Tải bản đầy đủ

(MẪN NGỌC QUANG) 38 câu hình học không gian

Câu 1 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16. Gọi
M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB , SC , SD. Tính thể tích khối chóp S.MNPQ.
VS . MNPQ  1

A.

VS .MNPQ  2

B.

VS .MNPQ  4

C.

D.

VS .MNPQ  8

Đáp án B
Phương pháp: Hình chóp S.MNPQ có diện tích đáy MNPQ bằng một phần tư diện tích đáy
ABCD và chiều cao bằng một nửa chiều cao hình chóp S.ABCD nên có thể tích bằng một

phần tám thể tích S.ABCD.
Vậy thể tích S.MNPQ bằng 2
Câu 2: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cắt một
khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối (H)
như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình
elip có độ dài trục lớn bằng 10, khoảng cách từ một
điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm
thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt
là 8 và 14. (xem hình vẽ). Tính thể tích của hình
(H)
V H   176

B.

V H   275

V H   192

D.

V H   740

A.
C.

Đáp án A
Phương pháp: Thể tích khối (H) bằng thể tích hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính
đáy hình trụ ban đầu, chiều cao bằng trung bình cộng của 8 và 14.
Cách giải Khối
(H) có thể tích bằng thể tích hình trụ chiều cao 11 và bán kính đáy
1
102  6 2  4
V   .42.11  176
2
nên  H 

Câu 3 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
tâm O, AB  a, BAD  60 SO   ABCD  và mặt phẳng
600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD


VS . ABCD

A.
:Đáp án C

3a 3

12

0

B.

VS . ABCD 

3a 3
24

C.

VS . ABCD 

Gọi M là trung điểm CD, OH  CD tại H
Có BCD đều cạnh a nên BM  CD
Góc giữa

(SCD) tạo với mặt đáy một góc

0
(SCD) và (ABCD) là góc SHO  60

3a 3
8

D.

VS . ABCD 

3a 3
48


BM 

a 3
a2 3
a2 3
; S BCD 
; S ABCD  2S BCD 
2
4
2

OH 

BM a 3
3a

; SO  OH .tan 600 
2
4
4

1
a3 3
VS . ABCD  SO.S ABCD 
3
8

Câu 4 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) : Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình
chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao
nhiêu?
A. min V  4 3
B. min V  8 3
C. min V  9 3
D. min V  16 3
Đáp án B
Phương pháp: Trong các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu, hình tứ diện đều
có thể tích nhỏ nhất
Cách giải: Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh a.
Bán kính mặt cầu nội tiếp

r

a 6
1� a  2 6
12

V

a3 2
8 3
12

Thể tích tứ diện đều đó là
Câu 5 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hình chóp
S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân,
AB  AC  a, SC   ABC 

và SC  a . Mặt phẳng qua C
vuông góc với SB cắt SA SB , lần lượt tại E, F. Tính
thể tích khối chóp S.CEF
A.

VS .CEF 

VS .CEF 

C.
Đáp án B

2a 3
36

B.

VS .CEF 

3

a
18

D.

VS .CEF 

a3
36
2a 3
12

Ta chứng minh được CEF vuông tại E và SF   CEF  .
2
2
2
2
Ta có: BC  AB  AC  a 2; SB  SC  BC  a 3

CBS vuông tại C có CF  SB nên
CSA vuông cân tại C nên
CEF vuông tại E nên

EC  ES 

SF 

SC 2
a
CS .CB a 6

; CF 

SB
SB
3
3

SA a 2

2
2

EF  CF 2  CE 2 

1
1
a3
VS .CEF  SF .SCEF  SF .CE.EF 
3
6
36
Suy ra

a 6
6


Câu 6 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Gọi (H)
là phần giao nhau của hai khối một phần tư hình trụ
có bán kính bằng a (xem hình vẽ bên). Tính thể
tích của (H)
A.
C.

V H  
V H  

a3
2
3a
4

B.
3

D.

V H  

2a 3
3

V H  

 a3
2

Đáp án B
Thể tích của khối (H) được chia thành thể tích của rất
nhiều lát mỏng hình vuông song song với hình vuông
đáy của (H).
Lát mỏng hình vuông có độ cao x thì có cạnh là

a2  x2

do đó có diện tích là a  x
Lấy tổng tất cả thể tích của những “lát mỏng” này ta được thể tích hình
2

2

a


�a
V H   �
 a 2  x 2  dx  �a 2 x  x3 �0  23a


0
3

(H):

3

Câu 7

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
AB  a; AD  2a và AA '  3a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’.

a 3
A. 2

a 14
B. 2

Đáp án B
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ chính là
mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
1
AC '
ABCD.A’B’C’D’: OC bằng 2
2
2
2
2
2
Ta có: AC '  AC  AA '  AC  CB  AA '

 a   2a    3a 2   a 14
2

a 6
C. 2

a 3
D. 4


OC 

a 14
2

Suy ra
Câu 8: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình chóp S.ABC có

(SAB),

(SAC) cùng

0

vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60 , đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B với BA  BC  a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối đa
diện AMNBC?
a3 3
A. 4

Đáp án D
Do có (SAB),

a3 3
B. 6

a3 3
C. 24

a3 3
D. 8

(SAC) cùng vuông góc với đáy nên SA vuông góc với đáy.

0

Góc SBA chính là góc của SB tạo với mặt đáy và bằng 60
0
Xét tam giác SBA: SA  AB.tan 60  3a

1
1
1
3 3
V  SA.S ABC  a 3. a.a 
a
3
3
2
6
Thể tích hình chóp S.ABC:
VSAMN SM SN 1 1 1

.
 . 
V
SB
SC
2 2 4
SABC
Xét tỉ lệ:
3
3 3 3
3 3
VAMNBC  VSABC  .
a 
a
4
4 6
8
Suy ra

Câu 9 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là
(O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn
tích khối trụ đã cho ?
3

3
B. 4a

A. 2a
Đáp án D

3
C. 6a

3
(O’) là a , tính thể

3
D. 3a

1
V1  hs  a 33
3
công thức tính thể tích khối nón:
3
Công thức tính thể tích khối trụ: V  hs  3a

Câu 10:

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại C với CA  CB  a; SA  a 3; SB  a 5 và SC  a 2 . Tính bán kính R của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC?
a 11
A. 6

a 11
B. 2

Đáp án B
- Ta sẽ dùng phương pháp đánh giá đáp án
- Dựng hình như hình vẽ, J là tâm khối cầu
ngoại tiếp hình chóp
5
�1,12.
2
Loại A và D vì quá nhỉ
11
r
a.
2
- Còn B và C. Giả sử
SJ  SI 

a 11
C. 3

a 11
D. 4


Xét tam giác SLJ vuông tại L. JL  2a
- Xét tam giác SIJ vuông tại I:

IJ 

6
a
2

- Xét tam giác JIL vuông tại I thì có LJ có cạnh huyền.
IL 

IL 

2
a
2

1
2
AB 
a.
2
2
Suy ra trường hợp này thỏa mãn.

- Mà theo lí thuyết
Câu 11
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) : Xét các hình chóp S.ABC thỏa mãn
SA  a; SB  2a; SC  3a với a là hằng số cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối

chóp S.ABC?
3

3
B. 2a

A. 6a
Đáp án C

3
C. a

3
D. 3a

1
� �1 SB.SC  1 2a.3a  3a 2
S SBC  SB.SC .sin BSC
2
2
2

Gọi H là hình chiếu của A lên
Nhận thấy

AS �
AH

V

(SBC)

1
a.3a 2
3

a3

Câu 12: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi
cạnh a . SA  SB  SC  a , Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S . ABCD
là:
a3
a3
3a 3
a3
A. 8 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 2 .
Đáp án D
Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC  x .
Gọi O  AC �BD .
Vì SA  SB  SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC . � H �BO .
2

4a 2  x 2
4a 2  x 2
�x �
OB  a 2  � � 

4
2
�2 �
Ta có

1
1
4a 2  x 2 x 4a 2  x 2
S ABC  OB. AC  x.

2
2
2
4


HB  R 

a.a.x

4S ABC

a2 x
4.



x 4a 2  x 2
4

SH  SB 2  BH 2  a 2 

a2
4a 2  x 2

.

a
a 3a  x 2

4a 2  x 2
4a 2  x 2
4

2

1
2 a 3a 2  x 2 x 4a 2  x 2
VS . ABCD  2VS . ABC  2. SH .S ABC  .
.
3
3 4a 2  x 2
4





1
1 �x 2  3a 2  x 2
 a x. 3a 2  x 2 � a �
3
3 �
2

Câu 13:

� a3
�
� 2

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng

trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là:
1
1
1
1
A. 2 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 7 .
Đáp án D
1
�V   R 2 .OI
3
Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI .
Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại N . Khi
đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính
2

1 �R ��OI �  .R 2 .OI
R
OI
� V1   � �� �
.
r
3 �2 ��2 �
24
2 , có chiều cao là 2
Phần dưới là khối nón cụt có

thể tích

V2  V  V1 

 R 2 .OI  R 2 .OI 7 R 2 .OI


.
3
24
24

 R 2 .OI
V1
1
24


2
V2 7 R .OI 7
24
Vậy tỉ số thể tích là:
Câu 14:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Xét các hình chóp S.ABC có
SA  SB  SC  AB  BC  a . Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp S.ABC bằng:

a3
B. 4

a3
A. 12

a3
C. 8

3 3a 3
D. 4

Đáp án C
Cho a  1 và đặt

x�
ABC  00  x  1800 

theo định lí hàm cosin

1
S  sin x
2
, ta có diện tích tam giác ABC là


AC  2  1  cos x 

ABC, bán kính đường tròn này là
Vì S cách đều A, B, C nên

R  OB 

SO   ABC 

. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
2  1  cos x 
AB.BC.CA
1  cos x


4S
2sin x
2 sin x



SO  SB 2  OB 2 

2sin 2 x  cos x  1
2sin 2 x


Thể tích của khối chóp S.ABC cho bởi
1 1
2sin 2 x  cos x  1
1
V  . sin x.

2sin 2 x  cos x  1
2
3 2
2sin x
6 2
2

1 � 9
1
9 1

a3

 � 2 cos x 


.


6 2
2 2 � 8 6 2 8 8 . Vậy thể tích lớn nhất bằng 8

1

Cách khác:
Ta có

VS . ABC 

SA.SB.SC
�  cos2 CSA
�  2cos �
� cos CSA

1  cos 2 �
ASB  cos 2 BSC
ASB cos BSC
6



a3
�  2cos 60.cos 60.cos CSA

1  cos 2 60  cos 2 60  cos 2 CSA
6



a3
6

3
3
1
9 a3
�  1 cos CSA
�  a
�  cos CSA
� 1 � a
 cos 2 CSA
2cos 2 CSA

2
2
6 2
6 2 8 8

a3
Do đó thể tích lớn nhất của hình chóp là 8

Câu 15:

3
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối chóp S . ABCD có thể tích bằng a .

Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a
khoảng cách giữa SA và CD .
2a

A. 2 3a .
B. a 3 .
Đáp án A
Vì đáy ABCD là hình bình hành

C.

3.

a
D. 2 .

1
a3
� VSABD  VSBCD  VS . ABCD 
2
2 .

Ta có: Vì tam giác SAB đều cạnh a



S SAB 

a2 3
4

Vì CD P AB � CD P SAB  nên


d  CD, SA   d  CD,  SAB    d  D,  SAB  

3VSABD
S SBD

a3
 2 2  2 3a
a 3
4
.
3.

Câu 16 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình trụ có trục OO�
, thiết diện qua trục là
a
P


một hình vuông cạnh 2a . Mặt phẳng
song song với trục và cách trục một khoảng 2 .
Tính diện tích thiết diện của trụ cắt bởi
2
A. a 3 .
Đáp án C

2
B. a .

 P .
2
C. 2a 3 .

2
D.  a .


 P  song song với trục nên cắt hình trụ theo
Mặt phẳng
thiết diện là hình chữ nhật có một kích thước là 2a . Kích
2

�a �
2 r 2  d 2  2 a2  � �  a 3
�2 �
thước còn lại là
, trong đó

r  a bán kính đáy và
 P .
mặt phẳng

d

a
2 là khoảng cách từ trục đến

2
Diện tích thiết diện là 2a 3.

Câu 17 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước
là a, b, c. Tính bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó theo a,
b, c. Chọn đáp án đúng là:
a2  b2  c2
4

a2  b2  c2
2

a2  b2  c2
3

a2  b2  c2
8

A.
B.
C.
D.
Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ta có
OA  OB  OC  OD  OA '  OB'  OC'  OD'  R
Vậy O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của 3 hình hộp ABCD.A'B'C'D'
2
2
+ Tam giác vuông ABC: AC  a  b
2
2
2
2
+ Tam giác vuông A'AC: A 'C  a  c  b

� A 'C  a2  b2  c2

�R

A 'C
a2  b2  c2

2
2

Chọn B
Câu 18: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho một hình hộp chữ nhật có 3 mặt
có diện tích bằng 12, 15 và 20. Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó
A. V = 960
B. V = 20
C. V = 60
D. V = 2880
Chọn C
V  S S S3

1 2
Tính chất: Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức
S ,S ,S
với 1 2 3 là diện tích các mặt (đôi một chung cạnh) của hình hộp đó.
Áp dụng tính chất, ta có V = 60

Câu 19 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho khối chop S.ABC có đáy ABC là tam
giác vuông cân, AB = AC = a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC
2
1
4
V  a3
V  a3
V  a3
3
2
2
3
A.
B.
C.
D. V  a
Chọn B

1
1
1
VS . ABC  SA.S ABC  SA. AB. AC  a 3
3
6
3 .



Câu 20:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)
Cho hình chữ nhật ABCD có
AB  4, AD  8

(như hình vẽ). Gọi M, N,
E, F lần lượt là trung điểm BC, AD, BN
và NC. Tính thể tích V của vật thể tròn
xoay khi quay hình tứ giác BEFC
quanh trục AB.
A. 90
B. 96
C. 84
Chọn B

D. 100

V
Gọi H là trung điểm của AB và 1 là thể tích khối tròn xoay cần tìm.
Khi quay hình thang BCFH quanh trục AB ta được
Khối nón cụt có bán kính đáy lớn R  BC  8
, bán kính đáy nhỏ r  HF  6 và chiều cao
h  AH  2 � V 

h
296
. R 2  r 2  Rr  
3
3

Khối nón cụt tạo bởi hai khối tròn xoay:
Quay tứ giác BEFC quanh trục AB có thể tích

V1

V
Quay tam giác BEH quanh trục AB có thể tích 2
296 22.2
V  V1  V2 � V2  V  V1 

 96
3
3
Vậy thể tích

Câu 21 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho một hình nón có góc ở đỉnh bằng
90o và bán kính đáy bằng 4. Khối trụ (H) có một đáy thuộc đáy của hình
nón và đường tròn đáy của mặt đáy còn lại thuộc mặt xung quanh của hình
chóp. Biết chiều cao của (H) bằng 1. Tính thể tích của (H)
A. VH  9
B. VH  6
C. VH  18
D. VH  3
Chọn A
Thiết diện qua trục của hình nón và hình trụ có dạng như hình bên, với A là
đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón, O là tâm đáy, D là 1 giao điểm của
đường tròn đáy hình trụ với BC
Có góc BAC  90 , OB  OC  OA  4
Chiều cao hình trụ bằng 1 nên áp dụng
0

định lý Ta lét ta có OC  4CD � CD  1
⇒ Bán kính đáy hình trụ là r  OD  3
2
Thể tích hình trụ là V   r h  9
Câu 22 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là
một tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SB tạo với mặt đáy
một góc 45o. Tính thể tích V của hình chóp S. ABC


V

A.
Chọn D

3a 3
2

B.

V

3a 3
4

C.

V

3a 3
6

D.

V

3a 3
12

0
Góc giữa SB và (ABC) là góc SBA  45
Hình chóp S. ABC có diện tích đáy là
diện tích tam giác đều cạnh a và bằng

S

a2 3
4

SA  AB.tan 450  a
1
3a 3
� VS . ABC  SA.S ABC 
3
12

Câu 23 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông tâm O, AB = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt
phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.
V

A.
Chọn C

3 3a 3
4

B.

Gọi H là trung điểm

V

3a 3
8

C.

V

3a 3
4

D.

V

3a 3
12

OA � SH   ABCD 

Vẽ HE  CD tại E � HE / / AD

(SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến
CD   SHE 
CD và
nên góc giữa (SCD) và
0
(ABCD) là góc SEH  60
HE 

3
3a
AD 
4
4

SH  HE.tan 600 

3a 3
4

1
a3 3
VS . ABCD  SH .S ABCD 
3
4

Câu 24 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Một hình nón có đỉnh S, đường cao SO,
gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ AB đến

O �
o
O bằng a và góc SAO =30 , SAB =60 , Tính diện tích xung quanh nón.
S  2 a 2 3
A. xq
Đáp án C

B.

S xq  3 a 2 3

C.

S xq   a 2 3

Gọi I là trung diểm của AB thì OI  AB, SI  AB, OI  a .

D.

S xq  4 a 2 3


�  1 SA
�  3 SA AI  SA cos SAI
OA  SA cos SAO
2 .
2
Ta có:
,
AI
1
AI
� � sin IAO
�  6 a

 cos IAO
3 . Mặt khác AO
3
OA
Từ đó AO
Vậy

OA 

3a a 6

2
6
SA 

OA
a 6 2

.
a 2
0
cos 30
2
3

Xét tam giác SAO , ta có:
Từ đó diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

a 6
.a 2   a 2 3
2
Câu 25 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Diện tích và chu vi của một hình chữ
nhật ABCD
(AB > AD) theo thứ tự là 2a 2 và 6a. Cho hình chữ nhật quay
quanh cạnh AB một vòng, ta được một hình trụ. Tính thể tích và diện tích
xung quanh của hình trụ này.
S xq   .OA.SA   .

3
2
A. 4 a ;4 a

3
2
C. 2 a ;2 a

3
2
B. 2 a ;4 a

3
2
D. 4 a ;2 a

Đáp án B
Nếu ta xem độ dài của các cạnh AB và AD như là các ẩn thì chúng sẽ là các
nghiệm của phương trình bậc hai x  3ax  2a  0.
Giải phương trình bậc hai này, đối chiếu với điều kiện của đề bài, ta có:
AB  2a và AD  a
2
3
+ Thể tích hình trụ: V   AD .AB  2 a
2

2

S  2 AD.AB  4 a2
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: xq
Câu 26 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là

tam giác vuông tại C, AB  5a, AC  a . Cạnh SA  3a và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Thể tích khối chóp S . ABC bằng
3

A. a
Đáp án A

5 3
a
B. 2

3
C. 2a

2
2
Ta có BC  AB  AC  2a

1
1 2a 2
VS.ABC  SA.SABC  3a.
 a3
3
3
2
Do đó
Câu 27 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình
chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a,

3
D. 3a


khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD
3a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

bằng
A.

3a 3
3

3
B. 4 3a

4 3a 3
3
D.

3

C. 3a
Đáp án D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
Ta có

AB || CD � CD ||  SAB 

� d  SA;CD   d  CD;  SAB    2.d  O;  SAB    a 3

Gọi M là trung điểm của AB, kẻ
Khi đó

OK  SM  K �SM 

OK   SAB  � d  O;  SAB    OK 

a 3
2

1
1
1


� SO  a 3
2
2
OM
OK 2
Xét SMO vuông tại M, có SO

1
4 3 3
V  SO.SABCD 
a
3
3
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là
Câu 28:
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
AB  AC  a, BC  a 3. Cạnh bên AA '  2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
AB’C’C bằng

A. a
B. a 5
C. a 3
Đáp án B
Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
AB’C’C cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối
lăng trụ dứng đã cho
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Đường thẳng qua O vuông góc với
(ABC)
cắt mặt phẳng trung trực của AA’ tại I. Khi
đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

D. a 2

AB2  AC 2  BC 2
1

cos A 

2.AB.AC
2
Mặt khác
BC
a 3

 2a
2
2
2
2
2sin A sin1200
Ta có:
do đó R  IA  OI  OA  4a  a  a 5
Câu 29: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho tứ diện S.ABC trên cạnh SA và SB
SM 1 SN
 ;
2
lấy điểm M và N sao cho thỏa tỉ lệ AM 2 NB
, mặt phẳng đi qua MN
và song song với SC chia tứ diện thành hai phần, biết tỉ số thể tích của hai
phần ấy là K, vậy K là giá trị nào?
R ABC 


K

2
3

4
9

K

K

5
9

K

4
5

A.
B.
C.
D.
Đáp án D
Qua M kẻ MF song song với SC và qua N kẻ NE song song với SC với E và F
thuộc CA và CB. Khi đó thiết diện cần tìm là hình thang MNEF.Đặt

VS . ABC  V ; VMNEFCS  V1; VMNEFAB  V2
V1  VSCEF  VSFME  VSMNE
Ta có:

VSCEF CF CE 1 2 2

.
 . 
V
CA CB 3 3 9
VSFME CM SE SM 1

.


VSFEA
SE CA SA 3
VS .FEA S FEA S FEA SCEA FA CE 4


.

.

V
S ABC SCEA S ABC CA CB 9
VSFME 1 4 4
 .  V
V
3 9 27
VSMNE SM SN 2

.

VSABE
SA SB 9



VSMNE SBEA S BEA SAEC EB CE 1


.

.

V
S ABC S AEC S ABC CE CB 3
2
V
27
2
4
4
� V1  V  V  V
9
27
9
V1 4

V2 5
� VS . ABE 

Câu 30

(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 3 . Biết diện tích tam giác SAB là
a2 3
2 , khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
a 10
A. 5

a 10
B. 3

a 2
C. 2

Chọn C.
Gọi O là tâm đáy  BO  AC


Mà BO  SA nên
Ta có ABO vuông cân ở O

BO  SAC

.

(SAC) là
a 2
D. 3


2S
1
SABC  SA.AB � AB  SAB  a
2
SA
AB a 2
� d B; SAC  BO 

2
2





Câu 31 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB =
4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể
tích là:
125 2
3
B.

A. 25 2
Chọn B.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, AB.

10 2
C. 3

5 2 3
D. 3

Vì SAB vuông góc tại S nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB . Trong mặt phẳng
(MSN) dựng hình chữ nhật MSNO thì ON là trục đường tròn ngoại tiếp SAB và OM là
đường trung trực của đoạn SC trong mặt phẳng (OSC).
Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
1
1
5
1
5
BN  AB 
SA 2  SB2  ; ON  MS  SC 
2
2
2
2
2

Bán kính và thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là
5 2
4
125 2
; V  R3 
.
2
3
3
Câu 32 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M,
R  OB  ON 2  BN 2 

N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thành
một hình trụ. Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, ta có
bán kính của mặt cầu (S) là:
a 6
A. 3

a 6
B. 2

a 6
C. 4

D. a 6

Chọn C.
Mặt trụ tạo bởi hình vuông ABCD khi quay quanh MN có đường sinh 1=a và bán kính đáy
r

a �a � 3a2 
a
Stp  2r  r  h  2. �  a�
2 �2
� 2
2 nên có diện tích toàn phần


4R 2 

S

3a2 
a 6

2
4

Mặt cầu (S) có diện tích bằng tp của mặt trụ thì có bán kính R với
Câu 33 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A 1B1C1 có
tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:
A.

V

a3 3
12

B.

V

a3 3
24

C.

V

a3 3
6

D.

V

a3 3
8

Chọn B.
ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích

AM 

SABC 

a2 3
4

AA1 a

2
2

Ta có
Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung đỉnh C, diện
tích hai đáy MAB và MA 1B bằng nhau nên có thể tích
bằng nhau, suy ra
1
a3 3
VM.BCA  VM.ABC  AM.SABC 
1
3
24
Câu 34 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật

tâm O với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng a 2 . Thể
tích khối chóp S.ABCD là:
a3 3
A. 3

a3 3
B. 4

a3 3
C. 2

3
D. a 3

Chọn A.
Ta có

SO   ABCD

tại O với O là tâm hình chữ nhật ABCD

1
1
a 5
AO  AC 
AB2  BC2 
2
2
2
a 3
SO  SA 2  AO2 
2
1
a3 3
VS.ABCD  SO.AB.BC 
3
3

Câu 35 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Một khối hộp chữ nhật ABCD.A 1B1C1D1 có đáy
ABCD là một hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32, thể tích lớn nhất
mà khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là bao nhiêu?
56 3
A. 9

70 3
B. 9

64 3
C. 9

Chọn C.
Gọi x là cạnh hình vuông đáy của hình hộp, y là chiều cao hình hộp
Diện tích toàn phần của hình hộp đó là

80 3
D. 9






Stp  2 x2  2xy  32 � x2  2xy  16 � xy 

16  x2
0
2

16  x2 1
V  x2 y  x.xy  x.
 16x  x3
x � 0; 4 
2
2
Thể tích hình hộp là
với
4
f ' x  16x  3x2  0 � x 
3

f  x  16x  x
0; 4�
3





Xét hàm số

trên



, ta có

�4 � 128 3
128 3
ff 0   0 � � �
;f  4   0 � maxf  x 


0
;
4
9
� �
�3� 9


1 128 3 64 3
.

.
9
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp là 2 9

Câu 36 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB  a 3 ,BC  a. Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).
h

a 15
5

A.
Chọn A

B.

h

a 5
3

Gọi M, H lần lượt là trung điểm BC, AC. Ta có

C.

h

2a 5
3

SH   ABC 

HK   SBC
Vẽ HK  SM tại K, ta có







D.

h

2a 15
5

tại H, HM  BC



d A; SBC  2d H; SBC   2HK

AB a 3

2
2
3
3
3
SH 
AC 
AB2  BC2 
.2a  a 3
2
2
2
1
1
1
a 15


� HK 
2
2
2
5
HK
HS HM
2a 15
� d A; SBC 
5
MH 





Câu 37 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu
tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:
a 6
A. 12

a 6
B. 6

a 6
C. 3

Chọn A.
Gọi H là tâm tam giác đều BCD. E là trung điểm CD.
Ta có AH
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp
xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:
AH  (BCD)

a 6
D. 8


Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt
cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao
của AH và phân giác góc AEB của AEB . Ta có
a 3
BE a 3
;HE 

2
3
6
a 6
AH  AE 2  HE2 
3
AE  BE 

Áp dụng tính chất đường phân giác:
IH EH
IH
EH



IA EA
IH  IA EH  EA
EH.AH a 6
� r  IH 

EH  EA
12
Câu 38 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có

BD  13,BA1  29 ,CA1  38

. Thể tích của khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là:
C. 20
D. 30

A. 10
B. 15
Chọn D.
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông, ta có:
BC  CA 12  BA 12  3
AB  CD  BD2  BC2  2
AA 1  BA 12  AB2  5
� VABCD.A B C D  BC.AB.AA1  30
1 1 1 1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×