Tải bản đầy đủ

giải động lực học ct pần 2

Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội

Phần 2: Hệ hữu hạn bậc tự do
Question 1: Cho kết cấu như hình vẽ EI = Const. Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm.
Với bậc tự do thứ i được biểu diễn theo hướng mũi tên.

P(t)

m

2m
2

L

1

L

2L


Xác định ma trận khối lượng, ma trận độ cứng của hệ.
Ma trân khối lượng

m 0

M
0 2m


Ma trận độ cứng. Ta xác định theo ma trận độ mềm Còn cách tính trực tiếp nhưng
để hỗ trợ việc tính toán nhanh và phục vụ câu hỏi bên dưới ta nên sử dụng phương
pháp tính gián tiếp thông qua ma trận độ mềm
1

K E


1



11 12 Với [E] là ma trận độ mềm.


21 22

Vẽ các biểu đồ mômen đơn vị tại các vị trí đặt khối lượng
P=1

P=1

3L

L
(M1)

2L

(M2)

Pic Uno
Tính toán các thông số

12L3
1 1
2
1
2
M1
.3L.3L. .3L .L.3L. .3L

EI 2
3
2
3
EI




11 M1

buddha93uct@gmail.com



NORTH SAINT - AMITABHA


Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội
3



1 1
L 2 .2L 1 .L.3L. 2 .2L 20L
.2L.2L.
2


EI 2
3
3
3EI


3
4L
1 1
2
1
2

.2L.2L. .2L .L.2L. .2L

EI 2
3
2
3
EI




12 21 M1 M2



22 M2 M2

Vậy ta có ma trận độ cứng là


12
E L
EI 20

3

3

20
1
3 K EI

3
20 20
L
4
12.4 .
3 3



20
4
3EI 3 5



3


3
20

5
9
8L



12
3




Ta vẫn có thể xác định ma trận độ cứng bằng cách xác định trực tiếp như nhau.
Xác định k11 và k21 ta đi giải hệ sau

1 " Chuyển vị tại vị trí thứ nhất = 1"
1

2 0 " Chuyển vị tại vị trí thứ hai = 0"

or ta có thể hiểu như sau khi lực đơn vị P =1 đặt tại phương chuyển vị thứ nhất
thì chuyển vị tại đó = 1, còn phương chuyển vị còn lại =0
Ta cọi k11 và k21 như tải trọng rùi vẽ biểu đồ mômen kết cấu như bình thường rùi nhân
biểu đồ
k11

k21
3Lk11+2Lk21
Lk11
(MP)

P=1

L

P=1

3L

(M1)

2L

(M2)

Ta đi nhân biểu đồ để xác định các hệ số tương ứng

buddha93uct@gmail.com



NORTH SAINT - AMITABHA


Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội

1



.L.Lk . 2 L L.2L. Lk 1 2Lk 2Lk

11
11
11
21




1 2
3
2



1 MP M1


1
EI 1
2
2
.2L.2L. Lk11 2Lk11 2Lk21 .L. 3Lk11 2Lk21 .3L
2

2

3
3


3

20k21
20k21
L
EI

12k


1

12k


(1)
11
11
EI
3
3
L3



1 1
Lk 2 2Lk 2Lk 1 .L. 3Lk 2Lk 2 .2L
2 MP M2
.2L.2L.
11
21
11
21

11 3
2
EI 2
3

3

L 20k11
0 k 5k11 Thay vào (1) k 9EI k 15EI


4k
21
21
11
21
EI 3
3
8L3
8L3


1 0
Tương tự xác định k22 và k12 ta đi giải hệ sau


1

2
Cũng xem k22 và k12 là tải trọng và vẽ biểu đồ do tải trọng gây ra

k12

k22
3Lk12+2Lk22
Lk12
(MP)

Việc tính toán là tương tự nên ta có luôn hệ


20k22
L3





M
M

12k

0
k 27EI



1
P
1
12



EI
3

22

8L3






15EI
L3 20k12

1
k12


M
M


4k





2
P
2
22

3

8L3
EI








Note khi tính toán do tính chất ma trận k12 = k21 Vì ta đang xét ma trận vuông
Theo tôi cách này hơi vất vả chút. Chúc bạn có lựa chọn thông minh or sự ép buộc từ
giảng viên giảng dạy .
Xác định tần số dao động riêng của hệ bằng cách giải phương trình đặc trưng :
det(K - M) = 0.

8L3
m2
Ta đặt x
3EI

buddha93uct@gmail.com



NORTH SAINT - AMITABHA


Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội





phương trình đặc trưng có dạng det K 2M

5
m2 3 x
0
x 5 9 2x

viết dưới dạng phương trình bậc hai đối với x : 2x 2 15x 2 0
Hai nghiệm của phương trình là x1 0,136 và x2 7, 364 . Ta tính được các tần số
riêng:

1 0, 226

EI
mL3



2 1, 662

EI
mL3

Xác định ma trận dạng dao động riêng. Vẽ các dạng dao động.
Ma trận dạng dao động riêng.
Với tần số riêng thứ nhất 1 0, 226

EI
ứng với x1 0,136 và cho 11 1 ta có:
mL3

3 0,136
1
5

0 0, 573
21
5

9

2.0,136

21
Với tần số riêng thứ hai 2 1, 662

EI
ứng với x2 7, 364 và cho 12 1 ta có:
mL3

3 7, 364
1
5

0 0, 873
22
5
9 2.7, 364 22


1, 000 1, 000



Vậy ma trận dạng dao động riêng là 1 2

0, 573 0, 873


Vẽ các dạng dao động.

0,873
1

0,543

1

Dạng dao động thứ nhất

Dạng dao động thứ hai




2

Giả sử tại thời điểm t = 0, hệ có điều kiện ban đầu: u(0)
u0 ;

3




buddha93uct@gmail.com





1

v(0) v 0

1



NORTH SAINT - AMITABHA


Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội
Bằng cách khai triển theo dạng dao động, xác định phương trình dao động của các
khối lượng.
Ta xác định tọa độ tổng quát của q i (0) và q i (0)

q 1(0)

q 2 (0)

q 1(0)

q 2 (0)



1 0, 573 m 0 2 u

0 2m 3 0
1T Mu(0)
5, 438mu 0




3, 283u 0
m 0 1
1, 657m
1 1T M1
m
1 0, 573



0 2m 0, 573





1 0, 873 m 0 2 u

0 2m 3 0
2T Mu(0)
3,238mu 0




1, 283u 0
m 0 1
2, 524m
2 2T M2
m
1 0, 873



0 2m 0, 873





1 0, 573 m 0 1 v

0 2m 1 0
1T Mv(0)
2,146mv 0




1, 295v 0
m 0 1
1, 657m
1 1T M1
m
1 0, 573



0 2m 0, 573





1 0, 873 m 0 1 v

0 2m 1 0
2T Mv(0)
0, 746mv 0




0, 296v 0
m 0 1
2, 524m
2 2T M2
m
1 0, 873



0 2m 0, 873




Ta có phương trình dao động của hệ

buddha93uct@gmail.com



NORTH SAINT - AMITABHA


Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội





3, 283u cos 0, 226 EI t




0
3

mL







2
1
q i (0)







u(t) i q i (0) cos i t
sin i t

1,
295v

EI

0
1
i
sin 0, 226
t

0, 573
3


mL



0, 226 EI


mL3










1

0,
296v
EI
EI




0
1, 283u cos 1, 662

t
sin 1, 662
t

0

3
3

0,
873

mL
mL
EI




1, 662


mL3










3, 283u cos 0, 226 EI t
1, 283u cos 1, 662 EI t






0
0
3
3


1

mL
mL
1













0, 873


3
3
0,
573

mL
EI
mL
EI




5, 73v
0,178v
sin 0, 226
t
sin 1, 662
t
0
0
3
3



EI
EI
mL
mL










Cho tải trọng điều hòa tác dụng lên khối lượng như hình vẽ P(t) = P0sin t với

= 0, 3

EI
.
mL3

Xác định khối lượng tổng quát, độ cứng tổng quát, lực tổng quát?
Khối lượng tổng quát

m 0 1

1, 657m
1 1T M1 1 0, 573
m

0 2m 0, 573



m 0 1

2, 524m
2 2T M2 1 0, 873
m

0 2m 0, 873



Độ cứng tổng quát

3 5 1 0, 08EI


TK 1 0, 573 3EI
k
1
1
1

8L3 5 9 0, 573 L3






3 5 1 6, 97EI
TK 1 0, 873 3EI
k

2
2
2

8L3 5 9 0, 873
L3



Lực tổng quát

buddha93uct@gmail.com



NORTH SAINT - AMITABHA


Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội

0
1 1T p(t) 1 0, 573 sin t 0, 573P0 sin t
p

P0

0
T



p2 2 p(t) 1 0, 873 sin t 0, 873P0 sin t

P0

Tính các tọa độ tổng quát qi(t) và xác định véc tơ chuyển vị của các khối lượng dựa
vào khai triển theo dạng dao động?
Tọa độ tổng quát


p
0, 573P0 sin t
q 1(t) 1 R đ1
.
k1
0, 08EI
L3

1

EI

0, 3
mL3
1

EI
0, 226

mL3


p
0, 873P0 sin t
q 2 (t) 2 R đ2
.
k
6, 97EI
2

L3

2












9, 4P0L3
EI

sin 0, 3
t

EI
mL3


0,13P0 L3
EI


sin 0, 3
t
2

EI
mL3


EI

0, 3
3

mL


1

EI
1, 662


mL3
1

Véc tơ chuyển vị của các khối lượng
3


1 9, 4P L3
EI 9, 4 P0L
EI


0


u1(t) 1q 1(t)
sin 0, 3
t
sin 0, 3
t

mL3 5, 386 EI
mL3


0, 573 EI
3


1 0,13P L3
EI 0,13 P0L
EI


0


u2 (t) 2q 2 (t)
sin 0, 3
t

EI sin 0, 3 mL3 t
3

0,
873

0,
013
EI
mL









Xác định lực đàn hồi ở trạng thái động, vẽ biểu đồ mômen uốn động?
Lực đàn hồi động
3


3EI 3 5 9, 4 P0 L
EI 0, 476
EI


fs1(t) Ku1(t) 3
sin 0, 3
t
P0 sin 0, 3
t


8L 5 9 5, 386 EI
mL3 0, 553
mL3
3


3EI 3 5 0,13 P0 L
EI 0,171
EI


fs2 (t) Ku2 (t) 3
sin
0,
3
t

P
sin
0
,
3
t



0
8L 5 9 0, 013 EI
mL3 0, 288
mL3


Vẽ biểu đồ mômen uốn động

Ta vẽ biểu đồ mômen đơn vị và do tải trọng P0 gây ra trên kết cấu.

buddha93uct@gmail.com



NORTH SAINT - AMITABHA


Hướng dẫn giải bài tập đLHCT Đại học GTVT Hà Nội
Biểu đồ mômen đơn vị đã được thực hiện như Pic Uno Ta vẽ biểu đồ do tải trọng P0
P0

2LP0

(MP)

* Z Z 0
12 2
1P
Ta có hệ phương trình chính tắc 11 1
21Z1 *22Z2 2P 0


Trong đó các thông số được xác định như sau:
*
11
11

1
12L3


EI
m12

*22 22

1
4L3


EI
m 2 2

1P

1



2


EI

m 0, 3


mL3
1

2

8L3
;
9EI



12 21

20L3
3EI

14L3
9EI


EI

2m 0, 3


mL3
20P0L3
4P0L3
M1 MP 21P0
; 2P M2 MP 22P0
3EI
EI

Z 0, 808P
0
Thay số vào giải hệ ra ta có 1
Z2 0, 892P0






Vậy biểu đồ mômen uốn động Mđ M 1 Z1 M 2 Z2 MP
0,808LP

0

2,208LP0

(Mđ)

buddha93uct@gmail.com



NORTH SAINT - AMITABHA



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×