Tải bản đầy đủ

Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN HIỂN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI
CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI
TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN HIỂN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI
CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI

TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9 46 01 02
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. TS. Nguyễn Huy Chiêu
2. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng

NGHỆ AN - 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số kết quả về tính dưới
chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng” là công trình
nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Huy Chiêu
và PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Các kết quả viết chung với các tác giả
khác đã được sự cho phép của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết
quả được trình bày trong luận án là mới và chưa công bố trong bất kì
công trình nghiên cứu nào từ trước đến nay.

Tác giả

Lê Văn Hiển


LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến các thầy hướng
dẫn. TS. Nguyễn Huy Chiêu là người đã đặt bài toán và tận tình chỉ bảo
tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng là
người đã hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Bộ môn Toán Giải
tích, Hội đồng khoa học ngành Toán, Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường
Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ
của nghiên cứu sinh.
Xin chân thành cảm ơn TS. Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland,
Mỹ) đã chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa và các
thầy cô, anh chị em và bạn bè đồng nghiệp ở Trường Đại học Hà Tĩnh,
Khoa Sư phạm đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận
lợi trong công việc cho tác giả tập trung học tập và hoàn thành luận án.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thành viên
trong gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, chia sẻ và giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình dài học tập và nghiên cứu.
Nghệ An, ngày 03 tháng 6 năm 2019
Tác giả

Lê Văn Hiển


1

MỤC LỤC

Mở đầu

7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

21

1.1. Một số khái niệm và tính chất bổ trợ . . . . . . . . . . . . . 21
1.2. Tính chất chính quy và điều kiện chuẩn hóa

. . . . . . . . . 25

1.3. Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 2. Đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến với điều
kiện dưới chính quy mêtric
2.1. Tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến
2.2. Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng

32
. . . . . . . 32
. . . . . . . . 52

2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chương 3. Ổn định xiên thông qua đạo hàm của ánh xạ
dưới vi phân cho một lớp bài toán tối ưu với giả thiết chính
quy gần kề

62

3.1. Đặc trưng bậc hai của tính ổn định xiên cho một lớp bài toán
tối ưu không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến với giả thiết dưới chính
quy mêtric

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


2

3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Kết luận chung và kiến nghị

104

Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án

106

Tài liệu tham khảo

107


3

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

∃x

tồn tại x

∀x

với mọi x

f :X→Y

ánh xạ đơn trị từ X vào Y

F :X⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

gphF

đồ thị của ánh xạ F : X ⇒ Y

domF

miền hữu hiệu của ánh xạ F : X ⇒ Y

rgeF

ảnh của ánh xạ F : X ⇒ Y

Br (x)

hình cầu đóng tâm x bán kính r > 0

B

hình cầu đơn vị đóng

∇f (x) : X → Y

đạo hàm của f tại x

δΩ (·)

hàm chỉ của tập Ω

R

tập số thực

R−

tập số thực không dương

R

tập số thực suy rộng R ∪ {±∞}

Sn

tập tất cả các ma trận thực đối xứng cấp n

Rn

không gian Ơclit n chiều

Rn+

tập hợp các véctơ với tọa độ không âm trong Rn

Rn−

tập hợp các véctơ với tọa độ không dương trong Rn



tập rỗng

x ∈ Rn

x là phần tử của tập Rn

C ⊂ Rn

C là tập con của Rn

., .

tích vô hướng trong Rn


4

chuẩn Ơclit trong Rn

.
intΩ

phần trong của tập Ω

convΩ

bao lồi của tập Ω

C⊥

phần bù trực giao của C trong Rn , tức là

C ⊥ := u ∈ Rn | u, x = 0 với mọi x ∈ C
Co

nón cực của C trong Rn , tức là

C o := u ∈ Rn | u, x ≤ 0 với mọi x ∈ C
posC

tổ hợp tuyến tính dương của C trong Rn , tức là
k

λi ci | λi ≥ 0, ci ∈ C ∪ {0},

posC :=
i=1

i = 1, . . . k, k ∈ N
{xi }

dãy véctơ

ϕ

x → x¯ và ϕ(x) → ϕ(¯
x)

x → x¯



x → x¯ và x ∈ Ω

ε↓0

ε → 0 và ε ≥ 0

[γ]+

phần dương của γ , tức là [γ]+ := max{γ, 0}

dΩ (x)

khoảng cách từ x đến Ω

δΓ

hàm chỉ của tập Γ

o(t)

vô cùng bé bậc cao hơn t (tức là lim o(t)
t = 0)

P := Q

P được định nghĩa bằng Q

x → x¯

t→0

kết thúc chứng minh

lim inf ϕ

giới hạn dưới của hàm số ϕ

lim sup ϕ

giới hạn trên của hàm số ϕ

NΩ (x)

nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x

NΩ (x)

nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x

TΩ (x)

nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x

D∗F

đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ F

DF

đạo hàm đồ thị của ánh xạ F

∂ϕ

dưới vi phân Fréchet của hàm ϕ

∂ϕ

dưới vi phân qua giới hạn của hàm ϕ


5

I(x)

tập chỉ số hoạt tại x

I + (λ)

tập các chỉ số bù chặt

Λ(x, x∗ )

tập các nhân tử KKT tương ứng với (x, x∗ )

Λ(x, x∗ ; v)

tập nhân tử nhân tử theo hướng v

K(x, x∗ )

nón tới hạn của Γ tại (x, x∗ )

L(x, λ)

hàm Lagrange

Lg (x, α, λ)

hàm Lagrange suy rộng

LP(v)

bài toán quy hoạch tuyến tính phụ thuộc tham số v

DP(v)

bài toán đối ngẫu của LP(v)

subregF (¯
x, y¯)

môđun tính dưới chính quy mêtric của F tại (¯
x, y¯)

tilt(f, x
¯)

môđun chính xác của tính ổn định xiên của f tại x
¯


6

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BEPP

tính chất điểm cực biên bị chặn

CPLD

chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương

CRCQ

chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng

KKT

Karush-Kuhn-Tucker

LICQ

chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính

MFCQ

chuẩn hóa ràng buộc Mangasaria-Fromivitz

MSCQ

chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric

CPLD

chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương nới lỏng

RCQ

chuẩn hóa ràng buộc Robinson

RUSOSC

điều kiện đủ bậc hai đều nới lỏng

SSOSC

điều kiện đủ bậc hai mạnh

USOSC

điều kiện đủ bậc hai đều


7

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liên
quan, đầu những năm 1960, R. T. Rockafellar và J.-J. Moreau đề xuất
và nghiên cứu khái niệm dưới vi phân cho hàm lồi. Giữa thập niên 1970,
F. H. Clarke và B. S. Mordukhovich độc lập đưa ra các khái niệm dưới
vi phân cho hàm có thể không lồi. Đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ
đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980. Bên cạnh đó, nhiều khái niệm
vi phân suy rộng khác (đạo hàm theo hướng, dưới đạo hàm, dưới vi phân
bậc hai, dưới đạo hàm bậc hai,...) cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu.
Năm 1998, R.T. Rockafellar và R. J.-B. Wets xuất bản cuốn sách chuyên
khảo “Variational Analysis” ([70]) trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và
bổ sung những kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu sự
ra đời của Giải tích biến phân.
Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi
đó giải tích biến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh mẽ và phát
triển nhanh ([21], [55], [56], [70]). Lĩnh vực này thu hút được sự chú ý của
nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây ([6], [8], [55], [70]).
Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân và
ứng dụng ([55]). Hơn nữa, đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào,
luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ra một cách tự nhiên: thứ nhất là cấu
trúc đó phản ánh được tính chất nào của hàm số, ánh xạ hay tập hợp;
thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúc đó theo dữ


8

liệu ban đầu của bài toán. Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đề
này người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số,
ánh xạ hay tập hợp có liên quan ([21], [44], [55], [70]). Chính vì vậy, các
tính chất chính quy là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải
tích biến phân ([21], [44], [55], [65], [70]).
Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy
đáng chú ý trong giải tích biến phân bậc nhất ([15], [21], [36], [43], [51]).
Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính dưới chính quy mêtric
trong giải tích biến phân bậc hai ([25], [52]). Tuy vậy, vai trò của tính
chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần
được khảo sát thêm.
Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là
“Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích
biến phân và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào
việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của
tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích
biến phân, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (còn được gọi là đạo
hàm đồ thị dưới gradient), tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chất
tĩnh lặng cô lập (isolated calmness).
4. Phạm vi nghiên cứu
- Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của
đạo hàm đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho


9

các bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề.
Đồng thời, luận án cũng quan tâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến
ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện dưới chính quy mêtric với
hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần.
- Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ
thị dưới gradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới
chính quy mêtric và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất
tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân
và các kĩ thuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích
biến phân, lý thuyết tối ưu.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán trong
giải tích biến phân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mới
nghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổn
định xiên trong quy hoạch phi tuyến; qua đó làm rõ hơn vai trò của tính
dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. Luận án là
tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải
tích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến
phân và ứng dụng ([55], [56], [70]). Một mặt, những tính chất này được
dùng để thiết lập điều kiện cực trị và nghiên cứu vấn đề ổn định cho các


10

bài toán tối ưu và các bài toán liên quan. Mặt khác, chúng được sử dụng
để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tích biến phân. Ngoài
ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ của các
thuật toán trong tối ưu số ([29], [54], [55], [57], [58]).
Trong giải tích biến phân, người ta đã đề xuất và nghiên cứu nhiều
khái niệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng
và ánh xạ đa trị. Đối với tập hợp, tập chính quy Clarke và tập chính quy
gần kề là hai khái niệm rất đáng chú ý, bởi vai trò quan trọng của chúng
trong việc nghiên cứu lý thuyết vi phân suy rộng và ứng dụng. Những
khái niệm này cũng có thể được dùng để định nghĩa tính chính quy cho
hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị. Chẳng hạn, hàm giá trị thực
mở rộng là chính quy dưới vi phân nếu trên đồ thị của nó là chính quy
Clarke ([70, Definition 7.25]); ánh xạ đa trị là chính quy đồ thị nếu đồ thị
của nó là chính quy Clarke ([70, Definition 8.38]); hàm giá trị thực mở
rộng là chính quy gần kề nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là chính quy
gần kề ([65, Theorem 3.5]). Đối với ánh xạ đa trị, các khái niệm chính
quy kiểu mêtric như chính quy mêtric, chính quy mêtric mạnh, dưới chính
quy mêtric và dưới chính quy mêtric mạnh có vai trò quan trọng cả trong
lý thuyết lẫn ứng dụng ([21], [44], [70]). Ngoài ra, khá nhiều mở rộng và
biến thể của các khái niệm chính quy đề cập ở trên cũng đã xuất hiện
trong giải tích biến phân và tìm được những ứng dụng nhất định. Phần
tiếp theo của tổng quan sẽ tập trung vào tính chính quy gần kề và một
số tính chất chính quy kiểu mêtric, bởi đây là các khái niệm chính quy
liên quan trực tiếp đến đóng góp của luận án này.
Khái niệm hàm chính quy gần kề được Poliquin và Rockafellar ([65])
giới thiệu năm 1996. Ngoài các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới,
lớp hàm chính quy gần kề còn bao gồm nhiều hàm số quan trọng khác
trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như hàm khả vi có đạo hàm
Lipschitz địa phương, hàm dưới-C 2 , hợp của hàm lồi chính thường nửa


11

liên tục dưới với ánh xạ khả vi liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện chuẩn
hóa chính quy mêtric, hàm chỉ (indicator function) của tập ràng buộc của
bài toán quy hoạch phi tuyến với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy
mêtric ([1], [15], [65]). Bao Moreau (Moreau envelope) của hàm chính quy
gần kề là khả vi và có đạo hàm Lipschitz địa phương, trong khi ánh xạ
gần kề (proximal mapping) liên kết với nó là đơn điệu, đơn trị và Lipschitz
địa phương ([70, Proposition 13.37]). Đây là những tính chất đáng chú ý
xét từ góc độ tối ưu số. Tính chính quy gần kề được dùng nhiều trong
các nghiên cứu về vi phân suy rộng bậc hai ([65], [70]). Nó còn được sử
dụng trong nghiên cứu quá trình quét (sweeping process), tính khả vi của
hàm khoảng cách và tính trơn của phép chiếu mêtric lên tập không lồi
([5], [16], [27], [67]). Thông tin chi tiết về nhiều ứng dụng khác nhau của
khái niệm chính quy gần kề có thể tìm thấy trong tài liệu [15].
Tính chính quy kiểu mêtric của ánh xạ xuất hiện lần đầu vào cuối
thập niên 1970. Nó được sử dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau
trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như thiết lập qui tắc tính
toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng, nghiên cứu điều kiện cực trị,
tính ổn định và phương pháp giải cho các bài toán tối ưu và bài toán liên
quan. Khái niệm chính quy mêtric là một ví dụ điển hình về chính quy
kiểu mêtric. Khái niệm này có nguồn gốc từ định lý ánh xạ mở BanachSchauder trong giải tích hàm và định lý Lyusternik-Graves trong giải
tích phi tuyến. Thuật ngữ “chính quy mêtric” được Borwein ([9]) đề xuất
năm 1986. Borwein và Zhuang ([10]) cùng với Penot ([64]) cho thấy rằng
ánh xạ đa trị là chính quy mêtric nếu và chỉ nếu nó là mở tuyến tính, hơn
nữa các tính chất này tương đương với tính chất Aubin của ánh xạ ngược.
Năm 1993, Mordukhovich ([54]) đã thiết lập được đặc trưng đối đạo hàm
cho các ánh xạ đa trị chính quy mêtric và tiêu chuẩn Mordukhovich cho
tính chất Aubin ([70, Theorem 9.40]). Năm 2003, để nghiên cứu vấn đề
bảo tồn tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị dưới tác động của nhiễu,


12

Dontchev và các cộng sự ([22]) đã giới thiệu khái niệm bán kính chính quy
mêtric (the radius of metric regularity) của ánh xạ đa trị, đồng thời đưa
ra công thức tính đại lượng này thông qua đối đạo hàm của ánh xạ đa trị
được xem xét. Kết quả này là một mở rộng của định lý Eckart-Young nổi
tiếng trong giải tích số. Ý tưởng bán kính chính quy mêtric sau đó được
áp dụng để nghiên cứu tính chính quy mêtric mạnh và một số khái niệm
khác, dẫn đến sự hợp nhất của nhiều kết quả cơ bản của giải tích biến
phân. Thông tin chi tiết về tính chính quy mêtric có thể tìm thấy trong
các bài báo tổng quan về vấn đề này của Ioffe (xem [40], [41], [42]).
Một tính chất chính quy kiểu mêtric khác cũng rất quan trọng trong
các nghiên cứu điều kiện tối ưu và quy tắc tính toán của các cấu trúc vi
phân suy rộng là tính dưới chính quy mêtric. Nó là một tính chất yếu hơn
nhiều so với tính chính quy mêtric. Năm 1979, Ioffe sử dụng tính chất này
để định nghĩa khái niệm điểm chính quy ([39]) và thiết lập điều kiện cần
tối ưu bậc nhất cho một lớp bài toán tối ưu ([38]). Thuật ngữ “dưới chính
quy mêtric” được đề xuất năm 2004 bởi Dontchev và Rockafellar ([20]).
Tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tương đương với tính chất
tĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược ([21, Theorem 3H.3]). Năm 2008,
Ioffe và Outrata ([43]) đã thiết lập được hệ thống quy tắc tính toán cho
các cấu trúc vi phân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu với điều kiện dưới
chính quy mêtric. Công trình này cũng cho thấy rằng điều kiện chuẩn
hóa dùng trong hệ thống quy tắc tính toán chuẩn cho các cấu trúc vi
phân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu, được trình bày trong các cuốn
sách chuyên khảo [55] và [70], thực chất là tương đương với tính chính
quy mêtric của ánh xạ đa trị thích hợp. Ngoài các quy tắc tính toán cho
vi phân suy rộng bậc nhất, gần đây, các nhà nghiên cứu cũng đã thiết
lập được nhiều quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng bậc
hai với giả thiết dưới chính quy mêtric. Tính dưới chính quy mêtric cũng
có vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm phạt chính xác và chặn sai số


13

([11], [40], [38], [39], [45], [72], [74]) cũng như trong tối ưu số ([46]).
Đạo hàm đồ thị (graphical derivative) của ánh xạ đa trị tại điểm thuộc
đồ thị là ánh xạ đa trị có đồ thị là nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đa
trị đã cho tại điểm được xem xét. Khái niệm này được Aubin ([3]) đề
xuất năm 1981 với tên gọi là đạo hàm contingent. Thuật ngữ đạo hàm đồ
thị đã được sử dụng trong cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis”
xuất bản năm 1998 của Rockafellar và Wets ([70]) và hiện nay nó là thuật
ngữ thông dụng để chỉ khái niệm trên. Đạo hàm đồ thị là công cụ mạnh
trong giải tích biến phân ([4], [21], [70]). Nó đã được dùng để nghiên cứu
tính ổn định của các hệ ràng buộc, hệ biến phân và tổng quát hơn là các
phương trình suy rộng ([4], [21], [44], [47], [48], [49], [70]). Đạo hàm đồ thị
còn có thể sử dụng để đặc trưng một số tính chất tốt của ánh xạ đa trị
như tính chính quy mêtric, tính chất Aubin ([4], [21], [23]), tính chất tĩnh
lặng cô lập và tính dưới chính quy mêtric mạnh ([21], [47], [48]). Ngoài
ra, đồ thị của đạo hàm đồ thị cũng đã đóng vai trò trung gian trong việc
tính toán các cấu trúc kiểu đạo hàm đối ngẫu ([18], [29], [37]). Mặc dù
là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến
phân, tính toán đạo hàm đồ thị nói chung là bài toán khó. Nó đã được
nhiều người nghiên cứu trong thời gian dài và nhiều kết quả thú vị theo
hướng này đã được thiết lập ([4], [21], [35], [37], [47], [48], [49], [70], [73]).
Xét tập Γ cho bởi công thức

Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ ,
trong đó q : Rn → Rm , q(x) = (q1 (x), q2 (x), ..., qm (x)), là ánh xạ khả vi
liên tục hai lần và Θ ⊂ Rm là tập đóng khác rỗng. Đặt Mq (x) := q(x)−Θ
với x ∈ Rn . Nếu Θ = Rm
− thì Γ là miền ràng buộc của quy hoạch phi tuyến
và, trong trường hợp này, chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz
(MFCQ) đúng tại x
¯ ∈ Γ khi và chỉ khi ánh xạ Mq chính quy mêtric
quanh (¯
x, 0). Hơn nữa, nếu thêm giả thiết qi : Rn → R, i = 1, 2, ..., m, là


14

các hàm lồi, thì điều kiện Slater đúng khi và chỉ khi Mq chính quy mêtric.
Nếu Θ là nón lồi đóng thì Γ chính là miền ràng buộc của quy hoạch nón
và khi đó chuẩn hóa ràng buộc Robinson (RCQ) là tương đương với tính
chính quy mêtric của Mq . Điều kiện Slater, MFCQ và RCQ đều là các
chuẩn hóa ràng buộc rất quan trọng trong lý thuyết tối ưu và ứng dụng.
Những điều kiện này về bản chất chính là tính chính quy mêtric của ánh
xạ đa trị Mq ([8], [29]). Do đó, có thể gọi chung các điều kiện này là chuẩn
hóa ràng buộc chính quy mêtric. Năm 2015, với Γ là miền ràng buộc của
quy hoạch phi tuyến, Gfrerer và Mordukhovich ([29]) đã giới thiệu khái
niệm chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ), đó là điều
kiện Mq là dưới chính quy mêtric. Sau đó, khái niệm này đã được mở
rộng một cách tự nhiên cho Θ là tập đóng bất kỳ ([12], [31], [34]).
Trong luận án này, chúng tôi quan tâm vấn đề tính đạo hàm đồ thị

DNΓ của ánh xạ nón pháp tuyến NΓ : Rn ⇒ Rn , x → NΓ (x), với Θ là
tập lồi đa diện. Vì nón pháp tuyến NΓ (x) là dưới vi phân của hàm chỉ
liên kết với Γ nên đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến là trường
hợp đặc biệt của đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân và vấn đề
nghiên cứu ở đây thuộc lĩnh vực giải tích biến phân bậc hai. Kết quả đầu
tiên về tính đạo hàm DNΓ được thiết lập vào năm 1996 bởi Dontchev và
Rockafellar ([18]), ở đó các tác giả này đã mô tả được chính xác đồ thị
của DNΓ , với giả thiết Γ là tập lồi đa diện, theo dữ liệu đầu vào của bài
toán. Kết quả này sau đó đã được dùng để tính dưới vi phân bậc hai qua
giới hạn của hàm chỉ của Γ ([55]). Đây là khâu quan trọng để thu được
đặc trưng tính chính quy mêtric mạnh của bất đẳng thức biến phân trên
tập lồi đa diện trong [18]. Tính lồi đa diện của tập Γ đóng vai trò cốt yếu
trong kỹ thuật xử lý của Dontchev và Rockafellar ([18]). Dựa vào một số
quy tắc tính toán có sẵn của giải tích biến phân, năm 2013, Henrion cùng
các cộng sự ([35]) đã giới thiệu công thức tính đạo hàm DNΓ với giả thiết

Mq (x) := q(x) − Θ chính quy mêtric quanh điểm được xem xét. Hơn nữa,


15

nếu Θ := Rm
− và cả MFCQ và chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng (CRCQ)
đều thỏa mãn thì công thức này trở nên đơn giản hơn nhiều ([35]). Năm
2014, Gfrerer và Outrata ([28]) đã chứng minh được công thức tính đạo
hàm đồ thị của Henrion cùng các cộng sự ([35]) vẫn đúng nếu Θ := Rm

và điều kiện chính quy mêtric được thay bởi điều kiện yếu hơn là tính
dưới chính quy mêtric đúng tại điểm được xem xét và một tính chính
quy mêtric đều đúng quanh điểm này. Một đóng góp rất quan trọng của
Gfrerer và Outrata ([28]) là việc đề xuất được lược đồ chứng minh trực
tiếp công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp, mở đường giải
quyết một cách thỏa đáng bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón
1
pháp tuyến. Sử dụng lược đồ này cho trường hợp Θ := {0Rm1 } × Rm−m


với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric, năm 2015, Gfrerer và
Mordukhovich ([29]) đã chứng tỏ rằng kết quả tương tự vẫn đúng nếu
thay điều kiện chính quy mêtric đều bởi điều kiện yếu hơn, đó là tính
chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) được thỏa mãn.
Kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của Dontchev và Rockafellar ([18])
và các kết quả thiết lập về sau nói chung là độc lập với nhau theo nghĩa là
từ kết quả của Dontchev và Rockafellar ([18]) không suy ra được các kết
quả về sau và ngược lại. Tuy nhiên, về bản chất, chúng đều có giả thiết
là thỏa mãn chuẩn hóa dưới chính quy mêtric và một tính chất nào đó
thêm vào. Điều này dẫn tới câu hỏi tự nhiên như sau: Liệu chúng ta có
thể hợp nhất các kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp
tuyến bằng cách bỏ tính chất thêm vào được không? Nói cách khác, các
công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến đã đề cập ở
trên có còn đúng không nếu chỉ giả thiết Mq dưới chính quy mêtric?
Trong Chương 2, với giả thiết Mq dưới chính quy mêtric tại điểm được
xem xét và Θ là tập lồi đa diện, bỏ tính chất thêm vào, chúng tôi chứng
minh được công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến
như trên vẫn đúng và như vậy trả lời được một cách khẳng định cho câu


16

hỏi nêu trên. Để thiết lập công thức này, chúng tôi đã sử dụng lược đồ
chứng minh của Gfrerer và Outrata ([28]) kết hợp với một ý tưởng của
Ioffe và Outrata ([43]). Nhờ công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ
nón pháp tuyến, chúng tôi thu được công thức tính đạo hàm đồ thị của
ánh xạ nghiệm và đặc trưng được tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ
nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng. Kết quả của chúng tôi hợp
nhất được nhiều kết quả liên quan theo hướng nghiên cứu này.
Ổn định xiên (tilt stability) là một tính chất của cực tiểu địa phương
đảm bảo điểm này sẽ dịch chuyển kiểu Lipschitz khi hàm mục tiêu của
bài toán tối ưu chịu nhiễu tuyến tính nhỏ. Khái niệm ổn định xiên được
Poliquin và Rockafellar ([66]) giới thiệu cho bài toán tối ưu không ràng
buộc với hàm mục tiêu là hàm giá trị thực mở rộng. Khi xét các bài toán
tối ưu có ràng buộc người ta kết hợp các ràng buộc vào hàm mục tiêu
thông qua hàm chỉ của tập điểm chấp nhận được và sử dụng tương tự
như bài toán tối ưu không ràng buộc ta có tính ổn định xiên của bài toán
tối ưu có ràng buộc. Tính ổn định xiên về cơ bản tương đương với điều
kiện tăng trưởng bậc hai đều cũng như tính chính quy mêtric mạnh của
ánh xạ dưới vi phân ([8], [24], [57]). Các tính chất này được nghiên cứu
rất nhiều trong những năm gần đây.
Đặc trưng đầu tiên của tính ổn định xiên bằng cách dùng vi phân suy
rộng bậc hai được Poliquin và Rockafellar ([66]) thiết lập vào năm 1998.
Khi đó, các tác giả này đã chứng minh được rằng đối với bài toán tối ưu
không ràng buộc mà hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi
phân, một điểm dừng là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu và chỉ nếu
dưới vi phân qua giới hạn bậc hai của hàm mục tiêu là xác định dương
tại điểm được xem xét. Hơn nữa, sử dụng kết quả này cùng với công thức
của Dontchev và Rockafellar ([18]) về tính dưới vi phân qua giới hạn bậc
hai của hàm chỉ của tập lồi đa diện, Poliquin và Rockafellar đã thu được
đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến


17

với ràng buộc tuyến tính ([66, Theorem 4.5]). Khó khăn lớn nhất trong
việc áp dụng đặc trưng ổn định xiên của Poliquin và Rockafellar ([66])
cho bài toán tối ưu với ràng buộc phi tuyến là tính toán dưới vi phân bậc
hai theo dữ liệu ban đầu của bài toán.
Năm 2012, nhờ thiết lập các công thức tính dưới vi phân bậc hai mới,
Mordukhovich và Rockafellar ([62]) đã thu được đặc trưng bậc hai của
cực tiểu địa phương ổn định xiên cho một số lớp bài toán tối ưu có ràng
buộc. Đặc biệt, các tác giả này đã cho thấy rằng một điểm dừng của
quy hoạch phi tuyến thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính
(LICQ) là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu và chỉ nếu điều kiện đủ
bậc hai mạnh (SSOSC) đúng. Cũng trong năm 2012, với quy hoạch phi
tuyến thỏa mãn cả MFCQ và CRCQ, Mordukhovich và Outrata ([59])
đã chứng minh SSOSC là điều kiện đủ để một điểm dừng là cực tiểu địa
phương ổn định xiên. Năm 2015, Mordukhovich và Nghia ([57]) đã cho
thấy SSOSC không phải là điều kiện cần cho tính ổn định xiên và sau đó
đã giới thiệu điều kiện đủ bậc hai đều (USOSC) để đặc trưng tính ổn định
xiên khi cả MFCQ và CRCQ đúng. Gần đây, Gfrerer và Mordukhovich
([29]) đã thu được một số điều kiện đủ bậc hai cho cực tiểu ổn định xiên
của bài toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ và BEPP. Hơn nữa,
khi thêm điều kiện không suy thoái hoặc 2-chính quy vào thì họ đã thu
được đặc trưng bậc hai cho cực tiểu địa phương ổn định xiên. Đặc trưng
tính ổn định xiên thông qua tính xác định dương đều của dưới vi phân
bậc hai kết hợp, thiết lập bởi Mordukhovich và Nghia ([57]), là công cụ
thiết yếu cho các nghiên cứu trong [29].
Thay vì sử dụng các dưới vi phân bậc hai, trong luận án này chúng
tôi sử dụng đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân, còn được gọi là đạo
hàm đồ thị dưới gradient ([70]), để đặc trưng tính ổn định xiên. Đây là
cách tiếp cận nghiên cứu ổn định xiên chưa từng được sử dụng bởi các tác
giả khác. Trên thực tế, đạo hàm đồ thị dưới gradient và dưới vi phân bậc


18

hai là các khái niệm độc lập; tuy nhiên, dưới các điều kiện bổ sung, giá trị
của đạo hàm đồ thị dưới gradient có thể đồng nhất với một tập con của
giá trị của dưới vi phân bậc hai ([70], [71]). Lợi thế của cách tiếp cận này
là hiện nay đã có sẵn các công thức tính đạo hàm đồ thị dưới gradient
trong nhiều trường hợp với giả thiết khá nhẹ ([12], [28], [32], [61]). Hơn
nữa, một số kết quả về tính ổn định xiên, chẳng hạn [29], đã được thiết
lập dựa trên tính toán đạo hàm đồ thị dưới gradient như là một bước
trung gian. Các quan sát này dẫn đến các câu hỏi tự nhiên như sau:
Liệu chúng ta có thể sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient để đặc
trưng tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không
ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân
được không? Nếu có thì đặc trưng này có thể giúp chúng ta cải thiện các
kết quả đã thiết lập về tính ổn định xiên cho bài toán quy hoạch phi tuyến
được không? Giả thiết chính quy gần kề có bỏ được không?
Chương 3 của luận án sẽ trả lời các câu hỏi trên một cách đầy đủ, cụ
thể như sau: Chúng tôi thiết lập được đặc trưng tính ổn định xiên của
cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc thông qua đạo
hàm đồ thị dưới gradient; áp dụng kết quả này vào quy hoạch phi tuyến
thỏa mãn MSCQ, chúng tôi thu được các điều kiện đủ và các đặc trưng
cho cực tiểu địa phương ổn định xiên. Đặc biệt, chúng tôi cho thấy rằng
SSOSC là điều kiện đủ để một điểm dừng thỏa mãn MSCQ là cực tiểu
địa phương ổn định xiên. Kết quả này cải thiện kết quả tương ứng của
Mordukhovich và Outrata ([59]) ở đó các tác giả này giả thiết cả MFCQ
và CRCQ đều được thỏa mãn. Với bài toán quy hoạch toàn phương có
một ràng buộc toàn phương dạng bất đẳng thức thỏa mãn MSCQ, nhờ
khai thác cấu trúc đặc thù của bài toán, chúng tôi thu được đặc trưng
tính ổn định xiên một cách đơn giản và tường minh hơn.


19

7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án
còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và kiến
nghị, Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan
trực tiếp đến luận án và Danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị, làm cơ sở
cho việc giới thiệu các kết quả chính của luận án trong hai chương sau.
Chương này gồm có 2 mục. Mục 1.1 trình bày một số khái niệm, kí hiệu
liên quan đến ánh xạ đa trị, hàm giá trị thực mở rộng và các cấu trúc vi
phân suy rộng. Mục 1.2 nhắc lại tính chất chính quy mêtric, dưới chính
quy mêtric, chính quy mêtric mạnh, dưới chính quy mêtric mạnh, tính
chất Aubin của ánh xạ đa trị; đồng thời trình bày các điều kiện chuẩn
hóa quan trọng dùng trong luận án và một số kết quả cùng hướng nghiên
cứu với luận án, được sử dụng trong những chương tiếp theo.
Chương 2 tập trung nghiên cứu công thức tính đạo hàm đồ thị của
ánh xạ nón pháp tuyến cho trường hợp Θ là tập lồi đa diện với Mq là
dưới chính quy mêtric và các áp dụng của công thức này. Mục 2.1 được
dành để thiết lập công thức tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón
pháp tuyến. Mục 2.2 cung cấp các kết quả về tính đạo hàm đồ thị và đặc
trưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình
suy rộng chứa tham số.
Chương 3 được dành để trình bày các kết quả về tính ổn định xiên
cho bài toán tối ưu với giả thiết chính quy gần kề. Mục 3.1 nghiên cứu
đặc trưng tính ổn định xiên của bài toán tối ưu không ràng buộc thông
qua đạo hàm đồ thị dưới gradient. Dựa vào kết quả thu được ở mục 3.1,
mục 2.1 và một số kết quả của các tác giả khác, mục 3.2 thiết lập các
điều kiện cần, đủ để một điểm dừng của bài toán quy hoạch phi tuyến
với chuẩn hóa dưới chính quy mêtric là cực tiểu địa phương ổn định xiên.


20

Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại seminar của Bộ
môn Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh, các
Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 15 (Ba Vì, 20-22/04/2017)
và lần thứ 16 (Ba Vì, 19-21/04/2018) và các Hội nghị NCS của Trường
Đại học Vinh. Những kết quả này đã được công bố trong 02 bài báo trên
tạp chí toán học quốc tế thuộc danh mục SCI uy tín (SIAM Journal on
Optimization) và 01 bài đã gửi đăng.
Tác giả

Lê Văn Hiển


21

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận án này, nếu không giải thích gì thêm, các không gian được
sử dụng là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng ·, · và chuẩn Ơclit ·
thông thường.

1.1

Một số khái niệm và tính chất bổ trợ

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất trong giải tích biến
phân được sử dụng trong các chương tiếp theo, các kết quả này chủ yếu
được trích từ [55], [56] và [70].
1.1.1 Định nghĩa. ([70, Chapter 5]) Ánh xạ F biến mỗi x ∈ Rn thành
một và chỉ một tập F (x) ⊂ Rm được gọi là ánh xạ đa trị từ Rn vào Rm
và được kí hiệu bởi F : Rn ⇒ Rm .
Nếu với mọi x ∈ Rn tập F (x) chỉ có đúng một phần tử trong Rm thì
ta nói F là ánh xạ đơn trị từ Rn vào Rm và khi đó người ta sử dụng kí
hiệu thông thường F : Rn → Rm .
Như vậy, với mỗi x ∈ Rn , F (x) ⊂ Rm và không loại trừ trường hợp

F (x) = ∅.
Miền hữu hiệu, ảnh và đồ thị của ánh xạ đa trị F được định nghĩa


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×