Tải bản đầy đủ

MODUN_SỐ PHỨC_ MAX-MIN-2019_FULL GIẢI CHI TIẾT_THẦY_HUY

BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
MODUN SỐ PHỨC – BÀI TOÁN MAX – MIN – 2019
TÀI LIỆU NỘI BỘ CÓ CẬP NHẬT
A.
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ.
Kỹ năng – phương pháp:
 Phương pháp đại số.
 Phương pháp hình học.
 Phương pháp bđt modun.
 Phương pháp casio.
Một số tính chất cần nhớ.
1. Môđun của số phức:

 Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được
gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2
 Tính chất

 z  a 2  b 2  zz  OM
 z  0, z   , z  0  z  0
z
z

 z.z '  z . z '


,  z '  0  z  z '  z  z '  z  z '
z'
z'
 kz  k . z , k  
2

2

 Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 ) 2  4a 2b 2  a 2  b 2  z  z  z.z .
 Điểm M , N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 thì khi đó z1  z2  MN .
2

2

2



 mz1  nz2   mz1  nz2  mz1  nz2   m 2 z1  n 2 z2  mn z1 z2  z1.z2



Suy ra hệ quả
2
2
2
 z1  z2  z1  z2  z1.z2  .z1.z2
2

2

2



z1  z2  z1  z2  z1 .z2  .z1.z2



z1  z2  z1  z2  2 z1  2 z2

2

2

2



z  z1  z  z2

2

2

2

z1  z2
z z
 2 z 
 1 2
2
2


2

2





Lưu ý:
 z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0 


z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0  .



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0 



z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0 



z1  z2  z1  z2  2 z1  z2



z  z z  z

2



2

2

2

z  a  bi  z  c  di (2)
2

Tài liệu nội bộ

2

2



z  


2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ x, y
ax  by  c  0 (1)

 x  a   y  b

2

 R 2 hoặc

Quỹ tích điểm M
(1)Đường thẳng :ax  by  c  0
(2) Đường trung trực đoạn AB
với  A  a, b  , B  c, d  
Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R

1


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
z  a  bi  R
2

 x  a   y  b

2

Hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R

 R 2 hoặc

z  a  bi  R
2

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn
tâm I  a; b  , bán kính lần lượt là r , R

2

r 2   x  a    y  b   R 2 hoặc
r  z  a  bi  R

Parabol

 y  ax 2  bx  c
 c  0

2
 x  ay  by  c

 x  a

2

 y  c


1

2

 11 hoặc

b2
d2
z  a1  b1i  z  a2  b2i  2 a

 x  a
b2

2

 y  c

d2

Elip

 2

Elip nếu 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2 
Đoạn AB nếu 2a  AB
Hypebol

2

1

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đoạn thẳng, tia
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min . Khi đó ta có
 Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A  a; b 

1
1 2 2

 z Min  2 z0  2 a  b
 
z  a  b i

2 2
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min . Ta có
 Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d 


z Min  d  O, AB  

a 2  b2  c 2  d 2
2

2

 a  c   b  d 

2

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng
cơ bản.
Ví dụ 1:
 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi
z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di .
 Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi
a  bi
c  di
 z
 z  b  ai  z  d  ci .
i
i
TQ3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di  r ,
iz  a  bi  iz  c  di  z 

 Suy biến ra  MA  MB  AB  , quỹ tích là đoạn thẳng AB .
 Suy biến MA  MB  AB , quỹ tích là tia Bx
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  0  z  z0  R  . Tìm z Max , z Min . Ta có
 Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  a; b  bán kính R

Tài liệu nội bộ

2


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2
2
z
 Max  OI  R  a  b  R  z0  R
 
2
2
 z Min  OI  R  a  b  R  z0  R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
a  bi R
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z 
 (Chia hai vế cho i )
i
i

 z  b  ai  R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
a  bi
R
R


 c  di  z  a  bi  R  z 
2
c  di
c  di
c  d2

z1
R
(Chia cả hai vế cho z0 )

z0
z0
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi đó ta có
Hay viết gọn z0 z  z1  R  z 

 Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là Elip:

x2
y2

1
a2 a2  c2

 z Max  a
 
2
2
 z Min  a  c
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a

Thỏa mãn 2a  z1  z2 .
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ).
Ta có
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  và z1 , z2   c,  ci ). Tìm Max,
Min của P  z  z0 .

 z1  z 2  2c
Đặt  2
2
2
b  a  c
Nếu z0 

z1  z2
0
2


z1  z2
a
 z0 
2
Nếu 
z  z  k  z  z 
0
2
 0 1

z1  z2
a
 z0 
2
Nếu 
z  z  k  z  z 
0
2
 0 1

Nếu z0  z1  z0  z2

Tài liệu nội bộ

 PMax  a
(dạng chính tắc)

 PMin  b

z1  z2
 PMax  z0  2  a


 P  z  z1  z2  a
0
 Min
2

PMax  z0 

z1  z2
a
2

PMin  z0 

z1  z2
b
2

3


B.
Câu 1:

BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
BÀI TẬP MẪU
(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số

phức có môđun nhỏ nhất?
1 2
1 2
B. z    i .
C. z   i .
5 5
5 5
Hướng dẫn giải

A. z  1  2i .

D. z  1  2 i .

Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử z  x  yi  x , y   
2

2

2

2

2

z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1 i  x 2   y  3    x  2    y  1

 6 y  9  4x  4  2 y  1  4x  8 y  4  0  x  2 y  1  0  x  2y  1
2


2 1
5
z  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1  5  y    
5 5
5

2

2

2

Suy ra z min 

2

2

5
2
1
khi y    x 
5
5
5

1 2
 i.
5 5
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử z  x  yi  x , y   

Vậy z 

2

z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1 i  x 2   y  3    x  2    y  1

 6 y  9  4x  4  2 y  1  4x  8 y  4  0  x  2y  1  0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường thẳng
d : x  2y  1  0 .

Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn  1;  2   d nên loại A.
1 2
 1 2
Phương án B: z    i có điểm biểu diễn   ;   d nên loại B.
5 5
 5 5
Phương án D: z  1  2 i có điểm biểu diễn  1; 2   d nên loại B.
1 2
1 2
 i có điểm biểu diễn  ;    d
5 5
5 5
(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên
thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)
Cách 3: Tính nhanh.
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình  : x  2 y  1  0 .

Phương án C: z 

Vậy z min  d  O ,   

1



5
5

12  2 2
Cách 4: Công thức tính nhanh.
BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z . Tìm z min ?

1
1 2 2
 z Min  2 z0  2 a  b

z  a  b i

2 2

Tài liệu nội bộ

4


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min ?
z Min 

Câu 2:

a2  b2  c 2  d 2
2

2

 a  c  b  d

2

(LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị

lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng
A. 4  7 .

B. 4  7 .

D. 4  5.

C. 7.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Cách 1 : Đại số
Gọi z  x  yi với x; y   .
Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 .
Do đó M  max z  4 .
Mà z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8 

 x  3

2

 y2 

 x  3

2

 y2  8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8  1.

 x  3

2

 y 2  1.



 x  3



2

 y2 

1

2

2
2
 12  x  3   y 2   x  3   y 2 









 8  2 2 x 2  2 y 2  18  2 2 x 2  2 y 2  18  64
 x2  y 2  7  x 2  y 2  7  z  7 .
Do đó M  min z  7 .
Vậy M  m  4  7 .
Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

  F1  3; 0  , F2  0, 3 



y
x
8


Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip

 1  a   4

16 7
2


 b  a 2  c 2  4 2  3 2  7 


 z
a4
Max
Do vậy 
 Mm4 7
 z Min  b  7
Cách 3: Tổng quát
Cho số phức z thỏa mãn z  c  z  c  2 a ,  a  c  ta luôn có .
2

 Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip

2

y2
x2

1
a2 a 2  c 2

z
 Max  a
 
2
2
 z Min  a  c
Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của
z  1  i là

A. 13  2 .

Tài liệu nội bộ

B. 4 .

C. 6 .
Hướng dẫn giải

D. 13  1 .

5


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Chọn D
Cách 1: Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3  i .
2

2

Theo giả thiết  x  2    y  3   1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn
tâm I  2; 3  bán kính R  1 .

M2
2

Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1   1  y  i 
Gọi M  x; y  và H  1;1 thì HM 

 x  1   y  1

2

 x  1   y  1

2

.

2

.

M1

I

H

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường
tròn.
 x  2  3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:
 y  3  2t
9t 2  4t 2  1  t  



3
2 
3
2 
nên M  2 
;3
;3
,M2
.
13
13
13 
13
13 



1

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1 .
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của w  z  1  i





Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1  w  3  2i  1 (Đường tròn
tâm I  3, 2  , R  1 )
Vậy w Max  OI  R  32  2 2  1  1  13
Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R  0 , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số
phức z là đường tròn I  a , b  , bk  R ) và

z
 OI  R  a2  b2  R
 Max

2
2
 z Min  OI  R  a  b  R

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z  a  bi  z  a  bi
(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 

Câu 4:

2z  i
. Mệnh đề nào sau
2  iz

đây đúng?
A. A  1 .

B. A  1 .

C. A  1 .

D. A  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Đặt Có a  a  bi ,  a , b     a 2  b2  1 (do z  1 )
2 a   2b  1 i
4 a 2   2b  1
2z  i
A


2
2  iz
2  b  ai
 2  b   a2

Ta chứng minh

Tài liệu nội bộ

4 a 2   2b  1

 2  b

2

 a2

2

2

1.

6


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
4 a 2   2 b  1

Thật vậy ta có

 2  b

2

2
2

2

 1  4 a 2   2b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1

 a2

Dấu “=” xảy ra khi a2  b2  1 .
Vậy A  1 .
Cách 2 : Trắc nghiệm
1
z 1
2z  i
Chọn
 2 34
 A 1
1 A 
2  iz
z
1
2
17

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1 
A. 5.

B. 4.

C. 6.
Hướng dẫn giải
5i
5i
5
Cách 1: Ta có: A  1 
1
 1   6. Khi z  i  A  6.
z
z
z

5i
.
z

D. 8.

 Chọn đáp án C.
Cách 2: A  1 

z  5i
5i

 z  5i
z
z

Theo bài z  1  z  5i  5i  1  z  5i Max  52  1  6
Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu

thức M  z 2  z  1  z 3  1 .
A. Mmax  5; M min  1.

B. Mmax  5; M min  2.

C. Mmax  4; M min  1.

D. Mmax  4; M min  2.
Hướng dẫn giải

2

3

Ta có: M  z  z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  M max  5.
Mặt khác: M 

1  z3
1 z

3

 1 z 

1  z3
2



1  z3
2



1  z3  1  z3
2

 1, khi

z  1  M  1  M min  1.
 Chọn đáp án A.

Câu 7:

Cho số phức z thỏa z   2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 
3
A. .
4

B. 1.

C. 2 .

zi
.
z

2
D. .
3

Hướng dẫn giải
i
1 3
i
1
1
Ta có P  1   1 
 . Mặt khác: 1   1 
 .
z
| z| 2
z
|z| 2
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P  là

Câu 8:

1
3
, xảy ra khi z  2i ;  giá trị lớn nhất của P bằng
xảy ra khi
2
2

z  2 i.
 Chọn đáp án A.
Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i.

Tài liệu nội bộ

7


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY

26  6 17 .
C. 26  8 17 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z  x  yi;  x  ; y     z  2i  x   y  2  i . Ta có:

A.

26  6 17 .

B.

2

26  4 17 .

D.

2

z  1  2 i  3   x  1   y  2   9 .
Đặt x  1  3 sin t; y  2  3 cos t; t   0; 2  .
2

2

2

 z  2 i   1  3 sin t    4  3 cos t   26  6  sin t  4 cos t   26  6 17 sin  t    ;      .

 26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17  3  17
 Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i.
Ta có z  1  2i  3   z  2 i   1  4 i  3  z Max  12  4 2  3  3  17 (đáp án A)
Câu 9:

Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z .
A. 3 15

B. 6 5

C. 20
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    . Ta có:

D. 2 20.

z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x  
 1;1 .
Ta có: P  1  z  3 1  z 

1  x 

2

 y2  3

1  x 

2

 y 2  2 1  x   3 2  1  x  .

Xét hàm số f  x   2  1  x   3 2  1  x  ; x  
 1;1 . Hàm số liên tục trên 
 1;1 và với
1
3
4
x   1;1 ta có: f   x  

 0  x     1;1 .
5
2 1  x 
2 1  x 
 4
Ta có: f  1  2; f  1  6; f     2 20  Pmax  2 20.
 5
 Chọn đáp án D.
Cách 2: (Casio)
 x  sin t
Từ z  1 , đặt z  x  yi  
Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D
 y  cos t
Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M.m .
A.

13 3
.
4

B.

39
.
4

C. 3 3.

D.

13
.
4

Hướng dẫn giải
Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  1  z.z  1
Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2  .
Ta có t 2   1  z  1  z   1  z.z  z  z  2  2 x  x 
Suy ra z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z 

t2  2
.
2

 2 x  1

2

 2x  1  t 2  3 .

Xét hàm số f  t   t  t 2  3 , t   0; 2  . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
Tài liệu nội bộ

8


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
13
13 3
; min f  t   3  M .n 
.
4
4
 Chọn đáp án A.
max f  t  

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng?
3 1
3 1
 z
.
6
6

A.

B. 5  1  z  5  1.

2 1
2 1
 z
.
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được

C. 6  1  z  6  1.

D.


2

2

2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1.


2

2

2 z  z  z 2  4   z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1.
Vậy, z nhỏ nhất là

5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là

5  1, khi z  i  i 5.

 Chọn đáp án B.
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
9  4 5.

A.

B.

11  4 5

C. 6  4 5
Hướng dẫn giải

D.
2

56 5
2

Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    . Ta có: z  1  2i  2   x  1   y  2   4.
Đặt x  1  2 sin t ; y  2  2 cos t ; t  0; 2  .
Lúc đó:
2

2

2

z   1  2 sin t    2  2 cos t   9   4 sin t  8 cos t   9  4 2  8 2 sin  t    ;     
2
 z  9  4 5 sin  t     z    9  4 5 ; 9  4 5 



 zmax  9  4 5 đạt được khi z 

5  2 5 10  4 5

i.
5
5

 Chọn đáp án A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Ta có z  1  2 i  2  z Max  12  2 2  2  2  5  9  4 5
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn  1  i  z  6  2 i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A. 4 5

B. 3 5.

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 3  5

Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    .
Ta có:

 1  i  z  6  2i 

10   1  i  . z 

2
2
6  2 i
 10  z  2  4 i  5   x  2    y  4   5.
1 i

Đặt x  2  5 sin t ; y  4  5 cos t; t   0; 2  .
Lúc đó:
Tài liệu nội bộ

9


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY



2

z  2  5 sin t

2

 

 4  5 cos t



2





 25  4 5 sin t  8 5 cos t  25 

2

   
4 5

 8 5

2

sin  t    ;     

2
 z  25  20 sin  t     z   5; 3 5 



 zmax  3 5 đạt được khi z  3  6i.
 Chọn đáp án B.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn  1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Ta có  1  i  z  6  2i  10  z 

6  2 i
10

 z  2  4i  5
1 i
1 i

 z Max  2 2  4 2  5  3 5
Câu 14: Gọi z  x  yi   x, y    là số phức thỏa mãn hai điều kiện

z

3
2



3
2

2

2

z  2  z  2  26 và

i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

9
A. xy  .
4

B. xy 

13
.
2

C. xy 

16
.
9

9
D. xy  .
2

Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt z  x  iy   x , y    . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x 2  y 2  9.
Đặt x  3 cos t , y  3 sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có


P   z 

3
2



3

 
i  18  18 sin  t    6.
2
 4

 
3
3 2 3 2
Dấu bằng xảy ra khi sin  t    1  t  
z

i.
4
2
2
 4
 Chọn đáp án D.
Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức

z  2i.
A.

5

B. 3 5.

C. 3 2
Hướng dẫn giải

D. 3  2

Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    .
2

2

Ta có: z  2 i  x 2

2

2

 x  2    y  4   x   y  2   x  y  4  0  y  4  x.
  y  2   x   6  x   2 x  12 x  36  2  x  3   18  18

Ta có: z  2  4i  z  2i 

2

2

2

2

2

2

 z  2i min  18  3 2 khi z  3  i.

 Chọn đáp án C.
Cách 2: z  2  4i  z  2i   z  2i   2  6i   z  2i   4i  w  2  6i  w  4i
Trong đó w  z  2i (quay về dạng bài toán 1)
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i.
B. 2 2.

C. 2.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z  x  yi;  x  ; y     z  1  i   x  1   y  1 i . Ta có:

A. 4.

2

2

z  1  2 i  9   x  1   y  2   9 .
Tài liệu nội bộ

10


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Đặt x  1  3 sin t; y  2  3 cos t; t   0; 2  .
2

2

2

 z  1  i   3 sin t    1  3 cos t   10  6 cos t  2  z  2i  4  z  1  i min  2 , khi

z  1  i.
 Chọn đáp án C.
Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)
Ta có z  1  2 i  3   z  1  i   i  3  z  1  i Min 

12  3  2

Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
2

z  3  4i  5 và biểu thức

2

M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i.
A. z  i  2 41

B. z  i  3 5.

C. z  i  5 2

D. z  i  41.
Hướng dẫn giải
2

2

Gọi z  x  yi;  x  ; y    . Ta có: z  3  4i  5   C  :  x  3    y  4   5 : tâm

I  3; 4  và R  5.
Mặt khác:
2
2
2
2
M  z  2  z  i   x  2   y 2   x 2   y  1   4x  2 y  3  d : 4x  2 y  3  M  0.


Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và  C  có điểm chung

 

 d  I; d  R 

23  M

 5  23  M  10  13  M  33
2 5
4 x  2 y  30  0
x  5
 M max  33  

 z  i  5  4i  z  i  41.
2
2
 y  5
 x  3    y  4   5
 Chọn đáp án D.
m  i
Câu 18: Cho số phức z 
, m   . Tìm môđun lớn nhất của z.
1  m  m  2i 

1
.
D.2.
2
Hướng dẫn giải
m  i
m
i
1
Ta có: z 
 2
 2
 z 
 1  z max  1  z  i; m  0.
2
1  m  m  2i  m  1 m  1
m 1

A. 1.

B. 0.

C.

 Chọn đáp án A.
Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2 i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ
nhất là:
A.

5 1

B.

5 1

C. 5  2
Hướng dẫn giải

D.

52.

Chọn A.

Tài liệu nội bộ

11


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
y
I
1

M
O

1

x

Cách 1: Gọi z  x  yi , x, y   .
Ta có: z  2  2i  1  ( x  2)  ( y  2)i  1  ( x  2) 2  ( y  2) 2  1
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm
I (2; 2) và bán kính R  1 .
2

z  i  x2   y  1  IM , với I  2; 2  là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn.
Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm
N  0;1  Oy , I  2; 2  với đường tròn (C).
IM min  IN  R  5  1

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất
Ta có z  2  2i  1   z  i   2  i  1  z  i Min 

2 2  12  1  5  1

Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2 i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu
diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A  1, 3  .
A. 3  i .

B. 1  3i .

C. 2  3i .
Hướng dẫn giải
Gọi M  x , y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x , y  R 

D. 2  3i .

Gọi E  1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i
Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i
Ta có : z  2 i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trục EF : x  y  2  0 .
Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i => Đáp án A.
Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z  1  2i  5 và

w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:
A. 2 5 .

B. 3 2 .

C.

6.

D. 5 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi z  x  yi

 x, y   

2

2

2

2

 x  1   y  2   5   x  1   y  2   5
M  x; y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C  tâm I  1; 2  bán

Ta có: z  1  2i  5 
Suy ra tập hợp điểm

 z  1  2i   x  1   y  2  i

kính R  5
Dễ thấy O   C  , N  1; 1   C 

Tài liệu nội bộ

12


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Theo đề ta có:
M  x; y    C  là điểm biểu diễn cho số
phức z thỏa mãn:
w  z  1  i  x  yi  1  i   x  1   y  1 i

2
2
 z  1  i   x  1   y  1  MN
Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất
Mà M , N   C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn  C 
2

 I là trung điểm MN  M  3; 3   z  3  3i  z  32   3   3 2
(CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của

Câu 22:

T  zi  z2i .
A. max T  8 2 .

B. max T  4 .

C. max T  4 2 .
Hướng dẫn giải

D. max T  8 .

Chọn B
T  z  i  z  2  i   z  1   1  i    z  1   1  i  .
Đặt w  z  1 . Ta có w  1 và T  w   1  i   w   1  i  .
2

Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x 2  y 2 .
T   x  1   y  1 i   x  1   y  1 i
 1.



2

 x  1   y  1

2

 1.

2

 x  1   y  1

2

1  1    x  1   y  1   x  1   y  1 
2  2x  2 y  4   4
2

2

2

2

2

2

2

2

Vậy max T  4 .
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là
A. 13  2 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 13  1 .
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN)

Lời giải
Cách 1: Đặt z  a  bi  a, b    , ta có z  2  3i  1   a  2    b  3  i  1.



2

 a  2    b  3

2

2

2

 1   a  2  b  3  1

 

 a  2  sin t
Đặt 
(vì    sin 2 t  cos 2 t  1 ). Khi đó z  1  i   a  1   1  b  i .
b

3

cos
t

2

2

2

2

 a  1  1  b   xét biểu thức P   a  1  1  b  .
Ta có  a  1   1  b    sin t  3    cos t  2   sin t  6 sin t  9  cos t  4 cos t  4


2

2

2

2

2

2





 sin 2 t  cos 2 t  13  6 sin t  4 cos t
 14  6 sin t  4 cos t  P
2





Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  6 sin t  4 cos t   6 2  4 2 sin 2 t  cos 2 t

Tài liệu nội bộ


13


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2

  6 sin t  4 cos t   52  6 sin t  4 cos t  52  2 13  P  14  2 13.
Vậy z  1  i 

2

 a  1   1  b 

2



 14  2 13 



13  1

2

 13  1. Chọn A.

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i





Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1

 z 1 i

Max

 3 2  2 2  1  13  1

Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các số phức z , w thỏa mãn z  2  2i  z  4i , w  iz  1 .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là
A.

2
.
2

C. 2 .

B. 2 2 .

D.

3 2
.
2

Lời giải
Cách 1: Đặt z  a  bi  a, b    , khi đó z  2  2i  a  2   b  2  i và z  4i  a   b  4  i .
2

2

2

Nên ta có  a  2    b  2   a 2   b  4   a  b  2  b  2  a
2

2

Khi đó w  iz  1   a  bi  i  1  1  b  ai  w  a 2   b  1  a 2   a  1 .
2


1 1 1
2
2
Dễ thấy a   a  1  2  a      w 
 min w 
. Chọn A.
2 2 2
2
2

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)
Câu 25:
(ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10. Giá trị lớn nhất
2

2

và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là
A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3 .
Hướng dẫn giải.
Gọi z  x  yi ,  x , y    . Theo giả thiết, ta có z  4  z  4  10.

  x  4   yi   x  4   yi  10 

x  4

2

 y2 

x  4

2

 y 2  10

D. 5 và 3 .

 

Gọi M  x; y  , F1   4; 0  và F2  4; 0  .
Khi đó    MF1  MF2  10 nên tập hợp các
điểm M  z  là đường elip  E  .
Ta có c  4 ; 2 a  10  a  5 và b 2  a2  c 2  9 .
x2 y2
Do đó, phương trình chính tắc của  E  là

 1.
25 9
Vậy max z  OA  OA '  5 và min z  OB  OB '  3 . Chọn D.
Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Biết rằng số phức z  x  yi ,

 x , y    có môđun nhỏ nhất. Tính P  x
A. P  10 .

2

 y2 .

C. P  16 .
D. P  26 .
Hướng dẫn giải.
Cách 1: Gọi z  x  yi ,  x , y    . Ta có z  2  4i  z  2i   x  2    y  4  i  x   y  2  i



2

 x  2   y  4

B. P  8 .

2

2

 x 2   y  2   x 2  4 x  4  y 2  8 y  16  x 2  y 2  4 y  4

 4 x  4 y  16  0  y  4  x .

Tài liệu nội bộ

14


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2

2

Do đó z  x 2  y 2  x 2   4  x   2x 2  8 x  16  2  x  2   8  2 2 .
Dấu "  " xảy ra  x  2  y  2 . Vậy P  2 2  2 2  8 . Chọn B.
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)
Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện
A. max z  1 .

 2  3i
z  1  1.
3  2i

C. max z  2 .

B. max z  2 .

D. max z  3 .

Hướng dẫn giải.
 2  3i
1
Ta có
z  1  1   iz  1  1   i . z 
 1  z   i  1 .
3  2i
i
Vì   i   0  1 nên max z  r1  r2  1  1  2 . Chọn B.
Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
 1  i  z  1  7 i  2 . Tìm max z .
A. max z  4 .

B. max z  3 .

C. max z  7 .

D. max z  6 .

Hướng dẫn giải.
1  7i
Ta có  1  i  z  1  7 i  2  1  i z 
 2  z   3  4i   1 .
1 i
Vì  3  4i   0  5 nên max z  r1  r2  1  32  4 2  6 . Chọn D.
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 
A. A  1.

B. A  1.

2z  i
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2  iz
C. A  1.

D. A  1.

(THPT CHUYÊN HÀ NAM)
Lời giải
2z  i
 A  2  iz   2 z  i  2 A  Azi  2 z  i
2  iz
2A  i
2A  i
 2 A  i  z  Ai  2   z 
. Mà z  1 
 1  2 A  i  Ai  2
Ai  2
Ai  2

Từ giả thiết, ta có A 

  .

Đặt A  x  yi  x, y    , khi đó    2x   2 y  1 i   y  2  xi
2

 4 x 2   2 y  1 

 y  2

2

 x 2  4 x 2  4 y 2  4 y  1  x 2  y 2  4 y  nhất của

biểu thức P  z  z  z1  z  z2 .
A. P  6 2  2

B. P  3 2  3 .

C. P  6 2  3 .

D. P 

9
2 3 .
2

Lời giải
Chọn C.

Tài liệu nội bộ

48


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
A'

A
600

M'
6 2

6
M

O

600

B

6

Chọn A , B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z ,
Dựa vào điều kiện

2 z1  2 z2  z1  z2  6 2  OA  OB  6 , AB  6 2 .

Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O .
Phép quay tâm B góc quay 600 ta có:
Q B ,600 : A  A





M  M
Do tam giác  BMM  đều  AM  AM  , BM  MM 
Suy ra P  z  z  z1  z  z2  OM  AM  BM  OM  MM   AM   OA .
Dấu "  " xảy ra khi O , M , M  , A thẳng hàng.

  1050 .
Khi đó tam giác OBA có OB  6 , BA  BA  6 2 và OBA
Từ đó suy ra OA  OB2  BA2  2OB.BA.cos1050  6 2  3 .
Vậy min P  6 2  3 .
Câu 87: Cho hai số phức z , thỏa mãn z  1  z  3  2 i ;   z  m  i với m   là tham số. Giá trị
của m để ta luôn có   2 5 là:
m  7
A. 
.
m  3

m  7
B. 
.
 m  3

C. 3  m  7 .

D. 3  m  7 .

Lời giải
Chọn B.
Đặt z  a  ib,  a , b    có biểu diễn hình học là điểm M  x; y 

z  1  z  3  2i  x  1  iy  x  3   y  2  i 

 x  1

2

 y2 

2

 x  3   y  2 

2

 2 x  1  6 x  9  4 y  4  2 x  y  3  0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2 x  y  3  0 .

Ta có:   2 5  z  m  i  2 5  x  m    y  1 i  2 5
2

2

 x  m    y  1
Mà ta có MI  d  I ,  


Tài liệu nội bộ

 2 5  MI  2 5 với I  m; 1 .

49


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2 m  4
Nên MI  2 5  d  I ,    2 5 
 2 5  2m  4  10
5
2 m  4  10
 m  3
.


 2 m  4  10
m  7
Câu 88: Cho số phức

z

thỏa mãn

z 1
1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

z  3i
2

P  z  i  2 z  4  7i
A. 20 .

C. 12 5 .

B. 10 .

D. 4 5 .

Lời giải
Chọn A.
Gọi z  x  yi ,  x , y    .
z 1
1

 2 z  1  z  3i  2
z  3i
2
 x2  y 2  4 x  6 y  7  0 .

Ta có

2

 x  1

Lại có P  z  i  2 z  4  7 i  x 2   y  1  2

2

 y 2  x2   y  3 

2

 x  4   y  7

2

2

 4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72 .

Mặt khác



4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72



2

 5.80  4 x  8 y  8  2 4x  8 y  72  20

Suy ra P  20 .

Tài liệu nội bộ

50


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
C.
Câu 1.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  5  0 . Tính P  z1  z2 .

A. z1  z 2  5 .

B. z1  z2  2 5 .

Cho số phức z thỏa mãn z 

Câu 2.

C. z1  z2  10 .

D. z1  z2  5 .

1
 4 . Tính giá trị lớn nhất của z .
z

A. 2  3 .
B. 4  5 .
C. 4  3 .
D. 2  5 .
Câu 3. Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức z thỏa mãn z  1  2 . Tính
M m.
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 5 .
Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  i . Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w  2 z  2  i .

3
3
3 2
.
B. .
C. 3 2 .
D.
.
2
2
2 2
Câu 5. Cho các số phức z1  3i , z 2  1  3i , z3  m  2i . Tập giá trị tham số m để số phức z3 có
môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là.
A.  5; 5 .
B. ;  5  5;  .C.   5; 5  .
D.  5; 5 .


Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i và z  3  3i  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
A.







 







P  z  2 là:

A. 13  1 .

D. 10 .
2017
Câu 7. Trong tập hợp các số phức, gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2  z 
 0 , với z2 có
4
thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn z  z1  1 . Giá trị nhỏ nhất của P  z  z2 là

Câu 8.

C. 13 .

2017  1
2016  1
.
C.
.
D. 2017  1 .
2
2
2
2
Cho các số phức z1  2  i , z 2  2  i và số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2  16 .

2016  1 .

A.

B. 10  1 .

B.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m2 bằng
A. 15
B. 7
C. 11
D. 8
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn 2 z  3  4i  10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của z . Khi đó M  m bằng.
A. 5 .
B. 15 .
C. 10 .
D. 20 .
Câu 10. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  5  5, z2  1  3i  z2  3  6i . Giá trị nhỏ nhất của
z1  z2 là:

5
7
1
3
B.
C.
D.
2
2
2
2
Câu 11. Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn 1  i  z  2  i  4 và M  x; y  là điểm biểu diễn cho z

A.

trong mặt phẳng phức. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  x  y  3 .
A. 4  2 2 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 4 2 .
Câu 12. Cho số phức z  x  yi với x, y   thỏa mãn z  1  i  1 và z  3  3i  5 . Gọi m, M lần
lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2 y . Tính tỉ số
A.

9
.
4

Tài liệu nội bộ

B.

7
.
2

C.

5
.
4

M
.
m

D.

14
.
5
51


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng
A.

5 . B. 6 5 .

C. 2 5 .

D. 4 5 .
2

2

Câu 14. Biết số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 và biểu thức T  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất.
Tính z .
A. z  33 .

C. z  10 .

B. z  50 .

D. z  5 2 .

Câu 15. Biết rằng z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức w  z  2i ?
A.

52

Câu 16. Cho số phức

B.

z

5 2

thỏa mãn

C.

2 5

D. 2  5

z 1
1

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
z  3i
2

P  z  i  2 z  4  7i .
A. 8 .
B. 10 .
C. 2 5 .
D. 4 5 .
Câu 17. Xét số phức z  a  bi  a , b  R , b  0  thỏa mãn z  1 . Tính P  2a  4b 2 khi z 3  z  2 đạt
giá trị lớn nhất .
A. P  4 .
Câu 18. Cho số phức

z

B. P  2  2 .
C. P  2 .
D. P  2  2 .
z 1
1
thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
z  3i
2

P  z  i  2 z  4  7i .
A. 8 .

B. 10 .

C. 2 5 .

D. 4 5 .

Câu 19. Xét số phức z  a  bi  a , b  R , b  0  thỏa mãn z  1 . Tính P  2a  4b 2 khi z 3  z  2 đạt
giá trị lớn nhất .
A. P  4 .
B. P  2  2 .
C. P  2 .
D. P  2  2 .
Câu 20. Cho các số phức z thoả mãn z  2 . Đặt w  1  2i  z  1  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w .
A. 2 .
B. 3 5 .
C. 2 5 .
D. 5 .
Câu 21. Trong các số phức z thỏa mãn z  i  z  2  3i . Hãy tìm z có môđun nhỏ nhất.
27 6
6 27
6 27
3 6
B. z    i .
C. z    i .
D. z   i .
 i.
5 5
5 5
5 5
5 5
Câu 22. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

A. z 

1 2
1 2
B. z    i .
C. z   i .
D. z  1  2i .
5 5
5 5
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

A. z  1  2i .

z . Khi đó M  m bằng
A. 4  7.

B. 4  7.

Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A 
A. A  1 .

B. A  1.

C. 7.

D. 4  5.

2z  i
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2  iz
C. A  1 .
D. A  1.

5i
.
z
D. 8 .
và giá trị nhỏ nhất M min của biểu

Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1 
A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất Mmax
thức M  z 2  z  1  z 3  1 .

Tài liệu nội bộ

52


A. M max

BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
B. M max  5; M min  2 .
 5; M min  1 .

C. M max  4; M min  1 .

D. M max  4; M min  2 .

Câu 27. Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 

zi
.
z

3
2
A. .
B. 1.
C. 2 .
D. .
4
3
Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z .

A. 3 15 .
B. 6 5 .
C. 20 .
D. 2 20 .
Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A.

9  4 5.

B.

11  4 5 .

C.

64 5 .

D.

56 5 .

Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn  1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A. 4 5
B. 3 5.
C. 3.
D. 3  5
Câu 31. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4 i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
z  2 i.

A. 5
B. 3 5.
C. 3 2
D. 3  2
Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i .
B. 2 2 .
C. 2.
m  i
Câu 33. Cho số phức z 
, m   . Tìm môđun lớn nhất của z.
1  m  m  2i 
A. 4.

D.

2.

1
.
D.2.
2
Câu 34. Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

A. 1.

B. 0.

2

C.

2

nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính môđun của 2018 phức w  M  mi .
A. w  1258 .

B. w  1258 .

C. w  2 314 .

D. w  2 309 .

Câu 35. Xét các số phức z1  3  4i và z 2  2  mi ,  m    . Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

z2
z1

bằng?
2
1
A. .
B. 2 .
C. 3 .
D. .
5
5
Câu 36. Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b .
A. S  3 .
B. S  5 .
C. S  5 .
D. S  11 .
Câu 37.
Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z .
A. P  2 10 .

B. P  6 5 .

C. P  3 15 .

D. P  2 5 .

Câu 38. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  3i  2 và z2  1  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của

P  z1  z2 .
A. P  3  34 .

B. P  3  10 .

C. P  6 .
D. P  3 .
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng 2 số phức z thỏa z   m  1  i  8 và

z  1  i  z  2  3i .
A. 130 .
B. 66 .
C. 65 .
D. 131 .
Câu 40. Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó

Tài liệu nội bộ

53


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
A. Không tồn tại số phức z0 .
B. z 0  2 .
C. z 0  7 .

D. z0  3 .

Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là:
A.

5 1.

5 1 .

B.

C.

5 2.

D.

5 2.

Câu 42. Cho số phức z thỏa mãn z  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 .
2

Tính min | w | , với w  z  2  2i .
3
1
A. min | w | .
B. min | w | 2 .
C. min | w | 1 .
D. min | w | .
2
2
Câu 43. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và w  z 1  i có môđun lớn nhất. Số
phức z có môđun bằng:
A. 2 5 .

B. 3 2 .
C. 6 .
D. 5 2 .
Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  i  z  2  i .
A. max T  8 2 .
B. max T  4 .
C. max T  4 2 .
D. max T  8 .
Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  5 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
2

2

của biểu thức P  z  i  z  2 . Tính A  m  M .
A. A  3 .
B. A  2 .
C. A  5 .
D. A  10 .
Câu 46. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  4i  2  2i  z , môđun nhỏ nhất của số phức z
bằng:
A. 2 .

B. 3 .
C. 2 2 .
D. 2 3 .
2  3i
z  1  2 . Giá trị lớn nhất của môđun số phức z là
Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn
3  2i
A. 3 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .
Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của z . Tính M  m ?

17
B. M  m  8
C. M  m  1
D. M  m  4
2
Câu 49. Cho các số phức z thỏa mãn z  3  z  i . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  z .
A. M  m 

A. Pmin 

10
.
5

B. Pmin  3 .

C. Pmin 

2 10
.
5

Câu 50. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P 

D. Pmin 

3 10
.
5

zi
, với z là số phức
z

khác 0 thỏa mãn z  2 . Tính 2M  m .
3
5
.
B. 2 M  m  .
C. 2 M  m  10 .
2
2
Câu 51. Cho số phức z thỏa mãn z  3  3i  2 . Giá trị lớn nhất của z  i là

A. 2 M  m 

D. 2 M  m  6 .

A. 7 .
B. 9 .
C. 6 .
D. 8 .
Câu 52. Trong các số phức z thỏa mãn z  z  1  2i , số phức có mô đun nhỏ nhất là

3
1
A. z  1  i .
B. z   i .
C. z  3  i .
D. z  5 .
4
2
Câu 53. Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
2

2

nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Môđun của số phức w  M  mi là

Tài liệu nội bộ

54


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
A. w  3 137

B. w  1258

C. w  2 309

D. w  2 314

Câu 54. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện: z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
A. z  2  i .
B. z  3  i .
C. z  2  2i .
D. z  1  3i .
Câu 55. Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3i . Tính môđun nhỏ nhất của z  i .
3 5
4 5
3 5
7 5
.
B.
.
C.
.
D.
.
10
5
5
10
Câu 56. Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3i . Tính môđun nhỏ nhất của z  i .

A.

3 5
4 5
3 5
7 5
.
B.
.
C.
.
D.
.
10
5
5
10
Câu 57. Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là:

A.

A. 5  1 .
B. 5  1 .
C. 5  2 .
D. 5  2 .
Câu 58. Trong các số phức z thỏa z  3  4i  2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó.
A. z0  7 .

B. z0  2 .

C. z0  3 .

D. Không tồn tại số phức z0 .

Câu 59. Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | z || z  3  4i | :
7
3
A. z  3 – 4i .
B. z  3  i .
C. z   2i
8
2
.

3
D. z    2i .
2
2  3i
Câu 60. Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện
z 1  1 .
3  2i

A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 61. Biết số phức z  a  bi,  a, b    thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i có mô đun nhỏ nhất.
Tính M  a 2  b 2 .
A. M  16 .
B. M  26 .
C. M  10 .
D. M  8 .
Câu 62. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  5 và w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số
phức z có môđun bằng:
A. 6 .

C. 5 2 .
D. 2 5 .
z  2i
Câu 63. Trong tập hợp các số phức z thỏa mãn:
 2. Tìm môđun lớn nhất của số phức z  i .
z 1 i
A. 2  2 .
B. 3  2 .
C. 3  2 .
D. 2  2 .
Câu 64. Trong các số phức z thỏa mãn z  z  2  4i , số phức có môđun nhỏ nhất là.
B. 3 2 .

5
B. z  i .
C. z  1  2i .
2
Câu 65. Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. z  5 .

A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
Câu 66. Cho số phức z thỏa mãn z  1  1. Giá trị nhỏ nhất của z .

D. z  3  i .

D. 6 .

A. 1.
B. 2 .
C. 0 .
D. 2  1 .
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A  4; 4  và M là điểm biển diễn số phức z
thoả mãn điều kiện z  1  z  2  i . Tìm toạ độ điểm M để đoạn thẳng AM nhỏ nhất.
A. M  1;  1 .

B. M  2;  4  .

C. M 1; 5 .

D. M  2; 8 .

Câu 68. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  3i  z  1  2i , hãy tìm phần ảo của số phức
có môđun nhỏ nhất?

Tài liệu nội bộ

55


10
.
13
Câu 69.

A.

BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
2
2
B. .
C. 2 .
D.  .
5
13
Cho số phức z thỏa mãn z  2  4i  5 và z min . Khi đó số phức z là.

A. z  3  2i .

B. z  2  i .

C. z  1  2i .

D. z  4  5i .

Câu 70. Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z lần lượt là.
A. 10 và 4 .
B. 5 và 4 .
C. 4 và 3 .
D. 5 và 3 .
Câu 71. Xét số phức z thỏa mãn 2 z  1  3 z  i  2 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
1
3
.
C.  z  .
2
2
2
Câu 72. Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | z | z  3  4i :

A. z  2 .

B. z 

A. z  3 – 4i .

7
B. z  3  i .
8

C. z 

3
 2i
2
.

D.

3
 z  2.
2

3
D. z    2i .
2

Câu 73. Cho số phức thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị lớn nhất của z là.
A. 4 2  2 .
B. 2  2 .
C. 2 2  1 .
D. 3 2  1 .
Câu 74. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z  1  i .
A. 6 .
B. 13  1 .
C. 13  2 .
D. 4 .
Câu 75. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  1  i  z . Đặt m  z , tìm giá trị lớn nhất của m .
A. 1.
B. 2 .
C. 2  1 .
Câu 76. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .

D.

2 1.

A. 2  13 .
B. 13  1 .
C. 13 .
Câu 77. Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

D. 1  13 .

A. 4 .

B. 3 .
C. 5 .
D. 6 .
Câu 78. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là.
A. 4 .
B. 13  1 .
C. 13  2 .
D. 6 .
Câu 79. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất.
A. z  2  2i .

B. z  1  i .

C. z  3  2i .

D. z  2  2i .
2

Câu 80. Tìm số phức z sao cho z   3  4i   5 và biểu thức P  z  2  z  i
A. z  5  5i .

B. z  2  i .

A. 2 2 .

B. 2 2 .

2

đạt giá trị lớn nhất.

C. z  2  2i .
D. z  4  3i .
z
Câu 81. Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w 
là số thực. Giá trị lớn nhất của
2  z2
biểu thức P  z  1  i là.
C. 8 .

Câu 82. Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w 

D.
z
2  z2

2.

là số thực. Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P  z  1  i là?
A. 2 2 .

B. 8 .

C.

2.

D. 2 .

Câu 83. Cho số phức z thỏa điều kiện z 2  4  z  z  2i  . Giá trị nhỏ nhất của z  i bằng ?
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.
Câu 84. Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn z  i  2 và z  1  4 . Gọi z1 , z2  T lần lượt
là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó z1  z2 bằng:
A. 5 .
B. 4  i .
C. 5  i .

Tài liệu nội bộ

D. 5  i .
56


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
Câu 85. Cho số phức z thỏa mãn z  3i  z  3i  10 . Gọi M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức
z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M là trung điểm của M1M 2 , M  a; b  biểu diễn số phức w ,

tổng a  b nhận giá trị nào sau đây?
7
9
.
B. 5 .
C. 4 .
D. .
2
2
Câu 86. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất.
A. z  2  2i .
B. z  1  i .
C. z  3  2i .
D. z  2  2i .

A.

2

Câu 87. Tìm số phức z sao cho z   3  4i   5 và biểu thức P  z  2  z  i

2

đạt giá trị lớn nhất.

A. z  5  5i .
B. z  2  i .
C. z  2  2i .
D. z  4  3i .
Câu 88. Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, biết rẳng số phức z thỏa mãn
điều kiện z  2  4i  5 .
A. z  1  2i .
B. z  1  2i .
C. z  1  2i .
D. z  1  2i .
z
Câu 89. Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w 
là số thực. Giá trị nhỏ nhất của
2  z2
biểu thức P  z  1  i là?
A. 2 2 .

B. 8 .

C.

D. 2 .

2.

2

Câu 90. Cho số phức z thỏa điều kiện z  4  z  z  2i  . Giá trị nhỏ nhất của z  i bằng ?
B. 4 .

A. 3 .

C. 1.

D. 2 .

Câu 91. Cho số phức z thỏa mãn z.z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  z 3  3z  z  z  z .
15
13
3
.
B. 3 .
C.
.
D. .
4
4
4
Câu 92. Cho số phức z  0 thỏa mãn z  2 . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

P

zi
.
z

A. 1.
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 93. Cho số phức z thỏa mãn z  3  2 z và max z  1  2i  a  b 2 . Tính a  b .
4
.
3
thoả mãn đồng thời hai điều kiện

B. 3 .

A. 4 2 .
Câu 94. Cho số phức z
2

D. 4 .

C.

z  3  4i  5 và biểu thức

2

M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z  2  i bằng

A. 5 .
B. 9 .
C. 25 .
D. 5 .
Câu 95. Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5 , w   4  3i  z  1  2i . Giá trị nhỏ nhất của w là :
A. 3 5

B. 4 5
C. 5 5
D. 6 5
z  2i
Câu 96. Cho số phức z thỏa mãn
 1 . Giá trị nhỏ nhất của z  3  2i bằng
z  3i
2 10
10
B. 2 10
C. 10
D.
5
5
2
Câu 97. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z  4 z  13  0 , với z1 có phần ảo dương.

A.

Biết số phức z thỏa mãn 2 z  z1  z  z2 , phần thực nhỏ nhất của z là
A. 6
B. 2
C. 1
D. 9
Câu 98. Trong các số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Số phức z có môđun nhỏ nhất là

Tài liệu nội bộ

57


BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY
A. z  1  i
B. z  2  2i
C. z  2  2i
D. z  3  2i
Câu 99. Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5  3i  3 , iw  4  2i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức T  3iz  2w .
A. 554  5
B. 578  13
C. 578  5
D. 554  13
Câu 100. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn
z   m  1  i  8 và z  1  i  z  2  3i .
A. 131 .
Câu 101.
A.

B. 63 .
C. 66 .
D. 130 .
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của P  z  z  z  z  1 với z là số phức thỏa mãn z  1 .

3.

B. 3 .

C.

13
.
4

D. 5 .

Câu 102. Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun
nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức w  z1  z2 là
A. w  2 2 .

B. w  2 .

C. w  2 .

D. w  1  2 .

Câu 103. Cho số phức z và w thỏa mãn z  w  3  4i và z  w  9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T zw.
A. max T  176 .

B. max T  14 .

D. max T  106 .

C. max T  4 .

Câu 104. Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  2  1  i  z  2  4 2 . Gọi m  max z , n  min z và số
phức w  m  ni . Tính w

2018

A. 41009 .

B. 51009 .

D. 21009 .

C. 61009 .

Câu 105. Cho số phức z thỏa mãn 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i
?
A. M 

10
3

B. M  1  13

C. M  4 5

Câu 106. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P 
và thỏa mãn z  2 . Tính tỷ số
A.

M
5
m

D. M  9
z i
, với z là số phức khác 0
z

M
.
m

B.

M
3
m

C.

M 3

m 4

D.

M 1

m 3

Câu 107. Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  1 , số phức w thỏa mãn w  2  3i  2 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của z  w .
A. 13  3

B. 17  3

C.

17  3

D. 13  3

Câu 108. Cho số phức z thỏa z  1 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu
thức P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m .
A. m  4 , n  3 .

B. m  4 , n  3

C. m  4 , n  4 .

D. m  4 , n  4 .

Câu 109. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

z1  z2 ?
Tài liệu nội bộ

58


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×