Tải bản đầy đủ

Nội dung khảo bài toán 12

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

THĂNG LONG

NỘI DUNG KHẢO BÀI

TOÁN 12

LƯU HÀNH NỘI BỘ


Mục lục
I

GIẢI TÍCH 12

5

1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.
ÔN TẬP ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ . . . . . . . . . .
III.
BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM . . . . . . . .
III.
PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.
MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT . . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
THUẬT TOÁN TÌM GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG . . . .
II.
THUẬT TOÁN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG
III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . .
III.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
SỰ TƯƠNG GIAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . .
II.
SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . .
III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
Đồ thị hàm số y = |f (x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
Đồ thị hàm số y = f (|x|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
Đồ thị hàm số y = |x − a| · f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
7
8
9
9
9
9
9
10
10
10
10
11
11
11
11
11
12
12
12
13
13
14
14
14
15
15
16
16
16
16

2 HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
1.
LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
CÔNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

17
17
17
17
17
17
18

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


Trường THPT Thăng Long

3.

4.

5.

6.

MỤC LỤC

I.
ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỊNH NGHĨA LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
CÔNG THỨC LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
HÀM SỐ MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
BÀI TOÁN LÃI SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PHƯƠNG TRÌNH MŨ. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN . . . . . .
II.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . .
I.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN
II.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1.
NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM . . . . . . . . .
II.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM . . .
2.
TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ . . . . . .
II.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN . . . . .
3.
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG . . . . . . . . . . .
II.
THỂ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

18
18
18
19
19
19
19
20
20
20
21
22
24
24
24
24
25
25
25
25
25
26
26

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

27
27
27
28
28
28
29
29
29
30

4 SỐ PHỨC
1.
SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
SỐ PHỨC LIÊN HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.
MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
PHÉP CỘNG, TRỪ HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
PHÉP CHIA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
TÍNH CHẤT PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
III.
ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC C .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

32
32
32
32
32
33
33
33
33
34
35
35
35
35
35
35
35
35

2

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.


Trường THPT Thăng Long

II

MỤC LỤC

HÌNH HỌC 12

1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1.
KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN . . . . .
I.
KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN .
II.
PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN .
III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . .
2.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN
I.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI . . . . . .
II.
KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU . . . . . .
III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . .
3.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN . . . . . .
I.
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP . . . .
II.
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ .
III.
ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . .

36

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

37
37
37
38
38
38
38
38
39
39
39
40
41
43

2 KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU
1.
KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
KHÁI NIỆM HÌNH NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . .
III.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
KHỐI TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ . . . . . . . . . . . .
III.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
KHỐI CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU
II.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU . . . . . . . . . . . . . . .
III.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU . . .
IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

44
44
44
44
44
45
45
45
45
45
45
46
46
46
46
47

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

48
48
48
48
49
49
49
50
51
52
52
52
53
53
53
53
53
53
54
54

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
ĐỀU
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . .
I.
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Z . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ . . . . . . . . . . . .
III.
HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU. TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG,
IV.
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
V.
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
VI.
QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ . . . . . . . . . . . . . .
VII. CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN
2.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . .
I.
VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG . . . . . .
II.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG . .
III.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN .
IV.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT . . . . . . .
V.
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . .
3.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . .
I.
VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . .
II.
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG . .
III.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT . . . . .
IV.
PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
VÉC-TƠ HIỆU
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


Trường THPT Thăng Long

4.

5.

6.

7.

8.

MỤC LỤC

V.
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . .
III.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU . . . . . . . . . . .
IV.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU . . . . . . . . .
V.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.
KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG
TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . .
III.
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . .
V.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC . . .
III.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC .
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . .
V.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

54
54
54
54
54
54
55
55
55
55
55
55
55
56
56
56
56
56
56
57
57
57
57
58
58
58
58
58
58


Phần I

GIẢI TÍCH 12

5


Chương 1

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
§1.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I.

ÔN TẬP ĐẠO HÀM

1.

Đạo hàm một số hàm số sơ cấp
a) (c) = 0 trong đó c là một số bất kỳ.

b) (xn ) = nxn−1 trong đó n là số cho trước.


1
c) ( x) = √ .
2 x

d) (sin x) = cos x.

e) (cos x) = − sin x.

f) (tan x) =

g) (cot x) = −
2.

1
.
cos2 x

1
.
sin2 x

Công thức đạo hàm mở rộng
a) (un ) = nun−1 · u trong đó n là số cho trước.


u
b) ( u) = √ .
2 u

c) (sin u) = u · cos u.

d) (cos u) = −u · sin u.

e) (tan u) =
3.

u
.
cos2 u

f) (cot u) = −

u
.
sin2 u

Quy tắc tính đạo hàm
a) (k · u) = k · u trong đó k là số cho trước.

b) (u + v) = u + v .

c) (u − v) = u − v .

d) (u · v) = u · v + u · v .

u
v

e)
4.

=

u ·v−u·v
.
v2

Công thức tính nhanh đạo hàm
a)

1
x

c)

ax + b
cx + d

=−

1
.
x2
=

ad − bc
.
(cx + d)2

6

b)

1
u

d)

ax2 + bx + c
a x2 + b x + c

=−

u
.
u2
=

(ab − a b)x2 + 2(ac − a c)x + (bc − b
(a x2 + b x + c )2


Trường THPT Thăng Long

II.
1.

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
Điều kiện có nghĩa của một biểu thức

a) Biểu thức dạng
c) Biểu thức dạng

f (x)
có điều kiện là g(x) = 0.
g(x)
f (x)
g(x)

b) Biểu thức dạng

có điều kiện là g(x) > 0.

f (x) có điều kiện là f (x) ≥ 0.

d) Biểu thức chứa tan α có điều kiện là α =

π
+ kπ.
2

e) Biểu thức chứa cot α có điều kiện là α = kπ.
2.

Các bước tìm tập xác định hàm số
a) Tìm điều kiện có nghĩa cho hàm số.
b) Giải điều kiện.
c) Kết luận tập xác định.

3.

Chú ý
a) Trường hợp hàm số không có điều kiện xác định, nghĩa là hàm số có tập xác định là R.
b) Các hàm đa thức đều có tập xác định là R.

III.

BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Các bước lập bảng biến thiên của một hàm số y = f (x) gồm
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính y , giải phương trình y = 0 tìm nghiệm x.
c) Vẽ bảng biến thiên.

IV.
1.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa về tính đồng biến, tính nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên D. Khi đó,
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu với a, b ∈ D mà a < b thì f (a) < f (b).
b) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu với a, b ∈ D mà a < b thì f (a) > f (b).
2.

Mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của hàm số với đạo hàm

Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên D. Khi đó,
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f (x) > 0 với mọi x ∈ D.
b) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu f (x) < 0 với mọi x ∈ D.
Chú ý. Nếu biết chắc chắn hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến (hàm nhất biến là hàm có dạng
ax + b
) thì
y=
cx + d
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ D.
b) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ D.

7


Trường THPT Thăng Long
3.

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba

Hàm số bậc ba là hàm số có dạng y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có các tính chất sau
a) Nếu y = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số đồng biến (khi a > 0) hoặc nghịch biến (khi a < 0)
trên R.
b) Nếu y = 0 có 2 nghiệm thì hàm số không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Lúc này, muốn xét tính
đồng biến, nghịch biến của hàm số nên dựa vào bảng biến thiên.
c) Hàm số đồng biến trên R ⇔

a>0
∆≤0

d) Hàm số nghịch biến trên R ⇔

4.

.

a<0
∆≤0

.

Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trùng phương

Hàm số trùng phương là hàm số có dạng y = ax4 + bx2 + c (a = 0) có các tính chất sau
a) Không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R.
5.

Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số nhất biến

Hàm số nhất biến là hàm số có dạng y =

ax + b
(ad − bc = 0) có các tính chất sau
cx + d

a) Không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R.
b) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad − bc > 0.
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad − bc < 0.

ad − bc > 0
.
d) Hàm số đồng biến trên khoảng (m; n) ⇔
− d ∈
/ (m; n)
c

ad − bc < 0
e) Hàm số nghịch biến trên khoảng (m; n) ⇔
.
− d ∈
/ (m; n)
c

V.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Viết lại công thức đạo hàm của 7 hàm số sơ cấp?
Câu 2. Viết lại 6 công thức đạo hàm mở rộng?
Câu 3. Viết lại 5 quy tắc tính đạo hàm?
Câu 4. Viết lại 4 công thức tính nhanh đạo hàm?
Câu 5. Nêu lại điều kiện xác định của 5 hàm số đã học?
Câu 6. Có mấy bước để tìm tập xác định của hàm số? Là những bước nào?
Câu 7. Các hàm số nào luôn có tập xác định là tập R?
Câu 8. Nêu lại các bước lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x)?
Câu 9. Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến củ hàm số, khi nói “Hàm số y = f (x) đồng biến biến trên D” có
nghĩa là?
Câu 10. Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến củ hàm số, khi nói “Hàm số y = f (x) nghịch biến trên tập D”
có nghĩa là?
Câu 11. Mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số y = f (x) trên tập D với đạo hàm của nó là gì?
Câu 12. Mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số y = f (x) trên tập D với đạo hàm của nó là gì?
Câu 13. Nếu biết hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến thì điều kiện để hàm số y = f (x) đồng biến trên
(a; b) là gì?
8


Trường THPT Thăng Long

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Câu 14. Nếu biết hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến thì điều kiện để hàm số y = f (x) nghịch biến
trên (a; b) là gì?
Câu 15. Trong ba hàm số thường gặp (hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm nhất biến), hàm số nào có thể (không
thể) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R? Điều kiện để hàm số đó đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R là gì?
ax + b
Câu 16. Điều kiện để hàm số y =
(ad − bc = 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) trên từng khoảng xác định
cx + d
là gì?
ax + b
Câu 17. Điều kiện để hàm số y =
(ad − bc = 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) trên tập (s; t) là gì?
cx + d

§2.
I.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞)
a) Nếu tồn tại h > 0 sao cho f (x) < f (x0 ) với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) và x = x0 thì ta nói hàm số đạt cực
đại tại x0 .
b) Nếu tồn tại h > 0 sao cho f (x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) và x = x0 thì ta nói hàm số đạt cực
tiểu tại x0 .

II.

MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b) và x0 ∈ (a; b). Khi đó,
a) Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f (x0 ) = 0.
b) Nếu f (x) > 0 với mọi x ∈ (a; x0 ) và f (x) < 0 với mọi x ∈ (x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
c) Nếu

f (x0 ) = 0
f (x0 ) < 0

thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0 .

d) Nếu f (x) < 0 với mọi x ∈ (a; x0 ) và f (x) > 0 với mọi x ∈ (x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
e) Nếu

III.

f (x0 ) = 0
f (x0 ) > 0

thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0 .

PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM

a) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số là x0 .
b) Giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu, cực trị) của hàm số là f (x0 ).
c) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số là (x0 ; f (x0 )).

IV.
1.

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
Quy tắc 1

a) Vẽ bảng biến thiên hàm số.
b) Kết luận.
2.

Quy tắc 2
a) Tính y = f (x), y = f (x).
b) Giải phương trình y = 0 tìm nghiệm x0 .
c) Tính f (x0 )
(a) Nếu f (x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
(b) Nếu f (x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
9


Trường THPT Thăng Long

V.

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0)

1.

a) Hàm số bậc ba hoặc có hai cực trị hoặc không có cực trị.
b) Hàm số bậc ba có hai cực trị khi chỉ khi ∆y > 0.
c) Hàm số bậc ba không có cực trị khi chỉ khi ∆y ≤ 0 (hơi giống điều kiện để hàm số bậc ba đồng biến (nghịch
biến) trên R).
Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a = 0)

2.

a) Hàm số trùng phương luôn có 1 cực trị hoặc 3 cực trị (đây là lý do khiến hàm trùng phương không đơn điệu
trên R).
b) Hàm số trùng phương có 1 cực trị khi chỉ khi a · b ≥ 0 (a, b cùng dấu).
c) Hàm số trùng phương có 3 cực trị khi chỉ khi a · b < 0 (a, b trái dấu).
Hàm nhất biến y =

3.

ax + b
(ad − bc = 0)
cx + d

a) Hàm nhất biến không bao giờ có cực trị.

VI.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa cực đại của hàm số y = f (x) tại điểm x0 ?
Câu 2. Nêu (viết lại) định nghĩa cực tiểu của hàm số y = f (x) tại điểm x0 ?
Câu 3. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực trị của hàm số y = f (x) tại x0 ?
Câu 4. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực đại của hàm số y = f (x) tại x0 ∈ (a; b)?
Câu 5. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực tiểu của hàm số y = f (x) tại x0 ∈ (a; b)?
Câu 6. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1, cấp 2 với cực đại của hàm số y = f (x) tại x0 ?
Câu 7. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1, cấp 2 với cực tiểu của hàm số y = f (x) tại x0 ?
Câu 8. Phân biệt các khái niệm thường dùng liên quan đến cực trị hàm số và đồ thị hàm số?
Câu 9. Nêu các bước của quy tắc 1 để tìm cực trị hàm số? Cho ví dụ một hàm số và sử dụng quy tắc 1 để tim
cực trị hàm số?
Câu 10. Nêu các bước của quy tắc 2 để tìm cực trị hàm số? Cho ví dụ một hàm số và sử dụng quy tắc 2 để tim
cực trị hàm số?
Câu 11. Trong các hàm số thường gặp (hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm nhất biến), hàm số nào luôn không
có cực trị? Hàm số nào luôn luôn có cực trị? Hàm số nào lúc có, lúc không có cực trị?
Câu 12. Hàm số bậc ba có tối đa, tối thiểu bao nhiêu cực trị? Nêu điều kiện tương ứng?
Câu 13. Hàm trùng phương có tối đa, tối thiểu bao nhiêu cực trị? Nêu điều kiện tương ứng?

§3.
I.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN

Cho hàm số y = f (x) xác định trên D,tập hợp K là tập hợp con của D.
• Số M được gọi là GTLN của hàm số trên K nếu

f (x) ≤ M, x ∈ K
∃x0 ∈ K : f (x0 ) = M

Kí hiệu: M = Maxf (x)
x∈K

• m được gọi là GTNN của hàm số trên K nếu

f (x) ≥ m, x ∈ K
∃x0 ∈ K : f (x0 ) = m

Kí hiệu: m = Min f (x)
x∈K

Chú ý. Khi đề bài không chỉ rõ tìm GTLN, GTNN trên tập hợp nào thì ta hiểu K = D.
10


Trường THPT Thăng Long

II.

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

THUẬT TOÁN TÌM GTLN, GTNN

1.

Thuật toán 1.

Thuật toán này thường được dùng chung cho các dạng toán tìm GTLN, GTNN.
Phát biểu bài toán.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ()x trên K .
Thuật toán
a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên K .
b) So sánh các giá trị của y để chọn GTLN, GTNN.
2.

Thuật toán 2.

Thuật toán này chỉ dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn.
Phát biểu bài toán.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên [a; b].
Thuật toán.
a) Giải phương trình f (x) = 0, giả sử tìm được hai nghiệm x1 , x2 .
b) So sánh các giá trị f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ) để chọn GTLN, GTNN.

III.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Hãy phân biệt cách dùng của hai thuật toán tìm GTLN, GTNN?
Câu 2. Nêu các bước của thuật toán 1.
Câu 3. Nêu các bước của thuật toán 2.

§4.
I.

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG

Cho hàm số y = f (x) xác định trên D.
• Đồ thị có tiệm cận ngang y = y0 nếu lim f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0 .
x→+∞

x→−∞

• Đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 nếu lim f (x) = ±∞ hoặc lim f (x) = ±∞.
x→x−
0

II.
1.

x→x+
0

THUẬT TOÁN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bài toán. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

f (x)
g(x)

Thuật toán.
a) Giải phương trình g(x) = 0, giả sử tìm được nghiệm x = a, x = b.
b) Kiểm tra tiệm cận đứng
(a) Nhập biểu thức

f (x)
vào máy tính bỏ túi.
g(x)

(b) Lần lượt CALC các giá trị x = a ± 10−10 để kiểm tra x = a có là TCĐ hay không, nếu kết quả bấm
máy là ∞ thì x = a là TCĐ.
(c) Lần lượt CALC các giá trị x = b ± 10−10 để kiểm tra x = b có là TCĐ hay không, nếu kết quả bấm máy
là ∞ thì x = b là TCĐ.

11


Trường THPT Thăng Long
2.

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bài toán. Tìm tiệm cận ngang của hàm số y = f (x)
Thuật toán.
a) Nhập biểu thức f (x) vào máy tính bỏ túi.
b) Bấm CALC với x = 1010 . Nếu kết quả làm tròn là số có giá trị bé a (thông thường dưới 10) thì y = a là
TCN, ngược lại máy báo lỗi hoặc ra giá trị lớn (thường là có giá trị vài trăm trở lên) thì không có TCN.
c) Bấm CALC với x = −1010 . Nếu kết quả làm tròn là số có giá trị bé b (thông thường dưới 10) thì y = b là
TCN, ngược lại máy báo lỗi hoặc ra giá trị lớn (thường là có giá trị vài trăm trở lên) thì không có TCN.
ax + b
cx + d

Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nhất biến y =

3.

a) Đồ thị hàm số y =

ax + b
d
có tiệm cận đứng là x = − .
cx + d
c

b) Đồ thị hàm số y =

ax + b
a
có tiệm cận ngang là y = .
cx + d
c

III.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Nêu (viết lại) thuật toán tìm tiệm cận đứng của đồi thị hàm số?
Câu 2. Nêu (viết lại) thuật toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?
Câu 3. Nêu (viết lại) đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của hàm số nhất biến y =

§5.

ax + b
?
cx + d

ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I.

ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

1.

Đồ thị hàm số bậc ba

Bốn hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) là
y

O

a > 0, ∆y > 0

2.

y

y

x

O

x

O

a > 0, ∆y ≤ 0

a < 0, ∆y > 0

Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba
• Về hệ số a
– Đồ thị “thăng thiên” −→ a > 0.
– Đồ thị “độn thổ” −→ a < 0.
• Về hệ số b
– Đồ thị có “điểm uốn” nằm bên phải trục Oy −→ ab < 0.
– Đồ thị có “điểm uốn” nằm bên trái trục Oy −→ ab < 0.
– Đồ thị có “điểm uốn” thuộc trục Oy −→ b = 0.
• Về hệ số c
– Đồ thị không có cực trị −→ c = 0 hoặc ac > 0.
12

y

x

O

a < 0, ∆y ≤ 0

x


Trường THPT Thăng Long

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

– Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy −→ ac < 0.
– Có một điểm cực trị thuộc trục Oy −→ c = 0
• Về hệ số d
– Giao điểm với trục Oy nằm phía trên điểm O −→ d > 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm phía dưới điểm O −→ d < 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm trùng điểm O −→ d = 0.

II.

ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

1.

Đồ thị hàm số trùng phương

Bốn hình dạng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a = 0) là
y

O

y

x

x

O

a > 0, b < 0

2.

y

y

x

O

O

a > 0, b ≥ 0

a < 0, b > 0

a < 0, b ≤ 0

Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương
• Về hệ số a
– Đồ thị “thăng thiên” −→ a > 0.
– Đồ thị “độn thổ” −→ a < 0.
• Về hệ số b
– Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị −→ ab < 0.
– Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị −→ ab ≥ 0.
• Về hệ số c
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm phía trên điểm O −→ c > 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm phía dưới điểm O −→ c < 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm trùng điểm O −→ c = 0.

III.
1.

ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
Đồ thị hàm số nhất biến

Hai hình dạng của đồ thị hàm số nhất biến y =

ax + b
(ad − bc = 0) là
cx + d

y


O

y

b
a

b
d

x

O

ad − bc > 0

ad − bc < 0

13

x

x


Trường THPT Thăng Long
2.

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số nhất biến
a) Hàm số không chứa tham số, lần lượt dựa vào các tiêu chí
• Dựa vào tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
• Dựa vào giao điểm với Ox, Oy.
• Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến.
b) Hàm số có chứa tham số, dựa vào “dấu” của các cặp tích số
• Cặp tích số “ab”
– Giao của đồ thị với Ox nằm bên phải điểm O −→ ab < 0.
– Giao của đồ thị với Ox nằm bên trái điểm O −→ ab > 0.
– Đồ thị không cắt Ox −→ a = 0
• Cặp tích số “ac”
– Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox −→ ac > 0.
– Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox −→ ac < 0.
– Tiệm cận ngang nằm trùng Ox −→ a = 0
• Cặp tích số “bd”
– Giao của đồ thị với Oy nằm bên trên điểm O −→ bd > 0.
– Giao của đồ thị với Oy nằm bên trên điểm O −→ bd < 0.
– Giao của đồ thị với Oy trùng điểm O −→ b = 0.
• Cặp tích số “cd”
– Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy −→ cd < 0.
– Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy −→ cd > 0.
– Tiệm cận đứng trùng Oy −→ d = 0.

IV.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Vẽ lại bốn hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (ghi kèm điều kiện của a, ∆y tương
ứng)?
Câu 2. Vẽ lại bốn hình dạng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (ghi kèm điều kiện của a, b tương
ứng)?
ax + b
(ghi kèm mối quan hệ giữa các hệ số a, b, c,
Câu 3. Vẽ lại hai hình dạng của đồ thị hàm số nhất biến y =
cx + d
d tương ứng)?

§6.

SỰ TƯƠNG GIAO

I.

TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1.

Bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C1 ) : y = f (x) và (C2 ) : y = g(x). Hãy tìm tọa độ giao điểm của (C1 ) và (C2 )?
Thuật toán.
a) Giải phương trình f (x) = g(x), giả sử tìm được nghiệm x = a, x = b.
b) Thay x = a vào y = f (x) hoặc y = g(x) để tính y = f (a). Tương tự, tính y = f (b).
c) Kết luận giao điểm là (a; f (a)), (b; f (b)).

14


Trường THPT Thăng Long
2.

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (bấm máy tính bỏ túi được)

Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C1 ) : y = f (x) và (C2 ) : y = g(x). Hãy đếm số giao điểm của (C1 ) và (C2 )?
Thuật toán.
a) Rút gọn phương trình f (x) = g(x) về dạng F (x) = 0.
b) Bấm máy và đếm nghiệm của phương trình F (x) = 0.
c) Kết luận số giao điểm (phương trình F (x) = 0 có bao nhiêu nghiệm là có bấy nhiêu giao điểm).
Chú ý. Trường hợp F (x) = 0 không bấm máy đếm nghiệm được thì ta chuyển sang dạng toán bên dưới.
3.

Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (không bấm máy tính bỏ túi được)

Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C1 ) : y = f (x) và (C2 ) : y = g(x). Hãy đếm số giao điểm của (C1 ) và (C2 )?
Thuật toán.
a) Rút gọn phương trình f (x) = g(x) về dạng F (x) = 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = F (x).
c) Đếm số giao điểm của đồ thị hàm số y = F (x) với trục hoành (y = 0) để kết luận số giao điểm.

II.
1.

SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Đếm số nghiệm của một phương trình

Bài toán. Đếm số nghiệm của phương trình F (x) = 0.
Thuật toán.
a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = F (x).
b) Đếm số giao điểm của đồ thị hàm số y = F (x) với trục hoành (y = 0) để kết luận số nghiệm phương trình
F (x) = 0.
Tìm tham số m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm

2.

Bài toán. Tìm tham số m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm.
Thuật toán.
a) Thực hiện “cô lập” x và m để thu được phương trình f (x) = g(m).
b) Lập bảng biến thiên hàm số y = f (x).
c) Dựa vào các yCĐ , yCT để tìm m thỏa yêu cầu bài toán.
Chú ý. Thuật toán đang xét chỉ giải quyết được những phương trình có thể cô lập x và m.

III.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Phát biểu và nêu thuật toán của dạng toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số?
Câu 2. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (trường hợp bấm máy tính được)?
Câu 3. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (trường hợp không bấm máy tính
được)?
Câu 4. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số nghiệm phương trình cho trước?
Câu 5. Phát biểu và nêu thuật toán tìm m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm?

15


Trường THPT Thăng Long

CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

§7.

BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

Đồ thị hàm số y = |f (x)|

I.

Giả sử hàm số y = |f (x)| có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)|, ta thực hiện theo hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên tập D.
• Thực hiện biến đổi theo nguyên tắc “trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng lên trên”, nghĩa là, toàn bộ phần đồ
thị nằm phía trên trục Ox được giữ nguyên, toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox lấy đối xứng lên
trên.
y
y = |f (x)|

y
y = f (x)

x

O

x

O

Đồ thị hàm số y = f (|x|)

II.

Giả sử hàm số y = f (|x|) có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|), ta thực hiện theo hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên tập D ∩ [0; +∞).
• Thực hiện biến đổi theo nguyên tắc “lấy đối xứng phần bên phải sang bên trái”.
y
y

O

x

O

y = f (x)

III.

x
y = f (|x|)

Đồ thị hàm số y = |x − a| · f (x)

Giả sử hàm số y = |x − a| · f (x) có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = |x − a| · f (x), ta thực hiện theo
hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = (x − a)f (x) trên D.
• Giữ nguyên phần đồ thị ứng với x ≥ a, lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị ứng với x < a.
y
y

O

y = |x − a| · f (x)

y = (x − a) · f (x)

O

x

16

x


Chương 2

HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ.
HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
§1.
I.

LŨY THỪA

ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA

Cho a là số thực dương khác 1. Khi đó
• an =

a·a···a

.

n số a nhân với nhau


n



m

am = a n .

Với mọi a = 0 thì a0 = 1.

!

II.
1.

CÔNG THỨC
Công thức lũy thừa không chứa căn

a) a−n =

1
an

b) an · am = an+m .

an
= an−m .
am

c)

d) (an )m = an · m.

e) (ab)n = an bn .
g)
2.

a
b

−n

=

b
a

f)

a
b

n

=

an
.
bn

n

Công thức lũy thừa chứa căn
a)

III.



m




n

a=a

1
1
m+n

.


m
a
1
1

b) n = a m − n .
a

c)

SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

a) Nếu a > 1 thì am > an ⇔ m > n.
b) Nếu 0 < a < 1 thì am > an ⇔ m < n.

IV.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa lũy thừa?
Câu 2. Nêu (viết lại) 7 công thức lũy thừa không chứa căn?
Câu 3. Nêu (viết lại) 2 tính chất được dùng để so sánh hai lũy thừa cùng cơ số?
17

m


n

1

a = a mn =



mn

a.


Trường THPT Thăng Long

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT

§2.
I.

HÀM SỐ LŨY THỪA

ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA

Hàm số y = xα (α là số thực cho trước) được gọi là hàm số lũy thừa.
α

Điều kiện xác định của hàm số lũy thừa y = [f (x)]

!

a) Nếu α là số nguyên dương (tức là α = 1, 2, 3, 4, · · · ) thì f (x) không cần thêm điều kiện.
b) Nếu α = 0 hoặc α là số nguyên âm (tức là α = 0, −1, −2, −3, · · · ) thì f (x) = 0.
c) Nếu α không là số nguyên (tức α = 0, ±1, ±2, ±3, · · · ) thì f (x) > 0.

a) Biểu thức

!

f (x)
có điều kiện là g(x) = 0.
g(x)

b) Biểu thức

II.

2n

f (x) có điều kiện là f (x) ≥ 0.

ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA

a) Nếu hàm số y = xα thì y = α · xα−1 .
b) Nếu hàm số y = uα thì y = α · u · uα−1 .

III.

KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA
y = xα , α > 0.

y = xα , α < 0.

a) Sự biến thiên

a) Sự biến thiên

y = αxα−1 > 0, ∀x > 0.

y = αxα−1 < 0, ∀x > 0.

Do đó, hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Do đó, hàm số nghịch biến trên (0; +∞).

b) Giới hạn đặc biệt
lim xα = 0,

x→0+

b) Giới hạn đặc biệt:
lim xα = +∞.

lim xα = +∞,

x→+∞

x→0+

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Do đó, Ox là tiệm cận ngang, Oy là tiệm cận đứng
của đồ thị.

c) Bảng biến thiên
x

c) Bảng biến thiên

+∞

0

x

+

y

lim xα = 0.

x→+∞



y

+∞

+∞

0

+∞

y
y

0

0
Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα trên (0; +∞)

18


Trường THPT Thăng Long

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
y

α>1
α=1

0<α<1

1

α=0
α<0
x

1

O

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1).

IV.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Nêu 3 điều kiện xác định của hàm số lũy thừa?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa?
Câu 3. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số lũy thừa?
Câu 4. Đồ thị hàm số lũy thừa có đường tiệm cận khi nào? Nêu đường tiệm cận ứng với trường hợp đó?

§3.
I.

LÔ-GA-RÍT

ĐỊNH NGHĨA LÔ-GA-RÍT

Cho a, b là hai số thực dương, a = 1. Khi đó, α = loga b ⇔ aα = b.
Với mọi số dương a = 1, ta có

!

a) loga a = 1.

II.
1.

b) loga 1 = 0.

CÔNG THỨC LÔ-GA-RÍT
Công thức biến đổi biểu thức trong lô-ga-rít

Cho a > 0, a = 1, b, b1 , b2 > 0. Ta có
a) loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 .

b) loga

b1
b2

= loga b1 − loga b2 .

c) loga bα = α loga b (chú ý α không cần điều kiện).
2.

Công thức biến đổi cơ số của lô-ga-rít

Cho a, b, c > 0, a = 1 và c = 1. Ta có
a) loga b =

logc a
.
logc b

b) loga b =

c) loga c · logc b = loga b.

1
.
logb a

d) logaα b =

19

1
loga b (chú ý α = 0).
α


Trường THPT Thăng Long
3.

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT

Công thức lũy thừa có mũ chứa lô-ga-rít

III.

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa lô-ga-rít?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức biến đổi biểu thức trong lô-ga-rít?
Câu 3. Nêu (viết lại) công thức biến đổi cơ số của lô-ga-rít?
Câu 4. Nêu (viết lại) công thức đổi cơ số của lô-ga-rít?
Câu 5. Nêu (viết lại) các công thức lũy thừa có mũ chứa lô-ga-rít?

§4.
I.

HÀM SỐ MŨ

1.

Định nghĩa

HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT

Cho số thực dương a khác 1.Hàm số y = ax (a > 0, a = 1) được gọi là hàm số mũ.
2.

3.

Đạo hàm của hàm số mũ
a) Nếu y = ax thì y = ax · ln a.

b) Nếu y = au thì y = u · au · ln a.

c) Nếu y = ex thì y = ex .

d) Nếu y = eu thì y = u · eu .

Khảo sát hàm số mũ y = ax
a) Tập xác định D = R.
b) Tập giá trị T = (0; +∞).
c) Tính đơn điệu
(a) Nếu a > 1 thì y > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên R.
(b) Nếu 0 < a < 1 thì y < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên R.
d) Giới hạn, tiệm cận
(a) Nếu a > 1 thì lim ax = 0 nên Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x→−∞

(b) Nếu 0 < a < 1 thì lim ax = 0 nên Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x→+∞

e) Đồ thị

20


Trường THPT Thăng Long

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT

y = ax (a > 1)

y = ax (0 < a < 1)

y

y
y = ax
(a > 1)

a
1

1

y = ax (0 < a < 1)
a

O

II.
1.

x

1

O

x

1

HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
Định nghĩa hàm số lô-ga-rít

Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = loga x được gọi là hàm số logarit cơ số a.
Chú ý. Biểu thức loga f (x) có điều kiện là f (x) > 0.
2.

Đạo hàm của hàm số lô-ga-rít
a) Nếu y = loga x thì y =
c) Nếu y = ln x thì y =

3.

1
.
x ln a

b) Nếu y = loga u thì y =

1
.
x

d) Nếu y = ln u thì y =

Khảo sát hàm số lô-ga-rít
a) Tập xác định D = (0; +∞).
b) Tập giá trị T = R \ {0}.
c) Tính đơn điệu
(a) Nếu a > 1 thì y > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên (0; +∞).
(b) Nếu 0 < a < 1 thì y < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên (0; +∞).
d) Đồ thị

21

u
.
u ln a

u
.
u


Trường THPT Thăng Long

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT

y = loga x (a > 1)

y = loga x (0 < a < 1)

y

y

1

1

O

1

a

x

O

1.

x

y = loga x
(0 < a < 1)

y = loga x
(a > 1)

III.

a 1

BÀI TOÁN LÃI SUẤT
Bài toán lãi suất đơn

Định nghĩa lãi đơn.
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền
lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến
lấy tiền ra.
Phát biểu bài toán.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi
sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là
Sn = A + nAr = A(1 + nr)
Chú ý: Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là
2.

r
.
100

Bài toán lãi suất kép

Định nghĩa lãi kép.
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Phát biểu bài toán.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi
sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là
Sn = A(1 + r)n
Từ công thức trên ta có thể tính được
n = log1+r

r=

A=

n

Sn
A

Sn
−1
A

Sn
(1 + r)n

22


Trường THPT Thăng Long
3.

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT

Bài toán gửi tiền hàng tháng vào ngân hàng

Phát biểu bài toán.
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng, thì số tiền khách hàng
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N∗ ) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn .
Công thức sử dụng.
Ý tưởng hình thành công thức. Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
S1 = A(1 + r) =

A
(1 + r)1 − 1 (1 + r)
r

Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là
(1 + r)2 − 1
A
=
(1 + r)2 − 1
(1 + r) − 1
r

T1 = A(1 + r) + A = A [(1 + r) + 1] = A

Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
S2 =

A
(1 + r)2 − 1 (1 + r)
r

Sn =

A
[(1 + r)n − 1] (1 + r)
r

Từ đó ta có công thức tổng quát

Chú ý. Từ công thức trên ta có thể tính được
n = log(1+r)

A=

4.

Sn r
+1
A(1 + r)

Sn r
(1 + r) [(1 + r)n − 1]

Bài toán gửi tiền vào ngân hàng và rút tiền hàng tháng

Phát biểu bài toán.
Một người gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi,
người đó rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu.
Công thức sử dụng.
Ý tưởng hình thành công thức. Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là T1 = A(1+r)
và sau khi rút số tiền còn lại là
S1 = A(1 + r) − X = A(1 + r) − X

(1 + r) − 1
r

Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
T2 = [A(1 + r) − X] (1 + r) = A(1 + r)2 − X(1 + r)
và sau khi rút số tiền còn lại là
S2 = A(1 + r)2 − X(1 + r) − X = A(1 + r)2 − X [(1 + r) + 1] = A(1 + r)2 − X
Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau n tháng là
Sn = A(1 + r)n − X

(1 + r)n − 1
r

Chú ý. Từ công thức trên ta có thể tính được
X = [A(1 + r)n − Sn ]
23

r
(1 + r)n − 1

(1 + r)2 − 1
r


Trường THPT Thăng Long
5.

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT

Bài toán vay vốn trả góp

Phát biểu bài toán.
Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ,
hai lần hoàn nợ cách nhau một tháng, mỗi lần hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
Công thức sử dụng.
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính tiền gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng
nên ta có
(1 + r)n − 1
Sn = A(1 + r)n − X
r
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên
A(1 + r)n − X

(1 + r)n − 1
=0
r


X=

IV.

A(1 + r)n · r
(1 + r)n − 1

CÂU HỎI KHẢO BÀI

Câu 1. Nêu (viết lại) 4 công thức đạo hàm của hàm số mũ?
Câu 2. Nêu (viết lại) 6 công thức đạo hàm của hàm số lô-ga-rít?
Câu 3. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số mũ?
Câu 4. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số lô-ga-rít?
Câu 5. Nêu các đường tiệm cận của hàm số mũ, hàm số lô-ga-rít?

§5.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT

I.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN

1.

Phương trình mũ cơ bản

Cho a, b > 0, a = 1. Ta có
ax = b ⇔ x = loga b
2.

Phương trình lô-ga-rít cơ bản

Cho a, b > 0, a = 1. Ta có
loga x = b ⇔ x = ab

II.

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

1.

Phương pháp đưa về cùng cơ số cho phương trình mũ
a) Sử dụng 7 công thức lũy thừa không chứa căn, biến đổi phương trình về dạng af (x) = ag(x) .
b) Áp dụng công thức
af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x)

2.

Phương pháp đưa về cùng cơ số cho phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng các công thức lô-ga-rít, biến đổi phương trình về dạng loga f (x) = loga g(x).
b) Áp dụng công thức
loga f (x) = loga g(x) ⇔ f (x) = g(x)
24


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×