Tải bản đầy đủ

Một phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❇⑩ ✣➷◆

▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚⑩❈❍
●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆●

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❇⑩ ✣➷◆

▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚⑩❈❍
●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ Ù◆● ❉Ö◆●

▼➣ sè ✿ ✽✹✻✵✶✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➊ ❉Ô◆● ▼×❯

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✽




▼ö❝ ❧ö❝
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t
✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣
✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸








▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✶✹
❈→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✷ ❚❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤ì♥ ✤✐➺✉

✷✸

❑➳t ❧✉➟♥


❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✽
✸✾

✷✳✶
✷✳✷

❚❤✉➟t t♦→♥ t✉➛♥ tü ✈➔ sü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚❤✉➟t t♦→♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈➔ sü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹
✸✸





ữủ t ữợ sỹ ữợ t t sỹ
ừ t ụ ữ rữớ ồ
ở ổ ỷ ớ ỡ t s s t
t
ụ ỷ ớ ỡ ổ P
ừ ũ t ổ t õ ồ ồ
ỳ ữớ t t tr t
tự ỡ s
ỷ ớ ỡ ỏ t
rữớ ồ t t ủ tổ tr
q tr ồ t t trữớ
t ỡ ỗ t
tr ợ ồ t ổ q t ở ú ù tổ tr
tớ ồ t q tr
t õ ố s tớ ỹ ừ t
õ õ tr ọ ỳ t sõt t ữủ sỹ õ
õ qỵ ừ ỵ t ổ ũ t t ồ






H ởt ổ rt tỹ ợ t ổ ữợ ., .
. tữỡ ự C ởt t ỗ õ rộ tr H f s
tứ C ì C R s f (x, x) = 0 ợ ồ x C r
t s t t s ữủ ỵ P(C, f )
x C s f (x , y) 0,

y C.



t P(C, f ) ỏ ữủ ồ t tự sỹ
õ õ ừ ổ tr ỹ
t tự t ữủ s ũ
tr trỏ ỡ ổ ủ t ồ t tự
ữ r ởt ỵ sỹ tỗ t t tr
ổ ỳ tr õ ỵ ữủ rở r
tr ổ ổ rss t
ồ t t tự ự t ờ
t t ữủ ồ t
tr t
ự t õ t t ữợ
ỗ ỳ ự sỹ tỗ t tt t
t ữớ t ữ r ữỡ
t ữ ữỡ ừ
õ t ữớ sỹ q ữớ t ự ữỡ
tstt t t
ử ừ ợ t ỳ tự ỡ t
ừ t tr ởt ữỡ t ởt ợ
t ợ ữủ ổ ố
ỗ ữỡ t ử
t t
ữỡ tr ởt số ỡ q t
q sỹ tỗ t trữớ ủ r ừ t




❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❤❛✐ t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ ✤â
s♦♥❣ ❤➔♠ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ s♦♥❣ ❤➔♠✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✤➛✉ ❧➔ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤
t✉➛♥ tü✱ t❤✉➟t t♦→♥ s❛✉ ❧➔ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ s♦♥❣ s♦♥❣✳




▼❐❚ ❙➮ ❑Þ ❍■➏❯ ❱⑨ ❈❍Ú ❱■➌❚ ❚➁❚
H ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝❀
X ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝❀
R✿ ❚➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝❀
∅✿ ❚➟♣ ré♥❣❀
I ✿ ⑩♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ♥❤➜t❀
a, b ❂ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ✷ ✈➨❝✲tì ❛ ✈➔ ❜❀
x ❂ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ x❀
∂f (x)✿ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x❀
∀x✿ ❱î✐ ♠å✐ ①❀
xn → x✿ ❉➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x❀
xn
x✿ ❉➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ x❀
x := y ✿ ◆❣❤➽❛ ❧➔✱ x ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜➡♥❣ y ❀
PC (x)✿ ❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ x ❧➯♥ C ✳




ữỡ

t
ữỡ tr q t sỹ
tỗ t t t ỡ trữớ ủ r q trồ ừ
t tự tr ữỡ ữủ tr tứ t



ởt số ỡ

(H,

t t tỹ

tọ

, )

tr õ H ởt ổ

, :H ìH R
(x, y) x, y

x, x 0, x H; x, x = 0 x = 0
x, y = y, x , x, y H
x, y = x, y , R, x, y H
x + y, z = x, z + y, z , x, y, z H

ữủ ồ ổ t rt
ổ t rt ừ ữủ ồ ổ rt

ử L2[a,b] ổ ữỡ t tr
ợ f

L2[a,b]

ổ ữợ

s

b

f 2 (x) dx < + ởt ổ rt ợ t

a
b

f, g =

f (x) g (x) dx;
a




✈➔ ❝❤✉➞♥
b



f

L2[a,b]



1
2

f 2 (x)dx .

=
a

❚r➯♥ H ❝â ❤❛✐ ❦✐➸✉ ❤ë✐ tö ❝❤➼♥❤ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❳➨t ❞➣② {xn}n≥0 ✈➔ x t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
t❤ü❝ H ✳ ❑❤✐ ✤â✿
• ❉➣② {xn } ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x✱ ❦þ ❤✐➺✉ xn → x✱ ♥➳✉ ♥❤÷
lim

n→+∞



xn − x = 0.

❉➣② {xn} ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ x✱ ❦þ ❤✐➺✉ xn
lim

n→+∞

ω, xn = ω, x ,

x✱

♥➳✉

∀ω ∈ H.

❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤❛✐
❧♦↕✐ ❤ë✐ tö ♥➔②✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳
◆➳✉ {xn} ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✤➳♥ x t❤➻ ❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x✳
• ▼å✐ ❞➣② ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✭②➳✉✮ ✤➲✉ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ t❤❡♦ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤
✭②➳✉✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳
• ◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ t❤➻ sü ❤ë✐
tö ♠↕♥❤ ✈➔ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳
• ◆➳✉ {xn }n≥0 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H t❤➻ t❛
tr➼❝❤ r❛ ✤÷ñ❝ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳
• ◆➳✉ {xn }n≥0 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ❤ú✉ ❤↕♥
❝❤✐➲✉ H t❤➻ t❛ tr➼❝❤ r❛ ✤÷ñ❝ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤✳


❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ ♥➯✉ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐
✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ❬✶❪✱ ❬✶✵❪✳
❳➨t C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❚➟♣ C tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ♥➳✉

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]

⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.




✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ✣✐➸♠ a ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜✐➯♥ ❝õ❛ C ♥➳✉ ♠å✐

❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a ✤➲✉ ❝â ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ C ✈➔ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ C ❀
❚➟♣ C ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥➳✉ C ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♥â❀
❚➟♣ C ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

✈➔ x ∈ C ✳
◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❣♦➔✐ ❝õ❛ C ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿

H

NC (x) := {w| w, y − x ≤ 0,

∀y ∈ C} .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❳➨t ❤➔♠ f : H → R ∪ {+∞}✳ ❑❤✐ ✤â✿

✭✐✮ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ H ♥➳✉

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1);

✭✐✐✮ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➦t tr➯♥ H ♥➳✉
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x = y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1);

✭✐✐✐✮ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ♠↕♥❤ tr➯♥ H ✈î✐ ❤➺ sè η > 0 ♥➳✉
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − η

λ(1 − λ)
x − y 2,
2

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1).

❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö q✉❡♥ t❤✉ë❝ ✈➲ ❤➔♠ ❧ç✐✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳

✶✳ ❍➔♠ ❛❢❢✐♥❡✳ f (x) = aT x + b✱ tr♦♥❣ ✤â a ∈ Rn, b ∈ R ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✳ ◆â t❤♦↔
♠➣♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝

f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y),
❉♦ ✤â ♥â ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ❝❤➦t✳
❈❤♦ C = ∅ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳
✷✳ ❍➔♠ ❝❤➾✳ ✣➦t

δC :=

∀x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1).

0 ❦❤✐ x ∈ C
+∞ ❦❤✐ x ∈
/C

❤➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ C ✳ ❉♦ C ❧ç✐ ♥➯♥ δC ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✳
✸✳ ❍➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤✳ ●✐↔ sû C ❧➔ ♠ët t➟♣ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❍➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤

❚❛ ♥â✐ δC ❧➔

dC (y) ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿

dC (y) = inf x − y .
x∈C




õ C t ỗ t dC ỗ
t t x, y H (0, 1) t ý t z = x + (1 )y
tỗ t {xk } , {yk } tr C s

lim x xk = dC (x) lim y yk = dC (y).

k

k

C ỗ zk := xk + (1 )yk C õ

dC (z) z zk
= (x xk ) + (1 )(y yk )
x xk + (1 ) y yk .
k t õ dC (z) dC (x) + (1 )dC (y)
dC ỗ

tỗ t C s y = dC (y) t ữủ ồ
ừ y tr C õ ừ t tố ữ

xy
min
yC
2

2

.

ỵ ừ y tr C PC (y) õ = PC (y)
t t s ự sỹ tỗ t t t ừ
ố ởt t ỗ õ õ t s st ởt số t t ỡ ừ
t tỷ ữủ sỷ ử tr ữỡ s ừ

sỷ C ỗ õ rộ tr H õ

ợ ồ y H C t t s tữỡ ữỡ
= PC (y)
y NC ()
ợ x H PC (x) ừ x tr C ổ tỗ t t
y / C t PC (y) y, x PC (y) = 0 s tỹ ừ C t
PC (y) t y ọ C tự
PC (y) y, x PC (y) 0,

x C;


PC (y) y, y PC (y) < 0.

y PC (y) õ t t s
PC (x) PC (y) x y , x, y t ổ
PC (x) PC (y), x y PC (x) PC (y) 2 t ỗ ự



sỷ õ tự ừ y tr C x C t

x := x + (1 ).




❉♦ C ❧ç✐ ♥➯♥ xλ ∈ C ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ (0, 1)✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ t❛ ❝â
π − y ≤ y − xλ ✳ ❍❛②

π−y

2

≤ y − xλ

2

= (π − y) + λ(x − π) 2 .
❑❤❛✐ tr✐➸♥ ✈➳ ♣❤↔✐ ✈➔ ❣✐↔♥ ÷î❝ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
2

λ x−π

+ 2 x − π, π − y ≥ 0,

x ∈ C, λ ∈ (0, 1).

❈❤♦ λ t✐➳♥ tî✐ 0 t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ π − y, x − π ≥ 0. ✣✐➲✉ ♥➔②
✤ó♥❣ ✈î✐ x ∈ C ❜➜t ❦ý ♥➯♥ s✉② r❛ y − π ∈ NC (π)✳
●✐↔ sû ❝â ✭❜✮ tù❝ ❧➔ ❣✐↔ sû y − π ∈ NC (π)✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ x ∈ C t❛ ❝â
2

y−x

= (y − π) + (π − x)

2

= y−π

2

+ π−x

2

≥ y−π

2

+ π−x

2

+ 2 y − π, π − x

≥ y − π 2.
❙✉② r❛ π ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ y tr➯♥ C ✳
✭✐✐✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t d = u∈C
inf

x − u ✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ {un } ⊂ C s❛♦

❝❤♦ x − un −→ d, n −→ ∞✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â

un − um

2

= (x − un ) − (x − um )
= 2 x − un
≤ 2( x − un

2

2

+ 2 x − um
2

+ x − um

un + um
−4 x−
2
2
2
) − 4d −→ 0,
2

2

❦❤✐ n, m −→ ∞. ❉♦ ✤â {un } ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ H ✳ ❙✉② r❛ tç♥ t↕✐
u = lim un ∈ C ✳ ❉♦ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥ x − u = d✳ ●✐↔ sû
n→∞

tç♥ t↕✐ v ∈ C s❛♦ ❝❤♦ x − v = d✳ ❚❛ ❝â

u−v

2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u

2

2

+ x − v 2) − 4 x −

u+v
2

2

≤ 0.
❙✉② r❛ u = v ✳ ❱➟② tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤➛♥ tû PC x ∈ C s❛♦ ❝❤♦

x − PC x = inf u∈C x − u .


✶✵

✭✐✐✐✮ ❉♦ y − π ∈ NC (π) ♥➯♥

π − y, x − π ≥ 0,

∀x ∈ C.

❱➟② π − y, x = π − y, π ❧➔ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tü❛ ❝õ❛ C t↕✐ π ✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣
♥➔② t→❝❤ y ❦❤ä✐ C ✈➻ y = π ♥➯♥

π − y, y − π = − π − y

2

< 0.

✭✐✈✮
✭❛✮ ❚❤❡♦ ♣❤➛♥ ✭✐✐✮ →♥❤ ①↕ x → PC (x) ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳
❉♦ z − PC (z) ∈ NC (PC (z)) ✈î✐ ♠å✐ z ✱ →♣ ❞ö♥❣ ✈î✐ z = x ✈➔ z = y ✱ t❛ ❝â

x − PC (x), PC (y) − PC (x) ≤ 0;
✈➔

y − PC (y), PC (x) − PC (y) ≤ 0.
❈ë♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ✤÷ñ❝

PC (y) − PC (x), PC (y) − PC (x) + x − y ≤ 0.
❑➳t ❤ñ♣ ✤✐➲✉ ♥➔② ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✱ s✉② r❛

PC (x) − PC (y) ≤ x − y .
✭❜✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭❜✮ ❝õ❛ ✭✐✮✱ ❧➛♥ ❧÷ñt ✈î✐ PC (x) ✈➔ PC (y)✱ t❛ ❝â✿

PC (x) − x, PC (x) − PC (y) ≤ 0;
y − PC (y), PC (x) − PC (y) ≤ 0
❈ë♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ s✉② r❛

PC (x) − PC (y) + y − x, PC (x) − PC (y)
= PC (x) − PC (y), y − x + PC (x) − PC (y)

2

≤ 0.

❈❤✉②➸♥ ✈➳ t❛ ❝â

PC (x) − PC (y), x − y ≥ PC (x) − PC (y) 2 .


❱➟② ♠➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❈❤♦ f : H → R ∪ {+∞}✳ ❚❛ ♥â✐ x



❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ f t↕✐ x ♥➳✉

x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z),

∀z.

❑þ ❤✐➺✉ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ f t↕✐ x ❧➔ ∂f (x)✳
❑❤✐ ∂f (x) = ∅ t❤➻ t❛ ♥â✐ ❤➔♠ f ❦❤↔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ t↕✐ ✤✐➸♠ x✳

∈H

❧➔




f ữủ ồ ữợ
tr t õ

tr ởt t f ữợ t ồ



f (x) = x , x Rn x = 0 ổ ữ õ
ữợ

f (0) = {x | x , x x , x} ;
f = C ừ ởt t ỗ C = õ ợ x0 C

C (x0 ) = x | x , x x0 C (x), x .
ợ x
/ C t C (x) = + t tự ổ ú

C (x0 ) = x | x , x x0 0, x C = NC (x0 ).
õ s õ t ữợ ừ ỗ
f : H R ỗ t f (x) =



ợ ồ

f ữợ ỡ
f : H R ữủ ồ ỷ tử ữợ t
ởt x ợ ồ xk E; xk x t õ k
lim inf f (xk ) f (x)
f ữủ ồ ỷ tử tr t ởt x f ỷ tử ữợ
t ởt x ợ ồ xk E; xk x t k
lim sup f (xk )
f (x)
f ữủ ồ tử t ởt x ữ õ ứ ỷ tử tr
ỷ tử ữợ t x
t ổ t õ ỡ ỷ tử ữợ ỷ tử
tr tử
ởt số tỹ ữủ ồ tỹ ỗ tr t
ỗ C ợ ồ số tỹ t ự ữợ
xX

{x C|(x) }

ỗ ữỡ tỹ ởt ữủ ồ tỹ ó tr C
tỹ ỗ tr C
tỹ ỗ tr C t x, y C [0, 1] t õ

(x + (1 )y) max {(x), (y)} ;
ữỡ tỹ tỹ ó tr C t x, y C [0, 1] t õ

(x + (1 )y) min {(x), (y)} .
t ỡ ừ s ữủ sỷ ử tr
tr t t ừ t




r s t C t rộ õ ỗ tr ổ
rt tỹ H
sỷ f : C ì C R õ



f ỡ tr C ợ số > 0
f (x, y) + f (y, x) x y 2 ,



f

x, y C;

ỡ t tr C
f (x, y) + f (y, x) < 0,

x, y C, x = y;

f ỡ tr C
f (x, y) + f (y, x) 0,

x, y C;

f ỡ tr C
f (x, y) 0 f (y, x) 0,

x, y C;

f tử õ t t st tr C ợ số c1 > 0 c2 > 0

f (x, y) + f (y, z) f (x, z) c1 x y

2

c2 y z 2 ,

x, y C.

ứ t õ (i) (ii) (iii) (iv).



t h : H R õ
f (x, y) := h(x) h(y) ỡ ữ ổ ỡ t
g(x, y) := h(x) h(y) 1 ỡ t ữ ổ ỡ
t t g(x, y) + g(y, x) = 2 < 0 ợ ồ x, y H g ỡ
t
sỷ tỗ t số > 0 tọ ỡ s r

xy

2

2. x, y H.

ồ x = 0 y = tv ợ v ởt tỡ 0 tr H t ữủ



2
,
|t| . v

t R.

t t tr r 0 t

ỡ ố ợ s õ q t ợ
ỡ ừ t tỷ rt q tở tr t
t


✶✸

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳✭①❡♠ ❬✶✲✼❪✮ ⑩♥❤ ①↕ F : C → H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✭✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈î✐ ❤➺ sè β > 0✱ ♥➳✉

F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y 2 ,

∀x, y ∈ C;

✭✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝❤➦t tr➯♥ C ✱ ♥➳✉
F (x) − F (y), x − y > 0,

∀x, y ∈ C;

✭✐✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✱ ♥➳✉
F (x) − F (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

✭✐✈✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✱ ♥➳✉
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

✭✈✮ ❧✐➯♥ tö❝ ▲ ✲▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ♥➳✉
F (x) − F (y) ≤ L x − y ,

∀x, y ∈ C.

❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ ❝â (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).
❈❤♦ C ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✱ ❤➔♠ f : C → R✳ ❑❤✐ ✤â✿

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳

• ◆➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ❧ç✐ tr➯♥ C t❤➻ ∂f ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② tò② þ x, y ∈ C ✈➔ u ∈ ∂f (x)✱ v ∈ ∂f (y) t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥➯♥

f (x) ≥ f (y) + u, x − y ,
f (y) ≥ f (x) + v, y − x .
❈ë♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ s✉② r❛

v − u, y − x ≥ 0,

∀x, y ∈ C.


❱➟② ∂f ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✳

• ◆➳✉ f ❧➔ ❦❤↔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ❧ç✐ ♠↕♥❤ tr➯♥ C t❤➻ ∂f ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤
tr➯♥ C ✳
• ◆➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ❧ç✐ ❝❤➦t tr➯♥ C t❤➻ ∂f ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝❤➦t
tr➯♥ C ✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳

◆➳✉ F ❧➔ ▲ ✲ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C t❤➻ ✈î✐ ♠é✐ x, y ∈ C, f (x, y) = F (x), y − x
❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ tö❝ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈î✐ ❤➡♥❣ sè c1 = c2 =

L
tr➯♥ C ✳
2


✶✹

❚❤➟t ✈➟②

f (x, y) + f (y, z) − f (x, z)
= F (x), y − x + F (y), z − y − F (x), z − x
= − F (y) − F (x), y − z
≥ − F (x) − F (y) y − z
≥−L x−y y−z
L
L
≥−
x−y 2−
y−z 2
2
2
2
=c1 x − y − c2 y − z 2 .
❉♦ ✈➟②✱ f ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✳
✶✳✷



❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥
❜➡♥❣

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ✤à♥❤ ❧þ q✉❡♥ t❤✉ë❝ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤✐
t✉②➳♥✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ♥➔② ❧➔ ❝æ♥❣ ❝ö s➢❝ ❜➨♥ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ✤➸ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳

❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣
❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✭❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❑② ❋❛♥✮✿
❳➨t H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝❀ C ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H ✈➔
f : C × C → R ∪ {+∞}✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥
❚➻♠ x ∈ C s❛♦ ❝❤♦ f (x, y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

EP (C, f )

❚➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ Sol(C, f )✳
❉÷î✐ ✤➙② t❛ s➩ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t f (x, x) = 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ C ✳ ▼ët s♦♥❣ ❤➔♠
t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ C ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣
❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❤❛② ❧➔ t➟♣ ❝❤✐➳♥ ❧÷ñ❝ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
❊P(C, f )✳
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
❝➙♥ ❜➡♥❣✳
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ t❛ ❝➛♥ ✤➳♥ ❝→❝
✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ ❇r♦✉✇❡r✳ ✣➸ t✐➺♥ t❤❡♦
❞ã✐✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ♥➔② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✱ ♠➦❝




ũ ỵ ữủ ự tr ổ ổ
ụ s sỷ ử ỵ q tở s ỵ ỹ r
X, Y ổ tổổ F : X 2Y ỷ



tử tr tr X s F (x) t ỡ ỳ F (X) t sỷ
f : X ì X R số ỷ tử tr tr X õ tr tố

g(x) := max {f (x, y) : y F (x)}

ỷ tử tr t tố ữ
S(x) := {y F (x) : f (x, y) = g(x)}

ỷ tử tr

ỵ t ở rr C ởt t ỗ t tr

ổ Rn F ởt ỡ tr tử tứ C C õ
tỗ t x C t x = F (x)
ỹ ỵ t ở rr ỵ ỹ r t õ
s õ sỹ tỗ t ừ t

C ởt t ỗ t rộ s

f : C C R {+} õ t t
f (., y) ỷ tử tr ợ ồ y C;
f (x, .) ỗ ỷ tử ữợ ữợ tr
x C
õ t P(C, f ) õ

C

ợ ồ

ự ợ ộ x C t ồ S(x) t ừ t
min {f (x, y) : y C} .

(CO)

C t f (x, .) ỷ tử ữợ t ỵ strss
t tỗ t ỡ ỳ C ỗ t f (x, .) ỗ S(x)
ỗ t ỵ ỹ r S ỷ tử tr ợ S
ởt tứ C C t ỵ t ở rr tỗ
t x C t x S(x )
ớ t s r x ừ t P(C, f ) t
f (x, .) ỗ ữợ tr C t ừ tố ữ
ừ q ỗ t õ

0 2 f (x , x ) + NC (x ).




ừ ữợ õ t tứ t õ v tở
2 f (x , x ) t

v , y x 0,

y C.

v 2 f (x , x )

v , y x f (x , y) f (x , x ) = f (x , y),

y C.

f (x , y) 0, y C ự tọ x ừ P(C, f )
ữủ ự


q C ởt t ỗ õ ổ t s

f ữ tr sỷ ự s ữủ t

ỗ t t t B s
C B = ,

x C\B, y C : f (x, y) < 0.

õ t P(C, f ) õ

ự tr t tr t t

C B ợ f õ tự tỗ t x C B ứ
ự t ỗ ừ t C t s r x ụ ừ
t P(C, f )

tr ởt trữớ ủ r ừ ỵ s ừ
f : C ì C R {+} ởt s



õ t t s
f (., y) ỷ tử tr ợ ồ y C
f (x, .) tỹ ỗ tr C ợ ồ x C
õ t P(C, f ) õ ữ C t
ự t
ớ t t t t ừ t

C t ỗ õ rộ f : C ì C R {+}

s õ
f ỡ t tr C t t P(C, f ) õ
t ởt
f (., y) ỷ tử tr ợ ồ y C f (x, .) ỗ ỷ tử
ữợ ợ ộ x C f ỡ tr C t t P(C, f ) ổ
õ õ t



sỷ P(C, f ) õ x y õ f (x , y ) 0
f (y , x ) 0 ữ f (x , y ) 0 t t t ỡ t t
õ f (y , x ) < 0 t ợ f (y , x ) 0.




x0 C t ý f (x0 , .) ỷ tử ữợ f (x0 , x0 ) = 0
tỗ t à s

f (x0 , v) à,

v B(x0 , 1) C,

tr õ B(x0 , 1) ỵ q õ t x0 s
r f t ự

1
< 1
x0 x

t ợ t ý x C\B(x0 , 1) t =


v = x + (1 )x0 C B(x0 , 1).
t ỗ ừ f (x0 , .) t õ

f (x0 , v) f (x0 , x) + (1 )f (x0 , x0 ) = f (x0 , x).
1
tứ s r f (x0 , x) à x0 x ứ
0
x x
ử t t ỡ ợ số ừ f t õ
=

f (x, x0 ) f (x0 , x) x x0

2
2

à x0 x x x0
= x0 x à + x0 x

.

õ x0 x > à/ t

f (x, x0 ) à x0 x x x0

2

< 0.

ớ t t U := C B(x0 , ) ợ > max {1, à/} t
s õ f (x, x0 ) < 0 x C\U t ự ừ f ữủ t
t P(C, f ) õ t ữủ s
r tứ t ỡ t ỡ t
ữủ ự

t P(C, f ) õ ố t ợ t s
ữủ ồ t ố ừ P(C, f )
y C : f (x, y ) 0,

x C.

(DEP )

ỵ t ừ t ố DS ố q ỳ
t ữủ t ữợ
sỷ f : C ì C R {+} s


õ

f (x, .) ỗ tr C ợ ồ x C t t DS ỗ




f ỡ tr C f (., y) ỷ tử tr t ộ t
tử ợ ộ y C f (x, .) ỗ ợ ộ x C t
DS = Sol(C, f ).



ừ t P t t

DS = {y C : f (x, y) 0,

x C} .

C ỗ f (x, .) ỗ ợ ồ x C DS ừ ởt ồ ổ
t ỗ õ õ ụ ởt t ỗ
t ỡ ừ f t õ Sol(C, f ) DS ự
ữủ
sỷ x ừ t ố tự f (x, x ) 0 ợ ồ
x C x ổ ừ t ố P t s tỗ t
y C s f (x , y ) < 0
yt := ty + (1 t)x C ỗ yt C ợ ồ 0 t 1 t
ỷ tử tr t t ừ f (., y ) t õ

lim f (ty + (1 t)x ) f (x , y ) < 0.
t0

tỗ t t tở [0, 1] t f (yt , y ) < 0 õ t t
t ỗ ừ f (yt , .) t t ữủ

0 = f (yt , yt ) t f (yt , y ) + (1 t )f (yt , x ).
f (yt , y ) < 0 tứ s r f (yt , x ) > 0 t ợ
x ừ t ố P
ữủ ự



trữớ ủ r ừ t

t tự t ỡ t õ
ữủ ợ t q trồ tở ỹ ữợ
ởt số trữớ ủ r ừ t
t t

t tố ữ

min {(x)|x C} .
t

f (x, y) := (y) (x).




õ

(x) (y),

y C f (x, y) 0,

y C.

t tố ữ tr ởt trữớ ủ r ừ t P
t t t tự
tr s
C ởt t ỗ õ rộ tr H F : C H ởt
tr tự ợ ộ x C tr F (x) ởt t rộ t
t

t tự

x C, v F (x ) s v , y x 0, y C.

(V I)

õ t t tự (V I) ữợ õ ở ổ
t ữ s sỷ C t ủ ữủ t r ở ữỡ
s t õ t ỹ ồ ợ ộ ữỡ s t x C t
F (x) t ủ t õ t ự ợ ữỡ x
õ t (V I) t t ữỡ s t x tr t
ữủ C v ự ợ x s t t r trữớ
ủ ổ ử tở ữỡ s t tự F (x) = c
ợ ồ x t tự (V I) tr t t q q
tở

min cT x : x C .

(LP )

r t q tỡ c ổ ử tở ữỡ
s t
t ồ t tự (V I) t t ởt
x C s t F (x ) õ ởt tỷ tỡ t ừ
t C t x


sỷ ợ ộ x C t F (x) ỗ t rộ ợ ộ x, y C
ổ t t (V I) t t t

f (x, y) := max v, y x .
vF (x)

ứ t s r f (x, y) 0 ợ ồ y C x ừ
(V I)
ởt trữớ ủ r q trồ ừ t (V I) C = Rn+ F
ỡ tr õ t (V I) tữỡ ữỡ ợ t s ữủ ồ
t ũ
x 0 s F (x) 0, xT F (x) = 0.
(CP )
r r t P tữỡ ữỡ ợ t tự
x 0 s F (x), y x 0,

y 0.




ỹ tữỡ ữỡ ữủ t t ừ t
trũ t x ừ t tự t

F (x), y x 0,

y 0.

ữủt ồ y = x + ei tỡ ỡ tự i t õ

Fi (x) = F (x), x + ei x
= F (x), ei 0.
Fi (x) 0 ợ ồ i r ồ y = 0 t õ

0 F (x), x 0.
r xT F (x) = 0 ữủ ồ ừ t ũ
ừ t tự ổ ú
r t q ỗ

min {f (x) : x C} ,

(CO)

tr õ f ởt ỗ ữợ tr t ỗ C õ t ổ t ữợ
t tự (V I) ợ F = f
t F = f t (V I) t ữủ
x C, v f (x ) s v , y x 0, y C.
x ừ t tự t v f (x )
t ừ ữợ t õ

v , y x + f (x ) f (y),

y.

ữ x ừ t tự

v , y x 0,

y C.

ứ s r f (x ) f (y) ợ ồ y C x ởt ừ
t r x ừ t t
ừ tố ữ ừ q ỗ t õ

0 f (x ) + NC (x ).
ứ t ừ õ t ừ C t x t s r x
ừ t tự (V I) ợ F = f.
F : C 2C x ữủ
ồ t ở ừ F x F (x) sỷ ợ ồ x C, F (x) ỗ
t rộ õ t t ởt t ở ừ F õ t

t t ở t




ổ t ữợ t P(C, f ) ự tọ ợ ộ
x, y C t t

f (x, y) := max x v, y x .
vF (x)

t x F (x) t t ừ f (x, y) t õ

f (x, y) 0,

y C.

ữủ sỷ x ừ t P(C, f ) tự x C
f (x, y) 0 ợ ồ y C õ y ừ x t ỗ õ
F (x) õ

x y, y x = max x v, y x .
vF (x)

x ừ P(C, f )

0 f (x, y) = x y, y x = x y 2 .
r x = y F (x) x t ở ừ F
A H, B H L : A ì B R
t ỹ t t (x , y ) A ì B s

t ỹ

L(x , y) L(x , y ) L(x, y ),

(x, y) A ì B.

ởt (x , y ) A ì B t t tự tr ữủ ồ
ỹ ừ L tr A ì B s r r t ỹ õ
t ổ t ữợ t
t ợ ộ u = (x, y)T , v = (x , y)T t t

C := A ì B,

f (u, v) := L(x , y) L(x, y ).

õ u ừ t ợ C f tự

u A ì B, f (u , v) 0 v C = A ì B,
t

L(x , y ) L(x , y ) x A, y B.

ợ x = x s õ ợ y = y t õ

L(x , y ) L(x , y ) L(x , y ) x A, y B.
(x , y ) ỹ ữủ (x , y )
ỹ ừ L tr A ì B t u = (x , y ) ớ ừ t
ữủ s r tứ
t ởt trỏ ỡ õ

s tr trỏ ỡ ổ ủ t




p ữớ ỡ từ sỷ Cj Rpj t ữỡ từ tự j
õ t ỹ ồ tr õ ồ t ữủ t C := C1 ì C2 ì ... ì Cp
ồ j : C R ủ ừ từ j từ ồ ữỡ
ỡ xj Cj ỏ từ k ồ ữỡ ỡ xk Ck ợ
ồ k = j.
s ồ x = (x1 , ..., xp )
ừ = (1, ..., p) tr t C := C1 ì C2 ì ... ì Cp ợ ồ
j ồ yj Cj t õ



j (x1 , ..., xj1 , yj , xj+1 , ...xp ) j (x1 , ..., xj1 , xj , xj+1 , ...xp ).
t r ởt ố từ j õ rớ ọ ữỡ
tr ố từ ỳ ữỡ t ố từ
j s t tt ỵ ữủ
tr tỹ t ữủ ồ s
t ồ s ữ r t ữợ t
s s ữủ t t ởt s ừ
tr C s ỵ t (, C) t s õ
t ổ t ữợ t P(C, f )
t ỹ f : C ì C R t
p

[j (x) j (x1 , ..., xj1 , yj , xj+1 , ..., xp )].

f (x, y) :=
j=1

x ởt s t f (x , y) 0,

y C
ữủ sỷ x C ừ t P(C, f ) tự
f (x , y) 0,

y C.

s ự tọ x = (x1 , ..., xp ) ợ xj Cj ởt s
t tr s tỗ t j ởt yj Cj s

j (x1 , ..., xj1 , xj , xj+1 , ...xp ) < j (x1 , ..., xj1 , yj , xj+1 , ...xp ).
õ ợ ữỡ y = (x1 , ..., xj1 , yj , xj+1 , ...xp ) t ừ
f t õ

f (x , y) = j (x1 , ..., xj1 , yj , xj+1 , ...xp ) j (x ) < 0.
t ợ x ừ P(C, f )
r tt t ứ tr s f õ
t t f (y, y) = 0 ợ ồ y C ữ f ởt s
tr C.

t


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×