Tải bản đầy đủ

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Câu 1: [1H3-2-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện đều ABCD
, M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos  AB, DM  bằng
A.

3
.
6

2
.
2

B.

C.

3
.
2

D.


1
.
2

Lời giải
Chọn A

Gọi N là trung điểm của AC và a là độ dài cạnh tứ diện đều.
Ta có MN // AB   AB, DM    MN , DM   DMN .
Tam giác DMN có DM  DN 

1
a
a 3
, MN  AB  và
2
2
2

DM 2  MN 2  DN 2
cos DMN 
.
2.DM .MN
2

2

 a 3   a 2  a 3 

   

2  2  2 
3

 cos DMN 

.
6
a 3 a


2.
.
2 2

Vậy cos  AB, DM  

3
.
6

Câu 2: [1H3-2-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho tứ diện đều ABCD

cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của
AD .
A.

3
.
6

B.

1
.
2

C.

3
.
4

D.

3
.
2


Lời giải
Chọn A
A

I

M

D

B

C

Gọi M là trung điểm của BD .
Ta có: IM // AB .

  AB, IC    IM , IC  .





 cos  AB, IC   cos  IM , IC   cos IM , IC  cos MIC .
2

2

2
a a 3 a 3
 

  
MI 2  IC 2  MC 2  2   2   2 
3

Mà: cos MIC 
.

2.MI .IC
6
a a 3
2. .
2 2

 cos  AB, IC   cos MIC 

3
.
6

Câu 3: [1H3-2-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng  SAB  một góc 45 . Gọi I là trung điểm
của cạnh CD . Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng .
A. 48.
B. 51.
C. 42.
Lời giải
Chọn B



D. 39.



Cách 1. Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , SD,  SAB   45  SA  AD  a .
Xét trong không gian tọa độ Oxyz trong đó: O  A , Ox  AB, Oy  AD, Oz  AS .
Khi đó ta có:


a

B  a;0;0  , I  ; a;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a 
2

a

Suy ra IB   ;  a;0  , SD   0;  a; a 
2

2
a2
 IB, SD  51 .

Mặt khác: cos IB, SD 
10
a2
 a2 . a2  a2
4







Cách 2. Gọi K là trung điểm của AB .







Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , SD,  SAB   45  SA  AD  a
Gọi K là trung điểm của AB . Vì KD // BI nên góc giữa hai đường thẳng BI và

SD bằng góc giữa hai đường thẳng KD và SD và là góc SDK . Ta có
a 5
, SD  a 2 .
KD  SK 
2
a 2
HD
10
Gọi H là trung điểm của SD . Ta có cos SDK 
.
 2 
KD a 5
5
2
Vậy góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng 51.
Câu 4: [1H3-2-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình vuông ABCD cạnh
4a , lấy H , K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH  3HA, AK  3KD . Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 ABCD 

tại H lấy điểm S sao cho

SBH  30 . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SE và BC .
28
18
36
9
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5 39
5 39
5 39
5 39
Lời giải

Chọn B


Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có ABD  BCH .

 ABD  BCH  HEB  90 .

A

H

I

B
E

K
D

C
S

I

A
K

H
E

D
Ta có:

B

C

cos  SE ; BC   cos  SE ; EI   cos SEI

, SH  BH .tan30  a 3 .
2

81a
2a 39
HB HE
HB 2 9a
SE  SH 2  HE 2  3a 2 


 HE 

25
5
HC HB
HC
5 ,
.
2

HE HI
HE 2 27a SI  SH 2  HI 2  3a 2   27a   2a 651

 HI 



25
 25 
HB HE
HB
25 ,
.
EI
HI
9
36a


 EI 
BC HB 25
25 .
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta được:
2

2

 2a 39   36a 2  2a 651 

 

 
SE 2  EI 2  SI 2  5   25   25 
18a
cos SEI 


2.SE.EI
2a 39 36a
5 39
2.
.
5
25
.


Câu 5: [1H3-2-3]

(THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình chóp
S.ABC có độ dài các cạnh SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Góc giữa
hai đường thẳng AB và SC là ?

A. 45

B. 90

C. 60

D. 30

Lời giải
Chọn C
S

B

A
I
C

Ta có BC  a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA  SB  SC  a nên hình
chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC .
Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .





Ta có cos  AB, SC   cos AB, SC 



AB.SC
AB.SC

.



1
1
a2




BA
.
BC
BA
.cos
.
BC
45



.
AB.SC  AB SI  IC  AB.SI
2
2
2

a2
1
cos  AB, SC   22    AB, SC   60 .
2
a





Cách 2: cos  AB, SC   cos AB, SC 





AB.SC
AB.SC

Ta có AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  SB.SC.cos90  SA.SC.cos60


a2
.
2

a 2
2
1
Khi đó cos  AB, SC   2 
a
2


Câu 6: [1H3-2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Một hình trụ tròn

xoay có bán kính đáy R  1 . Trên hai đường tròn đáy  O  và  O  lần lượt lấy hai
điểm A và B sao cho AB  2 và góc giữa AB và trục OO bằng 30 . Xét hai
khẳng định:

 I  : Khoảng cách giữa OO

và AB bằng

 II  : Thể tích khối trụ là V  

3
.
2

3.

A. Cả  I  và  II  đều đúng.
C. Chỉ  II  đúng.

B. Chỉ  I  đúng.

D. Cả  I  và  II  đều sai.
Lời giải

Chọn A
* Gọi C là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng chứa  O  , I là trung điểm
của AC , Ta có:

 AB; OO   AB; CB   ABC  30  h  OO '  CB  AB.cos 30 

3

* Thể tích khối trụ là: V   R 2 h   3 . Vậy khẳng định  II  đúng.

* Khoảng cách giữa AB và trục OO là:
d  AB; OO   d  OO;  ABC    OI  OA2  AI 2 .

AC  AB.sin30  1  AI 

1
1
3
3
 OI  1  
. Vậy
 d  AB; OO  
2
4
2
2

khẳng định  I  đúng.
Câu 7: [1H3-2-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có
SA  SB  SC  AB  AC  1 , BC  2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC .


A. 45 .

B. 120 .

C. 30 .

D. 60 .

Lời giải
Chọn D
S

B

C

H

A

Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB  AC  1,
BC  2 và SB  SC  1, BC  2 .
1
Ta có SC. AB  SC SB  SA  SC.SB  SC.SA  0  SC.SB.cos 60   .
2









Suy ra cos  SC ; AB   cos SC ; AB 

SC. AB
SC. AB



1
. Vậy góc giữa hai đường
2

thẳng AB , SC bằng 60 .
Câu 8: [1H3-2-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1H3-3] Cho tứ diện

ABCD có AB  AC  AD  1 ; BAC  60 ; BAD  90 ; DAC  120 . Tính côsin
của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD , trong đó G là trọng tâm tam giác
BCD .
1
1
1
1
A.
.
B. .
C. .
D.
.
3
6
6
3
Lời giải
Chọn C
A

D

B
G

I
M
C

* ABC đều  BC  1.


* ACD cân tại A có CD  AC 2  AD 2  2 AC. AD.cos120  3 .
* ABD vuông cân tại A có BD  2 .
* BCD có CD 2  BC 2  BD 2  BCD vuông tại B .
Dựng đường thẳng d qua G và song song CD , cắt BC tại M .
Ta có MG // CD   AG, CD    AG, MG  .
Gọi I là trung điểm của BC , xét BDI vuông tại B có DI  BD2  BI 2
2

3
1
 2   .
2
2
IM MG IG 1
1 BC 1
1
1
3


  IM  .IC  .
 ; MG  .CD 
;
IC CD ID 3
3 2
6
3
3
3
1
1
IG  .ID  .
3
2

Ta có

2

 3   1 2
7
Xét AIM vuông tại I có AM  AI  IM  
.
 2    6   3


2

2

2

cos AID 

AI 2  ID 2  AD 2
2 AI .ID

 3   3 2 2

    1
2
4 3
 2


9
3 3
2. .
2 2
2

 3   1 2
3 1 4 3
3
AG  AI  IG  2 AI .IG.cos AID  
.
 2    2   2. 2 . 2 . 9  3


2

2

Xét AMG có
cos  AG , MG   cos AGM 
2

2

2

AG 2  GM 2  AM 2
2. AG.GM

 3  3  7

 
 

3
3
3 
1






 .
6
3 3
2. .
3 3


Câu 9: [1H3-2-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC.ABC có AB  a và AA  2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC
bằng
C

A

B

C'

A'

B'

A. 60 .

B. 45 .

C. 90 .

D. 30 .

Lời giải
Chọn A
C

A

B

C'

A'

B'







Ta có AB.BC  AB  BB BC  CC  AB.BC  AB.CC  BB.BC  BB.CC

 AB.BC  AB.CC  BB.BC  BB.CC  

a2
3a 2
 0  0  2a 2 
.
2
2

3a 2
1
AB.BC 
2

   AB, BC    60 .
Suy ra cos AB, BC  
AB . BC  a 3.a 3 2





Câu 10: [1H3-2-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình lăng trụ

đứng tam giác ABCABC có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a , BAC  120
, cạnh bên AA  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC .
A. 90 .

C. 45 .

B. 30 .
Lời giải

Chọn D

D. 60 .


C

B
A

C

B
A
D
Trong  ABC  : kẻ AD sao cho ACBD là hình bình hành.

Ta có: BC // AD Nên  AB; BC    AB; AD   BAD .
Ta có AD  BC  a 3 , AB  AB 2  AB2  a 3 , DB  BB2  AC 2  a 3 .
Vậy tam giác BAD đều nên BAD  60 .
Câu 11: [1H3-2-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp

S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  2a , BC  a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD
. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC.
A.

a 30
.
10

B.

a 3
.
2

C.

Lời giải
Chọn A

a 15
.
5

D. a .


Gọi I là trung điểm của AB ta có: SI  AB mà

 SAB    ABCD 

nên

SI   ABCD  .
Gọi H là giao điểm của IC và BE , kẻ HK  SC tại K . Khi đó :
IBCE là hình vuông nên BE  IC mà BE  SI do đó BE   SIC  .
Suy ra BE  HK mà HK  SC nên d  BE; SC   HK .
Do tam giác CKH và CIS đồng dạng nên
2
a
.a 3
HK CH
CH .IS
2
 HK 


2
IS
CS
CS
a 3  a 2



 



2



a 30
.
10

Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O  I , các tia Ox, Oy , Oz lần lượt là
IE , IB, IS .
Sau đó tính khoảng cách bằng công thức: d  BE; SC  

BS .  BE; SC 
 BE; SC 



.

Câu 12: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và
SA  SB  SC  a . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm
của AB .
A. 30 .

C. 90 .

B. 60 .
Lời giải

Chọn B

D. 120 .


Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM.
Và cắt đường thẳng SA tại N.
Do đó  SM , BC    BN , BC   NBC .
Ta có SM / / BN và M là trung điểm của AB
Nên SN  SA  SC  a  NC  a 2 và NB  2SM  a 2 .
Mà BC  SB 2  SC 2  a 2  NBC là tam giác đều.
Vậy NBC  60   SM , BC   60 .
Câu 13: [1H3-2-3] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng CI và
AC , với I là trung điểm của AB .
A. 10 .

B. 30 .

C. 150 .

D. 170 .

Lời giải
Chọn B

Ta có I là trung điểm của AB nên  CI , CA   ICA .
Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI 
Suy ra sin ICA 

AB AC
AI 1


 .
2
2
AC 2

IA 1
  ICA  30   CI , CA   30 .
CA 2

Câu 14: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác
SAB , SAD , SAD là các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường
thẳng SC và BD biết SA  a 3 , AB  a , AD  3a .
A.

1
.
2

B.

3
.
2

C.
Lời giải

Chọn D

4
.
130

D.

8
.
130


Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A.
Nên SA  AB, SA  AD  SA   ABCD  .
Gọi O  AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM / / SC .
Hay SC / /  MBD  nên  SC , BD    OM , BD   MOB .

SA2
a 7
SC a 13
 AB2 
Có BM  AM  AB 
, MO 
.

2
2
4
2
2

BO 

2

BD a 10
. Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB.

2
2

Ta được BM 2  OM 2  OB 2  2OM .OB.cos MOB

 cos MOB 

OM 2  OB 2  BM 2
8

.
2OM .OB
130

Câu 15: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và

BC biết AD  DC  a , AB  2a , và SA 
A.

1
.
42

B.

2a 3
.
3

2
.
42

C.
Lời giải

Chọn C

3
.
42

D.

4
.
42


Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM  AD  DC  a .
Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A.
Do đó DM song song với BC. Suy ra  SD, BC    SD, DM   SDM .
Lại có SM  SA2  AM 2 

a 21
.
3

Và DM  a 2, SD  SA2  AD 2 

a 21
3

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được

cos SDM 

SD 2  DM 2  SM 2
3

.
2.SD.DM
42

Câu 16: [1H3-2-3] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
AB và CI với I là trung điểm của AD .
A.

3
.
2

B.

3
.
4

C.
Lời giải

Chọn C

3
.
6

D.

1
.
2


Gọi H là trung điểm của BD. Ta có IH / / AB  AB / /  HIC  .
Nên  AB, CI    IH , IC   HIC . Mà IH 

a
a 3
.
, CH  CI 
2
2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được:
2

a
 
2
2
2
HI  CI  HC
3
3
2
.
cos HIC 
  

 cos  AB, CI  
2.HI .CI
6
6
a a 3
2. .
2 2
Câu 17: [1H3-2-3] Cho lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy bằng a . Biết góc tạo bởi
cạnh bên và mặt đáy là 60 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng  ABC  
, H trùng với trung điểm của cạnh BC . Góc giữa BC và AC là  . Giá trị của
tan  là:
B. 3 .

A. 3 .

C.

1
.
3

Lời giải
Chọn A

Ta có AH là hình chiếu của AA lên mặt phẳng đáy.
Do đó  AA ',  ABC     AA, AH   AAH  60 .
Lại có AH 
nên AB 
Và AA 

a
a a 3
 AH  tan 60. 
 BH
2
2
2

a 6
.
2

AH
 a  AC   a .
cos 60

D.

1
.
3


Mặt khác  BC , AC     AC , BC    AC B   .
Do đó cos  
Suy ra tan  

AC 2  BC 2  AB2 1
 .
2. AC .BC 
4

1
1  3 .
cos 2 

Câu 18: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh

SA   ABCD  , và SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của SC , góc tạo bởi hai đường
thẳng AM và CD là  . Giá trị của biểu thức P  tan  .cos 2  bằng:
A. 2 .

B.

5
.
2

C. 5 .

D. 10 .

Lời giải
Chọn D

Gọi N là trung điểm của SD. Khi đó MN / / SD .
Ta có CD   SAD   MN   SAD   MN  AN

 
Do đó  AM , CD    AM , MN   AMN   0; 
 2
Ta có AN 
Và MN 

SD
SA2  AD 2
3a 2  a 2


a.
2
2
2

AN
a
CD a
 a:  2.
 nên tan  
MN
2
2
2

Khi đó P 

tan 
 tan  1  tan 2    10 .
2
cos 

Câu 19: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông
góc với đáy. Biết SA  a , AB  a , BC  a 2 . Gọi I
Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là:

là trung điểm của BC .


A.

2
.
3

B. 

2
.
3

C.

2
.
3

D.

2
.
8

Lời giải
Chọn A

Gọi H là trung điểm của SB  IH song song với SC.
Do đó SC / /  AHI    AI , SC    AI , HI   AIH .
Ta có AI  AB 2  BI 2 

AH 

SC
SA2  AC 2
a 6

a.
và IH 
2
2
2

AB 2  AS 2 BS 2 a 2


.
2
4
2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI , có
cos AIH 

AI 2  HI 2  AH 2
6
2


.
2. AI .HI
3
3

Câu 20: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh 2a ,

SA  a, SB  a 3 và  SAB  vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB , BC . Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là:
A.

2
.
5

B.

2
.
5

C. 
Lời giải

Chọn D

1
.
5

D.

1
.
5


Kẻ ME song song với DN với E  AD suy ra AE 

a
.
2

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên  SM , ME    .
Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH   ABCD  .
Suy ra SH  AD  AD   SAB   AD  SA .
Do đó SE 2  SA2  AE 2 

5a 2
a 5
a 5
và ME 
.
 SE 
4
2
2

Tam giác SME cân tại E, có cos   cos SME 

5
.
5

Câu 21: [1H3-2-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các
góc BAD, DAA , AAB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AA, CD . Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và BC , giá trị của cos 
bằng:
A.

2
.
5

B.

1
.
5

C.
Lời giải

Chọn D

3
.
5

D.

3 5
.
10


 AD / / BC
Ta có 
với P là trung điểm của DC .
MN / / AP
Suy ra  MN , BC    AP, AD   DAP .
Vì BAD  DAA '  A ' AB  60 và các cạnh của hình hộp bằng a. Do đó
AD  a, CD  CA  a 3 .
Suy ra AP 

AD2  AC 2 DC 2
5a
.

 AP 
2
4
2

Áp dụng định lý cos cho tam giác ADP , ta có

cos  

AD 2  AP 2  DP 2 3 5
.

2 AD. AP
10

Câu 22: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , đáy ABC là tam giác vuông tại

B với AB  2a , BC  2a 3 , mặt phẳng  SBC  tạo với đáy một góc 60 . Với N
là trung điểm của AC , cosin góc giữa 2 đường thẳng SN và BC là:
A. cos  SN , BC   1.
C. cos  SN , BC  

3
2

B. cos  SN , BC  

3
.
4

D. cos  SN , BC  

3
.
8

Lời giải
Chọn B

Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó MN / / BC
Mặt khác MN 
Lại có

BC
 a 3; AC 
2

AB 2  BC 2  4a  AN  2a .


 BC  SA
 BC   SBA  SBA    SBC  ,  ABC    60

 BC  AB
Do vậy SA  AB tan 60  2a 3 .
Do vậy SM  SA2  AM 2  a 13
Do MN / / BC   SAB   SM  MN
Suy ra cos SNM 

MN
a 3
3


 cos  SN , BC  .
SN
4
3a 2  13a 2

Câu 23: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD

cạnh a ,

SA   ABCD  và SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của SD , cosin góc giữa 2
đường thẳng CM và SB là:
A.

5 2
.
8

B.

2 2
.
7

C.

3 2
.
5

Lời giải
Chọn A

Gọi O là tâm của đáy khi đó OM / / SB
Mặt khác SB  SA2  AB 2  2a  SD  OM  a ;

OC 

AC a 2
. Lại có CD  SA, CD  AD  CD  SD

2
2

Khi đó CM  CD 2  DM 2  a 2 .

cos OMC 

OM 2  MC 2  OC 2 5 2

 cos  OM , MC 
2.OM .MC
8

Do đó cos  SB, CM  

5 2
.
8

D.

2
.
8


Câu 24: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB  2a và
AD  3a . Tam giác SAB vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi  là góc giữa 2 đường thẳng SC và AB . Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. cos  
cos  

1
.
5

1
2 2

B. cos  

1
.
11

C. cos  

1
.
11

D.

.
Lời giải

Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB khi đó ta có: SH  AB . Mặt khác  SAB    ABCD 
nên SH   ABCD  . Ta có: SH 

AB
 a (do tam giác SAB vuông tại S)
2

Do AB / / CD   SC , AB    SC , CD 
Ta có:
SC  SH 2  HC 2  SH 2  HB 2  HC 2  a 11; SD  SH 2  HD 2  a 11

Khi đó cos SCD 

SC 2  CD 2  SD 2
1
1

 cos  
.
2SC.CD
11
11

Câu 25: [1H3-2-3] Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu

vuông góc của B  lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và BC bằng
đường thẳng BC và AA . Chọn khẳng định đúng.
A. cos  

cos  

1
.
8

B. cos  

7
.
8

2
.
4
Lời giải

a 3
. Gọi  là góc giữa 2
4

C. cos  

2
.
2

D.


Chọn D

Ta có: BH  AB, CH  AB  AB   BHC 
+) Dựng HK  BC  HK  AB  HK 
+) Mặt khác:

a 3
4

1
1
1
a


 BH 
2
2
2
HK
BH
HC
2

Do AA / / BB   BC , AA    BC , BB 
Ta có: BB 

a
, BC  a, BC  a .
2

Khi đó cos  BC , AA   cos CBB

BC 2  BB2  BC 2
2
.


2 BC.BB
4
Câu 26: [1H3-2-3] Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại

A có AB  a và AC  a 3 . Biết rằng AC  a 7 và N là trung điểm của AA .
Góc giữa 2 đường thẳng AC và BN là  . Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. cos  

cos  

14
.
7

B. cos  

14
.
28

14
.
14
Lời giải

Chọn A

C. cos  

3
.
14

D.


Ta có BC  AB 2  AC 2  2a
Mặt khác AA '  A ' C 2  AC 2  2a
Gọi M là trung điểm của BB ' . Dễ thấy BN / / A ' M
Khi đó  BN , A ' C    A ' M , A ' C 
Ta có: A ' M  A ' B '2  B ' M 2  a 2; A ' C  a 7

CM  BC 2  BM 2  a 5
A ' M 2  A ' C 2  MC 2
14
Do đó cos MA ' C 

2. A ' M . A ' C
7
Do vậy cos  

14
.
7

Câu 27: [1H3-2-3] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có AB  a và AA '  b . Biết
rằng góc giữa hai đường thẳng AB ' và BC ' bằng 60 , giá trị của b tính theo a
bằng:
A. a 2 .

B. a .

C. a 3 .
Lời giải

Chọn A

D. 2a .


Dựng đường thẳng BD / / AB ' cắt A ' B ' tại D.
Vì góc giữa AB ' và BC ' bằng 60° nên ta có

 DBC '  60

 AB ', BC '  BD, BC '  

 DBC '  120

Ta có BD  AB '  BC ' nên BD  BC '  a 2  b2
Vì A ' B ' C '  60 nên DB ' C '  120 .
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác DB ' C ' , có

DC '2  B ' D 2  B ' C '2  2 B ' D.B ' C '.cos120
Hay DC '  a 3 .
• Nếu DBC '  60  BD  BC '

 a 2  b2  a 3  b2  2a 2  b  a 2
Nếu DBC '  120  b  0 (loại).
Câu 28: [1H3-2-3] Cho tứ diện ABCD , gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD
, biết AB  a , CD  a , MN 

a 3
. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD
2

là:
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .
Lời giải

Chọn C

D. 90 .


Gọi I là trung điểm của AC.

 IM / / AB
Ta có 
  AB, CD    IM , IN 
 IN / /CD
Đặt MIN   . Xét tam giác IMN, có

IM 

AB a
CD a
a 3
 , IN 
 , MN 
2
2
2
2
2

Theo định lý Cosin, có cos  

IM 2  IN 2  MN 2
1
 0.
2.IM .IN
2

 MIN  120   AB, CD   60 .
Câu 29: [1H3-2-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C ,
CA  CB  a . SA vuông góc với đáy, gọi D là trung điểm của AB , góc tạo bởi
hai đường thẳng SD , AC là  . Biết SA  a 3 , giá trị của biểu thức P  tan 
bằng:
A.  13 .

B. 13 .

C. 14 .
Lời giải

Chọn B

Gọi M là trung điểm của BC  DM / / AC

D.  14 .


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×