Tải bản đầy đủ

Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán
lớp 12. Để hoàn thành tốt được kiến thức phần này thực sự không đơn giản. Đặc
biệt nói đến tính phân các hàm số lượng giác là một dạng tích phân khó. Nếu đi sâu
vào các hàm số lượng giác nữa thì lại càng khó. Trong các dạng tích phân về hàm
số lượng giác ta thường gặp một số dạng: Mẫu số là dạng thuần nhất của sin, của
cosin, đẳng cấp bậc nhất, bậc hai của sin và cosin... Để giải quyết cơ bản được các
dạng toán này ta sử dụng phương pháp tích phân liên kết là một trong những
phương pháp hữu hiệu nhất. Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục và đào
tạo có sự thay đổi lớn trong kỳ thi THPT Quốc gia trong đó môn Toán được thi
dưới hình thức trắc nghiệm. Đây là vấn đề khó khăn cho học sinh. Vì ngoài việc
giải quyết tốt bài toán còn đòi hỏi phản ứng nhanh, tính toán chính xác để đưa ra
kết quả nhanh kịp với thời gian quy định. Do vậy với bản chất là một dạng toán
khó, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh
thì đây chính là thách thức đối với học sinh lớp 12.
Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn
đề tài: “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên
hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân’’ làm đề tài sáng kiến
kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2017 – 2018. Rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện

hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác một
số dạng toán nguyên hàm và tích phân khó trong chương trình Giải tích 12 nhằm
rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng
lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tích phân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp tích phân liên kết - Chương
III – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của
học sinh.
1


1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát
thực tế dạy học phần nguyên hàm và tính tích phân ở trường THPT Triệu Sơn 3 để
từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp tích phân liên kết
trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa
Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản,
tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng
lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải
quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải
của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và
điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với
nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn
luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viên.
Trong bài “Nguyên hàm và tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa ra
hai phương pháp tính nguyên hàm và tích phân là đổi biến số và từng phần. Đây là


hai phương pháp cơ bản nhất, giải quyết được khá nhiều các bài tập nguyên hàm và
tích phân. Tuy nhiên trong một số dạng bài tập tích phân khó, đặc biệt là tích phân
hàm lượng giác thì hai phương pháp này không thể giải quyết được hoặc có thể giải
quyết được nhưng vô cùng phức tạp. Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung thêm
phương pháp tích phân liên kết, giúp học sinh dễ dàng giải quyết dạng toán này.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều
xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con
em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện
kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến
kết quả học tập của các em.
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để làm tốt, nhanh phần
nguyên hàm và tích phân thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có
2


khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư
duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm
yếu của không ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại
làm các dạng tích phân khó.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.
+) Bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp
+) Tính chất của nguyên hàm và tích phân
+) Phương pháp đổi biến số
+) Công thức lượng giác
+) Đạo hàm các hàm số lượng giác
2.3.2. Tìm hiểu tích phân liên kết.
b

Khi tính một số bài tích phân I = ∫ f ( x)dx , việc tính trực tiếp I tương đối khó
a

b

*
và phức tạp, do vậy ta tìm đến tích phân I = ∫ g ( x)dx , dựa vào I * hoặc kết hợp I
a

với I để tìm ra tích phân I . I được gọi là tích phân liên kết với I .
*

*

Từ các mối quan hệ ràng buộc giữa I và I * ta lập được hệ phương trình bậc
aI + bI * = c
a ' I + b ' I * = c '

nhất hai ẩn: 

Giải hệ phương trình ta tính được I .
Một số trường hợp thường gặp:
Trường hợp 1: Tính trực tiếp tích phân I * (với I * là tích phân đơn giản), từ
đó suy ra I .
Trường hợp 2: Biến đổi I = I * ⇒ I
Trường hợp 3: Tìm biểu thức liên hệ giữa I ., I * để đạo hàm của mẫu bằng tử,
khi đó ta lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm I .
Việc tìm tích phân liên kết I * , đòi hỏi phải có năng lực phán đoán, khả năng tư
duy linh hoạt đặc biệt là phụ thuộc vào kinh nghiệm của người học. Thông thường
biểu thức các tích phân liên kết có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau.
Ta hiểu tích phân liên kết như là “Bạn chơi với ai tôi sẽ đoán được con người
bạn như thế nào”.
3


2.3.3. Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng nguyên hàm, tích phân liên
kết thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt được
tối đa thời gian.
Dạng 1: Tích phân chứa ax
1

dx
1+ e
= a + b ln
a, b ∈ Q.
2
0 e +1

Bài 1: Cho tích phân I = ∫

x

Đề minh họa lần 3 – BGD – 2017
Tính giá trị của biểu thức: S = a 3 + b 3 .
A. S = 2

B. S = −2

C. S = 0

D. S = 1

1

ex
dx
x
0 e +1

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫
1

1
I
+
I
*
=
dx = x 0 = 1



0
Ta có: 
1
x
 I * = d e + 1 dx = ln e x + 1
∫0 e x + 1



(

)

(

)

1
0

= ln

e +1
2

⇒ I = 1 − ln

e +1
2

Vậy a = 1, b = −1 ⇒ S = 0. Đáp án C
1

ex
c +1
.
Bài 2: Cho tích phân I = ∫ x − x dx = a + b ln
2d
0 e +e

Tính giá trị của biểu thức: P = a + b + c + d 2 .
A.

1
+ 2e
2

B. 1 + 2e

C.

1
+ 2e 2
2

D. 1 + 2e 2 .

e−x
dx
x
−x
e
+
e
0

1

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫
1

1
 I + I * = ∫ dx = x 0 = 1

0
Ta có: 
1
x
−x
 I − I * = d e + e dx = ln e x + e − x
∫0 e x + e − x



(

1
2

)

(

)

1
0

= ln

e2 + 1
2e

⇒I=

1 1 e2 + 1
+ ln
2 2
2e

1
2

Vậy a = , b = , c = e 2 , d = e ⇒ P = 1 + 2e 2 . Đáp án D
1

dx
= a + b log c d , a, b, c.d ∈ Q.
+1
0 5

Bài 3: Cho tích phân I = ∫

3x

4


Tính giá trị của biểu thức: S = a 3 + c 2 + b + 3b.
A. S = 88

B. S = −88

C. S =

88
3

D. S = 66

1

53 x
dx
3x
+1
0 5

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫

1

1
I
+
I
*
=
dx = x 0 = 1



0
Ta có: 
1
d 55 x + 1
1
I * = 1
dx =
ln 5 3 x + 1
3x


3 ln 5 0 5 + 1
3 ln 5


(

)

(

)

1
0

1
= log 5 63
3

1
⇒ I = 1 − log 5 63
3

1
3

Vậy a = 1, b = − , c = 5, d = 63 ⇒ S = 88. Đáp án A
*Nhận xét: Tích phân liên kết là phần khuyết biểu thức chứa biến của tử trong
mẫu.
Một số dạng thường gặp:
1. I = ∫

dx
e ax dx
*

I
=
∫ e ax + b
e ax + b

e ax dx
e − ax dx
*
2. I = ∫ ax − ax ⇒ I = ∫ ax − ax
e ±e
e ±e

3. I = ∫

dx
a ax dx
*

I
=
∫ a ax + b
a ax + b

4. I = ∫

a αx dx
a − ax dx
*

I
=
∫ a ax ± a −αx
a ax ± a −αx

Dạng 2: Tích phân hàm hữu tỷ:
3

x4 +1
1 b
b
Bài 1: Cho tích phân I = ∫ 6 dx = ln , a, b, c ∈ N , là phân số tối giản.
a c
c
2 x −1

Tính giá trị của biểu thức: P = a 2 + b − c.
A. 113

B. 131

C. 68

D. 31
3

Hướng dẫn: Ta có x 6 − 1 = ( x 2 − 1)( x 4 + x 2 + 1) , xét tích phân liên kết I * = ∫
2

x2
dx
x6 −1

5


3
3
31

x4 + x2 +1
dx
1 x −1
1 3
dx = ∫ 2
= ln
= ln
I + I * = ∫
6
2 x +1 2 2 2
x −1
1 147

2
2 x −1
⇒ I = ln
.
Ta có : 
3
3
3
3
6
52
1
d
(
x
)
1
x

1
1
117

 I * = 3 ∫ ( x 3 − 1)( x 3 + 1) = 6 ln x 3 + 1 = 6 ln 98
2
2


Vậy a = 6, b = 147, c = 52 ⇒ P = 131. Đáp án B
1

Bài 2: Cho tích phân I = ∫
0

x4 +1
π
dx = a + , a, b ∈ Z
6
b
x +1

Tính giá trị của biểu thức: P = a 2 + ab + 3b 2 .
A. 27

B. 37

C. 28

D. 54
1

Hướng dẫn: Ta có x 6 + 1 = ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) , xét tích phân liên kết I * = ∫
0

x2
dx
x6 + 1

1
1

x4 − x2 +1
dx
π
1
I

I
*
=
dx
=
= arctan x 0 =

6
2


4
x +1
π

0
0 x +1

I
=
.
Ta có : 
1
1
3
3
1
d
(
x
)
1
π
I * =
= arctan( x 3 ) =
3 2


3
3
12
(
x
)
+
1
0
0


Vậy a = 0, b = 3 ⇒ P = 27. Đáp án A
*Nhận xét: Tích phân liên kết là biểu thức liên hợp chứa biến của tử trong mẫu.
Dạng 3: Tích phân hàm lượng giác.
π
2

sin 3 x
dx = aπ + b (a, b ∈ Q).
sin x + cos x
0

Bài 1: Cho tích phân I = ∫

Tính giá trị của biểu thức: P = a 2 + b 2 .
A.

1
4

B.

1
8

C.

1
2

D.

1
16

π
2

cos 3 x
dx
sin
x
+
cos
x
0

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫
Ta có
π
2

I + I* = ∫
0

(

π
2

π

1
 1


 2 π −1
sin 2 x − sin x. cos x + cos 2 x dx = ∫ 1 − sin 2 x dx =  x + cos 2 x  =
2
4
2


0
0

)

6


π
π
− t)
2
π
2
cos 3 t
dt =
Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫
π
π
∫0 cos t + sin t dt = I *
2
π sin(
− t ) + cos( − t )
2
2
2
sin 3 (

0

π −1

π −1
I + I * =
2 ⇒I=
Ta có 
4
 I = I *
1
4

1
4

1
2

Vậy a = , b = − , ⇒ P = . Đáp án B
2
Bài 2: Cho tích phân I = ∫ cos x. cos 2 xdx = aπ + b sin 2 x + c sin 4 x + d .

Tính giá trị của biểu thức: P = a 2 + b + 4c.
A.

1
4

B. −

3
4

C.

3
4

D. 2.

2
Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ sin x. cos 2 xdx .

Ta có
1

 I + I * = ∫ cos 2 xdx = 2 sin 2 x +C 1
1
1
1
⇒ I = x + sin 2 x + sin 8 x + C

4
4
16
 I − I * = cos 2 2 xdx = 1 + cos 4 x dx = 1 x + 1 sin 4 x + C
2

∫ 2

2
8
1
4

1
4

Vậy a = , b = , c =

1
3
⇒ P = . Đáp án C
18
4

sin x
π
dx =
sin x + cos x
4
0
a

Bài 3: Cho tích phân I = ∫
Giá trị của a là:
A.

π
3

B.

π
4

C.

π
2

D.

π
.
6

a

cos x
dx
sin x + cos x
0

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I = ∫
*

Ta có

7


a

a
 I + I * = ∫ dx = x 0 = a
0


a
cos− sin x
 *
I

I
=
∫0 sin x + cos x dx = ln sin x + cos x



Mà I =

⇒I=

a

= ln sin a + cos a

1
( a − ln sin a + cos a )
2

0

π
π
⇒ a = . Đáp án C
4
2
π
3

b
Bài 4: Cho tích phân I = ∫ cos 2 x. cos 4 xdx. = a 3 + π , a, b, c ∈ N ,
là phân số tối giản.
c
b

0

c

Tính giá trị của biểu thức: P = a 3 − b − c 2 .
A. 83

B. 102

C. 88

D. − 83.

π
3

Hướng dẫn: Tích phân liên kết I * = ∫ cos 2 x. sin 4 xdx.
0

Ta có
π
π
π

3
3
1 + cos 4 x
1
sin 4 x  3 1  π
3 

2
I

I
*
=
cos
2
xdx
=
dx
=
x
+
=



∫0
∫0 2

2
4  0 2  3
8 

5 3 π
⇒I=
+
π

π
64 12
3

3
 sin 2 2 x 
 sin 2 x 1 sin 3 2 x 
7 3

*


 I + I = ∫ cos 2 x1 − 2 dx =  2 − 4 . 3  = 32



0
0


Vậy a = 5, b = 64, c = 12 ⇒ P = −83. Đáp án D
Bài 5: Cho tính phân I = ∫

sin 3 xdx
1
c

=  bx + . ln 2 cos 3 x − 5 sin 3x  + d .
2 cos 3 x − 5 sin 3 x a 
3


Tính giá trị của biểu thức: P = a 2 + b 2 + c 2 − (ab + bc).
A. 1015

B. 1105

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫

C. 1005

D. 1050

cos 3 xdx
2 cos 3 x − 5 sin 3 x

Ta có

8


2 I * −5I = dx = x + c1



5 cos 3x + 2 sin 3 x
1 d (2 cos 3 x − 5 sin 3x )
1
dx = − ∫
= − ln 2 cos 3 x − 5 sin 3x + c 2
5 I * +2 I = ∫
2 cos 3x − 5 sin 3 x
3 2 cos s3x − 5 sin 3 x
3

1 
2

⇒ I = −  5 x + ln 2 cos 3x − 5 sin 3 x  + d
29 
3


Vậy a = −29, b = 5, c = 2 ⇒ P = 1005. Đáp án C
π
2

sin x
aπ + b ln c
dx =
, a, b, c, d ∈ Z
sin x + cos x + 1
d
0

Bài 6: Cho tính phân I = ∫

Tính giá trị của biểu thức: P = abc − (ab + bc + ca).
B. − 2

A. 2

D. − 8

C. 10
π
2

cos x
dx
sin x + cos x + 1
0

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫
π
2

π
Ta có I * − I = ∫ cos x − sin x dx = ln sin x + cos x + 1 2 = 0
0
0

sin x + cos x + 1
π
2

π
2

π
2

Mặt khác I + I * = ∫ cos x + sin x dx = ∫ dx − ∫
0

=

sin x + cos x + 1

0

1
dx
sin x + cos x + 1
0

π
2

π
2

π
1
π 1
1
−∫
dx = − ∫
dx
x
x
x
x
2 0
2 20
2 x
2 x
2 x
2 x
2 x
2 sin . cos + cos
− sin
+ sin
+ cos
sin . cos + cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2

x
π
π 1
1
π
2 = π − ln tan x + 1 2 = π − ln 2
= − ∫
dx = − ∫
x
x
x 
2 20
2 0
2
2
2
0
tan + 1
cos 2  tan + 1
2
2
2 
π
2

⇒I=

π
2

d tan

π − 2 ln 2
4

Vậy a = 1, b = −2, c = 2, d = 4 ⇒ P = −2. Đáp án B
π
4

Bài 7: Cho tích phân I = ∫ cos 2 3x. cos 2 6 xdx = π − 1 , a, b ∈ N
0

a

b

Tính giá trị của biểu thức: P = a 2 + b 2 − ab.
9


A. 229

B. 292

C. 922

D. 92

π
4

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ sin 2 3x. cos 2 6 xdx
0

Ta có
π
π
π

4
4
4
1
1
sin
12
x
π

2
=
 I + I * = ∫ cos 6 xdx = 2 ∫ (1 + cos12 x ) dx = 2 ( x + 12
8
0
π 1
0
0


I
=
− .

π
π
π
16
18

3
4
4
4
 I − I * = cos 6 x. cos 2 6 xdx = 1 1 − sin 2 6 x d (sin 6 x) = 1  sin 6 x − sin 6 x  = 1
∫0

6 ∫0
6 
3  0 9

(

)

Vậy a = 16, b = 18 ⇒ P = 292. Đáp án B
π
6

sin x
a
3 trong đó a là phân số tối giản.
dx
=
+
,
3
b
b
c
(sin
x
+
cos
x
)
0

Bài 8: Cho tích phân I = ∫

Tính giá trị của biểu thức: P = ab 2 + a 2 b − bc 2
A. − 32

B. − 20

C. 32

D. 8

π
6

cos x
dx
3
0 (sin x + cos x )

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫
Ta có

π
π
π

6
dx
16
dx
1 
π6
2− 3 1
3 −1

= − cot x +  = −
+ =
 I + I * = ∫ (sin x + cos x ) 2 = 2 ∫
π
2 
40
2
2
2
0
0 sin 2 ( x +
)

1
3
4
⇒I = −

2 4
π
π

6
6

cos x − sin x
1
1 2 3 −3
dx = −
= −( 2 − 3 ) + =
I * − I = ∫
3
2
2
2
2(sin x + cos x) 0
0 (sin x + cos x )

Vậy a = 1, b = 2, c = −4 ⇒ P = −32. Đáp án A
π
2

sin 4 x
dx = a + bπ , a, b ∈ Q
4
4
0 sin x + cos x

Bài 9: Cho tích phân I = ∫

Tính giá trị của biểu thức: P = a 2 + b 3 − 4b
10


A. −

1
9

B. −

63
64

C.

63
64

D.

17
64

π
2

cos 4 x
dx
4
4
0 sin x + cos x

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫
Đặt x =

π
π
π
− t ⇒ dx = − dt , x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0
2
2
2
sin 4 (

0

I = −∫
π
2

sin 4 (

π
− t)
2

π
π
− t ) + cos 4 ( − t )
2
2

dt =

π
2

cos 4 t
∫0 sin 4 t + cos 4 t dt = I *

Ta có
π

2
π

I + I * = ∫ dx = ⇒ I = π

2
0
4

 I = I *

1
4

Vậy a = 0, b = ⇒ P = −
Tổng quát:

I=

63
. Đáp án B
64

π
2

sin n x
∫0 sin n x + cos n x dx .
π
2

cos n x
dx
n
n
0 sin x + cos x

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫
Đặt x =

sin n (

0

I = −∫
π
2

π
π
π
− t ⇒ dx = − dt x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0
2
2
2

sin n (

π
− t)
2

π
π
− t ) + cos n ( − t )
2
2

dt =

π
2

cos n t
∫0 sin n t + cos n t dt = I *

π

π
I + I * =
2 ⇒I=
Ta có 
4
 I = I *

*Nhận xét: Biểu thức của I * là biểu thức của I trong đó: sin x được thay bởi cos x
và ngược lại.
11


Một số dạng thường gặp:
1. I = ∫

sin αxdx
cos αxdx
⇒ I* = ∫
a sin αx + b cos αx + c
a sin αx + b cos αx + c

2. I = ∫

sin n αxdx
cos n αxdx
*

I
=
∫ sin n αx + cos n αx
sin n αx + cos n αx

3. I = ∫

sin n αxdx
cos n αxdx
⇒ I* = ∫
a sin αx + b cos αx
a sin αx + b cos αx

sin 2 αxdx
cos 2 αxdx
*
⇒I =∫
4. I = ∫
a sin αx + a cos αx + b
a sin αx + a cos αx + b
sin αxdx

cos αxdx

*
5. I = ∫ (a sin αx + b cos αx) n ⇒ I = ∫ (a sin αx + b cos αx) n
2n
*
2n
6. I = ∫ cos 2ax. cos αxdx ⇒ I = ∫ cos 2ax. sin α xdx

Tích phân hàm lượng giác là một phần kiến thức khó và phức tạp đòi hỏi
học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác, bảng các nguyên
hàm. Nhưng khi ta sử dụng tích phân liên kết thì việc biến đổi đã được giảm đi rất
nhiều, bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn.
2.3.4. So sánh cách giải khác ta thấy được tính ưu việt của phương pháp
tính phân liên kết.
π
3

Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫
0

cos 2 x
sin x + 3 cos x
π
3

Xét tích phân liên kết I * =

0

dx

sin 2 x
sin x + 3 cos x

dx

Ta có
π
π
π

3
3
dx
1
dx
1

x π 6
I
+
I
*
=
=
=
ln
tan
 +  = ln 3
∫0 sin x + 3 cos x 2 ∫0

π
2
2 6 0
sin( x + )

3

π
π

3

π
π3

3I − I * = ∫ ( 3 cos x − sin x )dx = 2 ∫ cos( x + )dx = 2 sin  x +  = 1
6
60


0

⇒ 4 I = ln 3 + 1 ⇔ I =

1
(1 + ln 3 ).
4

12


Cách giải khác:
Giả sử
cos 2 x = (a sin x + b cos x)(sin x + 3 cos x) + c(sin 2 x + cos 2 x) ∀x
⇔ cos 2 x = (a + c) sin 2 x + (a 3 + b) sin x. cos x + (b 3 + c ) cos 2 x ∀x
1

a = − 4
π
π
a + c = 0

3


3
1  3
1
13
dx

⇔ a 3 + b = 0 ⇔ b =
⇒ I = ∫ 
cos x − sin x dx + ∫
4
2 0 2
2
4 0 sin x + 3 cos x



b 3 + c = 1
1

c = 4


=

π
3

π
3

1
π
1
cos( x + )dx + ∫

20
6
80

dx

π
sin( x + )
3
π
2

Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫
0

(

1
π
1
x π 
=  sin( x + ) + ln tan( + ) 
6 8
2 6 
2

sin x + 3 cos x

Xét tích phân liên kết I * =

0

=

1
(1 + ln 3 )
4

0

sin x

π
2

π
3

)

3

dx. HSG Thanh Hóa năm 2010-2011

cos x
(sin x + 3 cos x) 3

dx

π
π
π

3
3
dx
1
dx
1 
π2
3

I
+
3
I
*
=
=
=
tan
x


∫0 (sin x + 3 cos x) 2 4 ∫0 2 π 4  6  0 = 3

cos ( x − )

6

Ta có
π
π

2
2

(sin x + 3 cos x)'
1
1
I
*

3
I
=
dx
=

=


3
2(sin x + 3 cos x ) 2 0 3

0 (sin x + 3 cos x )


3
 I + 3I * =
2 3
3

3
⇔
⇒ 4I =
⇔I=
3
6
 3I * −3I = 3

3

Cách giải khác (cách giải trong đáp án):
1
4

Ta có: sin x = (sin x + 3 cos x) −

3
(cos x − 3 sin x) .
4

13


(Điều này không phải dễ dàng có được, hoặc phải dùng hệ số bất định như
ví dụ 1, hoặc phải là học sinh giỏi mới tính nhanh được biểu thức đó).
1
3
= (sin x + 3 cos x) −
(sin x + 3 cos x) '.
4
4
π
2

π
2

1
3 (sin x + 3 cos x) '
dx

dx
4 0 (sin x + 3 cos x) 2
4 ∫0 (sin x + 3 cos x)3

Suy ra I = 1

π
2

1
= ∫
16 0

1

π
cos ( x − )
6

dx +

2

π
2

3
8(sin x + 3 cos x) 2

0

π

3
3
3
1
π2
3

=
+
=
.
= tan  x − ÷ +
6
16
6  0 12 12 12


*Nhận xét: Đây là các bài toán khó đối với nhiều học sinh, nếu giải bằng phương
pháp khác thì học sinh gặp phải khó khăn là phải tách các biểu thức lượng giác để
sử dụng được bảng các nguyên hàm.
Nhìn vào hai cách giải trên thì rõ ràng cách giải khác dài dẫn đến mất khá
nhiều thời gian để giải quyết xong bài toán. Còn cách dùng tích phân liên kết
nhanh và mang lại hiệu quả rất cao.
Qua 2 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của phương pháp tích
phân liên kết khi giải toán tích phân.
Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra các bài
tập để các đồng nghiệp thử giải và so sách các cách giải; kết quả là những bài
toán có thể áp dụng được phương pháp này thì cho kết quả nhanh hơn rất nhiều so
với các cách giải khác.
Các chuyên gia máy tính cũng cho rằng một bài tích phân mà có đến ba,
bốn tham số trở lên thì ta nên làm tự luận thì nhanh hơn.
2.3.5. Hệ thống bài tập sử dụng tích phân liên kết giúp học sinh rèn
luyện.
Tính các tích phân sau:
1

dx
.
2x
+3
0 e

Bài 1: I = ∫

ĐS : I =

1

e 2 x dx
.
2x
+3
0 e

HD: Tích phân liên kết I * = ∫

1 1 e2 + 3
− ln
.
3 6
4

14


Bài 2: I = ∫

cos xdx
.
sin x + cos x

ĐS : I =

Bài 3: I = ∫

HD: Tích phân liên kết I * = ∫

1
( x + ln sin x + cos x ) + c
2

sin xdx
.
3 cos x + 7 sin x

ĐS : I =
π
4

HD: Tích phân liên kết I * = ∫

π
4

3

3
HD: Tích phân liên kết I * = ∫ sin4x . cos xdx
.
4

sin x + cos x

ĐS : I =

Bài 5:

I=

π
6

0

sin x + cos x

π + 2 ln 2
16
π
6

2

2
HD: Tích phân liên kết I * = ∫ sin x dx.

cos x
∫0 cos 2 x dx.

ĐS : I =

cos xdx
3 cos x + 7 sin x

1
( 7 x − 3 ln 3 cos x + 7 sin x ) + c
58

Bài 4: I = ∫ cos4 x. sin xdx
.
4
0

sin xdx
sin x + cos x

0

cos 2 x

π ln(7 + 4 3 )
+
12
8

π
6

π
3

Bài 6: I = ∫ cos 2 x. sin 2 xdx

HD: Tích phân liên kết I = ∫ cos 2 x. sin 4 xdx.

0

0

13 3 π 
ĐS : I = 
− 
8 4
3

Bài 7: I = ∫

3 sin x − 2 cos x
dx .
cos x + sin x

Tích phân liên kết I * = ∫

HD: I = ∫

3 sin x − 2 cos x
cos xdx
dx = 3∫ dx − 5∫
cos x + sin x
cos x + sin x

sin xdx
1
. ĐS : I = ( x − 5 ln cos x + sin x ) + c
cos x + sin x
2

π
2

Bài 8: I = ∫ 4 sin x + 3 cos x .dx
0

π
4

sin x + cos x + 1

π

π

π

4
4
4
sin xdx
dx
HD: I = ∫ 4 sin x + 3 cos x dx = 3∫ dx + ∫
−∫
sin x + cos x + 1
sin x + cos x + 1 0 sin x + cos x + 1
0
0
0

15


π
4

7
cos xdx
. ĐS : I = 4 (π − 2 ln 2)
sin x + cos x + 1
0

Tích phân liên kết I * = ∫
3

Bài 9:

I=

1
∫1 x 6 (1 + x 2 )dx.

ĐS : I =

Bài 10: I = ∫

x4
∫1 x 6 (1 + x 2 )dx.

HD:Tích phân liên kết I = ∫

sin 2 xdx
2 sin 2 x + 3 cos 2 x

468 − 164 3 − 45π
540

cos 2 xdx
.
2 sin 2 x + 3 cos 2 x

ĐS : I =

3

HD: Tích phân liên kết I =

1
( 3x + ln 2 sin 2 x + 3 cos 2 x ) + c
13

Để học sinh hiểu sâu và thêm hứng thú, say mê với giải toán nguyên hàm và
tích phân, đồng thời phát huy khả năng sáng tạo của các em tôi đã định hướng giúp
học sinh dựa trên cơ sở các dạng nguyên hàm thường gặp (ở mục 2.3.3) xây dựng
các bài nguyên hàm và tích phân mới bằng cách thay số, cận cụ thể. (Phụ lục 1)
Trong một số tiết luyện tập tôi đã yêu cầu một số em học sinh khá giỏi ra bài
tập cho cả lớp cùng làm, các em rất hứng thú và nhiều em đã sáng tạo khi ra bài
tập, có rất nhiều bài nguyên hàm và tích phân hay được các em đưa ra như em:
Nguyễn Thị Linh, Nguyễn Thùy Dương, Vũ Thị Lan Anh... Cách làm như vậy
khiến học sinh thật sự trở thành trung tâm của quá trình dạy học, các em chủ động
tiếp thu kiến thức và tích cực hơn trong việc tự học trên lớp cũng như ở nhà.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Tôi đã cho 2 lớp làm bài kiểm tra ở hai thời điểm trước tác động (kiểm tra
viết 45 phút lần 1) và sau khi tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2, hai đề lần 1 và
lần 2 lượng kiến thức tương đương nhau) để thấy được hiệu quả của sáng kiến.
Đề kiểm tra (Phụ lục 2): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách
tham khảo, đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT. Kết quả bài khảo
sát kiến thức về nguyên hàm và tích phân được thống kế như sau:
Bảng 1: Lớp thực nghiệm 12C6.
Số bài

Điểm
0-2

3

4

5

6

7

8

9

10
16


Trước tác
động

sl

0

4

5

11

11

6

4

0

0

0,0

9,8

12,
2

26,
8

26,
8

14,
6

9,8

0,0

0,0

0

0

0

9

12

5

7

8

0

0,0

0,0

0,0

21,
9

29,
3

12,
2

17,
1

19,
5

0,0

0-2

3

4

5

6

7

8

9

10

sl

0

4

4

10

12

7

4

0

0

41 %

0

9,8

9,8

24,
4

29,
2

17,
0

9,8

0,0

0,0

sl

0

3

4

9

12

8

5

0

0

0,0

7,3

9,8

21,
9

29,
3

19,
5

12,
2

0,0

0,0

41 %

Sau tác
động

sl
41 %

Bảng 2: Lớp đối chứng 12C5.
Số bài
Trước tác
động
Sau tác
động

41 %

Điểm

Bảng 3: Trước tác động.
Lớp đối chứng
Điểm trung bình

Lớp thực nghiệm

5,63

5,54
0,09

Chênh lệch điểm trung bình
(SMD)
Bảng 4: Sau tác động.
Lớp đối chứng
Điểm trung bình
Chênh lệch điểm trung bình
(SMD)

Lớp thực nghiệm

5,80

6,63
0,83

So sánh kết quả: Năm học 2017 – 2018 tôi đã áp dụng các giải pháp nêu trong
đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể:
Lớp đối chứng 12C5 năm học 2017- 2018, sĩ số 41: tôi dạy chủ đề trên
nhưng không sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
17


Lớp thực nghiệm 12C6 năm học 2017- 2018, sĩ số 41: tôi dạy chủ đề trên
bằng cách sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài.
Bảng 3 và bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch giữa điểm trung bình
của các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết
quả điểm trung bình của các lớp thực nghiệm đều cao hơn điểm trung bình của các
lớp đối chứng là không phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Năm học 2017 – 2018, SMD = 0,83 cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc
hướng dẫn học sinh khai thác kiến thức mới cho học sinh lớp 12 ở trường THPT
Triệu Sơn 3 là lớn. Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm
12C6 là điểm trung bình = 6,63 và kết quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 12C5 là
điểm trung bình = 5.80. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 0,83.
Kết quả cho thấy điểm trung bình của lớp thực nghiệm so với lớp đối chứng
đã có sự tiến bộ rõ rệt, lớp được tác động 12C6 có điểm trung bình cao hơn lớp đối
chứng 12C5.
Kết quả thu được là
- Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, tôi thấy học sinh lớp 12C6
giải khá nhanh và thuần thục các bài toán về nguyên hàm và tích phân được tôi sưu
tầm từ các đề thi học sinh giỏi trong tỉnh và của các trường THPT trong cả nước.
Còn lớp 12C5 đa số các em học sinh kỹ năng giải còn chậm, chưa linh hoạt. Hai
lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương đồng nhau về ý
thức học tập, đặc biệt là năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán trước
khi tác động.
- Đã rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tích phân, kỹ năng tính toán, kỹ
năng tìm tích phân liên kết và phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho một bài
toán, một dạng toán.
- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100%
học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả cụ
thể.
Từ những kết quả trên tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài
đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chất
lượng giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân của bản thân, góp phần vào việc
nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
18


3.1. Kết luận
Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ
đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn
thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Nguyên hàm và tích
phân” hiện nay.
+ Đề tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng tìm tích
phân liên kết cho các bài toán khó mà đòi hỏi phải giải quyết trong thời gian ngắn.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quen
thuộc và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi, các đề
thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh, thành
phố trên cả nước để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị
trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơn nữa
để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích và say mê học
Toán hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, trong nhà
trường và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này.
XÁC NHẬN

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết

Vũ Thị Phượng

19



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×