Tải bản đầy đủ

ĐỀ CƯƠNG ôn tập TOAN 9 học kì i

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I
MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2018-2019
A - LÝ THUYẾT
I. ĐẠI SỐ:
Chương I. CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai
a) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
 x ≥ 0

b) Với a ≥ 0 ta có x = a ⇔ 

 x 2 =

( a)

2

= a

c) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b ⇔ a < b
A neu A ≥ 0


2
d) A = A = −A neu A < 0

2) Các công thức biến đổi căn thức
1. A 2 = A

3.

A
A
=
(A ≥ 0, B > 0)
B
B

2. AB = A . B (A ≥ 0, B ≥ 0)
4. A 2 B = A B (B ≥ 0)

5. A B = A 2 B (A ≥ 0, B ≥ 0)
6.
8.

A B = − A 2 B (A < 0, B ≥ 0)
C A mB
A
1
C
=
AB (AB ≥ 0, B ≠ 0) 7.
(A ≥ 0, A ≠ B2)
=
2
B B
A−B
A±B

A
A B
=


(B > 0)
B
B

(

9.

C
C
=
A± B

)

(

Am B
A−B

) (A, B

≥ 0, A ≠

B)
* CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:
A. Các bước thực hiên:
 Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)
Quy đồng, gồm các bước:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.


Chương II. HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. HÀM SỐ:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định
được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là
biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT:
 Kiến thức cơ bản:
3) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc nhất
a) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b (a, b ∈ R và a ≠
0)
b) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị x∈ R.
Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. Nghịch biến trên R khi a < 0.
4) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng b (a: hệ số góc, b: tung độ gốc).
5) Cho (d): y = ax + b và (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0). Ta có:
a = a '
b = b'

(d) ≡ (d') ⇔ 

a = a '
b ≠ b'

(d) // (d') ⇔ 

(d) ∩ (d') ⇔ a ≠ a'
(d) ⊥ (d') ⇔ a.a' = − 1
6) Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox thì:
Khi a > 0 ta có tanα = a
Khi a < 0 ta có tanα’ = a (α’ là góc kề bù với góc
* Các dạng bài tập thường gặp:


- Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai
đường thẳng
song song; cắt nhau; trùng nhau.
Phương pháp: Xem lại lí thuyết
-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay
giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ
giao điểm của hai đường thẳng.
Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng:
Phương pháp:
+Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không
tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S.
-Dạng 3: Tính góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
Xem lí thuyết.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị
không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0
≠ y1 thì điểm M không thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng ( xác định hệ số a và b của hàm số y=ax+b)
Phương pháp chung:
Gọi đường thẳng phải tìm có dạng (hoặc công thức của hàm số ): y=ax+b
Căn cứ vào giả thiết để tìm a và b.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1;
y1).
Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng
cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng
quy:
Ví dụ: Cho các đường thẳng :

(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m ≠ 1; m ≠ -1 )


(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2
c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui.
II. HÌNH HỌC:
Chương I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 Hệ thức giữa cạnh và đường cao:Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ a2 = b2 + c2
+ b 2 = a.b , ; c 2 = a.c ,
+ a = b, + c,
+ h 2 = b , .c ,
b 2 b, c 2 c,
+ a.h = b.c
+ 2 = , .; 2 = ,
1
1 1
c
c b
b
+ 2= 2+ 2
h

c
D
K
D
K
Tỷ số lượng giác: Sin = ; Cos = ; Tg = ; Cotg =
H
H
K
D

Tính chất của tỷ số lượng giác:
1/ Nếu α + β = 90 0 Thì:

b

Sinα = Cosβ
Cosα = Sinβ

Tanα = Cot β
Cotα = Tanβ

2/Với α nhọn thì 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1
*sin2 α + cos2 α = 1
*tan α =
*cot α =
*tan α . cot α =1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối: b = a.SinB.; c = a.SinC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề: b = a.CosC.; c = a.CosB
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tan góc đối: b = c.TanB.; c = b.TanC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cot góc kề: b = c.CotC.; c = b.CotB
Chương II. ĐƯỜNG TRÒN:
 .Sự xác định đường tròn: Muốn xác định được một đường tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc
+ Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm của đường kính; bán kính bằng 1/2 đường
kính) , hoặc
+ Đường tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đường trung trực của
hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một
trong 3 điểm đó) .
 Tính chất đối xứng:
+ Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của đường tròn.
+ Bất kì đường kính vào cũng là một trục đối xứng của đường tròn.
 Các mối quan hệ:
1. Quan hệ giữa đường kính và dây:
+ Đường kính (hoặc bán kính) ⊥ Dây ⇔ Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau ⇔ Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn ⇔ Dây gần tâm hơn.


 Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn:
+ Đường thẳng không cắt đường tròn ⇔ Không có điểm chung ⇔ d > R (d là khoảng
cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn).
+ Đường thẳng cắt đường tròn ⇔ Có 2 điểm chung ⇔ d < R.
+ Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ⇔ Có 1 điểm chung ⇔ d = R.
 Tiếp tuyến của đường tròn:
1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó.
2. Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán
kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của
một đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.
B- BÀI TẬP
Bài 1:
a) Tính: 20 − 45 + 3 80
18. 2 + 81
b) Tìm x để 2 x − 1 có nghĩa?

Bài 2:
a) Tính: ( 12 + 2 27 − 3 3) 3
b) Tính: 20 − 45 + 3 18 + 72
c) GPT: ( 2 x − 1) = 3
2

25 x + 36 x = 44

x+ x  
x− x 
.
1

÷

÷
Bài 3: Cho biểu thức: A = 1 +

x +1 ÷
x −1 ÷




a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
x −1 x + 2 x +1
+
x −1
x +1

Bài 4: Cho biểu thức: A =

với x ≥ 0, x ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A có giá trị bằng 6.


a + a 

a− a 

÷ 2 −
÷
Bài 5: Cho biểu thức: P =  2 +
a + 1 ÷
a − 1 ÷


a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P

c) Với giá trị nào của a thì P có giá trị bằng

2 −1
.
1+ 2

Bài 6:
Cho biểu thức: P =

x x −8
x+2 x +4

a) Rút gọn biểu thức P.

+ 3(1 − x ) , với x ≥ 0


b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q =
Bài 7:
Cho biểu thức: P(x) =

2P
nhận giá trị nguyên.
1− P

x − 2 x +1  x + x 
.
+ 1÷ , với x ≥ 0 và x ≠ 1
x − 1  x + 1 ÷


a) Rút gọn biểu thức P(x).
b) Tìm x để: 2x2 + P(x) ≤ 0
Bài 8: Cho hàm số y = -2x + 3.
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Gọi A và B là giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.Tính diện tích tam giác
OAB ( với O là gốc tọa độ và đơn vị trên các trục tọa độ là centimet ).
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = -2x + 3.với trục Ox.
Bài 9: Cho hai hàm số: y = x + 1 và y = − x + 3
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ Oxy.
b) Bằng đồ thi xác định toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.
c) Tìm giá trị của m để đường thẳng y = mx + (m − 1) đồng qui với hai đường thẳng
trên.
Bài 10: Cho hàm số y = (4 – 2a)x + 3 – a (1)
a) Tìm các giá trị của a để hàm số (1) đồng biến.
b) Tìm a để đồ thị của hàm số (1) song song với đường thẳng y = x – 2.
c) Vẽ đồ thị của hàm số (1) khi a = 1
Bài 11: Viết phương trình của đường thằng (d) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm M(2;1)
Bài 12: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (*)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – 1.
Bài 13:
a) Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(d1): y = x + 2 và (d2) : y = –2x + 5
b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính..
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d1) với trục Ox.
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Hãy viết hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu của các cạnh góc vuông
trên cạnh huyền
b) Tính AH biết BH = 4cm; HC = 9cm
Bài 15: Giải tam giác vuông ABC, biết góc A = 900; AB = 5cm; góc C = 300.
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 9cm ; AC = 12cm .
a)Tính số đo góc B (làm tròn đến độ) và độ dài BH.
b) Gọi E; F là hình chiếu của H trên AB; AC.Chứng minh: AE.AB = AF.AC.
Bài 17: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ đường tròn tâm K đường
kính OB.
a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau.


b) Vẽ dây BD của đường tròn (O) ( BD khác đường kính), dây BD cắt đường tròn
(K) tại M.Chứng minh: KM // OD
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông ở A có ·ABC = 600 và AB = 8cm .Kẻ đường cao AH
(H thuộc cạnh BC). Tính AH; AC; BC.
Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax; By là các tia vuông góc với
AB.(Ax ; By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).Qua điểm M
thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax tại
C và cắt By tại D.
·
a) Chứng minh CD = AC + BD và COD
= 900
b) AD cắt BC tại N. Chứng minh: MN / / BD
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Bài 20: Cho đường tròn (O, R), dây AB < 2R. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt
tiếp tuyến tại A của đường tròn tại điểm C.
a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho R = 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC.
Bài 21 Cho hình vuông ABCD. Qua điểm A vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC tại E và
cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng:
1
1
1
=
+
2
2
ΑΒ

ΑF 2

- Xem lại tất cả các bài tập trong SGK, SBT.

Bài
Bài 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)
20 − 45 + 3 80
= 4.5 − 9.5 + 3 16.5
= 2 5 − 3 5 + 3.4 5
= 11 5
18. 2 + 81 = 36 + 81 = 6 + 9 =15

b) 2 x − 1 có nghĩa khi: 2x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
Bài 2

1
2

a) ( 12 + 2 27 − 3 3) 3 = 6 + 2. 9 – 3.3 = 15
b
20 − 45 + 3 18 + 72
= 4.5 − 9.5 + 3 9.2 + 36.2
= 2 5 −3 5 +9 2 +6 2
= − 5 + 15 2


( 2 x − 1)

2

=3

⇔ 2x − 1 = 3
 2x −1 = 3
⇔
 2 x − 1 = −3
 2x = 4
⇔
 2 x = −2
x=2
⇔
 x = −1

Vậy: tập nghiệm của phương trình là S = { 2; −1}
25 x + 36 x = 44 ⇔ 5 x + 6 x = 44
⇔ 11 x = 44
⇔ x =4
⇔ x = 16

Vậy nghiệm của phương trình là: S = { 16}
Bài 3

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x ≥ 0 ; x ≠ 1
b)

x+ x  
x− x 
A =  1 +
.
1

÷

÷

x +1 ÷
x −1 ÷




x x + 1 
x x −1

÷1 −
= 1+

x + 1 ÷
x −1



(

(

)

)(

)

= 1+ x 1− x

(

) ÷
÷


= 1− x

c)

x ≥ 0 ⇔ −x ≤ 0 ⇔ 1 − x ≤ 1

Giá trị lớn nhất của A là 1 khi x = 0
Bài 4

( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2
+
a) A =
( x ≥ 0, x ≠ 1 )
x −1
x +1
= x + 1 + x + 1 = 2( x + 1)
b) A = 6 ⇔ 2( x + 1) = 6 ( x ≥ 0, x ≠ 1 )
⇔ x +1 = 3
⇔ x = 2 ⇒ x = 4 (TMĐK)

Vậy: A = 6 thì x = 4


Bài 5

a) Điều kiện:


{ a a≥−10 ≠ 0 ⇔ { aa ≥≠ 10

a + a 

a− a 

÷ 2 −
÷
b) P =  2 +
a + 1 ÷
a − 1 ÷



a ( a + 1) 
a ( a − 1) 
=  2 +
2

÷
÷
a + 1 ÷
a − 1 ÷


= (2 + a )(2 − a )
= 4−a

c)
P=

2 −1
= ( 2 − 1) 2 = 2 − 1
1+ 2

⇒ 2 −1 = 4 − a
⇒ a = 5− 2

Bài 6

a) Rút gọn biểu thức P.
P=
=

x x −8

+ 3(1 − x ) , với x ≥ 0
x+2 x +4
x − 2 + 3 − 3 x = 1− 2 x

b)Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q =
nguyên.
2(1 − 2 x )
1− 2 x
1
2P
=
=
−2
=
1− P
1 − (1 − 2 x )
x
x
1
∈Ζ ⇔ x =1
Q∈ Ζ ⇔
x

Q =

Bài 7

a) Rút gọn biểu thức P.
P=

x − 2 x +1  x + x 
.
+ 1÷ , với x ≥ 0 và x ≠ 1
x − 1  x + 1 ÷


( x − 1) 2  x ( x + 1) 
.
+ 1÷
=
÷ = ( x − 1).( x + 1) = x − 1
x − 1 
x +1


b) 2x2 + P(x) ≤ 0

2P
nhận giá trị
1− P


⇔ 2x2 + x −1 ≤ 0
⇔ (2 x − 1)( x + 1) ≤ 0

1
x≥


 2 x − 1 ≥ 0
2



1
  x ≤ −1
x +1 ≤ 0
⇔
⇔
⇔ −1 ≤ x ≤
 2 x − 1 ≤ 0
2
  x ≤ 1

2

  x + 1 ≥ 0
  x ≥ −1

1
Kết hợp điều kiện, suy ra: 0 ≤ x ≤
2

Bài 8
a) Vẽ đồ thị hàm số:
x
y=
-2x+3

0
3

1
2

1,5
0

3
2

b) SOAB = .3. =

9
4

c) Ta có : Tg ABO = 3 :1,5 = 2 ⇒ ABO = 630 26 '
⇒ ABx = 1800 − 630 26 ' = 116034 '

Bài 9

Vậy: Góc tạo bởi đường thẳng y = -2x +3 với trục Ox là 116034 '
a)Vẽ đồ thị của hai hàm số:
Hide Luoi
x
-1 0
y
y=x+1
y=-x+3
y=x
0 1
+1
3

x
y=-x+3

0
3

A

3
0

2
1

x
-1

O

1

3

b) Nhìn trên đồ thị ta có tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A(1 ; 2)
c) Đường thẳng y = mx + (m − 1) đồng qui với hai đường thẳng trên khi nó đi
qua điểm A(1 ; 2).


Ta có:

2 = m.1 + m − 1
3
⇔m=
2
3
Vậy: m = thì đường thẳng y = mx + (m − 1) đồng qui với hai đường thẳng
2

trên
Bài 10 a) Hàm số (1) đồng biến khi: 4 – 2a > 0 <=> a < 2
b) Đồ thị của hàm số (1) song song với đường thẳng y = x – 2 khi:
 4 − 2a = 1

3 − a ≠ −2
a = 3 / 2
⇔ 
a ≠ 5
⇒ a = 3/ 2

c) Khi a = 1 ta có hàm số y = x + 2
x
0
-2
y=x+2
2
0

Y
y=x+2

A

x

1

B
O
-1

Bài 11 Viết phương trình của đường thằng (d) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm
M(2;-1)
Bài 12 Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (*)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – 1
Bài 13 a) Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(d1): y = x + 2 và (d2) : y = –2x + 5
b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính..
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d1) với trục Ox.
Bài 14 a) AH2 = BH.CH
b) AH2 = 4.9 = 36 => AH = 6 (cm)
Bài 15 Xét tam giác ABC vuông A ta có:
B
µ = 900 − 300 Þ
B

µ = 600
B
AC = AB.tan600 Þ AC = 5.tan600
Þ AC ≈ 8,660 cm.
AB
Þ BC ≈ 10 cm.
BC =
Sin300

5
A

300

C


Bài 16

A

F
E

C

B
H

a) Tính độ dài BH và số đo góc B (làm tròn đến độ).
BC = AB 2 + AC 2 = 92 + 122 = 15 (cm)
AB2 = BC.BH ⇒ BH =
Tan B =

AB 2 92
=
= 5,4 (cm)
BC 15

AC 12 4
µ ≈ 530
= = ⇒Β
AB 9 3

b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC
∆ ABH vuông tại H, đường cao HE ⇒ AH2 = AB. AE
∆ ACH vuông tại H, đường cao HF ⇒ AH2 = AC. AF
Vậy: AE.AB = AF.AC
Bài 17
D

M

K

A

B

O

a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau.
Ta có: K là tâm đường tròn đường kính OB
Nên: K là trung điểm của OB
⇒ OK + KB = OB
⇒ OK = OB – KB
Hay: OK = R – r
Vậy: hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc trong tại B
b) Chứng minh: KM // OD
Ta có: ∆ OMB nội tiếp đường tròn đường kính OB


Nên: ∆ OMB vuông tại M ⇒ OM ⊥ MB ⇒ MD = MB
Mà: OK = KB (Bán kính đường tròn tâm O)
Do đó: MK là đường trung bình của tam giác ODB
⇒ KM // OD
Bài 18 a) Tính AH:
Tam giác ABH vuông tại H có:
B
3
AH = AB.cos B = 8.
= 4 3 (cm).
60

2

b) Tính AC:
Tam giác ABC vuông tại A có:
AC = AB.tan B = 8. 3 (cm)
c) Tính BC:
Ta có:

H

8

C

A

AH .BC = AB. AC

⇒ AH =

AB. AC 8.8 3
=
= 16 (cm)
BC
4 3

Bài 19 a) Chứng minh: CD = AC+BD
Ta có:
CM = CA ( CM; CA là 2 tiếp tuyến)
DM = DB ( DM; DB là 2 tiếp tuyến)

y

x

D
M
C
N
A

Cộng theo vế ta được:

O

CM + DM = CA + DB
Hay CD = CA +BD.

B

·
* Chứng minh COD
= 900
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì :
OC là phân giác của góc AOM
OD là phân giác của góc BOM
·
Mà Góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù nên OC ⊥ OD hay COD
= 900 .
b) Chứng minh MN song song với BD


Ta có
CN
NB
CN

NB


AC / / BD ( cùng vuông góc với AB)
CA
=
mà CA = CM ; BD = MD (cmt)
BD
CM
=
⇒ MN / / BD (định lí đảo Talet)
MD

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
Ta có : Tam giác COD vuông; có OM là đường cao nên:
CM.MD = OM 2 = R 2 ( không đổi)
Mà CA = CM và BD = DM (cmt)
Nên CA.BD = R 2 ( không đổi) khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
C

Bài 20

B

H
O

A
a

Chứng minh:
a) Gọi H là giao điểm của OC và AB
∆ AOB cân tại O ( vì OA = OB = R) có OH là đường cao
⇒ OH là đường phân giác
·
·
⇒ BOC
.
= AOC
·
·
Xét ∆ OAC và ∆ OBC có OA = OB = R BOC
, OC chung
= AOC
⇒ ∆ OAC = ∆ OBC (c.g.c)
·
·
⇒ OBC
= OAC
= 90 0 ⇒ OB ⊥ CB ⇒ CB là tiếp tuyến của (O).
b) Ta có OH ⊥ AB
AB
24
⇒ AH = HB =
⇒ AH =
= 12cm .
2
2
Áp dụng ĐL Py-Ta-Go cho ∆ OAH vuông tại H ta có:
OH = OA 2 − AH 2 = 152 − 122 = 9 cm.
Vì ∆ OAC vuông tại A nên ta có: OA2 = OH.OC
OA 2 152
⇒ OC =
=
= 25cm
OH
9
Bài 21

Chứng minh :

1
1
1
=
+
2
2
ΑΒ

ΑF 2


B
F
E
A

C

D
M

Qua A, dựng đường thẳng vuông góc với AF, đường thẳng này cắt
đường thẳng CD tại M
Ta có: Tứ giác AECM nội tiếp ( vì ∠ EAM = ∠ ECM = 900)
⇒ ∠ AME = ∠ ACE = 450 ( ∠ ACE = 450 : Tính chất hình vuông)
⇒ Tam giác AME vuông cân tại A
⇒ AE = AM
∆ AMF vuông tại A có AD là đường cao, nên:
1
1
1
=
+
2
2
ΑD
AM
ΑF 2

Vì : AD = AB (cạnh hình vuông) ; AM = AE (cmt)
Vậy:

1
1
1
=
+
2
2
ΑΒ

ΑF 2



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×