Tải bản đầy đủ

Bổ đề farkas và định lý hahn banach các mở rộng và sự tương đương (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VÕ ANH DŨNG

BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH:
CÁC MỞ RỘNG VÀ SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG

Demo Version - Select.Pdf SDK
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Huế, năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VÕ ANH DŨNG


BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH:
CÁC MỞ RỘNG VÀ SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
02
Demo Version - Select.Pdf
SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. NGUYỄN ĐỊNH

Huế, năm 2014
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và
chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Võ Anh Dũng

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới PGS. TSKH. Nguyễn Định,
người Thầy đã tận tình chỉ dẫn và truyền đạt kiến thức trong quá trình học tập và
luôn động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới tất cả các Thầy cô của Khoa Toán, trường ĐHSP
Huế đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin cảm ơn gia đình đã tạo điều kiện tốt cho việc học của tôi và bạn bè đã hỗ
trợ trong việc hoàn thành luận văn này.
Đồng Nai, ngày 03 tháng 03 năm 2014
Học viên


Võ Anh Dũng

Demo Version - Select.Pdf SDK

iii


Mục lục
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.Một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Ánh xạ K-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4. Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Demo Version - Select.Pdf SDK

1.2.Đối ngẫu của hàm lồi, dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Đối ngẫu của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.Một số kết quả hiện đại về giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Bổ đề Farkas và các mở rộng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.Điều kiện chính quy đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.Bổ đề Farkas cho các hệ không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.Bổ đề Farkas cho các hệ lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4.Bổ đề Farkas mở rộng cho các hệ DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.5.Bổ đề Farkas dạng tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.5.1. Bổ đề Farkas dạng tiệm cận cho hệ không lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.2. Bổ đề Farkas dạng tiệm cận cho DC và hệ lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1


Chương 3. Sự tương đương giữa các kết quả dạng Farkas và các mở rộng của
định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1.Định lý Hahn-Banach, bổ đề Farkas dạng cổ điển và sự tương đương
39
3.2.Các kết quả dạng Farkas mở rộng cho hệ lồi theo nón . . . . . . . . . .

44

3.3.Bổ đề Farkas cho các hệ S-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.4.Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.5.Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.6.Sự tương đương giữa các mở rộng của bổ đề Farkas và định lý HahnBanach-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.7.Các định lý Hahn-Banach xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.7.1. Định lý Hahn-Banach xấp xỉ cho trường hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.7.2. Định lý Hahn-Banach xấp xỉ cho trường hợp không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Tài liệu
thamVersion
khảo . . . -. .Select.Pdf
. . . . . . . . . . . .SDK
............................
Demo

64

2


MỞ ĐẦU
Vào năm 1894, nhà vật lý Gyula Farkas quan tâm đến bài toán cân bằng trong cơ
học, quan sát thấy sự cần thiết phải thiết lập các đặc trưng của nón lồi đa diện trong
nửa không gian đóng. Về mặt toán học, là đặc trưng của "một bất đẳng thức tuyến
tính là hệ quả của một hệ tuyến tính thuần nhất". Sau một vài lần không thành công,
Farkas đã chứng minh được đặc trưng của ông vào năm 1902 ở dạng không thuần nhất
(cho tập lồi đa diện và nửa không gian đóng tùy ý), sau này được gọi là bổ đề Farkas.
Bổ đề Farkas được sử dụng trong cơ học, tài chính (xem [20], [21]) (Bổ đề Farkas chính
là phát biểu bằng ngôn ngữ toán học của nguyên lý cơ bản thứ nhất của thị trường tài
chính), và đặc biệt trong lý thuyết tối ưu tuyến tính, cũng như phi tuyến (xem [15][25]). Bổ đề Farkas là một dạng tương đương của Định lý Hahn-Banach (xem [22]). Vì
tầm quan trọng đặc biệt của nó, trong hơn một trăm năm qua bổ đề Farkas liên tục
được mở rộng từ các hệ tuyến tính đến các hệ vectơ, các hệ lồi, phi tuyến khác nhau
trong các thập niên cuối của thế kỷ 20 (và thường được gọi là kết quả dạng Farkas),
với các áp dụng vào các bài toán tối ưu tổng quát cũng như lớp các bài toán cụ thể.
Trong thập niên đầu của thế kỷ 21 này, bằng một cách tiếp cận khác, sử dụng lý

Demo Version - Select.Pdf SDK

thuyết đối ngẫu trong giải tích lồi, các tác giả N. Định, V. Jeyakumar, cùng các đồng
tác giả đã có nhiều kết quả trong việc mở rộng lý thuyết cũng như việc áp dụng các kết
quả dạng Farkas vào lý thuyết tối ưu. Cụ thể, các tác giả đã thiết lập nhiều kết quả
dạng Farkas mở rộng cho các hệ lồi, DC (hiệu hai hàm lồi) không cần điều kiện chính
quy nào hoặc dưới các điều kiện chính quy (qualification conditions) gọi là các điều
kiện (CC) yếu hơn nhiều so với các điều kiện tương ứng đã có trước đây. Các kết quả
này đã được ứng dụng thành công trong việc thiết lập các điều kiện tối ưu, các định
lý đối ngẫu mạnh, ổn định tập chấp nhận cho các bài toán tối ưu lồi, DC với vô hạn
ràng buộc. Ngoài ra chúng còn được sử dụng như những công cụ chủ yếu để nghiên
cứu các bài toán tôi ưu vectơ, các bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng với
sự tham gia các yếu tố lồi, DC ([18], [19]).
Như ta đã biết, định lý Hahn-Banach và các dạng tương đương của nó: Các định
lý tách tập lồi, các định lý không tương thích (Hoàng Tụy), đã được xem như là nền
tảng của giả tích lồi, tối ưu lồi trong những thập niên vừa qua. Tất cả các dạng này

3


đều tương đương với bổ đề Farkas (dạng tuyến tính). Một vấn đề tự nhiên được đặt ra
là: Có chăng, các mở rộng của định lý Hahn-Banach tương ứng với những phát triển,
mở rộng của bổ đề Farkas nêu ở trên (gọi là các kết quả dạng Farkas)?
Mới đây các tác giả N. Dinh, M. A. Goberna, M. A. Lopez, M. Volle đã cho phần
nào câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên trong [8], [11], [13].
Cấu trúc chính của của luận văn bao gồm ba chương: Chương 1 trình bày các kiến
thức cơ bản sẽ được sử dụng cho các chương sau. Chương 2 khái quát về sự phát triển,
mở rộng của bổ đề Farkas, trong đó trình bày bổ đề Farkas cho các hệ không lồi, cho
các hệ lồi, hệ DC và bổ đề Farkas dạng tiệm cận. Chương 3 trình bày sự tương đương
giữa định lý Hahn-Banach và bổ đề Farkas (dạng cổ điển và cả những mở rộng của
định lý này).

Demo Version - Select.Pdf SDK

4



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×