Tải bản đầy đủ

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1: [1H3-1-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình hộp

ABCD.ABCD . Biết MA  k.MC , NC  l.ND . Khi MN song song với BD thì
khẳng định nào sau đây đúng?
3
A. k  l   .
2
k  l  2 .

C. k  l  4 .

B. k  l  3 .

D.

Lời giải
Chọn C

Đặt AB  a , AD  b , AA  c .




Từ MA  k.MC  AA  AM  k AC  AM





 AM 



và NC  l.ND  AC  AN  l. AD  AN  AN 

Vậy MN  AM  AN 





k a  b  c
1 k







AA  k AC k a  b  c

.
1 k
1 k

AC  l AD a  b  c  lb
.

1 l
1 l


a  b  c  lb
1 l

1 
1 
 k
 k

 1
 

 1 b  

a 
c .
 1 k 1 l 
 1 k 
 1 k 1 l 
Mặt khác, BD  AD  AB  a  b  c .

1
k
1
 k
 2k
1  k  1  l   1  k  1
1  k  1  l  1
Để MN //BD thì MN // BD  

k
1
1

 k  1  1  1
1 

 1  k
1  k 1  l
1 k 1 l




1
3k  1
1
  l  1.
 2  k  3 . Từ đó ta có:
1 l 2
1 k

Vậy k  l  4 .
(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình chóp
S.ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông.

Câu 2: [1H3-1-3]

Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS.CB bằng
A.

a2
.
2

B. 

a2
.
2

C.

a2
.
3

D.

2a 2
.
2

Lời giải
Chọn A
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S.ABCD là hình chóp
SO  ( ABCD)
đều  
.
AC

BD

Do M là trung điểm của CD nên ta có:
1
1
MS  OS  OM   OC  OD  OS , CB  OB  OC  OD  OC .
2
2

Do OC; OS ; OD đôi một vuông góc với nhau nên ta có:
1
1
a2
MS .CB  OC 2  OD 2  OC 2 
2
2
2

S

A

D
M

O
B
Câu 3: [1H3-1-3]

C

(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Trong không gian xét

m , n , p , q là các véctơ đơn vị (có độ dài bằng 1 ). Gọi M là giá trị lớn nhất của
2

2

2

2

2

2

biểu thức m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q .


Khi đó M  M thuộc khoảng nào sau đây?




A.  4;




13 

2

19 

2

B.  7;

D. 10; 15

C. 17; 22 
Lời giải

Chọn D
2

2

2

2

2

Đặt S  m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q

2



2



Ta có 0  m  n  p  q  4  2 m.n  m. p  m.q  n. p  n.q  p.q .
Từ đó suy ra m.n  m. p  m.q  n. p  n.q  p.q  2 .
2

2

2

2

2

Mặt khác, ta có m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q



 12  2 m.n  m. p  m.q  n. p  n.q  p.q

2



Vậy m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q  12  2.  2   16 .
2

2

2

2

2

2

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi m  n  1;0;0  và p  q   1;0;0  .
Vậy M  M  16  4  12  10;15  .

Câu 4: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng?

A. BD , BD1 , BC1 đồng phẳng.

B. CD1 , AD , A1 B1 đồng phẳng.

C. CD1 , AD , A1C đồng phẳng.

D. AB , AD , C1 A đồng phẳng.
Lời giải

Chọn C

D

A

C

B

D1

A1

C1

B1


 M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , AA1 , DD1 , CD .

Ta có CD1 //  MNPQ  , AD //  MNPQ  , AC
1 //  MNPQ   CD1 , AD , A1C đồng
phẳng.
Câu 5: [1H3-1-3] Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Xét các vectơ x  2a  b ,

y  a  b  c , z  3b  2c . Chọn khẳng định đúng?
A. Ba vectơ x , y , z đồng phẳng.

B. Hai vectơ x , a cùng phương.

C. Hai vectơ x , b cùng phương.
phương.

D. Ba vectơ x , y , z đôi một cùng

Lời giải
Chọn A
Ta có: y 





1
x  z nên ba vectơ x , y , z đồng phẳng.
2

Câu 6: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng

thức vectơ: AB  B1C1  DD1  k AC1
A. k  4 .

D. k  2 .

C. k  0 .

B. k  1 .
Lời giải

Chọn B

D

A

C

B

D1

A1

C1

B1

+ Ta có: AB  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1 . Nên k  1 .


Câu 7: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành

ABCD . Đặt AC   u , CA  v , BD  x , DB  y . Trong các đẳng thức sau, đẳng
thức nào đúng?
1
A. 2OI   (u  v  x  y ) .
4

1
B. 2OI   (u  v  x  y ) .
2

1
C. 2OI  (u  v  x  y ) .
2

1
D. 2OI  (u  v  x  y ) .
4

Lời giải
Chọn A

K

D

C

J

A

B

O
D’

C’

A’

B’

+ Gọi J , K lần lượt là trung điểm của AB , CD .
+ Ta có: 2OI  OJ  OK 





1
1
OA  OB  OC  OD   (u  v  x  y ) .
2
4

Câu 8: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình

hành ABBA và BCCB . Khẳng định nào sau đây sai?
1
1
AC  AC  .
2
2

A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng.

B. IK 

C. Ba vectơ BD; IK ; BC không đồng phẳng.

D. BD  2IK  2BC .

Lời giải
Chọn C

A Đúng vì IK , AC cùng thuộc  BAC  .


B Đúng vì IK  IB  BK 
C Sai vì IK  IB  BK 



 







1
1
1
1
1
a  b   a  c  b  c  AC  AC  .
2
2
2
2
2



 







1
1
1
a  b  a  c  b  c .
2
2
2

 BD  2IK  b  c  b  c  2c  2BC  ba véctơ đồng phẳng.
D Đúng vì theo câu C  BD  2IK  b  c  b  c  2c  2BC  2BC .
Câu 9: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho

AM  3MD , BN  3NC . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ BD , AC , MN đồng phẳng.
phẳng.

B. Các vectơ MN , DC , PQ đồng

C. Các vectơ AB , DC đồng phẳng.
phẳng.

D. Các vectơ AB , DC , MN đồng
Lời giải

Chọn A
A

P
M

B

D

Q
N
C



 MN  MA  AC  CN
 MN  MA  AC  CN

A Sai vì 


 MN  MD  DB  BN
3MN  3MD  3DB  3BN
 4 MN  AC  3BD 

1
BC  BD , AC , MN không đồng phẳng.
2


1
 MN  MP  PQ  QN
 2MN  PQ  DC  MN  PQ  DC
B Đúng vì 
2

 MN  MD  DC  CN



 MN , DC , PQ đồng phẳng.




C Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có PQ 
D Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có MN 





1
AB  DC .
2

1
1
AB  DC .
4
4

Câu 10: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong

các mệnh đề sau đây:
a2
.
2

A. AD  CB  BC  DA  0 .

B. AB.BC  

C. AC. AD  AC.CD .

D. AB  CD hay AB.CD  0 .
Lời giải

Chọn C
A

C

B

D

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC , BCD , CDA là các tam giác đều.
A Đúng vì AD  CB  BC  DA  DA  AD  BC  CB  0 .

a 2
B Đúng vì AB.BC   BA.BC   a.a.cos 60 
.
2
C Sai vì AC. AD  a.a.cos 60 

a2
a2
, AC.CD  CA.CD  a.a.cos 60  
.
2
2

D Đúng vì AB  CD  AB.CD  0 .
Câu 11: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD . Đặt AB  a , AC  b , AD  c gọi G là trọng tâm của

tam giác BCD . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. AG  a  b  c .
AG 



B. AG 









1
1
a  b  c . C. AG  a  b  c . D.
3
2



1
abc .
4

Lời giải


Chọn B
A

B

D
G
M
C

Gọi M là trung điểm BC .

AG  AB  BG  a 

a



2
2 1
BM  a  . BC  BD
3
3 2









 



1
1
1
AC  AB  AD  AB  a  2a  b  c  a  b  c .
3
3
3

Câu 12: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức

đúng.
A. B1M  B1B  B1 A1  B1C1 .

1
B. C1M  C1C  C1 D1  C1 B1 .
2

1
1
C. C1M  C1C  C1 D1  C1 B1 .
2
2

D. BB1  B1 A1  B1C1  2B1D .
Lời giải

Chọn B
B

A
M

C

D

A1

B1

D1

C1


A Sai vì B1M  B1 B  BM  BB1 

 BB1 











1
1
B1 A1  B1 A1  B1C1  BB1  B1 A1  B1C1 .
2
2

B Đúng vì C1M  C1C  CM  C1C 

 C1C 



1
1
BA  BD  BB1  B1 A1  B1D1
2
2









1
1
CA  CD  C1C  C1 A1  C1D1
2
2





1
1
C1 B1  C1 D1  C1 D1  C1C  C1 D1  C1 B1 .
2
2

C Sai. theo câu B suy ra.
D Sai vì BB1  B1 A1  B1C1  BA1  BC  BD1 .
Câu 13: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA  GB  GC  GD  0 ( G là

trọng tâm của tứ diện). Gọi G0 là giao điểm của GA và mp  BCD  . Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào đúng?
A. GA  2G0G .

B. GA  4G0G .

C. GA  3G0G .

D.

GA  2G0G .
Lời giải
Chọn C
A

G
B

D
G0
M
C

Theo đề: G0 là giao điểm của GA và mp  BCD   G0 là trọng tâm tam giác BCD .

 G0 A  G0 B  G0C  0
Ta có: GA  GB  GC  GD  0




 



 GA   GB  GC  GD   3GG0  G0 A  G0 B  G0C  3GG0  3G0G .
Câu 14: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và G

là trung điểm của MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. MA  MB  MC  MD  4MG .

B. GA  GB  GC  GD .

C. GA  GB  GC  GD  0 .

D. GM  GN  0 .
Lời giải

Chọn B

M , N , G lần lượt là trung điểm của AB , CD , MN theo quy tắc trung điểm:

GA  GB  2GM ; GC  GD  2GN ; GM  GN  0 .
Suy ra: GA  GB  GC  GD  0 hay GA  GB  GC  GD .
Câu 15: [1H3-1-3] Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề

sai trong những mệnh đề sau đây:
A. 2 AB  BC  CD  DA  0 .

B. AD. AB  a 2 .

C. AB.CD  0 .

D. AC  a 3 .
Lời giải

Chọn A
D'

A'

C'

B'

D

A

C

B

Ta có : 2 AB  BC  CD  DA  0



 



 AB  AB  CD  BC  DA  0  AB  0  0  0  AB  0 (vô lí).
Câu 16: [1H3-1-3] Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng

định nào sai?
A. Các vectơ x  a  b  2c , y  2a  3b  6c , z  a  3b  6c đồng phẳng.
B. Các vectơ x  a  2b  4c , y  3a  3b  2c đồng phẳng.


C. Các vectơ x  a  b  c , y  2a  3b  c đồng phẳng.
D. Các vectơ x  a  b  c , y  2a  b  3c đồng phẳng.
Lời giải
Chọn B
Các vectơ x, y, z đồng phẳng  m, n : x  my  nz .
Mà : x  my  nz .

3m  2n  1

 a  2b  4c  m 3a  3b  2c  n 2a  3b  3c  3m  3n  2 (hệ vô
2m  3n  4




 



nghiệm)
Vậy không tồn tại hai số m, n : x  my  nz .
Câu 17: [1H3-1-3] Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện

ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian.
Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: IA  (2k 1) IB  k IC  ID  0
A. k  2 .

B. k  4 .

C. k  1 .

D. k  0 .

Lời giải
Chọn C

Ta chứng minh được IA  IB  IC  ID  0 nên k  1
Câu 18: [1H3-1-3] Cho hình chóp S. ABC Lấy các điểm A, B, C  lần lượt thuộc các tia

SA, SB, SC sao cho SA  a.SA, SB  b.SB, SC  c.SC  , trong đó a, b, c là các số thay

đổi. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để mặt phẳng  ABC   đi qua trọng tâm của tam
giác ABC .
A. a  b  c  3 .
a  b  c  1.

B. a  b  c  4 .

C. a  b  c  2 .

D.

Lời giải
Chọn A

Nếu a  b  c  1 thì SA  SA, SB  SB, SC  SC  nên  ABC    ABC   .
Suy ra  ABC   đi qua trọng tâm của tam giác ABC => a  b  c  3 là đáp án
đúng.


Câu 19: [1H3-1-3] Cho a  3, b  5 góc giữa a và b bằng 120 . Chọn khẳng định sai trong

các khẳng định sau?
A. a  b  19 .

C. a  2b  139 .

B. a  b  7 .

D.

a  2b  9 .
Lời giải
Chọn A

 

2

2

2

2

 

Ta có: a  b  a 2  b 2  2a.b .cos a , b  19 a  b  a  b  2a.b.cos a,b  19
Câu 20: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD có AB  a, BD  3a . Gọi M , N lần lượt là trung

điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN
A. MN 

MN 

a 6
3

B. MN 

a 10
2

C. MN 

2a 3
3

D.

3a 2
2
Lời giải

Chọn B

Kẻ NP //AC  P  AB  , nối MP .

NP là đường trung bình ABC  PN 

1
a
AC  .
2
2

MP là đường trung bình ABD  PM 

1
3a
BD 
.
2
2

Lại có  AC , BD    PN , PM   NPM  90 suy ra  MNP vuông tại P .


Vậy MN  PN 2  PM 2 

a 10
.
2

Câu 21: [1H3-1-3] Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chọn hệ thức đúng?

A. AB2  AC 2  BC 2  2  GA2  GB2  GC 2  .
B. AB 2  AC 2  BC 2  GA2  GB 2  GC 2 .
C. AB2  AC 2  BC 2  4  GA2  GB2  GC 2  .
D. AB2  AC 2  BC 2  3  GA2  GB 2  GC 2  .
Lời giải
Chọn D
Cách 1
Ta có

GA  GB  GC 

2

0

 GA2  GB 2  GC 2  2GA.GB  2GA.GC  2GB.GC  0
 GA2  GB 2  GC 2   GA2  GB 2  AB 2    GA2  GC 2  AC 2    GB 2  GC 2  BC 2   0
 AB 2  AC 2  BC 2  3  GA2  GB 2  GC 2 
Cách 2: Ta có:

AB 2

MA2
GA

AC 2

BC 2
4

2
2
MA
3

GA2

4 AB 2 AC 2
9
2

BC 2
.
4

Tương tự ta suy ra được
2

GA

GB

2

1
AB 2
3
3 GA2

GC

4 AB 2 AC 2
9
2

2

BC 2

CA2 .

GB 2

GC 2

AB 2

BC 2
4

BC 2

BA2

BC 2
2

AC 2
4

CA2
2

CA2

Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó
AB 2

BC 2

CA2

3

2

2

2

1

GA

GB

GC

3 GA2

GB 2

GC 2

AB 2

BC 2

CB 2

CA2 .

AB 2
.
4


Câu 22: [1H3-1-3] Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm M sao cho giá trị của biểu thức

P  MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M là trọng tâm tam giác ABC .
B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
C. M là trực tâm tam giác ABC .
D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Lời giải
Chọn A

G cố định và GA GB GC

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
2

P

MG

GA

2

MG

3MG 2

2 MG. GA

3MG 2

GA2

GB 2

Dấu bằng xảy ra

M

GA2

GB2

Vậy Pmin

2

GB

GB

MG

GC

GA2

GC

GC 2

0.

GA2

GB 2

GB 2

GC 2

GC 2 .

G.
GC 2 với M

G là trọng tâm tam giác ABC.

Chọn đáp án A.
Câu 23: [1H3-1-3] Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  26; b  28; a  b  48 . Độ dài vectơ

a  b bằng?
A. 25.

C. 9.

616 .

B.

D.

618 .

Lời giải
Chọn B
2



a b  a b



2

2



2

2

 a  b  2a.b  2 a  b



2

  a  b

2



2
2
2
 2  a  b   a  b  2 262  282  482  616



 a  b  616.

Câu 24: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AB  B ' C '  DD '  AC ' .

B. BD  D ' D  B ' D '  BB ' .

C. AC  BA '  DB  C ' D  0 .

D. AC  BA '  DB  C ' D  0 .
Lời giải


Chọn C
C

B
D

A

C'

B'
A'

D'

Theo t/ c hình hộp: AB  DC  AB  DC; AD  BC  AD  BC ;
A A  BB  CC   D D .

* Ta có: AB  BC   D D  AB  AD  A A  AC  (qui tắc hình hộp)  Phương
án A đúng.
* Ta có: BD  DD  BD  ( BD  BD)  DD  0  BB  BB  Phương án B
đúng.
* Ta có: AC  BA  DB  CD  AC  BA  CB  AC  DA  BA

 DC  BA  AB  AB  2 AB  Phương án C sai.
* Ta có: AC  BA  DB  CD  AC  BA  CB  AC  DA  BA

 DC  BA  AB  AB  0  Phương án D đúng.
Câu 25: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M, N sao

cho AM  3MD , NB  3NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng.

B.

Các

vectơ AB, PQ, MN đồng

phẳng.
C. Các vectơ PQ, DC, MN đồng phẳng.

D. Các vectơ BD, AC, MN đồng

phẳng.
Lời giải
Chọn D
A

P
M
K

B
I

D

Q
N

C

Gọi I là trung điểm BD và K là trọng tâm của tam giác ABD.


Ta thấy AB, DC , MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ AB, DC, MN
đồng phẳng.

AB, MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ AB, PQ, MN đồng phẳng.

DC , MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ PQ, DC, MN đồng phẳng.
Câu 26: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên

các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho 3 AP  2 AD , 3BQ  2BC .
Các vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng khi chúng thỏa mãn đẳng thức vectơ nào sau
đây:

3
3
MP  MQ .
2
2
1
1
D. MQ  MN  MQ .
2
2

2
2
MP  MQ .
3
3
3
3
C. MN  MP  MQ .
4
4

B. MN 

A. MN 

Lời giải
Chọn C
A

M
P
B
D
N

Q
C

Ta có

3 AP  2 AD  3 AM  3MP  2 AM  2MD
 AM  2MD  3MP 1

3BQ  2 BC  3BM  3MQ  2 BM  2MC
 BM  2MC  3MQ  2 
Cộng 1 và  2  theo vế suy ra MN 

3
3
MP  MQ .
4
4



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×