bài 2: Số nghiệm của phương trình 22x 5x 3  1 là:
2

A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 1 .

Bài 3: Số nghiệm của phương trình 2x  x  1 là
2

A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Bài 4: Số nghiệm của phương trình 22x 7 x 5  1 là:
2

A. 2 .

B. 1 .

C. Vô số nghiệm.

D. 0 .

x

Bài 5: Tập nghiệm của phương trình 4
� 2�
� 3

x x2

�1 �
 � � là
�2 �

� 1�
� 2

A. �0; �.

C.  0; 2 .

B. �0; �.

Bài 6: Tìm số nghiệm của phương trình 27
A. 0

B. 1
2

Bài 7: Phương trình: 2x 2x.3x 
A. 1

x 2
x 1

� 3�
� 2

D. �0; �.

7x

3
.

243

C. 2

D. Vô số

3
có mấy nghiệm?
2

B. 0

C. 2

D. Vô số

Bài 8: Cho phương trình: x 3 .3x  27x  x.3x 1  9x 3 . Tìm tổng số nghiệm của
phương trình.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
*) Rút kinh nghiệm về phương pháp sử dụng SHIFT SOLVE dò nghiệm:
+ Có những bài toàn sử dụng MTCT thực hiện sẽ dài hơn, lâu hơn việc
nhớ công thức để làm bài toán đó.
+ Còn một số bài toán không thể dùng kỹ thuật Shift Solve để dò nghiệm
được mà cần hải dùng đến công cụ khác như CALC, chức năng Mod 7 trong
MTCT....

23


Tuy nhiên sau quá trình giảng dạy trên lớp đối với học viên yếu, thì việc
sử dụng MTCT nói chung cũng sẽ rất hiệu quả với những em còn khó khăn về
vấn đề nhớ sâu kiến thức.... Vì vậy trong nội dung này tác giả chỉ đề cập đến
một số bài tập cơ bản để rèn luyện khả năng, kỹ năng sử dụng CASIO của học
viên. Giúp học viên khi đi thi nếu không thể nhớ nổi công thức hay còn mơ
màng, nhầm lẫn thì đây cũng chính là công cụ, là chiếc phao cứu họ.
Ngoài công cụ trên thì tác giả cũng mong muốn đưa ra cách thứ 2 với
những nội dung đơn giản hơn, phù hợp với những đối tượng học viên yếu sau
đây:
*) Cách 2: Sử dụng Công cụ CALC đề tìm nghiệm của phương trình:
Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm của phương trình, hoặc bài toán hỏi
phương trình a x  b có nghiệm là...?
Xây dựng phương pháp :
 Chuyển bài toán về dạng: a x  b  0 và đặt f  x   a x  b
 Nhập vế trái vào màn hình máy tính Casio
Sử dụng chức năng gán nghiệm CALC với lần lượt đáp án đã cho
Đáp án nào cho ra kết quả bằng 0 thì đó chính là nghiệm của phương trình
đã cho
Tổng hợp phương pháp:
Bước 1: Chuyển PT về dạng a x  b  0 (Vế trái trừ vế phải= 0 )
Bước 2: Sử dụng chức năng CALC để gán nghiệm
Bước 3: Bấm CALC với lần lượt các đáp án. Đáp án nào cho ra bằng 0
thì đó chính là nghiệm của phương trình
Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình 4x  16 là
2

A. S   2

B. S   � 2 

C. S   4
GIẢI

Phương pháp chính: Dựa vào đáp án đầu bài đã cho: CALC
Bước 1: Chuyển PT đã cho về dạng : 4x  16  0
2

Bước 2: nhập vào máy tính vế trái của phương trình
24

D. S   �2


Bước 3: Bấm CALC với lần lượt 4 đáp án (Từ đáp án A đến đáp án D) của
đầu bài đã cho. Nếu đáp án nào cho ra kết quả bằng 0 thì dừng lại và chọn đáp
án đó (chính là đáp án đúng).
KQ: Chọn B (vì khi ta bấm CALC thì cả 2;  2 đều cho kết quả bằng 0)
x

Ví dụ 2: Phương trình 8 x  2  4.34 x có nghiệm là?
x4


x4


A. �
x  2


x 5


B. �
x 1


C. �
x 1


x   log 3 2  2


D. �
x4


*) Nhận xét: Với những bài toán kiểu như thế này. Nếu học viên yếu mà
gặp thì cũng thấy sợ, thấy khó dẫn tới việc đánh bừa đáp án là điều đương nhiên.
Nhưng theo tác giả thiết nghĩ. Nếu học viên biết sử dụng Casio trong các
kiểu bài toán như thế này thì không ai là không thể làm được.
Vì vậy chức năng CALC trong trường hợp kiểu như thế này đã giúp học
viên phần nào đó tự tin hơn khi làm toán.
Giải
Phương pháp chính: Dựa vào đáp án đầu bài đã cho: CALC
x

Bước 1: Chuyển pt đã cho về 1 vế: 8 x  2  4.34 x  0
Bước 2: Nhập vế trái của phương trình vào MTCT:
Bước 3: Tính các giá trị biểu thức tại x  4 và x  2 (Xét đáp án A)

*) Bấm CALC

4

= máy tính hiển thị

Vậy x  4 là một nghiệm của phương trình.
Để kiểm tra xem đáp án A có đúng hay không ta tiếp tục:

Bấm CALC

-2

= máy tính hiển thị

Vậy x  2 không là nghiệm của phương trình.
Vì đáp án A có 2 nghiệm mà nghiệm x=4 làm cho biểu thức băng 0, x=-2
không làm cho biểu thức bằng 0
25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×