Tải bản đầy đủ

Ứng dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải toán tổng tỉ hiệu tỉ ở lớp 4

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI TOÁN
TỔNG TỈ - HIỆU TỈ Ở LỚP 4
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
Trong các môn học ở Tiểu học (TH), cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có
vị trí hết sức quan trọng đối với học sinh (HS) Tiểu học nói chung và học sinh lớp
4 nói riêng. Nó hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển trí tuệ con người,
góp phần quan trọng trong việc đặt nền móng cho sự hình thành và phát triển nhân
cách học sinh. Môn Toán là “chìa khoá” mở của các ngành khoa học khác, là công
cụ cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Vì vậy, môn Toán là một môn
học không thể thiếu được của hệ thống giáo dục trong nhà trường.
Dạy học (DH giải toán có một vai trò rất quan trọng trong chương trình bậc
TH. Thông qua hoạt động giải toán rèn luyện cho học sinh những kĩ năng cần thiết
như: Tư duy, diễn đạt một vấn đề ngắn gọn, chính xác, lôgic,...
Khi học Toán học, HS thường gặp những bài toán điển hình - các bài toán
mà trong quá trình giải có PP giải toán riêng phù hợp cho từng dạng toán. PP dùng
sơ đồ đoạn thẳng được coi là một PP giải toán khá phổ biến, giúp HS giải bài toán
chính xác, tích cực, tìm ra kết quả dễ dàng.
Việc giải Toán bằng PP sơ đồ đoạn thẳng rất quan trọng vì “Sơ đồ đoạn
thẳng” là một phương tiện trực quan được sử dụng trong việc dạy, giải toán từ lớp
1 bởi nó đáp ứng được nhu cầu tăng dần mức độ trừu tượng trong việc cung cấp

các kiến thức Toán học cho học sinh. Và đặc biệt ở hai dạng toán Tìm hai số khi
biết tổng (hiệu) và tỷ số thì sơ đồ đoạn thẳng là phần không thể thiếu trong các
bước giải toán.
Phương tiện trực quan thì có nhiều nhưng sơ đồ đoạn thẳng là phương tiện
cần thiết, quan trọng và hết sức hữu hiệu trong dạy giải toán ở bậc tiểu học nói
chung và ở các lớp cuối cấp nói riêng.
Chính vì những lí do trên, tôi chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng để giải Toán Tổng tỉ- Hiệu tỉ ở lớp 4”
II. Mục đích (mục tiêu) nghiên cứu
Mục đích
- Giúp giáo viên:

1


+ GV biết nghiên cứu kĩ kĩ nội dung Giải bài toán khi biết Tổng (hiệu) và tỉ số của
hai số đó.
+ Giúp giáo viên xác định được kĩ năng cần dạy cho HS về bài toán Tìm hai số khi
biết Tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó thông qua việc rèn luyện cho HS các thao
tác cơ bản: phân tích đề, tổng hợp cách giải.
+ GV tìm ra những giải pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy của các bài học liên
quan đến hai dạng toán giải bằng sơ đồ đoạn thẳng. Từ đó, giáo viên lên kế hoạch
và tổ chức tốt các hoạt động học tập cho học sinh.
- Giúp học sinh:
+ Nhận biết được hai dạng toán rõ ràng, không bị nhầm lẫn.
+ HS nắm được 2 đại lượng liên quan đến tỉ số, vẽ được sơ đồ thể hiện các đại
lượng.
+ Nắm được cách giải các bài toán thuộc 2 dạng trên. Trên cơ sở đó học sinh biết
vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán trong thực tế cuộc sống. Thông qua
đó còn giúp các em củng cố các kiến thức số học khác, giúp gắn học với hành, gắn
nhà trường với thực tế cuộc sống lao động và sản xuất của xã hội.
Đề ra nhiệm vụ:
+ Tìm hiểu về PP dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải hai dạng toán Tìm hai số khi
biết tổng (hiệu) và tỉ số ở lớp 4.
+ Tìm hiểu thực trạng việc giải toán bằng PP sơ đồ đoạn thẳng.
+ Đưa ra những biện pháp thực hiện góp phần nâng cao kĩ năng giải toán bằng
PP sơ đồ đoạn thẳng đối với hai dạng toán trên cho HS thông qua dạy học môn
toán ở lớp4.
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Như ta đã biết, nhận thức của học sinh tiểu học chủ yếu là tư duy trực quan
cụ thể, tư duy trừu tượng mới bắt đầu hình thành và phát triển ở các lớp cuối cấp
song mức độ còn đơn giản. Khả năng phân tích, tổng hợp, kết quả hóa các dữ liệu
của bài toán ở các em chưa cao. Mặt khác để giải được một bài toán, học sinh cần
thực hiện các thao tác phân tích để tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán
đó. Vì vậy, khi dạy các kiến thức mới hay giải các bài toán giáo viên thường dùng
các biểu tượng, các yếu tố trực quan thay cho các số để học sinh quan sát, thực
2


hiện các thao tác tư duy. Từ đó xác định các mối quan hệ giữa các đại lượng của
bài toán. Các yếu tố trực quan cần được sử dụng một cách hợp lí để dễ dàng thấy
được các mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo ra các hình ảnh cụ thể
giúp ta suy nghĩ, tìm tòi và đưa ra cách giải quyết.
Một trong các yếu tố trực quan được sử dụng nhiều, mang lại hiệu quả thiết
thực và được đa số giáo viên xem như là không thể thiếu được trong việc hướng
dẫn học sinh giải các bài toán có lời văn là sơ đồ đoạn thẳng.
Ta có các khái niệm sau:
- “ Sơ đồ đoạn thẳng” là một sơ đồ được biểu diễn bằng các đoạn thẳng thể
hiện các đại lượng và quan hệ giữa chúng.
- “ Giải toán” là đi tìm phần cần tìm của nó.
- “ Giải toán bằng PP dùng sơ đồ đoạn thẳng ” là việc giải toán sử dụng sơ
đồ đoạn thẳng để giúp học sinh xác định được mối quan hệ giữa các yếu tố, các đại
lượng từ đó định ra được cách giải, thậm chí có khi nhận thấy ngay kết quả bài
toán, tránh được những lí luận dài dòng không phù hợp với học sinh lớp 4, giúp
học sinh tiếp thu bài một cách chủ động, dễ hiểu, nhớ lâu hơn. Việc lựa chọn độ dài
của các đoạn thẳng để biểu diễn các đại lượng và sắp xếp thứ tự của các đoạn
thẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp HS đi đến lời giải một cách rõ ràng.
II. Thực trạng của vấn đề:
Ban giám hiệu nhà trường vững về chuyên môn, có bề dày kinh nghiệm
trong giảng dạy, giáo viên có trình độ chuyên môn được đào tạo bài bản, chính quy.
Khi dạy về các dạng toán liên quan đến sơ đồ đoạn thẳng, tôi thường trao đổi với
Ban giám hiệu, bạn bè đồng nghiệp, để tìm ra cái hay, cái mới trong giảng dạy nên
đã rút ra được nhiều kinh nghiệm bổ ích cho bản thân.
Đa số học sinh có ý thức trong học tập, nắm được kiến thức bài học và vận
dụng vào thực hành tương đối tốt.
Trong chương trình toán lớp 4, các bài toán liên quan đến sơ đồ đoạn thẳng
rất nhiều được chia rãi rác ở các tiết toán như bài: Tìm số trung bình cộng; Tìm hai
số khi biết tổng và hiệu của hai số đó. Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của
hai số đó,…Các dạng toán xuyên suốt trong chương trình học.
Qua thực tế giảng dạy, khi dạy học về 2 dạng toán trên, tôi nhận thấy những
khó khăn học sinh thường gặp phải là:
3


Thứ nhất, học sinh khó xác định dạng bài tập. Học sinh thường lẫn lộn cách
giải giữa các dạng, không phân tích rõ được bản chất bài toán, dẫn đến không xác
định được dạng bài tập.
Thứ hai, nhiều em xác định được dạng toán nhưng lại vận dụng một cách rập
khuôn, máy móc mà không hiểu được thực chất của vấn đề cần giải quyết nên khi
gặp bài toán có cùng nội dung nhưng lời lẽ khác đi thì các em lại lúng túng.
Nguyên nhân chủ yếu là do học sinh không hiểu bản chất của bài toán mà
chỉ vận dụng giải toán một cách máy móc dựa trên bài tập mẫu nên khi gặp các bài
toán không giống như mẫu thì các em thường làm sai.
Về phía giáo viên, hầu hết các giáo viên đều có sự quan tâm, đầu tư, nghiên
cứu cho mỗi tiết dạy về nội dung giải toán này. Tuy nhiên, giáo viên đôi khi còn lệ
thuộc nhiều vào sách giáo khoa nên rập khuôn một cách máy móc, chưa chú trọng
các khâu trong hướng dẫn giải toán cho học sinh. Do đó, việc vận dụng PP này vào
trong DH của GV cũng như giải toán của HS vẫn còn lúng túng. Vì thế, giáo viên
chưa khắc sâu và so sánh cho học sinh cách giải của hai dạng toán cơ bản liên quan
đến sơ đồ đoạn thẳng dẫn đến học sinh hiểu bài một cách mơ hồ, rất mau quên và
hay mắc sai lầm khi giải toán.
Năm học 2017 – 2018, tôi áp dụng kinh nghiệm này vào lớp tôi, lớp 4A và so sánh với
lớp 4B (không áp dụng kinh nghiệm). Tôi cho kiểm tra khảo sát lần đầu khi cả 2 lớp đều chưa áp
dụng kinh nghiệm, thống kê 2 bảng như sau:

Lớp

Sĩ số

4A

27

Lớp

Sĩ số

4B

30

10 - 9
SL
%
5

18,5

10 - 9
SL
%
6

20,0

8 -7

6-5
SL
%

SL

%

7

25,9

8 -7

12

44,5

6-5
SL
%

SL

%

7

23,3

14

46,7

4-3
SL
%
3

11,1

4-3
SL
%
3

Ghi chú

Ghi chú

10,0

Theo bảng thống kê này, vẫn còn có HS rơi vào điểm yếu.
III. Các giải pháp để giải quyết vấn đề
Đặc trưng riêng của việc dạy học giải toán có lời văn ở Tiểu học là phải tuân
theo các bước cụ thể, đó là: phân tích đề bài, tóm tắt đề bài và lựa chọn cách giải
4


bài toán thích hợp. Do đó, “Ứng dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán Tìm hai số khi
biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó” cũng được thực hiện theo thứ tự các bước
trong quy trình như trên.
Trước hết, GV cần nắm rõ các lỗi HS thường xuyên gặp phải khi giải hai
dạng toán này. Trong suốt quá trình công tác 4 năm vừa qua, tôi may mắn được
phân công chủ nhiệm lớp 4, vì vậy bằng kinh nghiệm bản thân, tôi liệt kê một số
lỗi HS thường mắc phải trong hai dạng toán đó là:
- Không xác định được tên 2 đại lượng để đặt sơ đồ.
- Vẽ sơ đồ sai: Các sơ đồ đoạn thẳng minh họa cho 2 đại lượng bị lệch ở
điểm xuất phát; thiếu đơn vị trên sơ đồ; không xác định vị trí đặt tổng (hiệu).
- Nắm chưa vững về tỉ số, vì vậy xác định hay bị nhầm giữa số lớn, số bé.
- Lời giải đặt chưa chính xác hoặc chưa hay.
- Thực hiện phép nhân, chia thiếu chính xác.
- Xác định đơn vị bài toán chưa tốt.
Khi nắm rõ những lỗi HS dễ mắc phải, chúng ta sẽ có hướng giúp HS dễ
dàng giải toán chính xác, khắc sâu được kiến thức cho HS, HS nắm chắc được
dạng toán. Vì vậy, khi gặp phải dạng toán này, HS sẽ dễ dàng tìm ra cách giải
đúng.
*Giải pháp 1: Rèn các thao tác tư duy và kĩ năng giải toán Tìm hai số khi biết tổng
(hiệu) và tỉ số của hai số đó.
Biện pháp 1: GV giúp HS xác định đúng dạng toán
- Để HS xác định được 2 dạng toán và không bị nhầm lẫn giữa 2 dạng. Trước hết
GV dạy kĩ phần giới thiệu tỉ số. Bài giới thiệu tỉ số trong chương trình toán VNEN
là bài 89. Tr 72. Hướng dẫn học toán 4 tập 2. GV cần làm rõ:
Số thứ

Số thứ

nhất

hai

Tỉ số của số thứ Tỉ số của số thứ hai
nhất và số thứ và số thứ nhất
hai

a

b(khác 0)

4

7

8

3

6

8

a
b
4
4 : 7 hay
7
8
8 : 3 hay
3
6 3
6 : 8 hay 
8 4

a : b hay

5

b
a
7
7 : 4 hay
4
3
3 : 8 hay
8
8 4
8 : 6 hay 
6 3

b : a hay


GV có thể vẽ các đoạn thẳng thể hiện tỉ số để HS thấy rõ. Các bài tập ở Hoạt
động thực hành GV cần cho HS làm kĩ, hướng dẫn rõ ràng để HS xác định đúng
đại lượng ứng với tỉ số.
Sau đó, GV hướng dẫn xác định đề bài dựa vào những từ ngữ và dữ kiện đề
bài cho.
Dạng 1: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó: Ở dạng này, đề bài
thường cho các từ chỉ tổng: Tổng, cả hai, hai, tất cả, cả, và, …Tuy nhiên có những
bài tổng bị ẩn, HS sẽ phải tìm tổng. Tôi thường đưa ra các câu hỏi để hỏi giúp HS
nhận dạng được bài toán:
- Bài toán cho những dữ kiện gì? Đây là dạng toán nào?
- Bài toán cho tổng là bao nhiêu? Có từ nào xuất hiện để nhận dạng được đó là
tổng?
- Đối với bài toán có tổng bị ẩn, tôi cũng hỏi tổng là bao nhiêu? rồi hướng dẫn HS
tìm tổng.
- Tỉ số của của 2 đại lượng là bao nhiêu? Tỉ số đã cho rõ ràng hay chúng ta phải
lập? sau đó hướng dẫn HS xác định tỉ số.
VD: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 120m. Chiều dài bằng

3
chiều rộng.
2

Tính diện tích mảnh vườn đó?
Dữ kiện thứ hai là tỉ số, có bài cho tỉ số rõ ràng, nhưng có bài tỉ số chưa cho
trực tiếp mà HS phải suy luận.
VD: 1) Long và Phụng có 48 nhãn vở, số nhãn của Phụng bằng

1
số nhãn của
3

Long. Tính số nhãn mỗi bạn?
2) Long và Phụng 48 nhãn vở, trong đó

1
1
số nhãn của Phụng bằng
số
3
5

nhãn của Long. Tìm số nhãn mỗi bạn?
3) Hai kho thóc chứa 120 tạ. Nếu chuyển 12 tạ thóc từ kho thứ nhất sang kho

thứ hai thì số thóc kho thứ hai bằng 3 lần số thóc kho thứ nhất. Tìm số thóc mỗi
kho?
4) Hai can dầu chứa 120 lít. Sau khi bán 12 lít dầu ở can thứ nhất thì số lít
dầu ở can thứ nhất bằng

1
số lít dầu ở can thứ hai. Tìm số lít dầu ở mỗi can lúc
3

đầu?
5) Một hộp có 140 viên bi xanh và đỏ. Tìm số bi xanh và đỏ, biết :
a) Số bi đỏ gấp 4 lần số bi xanh
b) Số bi đỏ bằng

2
số bi xanh
5

6


c)

1
1
số bi đỏ bằng số bi xanh
2
5

Dạng 2: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó. Ở dạng này, đề
thường xuất hiện các từ hoặc cụm từ như sau để thể hiện hiệu: nhiều hơn, ít hơn,
kém, hơn, …Tỉ số thì cũng có các trường hợp như dạng 1.
- Bài toán cho những dữ kiện gì? Đây là dạng toán nào?
- Bài toán cho hiệu là bao nhiêu? Có từ nào xuất hiện để nhận dạng được đó là
tổng?
- Đối với bài toán có hiệu bị ẩn, tôi cũng hỏi hiệu là bao nhiêu? rồi hướng dẫn HS
tìm hiệu.
- Tỉ số của của 2 đại lượng là bao nhiêu? Tỉ số đã cho rõ ràng hay chúng ta phải
lập? sau đó hướng dẫn HS xác định tỉ số.
VD: 1, Số thứ nhất kém số thứ hai 234 đơn vị, biết tỉ số của hai số đó là 2/5. Tìm
hai số đó.
2, Một hình chữ nhật có chiều rộng kém chiều dài là 44m và bằng 3/5 chiều
dài. Tính chu vi hình chữ nhật đó.
3, Một cửa hàng có số mét vải trắng bằng 3/7 số mét vải xanh. Tính số mét
vải các loại. Biết số vải trắng ít hơn số vải xanh là 324m.
Như vậy, dựa vào các từ ngữ và dữ kiện bài toán cho, HS sẽ nhận biết được
2 dạng toán này, sẽ không bị nhầm giữa 2 dạng.
Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh giải toán theo các bước cụ thể, đó là:
phân tích, tóm tắt đề bài và lựa chọn cách giải bài toán.
Bước 1. Hướng dẫn học sinh phân tích đề toán
Trước khi hướng dẫn học sinh phân tích đề toán, giáo viên cần giúp các em
hiểu rõ khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng như đã nêu trên cho HS dễ
hình dung tác dụng của sơ đồ đoạn thẳng khi giải toán.
Dạng 1. Phương pháp giải toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số
đó”
Ở dạng toán này có xuất hiện tỉ số, trước hết GV nên cho HS nhắc qua khái
niệm về tỉ số: “Tỉ số của hai số là thương của phép chia số thứ nhất cho số thứ
hai”. Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhiều ví dụ minh họa.

7


Bài toán 1: Mẹ mua 20 kg gạo nếp và gạo tẻ, trong đó khối lượng gạo nếp bằng
2
khối lượng gạo tẻ. Tính số ki – lô – gam gạo mỗi loại? (bài toán cơ bản). Ở
3

đây, tôi xin phép được lấy bài toán này để phân tích, hướng dẫn cách giải cụ thể.
Sau khi học sinh đọc kĩ bài toán, xác định được cái đã cho và cái cần tìm, Giáo
viên gợi ý bằng câu hỏi: Đâu là tổng, đâu là tỉ số. Tỉ số
hướng dẫn: Ở đề bài cho “khối lượng gạo nếp bằng

2
cho ta biết điều gì ? GV
3

2
khối lượng gạo tẻ”, vì thế
3

gạo nếp chiếm 2 phần, gạo tẻ chiếm 3 phần hoặc để giải thích cho HS rõ hơn thì
GV giảng Ở trong câu “trong đó khối lượng gạo nếp bằng

2
khối lượng gạo tẻ” từ
3

“gạo nếp” được nhắc đến trước thì gạo nếp sẽ tương ứng với số phần ở tử số, “gạo
tẻ nhắc sau thì tương ứng với mẫu số. Trên thực tế giảng dạy, tôi dùng cách giải
thích như vậy thì tôi thấy HS không bị nhầm lẫn giữa 2 đại lượng, vì vậy khi vẽ sơ
đồ HS cũng sẽ không bị nhầm. Từ đó áp dụng các bước giải để làm bài. Cần xác
định rõ yêu cầu của đề bài: Tính số ki – lô – gam gạo mỗi loại (tức là số ki – lô –
gam gạo nếp và gạo tẻ).
Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 120m. Chiều dài bằng

3
chiều
2

rộng. Tính diện tích mảnh vườn đó? =>Đối với bài này, HS phải tìm nửa chu vi để
có tổng. Tổng ở đây chính là tổng của chiều dài và chiều rộng. Vì vậy HS lấy chu
vi là 120m : 2 = 60m. Chiểu dài chiếm 3 phần, chiều rộng 2 phần.
Ví dụ 2: Một trang trại nuôi 360 con gà. Sau khi đã bán đi 40 con gà trống thì số gà
trống còn lại bằng

3
số gà mái. Hỏi lúc đầu trại đó nuôi bao nhiêu con gà mỗi loại.
5

Phân tích đề:
+ Nếu bán 40 con gà trống thì tổng sẽ thay đổi: 360 – 40 = 320 (con). Lúc này, gà
trống chiếm 3 phần, gà mái chiếm 5 phần.
Ví dụ 3) Long và Phụng có 48 nhãn vở, trong đó

1
1
số nhãn của Phụng bằng số
3
5

nhãn của Long. Tìm số nhãn mỗi bạn?
- Phân tích đề: Hướng dẫn HS dựa vào dữ kiện

1
1
số nhãn của Phụng bằng
số
3
5

nhãn của Long để xác định tỉ số. Như vậy, Phụng chiếm 3 phần, Long chiếm 5
phần. Tổng là 48 nhãn.
Với cách hướng dẫn HS phân tích đề toán như vậy, học sinh sẽ nắm chắc đề
toán hơn. Không bị nhầm với các dạng toán khác.
8


Dạng 2. Phương pháp giải toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số
đó”
Ở dạng toán này, các bước phân tích đề cùng tương tự như dạng toán trên, chỉ khác
chỗ tổng (hiệu)
- Bài toán 2 : Hiệu của hai số là 33. Số thứ nhất bằng

2
số thứ hai. Tìm hai số đó.
5

Đối với bài toán này, giáo viên yêu cầu HS phải nêu được: Hiệu của hai số là
bao nhiêu? Số thứ nhất chiếm mấy phần? Số thứ hai chiếm mấy phần?
GV phân tích: Nếu số thứ nhất là 2 phần bằng nhau thì số thứ hai là 5 phần
bằng nhau. Như vậy, số thứ hai sẽ hơn số thứ nhất là 3 phần bằng nhau, tức là hiệu
chiếm 3 phần bằng nhau của số thứ hai. Tìm hai số đó.
Khi hướng dẫn HS phân tích bài tập dạng này, GV lấy bài toán 1 ra để so
sánh và khắc sâu cho HS thấy sự khác nhau giữa hai dạng bài tập này là ở chỗ nào?
Bằng cách, vừa chỉ vào dữ liệu bài toán cho, vừa kết hợp chỉ trên sơ đồ minh họa
cho HS thấy đâu là dạng “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó; Tìm hai
số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”. Mục đích cũng là để học sinh không nhầm
lẫn giữa hai dạng bài tập này.
Bước 2. Hướng dẫn học sinh tóm tắt đề toán
Sau khi học sinh phân tích đúng đề toán và thấy rõ hướng giải quyết bài toán
thì việc tóm tắt trở nên đơn giản. Nhưng nếu như giáo viên sử dụng một số kĩ thuật
giúp các em tóm tắt bài toán sao cho ngắn gọn, thể hiện rõ nhất điều kiện bài toán
cho và vấn đề cần giải quyết; đồng thời khi nhìn vào có thể biết ngay mình nên
chọn cách làm nào thuận tiện thì hiệu quả dạy học sẽ cao hơn nhiều.

Đối với 2

dạng toán này, tốt nhất GV nên cho HS tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng. Khi HS
nhìn vào sơ đồ sẽ nắm được ngay cách làm bài và khi vẽ sơ đồ đúng thì HS sẽ
không bị nhầm lẫn giữa các đại lượng cần tìm.
Đối với bài toán 1: Ở dạng toán này, phần sơ đồ đoạn thẳng là phần không
thể thiếu được trong bài giải, nó không phải là bước tóm tắt đề bài toán mà nó là
một bước chính của bài giải. Nếu thiếu bước này thì bài giải sai.
Nhờ vào sơ đồ thì giúp HS suy luận tìm ra cách giải và cũng chính nhờ vào
sơ đồ mà HS có thể biết được kết quả đúng hay sai.
Lưu ý
+ Khi vẽ sơ đồ, vẽ phần tử số trước mẫu số, các đoạn phải bằng nhau. Đại
lượng đã biết thể hiện nét liền, đại lượng cần tìm thể hiện nét đứt.
9


+ Lời giải tương ứng với sơ đồ, tức là nếu ta thể hiện số phần tử số trước
mẫu số trên sơ đồ thì ta thực hiện trình tự lời giải cũng vậy.
+ Nếu đề bài cho đơn vị thì ta phải ghi đơn vị trên sơ đồ đồng thời lời giải
cũng phải phù hợp với đề bài.
HS vẽ sơ đồ như sau:

3 phần bằng nhau

Gạo tẻ:
20 kg

2 phần bằng nhau
Gạo nếp:

Đối với bài toán 2: GV hướng dẫn HS vẽ sơ đồ giống như ở bài toán 1, chỉ khác
ở phần hiệu.
HS vẽ sơ đồ như sau:
2 phần bằng nhau
Số thứ nhất:
5 phần bằng nhau
Số thứ hai:
33

Nhìn vào tóm tắt này HS có thể nhận ra ngay hướng giải quyết bài toán là: tìm
hiệu số phần bằng nhau, sau đó dễ dàng làm các bước còn lại.
Bước 3. Hướng dẫn học sinh lựa chọn phương pháp giải toán thích hợp
Đối với hai dạng bài toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó; Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng
phương pháp:
* Phương pháp giải dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”
Bước 1: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
Bước 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau
Bước
đoạn thẳng
Bước 1:
4: Vẽ
Tìmsơsốđồbé.
Bước 2:Số
Tìm
nhau số phần của số bé
bé hiệu
= Giásốtrịphần
của bằng
một phần
Bước
trị một phần
Bước 3:
5: Tìm
Tìm giá
số lớn.
Giá
trịtoán
một
phần
=hai
Hiệu:
Hiệu
phần
bằng
nhau
* Phương pháp giải dạng
“Tìm
số khi
biết
hiệu

tỉ số
Số lớn
= Giá
trị của
một
phần
sốsố
phần
của
sốcủa
lớn hai số đó”
Bước 4: Tìm số bé. Hoặc Số lớn = Tổng – Số bé
Số bé = Giá trị của một phần  số phần của số bé
Bước 5: Tìm số lớn.
10
Số lớn = Giá trị của một phần  số phần của số lớn
Hoặc Số lớn = Hiệu + Số bé


Nếu HS thành thạo khi giải, GV hướng dẫn HS làm gộp, có thể bỏ bước tìm giá trị
một phần.
Khi dạy cho HS giải hai dạng toán trên, GV cho chia đôi bảng, cho 2 bài
toán thuộc 2 dạng, hướng dẫn 2 PP giải cho 2 dạng song song để HS thấy được
những điểm giống và khác nhau giữa 2 dạng toán này. Nhờ vậy HS sẽ khắc sâu
hơn về PP giải và sẽ không bị nhầm lẫn giữa 2 dạng toán.
Nếu như khó khăn lớn nhất của học sinh là nhầm lẫn giữa hai dạng bài tập này thì
với hai giải pháp nêu trên, giáo viên sẽ giúp các em tháo gỡ được hạn chế này khi
thực hiện giải toán.
Như vậy, cách trình bày cụ thể của 3 bài toán như sau:
Bài toán 1: Mẹ mua 20 kg gạo nếp và gạo tẻ, trong đó khối lượng gạo nếp bằng
2
khối lượng gạo tẻ. Tính số kg gạo mỗi loại.
3

Bài giải
Ta có sơ đồ:

?kg

Gạo tẻ:
20 kg

?kg
Gạo nếp:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
3 + 2 = 5 (phần)
Số ki-lô-gam gạo nếp mẹ mua là:
(20 : 5) × 2 = 8 (kg)
Số ki-lô-gam gạo tẻ mẹ mua là:
20  8 = 12 (kg).
Đáp số: Gạo nếp: 8kg; Gạo tẻ: 12kg.
11


* Bài tập minh họa
Bài tập1: Tổng của hai số là 100, tỉ số của chúng là

2
. Tìm mỗi số ? (Bài tập 1,
3

Tr 19 ; Toán 4, tập 2B)
Hướng dẫn: Bài toán cho biết tổng của hai số đó là 100. Tỉ số

2
. Nếu ta quy
3

ước số bé, số lớn thì số bé chiếm 2 phần và số lớn là 3 phần như thế.
Giải:
Tacó sơ đồ:
?
Số bé:

100

Số lớn:
?

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 2 + 3 = 5 (phần)
Số bé là: 100 : 5  2 = 40
Số lớn là: 100 – 40 = 60
Đáp số: Số bé: 40; Số lớn: 60
Bài tập 2: Tuổi bà, mẹ và Mai cộng lại bằng 100. Biết Mai bấy nhiêu ngày thì mẹ
bấy nhiêu tuần. Mai có bấy nhiêu tháng thì bà có bấy nhiêu năm. Tính tuổi mỗi
người?
(Tuyển chọn các bài toán có lời văn – NXBTH TPHCM)
* Phân tích bài toán:
+ Phần đã cho biết:
- Tổng : 100 tuổi.
+ Phần cần phải tìm:
- Số tuổi của mỗi người?
- Nhưng tỉ số tuổi của mỗi người đang ẩn nên chúng ta cần lí luận để
tìm được tỉ số.
Bài giải
- Vì 1 tuần lễ có 7 ngày nên tuổi mẹ gấp 7 lần luổi Mai.
- Cứ 1 năm có 12 tháng nên tuổi bà gấp 12 lần luổi Mai.
Đến đây, ta có sơ đồ:
12


Tuổi Mai:

100 tuổi

Tuổi mẹ:
Tuổi bà:

Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 7 + 12 = 20 (phần)
Tuổi Mai là:
100 : 20 × 1 = 5 (tuổi)
Tuổi mẹ là:
100 : 20 × 7 = 35 (tuổi)
Tuổi bà là:
100 : 20 × 12 = 60 (tuổi)
Đáp số: Mai: 5 tuổi; Mẹ: 35 tuổi; Bà: 60 tuổi.
Qua bài toán trên chúng ta có thể khẳng định rằng vai trò của phương pháp giải
toán dùng sơ đồ đoạn thẳng là phương pháp đặc biệt quan trọng trong giải toán tiểu
học. Nhờ có sơ đồ đoạn thẳng mà các khái niệm và quan hệ trừu tượng của số học
như các phép tính và các quan hệ trực quan hơn.
Đối với bài toán 2:
Ta có sơ đồ:

2 phần bằng nhau

Số thứ nhất:
5 phần bằng nhau
Số thứ hai:

Giải:

33

Hiệu số phần bằng nhau là: 5  2 = 3 (phần)
Giá trị một phần bằng nhau là: 33 : 3 = 11
Số thứ nhất là: 2  11 = 22
Số thứ hai là: 33 + 22 = 55.
Đáp số: Số thứ nhất: 22; Số thứ hai: 55.
Bài toán 1: Số nữ ở thôn Đoài nhiều hơn số nam là 60 người. Số nam bằng
? người

số nữ. Hỏi thôn Đoài có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ?
Ta có sơ đồNam:
sau:
Nữ:

60 người
13

? người

7
8


Bài giải:
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
8 – 7 = 1 (Phần)
Giá trị mỗi phần là:
60 : 1 = 60
Số nam ở thôn Đoài là:
60 × 7 = 420 ( Người)
Số nữ ở thôn Đoài là:
20 + 60 = 480 (Người)
Đáp số: 420 người, 480 người.
Bài toán2 : Số thứ nhất kém số thứ hai là 123. Tỉ số của hai số đó là
đó.
+ Phần đã cho:
- Hiệu của số thứ nhất và số thứ hai là 123.
- Tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là

2
.
5

+ Phần cần phải tìm:
- Số thứ nhất và số thứ hai.
Bài giải
Cách 1:
Ta có sơ đồ:

?

Số thứ nhất:

123

Số thứ hai:
?
Theo sơ đồ, hiệu số phần phần bằng nhau là:
5 – 2 = 3 (phần)
14

2
. Tìm hai số
5


Số thứ nhất là:
123 : 3 x 2 = 82
Số thứ hai là:
123 + 82 = 205
Đáp số: Số thứ nhất : 82; Số thứ hai: 205.
Thử lại : 205 - 82 = 123
82
2
=
205
5

Cách 2:
Giả sử số thứ nhất là 2 và số thứ hai là 5 thì số thứ hai hơn số thứ nhất là:
5–2 =3
Do đó, 123 gấp 3 số lần là:
123 : 3 = 41 (lần)
Số thứ nhất là:
41 �2 = 82
Số thứ hai là:
82 + 123 = 205
Đáp số: Số thứ nhất : 82; Số thứ hai: 205.
* Nhận xét: Qua hai phương pháp giải khác nhau thì chúng ta thấy phương
pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng dễ hiểu hơn nhiều so với phương pháp không dùng sơ
đồ đoạn thẳng.
Biện pháp 3: Sau phần học xong mỗi dạng toán, GV cho làm bài kiểm tra khảo
sát, kiểm tra nhanh để nắm được khả năng tiếp thu của các em.
*Giải pháp 2: Thực hành giải hai dạng toán
Biện pháp 1: Thiết kế giáo án, tổ chức tiết dạy gây hứng thú cho HS.
Việc thiết kế giáo án, tổ chức tiết dạy gây hứng thú cho HS là một vấn đề rất
quan trọng trong việc truyền đạt kiến thức cho HS. Muốn HS lĩnh hội hết được
kiến thức của bài học, GV phải tạo được không khí tiết học thoải mái, không quá
nặng nề; lựa chọn lời hướng dẫn dễ hiểu để HS dễ tiếp thu. Để làm được như vậy,
trước tiên GV cần có sự say mê với mỗi tiết dạy, đem tâm huyết của mình vào bài
15


dạy, thiết kế giáo án kĩ, lựa chọn nhiều hình thức dạy học khác nhau gây hứng thú
cho HS, lôi cuốn HS vào tiết học như hướng HS vào một trò chơi thú vị.
Ở bài đầu tiên về dạng toán Tổng – tỷ, có một bài kiến thức mới và hai bài
luyện tập ( Em ôn lại những gì đã học). Với bài 90: Tìm hai số biết tổng và tỉ số
của hai số đó, bài này có hai tiết, tiết 1 tôi dạy hoạt động 1, 2, 3 của hoạt động cơ
bản. Sau khi cho HS xác định mục tiêu bài học, tôi tổ chức cho HS chơi trò chơi “
Ai nhanh hơn” về tỉ số để nhắc lại kiến thức đã học về tỉ số. Qua trò chơi HS sẽ tự
nhớ lại cách xác định 2 đại lượng của tỉ số, từ đó việc làm quen với dạng toán mới
đỡ bị bỡ ngỡ. Hoạt động 1: tôi cho cá nhân HS tự đọc hết đề bài, cách giải, sau đó
trao đổi theo cặp, nhóm lớn cách giải bài toán mới; sau cùng, tôi mới đưa bài toán
này lên bảng lớp, hướng dẫn cách xác định dạng toán, các bước giải. Nhấn mạnh
cho HS cách vẽ sơ đồ, biểu diễn sơ đồ. Cho HS rút ra các bước giải, nhiều HS nhắc
lại. Sau cùng tôi cho cả lớp nhắm mắt lại, nhẩm các bước giải trong vòng 3 phút,
mời 3 – 4 HS nhắc lại trước lớp. Ở hoạt động 2, tôi nhắc qua cho HS sự khác nhau
giữa bài toán 1 và bài toán 2 (bài toán 2 có thêm đơn vị), tổ chức cho HS thi làm
bài nhanh, chọn 5 HS nhanh nhất chấm, chữa bài trước lớp. Lúc này, tôi không
quên tuyên dương các em làm nhanh và đúng; động viên, khuyến khích nhẹ nhàng
những em còn hơi chậm. Ở hoạt động 3, HS thực hành làm bài giải hoàn chỉnh vào
vở Toán. Tôi dùng các câu hỏi gợi ý để hướng dẫn các em, sau đó các em sẽ tự làm
bài, tôi đi quanh lớp kiểm tra, hỗ trợ. Kết thúc hoạt động, tôi củng cố bài bằng một
bài tập ngoài sách hướng dẫn học, bài tập để trống phép tính như bài toán 2, HS sẽ
điền bằng miệng nhanh nhằm giúp HS nhớ sâu hơn về các bước giải.
Tiết 2: HS thực hành làm các bài tập 1, 2, 3. Tôi cũng thường xuyên thay đổi
hình thức, trước khi tiến hành làm bài tập, tôi cho các nhóm tự kiểm tra nhau cách
giải bài toán dạng mới này. Bài tập 1 HS làm bài tập cá nhân, chữa bài trước lớp.
Bài tập 2, làm cá nhân sau trao đổi trong nhóm để cùng kiểm tra kết quả bài làm.
Bài tập 3, tôi khuyến khích HS làm nhanh và chính xác sẽ có quà, quà ở đây là bút,
thước,…chọn 3 bài nhanh và đúng để tặng quà. Việc làm này đã giúp HS của tôi vô
cùng hứng thú, từ đó các em yêu thích học Toán hẳn. Với hai bài luyện tập gồm bài
91, 92 tôi cũng thường xuyên thay đổi hình thức học, luôn tuyên dương, động viên
16


các em như thế để các em xem các bài tập nhẹ nhàng, các em làm bài tập với tinh
thần thích thú.
Đối với dạng Hiệu – tỉ, các bước tiến hành cũng giống như trên. Sau khi học
xong 2 dạng toán, tôi cho hỏi câu hỏi gợi ý nhằm giúp HS phân biệt sự giống và
khác nhau của 2 dạng toán này. Tôi chia đôi bảng lớp, ghi 2 đề bài toán lên bảng,
một bên là dạng Tổng – Tỉ, một bên là dạng Hiệu – tỉ; mời 2 HS lên bảng làm bài,
sau khi chữa bài, chỉ rõ sự giống và khác nhau của 2 dạng toán, HS sẽ nắm rõ hơn
và không bị nhầm lẫn giữa 2 dạng.
Biện pháp 2: Khuyến khích HS học nhóm ở nhà, củng cố lại kiến thức.
Cùng với việc HS lĩnh hội kiến thức ở lớp thì việc học bài ở nhà cũng rất quan
trọng. Nhưng để các em học một mình thì các em sẽ mau chán. Vì vậy tôi tổ chức
cho các em học nhóm ở nhà, tôi cho các em tự chọn nhóm học của mình, tuy nhiên
tôi cũng định hướng cho các nhóm sắp xếp nên có các bạn học giỏi vào mỗi nhóm
để các bạn ấy hỗ trợ những bạn còn lại, tôi giúp các em phân bố thời gian cho hợp
lí với từng nhóm. Tôi không để các em học tự do, tôi định hướng trước cho các em
nên học những gì và học như thế nào ở nhà để hiệu quả nhất, tránh tình trạng HS tụ
tập để chơi nhiều hơn học. Thường thì khi học nhóm tôi chỉ hướng dẫn các em làm
lại các bài tập đã làm ở trên lớp, các em sẽ trao đổi lại cách làm bài, các bước giải,
các em tự kiểm tra cho nhau, cùng giúp nhau nhớ đúng kiến thức. Nếu thành thạo,
các em có thể đố nhau tự ra đề bài và giải toán. Và dĩ nhiên tôi sẽ theo dõi, kiểm
tra sự tiến bộ của từng nhóm bằng một bài kiểm tra sau phần đã học.
Biện pháp 3: Kết hợp với gia đình HS về cách giải toán thông qua Phiếu
học tập về nhà.
Việc học của các em sẽ không hiệu quả nếu không có sự quan tâm, nhắc nhở từ
phía gia đình. Lứa tuổi của các em là lứa tuổi còn ham chơi, vô tư, chính vì thế đôi
khi các em quên luôn các nhiệm vụ học cô giáo giao cho về nhà, cho nên nếu HS
được gia đình quan tâm thì HS sẽ học rất tốt. Cùng với các kiến thức khác, cũng
như với hai dạng toán này cũng thế, tôi luôn làm phiếu học tập viết vài bài tập
cùng dạng nhưng ngoài sách hướng dẫn học đưa cho HS mang về nhà làm, tôi

17


cũng trao đổi với phụ huynh thường xuyên đôn đốc các em, ngồi bên cạnh theo dõi
các em làm bài. Các bài tập này tôi chữa nhanh vào các tiết luyện.
IV. Tính mới của giải pháp
Tôi đã thực hiện các giải pháp này trong những năm gần đây và thấy có hiệu quả
rõ rệt. Sau khi thực hiện các giải pháp, HS tôi dạy nắm rất chắc hai dạng toán này,
có khi nhìn đề xong các em đã đọc được kết quả. Kĩ năng tóm tắt bằng sơ đồ của
các em cũng được nâng cao, các em biết cẩn thận, tỉ mĩ hơn khi vẽ sơ đồ, từ đó tạo
nên tính cẩn thận cho các em. Các em có hứng thú với các bài toán giải, thích giải
toán hơn, không còn e dè khi gặp các bài toán giải. Đối với bản thân tôi, tôi thật sự
yêu nghề hơn, yêu các em học sinh hơn và muốn dành nhiều tâm huyết hơn nữa để
nghiên cứu những phương pháp dạy học hay hơn nữa để dạy cho HS của mình,
nhìn thấy các em tiến bộ là động lực giúp tôi càng phải cố gắng hơn.
V. Hiệu quả của SKKN
Kết quả đạt được:
KẾT QUẢ KHẢO SÁT SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Lớp

Sĩ số

4A

27

Lớp

Sĩ số

4B

10 - 9
SL
%
8

8 -7

29,6

10 - 9
SL
%

30

7

6-5
SL
%

SL

%

9

33,3

8 -7

23,3

10

37,1

6-5
SL
%

SL

%

8

26,7

14

46,7

4-3
SL
%
0

0

4-3
SL
%
1

Ghi chú

Ghi chú

3,3

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành khảo sát 2 lần
với lớp 4A và 4B để thể nghiệm kết quả nghiên cứu của mình.
- Lần 1: Khảo sát trên 2 lớp 4A có 27 học sinh, 4B có 30 học sinh.
- Lần 2 (Đối chiếu): kết quả thu được như sau:
Lớp

SL HS
Lần Lần

10 - 9
Lần Lần

8 -7
Lần Lần

6–5
Lần Lần

4-3
Lầ Lần

1

1

1

1

n1

2

2

2
18

2

2


4A

Lớp
4B

27

27

18,5

29,6

%

%

25,9

33,3

44,5

%

%

%

37,1
%

11,1

0

%

SL HS
Lần Lần

10 - 9
Lần Lần

8 -7
Lần Lần

6–5
Lần Lần

4-3
Lầ Lần

1

1
2
20,0 23,3

1
23,3

2
26,7

1
46,7

n1 2
10,0 3,3

%

%

%

2
30

30

%

%

2
46,7
%

%

%

Nhận xét:
Qua bảng kết quả đối chiếu trên, ta thấy rõ ưu điểm của bài khảo sát có áp dụng
các biện pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Điểm nổi bật là trong quá trình dạy
học học sinh được tham gia vào quá trình tìm ra kiến thức mới, áp dụng kiến thức
vào thực hành luyện tập, nhận diện đúng các dạng bài toán có thể sử dụng sơ đồ
đoạn thẳng vào việc hỗ trợ giải. Điều này thể hiện rõ trong lần khảo sát thứ hai,
nhiều học sinh đạt điểm khá giỏi, không có học sinh đạt điểm yếu. Đó là luận
chứng làm rõ việc khảo sát lần 2 – HS có ứng dụng các biện pháp mới có hiệu quả
cao hơn so với lần 1. Tuy nhiên, đây cũng chỉ là kết quả thực nghiệm bước đầu,
chưa nên coi đây là kết quả cuối cùng để đi đến một kết luận khoa học – kết luận
này xin nhường cho các đề tài nghiên cứu rộng và sâu hơn. Với phạm vi nghiên
cứu của để tài này, những kết quả thu được mang tính chất khẳng định, tính khả thi
của đề tài.
Phần thứ 3: Kết luận, kiến nghị
1. Kết luận

19


- Trong phương pháp giải toán theo sơ đồ đoạn thẳng thường được tuân thủ
theo 5 bước:
+ Bước 1: Đọc đề, tìm hiểu đề và phân tích đề.
+ Bước 2: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
+ Bước 3: Lập kế hoách giải toán (trình tự các phép tính).
+ Bước 4: Giải bài toán theo trình tự vừa lập.
+ Bước 5: Kiểm tra lại kết quả.
Trong 5 bước thì bước vẽ sơ đồ đoạn thẳng là bước khá quan trọng.
Qua thực tế giảng dạy, qua các bài tập thực nghiệm cho thấy học sinh Tiểu
học trình độ tư duy của các em còn non nớt, khả năng phân tích và khái quát còn
chưa cao, khi đọc các bài toán có lời văn các em hiểu yêu cầu của bài toán rất
chậm. Vì vậy, khi giải toán có lời văn dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải
thì rất có hiệu quả, nó phù hợp với đặc điểm tư duy của học sinh Tiểu học, giúp các
em dễ hiểu và dễ nhớ.
2. Kiến nghị
Với mục đích nâng cao kết quả giảng dạy và hoàn thành chuyên môn của
người giáo viên tiểu học, tôi xin có một số đề nghị sau:
a) Đối với Ban giám hiệu nhà trường:
Tổ chức các chuyên đề về phương pháp dạy Toán ứng dụng sơ đồ đoạn thẳng
để giáo viên học hỏi kinh nghiệm khi dạy các nội dung này vì đây là phần kiến
thức khó với học sinh.
Cung cấp thêm tài liệu tham khảo và thiết bị dạy học nhằm giúp giáo viên
nâng cao chất lượng các tiết học này.
b) Đối với giáo viên:
Giáo viên cần phải linh hoạt thực hiện đổi mới phương pháp dạy học, cần nắm
bắt rõ năng lực học tập của từng đối tượng học sinh để giảng dạy có hiệu quả. Tự
học và tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ của bản thân góp
phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc rút được trong quá trình
giảng dạy, trên thực tế đã có những thành công nhất định. Nhưng do điều kiên và
khả năng còn hạn chế nên đề tài của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất
mong các thầy, cô giáo cùng các bạn bè đồng nghiệp bổ sung, góp ý để tôi có thêm
20


kinh nghiệm nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho HS Tiểu
học. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Dray Sáp,ngày 20 tháng 4 năm 2019
Người viết

Hà Thị Hải Quỳnh
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….............
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
.
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

Huỳnh Thị Biên

21



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×