Tải bản đầy đủ

Các hàm số học và sự phân bố các số nguyên tố (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ TỐ PHƯỢNG

CÁC HÀM SỐ HỌC
VÀ SỰ PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Huế, năm 2014



Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực,
được các đồng tác giả cho phép sử dụng và
chưa từng được công bố trong bất kì một
công trình nào khác.
Trần Thị Tố Phượng

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii


Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, cố PGS.TS Nguyễn
Gia Định. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và mong Thầy yên lòng an
nghỉ.

Luận văn được tiếp tục triển khai và hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của Thầy giáo,
TS. Cao Huy Linh. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng, lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc. Cảm ơn Thầy đã nhiệt tình giúp đỡ với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong
quá trình triển khai và hoàn thành đề tài.

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng đào tạo Sau Đại
học trường Đại Học Sư phạm Huế và quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao
học Toán Khóa 21 đã quan tâm giúp đỡ và tận tình truyền đạt kiến thức cho chúng
tôi trong suốt quá trình học tập.

Demo Version - Select.Pdf SDK
Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Tổ Bộ môn Toán trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung
Ương Nha Trang đã quan tâm giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
công việc học tập và nghiên cứu của mình.

Xin cảm ơn các bạn lớp Cao học Toán K21, đặc biệt là nhóm Đại số Hình học,
những người đã chia sẻ và giúp đỡ tôi rất nhiều trong học tập.

Cuối cùng xin đặc biệt cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn động
viên và là chỗ dựa tinh thần giúp tôi yên tâm hoàn thành khóa học này.



Trần Thị Tố Phượng

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

MỞ ĐẦU

3

NỘI DUNG

5

1 CÁC HÀM SỐ HỌC

5

2

1.1

Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm M¨
obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Hàm Euler φ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

HàmDemo
τ . . .Version
. . . . . .- .Select.Pdf
. . . . . . . SDK
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5

Hàm σ suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

HÀM π, ĐỊNH LÍ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HÀM ζ-RIEMANN

19

2.1

Hàm π(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Định lí số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Hàm zeta của Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Một số tính chất cơ bản của zeta hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 BÀI TOÁN PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ
3.1

31

Các hàm Chebyshev và định lí Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.1

Các hàm Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.2

Định lí Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2

Mối quan hệ giữa hàm Chebyshev ϑ(x) và π(x). . . . . . . . . . . . . .

36

3.3

Một số dạng tương đương của định lí số nguyên tố . . . . . . . . . . . .

38

3.4

Các bất đẳng thức cho π(n) và pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.5

Định đề Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1


3.6

3.7

Đẳng thức Euler và công thức tổng Abel . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.6.1

Đẳng thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.6.2

Công thức tổng Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Một đánh giá cho mật độ số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

KẾT LUẬN

53

Tài liệu tham khảo

54

Demo Version - Select.Pdf SDK

2


MỞ ĐẦU
Số nguyên tố và các hàm số học đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết
số, được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các hàm trong số học như
hàm M¨obius µ(n), hàm Euler φ(n), hàm τ (n) về số các ước của số nguyên dương n,
hàm σ(n) về tổng các ước... đã được các nhà toán học như Phạm Huy Điển, Hà Huy
Khoái ([1], 2002), Andreescu T., Andrica D. ([6], 2009), Michael Th. Rassias ([9], 2010)
nghiên cứu và tổng hợp. Đây là một trong những kiến thức nâng cao mà học sinh, sinh
viên cần biết để áp dụng giải những bài toán về số học.
Ngoài ra, các hàm số thực như hàm π, hàm zeta của Riemann lại có một vai
trò hết sức quan trọng trong các bài toán liên quan đến số nguyên tố và sự phân bố
của chúng. Việc tính giá trị của π(x) (khi x rất lớn) gặp nhiều khó khăn vì người ta
không biết chính xác các số nguyên tố phân bố như thế nào giữa các số nguyên. Tuy
nhiên, vào năm 1793, Gauss đã đưa ra dự đoán
π(x)
= 1,
x→+∞ x
ln x
lim

mà ngày nayDemo
có tên gọi
là Định -lýSelect.Pdf
số nguyên tố SDK
(Prime Number Theorem). Trong gần
Version
100 năm, dự đoán này đã thu hút nhiều nhà toán học lỗi lạc tìm cách chứng minh như
Gauss, Legendre, Chebyshev, Riemann... nhưng không ai thành công. Hàm zeta ra đời
trong khi Riemann cố gắng chứng minh Định lí số nguyên tố. Mặc dù gặp thất bại
trong việc chứng minh định lí này nhưng hàm zeta vẫn có một vai trò khá lớn trong
số học và đã đạt được một số tính chất quan trọng.
Năm 1851, nhà toán học người Nga Chebyshev đã thực hiện một bước tiến
π(x)
mới bằng cách chứng minh rằng nếu tỉ số x có giới hạn thì giới hạn phải bằng 1 ([8],
ln x
tr.79-81), nhưng ông không thể chứng minh được nó có giới hạn. Mãi đến hơn 100 năm
sau Định lí số nguyên tố mới được chứng minh bởi Hadamard và Vallée-Poussin. Tuy
vậy, đối với quá trình đi tìm phép chứng minh cho Định lí số nguyên tố thì Chebyshev
vẫn là người có công lao rất lớn.
Xuất phát từ những vấn đề nêu trên, được sự gợi ý của Thầy hướng dẫn, tôi
quyết định chọn đề tài: “Các hàm số học và sự phân bố các số nguyên tố”
với hy vọng sẽ tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết số và ứng dụng các hàm số học vào việc
3


phân bố các số nguyên tố.
Mục tiêu của đề tài là tổng quan các nghiên cứu về các hàm quan trọng trong
lý thuyết số, cụ thể là các hàm số học đã đề cập ở trên; hàm số thực π(x) và Định lí
số nguyên tố; các hàm Chebyshev, định lí Chebyshev và một số kết quả về sự phân bố
các số nguyên tố.
Nội dung của đề tài được chia thành 3 chương:
– Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu các hàm số học thường được sử dụng trong
lý thuyết số, như là hàm M¨obius, hàm Euler, hàm τ , hàm σ suy rộng cùng các tính
chất liên quan.
– Trong Chương 2, chúng tôi khảo sát các hàm số thực có vai trò quan trọng liên
quan đến bài toán phân bố các số nguyên tố là hàm π, hàm zeta của Riemann và các
tính chất, Định lý số nguyên tố.
– Trong chương 3, chúng tôi trình bày định lý Chebyshev và một số kết quả khác về
sự phân bố các số nguyên tố. Cụ thể là, các hàm Chebyshev, định lý Chebyshev, quan
hệ giữa hàm Chebyshev ψ(x) và ϑ(x), một số dạng tương đương của định lý số nguyên
tố, các bất đẳng thức cho π(n) và pn (kí hiệu số nguyên tố thứ n), định đề Bertrand,
đẳng thức Euler,
côngVersion
thức tổng- Abel
và một đánh
Demo
Select.Pdf
SDKgiá cho mật độ số nguyên tố.

4



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×