Tải bản đầy đủ

Tính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN ĐÌNH SỰ

TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA
CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ

THÁI NGUYÊN, 10/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN ĐÌNH SỰ

TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA
CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ


Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN

THÁI NGUYÊN, 10/2018


i

Mục lục
Một số ký hiệu và chữ viết tắt

ii

Lời nói đầu

1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



9

1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10
1.4. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Một bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 Tính ổn định hóa của một số lớp hệ dương phân thứ
Caputo

15

2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 15
2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn
phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


ii

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian vectơ Euclide thực n−chiều

Rn×r

không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn
AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

A = (A)ij

phần tử Aij của ma trận A

I

ma trận đơn vị

A≥0

A là một ma trận không âm

A≥B

A−B ≥0

A>0

A là một ma trận dương

α
t0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α
kết thúc chứng minh của định lí hoặc bổ đề


1

Lời nói đầu
Hệ động lực dương đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học vì những ứng dụng của nó trong nhiều bài toán kỹ thuật (xem [9] và
các tài liệu tham khảo trong đó) trong khoảng ba thập kỷ gần đây. Nói một
cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là hệ dương nếu các vectơ trạng
thái và vectơ đầu ra của hệ là không âm khi các điều kiện ban đầu và đầu vào
là không âm. Tính ổn định và ổn định hóa là một trong những tính chất định
tính quan trọng của hệ động lực dương. Vì vậy, nó đã nhận được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [3, 12, 14, 16, 18]. Chẳng hạn, bằng cách
tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với bài toán quy hoạch
tuyến tính, các tác giả trong [16] nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho lớp hệ
tuyến tính với điều khiển có hạn chế. Trong [12], một vài tiêu chuẩn cho tính
dương và tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ đã được
đưa ra.
Mặt khác, nhiều nhà khoa học đã chỉ ra rằng nhiều hệ thống, chẳng hạn
như các hệ thống điện từ, phân cực điện môi, các hệ thống viscoelastic [8],
có thể được mô tả một cách chi tiết và tốt hơn bởi hệ phương trình vi phân
phân thứ. Vì vậy hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được nhiều sự
quan tâm nghiên cứu (xem [1, 2, 12, 13, 14, 16, 18] và các tài liệu tham khảo
trong đó). Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán nghiên cứu tính ổn
định và ổn định hóa các hệ động lực dương phân thứ là một bài toán quan
trọng, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều kết quả
sâu sắc về bài toán này đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín (xem
[5, 8, 10, 17]).
Trong tài liệu [8], các tác giả đã đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính ổn định
hóa của một số lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn phân thứ RiemannLiouville. Tuy nhiên như trong bình luận của một số nhà khoa học, việc dùng
đạo hàm Riemann-Liouville để mô tả các hệ động lực trong thực tế thì gặp


2

hạn chế do điều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ý
nghĩa vật lí. So với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo dễ
áp dụng cho các bài toán thực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử
dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lí. Vì lí do đó, bằng cách sử dụng một
số kỹ thuật tham khảo trong các tài liệu [8] và [17] chúng tôi nghiên cứu bài
toán ổn định hóa cho một số lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn phân
thứ Caputo. Các kết quả thu được là những đóng góp nhỏ nhưng có ý nghĩa
khoa học của chúng tôi.
Luận văn được chia làm hai chương với những nội dung chính như sau:
Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như
tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy
nhất nghiệm. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân
thứ Caputo không thuần nhất cũng được chúng tôi trình bày trong chương
này. Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho hệ
phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tổng quát cũng được trình bày trong
chương này.
Chương 2 của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để đảm bảo một hệ
tuyến tính phân thứ Caputo là dương. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một
số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa của một số lớp hệ điều khiển tuyến tính
phân thứ Caputo với điều khiển không có hạn chế và có hạn chế. Các kết quả
của chương này được chúng tôi đưa ra bằng cách áp dụng các kỹ thuật chứng
minh trong các bài báo [8] và [17] trong danh mục tài liệu tham khảo của luận
văn.
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ. Với tình cảm chân thành em xin
gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS. Mai Viết Thuận - người Thầy đã tận tình
hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn.
Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao
học Toán K10 khóa 2016 - 2018, các phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin


3

trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện
cho em trong thời gian học tập vừa qua.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám Hiệu trường THPT Hiệp
Hòa số 2, tập thể lớp K10, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này.
Thái Nguyên, ngày 02 tháng 10 năm 2018
Tác giả luận văn

NGUYỄN ĐÌNH SỰ


4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích phân thứ như tích phân
Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ RiemannLiouville, mối liên hệ giữa hai loại đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville.
Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương
trình vi phân phân thứ. Các kiến thức được trình bày trong chương này được
chúng tôi tham khảo trong [1, 13, 15].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi:
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b],
t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước

α
t 0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lí sau:


5

Định lí 1.1. Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó,
tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là một

hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0,
chúng ta có:
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β , t > a.
Γ(α + β + 1)

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có:
+∞
α
t0 It x(t)



−α
j=0

1.1.2.

(λt)α+j
, t > 0.
Γ(α + j + 1)

Đạo hàm phân thứ

Định nghĩa 1.2. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R.
Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi:

dn t
dn
1
n−α
(t − s)n−α−1 x(s)ds,
:= n t0 It x(t) =
n
dt
Γ(n − α) dt t0
trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và
RL α
t0 Dt x(t)

dn
dtn



đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function):


 1 nếu t ≥ 0;
f (t) =

 0 nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là:
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau:


6

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)).
a

Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D =

d
)}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như
sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t)

1
=
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có:
f (k) (t0 )
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
k!
Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ
ϕ(s) = f (n) (s), ck =

Riemann–Liouville.
Định lí 1.2. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm
phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn

dưới dạng sau:
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

1
f (k) (t0 )
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.
Hệ quả 1.1. Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

1
f (t0 )
=
[
+
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f (s)ds
].
(t − s)α


7

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là:
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có:
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

1
dn
Γ(n − α) dtn
dn
λ
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)]ds

=

t0
t

(t − s)n−α−1 f (s)ds +
t0

µ
dn
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R.
Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dtn

là đạo hàm thông thường cấp n.
Đối với một hàm vectơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t))T đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

α
C
α
C
α
T
:= (C
t0 Dt x1 (t),t0 Dt x2 (t), . . . ,t0 Dt xd (t)) .

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm phân thứ Caputo
cấp α.
Định lí 1.3. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm
α
phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có:
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

1
=
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


8

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

=

t

1
Γ(1 − α)

t0

f (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt:
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ
Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là:
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Định lí 1.4. Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có:
α
C α
t0 Dt (t0 It f (t))

= f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ.
Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây:
Định lí 1.5. Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It (t0 Dt f (t))

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It (t0 Dt f (t))

= f (t) − f (t0 ).

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau:
Định lí 1.6. Cho α > 0 và đặt n = [α] + 1. Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α
t0 Dt x(t)

=RL
t0

Dtα (x(t)


j=0

với hầu hết t ∈ [a, b].

(t − t0 )j (j)
x (t0 )),
j!


9

1.2.

Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị vectơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x





được định nghĩa như sau:

:= max x(t) ,
t∈[0,T ]

trong đó . là chuẩn Euclide trong không gian Rn .
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
C α
0 Dt x(t)

= f (t, x(t)), t ≥ 0,

(1.1)

với điều kiện ban đầu
x(0) = x0 ∈ Rn ,

(1.2)

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn .
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]
nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.4. Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy
ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân:
ϕ(t, x0 ) = x0 +

1
Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

0

Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời
điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được
ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại


10

tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời
điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản
giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lí 1.7. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và
K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}.
Giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ G.
Đặt M = sup

f (t, x) và

(t,x)∈G



 T nếu M = 0;

T =

 min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại.
Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1)
với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).
Định lí 1.8. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1),
(1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y ,
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý
x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).
Đối với hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville, ta cũng có
các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục tương tự như Định lí 1.8. Chi
tiết có thể xem trong [14].

1.3.

Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân
thứ Caputo

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.


11

Định nghĩa 1.4. Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có:
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là:
+∞

Eα,β (A) =
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của I. Podlubny [15].
Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc
định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Xét hệ phương trình
vi phân phân thứ Caputo tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất


 C Dα x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0;
0

t

(1.4)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó x(t) ∈ Rn , g(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước.
Ta dễ dàng thu được công thức tường minh của nghiệm bài toán (1.4) như sau:
t

Φ(t − τ )g(τ ) dτ,

ϕ(t, x0 ) = Φ0 (t)x0 +
0

trong đó:
+∞
α

Φ0 (t) = Eα (At ) =
k=0
+∞

Φ(t) =
k=0

k (k+1)α−1

A t
.
Γ([k + 1]α)

Ak tαk
,
Γ(kα + 1)


12

Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả về công thức nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều
kiện Lipschitz toàn cục. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có
nhiễu phi tuyến




C α
0 Dt x(t)

= Ax(t) + f (x(t)), t ≥ 0;

(1.5)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f :
Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0.
Định lí 1.9. Xét bài toán (1.5). Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz toàn cục
trên Rn với hệ số Lipschitz L và f (0) = 0. Khi đó, với mọi x0 ∈ Rn , bài toán
giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0 ). Hơn nữa, nghiệm này
thỏa mãn công thức biến thiên hằng số:
t
α

(t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)f (x(τ, x0 )) dτ, ∀t ≥ 0.

x(t, x0 ) = Eα (t A)x0 +
0

1.4.

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ
Dtα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,

(1.6)

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn là vectơ trạng thái, t0 ≥ 0 là
thời điểm ban đầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Đạo hàm phân thứ Dtα (.) ở trong công
thức (1.6) được hiểu là đạo hàm phân thứ Caputo hoặc Riemann-Liouville.
Định nghĩa 1.6. Vectơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương
trình vi phân phân thứ (1.6) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ (Caputo hoặc
Riemann-Liouville), mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ
(1.6) có thể chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x = 0 là một điểm cân


13

bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó
hệ (1.6) trở thành
Dtα y(t) = Dtα (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),

(1.7)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann-Liouville), ta chỉ cần
nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ (1.7). Không mất tính
tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc
Riemann-Liouville) (1.6) có điểm cân bằng là 0.
Định nghĩa 1.7. Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc
Riemann-Liouville) (1.6) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.6) được
gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn
x(t) ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )]b ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 .
Nhận xét 1.3. Nếu hệ (1.6) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận,
tức là lim

t−→+∞

x(t) = 0.

Đối với hệ phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân
có trễ phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên
cứu tính ổn định. Năm 2010, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny [14] đưa ra
phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương
trình vi phân phân thứ.
Định lí 1.10. [14] Hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương
α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện
(i)
(ii)

α1 x(t)

a

≤ V (t, x(t)) ≤ α2 x(t)

Dtα V (t, x(t)) ≤ −α3 x(t)

ab

ab

,

,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa
mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0
trong Rn . Nếu tất cả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.6)
là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.


14

Hàm V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) trong Định lí 1.10 được
gọi là hàm Lyapunov cho hệ phân thứ (1.6).

1.5.

Một bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một bổ đề quan trọng được sử dụng để
chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. [7] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác
định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm vectơ liên tục và có đạo hàm. Khi
đó, ta có bất đẳng thức sau đúng
C α
0 Dt

α
xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C
0 Dt x(t), ∀t ≥ 0.


15

Chương 2

Tính ổn định hóa của một số lớp
hệ dương phân thứ Caputo
2.1.

Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương phân
thứ Caputo

Mục này, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định và ổn
định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo. Một số nội dung của
chương này (các Định lí 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6) là những kết quả mới của chúng
tôi với kỹ thuật chứng minh dựa trên các bài báo [5] và [17] trong danh mục
tài liệu tham khảo.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0;
0

t

(2.1)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, A là một ma trận thực vuông
cấp n cho trước.
Theo như kết quả trình bày ở Chương 1, nghiệm của hệ (2.1) có dạng:
x(t) = Eα (Atα )x0 ,
trong đó Eα (.) là hàm Mittag-Leffler xác định bởi:

α

Eα (At ) =
k=0

(Atα )k
.
Γ(kα + 1)

(2.2)

Trước khi trình bày một số kết quả về tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến
tính dương, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa sau:


16

Định nghĩa 2.1. Ma trận M = (Mij ) ∈ Rn×m được gọi là một ma trận không
âm nếu tất cả các phần tử của ma trận M đều không âm, tức là Mij ≥ 0, ∀i =
1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Định nghĩa 2.2. Ma trận M = (Mij ) ∈ Rn×m được gọi là một ma trận dương
nếu tất cả các phần tử của ma trận M đều lớn hơn 0, tức là Mij > 0, ∀i =
1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Định nghĩa 2.3. Ma trận A = (Aij ) ∈ Rn×m được gọi là một ma trận Metzler
nếu tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của ma trận A đều không
âm, tức là Aij ≥ 0, ∀i = j.
Định nghĩa 2.4. Ma trận A = (Aij ) ∈ Rn×n được gọi là một M − ma trận
nếu tất cả các định thức con chính của ma trận A đều dương.
Định nghĩa 2.5. Hệ (2.1) được gọi là dương nếu với điều kiện ban đầu x0 ∈
Rn+ , ta có x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0.
Định lí dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ
tuyến tính phân thứ.
Định lí 2.1. [11] Hệ tuyến tính phân thứ (2.1) là hệ dương nếu và chỉ nếu A
là ma trận Metzler.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1) là một hệ dương. Ta chứng tỏ A là ma
trận Metzler. Vì hệ (2.1) là một hệ dương nên với x0 ∈ Rn+ , ta có x(t) =
Eα (Atα )x0 ≥ 0. Từ đó suy ra Eα (Atα ) ≥ 0. Mặt khác, ta lại có:

α

Eα (At ) =
k=0

(Atα )k
A
=I+
+ ...
Γ(kα + 1)
Γ(α + 1)

Từ đó suy ra Eα (Atα ) ≥ 0 với t ≥ 0 đủ nhỏ chỉ khi A là ma trận Metzler.
Điều kiện đủ: Giả sử A là ma trận Metzler, ta chứng tỏ hệ (2.1) là một hệ
dương. Cho x0 ∈ Rn+ , ta chứng tỏ x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0. Vì nghiệm của hệ
(2.1) được biểu diễn dưới dạng (2.2) nên để chứng tỏ x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0,
ta chỉ phải chỉ ra Eα (Atα ) ≥ 0. Ta sẽ chỉ ra điều này bằng phản chứng. Giả
sử ngược lại Eα (Atα ) := Ψ = (Ψij ) không phải là ma trận không âm với mọi


17

i = j. Khi đó tồn tại một bộ chỉ số i, j với i = j sao cho Ψij < 0. Ta có
Atα
A2 t2α
+
+ ...
Γ(α + 1) Γ(2α + 1)
Atα
Atα Γ(α + 1)
=I+
I+
+ ... .
Γ(α + 1)
Γ(2α + 1)

Eα (Atα ) = I +

Đẳng thức bên trên tương đương với
Atα Γ(α + 1)
=A I+
+ ...
Γ(2α + 1)

Eα (Atα ) − I

Γ(α+1)

(2.3)

Trong công thức (2.3), cho t → 0+ ta thu được
lim+

Eα (Atα ) − I

Γ(α+1)

t→0

= A.

(2.4)

T

Định nghĩa vectơ ei = [0 0 1 0 . . . 0] trong đó 1 là giá trị tại vị trí thứ i. Từ
đó suy ra
lim+ eTi

Eα (Atα ) − I

Γ(α+1)

t→0

ej = eTi Aej .

(2.5)

Vì eTi ej = 0 và eTi Ψej = Ψ(i, j), ta thu được đánh giá sau:
lim+

t→0

Ψ(i, j)

Γ(α+1)

= Aij .

(2.6)

Vì Ψ(i, j) < 0 nên suy ra Aij < 0, i = j. Do đó, ma trận A không là ma trận
Metzler. Ta thấy điều này là vô lý. Vậy Eα (Atα ) ≥ 0. Từ đó suy ra hệ (2.1) là
một hệ dương.
Định lí dưới đây cho chúng ta một điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ
tuyến tính dương phân thứ Caputo.
Định lí 2.2. Hệ tuyến tính phân thứ Caputo (2.1) là dương và ổn định tiệm
cận nếu A là ma trận Metzler và tồn tại một vectơ hằng số η ∈ Rn , η > 0 thỏa
mãn
Aη < 0.

(2.7)

Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler nên theo Định lí 2.1, hệ (2.1) là một
hệ dương. Vì Aη < 0 nên −Aη > 0. Vì A là ma trận Metzler nên tất cả các
phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận −A là không âm. Do đó theo


18

kết quả trong [4] tồn tại một vectơ ρ ∈ Rn , ρ > 0 sao cho −(A)T ρ > 0. Suy ra
ρT A < 0. Vì hệ (2.1) là hệ dương nên x(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0. Ta xét hàm Lyapunov
sau:
V (x(t)) = ρT x(t).
Dễ thấy V (x(t)) thỏa mãn điều kiện (i) trong Định lí 1.10. Lấy đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α của V (x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.1, ta thu được đánh giá sau:
C α
0 Dt V

(x(t)) ≤ ρT 0C Dtα x(t) = ρT Ax(t) < 0, ∀x = 0.

Vậy điều kiện (ii) trong Định lí 1.10 cũng được thỏa mãn. Vậy hệ tuyến tính
phân thứ Caputo (2.1) ổn định tiệm cận.
Nhận xét 2.1. Điều kiện (2.7) trong Định lí 2.2 có thể giải được bằng chương
trình LP (Linear Program) trong MATLAB.
Chúng tôi đưa ra ví dụ sau để minh họa cho kết quả lí thuyết trong Định lí
2.2.
Ví dụ 2.1. Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0;
0

t

(2.8)


 x(0) = x0 ∈ R4+ ,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R4 , và

−2

0.5

A=
0.5

0.9

0.4 0.8 0.1




−4 0.7 0.9

.
0.3 −5 2 

0.6 0.4 −5

Dễ thấy A là một ma trận Metzler nên hệ tuyến tính phân thứ (2.8) là một
hệ dương. Ngoài ra, bằng cách sử dụng chương trình LP trong MATLAB, ta
thấy điều kiện (2.7) trong Định lí 2.2 thỏa mãn với
T

λ = 59.9818 38.9359 35.7243 32.9660

.

Do đó hệ (2.7) là hệ dương và ổn định tiệm cận.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày tính ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến
tính phân thứ Caputo.


19

Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;
0

t

(2.9)


 x(0) = x0 ,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều
khiển, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các ma trận thực hằng số cho trước.
Mục đích của ta tìm điều khiển ngược:
u(t) = Kx(t)
sao cho hệ đóng sau:




C α
0 Dt x(t)

= (A + BK)x(t), t ≥ 0;

(2.10)


 x(0) = x0 ≥ 0,
là một hệ tuyến tính phân thứ dương và ổn định tiệm cận.
Định lí dưới đây cho ta một tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của hệ (2.9).
Định lí 2.3. Giả sử tồn tại một vectơ λ ∈ Rn , λ > 0 và các vectơ y1 , y2 , . . . , yn ∈
Rm sao cho:
n

Aλ + B

yi < 0,

(2.11)

i=1

aij λj + bi yj ≥ 0, i = j,

(2.12)

trong đó aij là phần tử thứ (ij) của ma trận A và bi là vectơ hàng thứ i của ma
trận B. Khi đó hệ đóng (2.10) ổn định tiệm cận và là một hệ dương với mọi
điều kiện ban đầu x0 ≥ 0. Hơn nữa, ma trận điều khiển ngược K xác định bởi:
K=

y1 y2
yn
...
.
λ1 λ2
λn

(2.13)

Chứng minh. Giả sử rằng điều kiện (2.11), (2.12) được thỏa mãn với ma
trận điều khiển ngược K xác định bởi (2.13). Áp dụng Định lí 2.2 cho hệ đóng
(2.10), ta thu được đánh giá sau:
Aλ + BKλ < 0.

(2.14)


20

Chú ý rằng biểu thức (2.13) có thể được viết lại như sau:
n

Kλ =

yi .
i=1

Từ đó suy ra (2.14) tương đương với điều kiện (2.11). Bên cạnh đó hệ đóng
(2.10) là hệ dương nếu ma trận A + BK là Metzler, có nghĩa là (A + BK)ij ≥ 0
với i = j. Thay biểu thức của K trong (2.13) vào biểu thức này, ta thu được:
yj
aij + bi ≥ 0, i = j.
(2.15)
λj
Dễ thấy điều kiện (2.15) tương đương với điều kiện (2.12). Định lí được chứng
minh hoàn toàn.
Ví dụ sau đây được đưa ra để minh họa cho kết quả lí thuyết của Định lí
2.3.
Ví dụ 2.2. Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;
t
0

 x(0) = x ∈ R2 ,
0

(2.16)

+

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R2 là vectơ trạng thái, u(t) ∈ R là vectơ điều khiển
và các ma trận
−2

A=

−0.4

−0.8 −0.8

,B=

0.5

.

0.6

Ta thấy hệ mở, tức là hệ (2.16) với u(t) ≡ 0 không là hệ dương vì A không là
ma trận Metzler. Ta sẽ tìm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), với K ∈ R1×2 là
ma trận sẽ được xác định sau để hệ đóng


 C Dα x(t) = (A + BK)x(t), t ≥ 0;
0

t

(2.17)


 x(0) = x0 ∈ R2+ ,
là một hệ dương và ổn định tiệm cận.
Bằng cách sử dụng chương trình LP trong MATLAB, ta thấy các điều kiện
T

(2.11) và (2.12) trong Định lí 2.3 được thỏa mãn với λ = 1.0188 1.3776

, y1 =

1.7185, y2 = 1.1863. Vậy theo Định lí 2.3 hệ đóng (2.17) là một hệ dương và
ổn định tiệm cận. Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.16) là:
u(t) = Kx(t) = 1.6868 0.8612 x(t), t ≥ 0.


21

Tiếp theo, chúng tôi trình bày bài toán ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển
tuyến tính phân thứ Caputo với điều khiển có hạn chế. Xét hệ điều khiển tuyến
tính phân thứ có hạn chế


C α

D x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;


 0 t
x(0) = x0 ;




 −u ≤ u(t) ≤ u,

(2.18)

trong đó A là ma trận Metzler, α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái,
u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển.
Mục đích của ta là nghiên cứu bài toán sau: Cho trước các vectơ u ∈ Rm , u >
0 và u ∈ Rm , u > 0, tìm vectơ x ∈ Rn là cận trên của vectơ trạng thái x(t) của
hệ (2.18), tức là x(t) ≤ x và ma trận K thỏa mãn −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u sao
cho hệ đóng sau là dương và ổn định tiệm cận


C α

D x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0;


 0 t
x(0) = x0 ;




 −u ≤ u(t) ≤ u.

(2.19)

Hai bổ đề sau đóng vai trò quan trọng trong việc trình bày các kết quả tiếp
theo.
Bổ đề 2.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó ta có
Eα (Atα ) − I = 0 Itα (Eα (Atα )A) , α ∈ (0, 1).

(2.20)

Chứng minh. Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α vế trái của (2.20) và sử
dụng định nghĩa của hàm Mittag-Leffler, ta thu được:
+∞
C α
α
0 Dt (Eα (At )

− I) =

C α
0 Dt
k=0
+∞

=

C α
0 Dt
k=1
+∞
C α
0 Dt

=
k=1

(Atα )k
−I
Γ(kα + 1)
(Atα )k
Γ(kα + 1)
(Atα )k
.
Γ(kα + 1)

Mặt khác, ta lại có:
C α
0 Dt

tβ =

Γ(β + 1) β−α
t
.
Γ(β − α + 1)

(2.21)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×