Tải bản đầy đủ

SKKN rèn LUYỆN CHO học SINH PHƯƠNG PHÁP xác ĐỊNH và TÍNH các LOẠI góc TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết kinh
nghiệm đưa việc giải toán theo hướng tổng quát hóa cho một lớp các bài toán, từ
đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định
hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng
chính là đổi mới phương pháp dạy học.
Hinh học không gian là một trong những chủ đề khó của toán phổ thông
nhưng lại luôn có mặt trong các kì thi HSG cũng như tuyển sinh đại học. Không
những thế mà đây là bài toán hay, có nhiều cách giải độc đáo, nếu giải được gây
ra nhiều hứng thú cho người học. Đặc biệt bài toán xác định và tính các loại góc
trong hình học không gian lại gây nhiều khó khăn lúng túng cho học sinh THPT.
- Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và
gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp loại toán này. Tôi xin trình bày một
vài suy nghĩ của mình trong việc giải các bài toán tính góc trong hình học không
gian dưới dạng một bài viết nhỏ: “RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH PHƯƠNG
PHÁP XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH CÁC LOẠI GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN”. Hy vọng bài viết này phần nào giúp các em học sinh không lúng túng
khi gặp dạng toán này.
1.2. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI


Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ:
Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục,
giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng
giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán xác định và tính các loại góc trong
không gian. Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh cách vẽ hình,
nhận biết các dạng toán.
1


Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng không
rườm rà lôgíc phù hợp với mọi đối tượng học sinh THPT, có sáng tạo đổi mới.
Giới thiệu được các dạng toán cơ bản, đưa ra được giải pháp và một số bài tập
minh hoạ.
Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối
11, 12 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán.
Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán
gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể.
Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường
gặp tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận
xét bình luận khắc phục những sai lầm cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho
mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng
và sáng sủa nhất.

2


II. PHẦN NỘI DUNG
2.1 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Đa số học sinh THPT nhận thức chưa đầy đủ, chưa hệ thống được kiến
thức nên khi gặp các bài toán về góc chưa phân loại và định hình được cách giải,
lúng túng khi xác định và tính các loại góc cách trong không gian, trong khi đó
bài tập loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình hình học 11
lại dành một thời lượng rất ít cho phần này.
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày
nhận thấy đa số học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày
chưa chặt chẻ, thiếu tính lôgíc mà nguyên nhân chủ yếu là:
+ Học sinh thiếu trí tưởng tượng không gian nên hình vẽ bị sai hoặc thiếu
trực quan.
+ Học sinh chưa xác định được phương pháp tổng quát để xác định và
tính các loại góc trong không gian.


+ Học sinh chủ quan và ngộ nhận nên đẫn đến kết quả sai.
+ Học sinh thiếu thời gian rèn luyện, thời lượng dành cho bài toán về góc
trong chương trình hình học 11 là quá ít. Hơn nữa nội dung bài học này rơi vào
cuối học kì 2 nên giáo viên không có đủ thời gian để luyện tập thêm cho học
sinh.
2.2 MỘT SỐ GIẢI PHÁP
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của
đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh
với những giải pháp. Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ năng
khi xác định và tính các loại góc trong không gian.
2.2.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh xác định và tính góc giữa hai đường
thẳng.
Khái niệm:
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong
3


không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần
lượt song song (hoặc trùng) với a và b

( )

0
0
Chú ý: 0 ≤ a¶, b ≤ 90

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

( )

0
+ Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc thì a¶, b = 90

( )

0
+ Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì a¶, b = 0

+ Nếu hai đường thẳng a và b không song song, không trùng nhau và
cũng không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước
sau:
Bước 1. Chọn điểm O bất kì trong không gian sao cho từ O có thể xác
định được các đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song hoặc trùng với a và b
Bước 2. Sử dụng các định lý và tính chất của hình học phẳng để tính góc

α = ·AOB (A ∈ a’ và B ∈ b’).
Bước 3. Kết luận góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc α nếu
00 ≤ α ≤ 900 hoặc 1800 − α nếu α > 900.
Chú ý: Trên đường thẳng a’ nếu ta chọn điểm A (khác O) sao cho ta có
thể xác định được hình chiếu H của A trên đường thẳng b’ thì góc giữa hai
đường thẳng a và b chính là góc ·AOH .
Ví dụ 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi M, N, I lần
lượt là trung điểm BC, AD và AC. Biết
AB = 2a ,

St ⊥ SB ,

MN = a 5 . Tính góc

giữa hai đường thẳng AB và CD.

4


Bài giải
Theo tính chất của đường trung bình ta có MI // AB và MI =

1
AB = a .
2

1
IN // CD và IN = CD = a 2 .
2
Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI
và NI.
Trong tam giác MIN ta có
IM 2 + IN 2 − MN 2 2a 2 + a 2 − 5a 2
2
·
cos MIN =
=
=−
2 IM .IN
2
2a. 2a

·
Do đó MIN
= 1350
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 450.
Ví dụ 2: (Đề minh họa THPTQG năm 2018)
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB =
OC. Gọi M là trung điểm BC. Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng
A. 900

B. 300

C. 600

D. 450

Bài giải
Gọi N là trung điểm AC, ta có MN // AB nên góc
giữa hai đường thẳng OM và AB bằng góc giữa
OM và MN.
Tam

giác

AMN



MN =

1
a 2
,
AB =
2
2

1
a 2
1
a 2
, ON = AC =
nên OMN
OM = BC =
2
2
2
2
là tam giác đều. Do đó góc giữa hai đường thẳng OM và MN bằng 600.
Vậy góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng 600.

5


2.2.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh xác định và tính góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng.
Khái niệm:
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P).
+ Trường hợp đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng
góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900.
+ Trường hợp đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc
giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và
mặt phẳng (P).

(

)

0
0
Chú ý: 0 ≤ a· ,( P) ≤ 90

Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

(

)

0
+ Nếu đường thẳng a và mp(P) vuông góc thì a· ,( P ) = 90

(

)

0
+ Nếu đường thẳng a và mp(P) song song hoặc a ⊂(α) thì a· ,( P ) = 0

+ Nếu đường thẳng a và mp(P) không song song, a ⊄(P), a và mp(P) cũng
không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:
Bước 1. Xác định điểm O=a∩(P)
Bước 2. Trên đường thẳng a ta chọn
điểm A (khác O) sao cho ta có thể xác định
được hình chiếu H của A trên (P);
Bước 3. Kết luận góc giữa đường
thẳng a và (P) chính là góc ϕ = ·AOH .
6


Ví dụ 3
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a và tam giác ABC đều cạnh a.
a) Tính góc giữa SB và mp(ABC)
b) Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SC và mp(SAB). Tính tanϕ.
Bài giải
a) Ta có SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của SB
trên (ABC) suy ra góc ·ABS là góc giữa SB và
(ABC).
Tam giác SAB vuông cân tại A nên ·ABS = 450
Vậy góc giữa SB và (ABC) bằng 450.
b) Gọi I là trung điểm của AB, vì (ABC) ⊥ (SAB)
theo giao tuyến AB và CI ⊥ AB nên CI ⊥ (SAB).
·
Suy ra SC là đường xiên, SI là hình chiếu. Do đó ϕ = CSI
2

CI a 3 a 5
3
a
a 5
=
:
=
Ta có SI = SA + AI = a +  ÷ =
⇒tan ϕ =
SI
2
2
5
2
2
2

2

2

Ví dụ 4. (Đề thi chính thức THPTQG năm 2018)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SB = 2a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 600

B. 900

C. 300

Bài giải
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SB là đường xiên và
AB là hình chiếu.
Suy ra góc giữa SB và (ABCD) là góc ·ABS
Ta có cos ·ABS =

AB a 1
=
=
SB 2a 2

⇒ ·ABS = 600

7

D. 450.


Ví dụ 5 (Đề minh họa THPTQG 2018)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là
trung điểm SD. Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng
A.

2
2

B.

3
3

C.

2
3

D.

1
3

Bài giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD và H
là trung điểm OD. Ta có MH//SO và
SO ⊥ (ABCD) nên MH ⊥ (ABCD). Do
đó BM là đường xiên và BH là hình
chiếu. Suy ra góc giữa BM và (ABCD)
·
là góc MBH

1
a 2
Ta có MH = SO =
2
4
a 2
MH
1
·
=
= 4 = (ycbt)
Trong tam giác vuông HBM: tan MBH
BM 3a 2 3
4
2.2.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh xác định và tính góc giữa hai mặt
phẳng.
Khái niệm:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai
đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.

(

)

0
0
Chú ý: 0 ≤ (·α ),( β ) ≤ 90

8

St ⊥ SB


Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

(

)

0
+ Nếu hai mp(α) và mp(β) vuông góc thì (·α ),( β ) = 90

(

)

0
+ Nếu hai mp(α) và mp(β) song song hoặc trùng nhau thì (·α ),( β ) = 0

+ Nếu hai mp(α) và mp(β) không song song, không trùng và cũng không
vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:
Bước

1.

Xác

định

giao

tuyến
A

d=(α)∩(β);
Bước 2. Trên mặt phẳng (α) ta chọn
điểm A (A∉d) sao cho ta có thể xác định

d

O

H



H.6

α)

được đồng thời hình chiếu H của A trên (β);
và có thể xác định được hình chiếu O của A lên giao tuyến d;
Bước 3. Kết luận góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) chính là góc

ϕ = ·AOH .
Ví dụ 6: (Đề thi THPTQG năm 2018)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông
A’B’C’D’ và M là điểm thuộc OI sao cho MO = 2MI. Khi đó cosin của góc tạo
bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng
A.

6 85
85

B.

7 85
85

C.

Bài giải

9

17 13
65

D.

6 13
65


Ta có AB//C’D’ nên mp(MAB) cắt mp(MC’D’) theo giao tuyến là đường thẳng
d đi qua M và song song với AB.
Gọi E, F, G, H lầ lượt là trung điểm AB, CD, C’D’, A’B’ N là giao điểm của MG
và EH.
Ta có AB ⊥ (EFGH) nên d ⊥ (EFGH) suy ra ME ⊥ d và MG ⊥ d. Do đó góc
giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC’D’) là góc giữa hai đường thẳng ME và
MG.
Đặt AB = a, ta có MI =

a
a
2a
a 34
a 10
⇒ NH = ⇒ EN =
; ME =
; MN =
6
3
3
6
6

EM 2 + MN 2 − EN 2 7 85
·
Suy ra cos EMN =
=
2 EM .EN
85
Ví dụ 7: (Đề minh họa THPTQG năm 2018)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 2 3 và AA’ = 2. Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Cosin của góc tạo
bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng
A.

6 13
65

B.

13
65

C.

Bài giải

10

17 13
65

D.

18 13
65


Gọi P’ là trung điểm của B’C’; I là giao điểm của A’P’ với MN và O là giao
điểm của AP’ với PI.
 B ' C ' PMN
Ta có 
suy ra (AB’C’) cắt (MNP) theo giao tuyến là
O ∈ ( AB ' C ') ∩ ( MNP )

đường thẳng d đi qua O và song song với B’C’.
B 'C ' ⊥ A ' P '
 d ⊥ OP '
⇒ B ' C ' ⊥ ( AA ' P ' P ) ⇒ d ⊥ ( AA ' P ' P ) ⇒ 
Ta có 
 B ' C ' ⊥ AA '
 d ⊥ OI

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) là góc giữa hai đường thẳng
OP’ và OI.
Ta có AA’ = 2; A’P’ = 3 ⇒IP ' =

1
5
3
1
13
; OI = PI = ; OP ' = AP ' =
3
6
2
3
3

OI 2 + OP '2 − IP '2
13
·
cos IOP ' =
=−
2OI .OP '
65
Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng

13
.
65

Ví dụ 8: (Đề minh họa THPTQG năm 2019)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai mặt phẳng (A’B’CD) và
(ABC’D’) bằng:
A. 300

B. 600

C. 450

Bài giải
Ta có:
 AD’ ⊥ A’D
⇒ AD ' ⊥ ( A ' B ' CD)

AD
'

A
'
B
'

⇒ ( ABC ' D ') ⊥ ( A ' B ' CD)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (A’B’CD) và
(ABC’D’) bằng 900.

11

D. 900.


Ví dụ 9: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với
BA = BC = a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, AC . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( SEF ) và ( SBC ) .
Bài giải
 EF ⊂ ( SEF )

Vì  BC ⊂ ( SBC ) ⇒ giao tuyến của ( SEF ) và ( SBC )
 EF // BC

là đường thẳng qua S , song song với BC , là St .
 BC ⊥ AB

 BC ⊥ SA

( gt )

( vì SA ⊥ ( ABC ) )

⇒ BC ⊥ ( SAB )

⇒ BC ⊥ SB hay St ⊥ SB .
Tương tự EF ⊥ ( SAE ) ⇒ EF ⊥ SE mà EF // St ⇒ St ⊥ SE .
Vậy SB và SE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt
phẳng ( SEF ) và ( SBC ) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SE .

·
Ta tính góc BSE
.
Có SE = SA2 + AE 2 =

a
a 5
; SB = SA2 + AB 2 = a 2 ; BE = .
2
2

·
=
Theo định lí cosin ta có: cos BSE

SE 2 + SB 2 − BE 2
3
=
.
2.SE.SB
10

12


BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài tập 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB=a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
A'.ABC và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a,

SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN
và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
Bài tập 3: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và AD.
a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD), AC ⊥ (SHK)
b) Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SHD)
Bài tập 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh
2a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một
góc α. Hãy tìm α biết thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng 2 3a 3
Bài tập 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác
đều cạnh AB = a, cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC)
và (A’BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A’.BCC’B’.
Bài tập 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều
bằng a. Gọi M là trung điểm của CC’.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng MB và A’B’.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (ABC)

13


III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài:
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng
dạy tại trường THPT.
Hình học không gian là một nội dung quan trọng trong chương trình môn
toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một
mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 11,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng xác định và
tính các loại góc trong hình học không gian. Các em hứng thú học tập hơn, ở
những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở
lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở
các lớp khối 11 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu
và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên.
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy
phần toán hình học không gian giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải
tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung
và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2 Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học
tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.

14


- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu
lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở
nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao - Nhà xuất bản giáo dục
+ Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục
+ Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục
+ Toán nâng cao hình học 11 - Phan Huy Khải
+ Các đề thi đại học, đề thi THPTQG, đề minh họa các năm trước
 

16


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN I

1.1
1.2

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI

PHẦN II

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2.1
2.2
PHẦN III

THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
MỘT SỐ GIẢI PHÁP

KẾT LUẬN

3.1

Ý NGHĨA, PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI

3.2

KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
-----------------------------------------

17

Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 14
Trang 14
Trang 14
Trang 16



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×