Tải bản đầy đủ

GT12CB 12 18

Tiết: 12-18
I.

Ngày soạn:........................................
§5.KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Mục tiêu :
1. Về kiến thức :
- Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số bậc 3, hàm số bậc 4 trùng phương, hàm
phân thức dạng y =

ax + b
cx + d

- Biết sự tương giao của hai đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình
2. Về kĩ năng :
- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc 3, hàm số bậc 4 trùng phương,
hàm phân thức dạng y =

ax + b
cx + d


- Biết tìm giao điểm của hai đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình
3. Về thái độ : Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một
cách lôgic và hệ thống.
4. Năng lực hướng tới:
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
1. Giáo viên : Giáo án.
2. Học sinh : SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về khảo sát hàm số.
III. Phương tiện, phương pháp và kĩ thuật dạy học:
Phương pháp đặt và giải quyết vấn đề
IV. Tiến trình dạy học:
Tiết 12: Dạy mục 1, 2.1, 2.2
Tiết 13: Dạy mục 2.3
Tiết 14: Dạy mục 2.4
Tiết 15: Dạy mục 2.5
Tiết 16: Dạy mục 3(Bài 1)
Tiết 17: Dạy mục 3(Bài 2,3,4)
Tiết 18: Dạy mục 3 (Bài 5,6)
1. Hoạt động khởi động: Các tiết học trước chúng ta đã tìm hiểu về tính đơn điệu, cực
trị, tiệm cận của hàm số. Hôm nay chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức đó để khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Hình thành kiến thức:
2.1 Tìm hiểu sơ đồ khảo sát hàm số
I. Sơ đồ khảo sát hàm số
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
– Tính y′ .
– Tìm các điểm tại đó y′ = 0 hoặc y′ không xác định.
– Tìm các giới hạn đặc biệt và tiệm cận (nếu có).
– Lập bảng biến thiên.
– Ghi kết quả về khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
3. Đồ thị
– Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.
1


+ Tìm giao điểm với trục tung:
→ Cho x = 0, tìm y.
+ Tìm giao điểm với trục hoành:
→ Giải pt: y = 0, tìm x.
– Xác định tính đối xứng của đồ thị (nếu có).
– Xác định tính tuần hoàn (nếu có) của hàm số.
– Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ.
2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
II. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
1. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 + 3x 2 − 4
Giải
TXĐ: D = ¡ .
x = 0
 x = −2

2
Ta có: y′ = 3 x 2 + 6 x . y′ = 0 ⇔ 3x + 6 x = 0 ⇔ 

y = −∞ ; lim y = +∞ .
Giới hạn: xlim
→−∞
x →+∞
Bảng biến thiên

x
y′
y

−∞

−2

+
−∞

0
0



Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) và

0
0

+∞

+

+∞

−4

( 0; +∞ ) ; nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) .

Hàm số đạt cực đại tại xCD = −2; yCD = 0 .
Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0; yCT = −4 .
Đồ thị
+ Ta có: y′′ = 6 x + 6 . y′′ = 0 ⇔ 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1; y = −2 .
Đồ thị nhận I ( −1; −2 ) làm tâm đối xứng.
+ Điểm đặc biệt
x −3 −2 −1 0 1
y −4
0 −2 −4 0
Chú ý: Đồ thị hàm bậc ba nhận I(x0,y0) làm tâm đối xứng, với x0 là nghiệm của y”=0

Hoạt động: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba: (SGK)
Ví dụ: Đồ thị của hàm số trong hình sau là đồ thị của hàm số nào?
A. y = − x 3 + x 2 + 1
2


B. y = x 3 + 3x 2 + 1
C. y = − x 3 + 3x + 1
D. y = x 3 − 3x + 1
Dựa vào dạng đồ thị của hàm bậc ba ta thấy
+ Hàm số bậc 3 có cực trị ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
+ Hàm số bậc 3 không có cực tri ⇔ y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Ví dụ:
3
2
Cho hàm số y = x − 3x + 3 ( 2m − 1) x − 2 . Tìm m để hàm số trên không có cực trị.
Giải
2
Ta có: y′ = 3x − 6 x + 3 ( 2m − 1)
ycbt ⇔ y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 9m 2 − 18m + 9 ≤ 0 ⇔ m ≠ 1 .
Vậy m ≠ 1 là các giá trị cần tìm.
2.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
2. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
VD: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 − 2 x2 − 3
Giải
+D=R
 x = −1
+ y′ = 4 x(x − 1) , y′ = 0 ⇔  x = 1

x = 0
2

y = +∞ ; lim y = +∞
+ xlim
→−∞
x→+∞

+ BBT

+ Đồ thị
x = 0 ⇒ y = –3
x= − 3
x= 3

y=0⇔

Hàm số đã cho là hàm số chẵn ⇒ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3


Vi dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y= −

x4
3
− x2 +
2
2

+D=R
+ y′ = −2 x(x2 + 1) , y′ = 0 ⇔ x = 0
y = −∞ ; lim y = −∞
+ xlim
→−∞
x→+∞

+ BBT

+ Đồ thị
x = 0 ⇒y =

3
2

y = 0 ⇔x = ± 1
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Dạng của đồ thị hàm bậc 4 trùng phương

Hoạt động: Cho đồ thị của hàm y = ax4 + bx2 + c như hình bên. Hãy nhận xét
1) Dấu của a.
2) Sô nghiệm của phương trình y’=0.
3) Tọa độ cực trị.
4) Tìm a, b, c.

2.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
4

ax + b
(c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)
cx + d


3. Hàm số y =

ax + b
cx + d

(c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)

VD1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
hàm số y =

−x+ 2
x+1

+ D = R \ {–1}
+ y′ = −

3

< 0, ∀x ≠ –1

(x + 1)2

+ TCĐ: x = –1
TCN: y = –1
+ BBT

+ Đồ thị
x = 0 ⇒y = 2
y = 0 ⇔x = 2
Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
x− 2
2x+1
 1
+ D = R \ − 
 2
5

số: y =

1
2
(2 x + 1)
1
1
+ TCĐ: x = − ; TCN: y =
2
2

+ y′ =

2

> 0, ∀x ≠ −

+ BBT

+ Đồ thị
x = 0 ⇒ y = –2
y = 0 ⇔x = 2
Đồ thị nhận giao điểm của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
Dạng của đồ thị hàm phân thức
5


y

y

0

0

x

ad – bc > 0

Hoạt động: Cho đồ thị của hàm số y =
1) Dấu của y’
2) Tiệm cận đứng
3) Tiệm cận ngang

x

ad – bc < 0

ax + b
như hình bên. Hãy tìm
cx + d

4) Đồ thị trên là của hàm số nào?

2.5. Sự tương giao của các đồ thị.
III. Sự tương giao của các đồ thị
Cho hai hàm số : y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2).
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1)
Giả sử (1) có các nghiệm là x0, x1, … Khi đó, các giao điểm là M0 ( x0 ; f (x0 )) , M1 ( x1; f (x1 )) ,

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C1) và (C2).
Ví dụ : Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
a) y = x3 − 3x2 + 5 ; y = −2 x3 + 2 x2 − 3 .
b) y =

2x− 4
; y = − x2 + 2 x + 4 .
x−1

Giải:
a) x3 − 3x2 + 5 = −2 x3 + 2 x2 − 3 ⇔ 3x3 − 5 x2 + 8 = 0 ⇔ x = –1
Vậy giao điểm của hai đồ thị là (-1;1)
2x− 4
= − x2 + 2 x + 4
x−1
2
 3
x = 0
⇔  x − 3x = 0 ⇔ 
x = 3
x ≠ 1

b)

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại (0 ;4) và (3 ;1)
Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số y = (x − 1)(x2 − mx + m2 − 3) cắt trục hoành tại 3 điểm phân
6


biệt.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành
là (x − 1)(x2 − mx + m2 − 3) = 0
Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔ x2 − mx + m2 − 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 1
∆ > 0
−2 < m< 2
⇔
2
m≠ −1
1 − m+ m − 3 ≠ 0

⇔

Ví dụ: Cho đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 − 4 như hình vẽ bên.
Tìm m để phương trình x3 + 3x 2 − 4 = m có 3 nghiệm phân
biệt
Giải:
Số nghiệm của phương trình y = x3 + 3x 2 − 4 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và
đường thẳng y = m
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình x3 + 3x 2 − 4 = m có 3 nghiệm phân biệt khi -4Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Tìm m để phương trình f ( x) = m có 1 nghiệm duy nhất.
Ví dụ : Tìm m để phương trình x 4 − 2 x 2 − 3 = m có 4 nghiệm phân biệt.
Giải : Lập bảng biến thiên, - 4 < m < - 3.
3. Luyện tập:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
a) y = x 3 − x
b) y = − x 4 + 2 x 2 + 3 .
2x + 1
y=
c)
x +1

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2 x + 1 và đường thẳng y = 2 x + 7
x +1

Bài 3: Tìm m để phương trình x − 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 + mx 2 + 3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
3

Bài 5: Tìm m để đồ thị các hàm số sau cắt nhau tại hai điểm phân biệt:

2 x2 − 3 x + m
y=
; y = 2x+ m
x−1
Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
y = mx3 + 3mx2 − (1 − 2m)x − 1

7


4. Vận dụng và mở rộng
Bài tập. Cho hàm số : y = − x 4 − 2 x 2 + 3 .
a) Khảo sát sự biển thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.
4
2
b) Từ đó suy ra đồ thị hàm số : y = − x − 2 x + 3

5. Hướng dẫn học bài ở nhà
5.1 Hướng dẫn học bài sau tiết 12
Giải bài tập 1SGK
5.2 Hướng dẫn học bài sau tiết 13
Giải bài tập 2SGK
5.3 Hướng dẫn học bài sau tiết 14
Giải bài tập 3SGK
5.4 Hướng dẫn học bài sau tiết 15
Giải bài tập 1,2,3,4 (Phần luyện tập)
5.5 Hướng dẫn học bài sau tiết 16
Giải bài tập 2,3,4 (Phần luyện tập)
5.6 Hướng dẫn học bài sau tiết 17
Giải bài tập 5,6 (Phần luyện tập)
5.7 Hướng dẫn học bài sau tiết 18
Ôn tập chương I

8



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×