Tải bản đầy đủ

DAO ĐỘNG của sợi dây

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA VẬT LÝ

TIỂU LUẬN
PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOLIC
DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY
Giáo viên hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

Dương Thị Diễm My

TRẦN NGỌC ƯỚC
Mã SV: 17S1031081
Lớp: Lý 2A

Huế, ngày 22 tháng 12 năm 2018


Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn cô giáo Dương Thị

Diễm My đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập để làm bài tiểu luận này,đã tạo cơ
hội để em thực hiện nghiên cứu đề tài này và đã bỏ thời
gian ra để đọc bài tiểu luận.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng không thể tránh
khỏi những sai sót trong phần tiểu luận nên mong thầy
cô thông cảm cho chúng em. Sau cùng mong thầy cô
đóng góp thêm ý kiến để em có kinh nghiệm.

Em xin chân thành cảm ơn!


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
PHẦN NỘI DUNG .............................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ THỰC TIỄN ............................................................... 3
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT............................................................... 3
Bài 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY ..................... 3
Bài 2: DAO ĐỘNG CỦA DÂY DÀI VÔ HẠN ............................................ 4
Bài 3: DAO ĐỘNG CỦA DÂY HỮU HẠN ................................................. 6
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG .......................................... 11
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 48


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí học là một nghành khoa học tự nhiên có liên quan chặt chẽ đến các
ngành khoa học khác. Đặc biệt toán học là một công cụ không thể thiếu để giúp
cho ngành vật lí phát triển. Các lý thuyết vật lý đã sử dụng ngôn ngữ toán học
để nhận được những công thức chính xác miêu tả đại lượng thu được những
nghiên cứu chính xác vật lý hay những giá trị ước lượng và tiên đoán hệ quả.
Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm của vật lý đều được biểu hiện bằng
các giá trị số. Càng đi sâu vào nghiên cứu ta càng thấy vật lý và toán học có sự
giao thoa với nhau.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lí rất đa dạng, từ các phương trình
vật lí toán cơ bản ta có thể xây dựng được một loạt phương trình dao động như:
phương trình dao động của sợi dây, phương trình truyền nhiệt,..Các kiến thức
này vô cùng cần thiết để sinh viên có thể tiếp thu và hiểu rõ hơn về các phương
trình vật lí, làm nền tảng cho những kiến thức vật lí phức tạp hơn. Chính vì vậy,
em đã chọn đề tài “Dao động của sợi dây hữu hạn” để nghiên cứu. Mong rằng
đề tài này sẽ là tài liệu tham khảo giúp ích cho các bạn sinh viên.
2. Mục đích
Phân loại và giải một số bài tập về phương trình dao động của sợi dây
3. Giả thuyết khoa học
Dùng các phương pháp toán học để thiết lập và giải các bài tập về phương trình
dao động của sợi dây
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về dao động của sợi dây hữu hạn
4. Phương pháp ngiên cứu
Nghiên cứu lí luận:
1


-Vật lí lí thuyết
-Phương pháp giải tích toán học
Thực hành:
-Giải các bài tập theo dạng đã chia
5. Ý nghĩa của đề tài
Nếu những mực tiêu đó được thực hiện một cách hiệu quả thì sẽ mang lại ý
nghĩa rất lớn giúp sinh viên khoa vật lí dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập
liên quan tới dao động của sợi dây thuộc chuyên ngành vật lí lí thuyết.
6. Cấu trúc tiểu luận
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Cơ sở lí thuyết
Bài 1: Lập phương trình dao động của sợi dây
Bài 2: Dao động của dây dài vô hạn
Bài 3: Dao động của dây hữu hạn
1. Phương trình thuần nhất
2. Phương trình không thuần nhất
Chương 3: Một số bài tập ví dụ
1. Bài tập về dao động của dây dài vô hạn
2. Bài tập về dao động tự do của dây hữu hạn
3. Bài tập về dao động cưỡng bức của dây hữu hạn

2


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ THỰC TIỄN
Phương trình sóng còn được gọi là phương trình Hypebolic, nó đóng một vai trò
quan trọng trong vật lý cũng như các ngành kỹ thuật, được thiết lập trên cơ sở
nghiên cứu các dao động của: dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo ra do thủy
triều, sóng đàn hồi, sóng điện từ trường...Ở đây, ta chủ yếu nghiên cứu phương
trình sóng của dao động của sợi dây.

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Bài 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY
Phương trình dao động của sợi dây là phương trình sóng (phương trình
Hypebolic).
Xét 1 sợi dây mảnh có độ dài l, căng ngang với hai đầu mút cố định, dây đàn
hồi và dao động bé nên lực căng T là như
nhau đối với mọi điểm của sợi dây.
Ở trạng trái cân bằng, dây nằm dọc theo
trục Ox, dao động xảy ra thì dây di chuyển
vuông góc với Ox trên mặt phẳng đi qua
Ox.
Tổng hình chiếu của lực căng dây theo phương Ou là: T sin  2 − T sin 1
Giả sử ngoại lực tác dụng lên dây là trọng lực
Mật độ phân bố của ngoại lực tác dụng lên dây là: −  .g ( x, t )
x2

Tổng hợp ngoại lực tác dụng lên dây là: −  .  g ( x, t )dx
x1

3


Với  là mật độ khối của dây,  = const (vì dây đồng nhất)
2
Gia tốc của các điểm trên dây: utt =  u2

t

Áp dụng định luật II Newton:
x2

x2

x1

x1

(T sin  2 − T sin 1 ) −  .  g ( x, t )dx =   .utt ( x, t )dx (*)

Vì dao động bé nên : sin  =

tg
1 + tg 

Suy ra: T sin  2 − T sin 1 = T . u x

2

 tg =

u
= ux
x
x2

x = x2

− T . ux

x = x1

=  T .u xx dx
x1

Thay vào phương trình (*), ta có:
x2

 T .u

xx

−  .g ( x, t ) −  .utt ( x, t ) dx = 0

x1

 −T .u xx +  .g ( x, t ) +  .utt ( x, t ) = 0

với (a 2 = T  0)


 utt − a 2 .u xx = − g ( x, t )

Phương trình utt − a 2 .u xx = − g ( x, t ) là phương trình dao động của sợi dây.

Bài 2: DAO ĐỘNG CỦA DÂY DÀI VÔ HẠN
 Xét bài toán dao động của dây dài vô hạn. Hình dạng dây ở thời điểm ban đầu
là u ( x, 0) = f ( x) và vận tốc ban đầu ut ( x,0) = F(x) . Hàm f ( x) , F(x) xác định trên
toàn bộ x
Ta có dạng bài toán lí sau: Tìm nghiệm u ( x, t ) , −  x  +, t  0 của phương trình
utt − a 2u xx = 0 (1). Thỏa mãn các điều kiện ban đầu:

u ( x, 0) = f ( x) và ut (x,0) = F ( x)

Cách giải: Dùng phương pháp đổi biến:

4


 x = 1
 = 1
 = x + at
 x


 = x − at
t = a
t = −a
u x = u  x + u x = u + u
u xx = u  x + u x + u . x + u x = u + 2u + u
ut = u t + ut = a(u − u )
u tt = a ( u t + ut − u .t − ut ) = a 2 ( u − 2u + u )

Thay vào phương trình (1):
−4a 2u = 0





 u 
u
= 1 ( )

=0

  

 u( , ) =  1 ( )d + ( )
 u( , ) =  ( ) + ( )

với  ( ), ( ) được tìm bởi điều kiện ban đầu
Trở về biến cũ:
u(x, t) =  (x − at) +  (x + at)

u t (x, t) =  (x − at)

(2)

n

+  (x + at)
t
t

Từ điều kiện ban đầu, ta có:
{

u ( x, 0) =  (x) + (x) = f(x)

(3)

u t (x, t) = a ( − (x) + (x) ) = F ( x)

(4)

Tích phân 2 vế của (4) từ 0 đến x
x

x

x

0

0

0

a   − (x1 ) + (x1 ) dx1 =  F ( x1 ) d x1  a  − ( x) +  (0) + ( x) − (0)  =  F ( x1 ) d x1
x

1
  ( x) −  ( x) =  F ( x1 ) d x1 + c (*)
a0
5


với c =  (0) −  (0)
Từ (3)   ( x) = f ( x) −  ( x) thay vào phương trình (*)
x

1
1
c

(
x
)
=
f
(
x
)

F ( x1 ) d x1 −


2
2a 0
2


x
 ( x) = 1 f ( x) + 1 F ( x ) d x + c
1
1

2
2a 0
2


Đặt các hệ thức trên vào (2) ta được nghiệm:
x + at

1
1
u ( x, t ) =  f ( x + at ) + f ( x − at )  +
F ( x)dx
2
2a x −at

Đây là công thức D’Alembert

Bài 3: DAO ĐỘNG CỦA DÂY HỮU HẠN
1. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn (Phương trình thuần nhất)
 Bài toán 1: Xét sợi dây hữu hạn có chiều dài l, hai đầu mút của dây bị gắn
chặt. Tìm dao động của sợi dây, biết sợi dây có hình dạng ban đầu là f(x), và
vận tốc ban đầu là F(x).
Bài toán toán lí: Tìm nghiệm của phương trình: utt − a 2 .u xx = 0 (1) , với
0  x  l, t  0

Thỏa mãn điều kiện biên: u (0, t ) = u (l , t ) = 0 (2)
và điều kiện ban đầu: u( x,0) = f ( x), ut ( x,0) = F ( x) (3)
 Cách giải: Sử dụng phương pháp tách biến
Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng là tích của một hàm chỉ
phụ thuộc vào t và một hàm chỉ phụ thuộc vào x.
u ( x, t ) = X ( x).T (t )

với X ( x)  0, T (t )  0

Phương trình (1) tương đương:
6


X ( x).T (t ) − a 2 X ( x).T (t ) = 0


 X ( x) − b. X ( x) = 0
X ( x) 1 T (t )
= 2
=b
2
X ( x) a T (t )
T (t ) − a b.T (t ) = 0

Áp dụng điều kiện biên (2), ta có:
u (0, t ) = X (0).T (t ) = 0  X (0) = 0


u (l , t ) = X (l ).T (t ) = 0
 X (l ) = 0

Bước 2: Giải từng phương trình với từng bước riêng biệt kết hợp điều kiện biên
Giải phương trình: X ( x) − b. X ( x) = 0 (4)
TH1: Giả sử b =  2 thì phương trình (4) có nghiệm là: X ( x) = c1.e x + c2 .e−  x
c1 + c2 = 0

Điều kiện biên cho ta: 

l
− l
c1.e + c2 .e

c = 0
(loại vì sẽ cho ra nghiệm tầm
 1
= 0 c2 = 0

thường)
TH2: Nếu b=0 thì phương trình (4) có nghiệm: X ( x) = c1 x + c2
c2 = 0
c = 0
(loại vì sẽ cho ra nghiệm tầm
 2
c1l + c2 = 0 c1 = 0

Điều kiện biên cho ta: 
thường)

TH3: Nếu b  0 , giả sử b = − 2 = (i)2 thì phương trình (4) có nghiệm là:
X ( x) = c1.cos  x + c2 sin  x
c1 = 0
c1 cos l + c2 sin l = 0

Điều kiện biên cho ta: 

Để phương trình không có nghiệm tầm thường thì: c2  0
thì khi đó: sin l = 0  l = k   =

k
l

(với k = 1, 2,3,... )

Vậy nghiệm của phương trình (4) là: X k ( x) = Ck .sin

7

k
x
l


với Ck : hệ số, X k ( x) :hàm riêng vủa phương trình (1) và điều kiện biên (2)
Giải phương trình: T (t ) − a 2b.T (t ) = 0 (5)
T (t ) − a 2b.T (t ) = 0  T (t ) + (a ) 2 .T (t ) = 0
ak
ak
 T (t ) = Ak .cos
t + Bk .sin
t
l
l

(với  =

k
)
l

Vậy nghiệm tổng quát:
u ( x, t ) = X ( x).T (t ) = (ak .cos

ak
ak
k
t + bk .sin
t ) sin
x
l
l
l

( ak = Ak .Ck và bk = Bk .Ck )
Bước 3: Xác định ak , bk từ điều kiện ban đầu


Nghiệm của phương trình (1) là u ( x, t ) =  uk ( x, t )
k =1

Điều kiện ban đầu:
k x

ak .sin
= f ( x)


l
u ( x, 0) = f ( x)
 k =1
 

ut ( x, 0) = F ( x)
 k a .b .sin k x = F ( x)
k

l
l
k =1

k x
k x
k x

 ak .sin l .sin l = f ( x) sin l
 k =1
 
 k a .b .sin k x sin k x = F ( x) sin k x
k

l
l
l
l
k =1
l
 l
k x
k x
k x
a
.sin
.sin
dx
=
f ( x) sin
dx
  k

l
l
l
 k =1 0
0
 l
l

k a
k x
k x
k x

.b k .sin
sin
dx =  F ( x) sin
dx


l
l
l
0
 k =1 0 l
l
 l l

k x
2
k x
dx
dx
ak . =  f ( x) sin
ak =  f ( x) sin
l
l 0
l
 2 0



l
l
 k a . l .b = F ( x) sin k x dx
b = 2 F ( x) sin k x dx
 l 2 k 
 k k a 
l
l
0
0



8


2. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn (Phương trình không thuần
nhất)
 Bài toán 2: Tìm nghiệm của phương trình: utt − a 2 .u xx = − g ( x, t ) (1) (với
0  x  l, t  0 )

Thỏa mãn các điều kiện ban đầu: u( x,0) = f ( x), ut ( x,0) = F ( x)
và điều kiện biên sau: u (0, t ) = u (l , t ) = 0
 Cách giải: Vì toán tử L = utt − a 2 .u xx là tuyến tính nên nghiệm của (1) là tổng
nghiệm của hai bài toán sau:
vtt − a 2 .v xx = − g ( x, t )

(II) và
 v(0, t ) = v(l , t ) = 0
 v( x, 0) = v ( x, 0) = 0
t


 w tt − a 2 .w xx = 0

(III)
 w(0, t ) = w(l , t ) = 0
 w( x, 0) = f ( x), w ( x, 0) = F ( x)
t


Khi đó: u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )
Giải hệ phương trình (III):
Giải tương tự như bài toán 1 thì nghiệm của hệ (III) là:


w( x, t ) =  (ak .cos
k =1

ak
ak
k
t + bk .sin
t ) sin
x
l
l
l

Giải hệ phương trình (II):
Từ kết quả của bài toán 1 với điều kiện biên bằng 0, ta có: vk ( x, t ) = Tk (t ).sin




k =1

k =1

Nghiệm tổng quát có dạng: v( x, t ) =  vk (x, t ) =  Tk (t ).sin

k x
l

k x
l


Giả sử hàm -g(x,t) được phân tích thành chuỗi theo sin: − g ( x, t ) =   k (t ).sin
k =1



Ta có: vtt =  Tk (t ).sin
k =1


k x
k
k x
, vxx = − Tk (t ).( ) 2 .sin
l
l
l
k =1

Thay vào phương trình vtt − a 2 .v xx = − g ( x, t ) ta được:
9

k x
l




 Tk (t ).sin
k =1


k x
k
k x 
k x
+ a 2  Tk (t ).( ) 2 .sin
=   k (t ).sin
l
l
l
l
k =1
k =1

 Tk (t ) + a 2 (

k 2
) Tk (t ) =  k (t )
l

(*)

(với k=1,2,3...)

Giải phương trình (*):
Nghiệm của phương trình thuần nhất Tk (t ) + a 2 (
Tk (t ) = c1.cos k t + c2 .sin k t với k =

k 2
) Tk (t ) = 0 là:
l

ak
l

với phương trình không thuần nhất thì nghiệm có dạng:
Tk (t ) = ak (t ).cos k t + bk (t ).sin k t
Tk (t ) = ak (t ).cos k t + bk (t ).sin k t + k  −ak (t ).sin k t + bk (t ).cos k t 

chọn ak (t ) , bk (t ) sao cho: ak  (t ).cos k t + bk  (t ).sin k t = 0 (**)
Tk  (t ) = −k  ak  (t ).sin k t − bk  (t ).cos k t  − k 2  ak (t ).cos k t + bk (t ).sin k t 



Thay vào (*):
Tk (t ) + a 2 (

k 2
) Tk (t ) =  k (t )  −k  ak  (t ).sin k t − bk  (t ).cos k t  =  k (t ) (***)


l

t

−1
a
(
t
)
=
 ( ) sin k d + c1
 k
k 0 k

Từ (**) (***) suy ra: 
t
b (t) = 1  ( ) cos   d + c
k
2
 k
k 0 k


Áp dụng điều kiện ban đầu:
v( x, 0) = vt ( x, 0) = 0  Tk (0) = Tk  (0) = 0
 ak (0) = bk (0) = 0  c1 = c2 = 0

10


 Tk (t ) = ak (t).cos k t + bk (t).sin k t
=
=

−1

k
1

k

t

.  k ( ).sin k .cos k t +  k ( ).cos k .sin k t d
0

t



k

( ).sin k (t −  )d

0


1
k x
k x
=
 k ( ).sin k (t −  )d .sin
Vậy v( x, t ) =  vk (x, t ) =  Tk (t ).sin

l
l
k =1 k 0
k =1
k =1




t

Kết luận nghiệm tổng quát của bài toán là:
u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )


=
k =1

1

k

t

  k ( ).sin k (t −  )d .sin
0

k x 
ak
ak
k
+  (ak .cos
t + bk .sin
t ) sin
x
l
l
l
l
k =1

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Bài tập về dao động của sợi dây dài vô hạn
2
2
VD1: Giải phương trình:  u2 = a 2  u2 với −  x  +, t  0

t

thỏa mãn các điều kiện: u(x, t)

x

t =0

=

x
u

2
t
1+ x

t =0

= sin x

Cách giải:
Áp dụng công thức D’Alembert ta có:
u ( x, t ) =

x + at
1  x + at
x − at  1
+
+
sin xdx
2 1 + ( x + at ) 2 1 + ( x − at ) 2  2a x −at

=

1  x + at
x − at  1
+
− cos x

2
2 1 + ( x + at ) 1 + ( x − at ) 2  2a

=

1  x + at
x − at  1
+
−  cos( x + at ) − cos( x − at ) 

2
2 1 + ( x + at ) 1 + ( x − at ) 2  2a

=

1  x + at
x − at  1
+
+ sin x sin at

2
2 1 + ( x + at ) 1 + ( x − at ) 2  a

x + at
x − at

11


2
2
VD2: Giải phương trình:  u2 = a 2  u2 với −  x  +, t  0 thỏa mãn điều kiện:

t

u(x, t)

t =0

=

sin x
u

x
t

t =0

=

x

1
1 + x2

Cách giải: Áp dụng công thức D’Alembert
x + at

1  sin( x + at ) sin( x − at )  1
1
u ( x, t ) = 
+
+
dx


2  x + at
x − at  2a x − at 1 + x 2
=

1  ( x − at ) sin( x + at ) + ( x + at ) sin( x − at )  1
arctgx

+
2
x 2 − a 2t 2
2
a


x + at
x − at

1  x sin( x + at ) + x sin( x − at ) − at sin( x + at ) + atsin( x − at )  1
 + 2a  arctg ( x + at ) − arctg ( x − at )
2 
x 2 − a 2t 2


x sin x cos at − at cos x sin at 1
2at
=
+ arctg 
2
2 2
2
2
x −a t
2a
1 + x − (at ) 

=

vì nếu đặt arctg ( x + at ) − arctg ( x − at ) =  ta có:
tg =

tg  arctg ( x + at )  − tg  arctg ( x − at ) 

1 + tg  arctg ( x + at ) .tg  arctg ( x − at ) 

=

( x + at ) − ( x − at )
2at
=
2
1 + ( x + at )( x − at ) 1 + x − ( at ) 2

2
2
VD3: Giải phương trình:  u2 = a 2  u2 với −  x  +, t  0 thỏa mãn điều kiện:

t

u(x, t)

t =0

= x 2 = u 0 (x) ,

u
t

t =0

x

= sin 2 x = u1 ( x) và u(x, t)

x=0

=0

Cách giải: Trước hết để giải bài toán ta kéo lẻ hàm x 2 và sin 2 x sẽ được các
hàm:

𝑢0∗ = {

x2 , x  0
− x2 , x  0



𝑢1∗ = {

sin 2 x , x  0

− sin 2 x , x  0

Áp dụng công thức D’Alembert cho các hàm này ta có:
x + at

u ( x, t ) =

1
1
u0 *( x + at ) + u0 *( x − at ) +  u1 *( x)dx
2
2a x − at

12


x + at

=

1
1
x
( x + at ) 2 + ( x − at ) 2  +
sin 2 xdx 𝑣ớ𝑖 t 

2
2a x − at
a
x + at
0

1
1 
x
2
( x + at )2 + ( x − at )2  +
sin
xdx

sin 2 xdx  𝑣ớ𝑖 t   0
 

a
2a  0
x − at
{2


x 2 + a 2t 2 +

={
2axt +

t 1
x

cos 2 x sin 2at 𝑣ớ𝑖 t 
2 4a
a

1
x
 2 x − sin 2 x cos 2at  𝑣ớ𝑖 t   0
4a
a

VD4: Sợi dây dài vô hạn có độ lệch ban đầu được mô tả như hình dưới đây
a, Hãy tìm các công thức biểu diễn hình
dạng của dây khi t > 0.
b, Tìm các công thức biểu diễn định luật
chuyển động các điểm của dây hoành độ
khác nhau khi t >0
Cách giải:
a, Theo công thức D’Alembert ta có:
u ( x, t ) =

 ( x − at ) +  ( x + at )
2

𝑘ℎ𝑖 −  x  −c

0
Trong đó:  ( x) =

h(1 −

{ 0

x2
)
c2

𝑘ℎ𝑖 − c  x  c
𝑘ℎ𝑖 c  x  +

Để tìm công thức biểu diễn hình dạng của dây khi t  0 , ta hãy xem xét việc
chia các mặt hẳng pha ( x, t ) được đặc trưng bởi phương trình (1).
Đi từ các đầu mút trong khoảng (−c, c) , trên các đầu mút đó độ lệch ban đầu
khác 0, như thể hiện trên hình 3 vẽ mặt phẳng pha theo thời gian

13


Theo công thức ban đầu đã cho, xác định hình dạng của dây khi t = const được
phân thành hai trường hợp đặc trưng:
0t 

c
c
và  t  +
a
a

c
a

Nếu t = const , 0  t  , thì khi x thay đổi đơn điệu từ −∞ đến +∞, điểm ( x, t )
của mặt phẳng pha liên tiếp chuyển động đi lại trong các vùng I, IV, II, VI, III.
c
a

Như vậy khi 0  t  , hình dạng của dây có dạng tương ứng sau:
0

𝑘ℎ𝑖 − ∞ < 𝑥 < −𝑐 − 𝑎𝑡
2

(𝑥 + 𝑎𝑡)

[1 −
]
2
𝑐2
𝑥 2 + (𝑎𝑡)2
𝑢(𝑥, 𝑡) = ℎ [1 −
]
𝑐2
(𝑥 − 𝑎𝑡)2


[1
]
2
𝑐2
{ 0

𝑘ℎ𝑖 − 𝑐 − 𝑎𝑡 < 𝑥 < −𝑐 + 𝑎𝑡
𝑘ℎ𝑖 − 𝑐 + 𝑎𝑡 < 𝑥 < 𝑐 − 𝑎𝑡
𝑘ℎ𝑖 𝑐 − 𝑎𝑡 < 𝑥 < 𝑐 + 𝑎𝑡
𝑘ℎ𝑖 𝑐 + 𝑎𝑡 < 𝑥 < +∞

Công thức tương tự cũng nhận được khi

c
 t  +
a

b, Bây giờ hãy cho các công thức xác định u(x,t) với x = const , cính là quy luật
chuyển động của các điểm của dây với hoành độ cố định. Chọn các giá trị cố
định x trong mỗi khoảng −  x  c , −c  x  0 , 0  x  c , c  x  + và xem xét

14


các biểu thức toán học thay đổi như thế nào khi t biến đổi từ 0 đến + . Cuối
cùng nhận được kết quả:
𝑘ℎ𝑖 0  t 

0
α) u ( x, t ) =
{

h  ( x + at )2 
1−
2 
c 2 

𝑘ℎ𝑖

c+x
c−x
t 
a
a

0

𝑘ℎ𝑖

c−x
 t  +
a

β) u ( x, t ) =

 x 2 + a 2t 2 
h 1 −

c2



𝑘ℎ𝑖 0  t 

h  ( x + at )2 
1−
2 
c 2 

𝑘ℎ𝑖

{

 x 2 + a 2t 2 
h 1 −

c2



𝑘ℎ𝑖 0  t 

{

c+x
a

c−x
c−x
t 
,
a
a

0

𝑘ℎ𝑖

c−x
 t  +
a

0

𝑘ℎ𝑖 0  t 

0

−c  x  0 ,

}

c−x
a

𝑘ℎ𝑖

h  ( x − at )2 
1−
2 
c 2 

θ) u ( x, t ) =

}

c−x
 t  +
a

𝑘ℎ𝑖

h  ( x − at )2 
1−
2 
c 2 

−  x  −c ,

,

c+x
c−x ,
t 
a
a

0

{

𝛾) u ( x, t ) =

c+x
a

0 xc,

}

−c + x
a

𝑘ℎ𝑖

−c + x
c+x
t 
,
a
a

𝑘ℎ𝑖

c+x
 t  +
a

c  x  +

}

Chú ý rằng α) và β) nhận được từ θ) và γ) bằng cách đơn giản thay x bằng − x ,
bởi vì u ( x, t ) là hàm chẵn đối với x theo tính chẵn lẻ của hàm  ( x )
VD5: Vẽ dạng của sợi dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng 0,
còn độ lệch ban đầu được cho bởi

15


0 𝑘ℎ𝑖 x  1
x −1 𝑘ℎ𝑖 1  x  2
u( x, t ) t =0 =
3 − x 𝑘ℎ𝑖 2  x  3
{ 0 𝑘ℎ𝑖 x  3
1
2

Tại các thời điểm t0 = 0 , t1 = , t2 = 1, t3 = 2,5 . Xét dao động của các điểm x = 0 ,
x = 1 , x = −1 , biết vận tốc truyền sóng a = 2 .

Cách giải:
Ta có nghiệm tổng quát của bài toán cho sợi dây vô hạn theo công thức
A’Dlembert:
x + at

u ( x, t ) =

1
1
 f ( x − at ) + f ( x + at ) +  F ( )d 
2
2a x − at

Điều kiện để xét bài toán là:
u
t

t =0

= F ( x) = 0

 u ( x, t ) =

1
 f ( x − at ) + f ( x + at )
2

a, Tại t0 = 0  at0 = 0
0, x  1
 x − 1,1  x  2

 u ( x, 0) = f ( x) = 
3 − x, 2  x  3
0, x  3
1
2

b, Tại t1 =  at1 = 1
𝑘ℎ𝑖 x  0
x 𝑘ℎ𝑖 0  x  1
f ( x + 1) =
2 − x 𝑘ℎ𝑖 1  x  2
{0
𝑘ℎ𝑖 x  2
0

0 𝑘ℎ𝑖
x − 2 𝑘ℎ𝑖
f ( x − 1) =
3 − x 𝑘ℎ𝑖
{ 0 𝑘ℎ𝑖

16

x2

2 x3
3 x  4
x4


0

𝑘ℎ𝑖 x  0

x
𝑘ℎ𝑖 0  x  1
2
 1
u  x,  =
 2

2− x
𝑘ℎ𝑖 1  x  2
2
2− x
𝑘ℎ𝑖 2  x  3
2
4− x
𝑘ℎ𝑖 3  x  4
2

{ 0

𝑘ℎ𝑖 x  4

c, Tại t2 = 1  at2 = 2
0 𝑘ℎ𝑖 x  3
x − 3 𝑘ℎ𝑖 3  x  4
f ( x − 1) =
5 − x 𝑘ℎ𝑖 4  x  5
{ 0 𝑘ℎ𝑖 x  5

0 𝑘ℎ𝑖 x  −1
x + 1 𝑘ℎ𝑖 −1  x  0
f ( x + 2) =
− x + 1 𝑘ℎ𝑖 0  x  1
{
0 𝑘ℎ𝑖 x  1

𝑘ℎ𝑖 x  −1

0

x +1
𝑘ℎ𝑖 −1  x  0
2
1− x
𝑘ℎ𝑖 0  x  1
2

u ( x,1) =

0 𝑘ℎ𝑖 1  x  3
x −3
𝑘ℎ𝑖 3  x  4
2
x −5
𝑘ℎ𝑖 4  x  5
2

𝑘ℎ𝑖 x  5

{ 0
d, Tại t3 = 2,5  at3 = 5
0 𝑘ℎ𝑖 x  −4
x + 4 𝑘ℎ𝑖 −4  x  −3
f ( x + 5) =
− x − 2 𝑘ℎ𝑖 −3  x  −2
0 𝑘ℎ𝑖 x  −2
{

0 𝑘ℎ𝑖
x − 6 𝑘ℎ𝑖
f ( x − 5) =
8 − x 𝑘ℎ𝑖
{ 0 𝑘ℎ𝑖

17

x6
6x7
7 x 8
x 8


u ( x, 2,5) =

0

𝑘ℎ𝑖 x  −4

x+4
2

𝑘ℎ𝑖 −4  x  −3

−2 − x
2

𝑘ℎ𝑖 −3  x  −2
𝑘ℎ𝑖 −2  x  6

0
x−6
2

𝑘ℎ𝑖 6  x  7

x −8
2

𝑘ℎ𝑖 7  x  8
𝑘ℎ𝑖 x  8

{ 0
Dạng của sợi dây được biểu diễn như sau:

18


2. Bài tập về phương trình thuần nhất
VD1: Tìm dao động tự do của sợi dây hai đầu gắn chặt tại x=0 và x=l, nếu dạng
của sợi dây là u ( x, 0) = Bsin

x
4 x
và vận tốc ban đầu là u t ( x, 0) = sin .
2
l

Cách giải:

{

utt − a 2 .u xx = 0 𝑣ớ𝑖 0  x  l , t  0

(1)

u (0, t ) = u (l , t ) = 0

(2)

u ( x, 0) = Bsin

x
4 x
, u t ( x, 0) = sin
2
l

(3)

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng là tích của một hàm chỉ
phụ thuộc vào t và một hàm chỉ phụ thuộc vào x.
u ( x, t ) = X ( x).T (t )

với X ( x)  0, T (t )  0

Phương trình (1) tương đương:
X ( x).T (t ) − a 2 X ( x).T (t ) = 0


 X ( x) − b. X ( x) = 0
X ( x) 1 T (t )
= 2
=b
2
X ( x) a T (t )
T (t ) − a b.T (t ) = 0

Áp dụng điều kiện biên (2), ta có:
u (0, t ) = X (0).T (t ) = 0  X (0) = 0


u (l , t ) = X (l ).T (t ) = 0
 X (l ) = 0

Bước 2: Giải từng phương trình với từng bước riêng biệt kết hợp điều kiện biên
 Giải phương trình X ( x) − b. X ( x) = 0
Nếu b  0 , giả sử b = − 2 = (i)2 thì phương trình X ( x) +  2 X ( x) = 0 có nghiệm là:
X ( x) = c1.cos  x + c2 sin  x
c1 = 0
c1 cos l + c2 sin l = 0

Điều kiện biên cho ta: 

Để phương trình không có nghiệm tầm thường thì: c2  0
19


thì khi đó: sin l = 0  l = k   =

k
l

(với k = 1, 2,3,... )

Vậy nghiệm của phương trình X ( x) +  2 X ( x) = 0 là: X k ( x) = Ck .sin

k
x
l

với Ck : hệ số, X k ( x) :hàm riêng vủa phương trình (1) và điều kiện biên (2)
 Giải phương trình: T (t ) − a 2b.T (t ) = 0
T (t ) − a 2b.T (t ) = 0  T (t ) + (a ) 2 .T (t ) = 0

(với  =

ak
ak
 T (t ) = Ak .cos
t + Bk .sin
t
l
l


Nghiệm tổng quát của (1) là: u ( x, t ) =  (ak .cos
k =1

k
)
l

ak
ak
k x
t + bk .sin
t ) sin
l
l
l

Bước 3: Áp dụng điều kiện ban đầu:
2
4 x
k x
2B l
Bsin
sin
dx =
= B với (k = 4) (theo tính chất trực giao của hàm

l 0
l
l
l 2
l

ak =

sin)
2
x
k x
2 −1   x k x 
 x k x  
bk =
sin sin
dx =
cos  +
 − cos  −
 dx



ak 0
2
l
ak 2 0   2
l 
l  
2
l

l

l
( l + 2k ) x − cos ( l − 2k ) x dx
−1 
cos


ak 0 
2l
2l

l
l
l + 2 k ) x ( l + 2k  ) x
(
( l − 2k ) x d (l − 2k ) x . 2l
−1
2l
1
=
cos
d
.
+
cos


ak 0
2l
2l
2l
2l
( l + 2k ) ak 0
( l − 2k  )

=

=

( l + 2 k ) x l + 1
( l − 2k ) x
−1
2l
2l
sin
sin
0
ak ( l + 2k )
2l
ak ( l − 2k )
2l

=

( l + 2 k ) + 1
( l − 2k )
−1
2l
2l
sin
sin
ak ( l + 2k )
2
ak ( l − 2k )
2

=

( l + 2k ) − 1 sin ( l − 2k ) 
−2l 
1
sin


ak  ( l + 2k )
2
2
( l − 2k )


l
0

Vậy nghiệm của bài toán đã cho là
4a t
4 x
sin
l
l

( l + 2k ) − 1 sin ( l − 2k )  sin ak t sin k x
2l 
1
+ −
sin


ak  ( l + 2k )
2
2
l
l
( l − 2 k )
k =1


u ( x, t ) = Bcos

20


VD2: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình: utt − a 2 .u xx = 0 (1) với 0  x  l , t  0
thỏa mãn điều kiện ux (0, t ) = ux (l , t ) = 0
u ( x, 0) = 2sin x cos x

và 
ut ( x, 0) = 0

(2)
(3)

Cách giải:
Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng là tích của một hàm chỉ
phụ thuộc vào t và một hàm chỉ phụ thuộc vào x.
u ( x, t ) = X ( x).T (t )

với X ( x)  0, T (t )  0

Phương trình (1) tương đương:
X ( x).T (t ) − a 2 X ( x).T (t ) = 0
 X ( x) +  2 X ( x) = 0
X ( x) 1 T (t )
2

=
= −  
2 2
X ( x) a 2 T (t )
T (t ) + a  .T (t ) = 0

Áp dụng điều kiện biên (2), ta có:
ux (0, t ) = X (0).T (t ) = 0  X (0) = 0



u
(
l
,
t
)
=
X
(
l
).
T
(
t
)
=
0
 X (l ) = 0
 x

Bước 2:
 Phương trình X ( x) +  2 X ( x) = 0 có nghiệm là:
X ( x) = c1 cos  x + c2 sin  x
X ( x) = −c1 sin  x + c2 cos  x
c2 = 0
c1 sin l = 0

Điều kiện biên cho ta: 

Để phương trình không có nghiệm tầm thường thì: c1  0
thì khi đó: sin l = 0  l = k   =

k
l

(với k = 0,1, 2,3,... )

21


Vậy nghiệm của phương trình (4) là: X k ( x) = Ck .cos

k x
l

 Giải phương trình:
T (t ) + (a )2 .T (t ) = 0
ak
ak
 T (t ) = Ak .cos
t + Bk .sin
t
l
l

(với  =

k
)
l

Vậy nghiệm tổng quát:
u ( x, t ) = X ( x).T (t ) = (ak .cos

ak
ak
k x
t + bk .sin
t ) cos
l
l
l

( ak = Ak .Ck và bk = Bk .Ck )
Bước 3: Xác định ak , bk từ điều kiện ban đầu


Nghiệm của phương trình (1) là u ( x, t ) =  uk ( x, t )
k =0

Điều kiện ban đầu:
k x

ak .cos
= 2sin x cos x


l
u ( x, 0) = f ( x)
 k =0
 

ut ( x, 0) = F ( x)
 k a .b .cos k x = 0
k

l
l
k =0
l

1
a
=
 0
0 2sin x cos xdx

l
k x


a0 +  ak .cos l = 2sin x cos x
l


2
k x
k =1


dx
ak =  2sin x cos x cos

l 0
l
 k ab0 + k a .b .cos k x = 0


k
 l
b = 0
l
l
k =1
 0
bk = 0
l
1
1
−1
1
a0 =  2sin x cos xdx =  sin 2 xd 2 x = cos 2 x = (1 − cos 2l )
0
l0
2l 0
2l
2l
l

l

22


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×