Tải bản đầy đủ

PHẦN i

268 BÀI TẬP
BỒI DƯỠNG HỌC SINH
GIỎI



MAI TRỌNG
MẬU

PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh V7 là số vô tỉ.
2.
a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 < (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a > 0, b > 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : ——b > Vâb .
b)
c)
5.
6.
7.

8.

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : — + — + —b > a + b + c
abc
Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a 3 + b3.
Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc > ab(a + b + c)
Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : |a + b| > |a - b|

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 > 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) > 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 < 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 < 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x - 3 | = | 1 - x | b) x2 - 4x < 5
c) 2x(2x - 1) < 2x - 1.
2
2
2
2
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a + b + c + d = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 - 3a - 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ
nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14.
Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 - 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15.
Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 - 2a + 8y - 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =
............................... x2 - 4x + 9
17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
a) V7 + VĨ5 và 7
c)

23

b) Vn+V5+1 và VĨ5


3

d) và

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn V2 nhưng nhỏ hơn V3
19. Giải phương trình : V3x2 + 6x + 7 + V 5x2 + 10x + 21 = 5 - 2x - x2.
21. Cho S =

V1.1998 + V 2.1997

+ .... +

1 1 Vk(1998 - k +1)

...

1998 -1 .

1998
Hãy so sánh S và 2.

1999

20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
22.
Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì Vã là số vô tỉ.

Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

3


a) x + y > 2
yx
b)

2
2
,y
2 +2
èy
x2 0
x



\
(
x— , y
>0
+
x
èy
0

4
2
2
X
X+y
x+y
- + -Y
+
4^
4
2^
2
.2
èyx
.y x x 0 èy x 0
24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
4

c)

> 2.

a) Vl + V2
b)

m+

3

_
với m, n là các số hữu tỉ, n Ỷ 0.

n
25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
2 2 xy
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng :
2+2 +4>3
2 2
y x

x
y
z
2+2+2>
2

27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng :

2

y

2

2
z

2

2

x

yx0
x
y z
+ + .
y

z

x

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 < 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 < 3(a2 + b2 + c2)
c) (ai + a2 + + an)2 < n(ai2 + a2 2 +......................+ an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b < 2.
31. Chứng minh rằng : [ x ] + [ y] <[ x + y].
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =
x2 - 6x +17
.xyz
A=
+ + với x, y, z > 0.
yzx
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z > 0 ;
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

, ,a
a) ab và
b)

a + b và

b

x + y + z = 1.

là số vô tỉ.
a

là số hữu tỉ (a + b Ỷ 0)
b
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b Ỷ 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc > ab(a + b + c)

- —I—b + -------------1—d > 2
b+cc+dd+aa+b
39. Chứng minh rằng [ 2x ] bằng 2 [ x ] hoặc 2 [ x ] +1
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ... ; a + 15n. Chứng
minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :


A=Vx2 - 3 B =

1

1

C=

2

x + 4x - 5

D=

1

E = x + - w-2x
1-x -3
2

x ^/2X-r

x

G = V3x -1 - V5x - 3 + Vx2 + x +1
42.
a) Chứng minh rằng : | A + B | < | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M = Vx 2 + 4x + 4 + Vx2 - 6x + 9 .
c) Giải phương trình : V4x2 + 20x + 25 + vx2 -8x +16 = Vx2 + 18x + 81

A = V x2 + x + 2 E
=

B=

45. Giải phương trình :

D=

1
Vx2 - 5x + 6

H = Vx2 -2x-3 + 3 y f ĩ

G = ^ + vx-2

1

V2x +1
+1 +

C = 2-V 1 - 9x2

1
V1 - 3x
x4

-x

2

x2 - 3x
Vx - 3 = 0

43.
Giải phương trình : 2x2 - 8x - 3>/x2 - 4x - 5 = 12.
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = Vx + x .

47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = V3 - x + x
48.
và V3 -1

So sánh : a) a = V2 + y Ị 3 và b= 1 b) ^ 5

-yfl3

+

V27

-

2
c) Vn + 2 - Vn +1 và Vn+1 - x/n (n là số nguyên dương)

49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : A = 1 - V 1 - 6x + 9x 2 + (3x -1)2.
50.

Tính : a) V4 -2 / 3

1 0 V2
d) A = Vm2 + 8m +16 + Vm2 -8m +16
> 1)

,
51. Rút gọn biểu thức : M =

b) V1 1 + 6^2

e) B = vn + 2x/n-1 + Vn-2x/n-1 (n
W4Ĩ

.

45 + W41 + 45 - W41

52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x - y) 2 + (y - 2)2 + y j (x + y + z)2 = 0
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = V25x 2 - 20x + 4 + V25x2 - 30x + 9 .
54. Giải các phương trình sau :
a) Vx2 - x - 2 - Vx - 2 = 0
d)

x -Vx4 - 2x2 +1 = 1

b) Vx2 -1 +1 = x2

c) Vx2 - x + vx2 + x - 2 = 0

e) Vx2 + 4x + 4 + |x - 4| = 0

h) Vx2 - 2x +1 wx2 - 6x + 9 = 1
k) Vx + 3- Wx-1 + Vx + 8-6x/x-1 = 1

g) Vx - 2 + Vx - 3 =-5

i) Vx + 5 + V2 - x = x2 - 25
l) A/8X +1 + V3x-5 = V7x + 4 + V2x-2

c)


,
r
2+ 2
y
55.
Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: — — > 2 V2 .
xy
56. Rút gọn các biểu thức :

a)

'^13—3 0 ^ / 2 — y f 9—W2

b) Vm—2 y j m -1 — y j m -

24

m -1

cW2WĨẬ — 4 2 ' Ặ + y j 2— V2W3' Ặ ->/2— V2W3
62
Chứng minh răng

57.

2 —3 =—

d) V2 2 7 -3 ^ / 2 — V 123—2 2 V2
.

58. Rút gọn các biểu thức :
6—2 (Vó W3 W2)-^ 6 - 2 (Vó -V3 —V2)
a) C =

V9-6/2 -V6

3

2
59. So sánh :



a) VVó W20 vWĨW6
b) VV1 7 —1 2 / 2 vàV2 —
1 c) VV2 8 -16V? vàV3 - 2

b) D =
111
2

2

a b c

2

———

2

60. Cho biểu thức : A = Vx - x - 4x — 4
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : a) V 11 - 2VĨ 0
c)

43

11 — 6 2 ->

42 !6 —

b) V9 - 2 V1 4

/5 —2
6
7—

2410

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ì 0. Chứng minh đẳng thức :
63. Giải bất phương trình : Vx2 - 16x — 60 < x - 6.
64. Tìm x sao cho : Vx2 - 3 — 3 < x2.
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết răng :
x2(x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = 1 ’ (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
a) A =

1

x-V 2x -1

b) B — — 1ỏ - x — Vx2 - 8x—8 .
2x — 1

x wx2 - 2x x - Vx2 - 2x
67. Cho biểu thức : A =
.
x - x2 - 2x x — x2 - 2x
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : -y/0,9999....9 (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - V2 | + | y - 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết răng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số : vn — Vn — 2 và 2Vn+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?

111
——
abc


72. Cho biểu thức A = V7 + 4\/3 + V7 — 4\/3 . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : (V2 + V3 + V5)(V2 + V3 — V5)(V2 — V3 + V5)(—V2 + V3 + V5)
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

V

45 ; A/3 — V2

3+

;2

V

2 + 3

75. Hãy so sánh hai số : a =:

V2
3 V3
— 3 và b=2V2 —
1 ; V2 76. So sánh V4 + V7 — ^ [ Ã — J 7 — V2 và số 0.
+ V5 và
2+-\/3+46+V8+ 4
77. Rút gọn biểu thức : Q = -

2 +3 +

44

'

78. Cho P = V14 +

440

+ 4 5 6 + V140 . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai

79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : X^/Ĩ — y2 + y VT — X2 = 1.
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A = V1 — X + V 1 + X .
81. Tìm giá trị lớn nhất của : M = (va + - I b )2 với a, b > 0 và a + b < 1.
82. CMR trong các số 2b + c — 2Vâd ; 2c + d — 2Vâb ; 2d + a — 2 Vbc ; 2a + b — 2Vcd có ít nhất hai số
dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức : N = V

446

+ 8 V3 + 4 V2 +18 .

84. Cho X + y + z = VXỹ + vyz + Vzx, trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y =
85. Cho a15 a2, ..., an > 0 và a1a2^an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)...(1 +

z.
an)> 2n.

86. Chứng minh : (Vã + Vb) > 2^2(a + b)Vâb (a, b > 0).
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có
độ dài va, Vb, Vẽ cũng lập được thành một tam giác.
Vâb — Vb2
a
88. Rút gọn : a) A =
b) B =
b
b

V(X + 2)2 — 8X
+2r — VX

a2 + 2

89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :

—-2
X
> 2 . Khi nào có đẳng thức ?

Va2 +1
90. Tính : A = V3 + V5 + v3 — V5 bằng hai cách.
91. So sánh : a)
92. Tính : P =

347 + 542
và 6,9

s
2 + N/3
2 + V3

42 + v 2
43

2—

+

43 2

b) V1 3 — V1 2 và

47—

43 46
— V 2

243

Giải phương trình : V
.
—x + 2 + 3/2X — 5 + 4X — 2 — V2X — 5 =
.,i,
^
1.3.5...(2n — 1)
1
94. Chứng minh rằng ta luôn có : P =
<
; "n e Z+
n
2.4.6...2n 2n +1
93.


> 0 thì Vã + Vb £ — + — .
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì Vã + Vb £
Vx-V 4(x-1) + v x + V4ÕX -1)
96. Rút gọn biểu thức :

ba

x2 - 4(x -1)

A=

'1 -1'
x-1

Wb

97. Chứng minh các đăng thức sau : a)
b)
b)

ịVĨ4-V7
è1- 42 +

:

Vãb

VĨ5-V5'ì 1
1-V5 J :V7 -V5 _2

_

2
c)

va - Vb

= a - b (a, b > 0 ; a Ỷ b)

, ị. a+ vaỴ.
è1 + va+1 A1

a-Va
va -1

_1-a

0).
Tính : a) ^ 4 5 - y Ị Ĩ - ỹ l 29 - W2Õ
; b) 2 ^ / 3 + v5 -y/13 + V48 .

98.

c) ịjv7w4f -V V2 8 - 16VĨ1 Vv7w48.
è
0
So sánh : a )

99.

45

45 và V15

+

b)V
25+ .V
Vb5
d) -16 và
2 5và 2V1 2 + V7
c) VÌ8 + V1 9 và 9
100. Cho hằng đăng thức :

a + Va2 - b

a - a2 - b , ,

Va ± Vb _
Áp dụng kết quả để rút gọn :
a)

,

2^yj
+ V5

42 +v 2 +V5

^yj
2- 4 5

;

V + 245
- -

Ế - 2'Ỉ2 -

3

2 V 2 v3 17

+

V 17
2
2 V112
0 V+V50
-242-46

c)

b)

„,2,
.
(a, b > 0 và a2 - b > 0).

12V 2

2

V
2450 - 242
3 -1
101. Xác định giá trị các biểu thức sau :
_ xy -Vx2 - Wy2 -1 ới _ 1 f
_ 2 2 với x _ xy + x2 -1. y -1

a) A) A

b) B _

a + bx + V a - bx ,.
a + bx - a - bx

2

a+
với x _

1 \

è a - ,0
b ( 1 + m2)
2am

>y_

1

2

b+è b (a > 1 ; b > 1)

m| < 1.

2

, 2x - x -1
102. Cho biểu thức P(x) _
3x2 - 4x +1
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biểu thức A _

x+2-4x-2+x+2+4x-2
Ễ-ri

(a >


104.

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:

a) V9 - x2 b) Vx - x (x > 0)
e) 1 - 2 V 1 - 3x

105.

g) V2x2 - 2x + 5

c) 1 + V2 - x

d) Vx - 5 - 4

h) 1 - V-x2 + 2x + 5 i) 1

2x - x + 3

Rút gọn biểu thức : A = V x + V 2x -1 - V x - V 2x -1, bằng ba cách ?

106.

Rút gọn các biểu thức sau : a) ^ / 3 + 5 ^ / 4 8 - 1 0 V7 +

b) V4 +V1 0 + 2 /?+ v4-VĨÕ+2/?

107.

c) V9 4 -4 2 / 5 ^ / 9 4 + 4 ^ 5 .

Chứng minh các hằng đẳng thức với b > 0 ; a > >/b
a)

Va + Vb ± ^ | ã — J b = ^2 (a ±va2 - b)

b) Va ± Vb

a - Va2 - b

a + va — b

108.

Rút gọn biểu thức : A = Vx + 2>/2x - 4 + V x - 2V2x - 4

109.

Tìm x và y sao cho : V x + y - 2 = vx + VỸ -V2

110.

Chứng minh bất đẳng

2
a+b+c
c
>

-+
b + c +c + a a +- b 2
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

a) Va +1 + Vb +1 + Vc +1 < 3,5
b) Va + b + Vb + c + Vc + a £ V6 .
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :

113. CM :
114.
115.
116.
117.

a

2

b2

a2 + c2)(b2 + c2) + y j (a2 + d2)(b2 + d2) >(a + b)(c + d) với a, b, c, d > 0.

thức : Va 2 + b 2 + Vc 2 + d 2 >
a + c)2 +(b + dV .
Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x + vx.
(x + a)(x + b)
Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =
.
x
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 < 5.
Tìm giá trị lớn nhất của A = x + V2 - x .

118. Giải phương trình : Vx -1 - V 5x -1 = V3x - 2
119. Giải phương trình : Vx + 2 Vx -1 + V x - 2Vx -1 = 2
120. Giải phương trình : 3x2 + 21x +18 + 2Vx2 + 7x + 7 = 2
121. Giải phương trình : V3x2 + 6x + 7 + V 5x2 + 10x +14 = 4 - 2x - x2
122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : V3 - V2

;

123.
Chứng minh
x - 2 + V4 - x £ 2 .
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :
Va2 + b2 .Vb2 + c2 > b(a + c) với a, b, c > 0.

2 V2 + > / 3


125. Chứng minh V(a + b)(c + d) > vac + Vbd với a, b, c, d > 0.
126.

Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì

các đoạn thẳng có độ dài Vã, Vb, vc cũng lập được thành một tam giác.
127. Chứng minh —+b) + a + b > a Vb + bVã với a, b > 0.
128. Chứng minh

a

b

b+ca+ca+b

c

> 2 với a, b, c > 0.

2 4
129. Cho X^1 — y2 + yV1 — x2 = 1. Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = V X — 2Vx — 1 + V X + 2Vx — 1
131. Tìm GTNN, GTLN của A = V1 — X +v 1 + X .
132. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = VX2 +1 + V X2 — 2X + 5
133. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = V—X2 + 4x +12 — V—X2 + 2x + 3 .
134.
Tìm GTNN, GTLN của : a) A = 2x + v5 — X2 b) A
2
= X (99 + v 101 — X )
135.

ab
Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn + = 1 (a và b là hằng số dương).
x

y
136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

4 xy yz zx
137.
Tìm GTNN của A = +
+
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
zXy
2 2 2 ___________________________________ _______ _______
138.
Tìm GTNN của A = —
+ — + —z
biết x, y, z > 0 , VXỹ + vyz + vzx = 1.
X+yy+zz+X
139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A = (Va + Vb )2 với a, b > 0 , a + b < 1
b) B=(vaWb)4+(,£wc)4+(aWd)4+ ( S wc)4+ ( S Wd)4+ ( - T c Wd)4
với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3X + 3y với x + y = 4.
bc
141.
Tìm GTNN của A =
c+da+b
142.
Giải các phương trình sau :
a) X2 — 5x — 2V3X +12 = 0

b) X2 — 4x = 8Vx — 1

+

với b + c > a + d ; b, c > 0 ; a, d > 0.

c) V4xTĨ — V3x + 4 = 1

d) Vx — 1 — VX +1 = 2 e) V x — 2Vx — 1 — VX — 1 = 1 g) V x + V2x — 1 + vX — V2x — 1 =
V2" h)Vx + 2 — 4Vx — 2 + VX + 7 — 6Vx — 2 = 1
k)

V1 — VX2 — X = Vx — 1

m) Vx2 + 6 = X — 2Vx2 — 1

i) Vx + VX + Vl — X = 1

l) V2 X2 + 8x + 6 + VX2 — 1 = 2x + 2
n) Vx +1 + VX +10 = VX + 2 + VX + 5

o) Vx — 1 + VX + 3 + 2^(X —1)(X2 — 3x + 5 ) = 4 — 2x


p)

>/2x + 3 + Vx + 2 + >/2x + 2— Vx + 2 = 1 + 2 Vx+~2 .

q)

V2x2 - 9x + 4 + 3V2x -1 — V2x2 + 21x -11

143.
144. Chứng minh rằng, "n e Z+ , ta luôn có : 1 +
1

4 +— + + -^ > (V +7
—)
+

1 +.... +—7 = > 2(Vn +1 —'
....
2
n

1 .

2

Rút gọn biểu thức : A = ( 2 V2 — V5 + 3 V2 )^/Ĩ8 —

3

n

b) 1

>/20 + 2 V2 ).

.

11
145. Trục căn thức ở mẫu : a)
146. Tính :

1 + V2 + V5

x + V x +1

a) ^V5 —ỹs—/29 — 6^20 b) ^6 + ^/5 —V13 + V48 c) ^V5 —¡/3 —/29 —1 2 V5
147.

Cho a = V3 — >/5. ( 3 + V51^/10 — V2 ) . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.

> /3 +2 /2
Cho b =

17 —1 2 /2 V1 7 +1 2 /2
Giải các phương trình sau :
3

148.
149.

— 2 V2

a) (V3 — 1 )x — x + 4 — >/3 = 0

,
. b có phải là số tự nhiên không ?

b) (V3 — 1 )x = 2(V3 +1 )x — 2 /3

c)

150.
^^ 2/2

(5 — x )V 5 — x +(x — 3)V x — 3
= 2 d)x + x — 5 = 5
5—x+x—3
Tính giá trị của biểu thức :
+ >/25 + 4/21 —>/12/5 + 2 9 —>/25—4/21
M=
— 29
1111
151.
152.

155.

Cho a — >/17 — 1. Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 - 17a3 - a2 + 18a - 17)2000.

156.

Chứng minh : va — V a — 1 < va—2 —Vã—3 (a > 3)

157.

Chứng minh : x2 — Vx +— > 0 (x > 0)
x + y = 4.

158.
159.

Tìm giá trị lớn nhất của S — Vx — 1 + Vy — 2 , biết :
3 1 + 2a 1 — 2a
Tính giá trị của biểu thức sau với a —
:A—
4 1+ V 1 + 2a

+

.
1 — V 1 — 2a


160. Chứng minh các đẳng thức sau :
a) ( 4 + VĨ5)(VĨÕ-Vỏ)V4-VĨ5 = 2

b) V4 V2 + 2 V6 = 7v2 (V3 +1 ]

c^/s^ỹs (3 + V5)(VĨ Õ -V 2) = 8 d^77w4f = —(V3 + 1] e) ^17 - 4^9 + W5 = V5 - 2
161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
b) 5 + ^ + 5 - ^ -VĨÕ < 0

a) V27 + V6 >V48
153.

5-5 5+5

1 + 5 +V3 + 1 + 3 -V5

b) +

154.

- 10 < 0
V3 - 4^3+2 \lõã-VĨÕĨ > 0 ^

V2+V3-1 , V2-V3í V3 , V3 ì 1 + k—^>A
d)
+
+
155.
2+6 26è2-62+602

+3-2>0

e) Vv2 + 2VV2 -1 +v V2 - 2VÃ/2 -1 > 1,9 gWVl7 + I2V2 -V2 >V3 -1
156.
157.

h) (

773 + 775 W77)-^/3 +75 + 77 )< 3 i) +72 + 75V7Ã < 0,8
2

2

162. Chứng minh rằng : 2Vn +1 — 2Vn < —^ < 2Vn — 2Vn — 1. Từ đó suy ra:
158. n

159.
< 2005
1
2004< 1 + 4 + 4 +... +
160. 2
3
1006009
V2 +V3 + VĨ
3
163.161.
Trục căn thức ở mẫu : a)
b)
2
+
3
+
V6
+
V8
+
4
2
+
V
2
+ Vĩ '
162.
V3 +V2
3 -V2
163.
------------ \7=----------------164. Cho x =
và y=
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y.
164.
3-2
3+2
165.
165.
Chứng minh bất đẳng thức sau :

+—,
166.
> V2002 + V2003 .
2003
2002
167.
166.168.
thức :
169.
170.
167.171.
— x2 .
172.

Tính giá trị của biểu
+ 75 và y = 3 - 75.

x+y+2
Giải phương trình :

,

= 3 + 2yjx

x-1-x

173.
168.
Giải bất các pt :
174.
b) B = V 1 - a + Va(a -1) + a j a—1
a)3V3 + 5x >V72
b)^Vl0x -14 > 1 c^2+^2W2x > 4.
175.
169.
Rút gọn các biểu thức sau :
176.
a) A =V5- \ Ị 3-V29-12V5
177.
x + 3 + 2Vx2 - 9 2x
x + 5x + 6 + xV9 - x 2
c) C =
d) D =
3x - x2 + (x + 2)V9
- 6 + x2 - 9
178.
-x2
179._______________E =_J_____________________ĩ— + _J 1
180.
I -42 42-42
3 -44 424-425
170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =

1
2- 43 - x- 2


181.

171.

21
Tìm giá trị nhỏ nhât. của A = +

với 0 < x < 1.

-xx
Tìm GTLN của : a) A = 4 x -1 + 4 y - 2 biết x + y = 4 ;
1

172.

182. b) B=2Eỉ+VE2
____'____________ x_______ y

183.__

174. Tìm GTNN, GTLN của : 1
173.
175. Tìm giá
lớn nhất của A = x 4 ỉ — xb)2 .B = 4 -x2 + 2x + 4 .
a)trị
A=
5 + của A- =x |2x - y | biết x2 + 4y2 = 1.
176. Tìm giá trị lớn nhất
2 4 của
6 A = x3 + y3 biết x, y > 0 ; x2 + y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN
178.
A = xVx + y 4 ỹ biết 4 2 + 4 ỹ = 1.
179.

Giải phương trình : y j l -x + 4 x2 -3x + 2 + (x-2)^-

180.

Giải phương trình : x + 2x - 9 = 4 6 + 4x + 2x .
2

Cho a = 4 1997 - 4 1996 ; b =
4 1998 -V1997 . So sánh a với b, số
nào lớn hơn ?
Tìm GTNN, GTLN của A = x x + y
y biết x -

= 3.

2

2

342

(n+1)44

184.
184.
184.
184.
184.
184.

< 2.

111
1111
CMR, "n £ Z+ , ta có : +

181.
182.
185.

Cho A =
2.1998

1.1999

+

+

3.1997

+

+... +

+... +

1999.1

. Hãy so sánh A và 1,999.

183. Cho 3 số x, y và Tĩ + 4 Ỹ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số Vx ; 4 Ỹ đều là số
186.
hữu tỉ
187.
188.

184. Cho a =

3-2

194.
187. Rút gọn :
195.
2

4ã +1 4ã —1

x + 2)2 - 8x :

246 ; b =

244

191.

è a — 1 a +1

-

v

3+

24 2 +

V

6 - 4V2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ.

2+ 44
44 — 2 a44 + a — 44
—1
a+
+1 a 1
(a >0 ; a Ỷ 1)

189.
185. Rút gọn biểu thức : P =
190.
192.
186. Chứng minh :
193.

2

V1
+4aa—

(0 < x < 2)



= 4a. (a > 0 ; a Ỷ 1)
a


196.

197.
188. Rút gọn :
198.



+

b-Văb ^ : ( ã
Vã + Vb 0 V Văb + b

b

ã +b ^

ãb - ã

Vãb 0

199.
189. Giải bất phương trình
: 2 :(x
+ + Vx2 + a2 )<
rình
2(x
= (ã Ỷ 0)
'
' V x2 + a2
200.
IY„
r \í, . r
1-aa
190.201.
Cho A = (l - a2):
1 + a va
va
- a +1
202.
1 - va
1+a
203.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A với a = 9.
204.
205.
c) Với
giá trị nào của a thì | A | = A.
191 Ch206.
u;ể tứ B _va+ Vb
191. Cho biểu thức : B _
207.

-1 , va- Vb
+

f

Vb

+
Vb
+
a + ab 2 ab V a - ab a + ab

208.
b) Tính giá trị của B nếu a _ 6 + 2 V5 .
a) Rút gọn biểu thức B. c)
209.
So sánh B với -1.
210.
f1
1
^ f1 Va + b ^
192. Cho A _
+
a -b 0
211.
Va—a—b
a+a+b
212.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm b biết | A | = -A.
213.
c) Tính giá trị của A khi a _ 5 + 4V2 ; b _ 2 + 6V2 .
214.
Va,1+1 va -1./7 1 _v _
11 ^
f.n:
t
215.

+
4
a
a

193. Cho biểu thức A _
va
Va—1 va +1 Vẽ
216.
2 +V6.
a) Rút gọn biểu thức A.
217.
^Vâ 1 V a- va
c) Tìm giá trị của a để VA > A.
b) Tìm
giá trị của A nếu a _
218.
219.

va"

s/a 1 ll a-Va a + va
194.220.
Cho biểu thức A _ a)
2
2 Va 0 V Va +1
221.
Rút 222.
gọn biểu thức A.
195.223.
Thực hiện phép tính : A _
224.
225.
196. Thực hiện phép tính : B _
226.

V

/1 + a
—a
1-a

va — 1

0
b) Tìm giá trị của A để A = - 4 í
n
n-----N\
/1 + a 1 1 — a

/1
1+a

/

2+V3
V 2+v 2 +V3 2-4Ĩ^B

1-a1+a
2-V3

V

197.227.
Rút gọn các biểu thức sau :
228.
Vx - y :
229.
a) A _ xyVxỹ
230.

1
x

ỹ0 x+ỹ+

231.
với x _ 2—V3; 1ỹ 3_ 2; ỹ+V3
_ 2 . +b)3B.
232.
_
x+
xi-y2 233.
_
2(x - )

234.

V y ự

2 f J_
(vx+VỸ)3

x- y l x2 -y

với x > y > 0

VỸ


235.
236.
c) C = với x =

-

237.

. „ 2a 1 + x2
a

11 1 - a
;

1+V - x

2èa1-a0

238.
(a2 +1)( b2 +1)
'd) D = (a + b) - 2
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1
240.
c2 +1

239.

241.
242.x + 2x -1 + x - 2x -1

x+2
. 2x -1

Vx -1 +

243.
198.

Chứng minh : x +
244.

199.

Cho a =

—1 +

245.

,b=

42

247.

0
+x-

22

)

x2
x2 - 4

42

—1 —
. Tính a + b .
7

4 x - 2Vx -1 e E =
4 2x + 4

42

7

với x > 2.

7

7

246. 200. Cho a =
-1
2
3
' a) Viết a ; a dưới dạng 4 m - Vm-1 , trong đó m là số tự nhiên.
248. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
201.
Cho biết x =
là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số hữu tỉ. Tìm các nghiệm còn lại.

42

202. Chứng minh 2 VŨ -3 <-^ +—+... +—7 = < 2^/n - 2 với ne N ; n > 2.
249. 2
3 n
203.

Tìm phần nguyên của số -^6 + ^/6" +... + 4

100 dấu căn).
204.

Cho a = 2 +

205. Cho 3 số x, y, yx + 4 ỹ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số

42.

4x , 4 ỹ

Tính a) [a2"
đều là số hữu

b)

[a3".

6+

4

6

(có


3 V2

1 +1 2

206. CMR, "n > 1 , n e N :

W3 ... (n +

207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , ... a25 thỏa đk :

1111
+
1 ■+ + +...
2
a

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.

^ +^
x

208. Giải phương trình

+ 2 + •.

2z

42 ( 1

= 2x
250.

tỉ

42 + 2
- 2-Vx
1 42
x+ +x 1+ -4x1V1- x

Giải và biện luận
+ x - V1 - Vx ( 1-----,
+ y) = 2y = Va .
1+x-1-x
4 +ỹỹ ( 1 + z ) =
x (1

4

211. Chứng minh rằng :

x

n

209.
với tham số a ■

210. Giải hệ phương trình í

<2

1)Vn

+ x)

a

a

3

V a 25

= 9.


a) Số (8 + 377 )7 có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy.
Số ( 7 + 4 V3 ) có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy.

b)

212. Kí hiệu an là số nguyên gần Vn nhất (n e N*), ví dụ :
251.
Vì = 1 ^ a 1 = 1; V2 » 1,4 ^ a 2 = 1; V3 » 1,7 ^ a 3 = 2; Vĩ = 2 ^ a 4 = 2
Tính :

111
+
+
+... +
a a
a3
1 2

252.

1

1980

213.
a) a = ‘ \ j 2 + \ j 2 +... +

Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) :

v

2 + Vĩ

b) a = y Ị 4 + ^4 +... + V4 + víc) a = ^1996 + ^/1996 +... + V1 9 9 6 + y j ĩ < m

253.

214. Tìm phần nguyên của A với n e N : A = V 4n2 + V 16n2 + 8n + 3
215.

Chứng minh rằng khi viết số x = (73 + V2)

dưới dạng thập phân, ta

được chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
216.
Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của (V3 + 72 )2
218.

217. Tính tổng A = |^VĩJ
r rrT 1
+ w + V3^


Tìm giá trị lớn nhất của A = x2(3 - x) với x > 0.

219. Giải phương trình : a) Vx +1 + V7 - x = 2

b) Vx - 2 + Vx +1 = 3 .

220. Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b không nếu : a) Vã + Vb = V2 b) Vã + Vb = V2.
221.

Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) V5
b) V2 + Vĩ
a+b+c

222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm :
254.

> Vabc .

2

223. Cho a, b, c, d > 0. Biết----------+ - +------------+ - < 1. Chứng minh rằng : abcd < —.
255.
256.
224.

Cho a = V3 + V3 + V3 — V3 ; b = 2 V3 . Chứng minh rằng : a < b.

225. a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có :
257.

<3.

b) Chứng minh rằng trong các số có dạng Vn (n là số tự nhiên), số V3 có giá trị lớn nhất

226. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + x +1 + Vx2 - x +1.
227. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 - x) biết x < 4.
228. Tìm giá trị lớn nhất của A = x2V9 — x2 .
229. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 - 6) biết 0 < x < 3.
230. Một miếng bìa hình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vuông lớn, người ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để
được một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.


231. Giải các phương trình sau :
258.
a) 1 +
-16 = ị [ x + 3
b) -^2 - x wx-ĩ = 1 d) 2c) Vx +1 + Vx—1 = V5x
3
259.
h) ^(x +1)2 + ^(x -1)2 + ^x2 -1 = 1 ^2x -1 = x +1 i) Vx+1 + -ựx + 2 + ^x + 3 = 0
2
2
3x4 -(x
-1x +
) x-^1
- 4- x2 = 3
x- x-2 +
k)
1
+
e) -^1
3

- (a, b là
l) -Va - x) + ^7
-Vb- x- x- =-ựx
Va-+5b^7
- 2x
g
=6-x
x+3 x-5

= 2->/3

tham số)
233. Rút gọn A =

77+

ựạ^bĩ+77

234. Tìm giá trị nhỏ nhất va2+Tãb+Tb2
của biểu thức : A
=7x2 - x +1 +7x2 + x +1
235. Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình :
260.
3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 + > / 3 .
236. Chứng minh ^3 là số vô tỉ.
Làm phép tính : a) Vi +V2.V3 -2 / 2

237.
238.

b) ^9 + W5. 3 1 2 - > / 5 .

Tính : a = ^20+14/2 + Vĩõ- 1 4 V2 .

239. Chứng minh : V7 + 5 / 2 + V7 -2 / 5 = 2.
240.

Tính : A = (^7 W48 - ^28-14/3) .^7 W48 .

241. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : x = ^3 + V9.

Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x =
.
261.
v7 + 5 V2

242.
14 với x = ^7 + 5 V2 262.

244.
245.
247.
248.

243. Giải các phương trình : a) Vx + 2 + -^25 - x = 3 .
263.
b) Vx - 9 = (x - 3)2 + 6

c) Vx2 + 32 - 2^x2 + 32 = 3

Tìm GTNN của biểu thức : A = ^x 3 + 2 (1 + Vx 3 +1) + ^x 3 + 2 (1 - Vx 3 +1).
Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d > 4 ị Ị abcd .
264.
Voi x > 0 , x Ỷ 8
CMR : x = ^5 -4 7 + ^5+47 là nghiệm của phương trình x3 - 6x - 10 = 0.
Cho x = =
265.
•y4 -715

246. Rút gọn : P =

+ 4 4/13 . Tính giá trị biểu thức y = x3 - 3x + 1987.

7ỹ
2 + 2 + Vx

+

2-^x
+ Vx - 2

7C - 4
Tx2+277


266.

267.
249. Chứng minh đẳng thức :
268.

a + 2' + 5

^2 269.
250.
270.
bất đẳng thức :
271.
è
251.
Rút
gọn
các
biểu
thức
sau
:
272.
273. ^7+
a) A274.
= va2+vab+

b)

9-45

'5.3 V9+W5 - Vâ +va
Chứng minh
2 - 2,1 < 0.

(

aVă - 2a^b + ^a2 2b2
. + Va c) C277.
=
3
a
278.

ỷja2b - ^ãb
+

2

1

1+
2\|

b 4b
b
+ 8 (Vb + 2)3

24
b+8

1 2. r V

275.
276.

= -
2

1

va - Vb

252.279.Cho M = Vx2 - 4a + 9 + Vx2 - 4x + 8 . Tính giá trị của biểu thức M biết rằng:
280.

Vx2 - 4x + 9 - Vx2 - 4x + 8 = 2.

253.281.Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = Vx2 - 2ax + a2 + vx2 - 2bx + b2 (a < b)
254.282.
Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì :
abc > (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)
283.
255.
Tìm giá trị của biểu thức | x - y | biết x + y = 2 và xy = -1
256.284.Biết a - b = y Ỉ 2 + 1 , b - c = y Ỉ 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :
A = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca.
285.
257. Tìm x, y, z biết rằng : x + y + z + 4 = 2 y j x - 2 + 4^y - 3 + óVz - 5
.
286.
258. Cho y = V x + 2Vx -1 + V x - 2Vx -1 . CMR, nếu 1 ^ x ^ 2 thi giátrị của y là một hằng
287.
số.
259.288.
Phân tích thành nhân tử : M = 7Vx -1 - Vx3 - x2 + x -1 (x > 1).
289.
260.
Trong tất cả các hình chữ nhật có đường chéo bằng 8 V2, hãy tìm hình chữ nhật có
diện tích lớn nhất.
290.
261.
Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh
291.
a+b
rằng292.
ta luôn có : c >
293.
294.

2 • , 262. Cho các số dương a, b, c, a’,
295.
b’, c’. Chứng minh rằng :
296.
Nếu vaa + Vbb + VeC = V(a + b + c)(a'+ b'+ c') thì — = — = — .
297.
a' b'
2
2
298.
263.
Giải phương trình : | x - 1 | + | x - 4 | = 3.
264.299.
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào x, y :
300.
C=
301.
302.

1
vx +v y

vx + y

x+y

-

(x + y)

2Vx%/y

Vx + y
Vx +Vỹ 0
303.
265. Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:

4x

y

c
ế

với x > 0 ; y > 0.


304.

305.
D=
306.

2 + Vã
Vã — 2 ã Vã + ã — Vã — 1
2 + Vã va —.

ã + 2 Vã +1 a 1

307.
266. Cho biểu thức B =
308.



309.

+

với a > 0 ; a Ỷ 1

c — ãc

1

ã

Vã + Vẽ

cã+c

Vãẽ + c
310.
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; ã = 24
311.
c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.

ãc — ã

Vãc

2mn
147.
m+- 2mn + m — 1+n 2
0
148.
1+n
a) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm
b) Tìm giá trị của A với m = -v/56+2W5 .
giá trị nhỏ nhất của A. 268. Rút
gọn

267. Cho biểu thức : A=

V

149.
D=

1

1+x

n

-T — 1 —-x xx
1—x

x—1—x^_
1

2>/x

2yp
x — 1 a) Vĩ
Rút+ xxx+1

Vx — 1 xVx + vx —
150.
gọn biểu thức P.
x2
— V1 — x Vĩ—X2 153.
— 1 +- Vx
x
„ 2x + vx
270. Xét biểu thức y =
x2 +•
x —1x + +1
1 —
151. a) Rút gọn y.269.

TìmCho
x đểPy== 2.

b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0
: 1nhỏ
— nhất của y ?
c) Tìm giá trị
152.
x—1xx+x—x—1
x

312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324.
325.

x
d) 1 — x
+V1
— x2
với x > 0 ; x Ỷ 1.

/
b) Tìm x são cho P < 0.
2


326.
327.

328.

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI


C á c h 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y) 2 < (x2 + y2)(1 + 1) -w- 4 < 2(x2 + y2) = 2S S > 2. ^ mim S = 2 khi x = y = 1
331. bc , ca bc , ab ca , ab và ; và ; và , a ba c b c
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương
332. ta lần lượt có: bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab
333.
+ >2
.
= 2 c; +
>2
= 2 b; + > 2
.
= 2 a cộng từng
v
334.
abab
ac a c
bc bc

329.
330.

c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
335.

=

.

3a + 5b > V3a.5b .
2

vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
336.
2 _ ?
12
„ 1 2
„ ^ (3a + 5b)2 > 4.15P (vì P = a.b) ^ 122 > 60P ^ P < ^ max P
5

337.
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 - a, do đó M = a3 + (1 - a) 3 = 3(a - / ) 2
+ Á > Á . Dấu “=” xảy ra khi a = / .
338.
Vậy min M = Á a = b = / .
6. Đặt a = 1 + x ^ b3 = 2 - a3 = 2 - (1 + x) 3 = 1 - 3x - 3x2 - x3 < 1 - 3x + 3x2 - x3 = (1 - x)3.
339.
Suy ra : b < 1 - x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b < 1 + x + 1 - x = 2.
340.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a - b)2(a + b).
8. Vì | a + b | > 0 , | a - b | > 0 , nên : | a + b | > | a - b | a 2 + 2ab + b2 > a2 - 2ab + b2
341.
4ab > 0 ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1) 2 - 4a = a2 + 2a + 1 - 4a = a2 - 2a + 1
= (a - 1) 2 > 0.
342.
b) Ta có : (a + 1) 2 > 4a ; (b + 1) 2 > 4b ; (c + 1) 2 > 4c và các bất đẳng
thức
này
có haivế đều
343.
dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1) ] 2 > 64abc = 64.1 = 8 2. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) > 8 .
10. a) Ta có : (a + b) 2 + (a - b) 2 = 2(a2 + b2). Do (a - b) 2 > 0, nên (a + b) 2 < 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c) 2 + (a b) 2 + (a - c) 2 + (b - c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :
344.
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c) 2 < 3(a2 + b2 + c2).
345.
346.
347.
349.
2x - 3 = 1 - x 350.
3x =
348.
351.
11. a) |2x - 3 = 1 - x
352.
353.
355.
2x - 3 = x -1 356.
x=2
357.
358.
359.
154.
4
155.
x=
156.
3
157.
x=2
360.
b) x2 - 4x < 5 ^ (x - 2) 2 < 33 ^ | x - 2 | < 3 ^ -3 < x - 2 < 3 ^ -1 < x < 5.
c) 2x(2x - 1) < 2x - 1
(2x - 1) 2 < 0. Nhưng (2x - 1) 2 > 0, nên chỉ có thể : 2x - 1 = 0
361.
Vậy : x = ' / 2 .
12.
Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a 2 + b2 + c2 + d2 - ab - ac - ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a 2 + (a
2
- 2b) + (a - 2c) 2 + (a - 2d) 2 = 0 (2). Do đó ta có :
362.
a = a - 2b = a - 2c = a - 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13.
2M = (a + b - 2) 2 + (a - 1) 2 + (b - 1) 2 + 2.1998 > 2.1998 ^ M > 1998.
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời :

í a -1 = 0 b

Vậy min M = 1998 a = b = 1.

-1 = 0
14. Giải tương tự bài 13.

363.

a+b-2=0


16. A =
15.

11
2 --------- = £ —
(x - 2 )2 + 5
x - 4x + 9

11
£ . max A= ^ x = 2. 5
5

Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x - 1)

2

+ 4(y - 1)

2

+ (x - 3)

2

+ 1 = 0.


364.
365.
366.

17. a) 7 + 15 < 9 + VĨ6 = 3 + 4 = 7. Vậy V7 + 15 < 7
b) VĨ7 + 5 + Ĩ >VĨ6 + 4+Ĩ = 4+2+Ĩ = 7 = V49 >V45.
23
- ^ < 23 - Mỉ = 23-2.4 = 5=725 <757.
367.
3 3
3

c)

d) Giả sử
>

V^/2 > V 2>/3 Û (V3/2 )2 >(>/3/3 )2 Û 3 V2 > 2 V3 Û -\/Ĩ8 > -s/Ĩ2 Û Ĩ8 > Ĩ2.

368.

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : V3 V2 > V2/3 .
370.
2 W3
18. Các số đó có thê là 1,42 và
371.
2
19.
Viết lại phương trình dưới dạng : ^/3(x +1)2 + 4 + y j 5(x +1)2 +16 = 6 — (x + Ĩ)2.
372.
vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6,
369.

^a + b^ 2

20. Bất đẳng thức Cauchy -\/ãb < a + b viết lại dưới dạng ab <
159.

158.
2
> 0).
2
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được :

160. '2x+xy' 2
2x.xy <
=4
è20
Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2. ^ max A = 2 Û x = 2, y = 2.
,,
,
1
2
21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng :
>
. Áp dụng ta có S > 2.Vãb
a+b
22. Chứng minh như bài 1.
x y „ x2 + y2 — 2xy (x — y)2

xy„
23. a) +
—2=
=
> 0. Vậy +
>2
yx

xy
2 2
b) Ta có : A = - ^ 2 + - ^ 2
èyx0
œ x2 +ỵỊ ì
A > y2 x2 0
—2
suy ra x = -1.
374.

xy
x+y
y x0
í
+2 =

373.

375.
tỉ, vô lí.
23. Có, chẳng hạn V2 + (5 — V2") = 5

2
xy

+
x
èy 0
+

(*) (a, b

1998
1999

yx
x
+y,

2

+ x+y
y x0
y 0>

— 2

x

0

. Theo câu a :


376.

377.

| a | > 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 - 2 + 4 > 3a
379.
^ a2 - 3a + 2 > 0 ^ (a - 1)(a - 2) >0 (2)
380.
Từ (1) suy ra a > 2 hoặc a < -2. Nếu a > 2 thì (2) đúng. Nếu a < -2 thì (2) cũng đúng. Bài toán được chứng minh.
24. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
381.
42. 4 2 , 4 2
2„ . 2 . 2
382.
xz + yx + zx -(xz + yx + zy 1 xyz
383.
2 2 2 xyz - 0.
3 2
3 2
384.
Cần chứng minh tử không âm, tức là : x z (x - y) + y x (y - z) +
z3 y2(z - x) > 0. (1)
385.
Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x à y à z à x nên có thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai trường hợp :
a) x > y > z > 0. Tách z - x ở (1) thành - (x - y + y - z), (1) tương đương với :
386.
x3 z2(x - y) + y3 x2(y - z) - z3 y2(x - y) - z3 y2(y - z) > 0 -w- z2(x - y)(x3 - y2 z) + y2(y
- z)(yx2 - z3) > 0 Dê thấy x - y > 0 , x3 - y2z > 0 , y - z > 0 , yx2 - z3 > 0 nên bất đẳng thức trên đúng.
b) x > z > y > 0. Tách x - y ở (1) thành x - z + z - y , (1) tương đương với :
387.
x3 z2(x - z) + x3 z2(z - y) - y3 x2(z - y) - z3 y2(x - z) > 0
388.
-w- z2(x - z)(x3 - zy2) + x2 (xz2 - y3)(z - y) > 0 Dê thấy bất
đẳng thức trên dúng.
378.

x

2

-1

+

y -1

2

+

z

2

-1

+

í

\
xyz
++

- 3.

389.

Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
x
390.
èy ) è z ) è x )' èy z
)
25. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c. Ta có : b = c - a. Ta thấy, hiệu của hai
số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết. Vậy c phải là số vô tỉ.
26. a) Ta có : (a + b) 2 + (a - b) 2 = 2(a2 + b2) ^ (a + b) 2 < 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c) 2 + (a - b) 2 + (a - c) 2 + (b - c)2. Khai triển và rút gọn ta được :
391.
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c) 2 < 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương tự như câu b
27.
Giả sử a + b > 2 ^ (a + b) 3 > 8
a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8
2 + 3ab(a + b) > 8
3
2
2
2
3
392.
^ ab(a + b) > 2 ^ ab(a + b) > a + b . Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a - ab + b ^ (a - b) < 0, vô lí. Vậy a +
b < 2.
28. C á c h 1 : Ta có : [x] < x ; [y] < y nên [x] + [y] < x + y. Suy ra [x] + [y] là số nguyên không vượt quá x + y (1). Theo
định nghĩa phần nguyên, [ x + y] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra : [x] + [y] < [x + y].
393.

C á c h 2 : Theo định nghĩa phần nguyên : 0 < x - [ x ] < 1 ; 0 < y - [ y] < 1.

394.

Suy ra : 0 < (x + y) - ([x ] + [ y]) < 2. Xét hai trường hợp :

-

Nếu 0 < (x + y) - ([ x ] + [ y]) < 1 thì [x + y] = [x] + [y] (1)

-

Nếu 1 < (x + y) - ([ x ] + [ y]) < 2 thì 0 < (x + y) - ([ x ] + [ y] + 1) < 1 nên
395.

[ x + y] = [ x ] + [ y] + 1 (2). Trong cả hai trường hợp ta đều có : [ x ] + [ y] < [ x + y]


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×