Tải bản đầy đủ

Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian banach (Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

TRẦN THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN -2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số

: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
2. GS.TS. Nguyễn Bường

THÁI NGUYÊN - 2018


i

Lời cam đoan

Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được
hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy và GS.TS.
Nguyễn Bường. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được
công bố trong các công trình của người khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.
Tác giả

Trần Thị Hương


ii

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS. Nguyễn Bường và PGS.TS.
Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar
tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý
báu của GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, GS.TSKH. Đinh
Nho Hào, PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, PGS.TS. Phạm Ngọc Anh, PGS.TS. Hà
Trần Phương, PGS.TS. Phạm Hiến Bằng, TS. Nguyễn Công Điều, TS. Vũ Mạnh
Xuân, TS. Bùi Thế Hùng, TS. Trương Minh Tuyên, TS. Nguyễn Đình Dũng và
TS. Lâm Thùy Dương. Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến các Thầy và Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo
và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi
điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của mình.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa
Toán, Trường Đại học Sư phạm và các thầy cô giáo trong Khoa Khoa học Cơ
bản, Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật - Đại học Thái Nguyên cùng toàn
thể anh chị em nghiên cứu sinh ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp đã
luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác
giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, seminar và hoàn thành luận án.
Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình niềm vinh hạnh
to lớn này.


iii

Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Danh sách các ký hiệu, chữ viết tắt

v

Danh sách các bảng

v

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . .
1.1.1. Không gian Banach phản xạ, lồi đều . . . . .
1.1.2. Toán tử trong không gian Banach . . . . . . .
1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
1.2.1. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh và một
số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Một số kết quả về phương pháp hiệu chỉnh hệ phương
trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

9
9
9
12
20
20

. 22
. 23
. 23
. 26

Chương 2. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu trong
không gian Banach
31
2.1. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


iv

2.1.1. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử thế năng . . . . . . . 32
2.1.2. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 36
2.2. Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Tham số hiệu chỉnh . . . .
2.2.2. Tốc độ hội tụ . . . . . . .
2.3. Ứng dụng và thử nghiệm số . . .
2.3.1. Bài toán tối ưu . . . . . .
2.3.2. Hệ phương trình tích phân

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

39
46
49
49
51

Chương 3. Xấp xỉ hữu hạn chiều và phương pháp hiệu chỉnh lặp
3.1. Xấp xỉ hữu hạn chiều và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều . . . .
3.2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
55
55
60
62

3.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận và đề nghị

72

Danh mục các công trình liên quan đến luận án

74

Tài liệu tham khảo

75


v

Danh sách các ký hiệu, chữ viết tắt

R

tập hợp số thực

H

không gian Hilbert

E

không gian Banach

E∗

không gian đối ngẫu của E

SE

mặt cầu đơn vị của E

x∗ , x

giá trị của x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E

Gr(A)

đồ thị của toán tử A

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

c

không gian các dãy số hội tụ

c0

không gian các dãy số hội tụ về 0

C[a, b]

không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

lp , 1 ≤ p < ∞

không gian các dãy số khả tổng bậc p

l∞

không gian các dãy số bị chặn

Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞

không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]

L∞

không gian các hàm bị chặn

d(x, C)

khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C



tập rỗng


vi

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

x0

dãy{xn }hội tụ yếu về x0

αm

0

dãy {αm } hội tụ giảm về 0

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

m

số bước lặp


vii

Danh sách bảng

2.1
2.2
2.3

Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.5) . . . . . . . 51
Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) . . . . . . . 51
Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) với δ = 1/M 3 53

2.4

Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) với δ = 1/M 6 53

3.1

Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) khi p = 1/15 và p = 1/19 69

3.2

Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2.11)
trong [78] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2.11)
trong [78] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3


1

Mở đầu

Nhiều vấn đề của các lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như kinh tế xã hội dẫn
đến bài toán tìm một đại lượng vật lý x ∈ E chưa biết từ bộ dữ kiện ban đầu
(f0 , f1 , . . . , fN ) ∈ F N +1 , N ≥ 0, ở đây E là không gian Banach, F = E ∗ -không
gian đối ngẫu của E, hoặc E là không gian Hilbert và F = E (xem [33]). Trên
thực tế, bộ dữ kiện (f0 , f1 , . . . , fN ) nhận được bằng việc đo đạc trực tiếp trên
các tham số và thường không được biết chính xác mà chỉ được cho xấp xỉ bởi
fiδ ∈ F thỏa mãn
fiδ − fi ≤ δi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(0.1)

với δi > 0 là các sai số cho trước. Bài toán này được mô hình hóa toán học bởi
hệ phương trình
Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(0.2)

ở đây Ai : D(Ai ) ⊂ E → F là các toán tử từ không gian Banach E vào không
gian Banach F và D(Ai ) là ký hiệu miền xác định của các toán tử Ai .
Nhiều bài toán thực tế khác, như bài toán khôi phục ảnh (xem [48]), bài toán
khôi phục tín hiệu (xem [35]), bài toán điều khiển tối ưu (xem [49]), một số mô
hình của bài toán kinh tế dẫn đến dạng bài toán bù (xem [41]), bài toán tìm
điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (xem [66]), bài toán chấp
nhận lồi (xem [16]), bài toán cực trị không ràng buộc (xem [22]) cũng có mô
hình toán học dạng hệ phương trình toán tử (0.2) với Ai là các toán tử đơn điệu.
Như vậy, hệ phương trình toán tử đơn điệu thường gặp trong nhiều lĩnh vực.
Tuy nhiên, lớp bài toán này lại có một đặc điểm là nếu không có thêm điều
kiện đặc biệt đặt lên các toán tử Ai , chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu
mạnh, thì chúng thường là những bài toán đặt không chỉnh (xem [1, 8, 18] và
các tài liệu được trích dẫn trong đó).


2

Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được nhà toán học Hadamard người
Pháp đưa ra vào năm 1932 khi nghiên cứu ảnh hưởng của bài toán giá trị biên
với phương trình vi phân. Ông là người đầu tiên chỉ ra những bài toán không
ổn định là "bài toán đặt không chỉnh" (xem [42] và wikipedia.org/wiki/Jacques
Hadamard). Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều
giải được theo nghĩa bài toán luôn có nghiệm, nghiệm được xác định duy nhất
và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nhưng thực tế đã chỉ ra quan
niệm đó là sai lầm. Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn
xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến sự sai lệch
đáng kể về nghiệm, tức là một sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể
dẫn đến sự sai khác rất lớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô
nghiệm hoặc vô định. Người ta nói đó là bài toán đặt không chỉnh. Những người
có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh phải kể đến các
nhà toán học Tikhonov (xem [74, 75, 76]), Lavrentiev (xem [63]), Ivanov (xem
[50, 51]). Do tầm quan trọng của lý thuyết và ứng dụng của lớp bài toán này
mà nhiều nhà toán học trên thế giới đã đi sâu nghiên cứu các phương pháp giải
bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Alber (xem [8, 10]), Bakushinskii (xem
[13, 14]), Baumeister (xem [18]), Engl (xem [38, 39, 40]) v.v . . . Các nhà toán
học Việt Nam đã có rất nhiều đóng góp cho việc xây dựng phương pháp giải bài
toán đặt không chỉnh như nhóm nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh (xem [4, 5, 6]),
Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy (xem [22, 24, 78]), Đinh Nho Hào (xem
[45, 46]), Nguyễn Đông Yên và Phạm Duy Khánh (xem [57, 72]) v.v . . .
Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp
nhiều khó khăn, đặc biệt, khi có sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào hoặc trong
quá trình giải số trên máy tính có thể dẫn đến sai lệch rất lớn về kết quả. Vì vậy,
một trong những hướng nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh rất quan trọng đó
là việc xây dựng các phương pháp giải ổn định lớp bài toán này sao cho khi sai
số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm
chính xác của bài toán ban đầu.
Năm 1943, Tikhonov đưa ra phương pháp chọn (xem [74]), sau đó Ivanov đưa
ra phương pháp tựa nghiệm (xem [50]) để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình
toán tử đặt không chỉnh
A(x) = f,

(0.3)

Lavrentiev (xem [63]) đề xuất phương pháp thay phương trình đang xét bởi


3

phương trình xấp xỉ giải được với mọi vế phải f và nghiệm phụ thuộc liên tục
vào vế phải
A(x) + αx = f,
(0.4)
trong trường hợp A là toán tử tuyến tính xác định không âm trong không gian
Hilbert H. Các phương pháp trên được xét khi thông tin về nghiệm chính xác
của bài toán (0.3) được bổ sung. Trong trường hợp tổng quát khi không biết
thêm thông tin về nghiệm chính xác của bài toán, Tikhonov (xem [75]) đã đưa
ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng mang tên ông, trên cơ sở xây dựng toán tử
hiệu chỉnh và xác định tham số mới đưa vào. Kể từ đó lý thuyết bài toán đặt
không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán
thực tế. Nội dung của phương pháp là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương
trình toán tử (0.3) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm cực tiểu
của phiếm hàm Tikhonov
Fαγ,δ (x) := Aγ (x) − f δ

2

+ α x∗ − x 2 ,

(0.5)

trong đó α = α(γ, δ) > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào γ và δ, (Aγ , f δ ) là
các đại lượng quan sát được xấp xỉ của (A, f ), x∗ là phần tử cho trước đóng vai
trò là tiêu chuẩn chọn. Trên cơ sở phương pháp này, người ta đã xây dựng nhiều
phương pháp số giải bài toán đặt không chỉnh (0.3) (xem [2, 12, 13, 14, 30, 40]).
Khi A là toán tử phi tuyến thì Aγ thường là phi tuyến, việc tìm phần tử cực
tiểu của phiếm hàm Tikhonov (0.5) sẽ gặp nhiều khó khăn vì hàm Fαγ,δ (x) nói
chung không lồi. Để khắc phục vấn đề này, năm 1966 Browder (xem [28]) đã
đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với A là toán tử
phi tuyến đơn điệu từ không gian Banach E vào E ∗ , đó là việc sử dụng phương
trình hiệu chỉnh
Aγ (x) + αM (x) = f δ ,

(0.6)

khi Aγ là toán tử đơn điệu hoặc Aγ ≡ A. Tư tưởng của phương pháp là sử dụng
toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục và thỏa mãn
M (x) − M (y), x − y ≥ (d( x ) − d( y ))( x − y ),
ở đây d(t) là một hàm không âm, không giảm, d(t) → +∞ khi t → +∞ và
d(0) = 0. Các kỹ thuật hiệu chỉnh do Lavrentiev và Browder đề xuất đã được
ứng dụng rất nhiều để giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu (xem
[1, 2, 8, 10, 13, 14, 19, 20, 21]). Trong đó phải kể đến việc sử dụng ánh xạ đối
ngẫu tổng quát J s , s ≥ 2 của không gian Banach E làm thành phần hiệu chỉnh


4

do ánh xạ này là một dạng của toán tử M (xem [17]). Bằng cách này, Alber
và Ryazantseva (xem [8, 9, 10]) đã nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh cho bài
toán (0.3) ở dạng
Aγ (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ .

(0.7)

Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu chỉnh
(0.7) khi Aγ ≡ A đã được nghiên cứu trong [70], ở đó α(δ) được chọn bởi nguyên
lý độ lệch cổ điển, tức là α(δ) được chọn từ hệ thức
A(xδα ) − f δ = Kδ p ,

K > 1,

0 < p ≤ 1,

(0.8)

ở đây xδα là nghiệm của phương trình (0.7). Năm 2004, Nguyễn Bường (xem [20])
đã nghiên cứu việc chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch
suy rộng trên cơ sở giải phương trình
ρ(α) = α−q δ p ,

0 < p ≤ q,

ρ(α) = α xδα ,

(0.9)

cho phương trình toán tử (0.3) khi xét phương trình hiệu chỉnh (0.7) trong
trường hợp Aγ ≡ A. Với cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh thì sự hội tụ
của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác x0 của bài toán (0.3) có thể chậm
tùy ý. Để đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính
xác x0 của bài toán (0.3), nghĩa là đánh giá giá trị xδα − x0 , người ta thường
cần một số điều kiện bổ sung như: điều kiện nguồn (xem [39]), tức là tồn tại
ω ∈ H sao cho
x0 − x∗ = [A (x0 )]∗ ω,
(0.10)
ở đây [A (x0 )]∗ là toán tử đối ngẫu của A (x0 ) và điều kiện đạo hàm cấp hai của
toán tử A bị chặn địa phương (xem [13, 14]), hay đạo hàm cấp một của toán tử
A liên tục Lipschitz địa phương (xem [40, 73]). Điều kiện về tính Lipschitz địa
phương của đạo hàm cấp một hay tính bị chặn địa phương của đạo hàm cấp hai
còn được thay thế bởi điều kiện nón tiếp tuyến (xem [44, 54, 55]). Trong [12] các
tác giả cũng chỉ ra rằng điều kiện đạo hàm cấp hai bị chặn, hay điều kiện liên
tục Lipschitz của đạo hàm cấp một không chặt hơn điều kiện nón tiếp tuyến.
Một số phương pháp hiệu chỉnh lặp giải phương trình toán tử (0.3) là sự kết
hợp giữa kỹ thuật hiệu chỉnh của Lavrentiev (hoặc Browder) với các phương
pháp số truyền thống đã được Bakushinskii đề xuất (xem [13, 14] và các tài liệu
được trích dẫn trong đó). Chẳng hạn, phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không là
sự kết hợp giữa phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev với phương pháp lặp hiện


5

trong không gian Hilbert thực H
xm+1 = xm − βm A(xm ) − f + αm xm ,
ở đây, αm > 0 là dãy tham số hiệu chỉnh, βm > 0 là dãy tham số lặp. Sự hội
tụ của phương pháp được thiết lập trên cơ sở toán tử A thỏa mãn thêm một số
điều kiện bổ sung và cách lựa chọn các dãy tham số {αm } và {βm } thích hợp.
Luận án của chúng tôi nghiên cứu, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, đưa ra
cách chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
và nghiệm hiệu chỉnh đã được xấp xỉ hữu hạn chiều, đề xuất phương pháp hiệu
chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.2), một mở rộng của bài toán (0.3).
Để giải hệ phương trình toán tử (0.2), ta có thể đưa hệ này về một phương
trình toán tử dạng (0.3), ở đây
N

D(Ai ) =: D(A)

A := (A0 , A1 , . . . , AN ) :

→ (E ∗ )N +1 ,

(0.11)

i=1

và f = (f0 , f1 , . . . , fN ). Những phương pháp cơ bản được sử dụng để giải hệ
phương trình phi tuyến dạng này phải được kể đến là phương pháp kiểu hiệu
chỉnh lặp (xem [15, 40, 54, 55]) hoặc phương pháp kiểu hiệu chỉnh Tikhonov
(xem [40, 62, 69, 76]). Tuy nhiên, các phương pháp này sẽ trở nên kém hiệu quả
khi N lớn vì nó đã phá hủy cấu trúc đặc biệt của hệ (0.2) và kết quả trong một
phương trình yêu cầu bộ nhớ lớn để thực hiện các tính toán trung gian. Khi đó,
người ta sử dụng phương pháp lặp xoay vòng kiểu Landweber–Kaczmarz cho
mỗi phương trình riêng biệt trong (0.2) (xem [52, 56, 59, 65]). Việc luân phiên
giải từng phương trình của hệ chẳng những không làm tăng điều kiện đặt lên
từng toán tử mà còn đơn giản hóa việc tính toán. Một số cải biên của phương
pháp này đã được nghiên cứu để giải hệ phương trình phi tuyến trong không
gian Hilbert H (xem [18, 30, 31, 43]). Sự hội tụ, tốc độ hội tụ của phương pháp
lặp kiểu Landweber–Kaczmarz đòi hỏi ba giả thiết đặt lên tất cả các toán tử Ai
của hệ (0.2), bao gồm điều kiện khả vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội
đều trong lân cận của nghiệm x0 của hệ và điều kiện nón tiếp tuyến địa phương
(xem [31]). Các điều kiện này tương đối chặt. Luận án của chúng tôi đã góp
phần làm nới lỏng các điều kiện đặt lên các toán tử của hệ (0.2) vừa đề cập ở
trên, cụ thể điều kiện khả vi Fréchet và điều kiện nón tiếp tuyến chỉ cần đặt lên
một toán tử của hệ (xem Định lý 2.6, Định lý 3.3).
Một hướng tiếp cận khác được Phạm Kỳ Anh và các đồng nghiệp đề xuất,
đó là các phương pháp hiệu chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử


6

đơn điệu (0.2) trong không gian Hilbert thực H với các toán tử ngược đơn điệu
mạnh (xem [3, 4, 6]). Các phương pháp này nhằm xây dựng các thuật toán mà
ở đó các bài toán thành phần có thể xử lý một cách đồng thời và độc lập, tức là
song song từ thuật toán. Trên thực tế khi xử lý các phương pháp tuần tự trên
máy tính song song, người ta có thể tăng hiệu quả bằng việc song song trên từng
bước tính toán. Cụ thể, tại mỗi bước của phương pháp, ta sẽ xử lý song song các
ma trận xấp xỉ hữu hạn chiều rời rạc của bài toán ban đầu. Luận án của chúng
tôi đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không gian Hilbert, mà tại
mỗi bước của phương pháp ta có thể xử lý song song. Đồng thời điều kiện liên
tục Lipschitz chỉ cần đặt lên một toán tử của hệ khi nghiên cứu sự hội tụ của
phương pháp. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra ví dụ so sánh hiệu quả đạt được so với
phương pháp đề xuất trước đó (xem Phương pháp (3.17), Định lý 3.4, Định lý
3.5, Ví dụ 3.1, Ví dụ 3.2).
Gần đây, Nguyễn Bường (xem [22]) đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng
Browder–Tikhonov với các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và thế năng bằng
việc kết hợp các phương trình hiệu chỉnh dạng (0.7) để hiệu chỉnh cho hệ phương
trình toán tử (0.2) trong trường hợp fi = 0 trên cơ sở xây dựng phương trình
phụ thuộc tham số
N

αµi Aγi (x) + αJ(x) = 0,
i=0

µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1,

(0.12)

i = 1, 2, . . . , N − 1,

ở đây Aγi là các xấp xỉ của Ai , J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian
Banach E. Đồng thời, tác giả cũng đã cải biên kết quả (0.9) để đưa ra cách chọn
tham số hiệu chỉnh trên cơ sở giải phương trình
ρ(α) = α−q γ p ,

p, q > 0,

(0.13)

ở đây ρ(α) = α α0 + xγα , 0 < α0 < α và xγα là nghiệm của phương trình
hiệu chỉnh (0.12). Một số kết quả mở rộng của hướng nghiên cứu này được phát
triển trong [23, 24, 25, 26, 58, 78]. Các cải biên của phương pháp hiệu chỉnh
(0.12) được thiết lập chủ yếu trong không gian Hilbert và chưa đề cập tới bài
toán chọn tham số hiệu chỉnh trong không gian Banach. Trong trường hợp Ai là
các toán tử J-đơn điệu, liên tục Lipschitz, các tác giả trong [25] đã nghiên cứu
nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh với điều kiện liên tục đặt lên N
toán tử của hệ (0.2). Luận án của chúng tôi đề xuất phương pháp hiệu chỉnh


7

hệ phương trình toán tử đơn điệu trong trường hợp có nhiễu vế phải mang tính
kế thừa của phương pháp (0.12), đồng thời đề xuất phương pháp hiệu chỉnh
trong trường hợp các toán tử của hệ không có tính thế năng và chỉ ra sự hội tụ
mạnh của phương pháp đề xuất (xem Phương pháp (2.5), Phương pháp (2.10),
Phương trình xấp xỉ hữu hạn chiều (3.1), Định lý 2.1, Định lý 2.2, Ví dụ 2.1, Ví
dụ 2.2, Định lý 3.1, Định lý 3.2). Chúng tôi cũng nghiên cứu cách chọn tham
số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho
phương trình hiệu chỉnh (2.5), (2.10) kết hợp việc nới lỏng các điều kiện đặt lên
các toán tử của hệ (0.2) trong không gian Banach (xem Định lý 2.3, Định lý 2.4,
Định lý 2.5).
Như vậy có thể khẳng định rằng, bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình
toán tử đặt không chỉnh đơn điệu đã và đang được các nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu, nhằm xây dựng các phương pháp giải hữu
hiệu cho bài toán này. Tuy đã có rất nhiều kết quả quan trọng đạt được cho
việc nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh (0.2), song việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tăng hiệu quả của nó
luôn là vấn đề thời sự và cấp thiết. Vì những lý do phân tích ở trên, chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm
của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach".
Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu các phương pháp hiệu chỉnh
cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.2) trong không gian Banach
trên cơ sở giải quyết các vấn đề sau:
1. Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh mới hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
đặt không chỉnh (0.2) trong không gian Banach. Nghiên cứu sự hội tụ và
đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc chọn tham số
hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch suy rộng kết
hợp với việc nới lỏng các điều kiện đặt lên các toán tử của hệ (0.2), đưa ra
ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp.
2. Xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương trình hiệu chỉnh ở trên, nghiên
cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều, đồng thời đề xuất
phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.2) và ví dụ
mang tính chất minh họa cho phương pháp đã đề xuất.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung
của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 giới thiệu và trình bày


8

các kiến thức bổ trợ phục vụ cho các chương sau của luận án. Các kết quả chính
của luận án nằm ở Chương 2 và Chương 3.
Chương 1 giới thiệu một số đặc trưng hình học của không gian Banach, toán
tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu mạnh, toán tử liên tục Lipschitz,
toán tử bức và toán tử thế năng. Trình bày khái niệm về bài toán đặt không
chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Phần cuối của chương trình bày về hệ phương
trình toán tử đơn điệu và một số bài toán liên quan.
Chương 2 đề x Ai (x) − Ai (x)

2

≥ 0.

i=1

Do vậy,
Ai (x) = Ai (x),

i = 1, 2, . . . , N,

Điều này suy ra, x = x nên x ∈ S. Tiếp tục, từ (3.19) ta có
x − x∗ , x − xm ≥ 0 ∀x ∈ S,
cho m → ∞ ta được x − x∗ , x − x¯ ≥ 0 với mọi x ∈ S, do S là tập lồi nên ta
thay x bởi (1−t)x+t¯
x, sau đó chia cả hai vế cho 1−t và cho t → 1 ta nhận được
x¯ − x∗ , x − x¯ ≥ 0 với mọi x ∈ S, suy ra x¯ − x∗ ≤ x − x∗ với mọi x ∈ S, mà
S là tập lồi đóng trong H nên phần tử có x∗ -chuẩn nhỏ nhất là duy nhất, nên
x¯ = x0 . Mặt khác, từ (3.19) và thay x bởi x0 ta có xm −x0 2 ≤ x∗ −x0 , xm −x0 ,
cho nên lim xm = x0 .
m→+∞

Tiếp theo, ta giả sử xm+1 là nghiệm của (3.18) khi αm được thay bởi αm+1 . Từ
(3.18) suy ra
N

A0 (xm+1 ), xm+1 − xm +

µ
αm+1

Ai (xm+1 ), xm+1 − xm
i=1

+

µ+1
αm+1

+

µ
αm

xm+1 − x∗ , xm+1 − xm + A0 (xm ), xm − xm+1

N
µ+1
Ai (xm ), xm − xm+1 + αm
xm − x∗ , xm − xm+1
i=1
N

+

µ
αm+1

N

Ai (xm ), xm+1 − xm +
i=1

µ
αm+1

Ai (xm ), xm − xm+1 = 0.
i=1


66

Từ bất đẳng thức trên và tính đơn điệu của Ai , i = 0, 1, . . . , N ta có
N
µ
αm+1



µ
αm

µ+1
Ai (xm ), xm+1 − xm + αm
xm − xm+1 , xm − xm+1
i=1
µ+1
µ+1
+ αm+1
− αm
xm+1 − x∗ , xm+1 − xm ≤ 0.

Suy ra,
xm+1 − xm , xm+1 − xm ≤

µ
µ
| αm+1
− αm
|
µ+1
αm

+

|

N

Ai (xm ), xm − xm+1

i=1
µ+1
− αm
µ+1
αm

µ+1
αm+1

|

xm+1 − x∗ , xm − xm+1 .

Do đó,
xm+1 − xm ≤

µ
µ
| αm+1
− αm
|
µ+1
αm

N

Ai (xm ) +

µ+1
µ+1
| αm+1
− αm
|

i=1

µ+1
αm

xm+1 − x∗ .

Đặt
d1 = max Ai (xm ) ,
i

Ta có
xm+1 − xm ≤ N d1

d0 ≥ xm+1 − x∗ .

µ
µ
| αm+1
− αm
|
µ+1
αm

+ d0

µ+1
µ+1
| αm+1
− αm
|
µ+1
αm

.

Áp dụng khai triển
am − bm = (a − b)(am−1 + am−2 b + · · · + abm−2 + bm−1 ),
ta có đánh giá
xm+1 − xm ≤ M

| αm+1 − αm |
,
µ+1
αm

ở đây M là hằng số dương. Vậy ta có,
xm+1 − xm = O
3.2.2.

| αm+1 − αm |
.
µ+1
αm

Sự hội tụ

Định lý sau chỉ ra sự hội tụ của dãy lặp (3.17).
Định lý 3.5 Giả sử các dãy tham số {αm }, {βm } và Ai , i = 0, 1, . . . , N thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) A0 là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz các toán tử Ai khác là λi -ngược
đơn điệu mạnh;


67

(ii) 1 ≥ αm
(iii)

lim

|αm+1 − αm |
2(µ+1)

m→+∞


(iv)
m=0

0, βm → 0 khi m → +∞;
βm
µ+1 = 0;
m→+∞ αm

= 0, lim

βm αm

µ+1
βm αm
= +∞.

Khi đó, lim zm = x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ nhất.
m→+∞

Chứng minh: Trước tiên ta có zm − x0 ≤ zm − xm + xm − x0 , theo
Định lý 3.4 số hạng thứ hai trong vế phải của bất đẳng thức này dần đến 0 khi
m → +∞. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh zm xấp xỉ xm khi m → +∞. Giả sử
m = zm − xm , khi đó ta có
m+1

= zm+1 − xm+1
N

= zm − xm − βm A0 (zm ) +

µ+1
Ai (zm ) + αm
(zm − x∗ )

µ
αm
i=1

− (xm+1 − xm )

(3.21)
N

≤ zm − xm − βm A0 (zm ) +

µ+1
(zm − x∗ )
Ai (zm ) + αm

µ
αm
i=1

+ xm+1 − xm .
Ta có các đánh giá sau
N

zm − xm − βm A0 (zm ) +

µ
αm

2

Ai (zm ) +

µ+1
αm
(zm

− x∗ )

i=1
N

= zm − xm

2

+

2
βm

A0 (zm ) +

µ
αm

2

Ai (zm ) +

µ+1
αm
(zm

− x∗ )

i=1
N
µ
− 2βm zm − xm , A0 (zm ) + αm

µ+1
Ai (zm ) + αm
(zm − x∗ )
i=1

N

− A0 (xm ) +

µ
αm

µ+1
Ai (xm ) + αm
(xm − x∗ )
i=1

µ+1
≤ 1 − 2βm αm
zm − xm

2

N

+

2
βm

A0 (zm ) +

µ
αm

2

Ai (zm ) +

µ+1
αm
(zm

− x∗ ) .

i=1

Do A0 liên tục Lipschitz, Ai là λi -ngược đơn điệu mạnh nên ta có

(3.22)


68
N

A0 (zm ) +

µ
αm

2

Ai (zm ) +

µ+1
αm
(zm

− x∗ )

i=1
N

= A0 (zm ) − A0 (xm ) +

µ
αm

2

Ai (zm ) − Ai (xm ) +

µ+1
αm
(zm

− xm )

i=1

≤ c zm − xm 2 ,
c là hằng số dương. Từ (3.21), (3.22) và bất đẳng thức cuối cùng ta có
1/2
m+1

2
m (1





µ+1
2βm αm

+

2
cβm
)

| αm+1 − αm |
.
µ+1
αm

+O

Bình phương hai vế của bất đẳng thức này, sau đó áp dụng bất đẳng thức sơ
cấp (xem [13])
(a + b)2 ≤ (1 + αm βm )a2 + 1 +

1
b2 ,
αm βm

ta nhận được
2
m+1



2
m

µ+1
2
2 µ+2
3
1 − 2βm αm
+ αm βm + cβm
− 2βm
αm + cαm βm

| αm+1 − αm |
1
O
+ 1+
µ+1
αm βm
αm
Các điều kiện của Bổ đề 3.1 cho dãy số {
điều kiện (ii)-(iv) của định lý với

m}

(3.23)

2

.
được thỏa mãn vì (3.23) và các

µ+1
2
2 µ+2
3
am = 2βm αm
− αm βm − cβm
+ 2βm
αm − cαm βm
,

bm =

1
| αm+1 − αm |
1+
O
µ+1
αm βm
αm

2

.


Nhận xét 3.1 (i) Các dãy tham số βm = (1 + m)−1/2 và αm = (1 + m)−p ,
0 < 2p < 1/(N + 1) thỏa mãn các điều kiện (ii)-(iv) của Định lý 3.5.
(ii) Khi N = 0, phương pháp (3.17) trùng với phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc
không của Bakushinski (xem [14]) cho phương trình A(x) = 0.
3.3.

Thử nghiệm số

Chúng tôi viết phương trình thực nghiệm bằng ngôn ngữ MATLAB 7.0 và đã
chạy thử nghiệm trên máy tính Lenovo 1,73GHz, Ram 504MB.
Các ký hiệu trong bảng kết quả của phần này như sau:


69

err: Sai số của hai xấp xỉ liên tiếp
M : Số điểm chia đoạn [0,1] khi tính tích phân
m: Số bước lặp
Ví dụ 3.1 Ta xét bài toán (2.37) trong trường hợp các ma trận Ai , i = 0, 1, . . . , 5
cho trong Ví dụ 2.1. Ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.17) để tìm nghiệm
xấp xỉ cho ví dụ này khi x∗ = 0, αm = (1+m)−p , 0 < p < 1/12, βm = (1+m)−1/2 ,
xấp xỉ ban đầu z0 = (1, 1, . . . , 1) ∈ RM , M = 15, µ = 2/3. Trong tính toán, nếu
(j)
(j)
err = max | zm+1 − zm |≤ ε, thì dừng tính toán, ε là sai số cho trước. Sau đây
1≤j≤4

là kết quả tính toán.
m

p = 1/15

p = 1/19

err

zm − x0

err

zm − x0

14

2.0984 × 10−4

7.4303 × 10−4

1.6068 × 10−4

5.3029 × 10−4

54

2.3099 × 10−7

2.1930 × 10−6

1.1414 × 10−7

9.8703 × 10−4

85

1.2066 × 10−8

1.5725 × 10−7

4.6344 × 10−9

5.4848 × 10−8

126 6.5173 × 10−10 1.1696 × 10−8 1.8825 × 10−10 3.4834 × 10−9
Bảng 3.1: Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) khi p = 1/15 và p = 1/19

Bằng cách sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.11) trong [78] với cách cùng
cách chọn αm , βm , z0 và M như trên, ta thu được kết quả như sau:
m

phương pháp (3.17)
err
zm − x0

phương pháp (2.11) trong [78]
err
zm − x0

29

8.4938 ×10−6

5.3174 ×10−5 3.1290 ×10−4

5.1791 ×10−3

52

3.6156 ×10−7

3.4483 ×10−6 6.6247 ×10−5

1.8881 ×10−3

97

6.5786 ×10−9

9.7441 ×10−8 1.1791 ×10−5

6.0686 ×10−4

152 2.2072 ×10−10 5.0957 ×10−9 3.2798 ×10−6

2.6136 ×10−4

Bảng 3.2: Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2.11) trong [78]

Nhận xét 3.2 Dựa trên kết quả của Bảng 3.1 ta có nhận xét: Tính hiệu quả
của phương pháp lặp (3.17) còn phụ thuộc vào việc chọn giá trị của tham số p
trong dãy αm . Trong ví dụ này, với M = 15, p = 1/19 thì với cùng sai số và số
lần lặp nhưng nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm chính xác của bài toán ban đầu
hơn so với trường hợp chọn p = 1/15.


70

Ví dụ 3.2 Ta tính toán thử nghiệm và so sánh việc thực hiện phương pháp
(3.17) và phương pháp (2.11) trong [78] để tìm nghiệm xấp xỉ cho ví dụ sau.
Xét hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính (2.39) với [a, b] = [0, 1],
fi (t) = 0, i = 0, 1, 2 và các hạch tích phân được cho như trong Ví dụ 2.2.
Áp dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.17) ở dạng
2

xm+1 = xm − βm A0 (xm ) −

f0δ

+

µ
αm

µ+1
(Ai (xm ) − fiδ ) + αm
xm ,
i=1

với
M

Ai =

hKi (tj , tl )

,

h=

j,l=0

x = (x0 , x1 , . . . , xM )T ,

1
,
M

xl = x(tl ),

l = 0, 1, . . . , M.

Bảng tính toán kết quả sau đây được tính với µ = 1/2, M = 50, xấp xỉ ban
đầu z0 = (1, 1, . . . , 1)T ∈ RM , αm = (1 + m)−1/16 , βm = (1 + m)−1/2 khi sử dụng
phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.17) và (2.11) trong [78].
m

Phương pháp (3.17)
err

zm − x0

Phương pháp (2.11) trong [78]
err

zm − x0

35

1.2818 ×10−5

9.4794 ×10−5 6.2948 ×10−5

6.7655 ×10−4

72

2.0512 ×10−7

2.4153 ×10−6 3.0939 ×10−6

5.6000 ×10−5

116

7.0725 ×10−9

1.1248 ×10−7 3.0434 ×10−7

7.7352 ×10−6

171 2.8796 ×10−10 5.8310 ×10−9 3.6756 ×10−8

1.2287 ×10−6

Bảng 3.3: Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2.11) trong [78]

Nhận xét 3.3 Dựa vào kết quả tính toán số của Ví dụ 3.1 và Ví dụ 3.2 ta thấy:
Khi so sánh các kết quả tính toán số nhận được từ phương pháp lặp (2.11) trong
[78] và phương pháp lặp (3.17) với cùng số bước lặp thì tốc độ hội tụ của phương
pháp (3.17) tốt hơn khá nhiều. Tuy nhiên cũng cần nói thêm rằng, so sánh này
chỉ dựa vào kết quả thực nghiệm trên đây và chưa có nghiên cứu lý thuyết về
sự so sánh tốc độ hội tụ của các phương pháp này.


71

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương này chúng tôi đã kết hợp kỹ thuật xấp xỉ hữu hạn chiều với
phương pháp hiệu chỉnh trong Chương 2 để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh của hệ phương trình toán tử đơn điệu. Đồng thời, xây dựng được một
phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trên không gian Hilbert thực H xấp xỉ
nghiệm cho bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu, phương
pháp này đã được thử nghiệm trên một số ví dụ trong không gian hữu hạn chiều
cũng như không gian vô hạn chiều, phần mềm được sử dụng là MATLAB 7.0,
kết quả đạt được cho thấy phương pháp có khả năng thực thi và khá hiệu quả.


72

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ
Luận án đã đề cập đến những vấn đề sau:
• Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt
không chỉnh trong không gian Banach trên cơ sở giải phương trình toán tử
phụ thuộc tham số.
• Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh kết hợp với bài toán xấp xỉ
hữu hạn chiều cho hệ phương trình toán tử đơn điệu trên cơ sở chọn tham
số hiệu chỉnh bằng nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch suy rộng.
• Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không tìm nghiệm xấp xỉ của
hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Hilbert thực H,
một trường hợp đặc biệt của không gian Banach, với các toán tử ngược đơn
điệu mạnh.
Các kết quả nhận được trong luận án gồm:
1. Xây dựng được phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình
toán tử đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu, thế năng và toán tử ngược
đơn điệu mạnh trong không gian Banach và các ví dụ minh họa.
2. Đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và nguyên
lý tựa độ lệch suy rộng. Dựa trên cách chọn này, tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh được đánh giá khi sai số δ dần tới không.
3. Đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi đã được xấp xỉ hữu
hạn chiều cho bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu
đặt không chỉnh trong không gian Banach.
4. Đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn
điệu, sự hội tụ của phương pháp được thiết lập dựa trên cơ sở chọn dãy
tham số thích hợp và điều kiện đơn điệu, liên tục Lipschitz của các toán tử,
đưa ra các ví dụ số mang tính chất minh họa cho phương pháp đã đề xuất.
Từ các kết quả đã đạt được của luận án, chúng tôi đề xuất các hướng nghiên
cứu và bài toán mở có thể tiếp tục nghiên cứu như sau:


73

(i) Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ các điều kiện đặt lên các toán tử Ai và các
điều kiện đặt lên không gian Banach E. Chẳng hạn như làm giảm nhẹ điều
kiện λi -ngược đơn điệu mạnh của các toán tử Ai xuống điều kiện đơn điệu,
hemi-liên tục.
(ii) Nghiên cứu các tiêu chuẩn dừng cho phương pháp hiệu chỉnh lặp đã được
nghiên cứu.
(iii) Nghiên cứu và xây dựng ví dụ số trong các không gian phức tạp và tổng
quát hơn các ví dụ đã nghiên cứu trong luận án.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×