Tải bản đầy đủ

120 bài tập tích phân vận dụng cao

ADMIN NHĨM PI

TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – TUẦN 1 – THÁNG 1 – QUÝ 1
Câu 1: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn
1
1; 2  thỏa mãn f '  x   . f  x   x2 , x  1; 2  và f  1  1 .Tính S  f 1  f  2   f  3  .
x

A.

65
6

B.


5
2

C.

2

D.

15
6

 f  x   1  liên tục trên

Câu 2: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số y  f  x 

f '  x  . f 2  x   2x 3  f 3  x   1 , x 

1
85

thỏa mãn

và f  0   0 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ

nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn  2; 3  .
A. M  3 455; m  3 244

B. M  3 999; m  3 124

C. M  3 599; m  3 155

D. M  3 145; m  3 45

Câu 3: [Phạm Minh Tuấn] Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn 4x  9y  16z  2x  3y  4z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2x1  3y 1  4z1.
A.

9  87


.
2

B.

5  87
2

C.

7  87
.
2

D.

3  87
2

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – TUẦN 3 – THÁNG 1 – QUÝ 1

Câu 4: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

f 1  2 ln 2 . Biết

kiện x  x  1 f '  x   f  x   x2  x , x  0; 1 và

 a, b   . Tính a
A.

3
4

2

\0; 1 thỏa mãn điều
f  2   a  b ln 3

 b2  ?
B.

13
4

C.

1
2

D.

9
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  10 log 22 a  10 log 22 b  log 22 c.
A. 7

B. 6

C. 4

D. 3

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – CHUNG KẾT – THÁNG 1– QUÝ 1
Câu 6: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x   e

Q  f  1 . f  2  . f  3  ... f  2018   e

m
n

với m, n

*

,

1

4
4

x x 1 x  2  x2  x 12  x  2 2

. Biết rằng

m
là phân số tối giản. Tính giá trị của
n

ADMIN NHÓM PI

Câu 5: [Phạm Minh Tuấn] Cho a, b, c  1 thỏa mãn : log 2 a  1  log 2 b log 2 c  log bc 2 .


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
T  m  2018n  2019.2020.
A. T  2
B. T  2

Câu 7: [Phạm Minh Tuấn] Cho
f  x   a log



4

C. T  1
hai số

thực



D. T  1

a, b  \0

và hàm số

x4  1  x  b sin x  10 và f  log 4 2.log 2 3   f   log 5 3.log 4 5   6 .

của a thuộc khoảng nào sau đây?
A.  45; 50 

B.  55; 60 

C.  50; 55 

Giá

trị

D.  40; 45 

Câu 8: [Phạm Minh Tuấn] Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện
1
1
8
1
log 2  abc   1   4ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của M  log 2 a2 2  log 2 b3 2  log 2 c6 2.
2
3
c
6
47
1
1
A.
B.
C.
D. 6 2
90
4
2
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – TUẦN 2 – THÁNG 2 – QUÝ 1
Câu 9: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x   0 có đạo hàm f '  x  thỏa mãn





2 f '  x    x3  3x2  2x f 2  x  và f  1 
m, n là số nguyên,
A. T  1

m
1
. Biết S  f 1  f  2   ...  f  2018  
, với
n
3

m
là phân số tối giản. Tính T  m  n.
n
B. T  1
C. T  2

D. T  2

Câu 10: [Phạm Minh Tuấn] Cho các số thực dương a, b, c , x, y , z khác 1 thỏa mãn

log x 2a  log y 2b  log z 2c  0 và xbc yca zab  8abc . Tính giá trị của biểu thức:
log 22 x log 22 y log 22 z
P

 2
a2
b2
c
B. P  3
C. P  9

A. P  2

D. P  8

Câu 11: [Phạm Minh Tuấn] Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau thỏa mãn đồng

Câu 12: [Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z thỏa mãn z.z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  z 3  z 

7
z

2

 3 1

1
.
z

ADMIN NHÓM PI

3

z 
thời hai điều kiện  1  là số thực và z12  z22  4 3 . Đặt T  z12  z22 . Khẳng định nào
 z2 
sau đây đúng?
 1 19 
3 5
 3
 9
A. T   ; 
B. T   ; 
C. T   0; 
D. T   3; 
2 5 
2 2
 2
 2


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
5
2
Câu 13:

A.

11
4
Minh

B.

[Phạm

C. 2
Tuấn]

Cho

D. 3

x  0, y  1

thỏa

mãn

điều

kiện

 x2  2  2
log 2 y  log 2  2
  x  1  y   2  y . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x 1





P  4  x ln x  1  x2  y  1 và đạt tại bộ số  x0 ; y0  . Tính T  x0 2  y0 2  m2

A. 34

B. 25

C. 29

D. 16

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 1

Câu 14: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục tại điểm 0 thỏa mãn

1
x
f  0   0 và f '  0   2 . Giá trị của L  lim  f  x   f    ... 
x 0 x
2

nào sau đây?
A.  19; 20 
B.  18;19 
C.  17;18 

 x 
f
  thuộc khoảng
 2018  
D.  16;17 

Câu 15: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tực trên đoạn 1; 2 
thỏa mãn đẳng thức:

3x3 f  x 
 f '  x    xf '  x   x 2
2

 f '  x   x , x  1; 2  và f  1 

7
. Tính
3

f  2 .

A. f  2  

7 7 1
3

B. f  2  

7 7 1
3

C. f  2  

2 7 1
3

D. f  2  





2 7 1
3

Câu 16: [Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z thỏa mãn 2 z 1  i   zi 5iz  z  0 . Khẳng

 2
A. z   0; 
 3

2 
B. z   ;1 
3 

 4
C. z   1; 
 3

4 
D. z   ; 2 
3 

Câu 17: [Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  5 . Gọi M, m lần
lược là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 z 2  4  7 z . Tính
S  M  m.

A. S  45

B. S 

361
8

C. S 

369
8

D. S  52

Câu 18: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x   0, x  0;1 và có đạo hàm liên tục

ADMIN NHÓM PI

định nào sau đây đúng?


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
trên

0;1

đoạn

 f '  x  
dx  6 ,
f 1  4 f  0   4 ,  
x1
0
2

1

thỏa

1

mãn

1

 f '  x  ln  f  x  dx  4 ln 4  3 . Tính  f  x  dx .
3

0

0

A.

217
5

B.

31
5

C.

508
7

D.

127
7

Câu 19: [Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z không phải là số thuần ảo thỏa mãn z  2 và
số phức w 



z
là số thuần ảo. Biết z  z
1  z4



2



a
b

 a, b  ,

a
là phân số tối giản. Tính
b

T  a  ab  b2

A. 125

B. 125

D. 75

C. 75

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 2
Câu 20: [Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  z  3  i  2 2z  2  i .

 a, b   .

Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  i có dạng là a 33  b

Tính

S  3a  2b

B. S  3

A. S  1

C. S  6

D. S  2

Câu 21: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên 0;  
thỏa mãn f  0   1 , f '  0   0 , f ''  x   5 f '  x   6 f  x   0, x  0;   ,

ln 2

1
 f  x dx   6 .
0

ln 2

Tính tích phân



f 2  x dx .

0

15
4

B.

35
17

C.

27
20

D.

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 3

Câu 22: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  xác định trên
kiện

2x  5
3
,
f '  x   f ''  x   2
x  5x  4
2 x  10 x  8
2

\1; 4 thỏa mãn điều

1
f '  2    ,
6



24
7

f  0   4 ln 2  1 ,



f  2   2 ln 2  1 và f  5   ln 2 . Tính giá trị của biểu thức Q  4 f  1  f  3   f  8  .

ADMIN NHÓM PI

A.


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
1
B. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2
2
1
D. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2
2

1
A. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2
2
1
C. Q  8 ln 5  ln 7  2 ln 2
2

Câu 23: [Phạm Minh Tuấn] Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn: z  2  i  2 z  1  i và
2

2

z1  z2  1  i . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 .

A. P  2

C. P  4

B. P  1

D. P  9

Câu 24: [Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z  2i thỏa mãn z  1  2i  z  1  2i 

3
z  2i

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2i .
A.

1
2

B.

3
2

C.

2
3

D.

1
3

Câu 25: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1
1
thỏa mãn f  0   4 f 1 
,
16

1

  x  1
0

3

1
f '  x  dx  

8

 f  x  
1
. Tính tích
dx 
0 
2
64

 f '  x 
1

3

1

phân

 f  x  dx
0

A.

1
24

B.

1
32

C.

1
8

D.

1
4

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 4
Câu 26: [Phạm Minh Tuấn] Cho số phức z thỏa mãn z 4  z 2  2  3 z 2  2  9. Tìm giá

A.

1
2

B.

3
2

C.

2
3

D.

1
3

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 5
Câu 27: [Phạm Minh Tuấn] Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1, z2  r . Gọi M, N,

ADMIN NHÓM PI

trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  1  z 2 .


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

 NMP  
P lần lượt là điểm biểu diển các số phức z1 , iz2 ,4iz2 . Biết 
. Khi r  r0 thì
o

MOP

90


góc  là lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. r   1; 2 
B. r   0;1
C. r   2; 3 
D. r   3; 4 

Câu 28: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  có đạo hàm khác 0 và liên tục đến cấp

ln 2 f '  1  f 1  1

hai trên 1; 2  thỏa mãn 
f '  x   xf ''  x  , x  1; 2 
3
f
'
x

  
f x 1
2   ln 2 2

2
b
Biết tích phân  xf  x dx  a log 2 5 
 c , với a, b, c  . Tính T  4a2  12b2  2c 2 .
ln 2
1
A. 56

B. 32

C. 45

D. 54

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 6
Câu 29: [Phạm Minh Tuấn] Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  r1 , z2  2r2 và

iz1  1  i  z2  r12  4r22 . Gọi A, B, M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 2iz1 ,

 2  2i  z , 1  i  z
2

2

, iz1 . Biết  là góc giữa AM và BN . Tìm giá trị nhỏ nhất của cos  .

A.  cos  min 

4
5
3
C.  cos  min 
5
Câu 30: [Phạm Minh Tuấn]



 

B.  cos  min 

3
4
2
D.  cos  min 
3
Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn

z  i  1 và



2 z1  z1  3 z2  z2  3 Giá trị lớn nhất M của biểu thức P  z1  2  i  z2  3  i
thuộc khoảng nào sau đây?
C. M   6; 8 

D.

M   7; 9 

Câu 31: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn
ef  1  4 f  0   4
1
1
2
2
 2x 
11
x

  e  f '  x   f  x   dx  4  e f  x dx 
3
0
0



1

Tính I   f  x  dx .
0

 



ADMIN NHÓM PI

B. M   5; 7 

A. M   4; 6 


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
A. I 

4  e  1

B I

e

3  e  1

C. I 

e

2  e  2

D. I 

e

5  e  2
e

ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 10
Câu 32: [Phạm Minh Tuấn] Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  m và
2

2

2

z1  z2  z3  z3  z1  z2  z2  z3  z1  n với m, n là số thực, n  m  0 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P  z1  z2  z3 là:









3 m2  n
3 m2  n
m2  n
m2  n
A.
B.
C.
D.
2
3
4
2
Câu 33: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa
 f  1  1

, x  0;1
 f  x  0

 f  x  ln f  x   xf '  x   f  x   1
1

Tính tích phân

 f  x  dx .
0

1

A.


0

e 1
f  x  dx 
3

1

B.


0

e6
f  x  dx 
6

1

C.

1

 f  x  dx  4

D.

0

 f  x  dx  1
0

Câu 34: [Phạm Minh Tuấn] Cho các số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1  1  2i  z2  5  2i  2
và z  3  2i  z  7  2i  10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  z1  z2  z  3  i . Tính T  M  m
A. 9  2 26
B. 15  109
C. 8  107
D. 11  110
Câu 35: [Phạm Minh Tuấn] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa
1

Giá trị tích phân

  f  x 

2

x 

dx bằng

0

2
5
A.  f '  1 
3

B.

2
10
 f '  1 
3

C.

2
7
 f '  1 
3

D.

2
4
 f '  1 
3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 1:

ADMIN NHÓM PI

f  2018x  2017   2018 f  x  ,


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Tổng quát: Phương trình có dạng: f '  x   g  x  . f  x   h  x 

(1)

g  x  dx
g x dx
g x dx
g  x dx
Ta nhân 2 vế của (1) cho e 
, ta được: e 
f '  x  e
g  x. f  x  e
h  x

 g xdx f x  '  e  g x dx h x  e  g x dx f x  e  g x dx h x dx
Tương đương với  e 
  
 
   
 


 e  g x dx h x dx
 
 
Hay f  x  
.
g  x dx

e
Chú ý:

 g  x dx ta chỉ lấy đại diện một nguyên hàm của g  x 

không công thêm hằng

số C

  x1 dx 2 
 e x  dx  x3dx x3 C
1
2
Áp dụng: Dễ thấy g  x   , h  x   x  f  x  

 
1
x
x
4 x
 x dx
e
f 1 

5
1 5
x3 1
65
 C    C  1  f  x    S 
4
4 4
4 x
6

Câu 2:
f '  x  . f 2  x   2 x 3  f 3  x   1 
2



1

f ' x. f 2  x
3

 f 3  x   1





  f 3  x   1 3  C1  x 2  C2  f  x   3 x 2  C
3





3



2


1  3
 3 d  f 3  x   1  x 2  C 2
f
x

1





3 



1

3

3
max f  x   f  3   999
x2  1  1  
3

min f  x   f  2   124



Câu 3:
2

2

2


1 
1 
1 3
y
y
Ta có: 4 x  9  16 z  2 x  3  4 z   2 x     3x     4 x   
2 
2 
2 4



1 
1 
1 9
P  2 x 1  3 y 1  4 z 1  2  2 x    3  3 x    4  4 x   
2 
2 
2 2


ADMIN NHÓM PI

f 0  0  C  1  f  x 

2

dx  2 xdx 


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn




2
2
2

1  x 1  x 1  9
x
2  3  4  2     3     4     
2 
2 
2  2


2

2

2



2

2

 43  92  9  2 87

 32  4 2 .

Câu 4:
Để đưa về dạng quen thuộc thì ta chia 2 vế cho x  x  1 , khi đó ta được:

f '  x 

1
1
f  x  1  g  x 
, h x  1
x  x  1
x  x  1
1

Suy ra f  x  

e

 x x 1 dx
1

e
Ta có f  1 

Nên f  2  

dx

 x x 1 dx

x



 x  1 dx
x
x1



x  ln x  1  C
x
x1



x  C  x  1 ln x  1

x
x
x1

1 C
x2  1  x  1 ln x  1
 2 ln 2  2 ln 2  C  1  f  x  

1
x
x
2

3 3
9
 ln 2  a2  b 
2 2
2

Câu 5:
Ta có: log 2 a  1  log 2 b log 2 c  log bc 2  log 2 a 

1  log 2 b log 2 c
log 2 b  log 2 c

 log 2 a.log 2 b  log 2 b.log 2 c  log 2 c.log 2 a  1

Đặt x  log 2 a, y  log 2 b, z  log 2 c  xy  yz  zx  1 . Ta có:

1  
1 
1
1
P  2 x2  2 y 2   8 x 2  z 2    8 y 2  z 2   2 2 x 2 .2 y 2  2 .8 x2 . z 2  2 8 y 2 . z 2  4  xy  yz  zx   4
2
2
2
2

 


1
x  y
xy
3



3  a  b  2
Dấu “=” xảy ra khi 4 x  z  

3
4 y  z  z  4
c  2 2


3

Câu 6:



ADMIN NHÓM PI




Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
x 2  x  1  x  2   4 x  x  1 x  2   4
4
4
1


2
2
x  x  1 x  2  x 2  x  12  x  2 2
x 2  x  1  x  2 
2

2

 x  x  1 x  2   2  
 

2
1
1


  1 
  1 

 x  x  1 x  2    x  x  1 x  2    x  x  1  x  1 x  2  
2

 f  x  e

1

1
1

x x 1  x  2  x  2 

2

; f 1  e

1

1
1

1.2 2.3

; f  2  e


1 1  
1 1 

1
1


 1 
 1 
... 1

1.2 2.3   2.3 3.4 
2018.2019 2019.2020 


Q  e

m  2.2018.2019.2020  2019.2020  2

Suy ra 

n  2.2019.2020

1

2

1
1

2.3 3.4

1
1
2018 
2
2019.2020
e

2.2018.2019.2020 2019.2020 2
2.2019.2020
e

 T  2

Câu 7:



log 4 2.log 2 3  log 4 3

 f  t   f  t   6

log 5 3
Ta có: 
log 5 3.log 4 5  log 4  log 4 3 t  log 4 3
5

4
f  t   a log  t 4  1  t   b sin t  10



 f  t   f  t   20  a log





t4  1  t2  6  a 
log

14



t4  1  t2



 54

Câu 8:
Ta có: log 2  abc   1   4ab  log 2  4ab   4ab  log 2 
8
c

8
c

8
c
8

Xét hàm số f  t   log 2 t  t , t  0 ; f '  t   0, t  0 . Mà f  4ab   f  
c

ADMIN NHÓM PI

 4 4
2 
 4 4
 4
 t  1  t  t  1  t  t  1  t  

4


  b sin t  10
 f  t   a log  t 4  1  t   b sin t  10  a log  

4


4
4
2





t

1

t
t

1

t












1
2
4 4

 4
 a log 
  b sin t  10  a log  t  1  t   b sin t  10  a log  t  1  t 
4




4
2
  t 4  1  t 
 t  1  t  



  f  t   20  a log  t 4  1  t 2 




Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
8
c

Suy ra 4ab   abc  2  log 2 a  log 2 b  log 2 c  1
Đặt x  log2 a; y  log2 b; z  log 2 c  a  b  c  1
Ta có: M  log 2 a

2

1
1
1
2  log 2 b3 3 2  log 2 c6 6 2  log 2 a2 2  log 2 b3 2  log 2 c6 2
2
3
6



1
1
1
1
1
1
1
1
1





2
3
6
2 log 2 2a
3 log 2 2b
6 log 2 2c
2  4log 2 a 3  9log 2 b 6  36log 2 c



1
1
1


2  4 x 3  9 y 6  36 z

3  9y   1
 1
2  4x   1
6  36 z   2  4 x 3  9 y 6  36 z 
M 









16   3  9 y
36   6  36 z
144   16
36
144 
 2  4x
2



3  9y
1
2  4x
1
1
6  36 z  2  4 x 3  9 y 6  36 z 
.
2
.
2
.




2  4 x 16
3  9 y 36
6  36 z 144
36
144 
 16

1 1 1  2  4 x 3  9 y 6  36 z 
1 xyz 1
  



  1 
2 3 6  16
36
144 
4
4
2

1
2

1
3

1
6

Dấu bằng xảy ra khi x  ; y  ; z   a  2; b  3 2; c  6 2

Câu 10:
Ta có: xbc yca z ab  8abc  bc log 2 x  ca log 2 y  ab log 2 z  3abc 
Bình phương 2 vế của (1) ta được:

log 2 x log 2 y log 2 z


3
a
b
c

(1)

ADMIN NHÓM PI

Câu 9:


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
log 22 x
a


2

log 22 y



b

log 22 x
a

2



Mặt khác:

P

2



log 22 z

log 22 y
b

2

c


2

 log 2 x.log 2 y log 2 y.log 2 z log 2 z.log 2 x 
 2


9
ab
bc
ca



log 22 z
c

2

 c.log 2 x.log 2 y  a log 2 y.log 2 z  b log 2 z.log 2 x 
 9  2

abc



a
b
c


 0  a log 2 y.log 2 z  b log 2 z.log 2 x  c log 2 x.log 2 y  0
log 2 x log 2 y log 2 z

log 22 x log 22 y log 22 z


 90  9
a2
b2
c2

Câu 11:

 z1  z2

z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau   z2  z1
z  z
2
 1
3

z 
Ta có  1  là số thực
 z2 
3

 z1   z1 
 z1   z2 
2
2
      0        0  z1  z2
 z2   z2 
 z2   z1 
3

3

 

 z14  z24  z12 z22   z1 z1

3

2

  z1





4

 z

4
1



 z12 z22  z24  0

(1)







2
2
4
4
Lại có: z12  z22  4 3  z12  z22  z1  z2   48  z1  z2  z14  z24  48 (2)



4

2

2



4

Mặt khác: z12  z22  z12  z22  2 z1  z2
Câu 12:

4

 z z
2
1

2
2

 2.32  48  4

ADMIN NHÓM PI

Thay (1) vào (2) ta được: 3 z1  48  z1  z2  2


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Câu 13:

Câu 14:



x
x
 x 
f    f 0
f    f 0
f
 f 0 
 f  x  f 0

2
2018 
1
1 3
1

L  lim 
 .  

 ... 
. 
x 0 
x
x
x

x0
2
3
2018
0
0
0


2
3
2018


2018
f '0 f '0
f '0

1 1
1 
1
 f '0 

 ... 
 f '  0   1    .. 
  2   16,4
2
3
2018
2 3
2018 
x 1 x


ADMIN NHÓM PI

Cách 1:


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

x
x
 x 
f
 f  x f   f  

2
3
2018  
Cách 2: L  lim 
. Áp dụng quy tắc Lopitan ta có:
       ...  
x 0 

x
x
x
x





 x 
1 x 1 x
1
L  lim  f '  x   f '    f '    ... 
. f '

x 0
2 2 3 3
2018  2018  


 f '0 

1
1
1
f '  0   f '  0   ... 
. f '  0   16,4
2
3
2018

Áp dụng quy tắc Lopitan thì phải thỏa mãn đồng thời 2 dữ kiện sau:
lim f  x   lim g  x   0 hoặc lim f  x   lim g  x   

-

x  x0

lim
x  x0

f  x

g  x

x  x0

x x0

 lim
x  x0

x  x0

f ' x

g ' x

Câu 15:
3x 3 f  x 

 f '  x   x  3x 3 f  x    f '  x   x    f '  x    xf '  x   x 2 


2
 f '  x    xf '  x   x


f ' x
3
3
 3x 3 f  x    f '  x    x 3  x 3  3 f  x   1   f '  x   
x
3 3f x 1
 
2

2

2



1 3

f ' x

2

3 f  x  1

dx   xdx 
1

2

1

3
1
3
   3 f  x   1 3 d 3 f  x   1 
2
31
2





2

2
2
2
2
1 3
3
7 7 1
3
3
3








 .  3 f  x   1    3 f  2   1   3 f 1  1  3  3 f  2   1 3  7  f  2  
3 2
2
3
1









2 z  1  i   zi 5iz  z  0  2 z  2i z  5z 2  i z  0  z  2  z  2 i   5z 2


2
2
1
 z 2 z 2 i 5 z  4 z 2 5 z  z 
2





2





Câu 17:
Áp dụng CT trong sách ta có:

3
5
z
2
2

ADMIN NHÓM PI

Câu 16:


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn



25  z  2  z  2



2

2

2

2

 z  2  z  2  2 z  2 . z  2  2 z  8  2 z2  4
2

 P  2 z 2  4  7 z  25  2 z  8  7 z  17  7 z  2 z

2


5
5
z 
 min P  22  dau bang xay ra  
z
2
2
z2  z2 5


7
185
5 13 3 51
z  ;
 max P 
 dau bang xay ra  
z

i
4
8
16
16
z2  z2 5


Câu 18:
1

Xét I   f '  x  ln  f  x dx
0


f ' x
1

dx
1
du 
u  ln  f  x   
f  x
Đặt 

 I  f  x  ln  f  x     f '  x   4ln 4  3
0
0

dv  f '  x  dx v  f  x 


1

1

0

0

 ln 256   f '  x x  4ln 4  3   f '  x dx  3
1
 1 f ' x
 1  f ' x 
3
Áp dụng hệ quá BĐT holder: 9   
. x  1dx    
 dx.  x  1 dx  6.  9
 0 x1

2
0

 0  x  1 
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f '  x   k  x  1 , vì

2

1

 f '  x dx  3  k  2
0

 f  x   x2  2x  C , vì f 1 ln  f 1  f  0  ln  f  0   ln 256  C  1

0

127
7

Câu 19:
Vì w là số thuần ảo nên:





z
z
 1  z 4   z 1  z 4  0  z  z  z.z 4  z.z 4  0  z  z  z.z  z 3  z 3   0


0

z








1  z4 1  z4
2
2 

 z  z  z.z z  z  z 2  z.z  z   0  z  z 1  z.z  z 2  z.z  z    0














Vì z không phải là số thuẩn ảo nên z  z  0 , suy ra

ADMIN NHÓM PI

1

Vậy f  x   x2  2x  1   f 3  x  dx 


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn





2
2
2 

1  z.z  z 2  z.z  z   0  z  z  z  3z.z   1




2
2
2 
2
1
47
 z  z  z  3 z   1  z  z    3.4 
4
4











Câu 20:

2 2 z  2  i  z  1  3i  z  3  i
2

 2 x  2    2 y  1

2



2

 2 x  2    2 y  1

2

2
2
2
2
 2  x  1   y  3    x  3    y  1 



2

2

  x  1    y  1 
2

2

 x  1   y  3 
2

2



 x  3    y  1
2

2

11
11
33
 z 1 i 

3
3
3


5
5
i
z 
6
6
Dấu “=” xảy ra khi 

5
5
i
z  
6
6

Câu 21:
f ''  x   5 f '  x   6 f  x   0  f ''  x   2 f '  x   3  f '  x   2 f  x   0 (1)

Đặt g  x   f '  x   2 f  x  , từ (1) suy ra g '  x   3g  x   0
Xét hàm số h  x   e 3 x g  x   h '  x   3e 3 x g  x   e 3 x g '  x   e 3 x  g '  x   3g  x   0
Suy ra h  x  đồng biến trên 0;    h  x   h  0   g  0   f '  0   2 f  0   2
 e 3 x g  x   2  e 2 x  f '  x   2 f  x   2e x  0

Suy ra k  x  đồng biến trên 0;    k  x   k  0   f  0   2  3
 e 2 x f  x   2e x  3  f  x   3e 2 x  2e 3 x 

ln 2

1
 f  x  dx   6
0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f  x   3e 2 x  2e 3 x 

ln 2

  f  x 
0

Câu 22:

2

dx 

27
20

ADMIN NHÓM PI

Xét hàm số k  x   e 2 x f  x   2e x  k '  x   e 2 x  f '  x   2 f  x   2e x  0


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Câu 24:

ADMIN NHÓM PI

Câu 23:


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Câu 26:

ADMIN NHÓM PI

Câu 25:


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Câu 27:

 N  OP; OP  4ON  4r
Từ đề suy ra 
OM  1

Và tan  OMN    
Suy ra tan  
Câu 28:

tan OMN  tan 
r  tan 
OP


 4r
1  tan OMN.tan  1  r tan  OM

3r
3
3
1

  max   đạt được khi r 
2
2
4r  1 2 4r 2 .1 4

ADMIN NHÓM PI

Ta có: tan OMN  r


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
f '  x 

3

f '  x   xf ''  x 
f x 1
2   ln 2 2

2 f '  x   2 xf ''  x 
f x
 f '  x  2   ln 2 2 
2
 f '  x  

 2x 
2x
f x
f x
 2   ln 2 '  
 C1
 '  2 ln 2 
 f '  x 
f
'
x









Vì ln 2 f ' 1  f 1  1  C1  0
Khi đó:

 



f x
f x
f x
f '  x  2   ln 2  2 x  2   '  2 x  2     2 xdx  x2  C2  f  x   log 2 x 2  C2







Vì f 1  1  C2  1 , khi đó: f  x   log 2 x2  1


2x
v


2
u  log 2 x  1
x 2  1 ln 2


Ta có: I   x log 2 x 2  1 dx , Đặt 
1
dv  xdx

x2
v


2











1
Suy ra I  x2 log 2 x 2  1
2

2



2





1
x3
1
1 
x 

 2 log 2 5  
x 2




2
ln 2 1 x  1
2 ln 2 0 
x 1
1
2

1

2
1
1  x2
1

 2 log 2 5  
 ln x2  1
2 ln 2  2 1 2







3
  2 log 2 5 
1
2 ln 2
1

2

Từ đề suy ra OA  2r1 ; OB  4r2 và M ,N lần lượt là trung điểm OB và OA
Ta có: iz1  1  i  z2  r12  4r22  2iz1  2 1  i  z2  2 r12  4r22  OA  OB  AB  2 r12  4r22

ADMIN NHÓM PI

Câu 29:


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Do đó tam giác OAB vuông tại O
Ta có: cos  

AM.BN
AM.BN

AO.BO  AB  BO  AO   AB
AO  AB  .  BO  BA 



4 AM.BN

Vì OA  OB  AO.BO  0  cos  

2

4 AM.BN

2 AB

2



4 AM.BN

AB2
2 AM.BN

Lại có:
 OA2  AB2 OB2
2 AM.BN  AM 2  BN 2  

2
4

1
5 AB2
 OA2  OB2  AB2 
4
4



Vậy cos 



  OB2  AB2 OA2 



2
4 
 

 do AB

2

 OA 2  OB2



AB2
4

5
5
AB2
4

Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể chuẩn hóa r1 bằng một số dương bất kì rồi đưa
cos về hàm theo biến r2 , khi đó việc tìm min sẽ dễ dàng hơn.

Câu 30:
Từ đề suy ra z1  i  z2  i  1



Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: P  z1  2  i  z2  3  i  2 z1  2  i  z2  3  i
2

2



Ta có: z1  2  i   z1  2  i   z1  2  i   z1  i  2  z1  z1   4
2

2

Và z2  3  i   z2  3  i   z2  3  i   z2  i  3 z2  z2   9
2



 



2
2
 P  2  z1  i  z2  i  2 z1  z1  3 z2  z2  13  2  2  3  13  6



Câu 31:
Đặt u  x   e x f  x  u'  ex f  x  ex f '  x  ex f '  x  u' u
1

Đề  I    u ' u  u2  4u dx 
0

2





11
, với u 1  4, u 0   1
3

ADMIN NHÓM PI

2


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
1

2
11
 I    u '   2u.u ' 4u dx 


3
0

1

u2
Xét  u.u ' dx 
2
0
1

1


0

1
1
1
1
15
và  udx  xu 0   xu ' dx  4   xu ' dx
2
0
0
0

Suy ra I    u '   4 xu ' dx 
2


0



8
3

1

1

2

0

Hay

1

1

0

0

sao cho  u ' 2 x  m dx  0    u '   4xu '  dx  2m u ' dx    2x  m  dx  0

Chọn m

0

2





2

8
4
 6 m   2 m  m2  0  m  2
3
3
1

Vậy  u ' 2 x  2  dx  0  e x f  x   e x f '  x  2 x  2   ex f  x  '  2 x  2  f  x 
2

0

Vì f  0   1  f  x  

x2  2 x  C
ex

5 e  2
x2  2x  1
  f  x  dx 
x
e
e
0
1

Câu 32:



z1  z 2  z3  z1  z 2  z 3  z 3  z1  z 2  z 2  z 3  z1  4 z1  z 2  z 3
2

2

 z1  z 2  z3 
2

2

2

Ma z1  z 2  z 3
2

2

 z1  z 2  z3 

2

2

2

2

2

2



m2  n
4

z


1

 z 2  z3
3



2

z


1

 z 2  z3



3

2

m2  n

4

3  m2  n 
2

Đề  f  x  ln f  x   xf '  x   xf '  x  f  x   ln f  x   x.





1

f '  x
f  x

 xf '  x 
1

 x ln f  x  '  xf '  x   x ln f  x    xf '  x  dx  xf  x    f  x  dx
1

Suy ra

 f  x  dx  f 1  1
0

1

0

0

1

0

0

ADMIN NHÓM PI

Câu 33:


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 34:
Gọi E là điểm biểu diễn số phức z1 =>E thuộc đường tròn tâm I(1;2), bán kính R1=2
Gọi F là điểm biểu diễn số phức z2 =>F thuộc đường tròn tâm J(-5;2), bán kính R2=2
Gọi M là điểm biểu diễn z, gia thiet z  3  2i  z  7  2i  10  MA  MB  AB  10 => M
thuộc đoạn AB

P  z1  z 2  z  3  i  OE  OF  MC  EF  MC , với C(3;-1)


EF  AB  2  R1  R 2   10  2  2  2   2
Ta có  min
 Pmin  5

MCmin  3  M  A

EF  AB  10

 max
Ta có 
 Pmax  10  109
2
2
MC

3

7


1

2

109

M

B





max


Vậy M  m  15  109
Câu 35:

Đạo hàm 2 vế của (*) :
2018 f '  2018 x  2017   2018 f '  x 

Đạo hàm 2 vế của (*) : y  2018 x  2017  x 
Do đó thay x bởi

x  2017
, ta được:
2018

y  2017
2018

ADMIN NHÓM PI

Xét f  2018x  2017   2018 f  x  (*)


Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
 x  2017 
 x  2018  1 
f '  x  f ' 
 f '


2018
 2018 


Tiếp tục thay x bởi

(1)

x  2017
:
2018
 x  2017

 2018  2018  1 
 x  2018 2  1 
f '  x  f ' 
  f '

2018
2018 2







Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được:

 x  2018n  1 
 x
1 
f '  x  f ' 
1
  f '

n
n
2018
2018n 
 2018


Khi n   thì f '  x   f '  1  f  x   f '  1 x  C

(2)

Thay x  1 vào đề ta được f  1  2018 f  1  f  1  0
Thay x  1 vào (2) ta được f  1   f '  1  C  0  f '  1  C
Vậy f  x   f '  1 x  1    f  x  dx 
0

2

2
7
 f  1
3

ADMIN NHÓM PI

1


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×