Tải bản đầy đủ

50 bộ đề

50 BỘ ĐỀ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

CÓ đáp án


Tuyến tập dề thi HSG Toán 8

Đề 1
Bài 1 : (3đ) Chứng minh ràng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài
2:
a) Rút gon biểu thức: , X t* ã

A3 - 4A2 — 1 8 x + 9
„ yz
xz XV
¿

111


b) Cho —+— + - = 0(x, Y, 2*0). Tính Y + -Y + -Y
X y Z

X yZ

Bài 3 :(3¿n
Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD
= CE = BC. Gọi o là giao diem của BE và CD .Qua o võ đường thang song song với tia phân
giác cùa góc A, đường thamg này cắt AC ờ K. Chứng minh rằng AB = CK.
Bài 4 (ld).
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biêu thức sau (nếu C Ó ) :
M = 4x2 + 4x + 5
Đáp án
Bài 1 : (3d)
a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =2n(24+ l)=2n.17 Rõ ràng kết
quà tren chia hct cho 17.
b) (1,5đ) áp dụng hang đẳng thức:
a" + b" = (a+bXa"-1 - a"-2b + a^V- .... ab"-2 + b"-') với mọi n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 - 1917.69 +...+ 6918)
= 88(1918- 19i7.69 + ...+ 6918) chia hết cho 44.
Bài 2 : (3d)
a) (l,5đ) Ta có: X 2 + X - 6 = X 2 + 3x -2x -6 = x(x+3)-2(x+3)
= (x+3)(x-2).
X 3 - 4x2 - 18 X + 9 = X 3 - 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9 =(x3

+ 3x2) - (7x2 +21 x) +(3x+9)
=X2(X+3) -7X(X+3) +3(x+3)
=(X+3)(X2-7X +3)
=>
X'+X-6-------_ —(x+3Xx-2)—_ (X-2) ¿jệu XiệnxỊẾ .Ị ■ X 2 -7x + 3^0
X3-4A-2-18A-

+9

(x+3)(x2-7x+3) x2-7x+3

(l,5đ)VÌ

Gv: Nguyễn Văn Tú

2

Trường THCS Thanh Mỹ


Tuyến tập dề thi HSG Toán 8
11
X y z
>

* , 1- 1 1 - 1 1 1
-V = -| -J+3.—7X +3-.—J+—J
y
Xy

" ■■ * y y )

1 lì 1
1 1
+
3
>—-4-—- + —- =-3— - + 7 = > - T + v= Z

- J JC y J X y
1 1 1 ,1 1 1

3
3
3
X y Z
X y
Dodô:xyz(i+i.+l)=3«ÇÆ
+^

=

X 3 y3 Z 3

A: 3

xyz
3«444 = 3

V3 Z3

111
Bài 3 : (3d)
Chứng minh :
Vc hình bình hành ABMC ta có
AB = CM .
Đô chứng minh AB = KC ta cần chứng
minh KC = CM.
Thật vậy xét tam giác BCE có BC =
CE (gt) => tam giác CBE cân tại

1

A

c => !

s, = Ä vì góc Cl là góc ngoài cùa tam
giác BCE => ẽ, = 0, +& => 0, = -ẽ, mà
AC // BM
(ta vẽ) => ẽ, = ỆBM => 0 , = - DBM
nôn BO là tia phân giác của ÖBM.
Hoàn toàn tưong tự ta có CD là tia phân
giác cùa góc BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại o => MO là phân tia phân
giác cùa góc CMB Mà : 8.4C.0MC là hai góc đối cùa hình bình hành BMCA => MO // với tia
phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,0,M thang
hàng.
Ta lại có:

=-SA/C(ÍW/):EÌ = Ã/ => S/, = Qí, mà Ü , = $ I (hai góc đồng vị)

=>fc, = B/, => A C K M cân tại c => CK = CM. Kct hợp AB = CM => AB = CK (đpcm) Bài 4:
(lđ)
Ta có M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x) 2 + 2.2x. 1 + 1] +4 =
(2 x + 1 ) 2 +4.
Vì (2x + 1 ) 2 > 0 =>(2x + 1 ) 2 + 4 > 4 « M > 4

Gv: Nguyễn Văn Tú

3

Trường THCS Thanh Mỹ


Tuyến tập dề thi HSG Toán 8
Vậy giá trị nhỏ nhất cùa M = 4 khi X

1
2

đề 2

Câu 1 . Tìm một số có 8 chừ số: a,ar.. ag thoã màn 2 điều kiện a và b sau:
a) a,a:a3 = (a7ag):

b) a4a5a„a7ag = (a7ag)

Câu 2 . Chứng minh ràng: ( x"1 + x" + 1 ) chia hết cho X 2 + X + 1.
khi và chi khi ( mn - 2) : 3.
áp dụng phán tích đa thức thành nhân tử: X 7 + X 2 + 1. Câu
1

1
1.2.3

1

2.3.4

2005.2006.2007

X = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).

Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi o là giao đicm của AC và BD; các đường kè
từ A và B lần lượt song song với BC và AD cat các đường chco BD và AC tương ứng ở F và E.
Chứng minh:
3 . Giãi phương trình:
EF // AB
b) . AB2 = EF.CD.
c) Gọi SI , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích cùa các tam giác OAB; OCD; OAD VàOBC
Chứng minh: SI . S2 = S3 . S4 .
Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất:

A = X 2 - 2xy + 6y2 - 12x + 2y + 45.
Dáp án

C â u 1 • Ta co aia->a8 (a7 a8) (1) a4a5 a6 a7 a8 ( a7 a8)

(2).

Từ (1) và (2) => 22 < A7 Í7g <31
=> ( ãTãi)3 = a4a5a600 + ã7ã8 <4> CÃĨÃS Ý = a4a5a600.
=
( a7a8 — 1) a7a8 ( a7a8 "1" 1) 4 . 2 5 . a4a5ae, do (ãTã^ - 1) ; a^ãr; ( a?!^ + 1) là 3 số
tự nhicn liên tiếp nôn có 3 khả năng:
a) . a7a8 = 24 ='> aia^a^. . . a8 là sô 57613824.
b) . ã7ã8 - 1 = 24 => a^ãịT= 25
=> số đó là 62515625
c) . ã7 ã8 = 26
=> không thoã mãn
câu 2 . Đ ặ t m = 3 k + r v ớ i 0 < r < 2 n = 3 t + s v ớ i 0 < s < 2 ■=>

X +x+l=x +x +l=x X—x+x x-x+x+x+1.
= xr( x3k -1) + xs ( X3’ -1) + xr + xs +1 ta thấy: (
X 3k - 1) : ( X2 + X + 1) và ( X31 -1 ) : ( X2 + X + 1)
vậy: (xm + xn+ 1) : (x2 + x+ 1)
<=> ( x r + x s + 1 ) : ( X 2 + X+1) với 0 < R; S < 2
Gv: Nguyễn Văn Tú

4

Trường THCS Thanh Mỹ


=>

<=> r = 2 va s-1
Tuyến tập dề thi HSG Toánr 8= 1 và s = 2

m = 3k + 2 và n = 3t + 1 m
= 3k + 1 và n = 3t + 2

<=> rnn - 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) - 2 = 9kt + 3k + 6 t = 3( 3kt + k + 2t) mn- 2 = ( 3k +
1) ( 3t + 2)-2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k +1) => (mn - 2) : 3 Điều phải chứng minh,
áp dụng: m = 7; n = 2
=> mn -2 = 1 2 : 3 .

«=> (x7 + x:+ 1) i (x2 + x+ 1)
■=> ( X7 + x2 + 1): (X2 + X + 1) = X5 + X4 + X2 + X + 1

2.3.4

+----------!--------- u = (1.2 +2.3+ ■■• +2006.2007)
2005.2006.2007 ) v

.+

Nhân 2 vè với 6 ta được:
2 2+ - +
■ ■• +
1'2.3 2.3.4

J X = 2[(l .2(3-0) + 2.3(4-1) + ■ ■ ■ + 2 006200t2
200520062007,008-200$]

1

1

1 1

1.2

2.3

2.3

2

3.4

2006.2007

Câu 3 . Giải PT:

= 2(l.2.3+2.3.4-1.2.3 + —+ 2006.2007.2008-2005.2006.2007)

b)

.

A B C A i v à A B B | D là hình bình hành = > A i C = D B i = A B
=> AB 2 = EF.CD.

Vì EF // AB // CD ncn — =
1
<=> 31 —.2 2006.2007

X =2.2006.2007.2008 ox=

Câu 4 .a) Do [ẢE// BC =>
BF// AD
MặT khác AB// CD ta lại có

1003.1004.669
5.100.651

OE _ OA
OB ~ oc o
F_OB OA ~ OD

c
OA OB . OE OF

oc O D

nên

„ AD

—- = —— => EF // AB

OB OA

AB DC

c)

Ta có: Si = -AH.OB; S : = - C K . O D ; SỊ=-AH.OD; S4 = - O K . O D .
2222

s1

_^S, ịẢHOB AH CK

c

5I

— AH.OD

= 2

= ^=>S,.S; = S3 .S4

= AH.CK =>

Tuyển 04tập dề
thi HSG 2Toán
8
—CK.OD
-CK.OB
2
Giá trị nhở nhât A2= 4 Khi: 2
Câu 5. A = X - 2xy+ 6 y - 12x+ 2y + 45r y- 1 = 0 Xy- 6 = 0

=>

y=
1

x=7

= x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4 = ( x - y - 6 ) : + 5 ( y - l ) 2 +
4

>4

Gv: Nguyễn Văn Tú

đề 3
5

Trường THCS Thanh Mỹ


Tuyến tập dề thi HSG Toán 8

Câu 1: a. Rút gọn biểu thức:
A= (2+1 )(22+1 )(24 +1).......(2256+ 1) + 1
b. Nếu x-y2 + z
Chứng minh ràng: (5x - 3y + 4z)( 5x -3y —4z) = (3x -5y) 2 X Y Z
_______________
Câu 2: a. Cho — +
í" + — - u (1) và- + - + = 2 (2)

a bc
X y z
222

Tính giá trị của biồu thức A= —+2 +~Ĩ
abc
b.
c.
d.

Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M G đưong chco AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu

của M trcn AD, CD. Chứng minh rằng:
a. BM 1 EF
b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
e.

Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhò nhất của

f.

p= (a+ b+ c) (- + - + -).
g.
a b c
h . Đáp án

i.

Câu 1: a. ( 1,25 điểm) Ta có:
j.............................................A= (2-1) (2+1) (22 +l)
2

2

+1

256

k....................................= (2 -l)(2 +ì)(2 +l)
l.....................................= (24- l ) ( 24+ l )
( 2256+ l )
m.
o.

= [(2256)2 -1] +1

n. = 2512
b , . ( 1 đicm) Ta có:
p . (5x -3y + 4z)(5x-3y-4z) = (5x - 3y )2-16z2= 25x2-30xy + 9y2-16 z2
(*) Vì x2=y2 + z2 => (*) = 25x2-30xy + 9y2 -16 (x2 -y2) = (3x -5y)2
Câu 2: ■ (1,25 điểm) a. T ừ ( l ) = > bcx +acy + abz =0

Gv: Nguyễn Văn Tú

6

Trường THCS Thanh Mỹ


q.
Từ ( 2 ) = > 4 + TĨ +
r.
abc

42
+

abz + acy +
be = 0= > ^ - + ^ + ^ =
bc x
— + — + —4 =
- 2u = > —
xyz
+
a2 + b2 -c2 = - 2ab
\ xy xz yz)
a~ b
ab ac

=4

s.
b . . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 = > a + b = - c
t.
Tương tự b2+ ab
c2 — a2 be
= - 2bc;ca
c2+a2-b2 = -2ac
B
=
u.
-2 ab -2 bc -2 ca 2
v. 3:. ( 1 , 2 5 điểm)
Câu
X-2007 X-2007
A-2007
w. _
(1) <=> ——— + —— + —-— = 0
x.
2006
1997
1988



y. x= 2007
=>

B

Câu
z . 4: a. ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM; H là
giao
a a .đicm của EF và BM => A EMB =ABKM ( gcg)
=>
E
a bGóc
. MFE =KMB => BH 1 EF
b.
( 1,25
điểm) A ADF = ABAE (cgc) =>AF 1 BE Tương tự:
ac
.

K

CE
a d1. BF => BM; AF; CE là các đường cao của ABEF =>
đpcm
a e . Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có:
ABth => upcm

a f.

ỉ có:

ag.

b , b c c

D
,

, (a

b\ (a c)

F
(b

c)

Ư
_\tdd
^ - + — + ^- >+ 1 = 3+— + — + — + —+ - + - 1+ ơ1 +
\ b a) \ c a)
l^c b)
= 1 + —+ —+ a c a b —+ 1+- +
—+
+
1
=
ai.
vớimọi
mọiX,X,yVdương.
dương. =>p / 3+2+2+2 =9
Mặt khác — + — >2 :với

ah.

yX

a j .Vậy p min = 9 khi a=b=c.
ak.

al. đề 4
am.
Bài 1 (3cO:
1)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) X 2 + 7x + 12
b) a + a + 1
a n . _1____„ . ,
, x + 2 x + 4 x + 6 x+8
2)Giải phương trình:
a o . 98
96
94
92
a p . Bài 2 (2(1):
aq.
••
2x' + 3x + 3
ar.-----------------------------------------------------------------Tìm giá tri nguycn của X đc
bicu thức p = — — — -----------------------------------------------có giá tri nguycn
as. 2A-1
at.
Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )


au.
1) Kc đường cao BM; CN của tam giác. Chứng m i n h rằng:
a) A.4BM đồng dạng A . 4 C N
b) góc AMN bang góc ABC


a v. Tuyến tập dề thi HSG Toán 8____________________________________________________
aw.
2) Trên cạnh AB lây điêm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điêm của BC;
F
ax.

là trưng điểm cùa AK.
ay.

az.

Chứng minh ràng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.

Bài 4 ( l đ ì :
ba.

Tìm giá trị nhò nhất của biổu thức:

bb.
. X2-2.V +2007
b c . -----A =------ t
, ( X khác 0)
bd.
2007x2

,

be.
bf.

Bài Ị (3d):

1)

a)x2 + 7x +12 = (x+3)(x+4) ( l đ )

Đáp án

b ) a 10 + a 5 + 1 = ( a 10 + a 9 + a 8 ) - ( a 9 + a 8 + a 7 ) + ( a 7 + a 6 + a 5 ) - ( a 6
+ a5 + a4) + (a5 + a4 + a3) - (a3 + a2 + a) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8
- a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 )(lđ)
bg.

2)

bh.
bi.
bj.
Do đó : X + 100 = 0 <=> X = -100
bk.
nghiệm: X = -100
b l . Bài 2 (2dl:
bm.

(4 X -2 ) + 5

bn.
bo.

Vậy phương trình có
(0,25đ)

p= 2 * ì + ĩ x
(0,5đ)

_5 _
2x -l

=X + 2 +

2x- ỉ

X nguyên do đó X + 2 có giá trị nguyên

nguycn của 5 (0,5đ)
->
*

bq.

2x- ỉ

* 2x - 1 = 1 => X = 1

2x - 1 = -l =>x = 0 *2x-l=5=>x=3
* 2x - 1 = -5 => X = -2

bs.

= (2 X 2 - X ) +

2x- ì

b p . ----------------------------------------đồ p có giá tri nguycn thì
b r.

+ 3

(0,5đ)

Vậy X = {l;0;3;-2} thì p có giá trị

nguycn. Khi đó các giá trị nguycn của p là:
bt.
X = 1 => p = 8
bu.
X = 0 => p = -3

phãi nguycn hay 2x - 1 là ước


b v. Tuyến lập dề thi HSG Toán 8____________________________________________________
b w.
X = 3 = > p = 6 X = -2 => p = -1 (0,5đ)
bx.
Bài 3 (4đl:
1) a) chứng minh AABM đồng dạng ACAN ( l đ )
b y.
=> z

ca.

b ) T ừ c â u a s u y r a : - = > AAMN đồng dang A ABC
bz.
AC AN
AMN = z ABC ( hai góc tương ứng) (1,25đ)

2) Kè Cy // AB cắt tia Ax tại H (0,25đ) z
BAH = z CHA ( so lc trong, AB // CH)

mà z CAH = z BAH ( do Ax là tia phân giác) (0,5đ)
Suy ra:

cb.
cc.

c d . z CHA = z CAH nên A CAH cân tại c
ce.
do đó: CH = CA~1 => CH = BK và C H / / B K (0,5đ)
cg.

cf.
BK = CA J
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung diêm KH Do F là

trung đicm của AK ncn EF là đường trung bình cùa tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF //
Ax ( đfcm) (0,5đ)
ch.

Bài 4 ( l đ ) :
ci.

A=

2007^-2x2007+2007^ _

-2x2007

+20072

+

2006.C

cj.
ck.
cl.
cm.

2007.Í2
_ (X- 2007^

2006

2007x: 2007

2007

2007*2

2006

A m i n = khi X - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)
c n . 2007
co.

cp.

2007x'~

đề 5

Câu 1 ( 3 đ i ế m ) . Cho bicu thức A = í—A — + —-—+

cq.

—-—ì:

x+2 ) y

X - 2 + ———
[x ĩ - 4x
6-3x
x + 2 )

a, Tìm điều kiện của X đê A xác định .
b, Rút gọn bicu thức A .
c, Tìm giá trị của X đc A > o
c r.
ct.

Câu 2 ( 1 , 5 đ i ế m ) .Giải phơng trình sau : -—4 x + l

+

2 _ _ *—

cs.
x + 1 2x + ỉ
C â u 3 ( 3.5 ĐIỂM): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thang vuông góc với

nhau làn lợt cắt BC tai p và R, cắt CD tại Q và s.
1, Chứng minh A AQR và A APS là các tam giác cân.

2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình
chừ nhật.
8
Trường THCS Thanh Mỹ
cu.
Gv: Nguyễn Văn Tú
c v. Tuyên tập dê thi HSG Toán 8
____________________________________________________________________________

3, Chứng m i n h p là trực tâm ASQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bôn đicm M, B, N, D thăng hàng.


c w.

Câu 4 (1 điểm):

cx.
2x~ ~t ~
cy.---------------------------Cho biêu thức A =
giá trị nguyên

4" 3 ’

1



. Tìm giá trị nguyên của X đc A nhận

c z . Câu 5 (1 điểm)
da.
a, Chứng minh rằng X3 + y3 + z3 = ( x + y ) 3 - 3 x y. ( x + >•) + z3
b, Cho

= 0.

Tính
Đát) án

Câu 1

a,

X #2,x#-2,x#0

b, A =

b.

( X2
6

13

c . -----—-----1"----1 : ——
d . V*2 — 4 2-x x + 2) x
+ 2

e.

+ 2) + X — 2

f.

2)

g.
x + 2_

X — 2{x
6
(x - 2X-Í +
X + 2

-6
1
h.
(x-2Xx
+ 2)
6
2-x
c, Đc A > 0 thì ----------->0<=>2- x > 0<=>x<2
db.
2-x
d c . Câu 2 . ĐKXĐ : **_ 1:**_Ỉ
r,™ X -4x + l , X - 5 x + l

,

_ X

dd.
dd.
dd.
dd.

ỉx + 2 X -ỈX +2

PT <=>-----——+1 + ———— + 1 = 0 <=>

+ ———- -= 0

2

de.
df.

I 1---------------------------h 1 +-------------------+ 1 = u <^>-+
x+1
2x+l
x+1
2x + l

dg.

o (x2 -3 x + 2 } — + - —1 = 0 o (x2 -3.V + 2 Ì 3 x +
2X3* + 2) = 0 \x + l 2 x + \ ,
<=> X =1 ; X = 2 ; X = - 2/ 3

dh.
di.
dj.

Câ 3 giá trị trcn đều thỏa mãn ĐKXĐ .
Vậy PT đã cho có tập nghiệm s = |

l;2;--j Câu 3:
1, AADQ = AABR VÌ chúng là hai tam giác
vuông (đc ý góc có cạnh vuông góc) và
DA=BD ( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR,
nên AAQR là tam giác vuông cân. Chứng
minh tọng tự ta có:
AARP=AADS
dk.
do đó AP = AS và A APS là tam giác cân tại
A.

=u

2) = 0 o (.V- lX-v-


d l . Tuyên tập dê thi HSG Toán 8 ____________________________________________________
2, AM và AN là đờng trung tuyên cùa tam giác vuông cân AQR và APS nên A N l S P v à
AM _ L RQ.
dm.

Mặt khác :

ZPAN = ZPAM = 45° ncn góc MAN vuông. Vậy tứ giác

A H M N có ba
dn.

góc vuông, nen nó là hình chữ nhật.

3, Theo già thiết: Q A l R S , RClSQ nen QA và RC là hai đòng cao của ASQR. Vậy p là trực
tâm của A SQR.
4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =- QR.
do.

Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM = - QR.

dp.
=>MA = MC, nghĩa là M cách đều A và c.
dq.
Chứng m i n h tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA=
NC, nghĩa là N cách đcu A và c. Hay MN là trungtrực của AC
5, Vì ABCD là hình vuông nen B và D cũng cách đều A và c. Nói cách khác, bốn điêm M,
N, B, D cùng cách đều A và c nên chúng phải nam trên đòng trung trực của AC, nghĩa là
chúng thang hàng.
d r.
Câu 4 . Ta có ĐKXĐ X í -1/2
A = (x +1) +—-— vì X € z nên đê A nguyên thì ——nguyên 2 x + 1
2x 4" 1
Hay 2x+l là ớc của 2 . Vậy :

ds.
dt.
du.
dv.

2x+l =2 =>x= 1 /2 ( l o ạ i )
2x+l = 1 => X = 0

dw.
dx.
dz.

2x+l = -1 => X = -1
2x +1 = -2 => X = -3/2 ( l o ạ i )
d y.
K L : Với X = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguycn
Câu 5. a,, Chứng minh XI +YI +Z3 = (JC + y)3 -3xy.(x + y)

+ z3 Biến đồi vế phải đợc điều phải chứng minh, b, Ta có
a + b + c = 0 thì
ea.
a 3 + b3 + c3 ={a + bỴ — 3ab(a + b) + c 3 = —c 3 - 3ab(—c) +c 3 = 3abc
TU •' 4U-* 1 1
1
3

1._1
1

Theo giả thiêt — + — + - = 0. =>
3+3+3
.
ỵz +
khi đó A = z=_


XYZ

X —= 3
XYZ

eb.
ed.

=

(vì A + B + C = 0 n c n í f + 6 = - c )
ec.
đề 6

Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :


' X2 - 1

l

I 4 V
.4
+ . l-x
“> 1Toán
. 2
X2 +
Tuyến tập dề thi4 HSG
81 \
l^x -X + l
l Ĩ+X)
Í

X

a) Rút gọn
b) Tìm giá trị bc nhất của M .
ee.
Bài 2 : (2 điếm) Tìm giá trị nguycn của X đế A có giá trị nguycn
ef.
» _ 4x3-3x2+2x-83
eg.
^3
e h . Bài 3 : 2 điểm
ei.

Giải phương trình :

a) X 2 - 2005x - 2006 = 0
B)

|JC—2| + |x-3| + |2x-8| =9

ej.

Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điêm trcn cạnh BC . Qua E kc tia Ax

vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ờ K . Đường
thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
a) AE = AF và t ứ giác EGKF là hình t h o i .
b) A AEF ~ A CAF và AF2 = FK.FC
c) Khi E thay đổi trcn BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không
đổi .
Bài 5 : (1 đ) Chứng minh : B = n4 - 14ns + 71 n2 -154n +
120 chia hét cho 24
el.
Đáp án
Bài 1 :

ek.

a) M
ep.

em.

(x2 — 1)(JC2 + 1)-JC4 + x2 -1 , 4,, 2x _ XA-Ỉ-XA+XZ-L X -2
2

e n . ------

eo.
<=> x-3 = ±l ; ± 2 ; ± 4 O X = -1 ; 1 ; 2; 4 ; 5 ;

7 Bài 3 : a) Phân tích vế trái bằng (x-2006)(x+l) = 0
eq.
» (x-2006)(x+1 ) = 0 => X, = -1 ; X: = 2006
b) Xct pt với 4 khoảng sau :
x<2;2>4
er. Rồi suy ra nghiệm cùa phương trình là : X = 1 ; X =
5,5 Bài 4 :
es.

A ABE = A ADF (c.g.c) => AE = AF

Gv: Nguyễn Văn Tú

I1

Trường THCS Thanh Mỹ


e t . Tuyên tập dê thi HSG Toán 8_________________
eu.
A AEF vuông cân tại tại A ncn AI -L EF .
e v.
ew.

A IEG = A IEK (g.c.g) =>IG = IK .

Tứ giác EGFK có 2 đường chco cắt

nhau tại trung điểm mồi đường và vuông góc
ncn hình EGFK là hình thoi .
a) Ta có :
ex.
KAF = ACF = 45° , góc F chung
EY.

AAKI ~ A
^>AFÌ=KF.CF

CAF (g.g) => — = —

ez.
CF AF
c) Tứ giác EGFK là hình thoi => KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC

bàng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) .
fa.
Bài 5 : Biến đ ổ i :
fb.
B = n(n-1 )(n+1 )(n+2) + 8n(n-1 )(n+1) -24n3+72n2144n+120 Suy ra B : 24
fc.
fd.

đề 7

Câu 1: ( 2 điềm ) Cho biểu thức:
fe.
A = - + , - Ị -71 - ( V ớ i x * 0 ; x * ± 6 )
f f . \ X~ — bx x~ + ox J Ỉ2x~ +12

1) Rút gọn bicu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x= .

=
fg.

fh.

V 9 + 4 \ 5

Câu 2: ( 1 đicm )

a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+l > x.y + X + y ( v ớ i mọi X ;y)
b) Tìm giá trị lớn nhất cùa biểu thức sau:
fi.

A

fj.
fk.

Câu 3: ( 4 đicm )
Cho hình chữ nhật ABCD . TRcn đường chco BD lấy điểm p , gọi M là điểm đối xứng

=_—

của c qua p .
a) Tứ giác AMDB là hình gi?

b) Gọi E, F làn lượt là hình chiếu cùa điểm M trcn AD , AB .
fl.
Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c) Chứng minh rang tì số các cạnh của hình chừ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của
điểm p.
d) Giả sử CP1 DB và CP = 2,4 cm,; ỄẼ. = 1.
f m . PB 16

Gv: Nguyễn Văn Tú

14

Trường THCS Thanh Mỹ


f n . Tuyên tập dê thi HSG Toán 8_________________________________________________
fo.
Tính các cạnh cùa hình chừ nhật ABCD.
fp.
fq.

Câu 4 ( 2 dicm )
Cho hai bất phương trình:

f r.
3m
x - 2 m > x + l (1) m2x < 0
(2)
fs.
Tìm m đè hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm.
ft.
fu.

Đáp án

Câu 1 ( 2 điểm )

1) ( 1 đicm ) ĐK: X * 0; X * ±6 )

f v.
f w.
f x . \ 9 + 4\ 5
fy.

Câu2: (2 điểm )

1) (1 đicm ) x2+y:+l > X . y+x+y <=> x:+y:+l - X . y-x-y > 0
fz.

<=> 2x: +2y:+2-2xy-2x-2y> 0 <=> ( x:+y:-2xy) + ( x2+l-2x) +( y:+l-2y) >

0 (x-y)2 + (x-1 )2+ ( y- 1)2>0 Bất đẳng thức luôn luôn đúng.
2) (2 đicm )
ga.
(1) <=> 3mx-x>l+2m <=> (3m-l)x > l+2m.
(*)
gb.
+ Xct 3m-l =0 —*■ m=l/3.
gc.

(*)<=>0x>l + - <^>XEỘ.
gd.
3
ge.
+ Xct 3m -1 >0 —*• m> 1/3.
gf. ^
^ l + 2/w
gg.
3m-l
gh.
+ Xét 3m-l < 0 <=> 3m <1 —► m < 1/3
gi. „
- 1 + 2r n
g j . (*)<=> X < ——— .
gk.
ĩ m -1
gl.
mà ( 2 ) <=> 2x > m <=> X > m/2.
gm.
Hai bát phương trình có cùng tập nghiệm.
ì
1
1
gm
n>
. m >
M>
i.
<=>
— 3
—3
1 + 23
o * ( / n - 2)(/n +1)
lm
3m-l 2
=0
go.
gp.
m-2 =0 <=> m=2.
gq.

Vậy : m=2.

gr.

Câu 3: (4 điểm )

Gv: Nguyễn Văn Tú

15

Trường THCS Thanh Mỹ


o là giao đicm của AC và BD. —► AM //PO —► tứ giác AMDB là hình

a) (l đicm ) Gọi

thang.
b) ( 1 điểm ) Do AM// BD ->
gt.

gs.
góc OBA= góc MAE ( đồng vị)
Xcl tam giác cân OAB —* góc OBA= góc OAB

gu.

Gọi I là giao đicm cùa MA và EF —*■ A AEI cân ở I —* góc IAE = góc IEA -*• góc

FEA = góc OAB -► EF //AC .(1)
gv.

Mặt khác 1P là đường trung bình của A MAC —* IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra :

E,F, p thẳng hàng.
c) (1 đicm ) Do A MAF ~ A DBA ( g-g) ->•
gx.

g
w.
PD 9

_

BI) PB

XT

,

gy.

nr

Í

._ nl

d) Nôu - - = — = >
PB 16
9
16

MF AD , , FA AB

no- ii ci

=

=K

không đôi.
PD= 9k; PB = 16k.

gz.
Do đó CP2=PB PD -► ( 2,4)2=9.16k2k=0,2.
ha.
PD = 9k =1,8 PB -16
k = 3,2 DB=5
hb.
Từ đó ta chứng m i n h được BC:= BP. BD=16 Do đó :
BC = 4 cm CD = 3 cm Câu4 ( 1 điếm )
hc.
hd.
h e . đề 8
4
khi X = -1/2
Amax la
3
hf.

B à i l ( 2.5 điểm)

a, Cho a + b +c = 0. Chứng minh rằng a
b, Phân tích đa thức thành nhân tử:
hg.

1

+a2c - abc + b2c + b^ = 0

A = bc(a+d)(b-c) -ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)

Gv: Nguyễn Văn Tú

16

Trường THCS Thanh Mỹ


X

Cho bicu thức: y =
hh.

j.

;(x>0)
(* + 2004)

Bài 2: ( 1,5 đièm).
hi.
Tìm X đổ biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá

trị đó Bài 3: (2 ,5 điểm)
a, Tìm tất cả các so nguycn X thoà mãn phương trình: :
hj.
hk.

( 12x - 1 ) ( 6x - 1 ) ( 4x - 1 ) ( 3x - 1 ) = 330.
B, Giải bất phương trình: |JC — 6| < 3

hl.
Bài 4: ( 3 ,5 đicm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó. Kỏ IC vuông góc với ox ;
ID vuông góc với oy . Biết IC = ID = a. Đường thảng kỏ qua I cắt õ ở A cắt oy ờ b. A, Chứng
minh ràng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi.
hm.

B, Chứng minh rằng — =
hn.
DB OB-

c,

Biết SAOB = —. Tính CA ; DB theo a.
ho.

hp.
Bài 1: 3 đicm
a, Tính:
Ta có:
hq.
hr.

Đáp án

a3 + a2c - abc + b2c + b3

= (a3 + b3) + ( a2c -abc + b2c)= (a + b) ( a2 -ab =b2) + c( a2 - ab +b2)
= (a + b + c ) ( a 2- a b + b 2 ) = 0 ( Vì a+ b + c = 0 theo

giã thiết)
hs.

Vậy:a3 +a2c -abc + b2c + b3 = 0 ( đpCM)

b, 1,5 đicm Ta có:
ht.

bc(a+d) 9b -c) - ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)

hu.
hv.

= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] - ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)
= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) -ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)

(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) -c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) -a(b+d)]
hw.
= b(a-b). d(a-c) + c(a-c). d(b-a)
hx.

= d(a-b)(a-c)(b-c)

h y.
hz.

Bài 2: 2 Đicm

Đătt=——

-^ 20043'
Bài toán đưa về tìm X đè t bé nhất
, 4 _ (x + 2004)2 _ X2 + 2.2004x + 20042

ia.
ib. „
id.

ic.
ie.

2004x

if.__________ Dấu “ =” xây ra khi x= 2004
i g . ________________________________________________________Tu y ề n tập dề thi HSG
To á n 8_____________________________________________________________________
ih.
Từ (1) và (2) suy ra: t > 4 = > Vậy giá trị bc nhât của t = 4 khi X
=2004.


ii. Vậy ymax= —— = — Khi x= 2004 J
2004/

ij.

Bài 3:

a,

J

8016

2 Đicm

Nhân cả 2 vế cùa phương trình với 2.3.4 ta được:
ik.
(12x -1X12x -2)( 12x - 3)( 12x - 4) = 330.2.3.4 (12x-l)(12x-2)(12x-3)
(12x-4) = 11.10.9.8
il.
vế trái là 4 số nguycn licn tiếp khác 0 ncn các thừa số phải cùng dấu

( + )hoặc dáu ( - ).
im.

Suy ra ;

(12x -1X12x -2)( 12x - 3)( 12x - 4) = 11 . 1 0 . 9 . 8
in.

(1)
Va

(12x

-1X12x -2)( 12x - 3)( 12x - 4) = ( - 11 ) . (-10). (-9) .(-8)
(2)
io.
Từ phương trình ( l ) = > 1 2 x - l = l l < = > x = l ( thoã mãn)
ip.
1 2 x - l = - 8 <=> x=—iq.

Từ phương trình (2) =>
suyraxgZ.

Vậy x=l thoà mãn phương trình.

ir.

b, Ta có | x - 6 | < 3

o-3
<»3is.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình

s ={X

là:
it.

e R/ 3 < X < 9}.

Bài 4 : 3 Điểm
iu.
iv.
i w.
ix.

Ta có A c h u n g ; AIC = ABI ( cặp góc đông vị)
AIAC ~ A B A O (gg).

i y.
iz.

ID BD OB BD

Từ (1) và(2) Suy ra: — =
ja.
IC BD
jb.
Hay AC. BD = IC . ID = a2
jc. Suy ra: AC.BD = a2 không đổi.

jd.
u xru * /1\ ’ • í^\ t ' AC ID OA OA
Nhân (1) với (2) ta CÓ:
'

b,

mà IC = 1D (theo già thiết) suy ra:
j g . BD ~ OB-

c,

IC
BD OB OB

j f . AC _ OÁ*_

Theo công thức tính diộn tích tam giác vuông ta có; SAOB
=

ị OA.OB mà S

AOB

=

je.

( già thiết)


Suy ra: OA.OB = —

3

=>

Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = —


jk. 3

jh.

OA.OB = —
ji.
3

jj. => a2 + a( CA + DB ) + CA . DB =


Mà CA . DB = a2 ( theo câu
— 2a'

jl.
a) => a(CA +DB) =
16ữ:
jm.
jn.

■»

jo.

CA + DB+
Giải hộ pt

jp.

—----------------

10fl:

CA.DB = a:

• Vậy:

CA + DB
=

2a

10í/:

=> CA = — và DB = 3a 3
Hoặc CA = 3a và DB =3

jq.
j r.
js.

đề 9
jt.
k . ----------------------------------------------------Bài l( 2 (Hem). Cho biểu thức : p =
-------------------------------------------------------Ĩ-.----- - ------------- - -—---------l . ----(*+y)(l-y) (v + j)(l + .v) (.v + l ) ( l y)
m.
n.
o.
ju.
j v.

1 .Rút gọn p.
2.Tìm các cặp số (x;y) e z sao cho giá trị của p = 3.
Bài 2(2 diếm). Giải phương
trinh:
]
]
]

_________
1
____________ ____________ ______________1
2
X - 5 . X + 6 X2 - 7 x + 1 2 X2 - 9 x + 2 0 X2-1G + 30 8

Bài ỉ( 2 (liếm). Tìm giá trị lớn nhất cùa bicu thức:
M=

2.V + 1



X +2
j w.
B(ìi
4
(3
dỉem).
Cho
hình
vuông
ABCD

cạnh bang a. Gọi E; F lần lượt là trung đicm
jx.
của các cạnh AB, BC. M là giao đicm cũa CE và DF.
j y.
1 .Chứng minh CE vuông góc với DF.
jz.
2. Chứng minh A MAD cân.
ka.
3. Tính diện tích A MDC theo a.
kb. ,
3

Bài 5(I diêm).
Cho các sô a; b; c thoả mãn : a + b + c = -.
kc.

k dm
. i n h rằng :
Chứng

a2 + b 2 + c2 > —.

2

4

p . Đáp án
q . Bài 1. (2 điểm - mỗi câu 1 điểm)
r. MTC : (*+>’)(* + l ) ( l - y )
s . V 0+ 0-y2 (1 ->')-x 2 y 2 ( x+y ) _ ( x+y )(\ + x)(l -y) (x- y +
x y) {x + y)ịl + x){ !->•)

(x+y)(l + x)(ly)
t.

p = x - y + x y .Với X * -l;.v ^ —y\y * 1 thì giá trị bicu thức được xác định.
u. 2. Đe p =3

<=>X -y + xy = 3<=>.V-y + x y -1 =2


kh.
ki.
kj.
kk.
kl.
km.
kn.
ko.
kp.
kq.
k r.
ks.
kt.
ku.
k v.
k w.

x . [y +1 = -2
y. Ấ-l = l [Y+1=2
z . fjc—1 = 2 [>’+1 = 1

kx.
k y.
kz.
aa.

la.
ab.

[ > + ! = - ! \Y = -2

Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì p = 3.
Bài 2.(2 diếnt) Điều kiện xác định:
lc.
ac.
X #2
ld.
ad. X
■* 3
le.
lb.

l f.

ịx*4

lg.

X* 5

l h .a e .

x#6

Ta có :

li.

af.

lj.

3)

lk.

ag.

X 2 -7.1 +12 = (JC-3)(JC-4)

ll.

ah.

X2 -9.v + 20 = (.v-4)(.v-5)

lm.
l n .a j .
al.

X2 - 5x +

6=

( . V

-

2)(

ai.
.V2-11.V + 30 = (.V-5)(.V-6)
Phương trình đã cho tương đương với :
ak.
111
(x-2)(x-3) (.v-3)(.v-4) (,t-4)(.v-5) (,v-5)(.v-6) ~ 8

am.
11

. V

-

1
1


v. o ( * - l ) ( y + l ) = 2
w. Các ước nguycn của 2 là :
±1;±2. Suy ra:
lo.

vr-l = -1

JC =
<= 0
>
y=(loại).
<= 3
> x = 2
y=1
o
x-3

lp.
lq.
l r.
ls.
lt.
lu.

V=0

l v.

X -

l w.

-1

(loại)

lx.
l y.

1
x-3
1
o
x-b
o

. V

2

+ 2) = 0

-8.V-20 = 0 <

11

11

1
1
x-2 ' X 4
1
1
x-2
8
= >

( . V

- 10)(.v

.V = thoã mãn điều kiện phương trình.
10
X = -2

Phương trình có nghiệm : X = 10; X = -2.
Bài 3.(2cỉiếm)


2.V + 1+.V2 +2-.V2 -2 ^ A'2 +2-(.v2

lz.

2
m a . -2.v + l) X +2 ~

X2

+ 2

mb.
mc.
md. í -ir
me.
M lớn nhất khi * -1 ' nhỏ nhất.
m f. .V +2
mg.
mh.

f

V



1

)

'

2

Dấu “=” xảy ra khi x-1 =0 <=> V = 1. Vậy M„iax = 1 khi X = 1.

mi.
mj.

2

Vì (.v-l) ằOV.r và +2J)0V.Í ncn v J ’ nhỏ nhât khi (.v-l) = 0.

Bài 4. . (3ỉếm)

a. □ BEC =□ C FD(c.gj c ) => ễ, = Ễ),
m k . DCDF vuông tại c => ^ + 2), = 90° => p, + ẽ, = 90° =ìOCMF vuông tại M
Hay CE 1 DF.
b. Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :
ml.
UAFK =L BEC(g-c.g) => BC = AK
mm.

=> AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M => AM = -KD =
2

AD =ÌŨAMD cân tại A

mn.

CD _ CM

c. □ CMD □□ FD ~ FC

Mà : StFCD=- CF.CD = - CD2.
FCD(g.g) =>

: cm
+ o->c
.
4

b 2 +- >b

4

K

A

Trong □ DCF theo Pitago ta có :
= CD2 + — CD1 =-.CD2
4
4

BFc

Do đó : S
Bài 5 (1 di êm )

Tương tư ta cũntỊ có:
mp.
4 4

b2 + — > b ; c2 + — > c

D


mq.
Cộng ve với ve các bal dẳng thức cùng chiều ta dược:u2 + b2 +c2 +-> a
+ b+c. V ì a + b + c = - n ê n : a2 +b2 + C 2 > —
mr.

Dấu ‘ ” xảy ra khi a = b = c =-.
ms.

mt.

đề 10

Câu 1. (l,5đ)

mu.---------------------------------------------Rút gọn biổu thức : A = — + — +
+
-------------------------------------------------+
m v. 2.5
5.8 8.11 (3/ Ỉ + 2)(3 H + 5)
mw.
Câu 2. (l,5đ) Tìm các số a, b, c sao cho :
mx.

Đa thức X 4 + ax + b chia hết cho ( x 2 - 4)

my.-------------------------------------------------------------------------------- Câu 3 . (2đ) Tìm
các giá tri nguycn cùa X đc bicu thức — ----------------------------------------- có giá tri nguycn.
mz.
X - X + 1
na.
Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
nb.
Chứng m i n h rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)
nc.
Câu 5 . Chứng minh rằng trong một tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác là o. Thì H,G,0 thăng hàng.
nd.
ne.

Đáp án

Câu 1.

NF.

A=Ị(Ị-Ị+Ị-Ỉ+
+
ng.
3 2
5
58
3n + 2 3w + 5
nh.
_ 2, 1 1 V n + ì _
ni. 3
2 ỉn+ 5
6»+ 10
4
nj.
Câu 2. Chia đa thức X + ax + b cho
2
X — 4 được đa thức dư suy ra a = 0 ; b = - 16.

nk.

Câu 3. —T-Í— € z <=> X 2 - X +1 = U(7)=ỊM,! 7 }

nl.

Đưa các phương trình về dạng tích.

nm.

Đáp số X = {-2.1.3}.

nn.
Câu 4. Từ
2
giả thiết = > a < b + c = > a < a b + ac Tưng
tự
bc
np.

b2 < ab +
no.
c2 < ca + cb
Cộng hai vế bất đang thức ta được (đpcm)

A


nq.
Câu 5. trong tam giác ABC H là trực
tâm, G là Trọng tâm, o là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác.
nr.

- Chi ra được ——=- ,
IỈAG=OMG AG 2

ns.-------------Chi ra
CK =

=- (Bang cách vẽ BK nhận o là trung đicm chứng minh

nt.
AH)
nu. => VAHG: VMOG
(c.g.c) => H,G,0 thăng
hàng.
n v.

đề 11

n w.
3jc3 -Ỉ4X2 + 3.X +
36 Câu l:Cho bicu thức: A=~ĩ 77 ĩ 77
7
nx. 3* -19* +33X-9
a, Tìm giá trị của bicu thức A xác định.
b, Tìm giá trị của bicu thức A có giá trị bang 0.
c, Tìm giá trị nguycn của X đẻ A có giá trị nguycn.
n y. Câu 2 :
nz.

,a, Tìm giá trị nhò nhất của biểu thức : A= (* + 16)(* + 9) vóri x>0.
oa.
X

ob.
oc.

•b, Giải phương trình: I x+1 |+: I 2x-l |+2x =3
Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích s. Gọi K,L,M,N lần lượt là các đicm thuộc

các cạnh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= X .
od.
.a, Xác định vị trí các đicm K,L,M,N sao cho tứ giác M N K L có diện tích mhỏ
nhất.
oe.

,b, Tứ giác MNKL ờ câu a là hình gì? cần thèm điều kiện gì thì tứ giác M N K L là

hình chữ nhật.
of.
Câu 4: Tìm dư của phcp chia đa thức
og.

x"+ x55+x"+x+ 7 cho x2-l
oh.

oi.

Câụi(3đ)

a. ( l đ )

oj.

Ta có A=-—-Ae-——(0,5đ)~

Dáp án


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×