Tải bản đầy đủ

Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng tt tiếng anh

ÅÁÆÁËÌÊ
À

Ç

ÆÇÁ È

Æ

ËÌ

ÁÄÁÌ

Í

Æ

ËÌ

ÉÍ


Ç

Í

ÁÄÁ

Ê

Ç

Æ

ÌÊ

Ä ÍÆÁÎ

Ì ÌÍ

ÌÁÇÆ
ÄÍÁ

Ð ØÝ Å Ø

Ó

ËÍÅÅ

Á

Æ ÎÁ

ÌÁÇÆË ÁÆ

ËÔ

ÌÁÇÆ

ÁÆÁÆ

ÊËÁÌ

¾

Æ

ÇÊ ËÇÅ
Å

Ñ Ø
Ð

À

ÆÁ

ÎÇÄÍÌÁÇÆ
Ë

Ò ÐÝ× ×

¼½ ¼¾

Ç

ÌÇÊ

À

Ä ÌÀ

ËÁË ÁÆ Å ÌÀ

ÆÓ ¹ ¾¼½

Å ÌÁ

Ë


Ì

× Ø

× ×

×

Ò
ÓÑÔÐ Ø

Ø Ø

À

º

ÙÒ

ÆÓ

È

Ó

Ð ÍÒ ¹

Ú Ö× ØÝ ¾

Ë

ÒØ



Ê

Ö

½

Ê

Ö

¾

Ê

Ö

¿

Ì

Ø

Ú ×ÓÖ

× × ×

×× ××Ñ ÒØ

××Ó
ºÈÖÓ º È

ÐÐ
ÓÙÒ
Ð

Ò

Ø Ø

Ø À

ÆÓ È

Ì

Ò

ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ð Ú Ð Ì
Ó

× ×

Ð ÍÒ Ú Ö× ØÝ ¾

ÓÒººººººº

Ì

Ø

× ×
Ò

ÓÙÒ
Ó À

Ò Ø

ÆÓ È

Æ Ø ÓÒ Ð Ä
Ó

Ö ÖÝ

Ò

Ð ÍÒ Ú Ö× ØÝ ¾º

Ø

Ä

Ö ÖÝ


ặèấầ



ầèẻ èầặ

ẩ ệỉ


é



ệ ềỉ

ể ễ íì
é





èầặ

ậèầấ

é

ểéỉ ểề

ểéể



è

ế ỉ ểềì

ễễ

é ễệể
ìì ìá ì

éì

ẹễểệỉ ềỉ ẹ
ỉỉệ




ểéể í è

ề ề



ề ì

ìễệ


ệìỉ ề





ễễệểễệ



ể ỉ

ề ìì ể

ì ỉ

ỉ ỉ

ì ỉ

ìỉ í ể

ểệệ ìễểề ì ỉể ỉ

ìểéỉ ểề ể

é ị









ễểễạ

ế ỉ ểềì
é ìì



í ì ề



ỉệ

ìỉẹ ềỉì ỉể

ì

ỉ ì í ỉ

ễệể é ẹá

ì




ééểì



ệ ìéỉì



ì ệ




ìỉ

é ỉí

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéạ
ể ỉ

ễệể
ììá

éé ễỉ
ễệể é ẹ ẽ

ễệể
ìì ì ì ềểỉ ìỉ


ẹạ



ìỉ ỉ ểề ệí ìỉ ỉ

ễễệểễệ

ì

ì ỉ

ĩ ìỉ ề





íề ẹ
ìá ì ề

ẹ ỉ
éá ỉ

ểệệ ìễểề

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ể ỉ

ỉể ìỉ


ì

ểệ ể ìểéỉ ểềìá

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ề ẹ ỉ




ễệ

ễễệể

ỉ ểềì ệ ìễểềì

ì


ềểéể í è

éểề ạỉ ẹ

ì ỉể ề





ééạễểì

ễểệỉ ềỉ ỉể ìỉ í ỉ





ỉ ỉệ ềì







ỉỉ ềỉ ểề

ỉ ệ ìỉ í ề



ìỉ í ể



ệ ệ ế ềỉéí ề

ì

ì ểềá ễệể
ìì ể ỉệ ềìẹ ìì ểề ề é
é ỉ ểề ẹể

ẩấầ



é ỉíá ễ ểễé

ểềỉệểéìá ểệ ì ề

ỉệí

ễễệểễệ



ệ ề ểẹ ềể ì
ề ệ
ềỉ í
ìỉ

ệìá ìỉ

ĩỉ ềì éí

ể ềểềé ề

ệ ễ ệ

é ỉí

ểệ ặ

ểé


é ìì ì ể

ìíìỉ ẹì

ìỉ éé ìẹ éé è

ì


ìì

ỉà

ệạậỉể

ệ ỉ ệẹì


ểềì





ì

ì


ì







ệ ạ
ểé

éỉ

ềỉ ệ
ỉ ểề

ểệ á ỉ

ỉỉ ềỉ ểề

é ìì ì

ễ ệ

ẹ ỉ
é

ìíìỉ ẹ ểệ ỉ

ìễệ

ìểẹ



ì

ì

ệểẹ

ìá


ệí
ểẹ ìỉ

ềỉ ìỉì



ế ỉ ểềì ề ìẹểểỉ





ểệệ ìễểề



ìíìỉ ẹ è


ìì ì

ế ỉ ểềì

ề ẹ ỉ



ề ỉ

ỉỉệ




é ị ỉ ểề

ế ỉ ểềì ề é

ểẹễé ĩ ỉí ể

ềỉ ệề ỉ ểề é ẹ ỉ
ệìỉá

ẻể



ề ềểềé ề

ệệ ềỉ




ìỉ

ế ỉ ểềì ể ệá ỉ

ìéỉì ểệ ểỉ




ệạậỉể
ểề

ìạẻể
ểẹ

ỉ ìểẹ ỉ ẹ ì ệ ỉỉ ề
ềì ỉ

ểẹể

ề ểì





é ỉ

ểề

ệí
ểề

ỉ ểềì



ut u 2 ut + (u ã )u + p = f



ã u = 0

u(x, t) = 0




u(x, 0) = u0 (x)
ề ỉ



é ìỉ

ệạậỉể

ềẹ

í

ìạẻể

ệ ể ẹ ỉ



ệìá ẹ ỉ

ậỉể

ìạẻể

ềỉ



ểệ ì ể

é ềỉ ệể






è







é ỉí





ềì ỉ



ìỉ

O.







ẩè èệ ề

ìễ

ỉỉ ềỉ ểề ể



ệạ

ĩỉ ềì éí



é

á ẻ


ự ạ ề ểá ẩ ệựềạ


ìểéỉ ểềì ỉể ỉ

ề ỉ

ểệ ì ể

ắẳẵ àá





ì ì ỉể ìỉ í ỉ

é ị ỉ ểề ể ìỉệểề



ểệ ề ểề

ắẳẵàá


ì ỉ

ểệ



ểề

ì ìỉ

ẹ ể ỉ

ỉể

éểề ạỉ ẹ

í ệ ỉ

ắẳẵ àá




ẵà

O ì R+ ,

ề ế é ỉí ì ề ìỉ


ểé

O ì R+ ,

ỉỉệ
ỉểệì ỉể ỉ

é ắẳẵắà è

ẩè èệ ề

ắẳẵ à è
ìỉ





ẩểé ỉ ắẳẳ àá

ế ỉ ểềì ểề ỉ


ểẹ

ẩể ề



ểề

ỉỉệ


ĩ ìỉ ề

ĩ ìỉ ề

ỉ ế ỉ ểềì ề

ỉ ì ỉ ì í ề



ềì è

ể ìểéỉ ểềì ề ỉ ệẹì ể

O ì R+ ,

ẹ ỉ
é ế ìỉ ểềì ệ é ỉ

ế ỉ ểềì

ẹ ỉ



è




ĩễểề ềỉ

é

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ễệể ạ

é ẹ ẵà
ặ ĩỉá

ểềì

ệ ỉ

ểééể ề



gạặ


u


u + (u ã )u = p + f


t


ã (gu) = 0


u(x, t) = 0




u(x, 0) = u0 (x),

ề ỉ

ễ ìỉ



á ỉ

ìểéỉ ểềì ề ỉ ệẹì ể
ế ỉ ểềì



ĩ ìỉ ề

ề ìỉ

ềểềạ ỉểềểẹểì
ì ì ì



ề á





ĩ ìỉ ề






ẽ ề

ì R+ ,



ì R+ ,





ế ỉ ểềì

ì R ,
.

éểề ạỉ ẹ

ắẳẵẵàá

ểệ ể

gạặ

ểỉ


ắà

+

ỉỉệ
ỉểệì ểệ ắ

è

ì



ểề

ĩỉ ềì éí ề


ệạậỉể



ệạậỉể

ỉểềểẹểì

ì


è ẫí ỉ ắẳẵắàá




ẽ ề


ắẳẵàá








ệ ề
ì ỉ

ỉ ề



ỉể

ẵà



ấể

ắẳẳ àá

ềà ể ệá ỉ

ề ìỉ







ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì













è ể ắẳẵắàá

ìỉ éé ẹ ềí ểễ ề ìì ì



ìíìỉ ẹ ắàá ì

ĩễểề ềỉ

é ìỉ

é ỉí ể

ì

ìỉệểề

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
ắà ậỉ

é ị ỉ ểề ể ìỉệểề

à ậỉ

é ị ỉ ểề ể éểề ạỉ ẹ

ề ééíá
ểềì
ế ỉ ểềì ỉ

ệỉ

ề ỉ

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
ểệ ể ìểéỉ ểềì

ểééể ề

ìỉể

ã (gu) = 0,




u(x, t) = 0,



u(x, t) = (x, t),
ĩ ìỉ ề

ậỉể

ì



ééể





é íì

gạặ



ề ìỉ

ẫí ỉ ắẳẵắàá
á ỉ



x O, t > 0,
x O, t > 0,



ệạậỉể



ểá ấ

ì



é

ì ềể ệ ìéỉ ểề ỉ

ìỉ

ỉ ểệì

ệệ



ìỉ

ểạ



ềị

ẻ é ệể ắẳẵẵàá

é ỉí ể

ìỉ ỉ ểề ệí

ế ỉ ểềì ỉ ểỉằ ỉ

ề ệ
ềỉ ểệ ì ì

ệạ

ề ắẳẵ á ắẳẵ àá

ề ắẳẵắàá

ĩ ìỉ ề



ééể



í ẹ ềí

è



è ẫí ỉ ắẳẵ àà ể ệá ỉể ỉ


à

x O, t > 0,

ề ìỉ

é ắẳẳẵá ắẳẳàá

ể ắẳẵẵà è



ềểé

é íì

ể ắẳẳ àá ệựềạấ

ìểéỉ ểềì ỉể ỉ

ì

F (u(t (t)))]dt

é ỉí ể ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ắ

ểệ ềìỉ ề
á



ệựềạấ

ẽ ề

ìỉ

ệìá ì

ệạậỉể

x O, t [, 0],

ế ỉ ểềì ỉ

ề ệ
ềỉ í







é íì



du = [u (u ã )u p + f +





+G(u(t (t)))dW (t),



è

gạặ

ìỉ



ìỉ ể


è
ểệ

é ỉí ể ìểéỉ ểềì ỉể ễệể ạ

é ẹ à


ẩấẩầậ

ấ ì
ể ìểẹ







è

ì ì ểề ỉ

ểéỉ ểề

ậậ

ễệể é ẹ è

ế ỉ ểềì

ễễ

ìỉ

é ỉí

ệ ề é





ìỉ

é ị ỉ ểề


ì









è



ấ ì ệ

éỉ ểề



ầẩ



ỉ è

ìỉ

ế ỉ ểềì

ễễ

ẹ ềì ểề é ặ
ỉ ẹá ìỉể

è

é ỉí




ệạậỉể

gạặ

ìỉ


ậậ



é

é ị ỉ ểề ể ìểẹ



ìạẻể


ìỉ


ìá ề ẹ éí

gạặ

ỉ ìíìỉ ẹá

ệạậỉể

ì



ểạ

ỉ ệ

ệạậỉể

ế ỉ ểềì ỉ



ì ìíìạ

ề ỉ



é íì

ấ ì ệ
ì
ểễ


ểềỉ ềỉ ẵ

è ệ



ẹ ềì ểề é ặ

ệạậỉể

ìạẻể

ỉ ìíìạ

ĩễểề ềỉ

é ìỉ

é ỉí

ỉ ẹ
ẵà

ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì
ể ìỉệểề

ắà ậỉ







ễểệỉ é ệ




ìỉệểề

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì

ềỉ ệề é

ềể

ểệ



í ìạ

ểềỉệểé ỉ

ẹéỉ ễé


ềể ì

ìễạ
ể ì ạ

ềỉ ềỉ ềì ỉí

ểềỉ ềỉ ắ
ẵà



ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì

é ị ỉ ểề ể





èểạ

ẹ ềì ểề é

ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì
ể ìỉệểề

ắà ậỉ







ĩễểề ềỉ

ệạậỉể

ì ìíìỉ ẹ
é ìỉ

é ỉí

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì

é ị ỉ ểề ể





gạặ





ễểệỉ é ệ

ìỉệểề

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì

ềỉ ệề é

ềể

ểệ


ề ỉ ạ

í ìạ

ểềỉệểé ỉ

ìễạ

ẹ ềì ểề é



ểềỉệểé
à ậỉ

é ị ỉ ểề ể éểề ạỉ ẹ




ỉ ểề ể

ểềỉ ềỉ

ẵà

ề ỉ

ìỉ ểì
éé ỉ ề ạ ềạỉ ẹ

ậỉể

gạặ

ìỉ




ĩỉ ệề é ểệ
ì

ệạậỉể

ì

ế ỉ ểềì

é íì

ĩ ìỉ ề



ỉ ểềì ỉể ỉ
ắà è

ểệ ể ìểéỉ ểềì ềạ

ề ế ề ìì ể

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéạ

ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ

ĩễểề ềỉ

é ìỉ

ẹểìỉ ìệ

ĩễểề ềỉ

ỉ ểềì ỉể ỉ

ìỉể

é ỉí
é ìỉ

ìỉ

ề ẹ

ề ìế ệ

é ỉí ể

ế ỉ ểềì







éạ
ìểéạ












èể ìỉ í ỉ






èầ

ĩ ìỉ ề

ểẹễ
ỉề ìì

èể ìỉ í ỉ

èể ìỉ í ỉ



è





ì ì

ẩệể ề



ểệí



ậỉể

ễểệỉ

ểééể ề

ề ế ề ìì

ậỉể

ểẹ

ìạẻể







ẩệể ề



ỉ ệề é

ĩễểề ềỉ


ểề

é ìỉ

ìỉệểề



ỉ ểềì ểệ ìỉ

í



í ệ ề ểẹ ềể ì
ểề

ìỉệểề
é ị ỉ ểề

ểềỉệểé ỉ
ểệ

ìễạ


ì



ệạ

ểẹ

ềì è



ĩễểề ềỉ

é ìỉ



ỉ ểềì ểệ

ểềỉệểéì ỉ



ìễễểệỉ ề

ểềỉệểéì

ễệể ề

éểề ạỉ ẹ

í ì ề

ểẹ


ĩỉ ệề é ểệ
ì ểệ ắ

ỉ ểềì ề

ểẹ

ềì è

ì







gạặ


éạ





ểề

ểệ ề

ểì
éé ỉ ề ạ ềạỉ ẹ
ểề

ểề

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì



é ị ỉ ểề ể

é ỉí ể

ễỉ ệ ắ

ẹ ềì ểề é
ìỉ

ề éíì ì

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ễệể ề

é ị ỉ ểề ể



ề ệ ìéỉì

ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì

ỉí ể ìỉệểề
ìỉ



ế ỉ ểềì ề

ì

ểềỉ ềỉì ể



ìểéỉ ểềì

ẹ ỉ ể ì ể ỉ

ìỉ



ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì

ề ỉ


é ỉ ề

ậậ

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ễệể ề
ể ìỉệểề

ễễệểĩ ẹ ỉ ểềá

ệểề ééì ề ế é ỉí

ì ỉ





é ị ỉ ểề ễệể é ẹ è

è



ề ệ í ẹ ỉ ể ì



ìỉ

ậèậ ầ

é ệ

é ỉí ể ìỉ ỉ ểề ệí

ẹ ỉ
é
ểềỉệểé ỉ



ể ìểéỉ ểềì



ìỉ

ề ệ í ệ ỉ ề ì





ềạ

ề ỉ

ỉ ểềì



ỉ ểề ể



ệạậỉể

ểệ
ìỉ

ì

ế ạ

ì

ểềỉ ềỉì ể

ễỉ ệ



ẩệể ề



ĩ ìỉ ề

éỉ ểềì ỉể ỉ
ìế ệ


ìỉ

ề ế ề ìì ể

ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ
é ỉí



ìểéỉ ểề ỉể ỉ

ỉ ểềì ỉ



ề ỉ

ì

ểềỉ ềỉì ể

éẹểìỉ ìệ
ìỉể
é íì ề
ễỉ ệ



ĩễểề ềỉ

ĩễểề ềỉ

ìỉ

ểề



ìỉ ỉ ểề ệí ìểạ

é ìỉ

gạặ



ểẹ

ềì è

é ẹ



é ỉí ể ỉ

ệạậỉể
ì

ì

ế ạ







ậèấ

ì


ì ì

èấ

ậ ầ

è

ềỉệể
ỉ ểềá




ệ ề
ìá ỉ

ậậ

ểề
éì ểềá




ễỉ ệ ẵ ẩệ é ẹ ề ệ



ễỉ ệ ắ ậỉ

ỉ ểệì ểệ ì ệ é ỉ

ì ì ề
é

ì



ỉể ỉ

ễỉ ệì

ì

é ị ỉ ểề ể





ệạậỉể

ìạẻể

ệạậỉể

ì



ế ạ

ỉ ểềì



ễỉ ệ ậỉ



ễỉ ệ


è

ệạậỉể

ì

é ị ỉ ểề ể ắ
ìỉ

é ỉí ể

ế ỉ ểềì ỉ

gạặ



ìểéỉ ểềì ỉể ìỉể
ề ỉ

é íì

ế ỉ ểềì
ìỉ


gạ


ễỉ ệ ẵ

ẩấ

ề ỉ

ì

ểỉ ỉ


ề ế é ỉ


ẵẵ




éé ìểẹ



ề ệ é
ểề
ễỉì


ỉ ểề ìễ
ìá ểễ ệ ỉểệìá ìỉể

ì ểệ ỉ

ể ỉ

ễỉ ệá



ềểềé ề
ìá ỉ

ệ ỉ ệẹ

ểééể ề



ề ỉ

ìểẹ



èầặ ậẩ

ì ì
ỉ ểềá

ệ ìéỉì

ề éíì ìá ề ế éạ

ỉ ểề é ệ ìéỉì ỉ

ểẹễ
ỉề ìì ẹ ỉ ể ìà ỉể ễệể

ì ì ề ỉ

è



ìỉ







ì é

ề ệ ìéỉì

ễỉ ệì


ệ ễ

ỉ ìểẹ





ệ ìéỉì

ểỉ ỉ


ỉ ểề ìễ
ì ỉ
ỉ éé
ì
ề ỉ
ỉ ì ì ậể ểé ìễ
p
m
m
p
ìễ
L (O)á ìễ
H (O)á ìễ
H0 (O)àá ìễ
L (0, T ; Y )

C([0, T ]; Y ) ề
ỉ ểềá
éìể
V ệ é ỉ ỉể ặ ệạậỉể ìạẻể ỉ
ề Vg ệ é ỉ
ỉể g ạặ ệạậỉể ì




Hg
ẵắ

è

ẵắẵ



ầẩ





éìể

ậỉể

ì ểễ ệ ỉểệ





ểễ ệ ỉểệ

3


ui

b(u, v, w) =
i,j=1

ẹẹ ẵẵ




ỉ ểề ìễ
ì

ế ỉ ểềì

A:V V
ểệ

O

éé

í

u, v V.

B :V ìV V

(B(u, v), w) = b(u, v, w),


ế ỉ ểềì

H

èầấậ

(Au, v) = ((u, v)),



ỉ ểề ìễ
ì

Aá B

ầễ ệ ỉểệì



ễệ ì ềỉ

ểệ

éé

í

u, v, w V,

vj
wj dx.
xi




1/4

u 3/4 v |w|1/4 w 3/4 , u, v, w V,

c|u|
|b(u, v, w)| c1/4 u v w , u, v, w V,


c u v 1/2 |Av|1/2 |w|, u V, v D(A), w H,


Û

Ö

c Ö

½º¾º¾º

ÔÔÖÓÔÖ

Ag ¸ Bg

ÇÔ Ö ØÓÖ×

Ï

Ò

Ø

Ø
ÓÒ×Ø ÒØ׺

ÓÔ Ö ØÓÖ

Ag u, v
Ï

ÒÓØ
Ï

Ý

Ð×Ó

η1

Ø

Ò

g

Ø

Cg

Ag : Vg → Vg′

ÒÚ ÐÙ

ÓÔ Ö ØÓÖ

g

Ó Ø

Ag º

ÓÔ Ö ØÓÖ

Bg : Vg × Vg → Vg′

Ý

= bg (u, v, w), ∀u, v, w ∈ Vg ,

Ö

2

bg (u, v, w) =

ui
i,j=1

Ï

ÓÒ×

Ö Ø

ÓÔ Ö ØÓÖ

(Cg u, v)g = ((

Ä ÑÑ ½º¾º

Û

Ý

= ((u, v))g , ∀u, v ∈ Vg .

Ö×Ø

Bg (u, v), w
Û

Ò

Ö

Ï

O

∂vj
wj gdx.
∂xi

Cg : V g → H g

Ò

Ý

∇g
∇g
· ∇)u, v)g = bg (
, u, v), ∀v ∈ Vg .
g
g
Ú


1/2
1/2
1/2
1/2

c1 |u|g u g v g |w|g w g ,



c |u|1/2 u 1/2 v 1/2 |A v|1/2 |w| ,
g
g
g
2
g g
g
|bg (u, v, w)| ≤
1/2
1/2

c3 |u|g |Ag u|g v g |w|g ,




1/2
1/2
c4 |u|g v g |w|g |Ag w|g ,

ci , i = 1, . . . , 4, Ö

Ä ÑÑ ½º¿º

Ä Ø

ÔÔÖÓÔÖ

Ø
ÓÒ×Ø ÒØ׺

u ∈ L2 (0, T ; Vg )¸ Ø Ò Ø

ÙÒ
Ø ÓÒ

Cg u

Ý

(Cg u(t), v)g = ((

∇g
∇g
· ∇)u, v)g = bg (
, u, v), ∀v ∈ Vg ,
g
g

Ò


L2 (0, T ; Hg )á

éểề ì ỉể





éìể

éểề ì ỉể

L2 (0, T ; Vg )

ểệ ể ệá

|Cg u(t)|g

|g|
ã u(t) g , ểệ t (0, T ),
m0



Cg u(t)





é ỉí ỉ

ìỉể

ìỉ
ềỉ


ề ế é ỉ

ễệể



ễể ềỉ ỉ



ậè

ệ ễ

ệểề



ỉ ìểẹ

ặầấ

ì



ẹễểệỉ ềỉ ễệểễểì ỉ ểềì




ểệ ẹ



ệ ìéỉì

ì ì

ệể ệ



ểỉ ỉ

ề ệ ễệể
ìì ì



ì ì



ệ ế ềỉéí ì





ậậ

ề ỉ

ì ì
ỉ ểềá ệ
éé ìểẹ




ề ẹểỉ ểềì ểệ ẽ

ỉ éé

ệ ìéỉì ể ỉ

ểềì ế ề
ĩ

ậèầ

ệ éì ỉ

ì ỉ
ệ ể

ã u(t) g , ểệ t (0, T ).

1/2
m0 1

ểệíá

ậèậ ầ

ề ỉ

|g|

ì ì
ỉ ểềá

ễệể

ềẹ



ậèậ ầ

ề ỉ






ĩ

ể ỉ

ễệ ẹ ệí

ề ỉ







ì ì ẽ

ỉ ẹễểệỉ ềỉ
éìể ễệ ì ềỉ

ểệ ẹì ể ỉ ề ì

ỉể

ềạ ểềì
ểẹễ
ỉ é ẹẹ á ỉ
ễể ềỉ ỉ

ểệ ẹá ỉ

èí
ểềể


ễỉ ệ ắ

ậè



èầặ ầ







ề ỉ

ì

ễỉ ệá

ề ìẹểểỉ
ệí
ểề

ểề



ìỉ

ểẹ

ỉ ểềì

é ỉí ể ìỉệểề


ểềì

ệìỉá

é

ềể





ệạậỉể

ểẹể

ìỉ í ỉ

ìạẻể

ề ểì



è

ĩ ìỉ ề




ỉể ềể ì

ế ỉ ểềì
ểề ạ

ĩễểề ềỉ

é ìỉ ạ

ễệể é ẹ è

ề ềỉ ệề é

ẹéỉ ễé





é ỉ

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề



ểệ

ậạẻầ

èầặậ

ềì ỉ

ìỉệểề

í ì ề

ễểệỉ é ệ

ấạậèầ

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ỉ

ềí ềìỉ
é ị





ì ể

ĩễểề ềỉ

ểềỉệểé ỉ
ể ì



ééí
ìễạ

ềỉ ềỉ ềạ

ì ỉí
è

ì

ắẵ






ễỉ ệ ì ệ ỉỉ ề

èèặ



O

ểềì

è

ểề
ệ ỉ

ì

ểề ỉ

ẩấầ



ểẹ

ề ề





ểééể ề

ễ ễ ệ



R3



ệạậỉể



ut u 2 ut + (u ã )u + p = f



ã u = 0

u(x, t) = 0




u(x, 0) = u0 (x)

ìẹểểỉ
ìạẻể



O ì R+ ,

ểề


é éể
ỉí

ắắ

ặẫ
èầặ





ề ỉ ểề ắẵ
D(A)

ì ì

ỉể

ậậ



ẩầặ

O

ắẵà

O ì R+ ,
O,

éể
ỉí
ỉểệá
ề ẹ ỉ
ìạ

ỉ ệ ị ề
é

ậè



è

u0



ì ỉ

ậè

ậầèầặậ



f (L2 (O))3

ìỉệểề




ỉ ểề

u

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ỉể ễệể é ẹ ắẵà

Au + B(u , u ) = f
ẵẳ

ặè

ệí

ế ỉ ểềì

O ì R+ ,



ề ỉ





u = u(x, t) = (u1 , u2 , u3 ) ì ỉ ề ềểề
p = p(x, t) ì ỉ ề ềểề ễệ ììệ á > 0 ì ỉ
é ề ỉ ì
é ễ ệ ẹ ỉ ệ

ểì ỉí

ềỉá ì
é ìỉ
ỉí ể ỉ
é á f = f (x) ì
ề ểệ


ểề



(L2 ())3 .

ắắà




è

è

ểééể ề

ểệ ẹ ắẵ
à è





ểệ ẹ ì ỉ



ĩ ìỉì



ề ệ ìéỉ ề ỉ

ì ì
ỉ ểề

f (L2 (O))3 è ề
ỉ é

ìỉ ểề

ìỉệểề

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề

u ể

ễệể é ẹ ắẵà ì ỉ ì í ề

u
à ểệ ể ệá



ểééể ề

1/2
1

ểề

2 >

|f |.

ỉ ểề

c0 |f |
3/4
1

ắà

ểé ì

,

ắ à

ẵẵá ỉ

ề ỉ

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ỉể ễệể é ẹ ắẵà ì ề ế





c0 ì ỉ

1



ĩễểề ềỉ


ậè



ééí ìỉ





ệ ỉ

ìỉệểề
éể

ééí

é

èầặ ầ

ặ ặè

ểềì

ìỉ
ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ

ấặ

ậè

èầặ



ểééể ề



ậầèầặậ



ầặèấầ

ểềỉệểéé





ệạậỉể

ậạ

ìạẻể



ế ỉ ểềì



ut u 2 ut + (u ã )u + p





= 1 h + f


ãu=0




u(x, t) = 0



u(x, 0) = u (x)
0







1

ì ỉ



ìẹểểỉ

h = h(x, t)
ỉ ì


ỉ ệ ìỉ

ểề
ì ỉ

ệí


ỉ ểề ể ỉ
2
3

á f (L (O))



O ì R+ ,



O ì R+ ,

ểề


O ì R+ ,
O,
ểẹ



O

u0 V



ềá

ì


ắ à

ểềỉệểé



O = O\,
V = u (C0 (O ))3 : ã u = 0 .
ẵẵ


ềểỉ
í

í 1 () ỉ
ểềì

A



ậỉể

ệìỉ

ì ểễ ệ ỉểệ

ề é

ệ ỉ



ể ỉ



ểề

O



ềểỉ

A

ểễ ệ ỉểệ

ểềỉệểéé ệ

h = k(u u ), k R+ ,




ểệệ ìễểề



éểì

éểểễ ìíìỉ ẹ



ut u 2 ut + (u ã )u





+p + 1 k(u u ) = f


ãu=0




u(x, t) = 0



u(x, 0) = u (x)

O ì R+ ,



O ì R+ ,

ểề


0





ắ à

O ì R+ ,
O.

ì ỉ





è

(u ) := sup {|b(u, u , u)| : |u| = 1} u

H

ềể ề ễểì ỉ ểề ỉể ìỉ ỉ

ì ì
ỉ ểề

ểệ ẹ ắắ







ề ệ ìéỉ ể ỉ

u V (H (O))3 , > 5/2,

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ỉể ắẵà ì



.

ềí ìỉệểề



1 () > (u ).
è

ề ểệ
ềỉ ể







u0 V

u0 á ỉ ệ

ì

k k0 ì
ềỉéí é ệ
ỉ ề ễ ềạ
ìểéỉ ểề u C([0, ); V ) ỉể ắ à ì





u(t) u
ểệ ìểẹ

> 0 ệ

ấ ẹ ệ ắẵ



u

í ỉ

et u0 u
2


,

t 0,

:= |u|2 + 2 u 2 .

ẩể ề


ề ế é ỉíá



2

1 ()

ểẹ
è

ẵắ

ì ì



ỉ ỉ
ềỉéí


ì ỉ

ìỉ


sup

ìỉ(x, O)

.

xO

1 ()



ề O = O \

ểệ ẹ ắắ ỉ

O

C





ỉệ ệ éí é ệ
ềể

í ìỉ ỉ

u

è
ì

í ẹ


ểệ á

ĩễểề ềỉ







ểééểì

ééí ìỉ

ềềé ệ

é ị

ệểẹ
é




ậè



èầặ ầ

èẩ



ểềì

èẻ

ệ ỉ

ậè

èầặ



ậầèầặậ

èầ ặầậ

ểééể ề

ìỉể

ìỉ




ệạậỉể

ìạẻể



ế ỉ ểềì



d(u 2 u) + [u + (u ã )u+




2



= f dt + (I )(u u )dWt
ãu=0




u(x, t) = 0



u(x, 0) = u (x)
0





p]dt


O ì R+ ,



O ì R+ ,

ểề


> 0á Wt : R, t Rá

ì

ểề ạ

ắ à

O ì R+ ,
O,
ẹ ềì ểề é ẽ

ề ệ

ễệể
ìì

è

ểệ ẹ ắ


3/4
c0 |f |1

>


c0 ì ỉ



2 2
2 2

,
+
4
4

ìỉ
ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ ẵẵá ỉ

ễệể é ẹ ắ à ì éể

ééí ĩễểề ềỉ

ééí ìỉ

ềỉ

ắ à

ìểéỉ ểề

u ể

é ểệ ễệ
ì éíá ỉ



N ỉ P(N ) = 0á ì
ỉ ỉ ểệ
/ N ỉ ệ ì T ()
ì
ỉ ỉ ểệ ềí ìểéỉ ểề u(t) ể ễệể é ẹ ắ àá ỉ
ểééể ề
ìỉ ẹ ỉ
ểé ì ểệ ìểẹ > 0 :
ĩ ìỉì

u(t) u

ấ ẹ ệ
ìỉệểề

ắắ

2


u(0) u

è ìá ỉ

ẹéỉ ễé


ểệ ề ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u

3/4
c0 |f |1
è


2 t
,
e

é ệ

ệỉ

u

ểệ ể ệá ểệ





ì



ềí

ỉ ắ à

ỉể ềể ì

á ỉ



éểề

> 0á

ệỉ


ìỉ

é ị ì ỉ

ềỉ ệ é

2 2
2 2
+

,
4
4

ễ ệ ẹ ỉ ệ

t T ().

3/4

c0 |f |1
ìỉ



.

é ỉí ểệ ỉ
é íì
ểểì

ìểéỉ ểề
é

ểé ì




ễỉ ệ

ậè



èầặ ầ



ểềì
ìẹểểỉ

ểề

ĩễểề ềỉ
ệỉ

é ìỉ


ểề

gạặ



ểẹ



ệỉ

ìễễểệỉ
ìẹ éé



ểệ

ìỉ

ậỉể

é ị
ì

ểệ
ì
ễ ệ ể



ề ỉ

ì



O



è

ểề
ệ ỉ

ì ỉ



ềỉá



é



ệ ìểẹ

ìỉệểề

O\




ì ì

ìỉ ạ

ìểéỉ ểềì ỉể ắ







ểềỉệểéì

ĩ ìỉì

ề ééíá


ệạ

ĩỉ ệề é

ề ế

ì ễ ệ ể

ềỉéí

gạặ

ìỉ ểì
éé ỉ ề ạ ềạỉ ẹ

ì
ì

ểééể ề

ì
ẩấầ

ểề ỉ


ễ ễ ệì ẵ

ỉ ẹ ạ

ìểéỉ ểề

ề ề

R2





gạặ



ệạậỉể

ì ỉ

ề ềểề ễệ ììệ á

u0

ììẹ

ì ỉ


ề ỉ
ỉ ỉ







ểẹ

u = u(x, t) = (u1 , u2 )

p(x, t)






u


u + (u ã )u + p = f


t


ã (gu) = 0


u(x, t) = 0




u(x, 0) = u0 (x),


ẹ ềì ểề é

ĩ ìỉ ề

ềí ềìỉ

ệí ìểéỉ ểề ỉ ề ì ỉể ỉ

ễỉ ệ ì ệ ỉỉ ề

èèặ

ểềì

ỉ ểề

ì

ểệ ể

í ì ể ề





ẹ ềì ểề é

ỉ ểề ể



ìỉ í ỉ



O

éểề ạỉ ẹ

ỉểạ

í ễệểễểệỉ ểề é
ểềỉệểéé ệ ỉ









ế ỉ ểềì ề

ễệể

é ị

ề ỉ ạ



ể ì ỉể ề ề ỉí

è



í ì ề

ấạậèầ

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ề

ế ỉ ểềì ề

ì ỉ ẹ



ìỉ

ì

ệìỉá

ìỉệểề

ề ểễ ề ì ì ỉ

ìểéỉ ểề



O

ỉ ểềì ậ
ểề á



èầặậ

ệạậỉể

é ỉí ể

ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề


gạặ



ìẹểểỉ
ì

ểề

O ì R+ ,



O ì R+ ,
+

ẵà

O ì R ,

ểề

O.

ề ềểề éể
ỉí
ỉểệá

>0

O

ế ỉ ểềì





ệí

ì ỉ

p=

ề ẹ ỉ
ì
ểì ỉí

é éể
ỉí

ỉ ểề

g

ì ỉ ì

ì ỉ

ểééể ề

ììẹễạ


(G1) g W 1, (O)

ì





0 < m0 g(x)M0 x = (x1 , x2 ) O,






O



1 > 0


ậè



è



ề ỉ ểề ẵ

ì ỉ

ệìỉ

Ag

ểễ ệ ỉểệ
á ặẫ
ậè



ề é

ể ỉ

ì





ậậ





èầặ





ểệ ẹ ẵ

ì ểễ ệ ỉểệ

ễỉ ệ ẵà
ặè

ậè



ậầèầặậ

é ẹ ềỉ




ìỉệểề

u D(Ag )

Ag u + Cg u + Bg (u , u ) = f

è

gạậỉể
ẩầặ

f L2 (, g)

ìểéỉ ểề ỉể ễệể é ẹ ẵà ì

1/2

|g| < m0 1 ,





ìỉ ỉ ểề ệí

ì





L2 (O, g).

f L2 (O, g)á ỉ ề ễệể é ẹ ẵà
ểề ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u ì ỉ ì í ề
1
u g
|f |g .
1/2
|g|
1 1
1/2


ẹ ỉì ỉ é

ìỉ

ắà

m0 1

ểệ ể ệá



ểééể ề
ểề

2 1




c1 ì ỉ

ỉ ểề

|g|

ểé ì
2

1/2
m0 1

ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ

ẵắá ỉ

ìểéỉ ểề ỉể ẵà ì ề ế



éể



ậè

èầặ

ậè



ểềì



èầặ ầ

ặ ặè

ệ ỉ

ấặ

à

ề ỉ

ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí

ééí ĩễểề ềỉ



ểééể ề

c1 |f |g
,
1

>

ểềỉệểéé

ééí ìỉ

é



ậầèầặậ



ầặèấầ



gạặ



ệạậỉể

ậạ

ì

ế ạ

ỉ ểềì


u


u + (u ã )u + p


t




= 1 hg + f

ã (gu) = 0





u(x, t) = 0



u(x, 0) = u
0



O ì R+ ,



O ì R+ ,

ểề


à

O ì R+ ,
O,





1



ìẹểểỉ

ì ỉ




ỉ ệ ìỉ

ỉ ểề ể ỉ
2
ệí á f L (O, g) ề u0

ểề

hg (x, t)

ì ỉ

ỉ ì

ì ì ỉ

Hg

O



ềá



hg =

ểềỉệểé



O = O\,
Vg = u (C0 (O ))2 : ã (gu) = 0 .
ỉ Ag
1 () ỉ
ểềì

gạậỉể


ệìỉ

ì ểễ ệ ỉểệ

ề é

ệ ỉ



ể ỉ



ểễ ệ ỉểệ

O

ểề



ềểỉ

í

Ag

ểềỉệểéé ệ

hg = k(u u ), k R+ ,






ểệệ ìễểề



éểì

éểểễ ìíìỉ ẹ


u


u + (u ã )u


t




+1 k(u u ) + p = f

ã (gu) = 0





u(x, t) = 0



u(x, 0) = u (x)
0



O ì R+ ,



O ì R+ ,

ểề


O ì R+ ,
O.

ì ỉ

g (u ) = sup {|bg (u, u, u )| : |u|g = 1} g u

è

ểệ ẹ ắ

ỉể à ì





ề ểệ



u D(Ag )

1

|g|
1/2
m0 1

u0 Hg

ềí ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề

ềỉ ể

1 () > g (u ).





|u(t) u |g et |u0 u |g , t 0,
ểệ ìểẹ


> 0

à

k k0 ì
ềỉéí é ệ
ỉ ề ạ

ìểéỉ ểề u C([0, +); Hg )

u0 á ỉ ệ ì
L2loc (0, +; Vg ) ỉể à ì


ễ ề

D(Ag ) .




è

à


ấ ẹ ệ ẵ

í ỉ

ẩể ề


ề ế é ỉíá



2

1 ()

ểẹ
è



ì ì

ậè









ì ỉ



.

ềể

íạìỉ ỉ

í ẹ







ểééểì

è ệ ểệ á
u ì ĩễểề ềỉ

ềềé ệ

ééí ìỉ

ệểẹ

é ị

é





ệ ỉ

ỉệ ệ éí é ệ



èầặ ầ

ặè


ểềì



ềí ìỉ

ềỉéí

ìỉ(x, O)

sup
xO

1 ()


ề O = O \


ểệ ẹ ắá ỉ

O

C



ậè

èầặ

ặậầặ

ểééể ề



ậầèầặậ





ểềỉệểéé



ềỉ ệễểé ềỉ ểễ ệ ỉểệ Ih

u


u + (u ã )u + p


t




= àIh (u u ) + f

ã (gu) = 0





u(x, t) = 0



u(x, 0) = u
0

gạặ



ậạ

ầặèấầậ

ệạậỉể

ì

ế ạ

ỉ ểềì ỉ





f = f (x) Hg



ììẹ



ì

ểệ





á ỉ ì ỉ ì




ểệ ẹ



ìểéỉ ểề ỉể ẵà ể ỉ

ì ỉ

àá

O ì R+ ,



O,

Ih : Vg H g
ềỉ ỉí ỉ

M0 2 2
c0 h 2g , Vg .
m0

ềè



é ỉ



ì



ệệểệ ể

ìỉ ẹ ỉ

u

ềí ìỉệểề

ểệ ẹ ẵ ậễễểì ỉ

à ề h ệ ễểì ỉ ễ ệ ẹ ỉ ệì ì


M0 2 2
àc h <
m0 0

à

O ì R+ ,

ểề

ểềỉệểéé ệ

ểééể ề

f Hg




ễễệểĩ ẹ ỉ ì ỉ

| Ih ()|2g

è

O ì R+ ,



ỉ ỉ

ềỉ ệễểé ềỉ ểễ ệ ỉểệ ỉ



2|g|2
+
à>
m20

à

ìỉ ỉ ểề ệí
ỉ Ih ì ỉ ì

ì



2c21 |f |2g
1 3 1

2 . à

|g|
1/2
m0 1




è

ề ểệ



u ỉể ìíìỉ ẹ

u0 Hg
ì

à

ềá ỉ



ĩ ìỉì

ỉ ểệ

ềí

T > 0á



u C([0, T ]; Hg ) L2 (0, T ; Vg ),

ề ế

ìểéỉ ểề

du
L2 (0, T ; Vg ),
dt



|u(t) u |2g et |u0 u |2g , t 0,
|g|2
2
ệ = à 2
m20

c21 |f |2g
2

1 3 1

ẵẳà

> 0 ỉể
ểềạ

|g|
1/2
m0 1

ỉ ểề à



ậè



è

ề ỉ

èầặ
è

ấặ

ì ì
ỉ ểềá

ậặ


ầấ

ểềì

ậè ầậ

(F1)





ểééể ề

ểệ

ềí ễểì ỉ

ệ ỉ

ểééể ề

ỉ ệẹ

F (x, 0 t) ì






ỉ ểề




ììẹễỉ ểề ểề ỉ

ểềìỉ ềỉ
ỉẹ

ểééể ề



O ì R+ ,



O ì R+ ,



O ì R+ .

ììẹ



ễ ệ ể

ỉ ểề ỉ

ìỉệ
ỉệ

è

ẵẵà

ĩỉ ệề é ểệ



ĩ ìỉì

h(x, 0 t) ỉ ễ ệ ể Tper ì


ììẹ ỉ

ạặạ

ìíìỉ ẹ

ểề

0 > 0á

1


ht (x, 0 t) = F (x, 0 t)
ã (gh) = 0



h=0

éìể

èặ



u


t u + (u ã )u + p = F (x, 0 t)
ã (gu) = 0



u(x, t) = 0





ểệ

ễ ệể

Tper

ỉẹ

ễ ệể





O ì R+ ,



O ì R+ ,

ểề

ỉ ỉ

O.

ẵắà


F L (0, Tper ; D(Ag )) ề F L (0,Tper ;D(Ag )) ỉ ễễ ệ
ểề ì ề ễ ề ềỉ ể 0
ểệ ể ệá
ììẹ ỉ ỉ h L (0, Tper ; D(Ag )) ề ỉ ệ
ĩ ìỉì
ễểì ỉ
ểềìỉ ềỉ Lh ề ễ ề ềỉ ể 0 ì
ỉ ỉ
h

è

2
L (0,Tper ;D(Ag ))

ểệ ẹ
ễ ề

ềí

ề ểề

Lh F

ìì

ẵà

, c1 , c3 , 1 , Lh ề

F

ỉ íễểỉ

0 0 á ỉ

ìíìỉ ẹ ẵẵà

2
L (0,Tper ;D(Ag )) .

ểé è

ềỉ



ĩ ìỉì

L (0,Tper ;D(Ag )) ì

ì

ẵà

0 > 0



ỉ ểệ

Tper ạễ ệ ể
ìểéỉ ểề uper

ì ỉìíề
1/2

uper (t)




è
è

g

c1 , c3 ệ ỉ

ểệ ẹ


ì ỉì


1
2c1

|g|
1/2
m0 1

ểềìỉ ềỉì ề ẹẹ

ỉ íễểỉ

ềí ìểéỉ ểề

1

ìì

ẵà

u(ã) ỉể ìíìỉ ẹ

, t [0, Tper ],

ẵ à

ẵắ

ểé
ẵẵà

ề é ỉ


u0 Vg
ềỉ

é


ỉẹ

u0

ì

|u(t) uper (t)|2g et |u0 uper (0)|2g , t 0,




= 1 1

éỉ ểề ể ỉ

uper ẹìỉ



|g|
1/2
m0 1

ềè

> 0 ề uper ì ỉ

ỉ ẹ ễ ệ ể
ìểạ

ểệ ẹ ề ễ ệỉ
é ệá ỉ

ễ ệ ể
ìểéỉ ểề

ề ế




ễỉ ệ

è

ậè

gạặ



è




ậầèầặậ èầ ậèầ

ấạậèầ






ề ỉ

ì

ễỉ ệá

ế ỉ ểềì ỉ

ề ỉ

ểềì

ìỉể

ìỉ
ìíìỉ ẹ



ì
ểì ỉí ì é ệ

ề ìế ệ



éỉ ểềì ỉể ỉ

í ì ề



ềể

gạặ

ìỉ


ìỉ í ỉ



ĩ ìỉ ề

ìỉ


ểẹễ
ỉề ìì ẹ ỉ ể á

á

ì ể ỉ

ìỉ í ỉ

éẹểìỉ ìệ

ìỉể

ặè

ệạậỉể

ĩễểề ềỉ

gạặ



ỉ ỉ

ì

ệạậỉể

é ìỉ

é ỉí ể ỉ

ì





ỉể





ìỉ ỉ ểề ệí

ĩễểề ềỉ
é ìỉ

ì



ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ
ểệệ ìễểề

ìểéỉ ểề ì ề ế ậ
ểề á


ìỉể

ệìỉá

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ỉ


èầặậ ẽè

ậè



ệ ỉ

é íì



é ỉí ề


ìểạ

ế ỉ ểềì ỉ

ề ỉ

é íì
è


ì




èèặ

O


ểềì


ễỉ ệ ì ệ ỉỉ ề

ề ỉ



è

ểề
ệỉ

ểééể ề

ì
ẩấầ

ểẹ
ìỉể

ểề ỉ


ề ề

ễ ễ ệ ắ



R2

ìỉ




ìẹểểỉ

gạặ



ểề

ệạậỉể

ì

ệí

O

ế ỉ ểềì

é íì



du = [u (u ã )u p + f + F (u(t (t)))]dt





+ G(u(t (t)))dW (t),
x O, t > 0,


ã (gu) = 0,




u(x, t) = 0,



u(x, t) = (x, t),

x O, t > 0,

ẵà

x O, t > 0,

x O, t [, 0],

u = u(x, t) = (u1 , u2 ) ì ỉ
ề ềểề éể
ỉí
ỉểệá
p = p(x, t) ì ỉ
ề ềểề ễệ ììệ á > 0 ì ỉ
ề ẹ ỉ
ỉ ẹ ạ ề ễ ề ềỉ ĩỉ ệề é
ì
ểì ỉí

ềỉá f = f (x) ì
ĩỉ ệề é ểệ
é

ểệ
é
ỉ ểỉ
é íá F (ã) ì ỉ
é íá G(u(t (t)))dW (t) ì ỉ
ệ ề ểẹ ểệ
é


é íá W (t) ì ề ề ề ỉ ạ ẹ ềì ểề é ẽ ề ệ ễệể
ììá ỉ

ỉ ểề



ắẳ




: [0, +) [0, ]
éể
ỉí
ềẹ

é

ềỉ

ì

ểề

ỉ ẹ



ềỉ ệ é



ìệ

[, 0]á



é á





ì ỉ

ì

ề ỉ

ĩ

ễểì ỉ



è

ìỉể



gạặ

ìỉ


ệ ệ ỉỉ ề ề ỉ



ệạậỉể

ì

ế ỉ ểềì ỉ

é íì ẵà

ểệẹ




du = [Ag u(t) Cg u(t) Bg (u(t)) + f


+F (u(t (t)))]dt + G(u(t (t)))dW (t), t > 0,


u () = L2 (, C([, 0]; H )),
[, 0],
0
g
L2 (, C([, 0]; Hg ))



ểề

á ẹ

ìì ì

ế ễễ

ìệ

é





ểệệ ìễểề



ềểỉ ì ỉ

ẹ éí ể

C([, 0]; Hg )ạ




è

é

ề ỉ ểề ẵ



ìểéỉ ểề ể

à



u(t)

ì

Ft ạ

2
0

ìỉể

ìỉ
ễệểạ

[,0]

ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ ể

ắà ì ỉ

ìỉể

ìỉ
ễệể
ìì

ểééể ề

à

t > 0,
[, 0].

u(t), t á

ì ì

ỉể

ắà
ễỉ

ểééể ề

ìệ éíá ểệ

éẹểìỉ ìệ éí

= E sup |()|2g .

u L (, T ; Hg ) L2 (, T ; Vg )
0;

à ỉ

éé

ắà

ìễệ ẹẹ ềểệẹ

d


dt u(t) = Ag u(t) Cg u(t) Bg (u(t))
+f + F (u(t (t))),



u0 () = C([, 0]; Hg ),
à

é

ế ỉ ểề

ểé ì

ì

éẹểìỉ ìệ éí ểệ



ềỉ ỉí



Vg

éé

T >

éẹểìỉ

t [0, +)á
t

u(t) = u(0) +

Ag u(s) Cg u(s) Bg (u(s))
0

+ f + F (u(s (s))) ds
t

G(u(s (s)))dW (s).

+
0

ắẵ




ậè
è



ắà





ậè

ấặậè



è





èầặ



ậè

ểééể ề





ììẹễỉ ểề

F : Hg Hg
ểềìỉ ềỉ LF á á


ỉ ểề

ễì

ỉị

ậầèầặậ èầ è

ì ễì

ỉị
ểềỉ ềểì ỉ

|F (u) F (v)|g LF |u v|g , u, v Hg .

ề ỉ ểề ắ



ỉể ễệể é ẹ à ì

f Vg





é ẹ ềỉ



u Vg

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề

ì





Ag u + Cg u + Bg (u , u ) = f + F (u )

è


ểệ ẹ ẵ ỉ f
ẵà ắà ểé è

ề ề

Vg

ììẹ ỉ

Vg .



ỉ ỉ

à

íễểỉ

ì ì



à




ề ỉ

ì



ĩ ìỉì

|g|

1



LF
,
1

>

1/2

m0 1

à

u Vg ỉể

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề

à

ì ỉạ

ì


à ệỉ



c1 ì ỉ



1/2
m0 1

ệẹểệ á




|g|

1



1

LF
1

u

ểééể ề
ểề

|g|

ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ

f

ỉ ểề

2

LF

1

1/2
m0 1

g

>

ẵắá ỉ

c1
1/2
1

ề ỉ

.

à

ểé ì

f

,



à

ìỉ ỉ ểề ệí

ìểéỉ ểề ỉể à ì ề ế


ẩầặ
è


ắắ

ặè

ậè

è





ềể

ììẹ

ệỉ

ệẹểệ





è

ậèầ



ậè



ậạ


ắà



è

G : Hg L(K, Hg )


ỉ ểề

ì ễì

ỉị
ểềỉ ềểìá

á

G(u) G(v)


ì



ìểéỉ ểề




u

è

ệìỉ







LG |u v|g , u, v Hg ,

G(u ) = 0á

ề ề è



L02



ểệ ẹ

ề ìế ệ

u



ì ỉ



ìỉ ỉ ểề ệí



ìỉ

é ỉí
ểề

ỉ ểề

ểệ ỉ

ìểéỉ ểề



ểệ ẹ ắ

ỉể à ì

2
ììẹ







f Vg ề u



ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề



1
ỉ ỉ

|g|
1/2
m0 1

íễểỉ

>2

c1
1/2
1

ì ì

ẵàá

2LF + L2G
u g+
.
1




ắà





ắà

ểé è

à



ềí

u(t) ỉể ắà
ểề ệ ì ĩễểề ềỉ ééí ỉể ỉ
ẹ ề ìế ệ è ỉ ìá ỉ ệ ĩ ìỉ ỉể
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u ề ỉ
ệ é ềẹ ệì 0 , C0 > 0 ì
ỉ ỉ


ìểéỉ ểề

E|u(t) u |2g C0 e0 t ,

è
è

ểệ ẹ


ềí

ììẹ ỉ

ỉ ỉ

íễểỉ

t 0.
ì ì ể è

ểệ ẹ



ểé

ìểéỉ ểề

u(t) ỉể ễệể é ẹ ắà
ểề ệ ì ỉể ỉ

ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u éẹểìỉ ìệ éí ĩễểề ềỉ ééí è ỉ ìá
ỉ ệ
ĩ ìỉì
ệ é ềẹ ệ > 0 ì
ỉ ỉ
1
log |u(t) u |2g ,
t+ t
lim

ì.




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×