Tải bản đầy đủ

GT12CB 2 3 4

Tiết 2-4

Ngày soạn:................................
§1. SỰ ĐÔNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ.

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: Học sinh nắm được tính đơn điệu và dấu của đạo hàm và quy tắc xét tính đơn
điệu của hàm số.
2. Kỹ năng: Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số.
3. Thái độ : Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic
và hệ thống.
4. Năng lực hướng tới: Xét sự biến thiên của hàm số bằng cách xét dấu của đạo hàm
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ.
2. Học sinh: SGK, vở ghi, kiến thức đã học về đạo hàm ở lớp 11.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
TIẾT 2: Dạy mục 1, 2.1, 2.2 (quy tắc)
TIẾT 3: Dạy mục 22, 2.3, 3 (bài 1)
TIẾT 4: Dạy mục 3 (bài 2, bài 3)

1. Hoạt động khởi động/Tạo tình huống
Đồ thị của hàm số y = x 2
Hàm số y = x 2 đồng biến trên khoảng nào?
Hàm số y = x 2 nghịch biến trên khoảng nào?

y ' > 0 khi nào?
y ' < 0 khi nào?
2
Dựa vào đồ thị của hàm số y = x và bảng xét dấu đạo hàm của nó, hãy nêu mối liên hệ
giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm của hàm số đó.
Vậy khi biết dấu của đạo hàm thì ta có biết được sự đồng biến, nghịch biến của hàm số đó
không?
2. Hoạt động hình thành kiến thức:
2.1 Tính đơn điệu của hàm số
Lập bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số y = x 2

I.

Tính đơn điệu của hàm số
1. Nhắc lại định nghĩa. (SGK)
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ K thì y = f(x) đồng biến trên K.
1


Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ K thì y = f(x) nghịch biến trên K.
Chú ý: Nếu f ′ (x) = 0, ∀x ∈ K thì f(x) không đổi trên K.
Ví dụ: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau
+∞
−1
X −∞
1


y'
0 + 0
1
0
Y

2

1

2

0

Hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào?
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 4 + 3x − x 2
TXĐ : D = ¡ .
3
2

Ta có : y ' = 3 − 2 x . y ' = 0 ⇔ x = .
Bảng biến thiên
x

+

y'
y

3
2

−∞

0

+∞


25
4

−∞

−∞

3

3

Hàm số đồng biển trên  −∞; ÷ . Hàm số nghịch biến trên  ; +∞ ÷.


2

2



Khẳng định ngược lại của định lí trên có đúng không?. Nói cách
khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của
nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không?
Chằng hạn: Xét đồ thị của hàm số y = x 3 như hình bên.
Ta có : y ' = 3x 2 ≥ 0, ∀x . Có bảng biến thiên
−∞
+∞
x
0
y'
+
0
+
+∞

y

−∞

0

Chú ý :
Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ′ (x) ≥ 0 (f′ (x) ≤ 0), ∀x ∈ K và f′ (x) = 0 chỉ tại một
số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2 x 3 + 6 x 2 + 6 x − 1
2.2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Nêu vấn đề: Để xét tính đơn điệu của một hàm số ta phải thực hiện các bước nào?
II.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
1. Quy tắc
B1) Tìm tập xác định.
B2) Tính f′ (x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
2


B3) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1
3

1
2

a) y = x3 − x2 − 2 x + 2 ;

b) y =

x−1
.
x+1

Giải: a) Hàm số đồng biến (–∞; –1), (2; +∞) nghịch biến (–1; 2).
2
> 0,∀x∈ D
b) TXĐ : D = ¡ \ { −1} . Ta có : y' =

x+1
Suy ra : hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .

3. Luyện tập
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) y = 4 + 3 x − x2 ;
b) y = − x3 + x2 − 5 ;
c) y = x4 − 2 x2 + 3 .
Giải: a) y = 4 + 3x − x 2
TXĐ : D = ¡ .
Ta có : y ' = 3 − 2 x .
y' = 0 ⇔ x =

3
.
2

Bảng biến thiên
3
2

−∞

x

+

y'
y

+∞



0
25
4

−∞

−∞

3

KL : Hàm số đồng biển trên  −∞; ÷


3

2



Hàm số nghịch biến trên  ; +∞ ÷.
2

 2
2

 3
3

c) ĐB: ( −1;0 ) , ( 1;+∞ ) ; NB: ( −∞; −1) ,

b) ĐB:  0; ÷, NB: ( −∞; 0 ) ,  ; +∞ ÷

Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
a) y =

x
2

x +1

Giải a) y =

; b) y = 2 x − x2 ,
x

x2 + 1

TXĐ : D = ¡ . Ta có : y ' =

1 − x2

(1+ x )
2

2

3


y ' = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên :
−∞
−1
x

y'
0
0
y



+∞


1
0

+

1
2

1
2

0
Vậy hàm số đồng biến trên ( −1;1) nghịch biến trên ( −∞;1) ; ( 1; +∞ ) .
b) y = 2 x − x2
1− x

TXĐ : D = [ 0; 2] . Ta có: y ' =
Bảng biến thiên :
x
0
P
y'

2 x − x2

1
0
1

+

y

. y' = 0 ⇔ x =1
2



P

0
0
Vậy hàm số đồng biến trên ( 0;1) nghịch biến trên ( 1; 2 )
Bài 3: Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + x − m .
a) Xét tính đơn điệu của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡ .
Giải
a) Khi m = 1, ta có : y = x 3 + x − 1 .
TXĐ : D = ¡ . y ' = 3 x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ D .
Vậy hàm số đồng biển trên ¡ .
2
b) Ta có : y ' = 3 x − 2 ( m − 1) x + 1
3

2

2
ycbt ⇔ tìm m để 3 x − 2 ( m − 1) x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ¡

⇔ ∆ ' ≤ 0 ⇔ m 2 − 2m − 2 ≤ 0 ⇔ m ∈ − 3; 3  .
Vậy m ∈  − 3; 3  là giá trị cần tìm.

4. Ứng dụng và mở rộng:

 π
Bài 1: Chứng minh : x > sin x trên khoảng  0; ÷.


2

π



Giải: Xét hàm số y = sin x − x trên 0; ÷. Hàm số liên tục trên
 2
Ta có : y ' = 1 − cos x ≥ 0 ( y ' = 0 ⇔ x = 0 ) .

 π
.
0; 2 ÷


π



Hàm số đồng biến trên 0; ÷. Khi đó :
2




π
 π
⇒ y( 0 ) < y( x ) ⇔ 0 < sin x − x Hay x > sin x , ∀x ∈  0; ÷ (đpcm).
2
 2
2
Bài 2. Cho hàm số f ( x ) = 2 x x − 2
0< x<

a) CMR : hàm số đồng biến trên [ 2;+∞ )
b) CMR : phương trình 2 x 2 x − 2 = 11 có một nghiệm duy nhất.
4


5. Hướng dẫn học sinh học bài ở nhà:
5.1 Hướng dẫn học bài sau tiết 2
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau :
a) y =

1
1
1
3
3

; b) y = x 4 + x 3 − x + 5 ; c) y = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 6 x + 11 .
x x−2
4
4
2

Bài 2. Chứng minh rằng : Hàm số y = x 2 − 9 đồng biến trên nữa khoảng [ 3; +∞ ) .
5.2 Hướng dẫn học bài sau tiết 3
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau :

x +1
4
7
; b) y = x 2 + 2 x + 3 ; c) y = x 3 − x 5 + 8 ; d) y = 9 x 7 − 7 x 6 + x 5 + 12 .
3 x
5
5
4
Bài 2. Chứng minh rằng : Hàm số y = x + nghịch biến trên mỗi nữa khoảng [ 0;2 ) và ( 0; 2] .
x

a) y =

5.3 Hướng dẫn học bài sau tiết 4
3
2
Bài 1. Cho hàm số : y = ( m + 1) x − 3 ( m − 2 ) x + 3 ( m + 2 ) x + 1 .
a) Khi m = 2 tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡ .
1
3

3
2
Bài 2. Với các giá trị nào của a, hàm số f ( x ) = − x + 2 x + ( 2a + 1) x − 3a + 2 nghịch biến trên ¡ .

Bài 3. Với các giá trị nào của m, hàm số : y = x + 2 +
của nó.

m
đồng biến trên mỗi khoảng xác định
x −1

5



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×